FACULDADE DE PARÁ DE MINAS
Curso de Matemática
Guilherme Inácio Lemos Braga
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS:
Uma alternativa em recurso didático
Pará de Minas
2013
Guilherme Inácio Lemos Braga
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS:
Uma alternativa em recurso didático
Monografia apresentada à Coordenação de Matemática
da Faculdade de Pará de Minas como requisito parcial
para a conclusão do curso de Matemática.
Orientador: Prof. Ms Tânia Aparecida Ferreira Hanke
Pará de Minas
2013
Guilherme Inácio Lemos Braga
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS:
Uma alternativa em recurso didático
Monografia apresentada à Coordenação de Matemática
da Faculdade de Pará de Minas como requisito parcial
para a conclusão do curso de Matemática.
Orientador: Prof. Ms Tânia Aparecida Ferreira Hanke
Aprovado em _______/________/________
_______________________________________________
Ms Tânia Aparecida Ferreira Hanke.
_______________________________________________
Examinador: Prof. (a) Daniela Alves da Silveira Moura.
AGRADECIMENTOS
Principalmente a Deus, a quem nunca me cansarei de agradecer pelas
oportunidades que já me concedeu aproveitar.
Agradeço a toda minha família, que confiou em mim e no meu esforço.
À minha namorada, que sempre entendeu e apoiou minhas decisões.
Aos meus amigos, que compartilharam tantos momentos importantes desta
história. E de modo especial lembro aqui dos que conquistei durante a graduação,
pois juntos caminhamos e juntos vencemos as dificuldades de cada semestre.
A cada um dos professores que conheci durante a licenciatura, pela
dedicação e compreensão. Em especial, agradeço a Daniela, examinadora deste
trabalho, pela amizade e carinho e a Tânia, minha orientadora, que tão
pacientemente conduziu a realização deste. Orgulho-me do resultado final e vocês
são parte disto. Vocês são profissionais que me inspiram!
Agradeço a todos que, direta ou indiretamente contribuíram com minha vitória
e estiveram comigo todos os dias desta caminhada. Não posso e não quero dizer
que este é o fim, mas sim apenas o começo da próxima jornada. Até a próxima!
MUITO OBRIGADO!
"Grandes realizações não são feitas por impulso,
mas por uma soma de pequenas realizações."
Van Gogh
RESUMO
A matemática é por muitas vezes encarada pelo aluno como “bicho de sete cabeças”,
como disciplina responsável pelo fracasso escolar e alvo dos maiores problemas no
processo de ensino-aprendizagem. Com o intuito de amenizar esses problemas o
presente trabalho vem explorar recursos didáticos para aplicação em sala de aula. As
curiosidades do conteúdo são o foco desta pesquisa, que foi fundamentada em
autores como Fiorentini (1995), Ifrah (2001), Boyer (1996), entre outros. Autores que
nortearam o desenrolar da discussão proposta juntamente com os registros oficiais
dos PCNs (1997), que reforçaram a utilização das curiosidades e outros métodos
como ferramenta na construção do conhecimento matemático. Para completar o
estudo, alguns livros didáticos foram analisados a fim de que pudesse, de forma
clara, relatar até que ponto as curiosidades são trabalhadas no ensino fundamental
regular. Ainda caracterizando a abordagem das curiosidades também foram
analisadas algumas provas de olimpíadas de matemática, uma vez que são
documentos característicos desse assunto. Depois de toda a discussão sobre o
processo de ensino-aprendizado aliado aos recursos auxiliares oferecidos ao
professor, uma lista de atividades foi proposta ao final desta pesquisa. Atividades
com o padrão analisado, que podem servir como atividades de fixação, atividades
investigativas, ou simplesmente como recurso para contextualizar histórica e
curiosamente as aulas de matemática. Todas as atividades têm em sua descrição o
público alvo quanta sua aplicação.
Palavras-chave:
aprendizagem.
Recursos
didáticos.
Curiosidades
matemáticas.
Ensino-
LISTA DE ABREVIATURAS
CBC - Currículo Básico Comum
IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
MEC – Ministério da Educação
MCT - Ministério da Ciência e Tecnologia
OBM - Olimpíadas Brasileiras de Matemática
OBMEP - Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas
PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD - Programa Nacional do Livro Didático
SBEM - Sociedade Brasileira de Educação Matemática
UNIPAMPA - Universidade Federal do Pampa
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - Técnica de multiplicação com os dedos ................................................16
FIGURA 2 – A evolução do ábaco .............................................................................16
FIGURA 3 – Operações com Material Dourado ........................................................27
FIGURA 4 – Atividade 1.............................................................................................41
FIGURA 5 – Atividade 2 ............................................................................................41
FIGURA 6 – Atividade 3.............................................................................................42
FIGURA 7 – Atividade 4.............................................................................................42
FIGURA 8 – Atividade 5.............................................................................................42
FIGURA 9 – Atividade 6.............................................................................................43
FIGURA 10 – Atividade 7...........................................................................................43
FIGURA 11 – Atividade 8 ..........................................................................................44
FIGURA 12 – Atividade 9 ..........................................................................................45
FIGURA 13 – Atividade 10 ........................................................................................45
FIGURA 14 – Atividade 11.........................................................................................46
FIGURA 15 – Atividade 12.........................................................................................47
FIGURA 16 – Atividade 13.........................................................................................48
FIGURA 17 – Atividade 14.........................................................................................49
FIGURA 18 – Atividade 15.........................................................................................49
FIGURA 19 – Atividade 16.........................................................................................50
FIGURA 20 – Atividade 17.........................................................................................51
FIGURA 21 – Atividade 18.........................................................................................52
FIGURA 22 – Atividade 19.........................................................................................52
FIGURA 23 – Atividade 20.........................................................................................53
FIGURA 24 – Atividade 21.........................................................................................54
FIGURA 25 – Atividade 22.........................................................................................54
FIGURA 26 – Atividade 23.........................................................................................55
FIGURA 27 – Atividade 24.........................................................................................56
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – Coleção 1................................................................................................36
TABELA 2 – Coleção 2................................................................................................37
TABELA 3 – Coleção 3................................................................................................38
TABELA 4 – Olimpíadas de Matemática (1ª fase) ......................................................39
TABELA 5 – Olimpíadas de Matemática (2ª fase) ......................................................40
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 10
2.
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ....................................................................... 10
2.1 O Ensino da Matemática no Brasil.................................................................. 17
3.
A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO ................................ 21
3.1 Metodologia de Ensino da Matemática .......................................................... 21
4.
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS .................................................................... 23
4.1 Análise dos Livros Didáticos .......................................................................... 35
4.2 Análise das Avaliações de Olimpíadas de Matemática................................. 38
4.3 Algumas Curiosidades: ................................................................................... 40
4.3.1 – Eixo temático: Números e Operações. ................................................... 40
4.3.2 – Eixo temático: Espaço e Forma.............................................................. 50
4.3.3 – Eixo temático: Álgebra ........................................................................... 53
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 57
6.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 58
10
1. INTRODUÇÃO
Ensinar matemática vai muito além da aplicação de regras. Ensinar
matemática é desenvolver o raciocínio lógico, o pensamento crítico e a capacidade
de interpretação e argumentação sobre problemas. O papel do educador, portanto, é
criar estratégias de motivação para a aprendizagem que desencadeiem a
autoconfiança, a atenção e o raciocínio matemático. As curiosidades numéricas
podem ser um recurso eficaz nesse processo.
É fato que há algum tempo a matemática vem sendo mais bem trabalhada em
sala de aula quando se comparam as didáticas abordadas pelos professores. Antes,
o ensino era todo formulado a partir de repetições e regras enquanto hoje a
preocupação com o saber interpretar e o compreender vem ganhando espaço.
“E essa mudança vem dos objetivos do Movimento Internacional para a
Modernização do Ensino da Matemática que visava à importância da prática
dos cálculos mentais, da compreensão das operações elementares, do
desenvolvimento de senso de estimativa, da análise de situações (...) que
levariam o aluno a ser “um descobridor”, e não “um receptor passivo de
conhecimentos”. (...) Além disso, seria necessário “renunciar completamente
à prática de memorização sem raciocínio” (...) e introduzir a matéria “por
meio da resolução de problemas e de questionários intimamente
coordenados” (MIORIM, 1998, p. 95).
Porém, ainda há muito a se fazer para conquistarmos o então padrão “ideal”.
O que de fato acontece é que nem sempre essas didáticas abordadas
conseguem atingir a todos. Dai se desencadeia um grande e futuro problema na vida
escolar destes alunos quanto ao desempenho na disciplina.
Das tradicionais aulas, todas embasadas apenas na fala do professor e tendo
quadro e giz como recurso auxiliar, às mais sofisticadas tecnologias de ensino. Hoje
um leque de opções se abre no que se diz respeito aos recursos para ensinar
matemática. O material concreto para as noções preliminares de conteúdos, a
calculadora, os softwares de computador, brincadeiras e jogos educativos são os
recursos mais procurados para auxílio do professor na sua didática em sala de aula.
Eficazes, mas nem sempre suficientes para atingir um determinado objetivo.
O propósito deste trabalho é analisar como e quando as curiosidades
matemáticas podem ser usadas para motivar o aluno na aprendizagem, auxiliar na
construção do conhecimento matemático e ainda desmistificar a velha ideia de que
11
matemática é decorar, ou “bicho de sete cabeças”. Mostrar que o aprender
matemática é muito mais divertido e interessante quanto parece.
Para Borin (2004), recursos como esse nas aulas de matemática:
“Tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio
como organização, atenção e concentração, necessárias para o
aprendizado, em especial da Matemática (...) favorece o desenvolvimento
da linguagem, criatividade e raciocínio dedutivo”. (BORIN, 2004. p.8)
Sob um olhar mais particular, outro propósito deste trabalho está diretamente
ligado às minhas experiências durante o período escolar quanto aos sucessos
obtidos em provas de Olimpíadas de Matemática, que abordam questões da
disciplina dentro de um padrão diferenciado. São questões que retratam
propriedades, conceitos e curiosidades do conteúdo de modo a desafiar o aluno.
Diante da grande dificuldade de muitos nesse tipo de avaliação externa é que se
fundamenta este trabalho. Até que ponto atividades do tipo curiosas podem ajudar
no aproveitamento dos alunos não só nesse tipo de avaliação, mas no conteúdo em
si?
É de grande importância que as atividades desenvolvidas tenham como
objetivo, acima de tudo, desenvolver o raciocínio do aluno. Por isso a escolha da
atividade certa, no momento certo, para os alunos certos tem peso no processo de
ensino.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemática:
“Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores
e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino
aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que
levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da
atividade Matemática.” (PCN, 1997, p.19).
