Aplicações
da
Gravitação
31
01
05
R. Boczko
IAG - USP
Lançamento
vertical
Lançamento vertical
v
(nas proximidades do solo)
Plano de destino
h = h0 + v0 . t + g . t2 / 2
v = v0 + g . t
g
g  - 9,8 m/s2
h
+
g
h
 h = h - h0
v0
Plano de lançamento
t = ( v - v0 ) / g
h0
Plano de referência
+
v2 = v02 + 2 . g . h
hmáx
Altura máxima no
lançamento vertical
=h +v .t+g.t /2
0
2
0
v = v0 + g . t
v=0
v=0
Plano de destino
Altura máxima
0 = v0 + g . t
v0 = - g . t
Espaço percorrido
g  - 9,8 m/s2 g
h = hmáx - h0
h
Tempo de subida
t = ( v - v0 ) / g
hmáx
t = ( 0 - v0 ) / g
t = - v0 / g
v0
Plano de lançamento
v2 = v02 + 2 . g . h
02
h0
= v0 + 2 . g . h
2
v02 = - 2 . g . h
Plano de referência
+
Princípio da
inércia de Galileu
Princípio da Inércia
( Galileu, 1564 - 1642 )
Um corpo abandonado
tende a voltar à mesma
altura da qual foi abandonado.
Princípio da Inércia
Um corpo, sobre o qual não
age nenhuma força, tende a
manter seu estado de
movimento ou de repouso.
X
Força
V
Movimento
retilíneo
uniforme
V
Lançamento
vertical desde uma
plataforma móvel
v
vH
v=0
vH
-v
vH
-v0
v0
vH
vH
Lançamento
balístico
Lançamento balístico
v=0
vH
v
vH
-v
vH
-v0
v0
vH
vH
Aceleração da
gravidade é
constante com a
altura?
A aceleração da
gravidade e a altura
Será que no
topo eu pesaria
o mesmo que
aqui em baixo?
A aceleração da gravidade e
a altura
g
g0
h
0
No topo de
uma montanha
Chão
Bem alto
Muito alto
Princípios da Mecânica
Princípio da Inércia
( Newton, 1642- 1727 )
Qualquer corpo permanece em seu
estado de repouso ou de movimento
retilíneo uniforme a menos que seja
compelido a mudar seu estado por meio
de uma força externa.
X
Força
V
Movimento
retilíneo
uniforme
V
Princípio fundamental da
dinâmica
Força
m
g
F
A força agente sobre
um corpo é
proporcional à
aceleração que o corpo
adquire.
F=mg
0
g
Princípio da ação e da
reação
A cada ação corresponde uma
reação de mesma intensidade e
de sentido oposto.
"Peso" de um corpo
g
m
P
P
Solo
O peso de um corpo é
proporcional à
aceleração
gravitacional que age
sobre o corpo.
0
P=m.g
g
Por que a Lua gira
em volta da Terra?
Newton, a Lua e
a maçã
Por que a
maçã cai e
a Lua não?
Lua e Terra
Velocidade
Terra
Lua
Gravitação universal
Lei da atração gravitacional
M
m
F
d
F
M,m = massas dos corpos envolvidos
d
= distância entre as massas
F
= força de atração gravitacional
F = G M m / d2
G = constante universal da gravitação = 6,67x10-11 m3.kg-1.s-2
Aceleração
gravitacional
Aceleração gravitacional
M
m
F
d
F
F = G M m / d2
Aceleração sobre
o corpo M
Aceleração sobre
o corpo m
gM = F / M
gm = F / m
gM = [G M m / d2] / M
gm = [G M m / d2] / m
gM = G m / d2
gm = G M / d2
Aceleração gravitacional em
função da altura
d=R+h
g
h
gm = G M / d2
gm = G M / d2
gm = G M / (R + h)2
R
M
Aceleração gravitacional na
superfície da Terra
h=0
g0 = G M / (R + 0)2
Terra
g0 = G M / R2
Aceleração gravitacional na
superfície da Terra
d=R+h
g
h
g m = G M / ( R + h) 2
Aceleração gravitacional na
superfície da Terra
h=0
R
g0 = G M / (R + 0)2
M
Terra
g0 = G M / R2
Relacionar g numa dada
altura com o g0 na superfície
gm = G M / (R + h)2
g0 = G M / R2
Dividindo membro a membro:
g / g0 = R2 / (R + h)2
g / g0 = [ R / (R + h) ]2
‘Forças’ agentes num
corpo orbitando outro
Força Centrípeta
Velocidade
Fc
Força Centrípeta e
força gravitacional
Velocidade
M
Fc
m
C
Quem exerce a força
centrípeta?
