PGMEC
PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
ANÁLISE DO MOMENTO LIMITE EM DUTO
COM DEFEITO EXTERNO LOCALIZADO E
REPARADO COM MATERIAL COMPÓSITO
RAFAEL PEREIRA MATTEDI
MAIO DE 2011
RAFAEL PEREIRA MATTEDI
ANÁLISE DO MOMENTO LIMITE EM DUTO COM
DEFEITO EXTERNO LOCALIZADO E REPARADO COM
MATERIAL COMPÓSITO
Dissertação
de
Mestrado
apresentada
ao
Programa Francisco Eduardo Mourão Sabo ya
de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
da U FF como parte dos requisitos para a
obtenção do título de Mestre em Ciências em
Engenharia Mecânica
Orientador: Professor Luiz Carlos da S. Nunes D.Sc. (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, MAIO DE 2011
ANÁLISE DO MOMENTO LIMITE EM DUTO COM
DEFEITO EXTERNO LOCALIZADO E REPARADO COM
MATERIAL COMPÓSITO
Esta Tese é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Luiz Carlos da S. Nunes (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. João Marciano Laredo dos Reis (Ph. D.)
Universidade Federal Fluminense
Prof. Thiago Gamboa Ritto (D.Sc.)
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Aos meus pais, meu irmão e meu professor orientador.
Agradecimentos
Por este presente trabalho, agradeço em especial a minha família, meus amigos e meu
orientador, os quais me apoiaram e me deram forças para enfrentar toda a caminhada.
Agradeço, ainda, a Deus que colocou essas pessoas em meu caminho neste momento, pois
sem eles provavelmente não o teria finalizado.
RESUMO
Defeitos localizados em dutos e vasos de pressão são comumente encontrados na
indústria, e geralmente são devido à corrosão ou danos mecânicos. Com o objetivo de
manter a integridade estrutural, vários modelos analíticos e critérios têm sido propostos.
Entre estes, pode ser citado o critério de falha conhecido como Net-Section-collapse (NSC),
que é baseado no carregamento limite de dutos com defeitos circunferenciais. Nas últimas
décadas, métodos de reparos em dutos têm sido desenvolvidos com o intuito de restabelecer
a integridade de dutos danificados, evitando a substituição dos mesmos, dentre os quais, a
utilização de materiais compósitos tem se destacado. Neste contexto, o presente trabalho
tem como principal objetivo o estudo do momento limite em duto com defeito, sendo este
reparado com material compósito. Para isso, é proposto um modelo matemático baseado no
critério NSC que é validado numericamente usando método de elementos finitos. Na
análise, é verificada a espessura do reparo, considerando diferentes geometrias do defeito
(largura e profundidade). Os resultados da teoria proposta são comparados com as
simulações em elementos finitos, mostrando uma boa concordância.
ABSTRACT
Local wall thinning on pipelines or pressure vessels are common in industry and, usually, they occur
because of the corrosion or mechanical damages. To study the impacts that these cracks do on pipelines, some
analytical models and some failure criterion have been proposed. One of them is called Net-Section-Collapse
Analysis (NSC), which predicts the maximum moment of a circumferentially cracked pipe with a variabledepth internal surface crack subject to loads like bending moment and, eventually, tension (pressure-induced).
In recent decades, some repairing pipe methods have been developed in order to reestablish the integrity of
the damaged pipe, which can avoid its replacement. The method that uses composite materials is been used a
lot and is showing good results. In this context, this work has as the principal objective to study the limit
bending moment on pipelines with local wall thinning and repaired by a composite. Therefore a mathematical
model is proposed based on NSC which is validated numerically by finite element analysis. During the study,
the thickness of repair is investigated, considering some different geometries for the crack (length and depth).
The results of the proposed theory are compared with finite elements analysis, where can be observed a good
agreement.
SUMÁRIO
Lista de Figuras .......................................................................................................................i
Lista de Tabelas .....................................................................................................................iv
Lista de Símbolos ................................................................................................................... v
Capítulo 1. Introdução
1.1.
Considerações gerais .................................................................................................. 1
1.2.