A aversão à matemática por grande parte dos alunos deve-se pela caminhada
de insucessos na disciplina. A dificuldade leva ao desinteresse e este leva a um
conflito diário e contínuo dos que sofrem com o conteúdo.
Ainda de acordo com os PCNs:
“O Ensino de Matemática costuma provocar duas sensações contraditórias,
tanto por parte de quem ensina como por parte de quem aprende: de um
lado, a constatação de que se trata de uma área importante do
conhecimento; de outro a insatisfação diante dos resultados negativos
obtidos com muita frequência à sua aprendizagem”. (PCN, 1997. p.15).
12
Tendo em vista esse tipo de problema é que se foram criando alternativas
que auxiliassem o professor no seu trabalho. O que implica uma mudança no
processo de ensino, tanto na didática do ensinar matemática, quanto na própria
postura do professor. Ele é estimulado e orientado a criar situações que despertem
um interesse maior por suas aulas. Tarefa árdua para os ditos “tradicionais”, mas
que pode ser de grande ajuda no balanço dos seus resultados.
Portanto, é papel do professor identificar os conteúdos de maior peso na
construção do conhecimento e encontrar neles alternativas para uma aprendizagem
significativa. Se essa aprendizagem é concretizada com sucesso, é bem provável
que o aluno agora seja capaz de aplicar aquele conteúdo em outras situações
problemas que lhe forem apresentadas.
Aqui ressalto as curiosidades matemáticas como uma alternativa para essa
aprendizagem significativa, já que, acredito que as mesmas consigam prender a
atenção do aluno e despertar o interesse pelo estudo.
O uso de curiosidades matemáticas em sala de aula, no intuito de auxiliar o
aprendizado e/ou despertar o gosto pela disciplina é o principal enfoque desta
pesquisa. O propósito da mesma é justamente mostrar até que ponto esse artifício
didático pode acrescentar no processo de ensino-aprendizagem do aluno,
proporcionando-lhe uma melhor interação com o conteúdo.
Para alcançar o objetivo desta pesquisa, decidi-me orientar por uma análise
estritamente bibliográfica, a fim de reunir de forma clara e organizada todos os
dados pertinentes ao assunto. Dados que me levassem a apontar as vantagens de
se introduzir esse recurso didático na rotina de uma sala de aula.
De acordo com Marcone e Lakatos, pesquisa bibliográfica em si:
“Trata-se de levantamento de toda a bibliografia já publicada, em forma de
livros, revistas, publicações avulsas e imprensa escrita. Sua finalidade é
colocar o pesquisador em contato direto com tudo aquilo que foi escrito
sobre determinado assunto.” (MARCONE, M. LAKATOS E. 2001. p.43,44).
Contudo, a mesma possibilita uma análise criteriosa de informações sobre um
mesmo assunto, que podem, por ventura, se destinar a públicos diferentes e que
também são dotados de pontos de vistas diferentes, já que cada documento
analisado tem em seu corpo as características e opiniões particulares de seu autor.
13
Outro estudo ligado às didáticas abordados no ensino de matemática será
feito a partir da análise de fontes que expõem métodos diferenciados propostos para
sala de aula, como o uso de jogos, desafios e curiosidades sobre o conteúdo. Ao
fazer a análise de fontes que remetem à proposta do trabalho, refiro-me a uma
análise documental, sendo esta a abordagem mais próxima de uma pesquisa
bibliográfica. Uma vez que a pesquisa bibliográfica me guia por diferentes
concepções sobre o tema a partir de vários autores e a pesquisa documental me
coloca direto com as fontes primárias, documentos originais, sem nenhuma análise
crítica sobre os mesmos.
“Normalmente, nesse tipo de análise, os elementos fundamentais da
comunicação são identificados, numerados e categorizados. Posteriormente
as categorias encontradas são analisadas face a uma teoria específica.”
(APPOLINÁRIO, 2009,p.27).
Com o propósito de quantificar e verificar a abordagem de questões que se
enquadram no padrão inicial proposto pela pesquisa, àquelas que se fundamentam
nas várias curiosidades do conteúdo, foi feita a análise de três coleções de livros
didáticos dispostos à escolha de qualquer escola do ensino público. Dentre essas,
foram escolhidas para análise aquelas que mais trazem em seu conteúdo questões
do tipo a ser pesquisado, e é claro, será levado em consideração o perfil de cada
autor para que sejam analisados pontos de vistas distintos.
Ainda, para completar a bibliografia usada para análise, uma coleção de
provas das OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) e OBMEP (Olimpíada
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) foi analisada ainda com o propósito
de verificar a abordagem desse tipo de atividade no ensino regular.
Partindo desse princípio, o desenrolar desta pesquisa em específico começa
na avaliação e interpretação de textos que abordem a evolução histórica não só da
matemática como conteúdo em si, mas do ensino de matemática nos últimos
tempos, que é o assunto do primeiro capítulo deste trabalho.
A construção de todo o conhecimento matemático no processo de ensino
também é foco desta discussão, e no segundo capítulo deste trabalho discorro sobre
esse assunto.
No terceiro capítulo será feita uma discussão sobre estudos ligados às
didáticas abordadas no ensino de matemática. O mesmo será feito a partir da
14
análise de fontes que expõem métodos diferenciados propostos para sala de aula.
Malba Tahan, em sua postura dinâmica e desafiadora enquanto professor de
matemática é figura indispensável na discussão do mesmo.
No quarto e último capítulo desta pesquisa, foi feita a análise dos livros
didáticos e das avaliações de olimpíadas, e no final do capítulo em questão é
apresentada uma série de atividades que se enquadram no perfil analisado como
sugestão de aplicação em sala de aula. Atividades que servirão de recurso
alternativo para o professor.
Para encerrar, as considerações finais fazem um balanço geral de todo o
trabalho e todos os assuntos discutidos.
15
2. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A matemática no seu contexto traz consigo uma bagagem histórica de
grandes evoluções e conquistas, oriundas da dedicação praticamente exclusiva de
muitos matemáticos como Pitágoras e Platão. Essa evolução é claro, contou com as
percepções primitivas do homem, ao relacionar quantidades, ao criar seu próprio
sistema de contagem ou ao ser objeto direto na evolução do sistema de numeração,
a criação do zero e toda a base matemática explorada pelos primeiros povos para
sanar suas necessidades.
O princípio de toda essa história vem dos primeiros métodos criados para
contar quantidades. Os povos da época tinham como recurso auxiliar objetos do seu
cotidiano, marcas em objetos, ossos, desenhos em cavernas, cada uma com seu
formato e sua significação. Porém não era a única maneira criada de contagem. O
próprio corpo servia de referência comparativa entre as quantidades. Desde o dedo
mindinho da mão direita, percorrendo as demais partes do corpo (cotovelo, orelha,
boca, nariz, ombro...) até o mindinho da mão esquerda.
“As técnicas corporais (...) levaram nossos longínquos ancestrais a tomar
consciência da noção de ordem, falada a exercer um papel fundamental
tanto nas matemáticas quanto em qualquer ciência”. (IFRAH, G. 2001, p.
44).
O processo de operar também sofreu modificações: das técnicas de
multiplicações com os dedos das mãos, passando pelo manuseio de pedras até o
então conhecido ábaco. Este ainda é usado para representar adições e subtrações,
que são operações de mais simples manuseio. E como tudo que se é criado, o
ábaco também passou por várias adaptações e modelos, cada um referente a uma
determinada sociedade.
A evolução dos métodos de contar é extensa. “Boa parte do que hoje se
chama matemática deriva de ideias que originalmente estavam centradas nos
conceitos de número, grandeza e forma”. (BOYER, 2010, p.1). Vêm das
observações da natureza, percepções entre objetos e quantidades, entre um
elemento e um grupo de elementos. Assim nasce a matemática.
16
FIGURA 1 - Técnica de multiplicação com os dedos.
FONTE: (IFRAH, G. 2001, p. 95).
FIGURA 2 – A evolução do ábaco
À esquerda, primeiro ábaco romano. FONTE: (IFRAH, G. 2001, p. 121).
À direita, um modelo de Ábaco escolar do século XX. FONTE: UNIPAMPA
Tão extensa e incerta seja a história da evolução dos números, assim como
se faz a evolução da geometria, que veio do Egito, onde as redistribuições de
espaços de terras após as cheias do rio Nilo obrigavam esses povos a explorar
formas geométricas. Estas formas deveriam ser capazes de satisfazer as condições
de cada proprietário, cada um com seu espaço.
Como a sociedade ficou mais complexa, os conhecimentos adquiridos foram
se acumulando, sempre para satisfazer necessidades práticas do dia adia.
No século VI a.C., a Aritmética e a Geometria ganharam seu espaço e
pessoas como os seguidores de Pitágoras, os quais cunharam o termo "matemática"
a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do
esclarecimento". Eles eram postos a provas extremamente difíceis que lhes
17
avaliavam aptos a pertencer ao universo da evolução do conhecimento matemático
tendo o próprio Pitágoras como professor.
“Alguns choravam de raiva; outros, fora de si mesmos, partiam com furor a
ardósia, cobrindo de injúrias a escola, o mestre e os seus discípulos.
Pitágoras aparecia então e dizia, cheio de calma, ao moço, que tendo ele
suportado tão mal a prova do amor-próprio, lhe pedia para não voltar mais a
uma escola, de que fazia uma opinião tão má, e na qual a amizade e o
respeito do mestre deveriam constituir virtudes elementares. O candidato
expulso retirava-se envergonhado, tornando-se por vezes um inimigo
irredutível da ordem.” (SCHURÉ, 1986, p. 55).
Análogo a uma época não muito distante, Pitágoras representou aquele
professor detentor do conhecimento. Conhecimento que só poderia ser adquirido
pelo aluno realmente bom e que muito se esforçasse.
Dentre todos os ramos da matemática, a geometria foi quem mais sofreu
modificações de uma época para outra.
Na
álgebra,
o
século
dezenove
demarcou
suas características de
generalização abstrata e restrições. E mesmo assim percebia-se que a álgebra não
alcançara o rigor da geometria.
A
matemática
ganhava
forma
e
se
reforçava
nas
descobertas
e
aperfeiçoamentos do conhecimento em si. Foram inúmeros os colaboradores de
peso para que hoje se explore todos os segmentos que a mesma envolve. Da
criação de um sistema de numeração, até as conquistas mais recentes como a
Análise e o Cálculo.