A atração gravitacional!
Força Centrípeta sobre a
Lua
Velocidade
Terra
Fc
Lua
Acelerações atuantes sobre a Lua
Velocidade
Terra
Fc
Lua
gg = GM/d2
gc = v2 / d
Aceleração
gravitacional
Aceleração
centrípeta
"Prova" da Lei da
Gravitação
Universal
Relacionar aceleração
gravitacional e centrípeta agentes
sobre a Lua
g =v /d
gg = GM/d2
c
v=.d
G=?
M=?
g0 = G M / R2
2
 = 2 / T
Na superfície da Terra
gg / g0 = [ GM/d2 ] / [ G M / R2 ]
v = d . 2 / T
g g = g0 [ R / d ] 2
g0 = 9,8 m/s2
gc = (d . 2 / T)2 / d
R = 6.378 km
gc = 4 . 2. d / T2
d = 384.000 km
gg = 0,0027 m/s2
T = período de revolução da Lua
em torno da Terra
T  27,3 dias
gc = 0,0027 m/s2
Velocidade circular
Velocidade
Terra
gc = gg
Fc
gg =
gc = v2 / d
GM/d2
Lua
v2 / d = GM/d2
vcirc =
GM/d
g0 = G M / R2
vcirc = R
g0 / d
Lançamento
de foguetes
Tiro de Canhão
Velocidade
Loooonnngo tiro de canhão!
PN
vvertical = 0
v
vmáx
v
v=0
Período acelerado
Fim do
combustível
Período desacelerado
Lançamento
de foguetes
vhorizontal
vvertical = 0
v
Fim do
combustível
Lançamento
de satélites
vmáx
v
v=0
Formas das
órbitas de
corpos sujeitos
à gravitação
Cônicas
Superfície
cônica
Eixo
Superfície
cônica
Circunferência
Ponto
Eixo
Reta
Secções
Cônicas
Retas
concorrentes
Trajetórias de um foguete
Direção da
velocidade de lançamento
v
PN
Elíptica
v < vcirc
Circular
v = vcirc
Hiperbólica
v > vparab
Parabólica
vparab
v = vparab
= = 2 vcirc
Elíptica
vcirc < v < vparab
vc =
GM/d
Aproveitando a
rotação da Terra
Velocidade relativa
Vbola
Freios
V0bserv = Vbola
Varrasto
V0bserv = Varrasto + Vbola
Vbola
Impulso gratuito no foguete
Vfoguete
Varratro
PN
Velocidade de
rotação da Terra
no seu equador:
Varratro  0,5 km/s
r
R
j
PS
R
No equador:
v=R
PN
v
Numa latitude j:
v =  R cos j
0
j
+90
r
Vequador
Vlatitude j
Velocidade de rotação da
Terra
PN
Satélites artificiais
da Terra
A Terra e sua atmosfera
Atmosfera
Raio = 6.378 km
PN
Altura da atmosfera
~300 km
Órbitas de
satélites
Satélite
geoestacionário
Satélite de
alta altitude
600 km
Atmosfera
300 km
Satélite de
baixa altitude
400 km
6.378 km
Satélite/sonda
interplanetário(a)
Órbita
equatorial ou
polar
Órbita equatorial
Órbita inclinada
Órbita polar
Estação Internacional
Órbita de
transferência
v2 = v’circ
v1 = vcirc
v=0
Órbita
alta
Órbita
baixa
PN
PN
Órbita de transferência
de mínima energia
(transferência de Hohmann)
v12 = velíptica
Marte
Viagem
interplanetária
Qual o
melhor
caminho?
Terra
Trajetória mais curta
M0
M1
T0
T1
O caminho mais curto, caso os planetas permanecessem
imóveis no momento da oposição.
Órbita mais curta, mas muito cara...
Marte0
M1
T0
T1
O caminho mais curto exigiria uma velocidade extremamente
elevada, para compensar a velocidade orbital da Terra.
Se combustível não fosse problema...
M0
T0
M1
T1
A trajetória de uma astronave, dotada de altíssima velocidade
inicial, poderia ser coberta em apenas dois meses.
Viagem econômica!