“A matemática tem sido frequentemente comparada a uma árvore, pois
cresce numa estrutura acima da terra que se espalha e ramifica sempre
mais, ao passo que ao mesmo tempo suas raízes cada vez mais se
aprofundam e alargam, em busca de fundamentos sólidos.” (BOYER, 1996,
p. 414).
Essas conquistas vieram do trabalho de grandes matemáticos que usaram da
linguagem matemática de diferentes países em encontros nacionais e internacionais
para construírem uma teia de conhecimento e dispersá-lo pelo mundo.
2.1 O Ensino da Matemática no Brasil
A evolução de toda a matemática pura tem tanta importância no processo de
ensino aprendizagem como a história da educação matemática.
18
No Brasil, assim como todas as áreas do conhecimento a educação
matemática também sofreu modificações ao longo dos tempos. Diferentemente do
que muitos pensam ao afirmar que a matemática é a mesma desde sempre.
Essa mudança é facilmente notada ao se analisar, por exemplo, os livros
didáticos adotados num passado não tão distante do nosso.
Situando no tempo essa evolução, é importante lembrar a promulgação da
primeira legislação nacional para a educação em todo o Brasil – a chamada Reforma
Francisco Campos,1 em 1931. Até aqui, os conteúdos eram trabalhados
distintamente em Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria, distribuídas ao
longo dos anos de escolarização, conduzidos por professores diferentes e guiados
por materiais didáticos também diferentes.
Quando essa Reforma se difunde, as ideias do movimento modernizador
trazem consigo mais mudanças. A partir de agora, não se distinguiam as disciplinas.
Os conhecimentos aritméticos, algébricos e geométricos passam a figurar em uma
única, a Matemática.
O movimento da matemática moderna ganhou força nas décadas de 1960 e
1970 provocando uma mudança radical na abordagem dos conteúdos. Ela trouxe
uma preocupação em fundamentar e estruturar os conceitos estudados. E a partir da
primeira metade da década de 60 aconteceu a publicação dos primeiros livros
didáticos fundamentados na nova orientação defendida pelo movimento.
“Preocupando-se, assim, a Matemática atual, muito menos com a natureza
dos elementos que estuda (números, letras, polinômios, pontos...) e muito
mais com o tipo de estrutura que caracteriza as relações existentes entre
esses elementos – que aparentemente pareciam não estar subordinados a
relação alguma – é fundamental que a Escola Secundária de hoje transmita
aos seus jovens alunos as verdadeiras mensagens de que é portadora a
chamada Matemática Moderna” (SANGIORGI, 1965, p. 4).
Como era de se esperar, esse movimento também foi muito criticado,
inclusive por aqueles que apoiavam a introdução do mesmo no Brasil, questionando
a ênfase da matemática técnica e o abandono das relações matemáticas do
quotidiano.
1
Primeira reforma educacional de caráter nacional, realizada pelo então Ministro da Educação e
Saúde Francisco Campos (1931) que deu uma estrutura orgânica ao ensino secundário, comercial e
superior, estabelecendo definitivamente o currículo seriado, a frequência obrigatória, o ensino em
ciclos.
19
A partir de 1980, um grupo de educadores fundou a Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM) e a partir de então começaram a criar propostas que
melhorassem o ensino da matemática no país.
Dentre alguns recursos adotados no país, destaco os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs), que até então vem norteando as políticas educacionais, inclusive
aquelas relacionadas ao livro didático.
“Os Parâmetros Curriculares Nacionais foram elaborados procurando, de
um lado, respeitar diversidades regionais, culturais, políticas existentes no
país e, de outro, considerar a necessidade de construir referências
nacionais comuns ao processo educativo em todas as regiões brasileiras.
Com isso, pretende-se criar condições, nas escolas, que permitam aos
nossos jovens ter acesso ao conjunto de conhecimentos socialmente
elaborados e reconhecidos como necessários ao exercício da cidadania.”
(PCN, 1998, p.4).
É fato que toda essa evolução, tanto da matemática enquanto conteúdo
quanto do processo de didática matemática, não aconteceu por acaso. À medida
que apareciam novas dificuldades na educação em si, essas mudanças iam
acontecendo. As evoluções dos currículos e dos livros didáticos refletem que, o que
encontramos hoje para aplicação e estudo em sala de aula foi fruto de uma
necessidade reconhecida para a educação matemática.
Em um contexto mais específico, destaco a criação de um importante
documento que serve de base para todo o currículo não só de matemática quanto de
todos os conteúdos em todas as fases de ensino, o Currículo Básico Comum (CBC).
O CBC foi uma proposta da Secretária de Educação do Estado de Minas
Gerais, como recurso didático para o professor. Segundo Vanessa Guimarães Pinto,
os CBCs:
“Expressam os aspectos fundamentais de cada disciplina, que não podem
deixar de ser ensinados e que o aluno não pode deixar de aprender. Ao
mesmo tempo, estão indicadas as habilidades e competência que ele não
pode deixar de adquirir e desenvolver” (CBC, 2007, p. 9).
Seu objetivo maior é a padronização na distribuição curricular dos conteúdos,
a fim de reduzir as diferenças existem de uma região para outra dentro do próprio
Estado.
Dentre todos os recursos ligados à educação, o CBC é o mais recente deles e
é mais uma das evidências das constantes mudanças na educação geral brasileira.
20
Diante do esboço apresentado sobre a história da matemática e um pequeno
relato acerca da evolução de seu ensino no Brasil, é hora de investigar e refletir um
pouco sobre o processo de construção desse conhecimento.
21
3. A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Quando o assunto é o ambiente escolar, inúmeros fatores externos devem ser
levados em consideração ao formar uma ideia: fatores culturais, econômicos,
históricos, políticos, pedagógicos, etc. Além dos diversos pontos de vista, do
professor, do aluno, da comunidade escolar e da própria construção do saber.
A escola passa por mudanças constantes. Mudanças externas, provenientes
de um órgão maior em prol de um melhor aproveitamento escolar (e aqui cito o PCN
e o CBC criados como recurso para melhoria do ensino), e mudanças internas, na
busca de sanar problemas administrativos ou conter comportamentos inapropriados
dos alunos.
Porém, quando se fala em mudanças no processo pedagógico de ensino não
se pode deixar de mencionar a postura da escola ao transmitir o conhecimento ao
aluno pela pessoa do professor.
A tradicional ideia de que o professor é detentor do conhecimento e que o
aluno é simplesmente reprodutor daquilo que o docente transmite vem sofrendo
suas transformações. As tecnologias e toda a informação disponível ao aluno
fizeram com que houvesse uma universalização de conhecimentos. Professor e
aluno trocam saberes, tirando o aluno da postura passiva de uma sala de aula e
colocando-o como parte fundamental do processo de ensino.
“Busca-se uma nova escola, onde professor/aluno e aluno/aluno, num
processo de interação constante, privilegiam o diálogo, o questionamento, a
crítica, a criatividade, o aprender a ser e o aprender a fazer, numa intensa
preocupação com a formação integral do homem, promovendo uma relação
igualitária entre o pensar e o sentir.” (DUARTE, 2004).
Quanto à educação matemática e o processo professor-aluno-saber
matemático, hoje há inúmeros estudos feitos sobre essa evolução na busca do ideal
a ser adotado.
Fiorentini (1995) descreve algumas categorias para educação matemática no
Brasil: a concepção do modo como se dá a obtenção/produção do conhecimento
matemático; as concepções de ensino e de aprendizagem; a relação professor-aluno
e a perspectiva de estudo/pesquisa visando à melhoria do ensino da matemática,
etc. e a partir disso discute tendências criadas e alimentadas pela prática quotidiana
na tentativa do homem de compreender e atuar em seu mundo.
22
Essas tendências discutidas por Fiorentini caracterizam o desenrolar da
concepção de como se adquirir o conhecimento matemático através dos tempos.
Cada uma correspondente a uma época e com foco em um aspecto particular.
A tendência formalista clássica é marcada por um ensino estritamente
técnico, baseado nas repetições e memorizações rigorosas, e que na grande maioria
das vezes era destinada apenas à classe dominante. Às classes menos favorecidas
era destinado o ensino de cálculo, e em ambas as situações o professor era
personagem central da transmissão do conhecimento. A repetição exaustiva leva a
fixação do conteúdo pelo aluno, mas sem nenhum conhecimento matemático
fundamentado.
“Esses pressupostos didáticos são compatíveis com a concepção platônica,
pois se os conhecimentos preexistem e não são construídos ou
inventados/produzidos pelo homem, então bastaria ao professor “passar” ou
“dar” aos alunos os conteúdos prontos e acabados, que já foram
descobertos (...). O papel do aluno nesse contexto seria o de “copiar”,
“repetir”, “reter”, e “devolver” nas provas do mesmo modo que “recebeu”.”
(FIORENTINI, 1995, p.7).
Para combater as ideias formalistas uma pedagogia empírico-ativista foi
criada com o propósito de mudar a mentalidade do aluno, deixando as técnicas e
repetições de lado e centrando o conhecimento na figura do aluno, colocando-o em
contato com atividades que possa “aprender fazendo”. O professor deixa de ser
principal elemento do ensino e passa a ser facilitador da aprendizagem.
A tendência formalista moderna muda tudo que havia sido proposto até
então. A partir de agora o conhecimento se dava com base no formalismo
matemático, porém sustentado por estruturas matemáticas lógicas. “Enfatizava-se o
uso preciso da linguagem matemática, o rigor e as justificativas das transformações
algébricas através das propriedades estruturais” (FIORENTINI, 1995, p. 14). Mas
ainda se mantinha a preocupação com as relações professor-aluno, o que se faz
manter as mudanças no ensino-aprendizado.
Quando se trata da tendência tecnicista remete-se a um ensino que se
preocupa mais com a memorização do que com o aprendizado. Esse método
capacita o aluno para as resoluções de problemas-padrão e exercícios, explorando
formulações e construções de modelos matemáticos, mas sem nenhuma justificativa
ou dedução. Nessa tendência, nem aluno nem professor são focos do aprendizado,
mas sim os recursos e técnicas que garantem a execução de um problema.
23
A formação do aluno com uma maior preocupação no processo do que no
resultado final da aprendizagem é foco da tendência construtivista, que substitui a
prática mecânica por uma que se estruture em um pensamento lógico-matemático.
“... O importante não é aprender isto ou aquilo, mas sim aprender a aprender e
desenvolver o pensamento lógico-formal”. (FIORENTINI, 1995, p.21).