M1
T1
Sol
Órbita de
transferência de
Hohmann:
órbita mais econômica
entre duas órbitas
elípticas
M0
T0
Viagem econômica de ida a Marte
M0
T0
M1
T2
T1
M2
A astronave chegará em Marte 258 dias após seu lançamento.
Permanência em Marte
T0
M0
T1
M1
Em Marte, os astronautas deverão permanecer 454 dias,
aguardando outra janela para o vôo de regresso.
Viagem econômica de retorno à Terra
T0
M0
T1
T2
M1
M2
Na viagem de volta, mais 258 dias para chegar na Terra.
Observando a
maré
A maré!!!
Observando o nível do mar
Maré alta
Nível do mar
Maré baixa
Desnível entre as marés
alta e baixa
Amplitude
Amplitude
Preamar
Nível médio
Desnível
Baixa-mar
Desnível = 2 * Amplitude
Períodos envolvidos com
a maré
Intervalo de tempo entre marés
12h25m
03h06m
00h00m
12h25m
15h31m
12h25m
00h50m
Preamar
Baixa-mar
06h12m
03h56m
18h27m
09h19m
21h44m
12h25m
Relação entre marés e posição
da Lua no céu
Zênite
PS
Maré
baixa
Meio-dia
lunar
Maré
alta
E
S
N
W
Maré
baixa
Maré
alta
Meia-noite
lunar
Dia Solar e Dia Lunar
Dia 1
Meio-dia solar 
Meio-dia lunar 
PS
Dia Solar e Dia Lunar
Dia 2
Meio-dia solar 
Meio-dia lunar 
PS
Dia Solar
24h00m00s
Dia Solar e Dia Lunar
Dia 2
Meio-dia solar 
Meio-dia lunar 
PS
Dia Solar
24h00m00s
Dia Lunar
24h50m28s
Mudança diária no nível da maré
Dia 1
Preamar
Baixa-mar
2
3
4
5
6
7
Influência da fase da Lua
sobre a altura da maré
Dia
1
7
14
22
29
Preamar
Baixa-mar
Lua
cheia
Quarto
minguante
Lua
nova
Quarto
Crescente
Lua
cheia
Causa da maré
Atração Gravitacional
( Newton )
M
F
F
d
F = G.m.M / d2
m
Atração Gravitacional da
Lua sobre a Terra
F = G.m.M /
m
f
m
F
M
d
D
f = G.m.M /
2
D
2
d
Atração Gravitacional da
Lua sobre a Terra elástica
f = G.m.M / D2
Terra
F = G.m.M / d2
Lua
d
D
Terra
Lua
Forças causadoras
das
Marés
P
C
D
FD
FC
M
FP
F = G.M.m/d2
Configuração instantânea das
marés na superfície da Terra
Baixa
Alta
Alta
Baixa
Movimento diurno aparente
da Lua
W
Sentido da
revolução
da Lua
L
PS
Sentido
da
rotação
da Terra
Glubglub...
2
1
PS
PS
PS
8
PS
Seqüência
da Maré
7
3
Glubglub...
4
PS
PS
6
5
PS
PS
Componentes da maré
Solar
Contribuição da
maré solar e da
maré lunar
1
Lunar
2,5
Marés marítimas
e...
Marés Terrestres !
Marés marítimas
Estrutura Interna da Terra
Núcleo Interno
Núcleo Externo
Manto inferior
Manto superior
Crosta
Lua
Marés Terrestres
~ 15 cm
Placa
Placa
Magma
pastoso
Magma
pastoso
Placa
Placa
Placa
Efeitos das marés a longo
prazo
Marés
Atrito
Rotação
da Terra
Ciclicidade
das marés
Calor
Gravidade
+1s/ano
Tempo
Período de rotação
Velocidade de rotação
Perda de
energia cinética
de rotação
A Terra está
parando
de girar !
Translação da Terra daqui a ...
muitos anos !
Sol
Translação atual da Lua
Quebra de satélites pelas
marés
M >>
D <<
Deformação e/ou
desmembramento
de Satélite
Satélite
Satélite deformado
pelas forças de
marés
Satélite
desmembrado
Cometa
Shoemaker-Levy
Choque Shoemaker-Levy e
Júpiter
Como se formam as
estrelas?
Pressão gravitacional
Existindo massa,
existe atração
gravitacional
Contração gravitacional
de uma nebulosa
m
Gás
Hidrogênio
Lei da atração
gravitacional
m’
d
F
F
F = G m m’ / d2
A forma geométrica
de menor energia é a
esfera.