A tendência sociocultural surge no intuito de justificar o fracasso no ensino
da matemática. Seu objetivo era ligar o conhecimento do aluno a sua realidade para
que existisse uma relação direta na construção do pensamento formal. Como
didática adotada nesse processo de ensino foi enfatizado o trabalho com resolução
de problemas e abordagens investigativas.
“(...) o conhecimento matemático deixa de ser visto, como faziam as
tendências formalistas, como conhecimento pronto, acabado e isolado do
mundo. Ao contrário, passa a ser visto como um saber prático relativo, nãouniversal e dinâmico.” (FIORENTINI, 1995,p. 26)
A construção do conhecimento matemático está diretamente ligada à prática
adotada pelo professor e à postura adotada pela escola. Considerando todo
processo de aquisição do conhecimento fica fácil idealizar uma escola onde o
aprender estaria ligado com o fazer, despertando e motivando o aluno a solucionar
desafios, a construir seu próprio saber.
O papel do professor nesse processo deve ser o de estimular o
conhecimento, conduzindo o aluno a pensar, a ir além do que lhe é proposto, a
descobrir novidades que mudem o seu próprio meio.
Em meio às mudanças e diferentes tendências já abordadas fica fácil fazer
um balanço de toda a evolução do ensino da matemática. Partimos das
memorizações e aplicações de técnicas ao conhecimento construído pelo aluno. Do
professor como detentor do conhecimento ao professor facilitador da aprendizagem.
Do aluno unicamente receptivo ao aluno que discute, cria e aplica o que se aprende.
3.1 Metodologia de Ensino da Matemática
O processo de ensinar matemática vai muito além do domínio de conteúdo
adquirido pelo professor durante sua formação. Ele depende, não só desse domínio,
mas de todo um planejamento bem estruturado que alcance se não todos, a maioria
do seu público-alvo. Em sala de aula, por exemplo, esse planejamento exige do
24
professor uma série de fatores que sejam favoráveis ao aprendizado dos alunos. A
criatividade e o seu empenho no processo de ensino aprendizado são fatores
indispensáveis para se obter um resultado satisfatório.
Um dos aspectos a serem considerados quando se trata do ensino da
matemática é a visão depositada sobre o conteúdo, taxado como inalterável, capaz
de ser absorvido apenas por aqueles alunos com mais facilidade, ditos mais
inteligentes tendo em vista seus sucessos na disciplina.
O desgosto pela disciplina é outro aspecto importante relacionado ao
aprendizado. O aluno já não tem mais motivação para buscar soluções de
problemas, já que não consegue relacionar o seu conhecimento matemático
concreto com o que lhe é proposto em sala de aula. Isso o decepciona e o coloca
numa posição de descaso, esperando que a melhor saída venha das estratégias
sugeridas pelo professor. E é por comportamentos assim que, infelizmente, os
professores “medem” a capacidade dos alunos.
“Cabe, então, ao professor propor-lhe situações problematizadas: elas lhes
permitirão vivenciar experiências que complementam e tornam mais
complexo o seu conhecimento anterior sobre os conceitos e propriedades
envolvidos nos temas abordados. Desse modo, a criança irá estabelecer
relações entre os diversos aspectos de uma mesma noção e poderá
adquirir, de maneira significativa, a linguagem matemática.” (CARVALHO,
D. L., 1994, p. 20).
As estratégias criadas por cada profissional buscam um bem comum. Entre
elas devem se encontrar situações que gerem discussões produtivas sobre
determinado
conteúdo.
Discussões
que
conduzam
ao
conhecimento,
a
aprendizagem. Devem encontrar problemas mais complexos do que aqueles que os
alunos estão habituados a resolver, mas que tenham ligação direta com o seu dia a
dia, para que encontrem fundamento no objeto estudado.
Segundo Lucchesi:
“Uma oficina se caracteriza por colocar o aluno diante de uma situaçãoproblema cuja abordagem o leve a construir o seu conhecimento. É
desejável que a situação desencadeadora seja suficientemente rica e aberta
de maneira que o próprio grupo-classe possa levantar inúmeros problemas
cuja resolução permita abordar, no sentido amplo, os conteúdos que se
deseja estudar.” (CARVALHO, D. L., 1994, p. 24).
25
Como tudo na matemática, principalmente o que é novo precisa ter
fundamento, saber de onde veio e para que serve. Quando usar e o porquê usar de
certos artifícios.
A linguagem matemática é um bom exemplo disso. Toda a estrutura simbólica
do conteúdo precisa ser bem trabalhada, só que de maneira produtiva, lógica.
Ensinada quando se deve ensinar. Fundamentada naquilo que é realmente
importante e tudo isso compatível com sua série de escolarização. De nada adianta
ensinar um tópico para o aluno que não vai servir de nada naquele momento da sua
aprendizagem.
A comunicação matemática está entre os principais objetivos do aprendizado.
Saber interpretar, descrever e representar resultados, discutindo-os é uma forma de
compreender o mundo. Ainda mais quando isso depende diretamente de toda a
simbologia particular que o conteúdo impõe.
Outro exemplo é o cálculo mental, que sendo bem trabalhado, na faixa etária
ideal e fundamentado numa técnica já de domínio de todos é uma arma aliada do
professor e um espaço importante no currículo de um aluno no caminhar
matemático. É imprescindível saber usar esse recurso de maneira que o aluno saiba
relacionar o problema proposto com a melhor técnica de resolução, seja mental ou
não. Sabendo distinguir memorização de cálculo mental, apesar de um ser
totalmente dependente do outro.
“O professor deve, sempre que possível e oportuno, enfatizar as
características da linguagem matemática, a natureza das técnicas
operatórias e do cálculo mental, bem como a resolução de problemas.
Mesmo que a constante retomada desses temas pareça repetitiva, em cada
nova situação os alunos poderão identificar novos detalhes que lhes
passaram despercebidos na primeira abordagem da questão.”
(CARVALHO, D. L., 1994, p. 77).
Fazendo uma alusão à história da matemática, abro um parêntese no assunto
para destacar o papel de um grande personagem no quesito “didática matemática” já
presenciado: Júlio César de Mello e Souza.
Júlio César de Mello e Souza nasceu no Rio de Janeiro, em 6 de maio de
1895, faleceu em Recife, em 18 de junho de 1974 e comemorando o centenário do
nascimento de Mello e Souza, a Assembleia Legislativa do Rio de Janeiro criou
o Dia do matemático (ou Dia da matemática), a ser celebrado todos os 6 de maio.
26
Com o intuito de ser notado enquanto escritor de contos árabes, Júlio César
criou um pseudônimo conhecido como Ali IezidIzz-EduimIbn Salim HankMalba
Tahan, ou simplesmente Malba Tahan. (1885 - 1921).
Em suas aventuras, Malba Tahan sempre acabava envolvendo-se com algum
engenhoso problema matemático, que resolvia magistralmente.
Enquanto professor, Júlio César destacou-se por sua postura crítica quanto
aos métodos de ensino ultrapassados adotados ao ensinar matemática. Com sua
didática, fazia uso de recursos que aprimoravam o ensino-aprendizado do conteúdo.
Só nos dias de hoje ele tem seu devido reconhecimento. Quanto às posturas
didáticas, foi o primeiro:

A usar a história da matemática como recurso didático;

A defender um ensino baseado na resolução de problemas não mecânicos;

A explorar atividades recreativas e o uso se material concreto para ensinar
Matemática.
Ainda sobre as metodologias de ensino é importante ressaltar algumas
propostas pedagógicas que influenciam diretamente no processo de aprendizagem.
Propostas que se fundamentam em recursos diferenciados como o uso de material
concreto, jogos ou tecnologias em sala de aula.
Todo o conhecimento matemático adquirido no processo de escolarização
deve, sem dúvida, ser bem estruturado desde as séries iniciais do fundamental.
Como alternativa didática para crianças deficientes com essa faixa etária,
Maria Montessori (1870-1952), devido sua formação médica e sua opção em
trabalhar com esse público, criou o conhecido material dourado, no intuito de
estimular as tarefas diárias e exercitar atividades motoras. O sucesso dessa
proposta foi tão rápido que logo em seguida o mesmo recurso foi introduzido às
crianças ditas “normais” e usada em muitas séries de ensino.
O material das contas douradas como era inicialmente conhecido auxilia o
ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal posicional e dos
métodos para efetuar os algoritmos fundamentais. As operações são feitas no
concreto o que facilita a compreensão e torna o aprendizado mais agradável.
Neste material, os números são formas geométricas, nas quais as unidades
são contas amarelas, as dezenas são barras formadas por dez contas. As centenas
são formadas pela junção de dez barras iguais as anteriores, formando um quadrado
27
que soma cem unidades. Dez quadrados juntos formam um cubo que totaliza mil
unidades.
FIGURA 3 – Operações com Material Dourado
FONTE: Casa da Matemática
Dentre os muitos métodos adotados pelos professores para alcançarem os
objetivos dentro de sala de aula, um dos mais importantes e mais explorados são os
jogos. O jogo desperta no aluno a capacidade de entender e respeitar regras, criar
estratégias, trabalha o raciocínio lógico e desperta o gosto pela disciplina de maneira
natural, sem imposições.
“No jogo, mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado,
desenvolve-se o autoconhecimento — até onde se pode chegar — e o
conhecimento dos outros — o que se pode esperar e em que
circunstâncias.” (PCN, 1997, p. 66).
O jogo deve ser usado para completar as atividades produzidas na sala de
aula. Assim como toda atividade, os jogos devem ter relação direta com o conteúdo
trabalhado e claro, estar no nível da turma, além de ser tão bem preparado, ou
melhor, que uma atividade fixativa habitual. Deve ser algo desafiador, que estimule o
aluno a participar.
Dentre os cuidados com esse método, o professor tem de estabelecer
criteriosamente os objetivos do mesmo e as possíveis dúvidas dos alunos durante
sua realização, evitando contratempos e aproveitando ao máximo o tempo da
atividade para a aprendizagem.
Segundo Borin:
28
“Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos
alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendêla. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a
motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos
falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes
mais positivas frente a seus processos de aprendizagem.” (BORIN, 1996,
p.9).
Além da aprendizagem, o jogo proporciona ao aluno o trabalho em equipe e a
cooperação, uma vez que a maioria dessas atividades é realizada em duplas ou
grupos.
Para o professor, os jogos são recursos que apontam com facilidade os
alunos com maior dificuldade, os conteúdos melhor absorvidos e os pontos que
ainda precisam ser mais bem trabalhados. Além disso, é a oportunidade do
professor vincular toda a teoria da sala de aula com a prática.