De proto-estrela
à estrela
Nebulosa
inicial
Gestação de uma
estrela
?
Gás
Hidrogênio
Aquecimento da
proto-estrela
Excitação
Ionização
Desexcitação
Fusão
nuclear
Energia
Elemento mais pesado
Nebulosa
inicial
Nascimento de uma
estrela
Início das
reações de
Fusão Nuclear
Nasceu a estrela !
Porque a estrela
não colapsa?
?
Temperatura
Quente
Frio
A Temperatura de
um corpo mede o
grau de agitação
caótica de suas
partículas.
Pressão Térmica
Ar
frio
Balão com
mecha apagada
Mecha acesa
Devido à temperatura,
existe a pressão térmica.
Pressões atuantes numa
estrela
Partícula
Expansão
térmica
Contração
gravitacional
(Des)equilíbrio
Estático
PT < PG
Contração
PT = PG
Equlíbrio
PT = Pressão Térmica
P = Pressão Gravitacional
PT > PG
Expansão
Como são
escobertos os
planetas e os
buracos negros?
Evolução de estrelas
dependendo de suas massas
Anã
Branca
Tempo
de
Vida
Estrela de
nêutrons
Estrela
Supernova
Peso
Leve
Peso
Médio
(Planeta)
Peso
Pena
0,08
Buraco
Negro
4
Peso
Pesado
8
Massas solares
Lançamento de corpos num
campo gravitacional
Luz
Estrela
Colapsada
Buraco
Negro
Buraco
Negro
Foto de um Buraco Negro
?
Representação
geométrica de um
Buraco Negro
Geodésicas num
espaço vazio
Geodésicas nas
proximidades de
um Buraco Negro
‘Massa’ de um fóton
Fóton
E = mc2
f
c
E = hf
mc2 = hf
m = hf / c2
Horizonte de eventos
Horizonte de eventos:
Superfície que delimita a região do
espaço em torno de um buraco
negro de modo que qualquer corpo
(ou mesmo a Luz) que nele penetre,
não pode mais dele sair .
Forças de maré num Buraco Negro
gcabeça
gpé
Buraco
Negro
Leis
de
Kepler
Primeira Lei de Kepler
( 1571 - 1630 )
Um corpo ligado a outro, gravitacionalmente,
gira em torno dele numa órbita elíptica.
Segunda Lei de Kepler
( 1571 - 1630 )
t
A
A
t
Foco
Um corpo ligado a outro gravitacionalmente
gira em torno dele, com seu raio vetor
varrendo áreas iguais em tempos iguais.
Movimento em torno do
Centro de Massa Comum
3
2
M
4
m
CM
1
4
2
d
3
D
Md=mD
1
Sistema Binário de estrelas
CM
1
5
2
3
1
4
2
5
3
4
Terceira Lei de Kepler
r
M
( r / r’ )3 = ( T / T’ )2
m
T
r’
m’
T’
r3= kT2
Expressão correta:
r 3 = [G/(4 2)] ( M + m ) T 2
( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2
Determinação das Massas
das estrelas de um Sistema
Binário
r=d+D
r 3 = [G/(4 2)] ( M + m ) T 2
Md=mD
M,m
Voltando à descoberta
dos planetas extrasolares e dos buracos
negros ...
Sistema Planetário
CM
1
5
2
3
1
4
2
5
3
m <<< mSol
4
Planeta !
Sistema Binário de estrelas
?
1
5
2
3
1
4
2
5
3
m >>> mSol
4
Buraco Negro !
Prova da Teoria da
relatividade
através de um
eclipse solar total
Geodésica
É a trajetória
percorrida pela luz
Curvatura do Universo
Universo
Vazio
Geodésicas
retilíneas
m
Universo
não vazio
Geodésicas
curvas
Lente Gravitacional
Buraco
negro
Foto de
parte do céu
Lentes gravitacionais
Deflexão da luz
Sol
Deflexão da luz
Sol
Lua
Comprovação:
Eclipse Solar Total
de 29 mai 1919
no Brasil
(por britânicos!)