O material concreto, ou o uso de jogos tem papel fundamental na
aprendizagem matemática quando bem explorados, assim como a calculadora, e
toda a tecnologia disponível voltada à educação.
A calculadora em si é um
instrumento investigativo de grande utilidade nas aulas de matemática, claro,
quando bem trabalhado.
A calculadora faz parte do cotidiano de qualquer pessoa. Seria inútil proibir
seu uso na realização de alguma tarefa em sala de aula, sendo que o aluno tem
acesso a esse recurso fora da escola, e logicamente faz uso do mesmo. O cuidado
está em saber usar a calculadora.
Dentre as vantagens do uso da calculadora estão a praticidade e a rapidez na
realização de cálculos extensos, a interpretação crítica de resultados, a percepção
de regularidades e de conceitos como os de número (inteiro, decimal, racional,
irracional...), sucessão, série, médias, arredondamentos e aproximações, etc.
Calculadoras científicas ainda possibilitam o trabalho de funções exponenciais e
logarítmicas e com a notação científica.
“Além disso, ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o
aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis
na sociedade contemporânea. A calculadora é também um recurso para
verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso
instrumento de auto avaliação.” (PCN, 1997, p.34).
29
O papel do professor ao adotar esse recurso é estar atento ao “comodismo”,
principalmente por parte dos menores, uma vez que se acostumam ao uso da
calculadora e se esquecem do quão importante é o raciocínio por detrás da mesma.
Outro cuidado é o de usar esse recurso só mesmo ao perceber que toda a turma
domina o conteúdo-base para a realização das tarefas. Aí sim, a calculadora entra
no quesito praticidade, tornando as aulas mais dinâmicas, mais críticas e com um
melhor aproveitamento do tempo destinado a essas atividades. Não como
prioridade, mas como instrumento auxiliar.
A calculadora se enquadra nas diversas tecnologias disponíveis em favor da
didática matemática. Além dela, hoje temos vários softwares específicos de diversas
áreas do conhecimento matemático. Desde a interpretação de operações com
frações, por exemplo, até a construção dos mais diversos tipos de gráficos.
Toda essa tecnologia é aliada do professor ao permitir que o aluno tenha
contato com as facilidades do computador. Uma vez que a absorção do conteúdo,
interpretação dos detalhes e ainda a discussão dos mesmos enriquecem o
aprendizado. Porém, com os mesmos cuidados da calculadora.
Uma aula baseada em recursos tecnológicos, investigativa ou não, só deve
ser trabalhada quando o aluno já é capaz de, sozinho, fazer todas as interpretações
pertinentes a um determinado assunto. Como a calculadora, o computador e os
diversos softwares matemáticos entram para facilitar e enriquecer as aulas, tornando
os alunos auto avaliadores e perceptíveis à construção do seu próprio
conhecimento.
“O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino
(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de
aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O
trabalho com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus
erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e
comparando-as.” (PCN, 1997, p. 35).
Ainda é importante ressaltar a contextualização matemática como recurso
didático. Vista como peça chave na construção do conhecimento matemático, a
contextualização tem papel importante na caminhada de um aluno. A partir dela é
possível interagir grande parte dos conteúdos trabalhados em sala de aula com a
rotina dos alunos.
A contextualização, associada à interdisciplinaridade, é tida como a
esperança da revolução no ensino. Para o PCN, a contextualização tem como
30
característica fundamental o relacionamento direto do conteúdo com o aluno. Uma
vez que ao trabalhá-lo de forma contextualizada, o aluno sai da postura de
expectador passivo e passa a interagir com o meio posto em discussão, podendo
ser sujeito no contexto estudado.
Como qualquer recurso adotado pelo professor, a contextualização também
tem seus cuidados. É interessante que sejam criados contextos amplos, não
artificiais e forçados, e que não se relacionem somente com o cotidiano do aluno,
mas que sejam abrangentes ao mundo social. A contextualização estimula a
criatividade do aluno e a curiosidade, facilitando o caminhar do aprendizado.
Uma alternativa de contextualização é o uso da história da matemática no
contexto escolar. O professor tem a oportunidade de estabelecer uma relação com o
passado, comparando e fundamentando o presente através do tempo.
A introdução da história da matemática pura como recurso metodológico vai
muito além de um artifício para chamar a atenção ou despertar o interesse do aluno.
Ela dá ao professor a oportunidade de enriquecer o seu conteúdo e torná-lo mais
sofisticado quanto a sua apresentação, fundamentar e reforçar seus argumentos.
“Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer
ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente
para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a
constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.”
(PCN, 1997, p.34).
O aprendizado é mais bem adquirido quando se conhecem as origens do que
foi tomado como objeto de estudo. Essa contextualização nos dá base para
discutirmos um dos mais importantes recursos metodológicos abordados em sala de
aula: a resolução de problemas.
“Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma
sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não
está disponível de início, mas é possível construí-la” (PCN, 1998, p.41).
O grande déficit da maioria alunos nesse tipo de atividade vem justamente da
dificuldade absurda em interpretar textos. Já que o desempenho em atividades que
não dependem da compreensão do seu enunciado é relativamente melhor.
Essa dificuldade torna os alunos cada vez mais dependentes da intervenção
do professor para se “decifrar” o que o problema quer dizer. “Mas o que é pra
fazer?”. “Estou fazendo certo?”. “Este problema é uma equação do primeiro ou do
31
segundo grau?”. “É pra usar subtração, multiplicação ou divisão?”. “A resposta é 9?”.
Esse tipo de pergunta é comum nas aulas que envolvem atividades com essas
características, mas que deve ser administrada pelo professor com o cuidado de não
entregar respostas, pois, do contrário, o problema já estará resolvido e o aluno não
pensará mais nele, passando a executar as contas rápida e automaticamente.
O relato de muitos professores a respeito desse assunto mostra o quão
particular e importante são as didáticas abordadas para se conduzir uma aula cujo
foco é a resolução de problemas:
“No universo matemático, a concepção de leitura é algo simples, porém,
não óbvio. Na maior parte dos textos matemáticos, a leitura solicitada é
sempre concisa, associada a instruções, a comandos, a situações-problema
e a símbolos específicos. Essa leitura, em geral muito ‘técnica’, pode ser
mediada pelo professor (...). O professor deve dar o ‘empurrão’ inicial, mas
o objetivo é obter a autonomia do leitor, mostrar caminhos, apontar direções
para que ele possa trilhá-los sozinho.” - Professora Eliete de Moraes
Andrade-. (Referencial de expectativas para o desenvolvimento da
competência leitora e escritora no ciclo ll do ensino fundamental, 2006,
p.17-18).
O papel do professor ao abordar essa técnica de resolução é criar situações
interessantes que despertem a curiosidade e a vontade de se chegar a uma
resposta. E, claro, explorar as diversas formas de resolução apresentadas pelos
alunos e discuti-las para que todos tomem conhecimento das mesmas,
enriquecendo assim o processo de aprendizado.
O trabalho do professor com as tentativas e erros dos alunos é de grande
valor, tanto para os próprios alunos, uma vez que se pode enxergar um leque de
situações cabíveis ou não para cada proposta, quanto para o professor, já que ele
consegue ter uma visão mais ampla de todo o processo usado pelos alunos na
resolução das atividades e consegue com isso dar um diagnóstico geral ou ainda
explorar novas formas de resolução para uma mesma situação.
“(...) não existe “aula” de resolução de problemas e sim situações de ensino
onde, a partir de pesquisa sobre problemas emergentes ou de propostas
problematizadoras, é elaborado o conhecimento matemático, e essa
elaboração suscita novos problemas.” (CARVALHO, D. L., 1994, p. 82).
Um aspecto importante a ser considerado ao se trabalhar esse tipo de
atividade é o conhecimento prévio do aluno sobre o problema proposto. O cuidado
de selecionar problemas que se encaixem nas condições de resolução dos
32
estudantes é de fundamental importância, caso contrário, pode-se assim alimentar o
sentimento que lhe causa aversão à matemática.
Esse tipo de trabalho deve ser iniciado logo nos primeiros anos da
escolarização dos alunos, para que se crie o envolvimento desses com a linguagem
matemática e se habituem a resolver situações problemas. Contudo, mais tarde,
esses alunos se sentirão capazes de entender, criar e criticar estratégias mais
elaboradas, que sejam pertinentes às séries de escolarização mais avançadas e que
exigem mais desses alunos.
Polya aponta algumas vantagens em usar a resolução de problemas como
recurso metodológico:
“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode
ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as
faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios,
experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais,
numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e
deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.” (POLYA, 1995,
p. 5).
Despertar o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, já que
obstáculos, como os erros, são constantes nesse processo, o que desestimula
qualquer aluno com um pouco mais de dificuldade.
É importante ressaltar que não existe receita para se trabalhar resolução de
problemas. Não existe método ou fórmula a seguir. O que realmente implica no
sucesso dessas atividades é o trabalho realizado em cada turma considerando a
habilidade particular dos alunos que compõem o grupo, suas limitações e os
objetivos a serem alcançados.
Além de todo o trabalho desenvolvido pelo professor no processo de conduzir
o aprendizado dos alunos por um caminho que os levem a construção de um
conhecimento mais concreto, é importante que ele instigue o aluno a expor seu
raciocínio. Que dê oportunidade aos alunos de explicarem à turma os métodos
usados nas suas resoluções. O aluno deve ser capaz de se auto avaliar e transmitir
de maneira clara o seu raciocínio.
“(...) o professor deixa de ser o centralizador da avaliação, abrindo espaço
para que o aluno participe do julgamento da exatidão dos seus
procedimentos e das suas conclusões. Colocada dessa forma, a avaliação é
uma dimensão que se integra em todos os momentos ao processo de
produção de conhecimento.” (CARVALHO, D. L., 1994, p. 111).
33
O aluno aprende adaptando-se às dificuldades e desequilíbrios. Essa
adaptação resulta em respostas que por sua vez são reflexos da aprendizagem.
Diante de toda a discussão apresentada sobre a construção do pensamento
matemático e as ferramentas que temos em mãos para esse trabalho, que acredito
ser a resolução de problemas o pilar de todo desenvolvimento matemático.
Apresento agora uma discussão sobre problemas ligados a curiosidades
matemáticas com o intuito de proporcionar uma empatia do educando pela
disciplina, motivando-o para sua aprendizagem.
34
4. CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Até então este trabalho teve como propósito situar no tempo e na história toda
a prática do ensino da matemática. Enumerar as diversas mudanças que
aconteceram nas políticas educativas na tentativa de melhorar o ensino da
matemática no Brasil e ainda, quis mostrar e discutir diferentes metodologias de
ensino adotadas como recurso didático para alcançar os objetivos da aprendizagem
de uma sala de aula, tornando o processo de ensino-aprendizagem menos
cansativo, técnico e abstrato, e com isso proporcionando ao aluno uma melhor
absorção dos conteúdos básicos por ele adquiridos.
A partir de agora apresentarei uma alternativa em recurso didático um tanto
particular, que é o enfoque de todo esse trabalho. Aqui, algumas curiosidades sobre
o conteúdo de matemática servirão como sugestão de atividades a serem aplicadas
em sala de aula no intuito de alcançar o mesmo objetivo já citado anteriormente:
auxiliar o aprendizado e/ou despertar o gosto pela disciplina.
Para Borin (2004, p. 9), recursos como esse nas aulas de matemática “é a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que
temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.”.Antes de
enumerar essas curiosidades é importante ressaltar que muitas dessas sugestões
foram fundamentadas com a análise de livros didáticos adotados nas séries finais do
Ensino Fundamental de escolas da rede pública. Dentre as coleções analisadas
estão:

Tudo é Matemática, de Luiz Roberto Dante.

Matemática, de Edwaldo Bianchini.

Matemática, de Antônio Lopes Bigode.
Ao analisar estas coleções, o objetivo era quantificar as atividades que se
enquadravam no perfil de curiosidades de todo o conhecimento matemático ou
desafios interessantes que poderiam despertar a curiosidade em um aluno com os
princípios fundamentados em algum conteúdo.
O objetivo desta análise foi verificar se os autores de livros didáticos exploram
esse tipo de atividade e se exploram como elas são abordadas.
Além das coleções, apresento aqui os resultados da análise de algumas
avaliações de Olimpíadas de Matemática, tanto das Olimpíadas Brasileiras de
35
Matemática (OBM), quanto das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das escolas
Públicas (OBMEP), primeira e segunda fases, dos níveis 1 e 2 (correspondentes às
séries finais do Ensino Fundamental), desde 2009 até o ano em questão, uma vez
que essas provas são exemplos concretos de documentos que trazem questões do
com algum tipo de curiosidade.
4.1 Análise dos livros didáticos
A primeira coleção analisada foi Tudo é Matemática, de Luiz Roberto Dante,
para as séries finais do ensino fundamental (5ª a 8ª série). A obra contempla todos
os conteúdos de Matemática para esse nível de ensino, distribuídos em cinco eixos
temáticos: Números e Operações, Espaço e Forma, Álgebra e Tratamento de dados.
A obra é apresentada em quatro volumes, um para cada série, e esses
volumes são fragmentados em capítulos que, intercalados, apresentam todo o
conteúdo pertinente a sua série, organizados em subtemas.
Cada capítulo é introduzido com uma situação problema ou atividade que
contextualize o assunto a ser trabalhado. Ao longo do mesmo são apresentadas
pequenas seções que trazem curiosidades relacionadas ao conteúdo, desafios e
sugestões de atividades para verificação da aprendizagem como revisão. O
encerramento dos capítulos se faz com a seção Ler, Pensar e Divertir-se, que traz
um texto com curiosidades ou histórias sobre o conteúdo, um desafio e uma
atividade recreativa. Ao final de cada volume encontram-se as repostas dos
exercícios, um glossário e sugestões de leituras complementares.
A obra foi aprovada pelo Ministério da Educação (MEC) - por meio do Guia
dos Livros didáticos - PNLD de 2008.
De acordo com a avaliação da obra a utilização desta coleção em sala de
aula, requer um bom planejamento.
“As atividades propostas requerem, com frequência, a utilização de
materiais didáticos: papel quadriculado, régua, compasso, esquadro,
calculadora, embalagens, entre outros. No seu planejamento pedagógico, o
professor precisa prever o uso desses recursos”. (PNLD, 2007, p. 67)
Ao quantificar as atividades que relacionam qualquer tipo de curiosidade
nesta obra cheguei ao seguinte resultado:
36
Tabela 1 - Coleção 1
Ano
5ª série
6ª série
7ª série
8ª série
Total:
Quantidade.
14
10
9
6
39
Fonte: Tudo é Matemática. DANTE, Luiz Roberto. 2005
Pelos resultados obtidos percebe-se uma concentração maior de atividades
neste formato nas primeiras séries desse ciclo. No volume referente à 5ª série é
onde encontramos a maioria delas.
A segunda coleção analisada foi Matemática, de Edwaldo Bianchini,
destinada também às séries finais do ensino fundamental. Esta obra já se apresenta
com uma nova formatação: 6° ao 9° ano.·.
Cada volume foi dividido em capítulos que, aleatoriamente contemplam todos
os eixos da matemática. A apresentação dos capítulos é feita com vários recursos,
como textos ou situações ou imagens do dia a dia, histórias da matemática, etc.
No decorrer dos capítulos são apresentadas atividades de aplicação,
exploração e de aprofundamento, organizadas segundo o nível de dificuldade:
Exercícios Propostos e Exercícios Complementares. E ainda, são encontradas
seções que trazem curiosidades, histórias e atividades diversificadas para
complementar o aprendizado. Para saber mais..., Pense mais um pouco e
Diversificando são essas sessões. Ao final de cada volume são apresentadas as
respostas dos exercícios complementares.
A coleção foi aprovada pelo MEC - por meio do Guia dos Livros didáticos PNLD de 2011.
Sobre a utilização desta obra em sala de aula, o PNLD (2011) diz:
“Como é grande a quantidade de assuntos e de exercícios tratados na
coleção, será conveniente que o professor selecionar os prioritários para
serem estudados no tempo escolar disponível (...). As seções (...)
proporcionam momentos de ampliação do conhecimento pelo uso de
algumas aplicações ou de aprofundamentos de tópicos do capítulo.” (PNLD,
2010, p. 40).
Ao quantificar as atividades relacionadas a qualquer curiosidade do conteúdo,
cheguei ao seguinte resultado:
37
Tabela 2 - Coleção 2
Ano
6º ano
7º ano
8ºano
9º ano
Total:
Quantidade.
5
3
3
1
12
Fonte: Matemática. BIANCHINI, Edwaldo. 2006
Nesta coleção a quantidade de atividades com a característica observada é
mais reduzida, e ainda se mantém a mesma particularidade da coleção anterior, a
maior quantidade dessas atividades é encontrada no volume referente ao 6º ano.
A terceira coleção analisada foi Matemática, de Antônio Lopes Bigode,
também dividida em quatro volumes (de 6º ao 9º ano do ensino fundamental).
Cada volume foi dividido em capítulos que abrangem todo o conteúdo
específico para cada etapa do ensino. Os capítulos desses volumes são introduzidos
com um texto ou imagem que fazem referência ao assunto a ser tratado
Ao longo do capítulo são apresentadas seções que estimulam a leitura, a
pesquisa, curiosidades e discussão dos assuntos apresentados no capítulo. Para
conhecer mais, Vamos Pesquisar, Na Rede e Trocando Ideias são algumas dessas
sessões.
Ao final de cada volume são encontradas as respostas dos exercícios. E no
manual do professor há um apoio ao trabalho do professor com textos sugestivos e
propostas didáticas para sala de aula.
A coleção em questão tem aprovação do MEC - por meio do Guia dos Livros
didáticos - PNLD de 2014. Ou seja, é uma coleção que ainda será trabalhada.
Segundo o PNLD (2014), sobre a adoção dessa coleção em sala de aula:
“A coleção adota a metodologia de incentivar o aluno a realizar a construção
dos conceitos. Com isso, e preciso que o professor fique atento ao
momento certo de realizar as sistematizações necessárias. Ao longo da
coleção os temas são retomados, sempre com ampliação e aprofundamento
das discussões, tanto do ponto de vista conceitual quanto das aplicações à
resolução de problemas reais. Isso implica a necessidade de não esgotar
completamente os temas de uma única vez, o que demanda certa vigilância
por parte do professor.” (PNLD, 2013, p. 87).
A análise desta coleção resultou nos seguintes números:
38
Tabela 3 - Coleção 3
Ano
6º ano
7º ano
8ºano
9º ano
Total:
Quantidade.
5
3
10
8
26
Fonte: Matemática. BIGODE, Antônio Lopes. 2012.
Nesta obra, a quantidade de atividades de aplicação que se relacionam a
alguma curiosidade matemática é inferior às curiosidades da história de um
conteúdo ou da própria matemática em si. Mas todos os textos que relatam essas
curiosidades enriquecem a abordagem do conteúdo.
A maior concentração de atividades no padrão analisado é encontrada no
volume referente ao 8º ano, mas muitas delas são repetitivas, o que ajudam a fixar
alguma regularidade observada.
4.2 Análise das avaliações de Olimpíadas de Matemática
As Olimpíadas de Matemática são avaliações externas realizadas desde 1979
e destinadas a alunos desde o 6º ano do ensino fundamental até os universitários,
em nível de graduação.
Essas avaliações criam uma competição entre os alunos no intuito de
interferir diretamente no ensino tradicional da matemática. Além do enfoque didático,
ao estimular professores e alunos no trabalho com a matemática em si, essas
avaliações tem por objetivo descobrir alunos com um talento matemático
diferenciado e proporcionar a esses alunos uma formação de alto nível, em contato
com matemáticos profissionais e alunos com o mesmo talento.
A competição acontece em três níveis, um para alunos de 6º e 7º ano (nível I),
outro para alunos de 8º e 9ª ano (nível II), e um terceiro para alunos de Ensino
Médio (nível III), além do nível universitário. A maioria dessas provas acontece em
duas ou três fases de seleção.
39
Existe uma premiação para os melhores alunos nestas avaliações. São
menções honrosas, medalhas e bolsas de estudo, além disso, dentre os alunos
destaques são escolhidos representantes para disputar avaliações internacionais.
A OBM é uma iniciativa do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA) e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), este ano a OBM completou
sua 34ª edição. Recentemente foi criada a OBMEP, organizada pelo Ministério da
Ciência e Tecnologia (MCT), em parceria com o MEC, e com o apoio do IMPA e da
SBM, este ano as OBMEP completaram 9 anos de existência.
A análise feita aqui, como já dito no início deste capítulo tem como objetivo
quantificar, em algumas provas, questões que abordem as curiosidades do
conteúdo.