Posição de uma
estrela
Sol visto no céu
00:00
Início do Eclipse Solar Parcial
00:10
Eclipse Solar Parcial
00:20
Eclipse Solar Parcial
00:30
Eclipse Solar Parcial
00:40
Eclipse Solar Total
00:50
Sol
Lua
Posição desviada de
uma estrela durante um
eclipse solar total
Alguns eclipses importantes
28 mai 585 a.C. Primeiro eclipse previsto
18 jul 1860
Primeiro a ser fotografado
18 ago 1868
Primeira análise da composição
química dos gases das proeminências
07 ago 1869
Primeira foto e análise espectroscópica
da coroa solar
29 mai 1919
Confirmação experimental da deflexão
(1,75”) da luz num campo gravitacional,
conforme previsto por Einstein.
Observado em Sobral, Ceará, Brasil
Deflexão da
luz nas
proximidades
do Sol
Real
Observada
d = 0,00407” / tan( E / 2 )
d
Sol
E
E = elongação da estrela
d = deflexão da luz
Alguns valores de deflexão da luz
E ( o)
0,25
d ( “)
1,866 0,933 0,466 0,233 0,093 0,047 0,023 0,009 0,004
0,5
1
2
5
10
20
50
90
Nossa Galáxia
Esquema da Galáxia
Aglomerado
Globular
M 13
Diâmetro = 2000 AL
Estrelas = 1.000.000
Galáxias
Andrômeda
 Galáxia Espiral Sb
 Diâmetro = 150.000 a.l.
 Distância = 2.000.000 a.l.
 150 bilhões de estrelas
 Magnitude aparente = 3,5
Galáxia espiral
Aglomerados
de galáxias
Região central do
Aglomerado de
Virgo
M84
(elíptica)
M86
(elíptica)
Distância = 40 milhões de AL
(o mais próximo de nós)
Número de Galáxias = 2250
Aglomerado de Galáxias
Evidências de que o
Universo não é
estático
Velocidade Radial da galáxia
Lei de Hubble
c
(1929)
?
Observacional:
As galáxias estão
se afastando de nós.
v
v=HD
D
Distância até a galáxia
50 < H < 100
(km/s)/Mpc
Universo em Expansão
Passado
Presente
Futuro
Evolução
do
Universo
Origem (?) e Evolução do
Universo
Big-bang
Pré-big-bang (!?!)
Existia?
Havia matéria?
Havia energia?
Como era?
Pós-big-bang
Ocorreu?
Óvulo
primordial
Como evoluiu?
Como será o futuro?
“Big-bang”
Óvulo
primordial
Big-bang
Universo
em
expansão
Como se comporta
o Universo?
Raio do Universo
Tipos de Universo em
Expansão
Expansão
freada
Expansão
linear
Expansão
acelerada
Expansão
limitada
Pulsação
Tempo
Comportamento do
Universo
Velocidade
Expansão
indefinida
Expansão seguida
por contração
Determinante = massa do Universo
Universo Cíclico
Passado
Presente
Futuro
Raio do Universo
Universo Pulsante
Ciclo
atual
Ciclo
anterior
Ciclo
futuro
Hoje
Tempo
Big Bang
Big Bang
Big Bang
Big Bang
Qual a causa do
big-bang?
Diferença entre Matéria e
Anti-matéria
e-
n0
p+
(Koyno-)Matéria
e+
n0
p-
Anti-matéria
Interconversão entre
matéria e energia
m
E
a
E = (m+a) c2
m
E
E
a
Raio do Universo
Explicação para o Big Bang
Koino-matéria
Anti-matéria
Luz
Tempo
Hoje
m+a
E
E = m c2
Será que o Universo
pode se comportar
como um buraco
negro?
Fabricar um Buraco Negro !
?
Buraco
Negro
Terra
Para se tornar um Buraco Negro
Raio
Massa
R=?
?
Raio de Schwarzschild:
R = ( 2GM ) / c2
Massa
Terra
6x1024
Sol
M = 2x1030
Estrela Pesada 10 M
Galáxia
1011 M
Universo
?
Raio
Densid.
1 cm
1027
3 km
1016
30 km
1014
0,03 AL
10-6
?
?
Relação entre tamanho e massa
Tamanho da estrutura
Universo
Galáxia
Estrela
Sol
Anã branca
Buraco Negro
Planetas
Pulsar
Asteróides
Átomos
Moléculas
Núcleos atômicos
Região de
colapso
gravitacional
Massa da estrutura
Conclusão
Pode ser que Nosso Universo
se comporte como um
Buraco Negro
• Nada do que está dentro pode sair;
• Para “outro” Universo, somos invisíveis.
Fim