A análise resultou nos seguintes resultados:
Tabela 4: Olimpíadas de Matemática (1ª fase)
40
Tabela 5: Olimpíadas de Matemática (2ª fase)
Observando os resultados fica fácil perceber que existe um balanceamento na
concentração dessas atividades na primeira e na segunda fase dessas avaliações.
As OBMEP tem uma maior quantidade de questões na sua segunda fase. Esta
etapa da avaliação traz questões discursivas com problemas de análise, cálculos e
observações.
4.3 Algumas Curiosidades:
Com base em todas as análises feitas, tanto dos livros didáticos como das
avalições das olimpíadas, agora enumerarei algumas atividades para aplicação em
sala de aula. Um recurso didático para as aulas de matemática. As curiosidades
estão dispostas em blocos, cada bloco referente a um eixo temático do conteúdo.
4.3.1 – Eixo temático: Números e Operações.
Curiosidade 1: Regularidades
2
2
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. (5ª e 7ª séries). São Paulo: Ática,
2005.
41
FIGURA 4 – Atividade 1
FONTE: (DANTE, L. R. – 5ªsérie, 2005, p. 43).
FIGURA 5 – Atividade 2
FONTE: (DANTE, L. R. – 7ªsérie, 2005, p.122).
A atividade em questão pode ser trabalhada com alunos do 6º ano do ensino
fundamental, mas não só com esses, uma vez que explora do aluno a habilidade de
manusear o algorítmico da multiplicação, reforçando a ideia do sistema de
numeração posicional que será explorado nas multiplicações propostas. O uso da
calculadora dever ter como objetivo ajudar na análise das regularidades, mas nunca
substituir o trabalho do aluno ao operar com as multiplicações propostas.
“A numeração de posição introduziu também um desenvolvimento
considerável da aritmética, tornando muito mais claras as propriedades dos
números. Ela permitiu a descoberta de certas propriedades impossíveis de
serem reveladas sem ela: como os números ‘palíndromos’, que não mudam
de valor quando lidos da esquerda pra direita ou da direita para a esquerda,
como por exemplo: 123456787654321.” (IFRAH, G. 2001, p. 325 - 326).
Mais dessas regularidades podem ser encontradas em Sequencias 3, que
podem ainda ser exploradas pelo mesmo grupo de alunos para ampliar a visão
3
IMPA. IX Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – Enunciados e Soluções,
2013. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas.htm>. Acesso em 20 out. 2013 às 00:00h.
42
sobre as operações fundamentais e as regularidades que podem depender
diretamente ou indiretamente delas.
FIGURA 6 – Atividade 3
(FONTE: OBMEP: 2ªfase. Nível 2, 2013).
FIGURA 7 – Atividade 4
4
(FONTE: OBMEP: 1ªfase. Nível 1, 2012).
Curiosidade 2: Números amigos. Os Números abundantes, deficientes e perfeitos5.
Números atraentes6.
FIGURA 8 – Atividade 5
IMPA. VIII Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – Enunciados e Soluções,
2012. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas.htm>. Acesso em 20 out. 2013 às 00:00h.
5
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
6
SBM. XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Enunciados e Soluções, 2012 Disponível em:
< http://www.obm.org.br/opencms/provas_gabaritos/>.Acesso em 20 out. 2013 às 00:15h.
4
43
“(...) dois amigos 284 e 220. Esses dois números detêm, na verdade, uma
propriedade aritmética interessante, segundo a qual a soma dos divisores
do primeiro é igual ao segundo número, e inversamente.” (IFRAH, G. 2001,
p. 225).
FIGURA 9 – Atividade 6
FONTE: (BIGODE, A. L. – 6º ano, 2012, p. 112).
FIGURA 10 – Atividade 7
(FONTE: OBM - 1ªfase. Nível 1, 2012).
44
Tais atividades também podem ser aplicadas a alunos do 6º ano, já que faz
uma relação direta ao conteúdo de divisores de um número natural, destinado a
essa série de ensino. Com esse tipo de atividade o professor tem a oportunidade de,
de certa forma, “informalizar” o conteúdo, mostrando uma curiosidade que depende
daquilo que se está sendo estudado.
Quando se trata dos números atraentes, que exige um raciocínio maior do
aluno, essa atividade deixa de ser foco do 6º ano e pode ser explorada em séries
como 8º ou 9º ano.
Curiosidade 3: O quadrado mágico7
FIGURA 11 – Atividade 9
FONTE: (BIGODE, A. L. – 8º ano, 2012, p. 10).
7
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
45
FIGURA 12 – Atividade 10
8
FONTE: (DANTE, L. R. – 6ªsérie, 2005, p. 54).
O quadrado mágico como atividade de exploração em sala de aula contempla
todas as séries de ensino, uma vez que existem inúmeras variações da mesma
atividade, cada uma destinada a uma etapa de aprendizagem, com foco em um
conteúdo.
É interessante que o professor discuta a origem desse quebra-cabeça
numérico e deixe claro para os alunos que só existe um quadrado mágico puro, cuja
soma é 15, os outros são derivações.
“Cerca de 2200 a.C., o imperador-engenheiro Yu, o Grande, estaria a
observar o rio Amarelo quando viu uma tartaruga divina (era na altura
considerado um animal sagrado), que em seu casco estava o símbolo que
hoje em dia é conhecido pelo nome de lo shu. Assim, Yu percebeu que as
marcas nas costas da tartaruga (que forma o símbolo com nós) achou que
os nós podiam ser transformados em números de um a nove e que todos
eles somavam quinze em todas as direções, como se fossem algarismos
mágicos. Neste exemplo, tal como se pode verificar a sua soma era 15.”
(LOPES, Tânia Isabel Duarte - Faculdade de Ciências e Tecnologias da
Universidade de Coimbra, [20--], p. 2).
Curiosidade 4: Números figurados e triangulares. 9
Os números triangulares é uma proposta de atividade para alunos de várias
etapas do ensino. Atividades simples que remetem à simples soma de números
naturais para formar um número triangular podem ser trabalhadas no 6º ano, por
exemplo. Já atividades mais elaboradas, que envolvam o conceito de função na
obtenção de um número triangular a partir de uma regularidade observada em uma
8
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
9
46
sequência podem ser destinadas a alunos do 9º, uma vez que já tem base para o
conceito abordado.
FIGURA 13 – Atividade 11
FONTE: (BIGODE, A. L. – 9º ano, 2012, p. 162,171).
Curiosidade 5: Manipulação de operações com o algarismo 4. 10
FIGURA 14 – Atividade 12
FONTE: (DANTE, L. R. – 6ªsérie, 2005, p. 78).
10
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
47
Essa atividade em específico pode ser proposta a todas as séries de ensino,
pois se trata simplesmente da manipulação de operações matemáticas ligadas à
ideia de fração, radiciação e outras possíveis operações não fundamentais que são
já trabalhadas desde o 6º ano. O cuidado do professor ao propor atividades deste
estilo é perceber o nível de maturidade da turma. Uma vez que uma atividade mal
interpretada pelo aluno deixa de estimular e passa a frustrar esse aluno.
“A aprendizagem depende em grande parte da motivação: as necessidades
e os interesses da criança são mais importantes que qualquer outra razão
para que ela se ligue a uma atividade.” (PIMENTEL, O. F, 2008, p. 42).
Curiosidade 6: Elevar ao quadrado números de dois algarismos terminados em 5.11
FIGURA 15 – Atividade 13
FONTE: (DANTE, L. R. – 5ªsérie, 2005, p. 68).
.
Alunos do 6º ano podem ser o foco desta atividade, mas o professor pode
dissipá-la por todas as séries de ensino.
Curiosidade 7: Multiplicação com os dedos.12
Esta curiosidade em particular tem um aspecto interessante quando voltada
aos alunos ingressantes no 6º ano, pela dificuldade na memorização dos fatos
fundamentais. Claro, outros alunos que apresentam a mesma dificuldade podem ser
beneficiados com essa técnica. Cabe ao professor destinar corretamente a atividade
11
12
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
48
para sanar tais dificuldades. Ainda é papel do professor explorar todas as
multiplicações, já que existem técnicas para cada delas.
“As técnicas corporais (...) levaram nossos longínquos ancestrais a tomar
consciência da noção de ordem, falada a exercer um papel fundamental
tanto nas matemáticas quanto em qualquer ciência”. (IFRAH, G. 2001, p.
44).
FIGURA 16 – Atividade 14
FONTE: (DANTE, L. R. – 5ªsérie, 2005, p. 42)
Curiosidade 8: Pirâmides Magicas.13
A atividade que segue pode ser destinada a alunos desde o 6º até alunos do
9º ano. O nível de dificuldade pode aumentar quanto queira o professor. A ilustração
representa a ideia central da atividade, mas lacunas nesta pirâmide podem existir
para instigar o raciocínio do aluno.
13
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
49
FIGURA 17 – Atividade 15
FONTE: (BIGODE, A. L. – 8º ano, 2012, p. 11).
Curiosidade 9: Multiplicação Egípcia. 14
FIGURA 18 – Atividade 16
FONTE: (DANTE, L. R. – 7ªsérie, 2005, p.10).
“Sabendo apenas multiplicar ou dividir diretamente por 2, eles geralmente
fazem para tanto duplicações sucessivas, isto é, séries de multiplicações
por 2...” (IFRAH, G. 2001, p. 168).
14
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 7ª série. São Paulo: Ática, 2005.
50
A curiosidade apresentada pode ser explorada com todas as séries de ensino,
pois, basta que o aluno domine multiplicações por dois e tenham uma boa
percepção quanto à regularidade observada. A atividade é interessante, pois
extrapola a visão da sala de aula e dá ao aluno um contexto histórico no qual pode
fundamentar o que se é estudado.
Curiosidade 10: Soma de frações chinesas15.
FIGURA 19 – Atividade 17
FONTE: (DANTE, L. R. – 6ªsérie, 2005, p. 78).
Assim como a maioria dessas atividades propostas aqui, esta também pode
ser aplicada a alunos de todas as séries de ensino. Esta, em específico, deve ser
trabalhada com os alunos apenas como curiosidade, pois foge das propostas
ensinadas como conteúdo. E claro, o professor deve trabalhar esse tipo de
curiosidade ao perceber um domínio geral dos alunos ao manipular o método
convencional de soma de frações. Além disso, é um recurso a mais para se
enriquecer a aula, pois explora um contexto histórico rico para o aprendizado do
aluno.
4.3.2 – Eixo temático: Espaço e forma
Curiosidade 11: Polígono elegante16.
15
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
IMPA. V Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – Enunciados e Soluções,
2009. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas.htm>. Acesso em 20 out. 2013 às 00:05h.
16
51
A atividade a seguir tem sua melhor aplicação a alunos de 7º ano. Nesta
série, eles já conhecem as propriedades de um polígono bem como conhecem o
cálculo de seus ângulos internos. Mais uma vez, é um exemplo de atividade a ser
aplicada quando já existe um domínio sobre o conteúdo abordado.
FIGURA 20 – Atividade 18
(FONTE: OBMEP: 2ª fase. Nível 2, 2009)
Curiosidade 12: Números invertidos/espelhados. 17
Alunos a partir do 7º ano são alvo também das atividades que seguem, uma
vez que nesta série eles já têm conhecimento de ângulos e medidas, rotação sobre
eixos, etc.
17
IMPA. IX Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – Enunciados e Soluções,
2013. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas.htm>. Acesso em 20 out. 2013 às 00:00h
52
FIGURA 21 – Atividade 19
(FONTE: OBMEP: 1ª fase. Nível 2, 2013).
Curiosidade 13: O alcance dos olhos. 18
FIGURA 22 – Atividade 20
FONTE: (BIGODE, A. L. – 9º ano, 2012, p. 142).
18
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
53
A curiosidade apresentada não se enquadra em atividades para aplicação,
mas sim como recurso didático para enriquecer a aula. A proposta do cálculo da
distância percebida pelo olho humano é interessante e curiosa. Sua discussão deve
ser direcionada aos alunos do 9º ano, por já conhecerem conceitos básicos como o
Teorema de Pitágoras ou manipulação de equações.
4.3.3 – Eixo temático: Álgebra
Curiosidade 15: Mesma idade para todos19.
FIGURA 23 – Atividade 21
FONTE: (DANTE, L. R. – 6ªsérie, 2005, p. 233).
Esse tipo de atividade pode ser destinada a alunos a partir do 7º ano, pois, a
fundamentação da atividade é algébrica, conhecimento que só será adquirido a
partir da série em questão.
Ao mencionar as idades de duas pessoas, generalizamos esses valores
usando duas variáveis auxiliares, x e y, por exemplo, e ao somar todos os passos
descritos na atividade, todos os alunos conseguem chegar a uma mesma equação:
Operando, todos chegarão ao mesmo resultado!
19
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
54
Curiosidade 16: Adivinhando o aniversário de alguém20. Álgebra e truques
aritméticos21. Descobrindo o número pensado
FIGURA 24 – Atividade 21
FONTE: (DANTE, L. R. – 5ª série, 2005, p. 229).
Atividades como esta podem ser trabalhadas sem fundamentação algébrica
em todas as séries de ensino, mas é de extrema importância que os alunos
conheçam as curiosidades e entendam sua origem. Logo, a partir do 7º ano essas
fundamentações podem ser feitas com facilidade. A atividade a seguir exemplifica
um raciocínio algébrico que fundamenta uma curiosidade:
FIGURA 25 – Atividade 22
FONTE: (BIGODE, A. L. – 8º ano, 2012, p. 103).
20
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano). São Paulo:
Scipione, 2012.
21
55
O pensamento algébrico pode ser estimulado com atividades neste formato, e
a discussão sobre essas atividades enriquecem o conhecimento e o domínio da
manipulação de equações algébricas. A atividade a seguir pode ser toda
representada pela equação:
(
)
Veja:
FIGURA 26 – Atividade 23
22
FONTE: (BIANCHINNI, E. – 8º ano, 2006, p. 198).
4.3.4 – Eixo temático: Tratamento de dados
Curiosidade 17: Lançamento de dados23
22
23
BIANCHINNI, Edwaldo. Matemática: ensino fundamental 8º ano. São Paulo: Moderna, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 8ª série. São Paulo: Ática, 2005.
56
Quando se trata deste eixo, nenhuma atividade curiosa aplicável em sala de
aula foi encontrada, porém por se tratar de um assunto amplo e com diversas
ramificações, o professor pode usar de curiosidades do próprio dia a dia para ilustrar
um conteúdo.
A atividade a seguir ilustra uma proposta que o professor pode usar para
trabalhar com esse eixo nas aulas de matemática. A proposta é um desafio ao
aluno:
FIGURA 27 – Atividade 24
FONTE: (DANTE, L. R. – 8ª série, 2005, p. 272).
Alunos do 9º ano conseguem discutir e resolver atividades deste tipo. Uma
vez que nesta série de ensino eles já têm conhecimento sobre probabilidade o que
facilitará o trabalho do professor, que por sua vez, pode conduzir o pensamento
matemático formal para ilustrar as condições citadas acima.
Fazendo uma análise geral a partir dos dados coletados e atividades
apresentadas, fica claro uma maior concentração de atividades numéricas e
simplesmente operatórias. Curiosidades que podem ser aplicadas, na maioria das
vezes, em todas as séries de ensino, pois contemplam conteúdos que exigem
menos dos alunos.
Interpretação e análises estão presentes na grande maioria dessas
curiosidades todas elas servem para enriquecer uma aula e estimular o aprendizado
dos alunos. Cada uma dessas atividades deve destinar-se a um grupo de alunos,
sempre observando o nível das atividades para o grupo a ser aplicado.
57
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho visou discutir e enumerar algumas didáticas para o ensino da
matemática e apresentou as curiosidades do conteúdo como um adicional em meio
às estratégias já conhecidas.
Diante das dificuldades no processo de ensino aprendizagem não só em
matemática, o papel do professor ganha uma importância incomensurável, uma vez
que dependerá dele todo o desenrolar desse processo e consequentemente o
sucesso do mesmo.
Para que aconteçam mudanças, e cheguemos a um padrão “ideal” nesse
processo, é preciso que o professor esteja disposto a inovar, a buscar alternativas
que conquistem o interesse do aluno, e acredito que isso pode acontecer adotando
algumas curiosidades matemáticas como parte de sua aula, pois a partir desse
momento, ele ensina a matemática, muitas das vezes, de maneira informal,
quebrando o tabu de que a matemática é um “bicho de sete cabeças”.
Por meio da análise dos livros didáticos, enumeramos várias atividades com
essa característica, o que mostra que o professor não está desamparado ao
implantá-las em suas aulas.
Ao adotar uma postura dinâmica aliada a uma estratégia eficaz, o professor
passa a ter alunos mais interessados, e aos poucos consegue a atenção daqueles
que até então, não se simpatizavam com a disciplina ou tinham algum bloqueio com
a mesma.
Para que tudo isso aconteça, um bom planejamento ao elaborar uma aula e o
cuidado de explorar cada curiosidade em seu devido tempo (com seu objetivo
definido), e ao devido grupo de alunos são quesitos de extrema importância que
devem também ser preocupação do professor.
Contudo, com o desenrolar da pesquisa é possível se estabelecer um
comparativo de como o conhecimento matemático era adquirido e quais são hoje as
tendências para se alcançar um melhor resultado no processo de ensino
aprendizagem.
É importante ressaltar que a alternativa didática apresentada nesta pesquisa
é apenas uma das diversas que estão à disposição do professor, basta que ele
saiba adotar e explorar a que mais se enquadra às necessidades de sua realidade.
58
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BIANCHINNI, Edwaldo. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ao 9º ano). São
Paulo: Moderna, 2006.
BIGODE, Antônio Lopes. Matemática: ensino fundamental (4v. de 6º ano 9º ano).
São Paulo: Scipione, 2012.
BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de
Matemática. 5ª Ed. São Paulo: CAEM-IME-USP, 2004.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação. Guia de Livros Didáticos. PNLD 2008 –
Matemática. (Anos Finais do Ensino Fundamental) – Brasília : MEC, 2007.
BRASIL. Ministério da Educação. Guia de Livros Didáticos. PNLD 2011 –
Matemática. (Anos Finais do Ensino Fundamental) – Brasília : MEC, 2010.
BRASIL. Ministério da Educação. Guia de Livros Didáticos. PNLD 2014 –
Matemática. (Anos Finais do Ensino Fundamental) – Brasília : MEC, 2013.
BRASIL. Secretaria da Educação de Minas Gerais. Currículo Básico Comum. Belo
Horizonte, SEE-MG, 2007.
BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental.
Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1997.
Parâmetros
Curriculares
BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental.
Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1998.
Parâmetros
Curriculares
BRASIL. Secretaria Municipal de Educação. Referencial de expectativas para o
desenvolvimento da competência leitora e escritora no ciclo II: caderno de
orientação didática de Matemática. São Paulo, SME/DOT, 2006. Disponível em <
http://portalsme.prefeitura.sp.gov.br/Documentos/BibliPed/EnsFundMedio/CicloII/Ler
Escrever/CadernoOrientacaoDidatica_Matematica.pdf>. Acesso em 22 Julho 2013,
às 11:10h.
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino da Matemática. 2ª ed.
rev. São Paulo, 1994.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental (4 v. de 5ª a 8ª
séries). São Paulo: Ática, 2005.
DUARTE, Estefânia Fátima. Construção do conhecimento Matemático: Um
Desafio da Escola Contemporânea. 2004. Disponível em: <http://graduacao.
fael.edu.br/file.php/328/Material_do_Curso/Aula_02/aula_2_Material_Complementar
59
Construcao_do_conhecimento_Matematico.pdf>. Acesso em 04 out. 2013, às 22:
40h.
FIORENTINI, Dario. Alguns Modos e ver e conceber o ensino da matemática no
Brasil. In: Zetetiké, ano 3, nº. 4, 1995. Disponível em: <http://www.fae.unicamp.br
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em 20 out. 2013 às 00:05h.
IMPA. VIII Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas –
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IMPA. IX Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas –
Enunciados e Soluções, 2013. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas.
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IFRAH, Georges. OS NÚMEROS: a história de uma grande evolução. 10º edição.
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LOPES, Tânia Isabel Duarte. A História dos Quadrados Mágicos. Faculdade de
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[20--] Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~mat0717/public_html/Cadeiras/1Semest
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PIMENTEL, O. F. Recreação com Jogos de Matemática. 2008. Disponível em:
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SANGIORGI, Osvaldo. Introdução da Matemática Moderna no Ensino
Secundário. In: G.E.E.M-GRUPO DE ESTUDOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA –
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SBM. XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Enunciados e Soluções, 2012
Disponível em: < http://www.obm.org.br/opencms/provas_gabaritos/>. Acesso em 20
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SCHURÉ, Édouard. Os Grandes Iniciados: Pitágoras. São Paulo: Martin Claret
Ed., 1996.