Descrição do trabalho................................................................................................. 7
1.3.
Revisão Bibliográfica................................................................................................. 9
1.3.1.
Tensão devido ao momento fletor em duto de seção circular .............................. 9
1.3.2.
Flow Stress ......................................................................................................... 12
1.3.3.
Net-Section Collapse .......................................................................................... 14
1.3.4.
Aplicação do reparo usando compósito em dutos com defeito.......................... 24
1.3.4.1.
Metodologia de reparo usando material compósito ................................ 24
1.3.4.2.
Aplicação de reforço com material compósito........................................ 25
1.3.5.
Análise em elementos finitos: Definição de malha ............................................ 29
1.3.5.1.
Malha com elemento sólido .................................................................... 29
1.3.5.2.
Malha com elemento de casca – Método Shell ....................................... 30
Capítulo 2. Metodologia Proposta
2.1.
Descrição matemática do problema ......................................................................... 32
2.2.
Modelo analítico para duto com defeito externo reparado....................................... 35
2.3.
Modelo numérico – Método de elementos finitos (FEA) ........................................ 39
2.3.1.
Modelo utilizando malha de elemento sólido .................................................... 39
2.3.2.
Modelo utilizando malha de elemento Shell ...................................................... 42
Capítulo 3. Resultados e Discussão
3.1.
Resultados do Método Analítico .............................................................................. 48
3.2.
Resultados do Método Numérico – Comparação com o Método Analítico ............ 53
Capítulo 4. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
4.1.
Conclusões ............................................................................................................... 60
4.2.
Sugestões para Trabalhos Futuros............................................................................ 62
Referências Bibliográficas ................................................................................................. 64
APÊNDICE .......................................................................................................................... 66
Apêndice A: Artigo enviado para International Symposium on Solid Mechanics MecSol
2011 ................................................................................................................................. 67
Apêndice B: Tabela dos resultados numéricos ................................................................ 79
Apêndice C: Resultados da análise numérica do duto com defeito sem reparo .............. 91
i
Lista de Figuras
Figura 1 – Navio de instalação de SCR por bobina [www.subseaworld.com] ...................... 2
Figura 2 – Linhas submarinas de produção de petróleo (SCR em vermelho)
[www.technip.com] ................................................................................................................ 2
Figura 3 – Exemplo de defeito interno num duto [13] ........................................................... 4
Figura 4 – Geometria do defeito externo em um duto [8] ...................................................... 4
Figura 5 – Distribuição da tensão de flexão num duto ........................................................... 9
Figura 6 – Diagrama tensão x deformação ........................................................................... 12
Figura 7 – Fatores que influenciam a Flow Stress; a) Composição química, b) Pureza, c)
Estrutura cristalina, d) Transformação de fase da rede cristalina, e) Método de fabricação, f)
Tamanho do grão [2] ............................................................................................................ 13
Figura 8 – Defeito na seção de um duto devido à corrosão intergranular [13] .................... 15
Figura 9 – Exemplo de defeito interno devido à corrosão [13] ............................................ 16
Figura 10 – Distribuição de tensão num duto [13] ............................................................... 17
Figura 11 – Distribuição de tensão numa seção defeituosa, onde θ>π-β, utilizando critério
NSC [13]............................................................................................................................... 18
Figura 12 – Critério NSC simplificado [13]......................................................................... 20
Figura 13 – Momento normalizado NSC em relação ao ângulo do defeito [13].................. 21
Figura 14 – Momento limite do duto baseado no critério NSC com espessura de defeito
constante [8] ......................................................................................................................... 23
Figura 15 – Compósito pré-fabricado [1] ............................................................................. 25
Figura 16 – Geometria do defeito no duto antes do reparo [7]............................................. 26
ii
Figura 17 – Aplicação da resina para preenchimento do defeito do duto em laboratório [7]
.............................................................................................................................................. 27
Figura 18 – Região do duto com defeito reparado em laboratório [7] ................................. 27
Figura 19 – Aplicação do compósito no defeito do duto [17] .............................................. 28
Figura 20 – Elemento de malha do tipo sólido Quadrático Hexaedro.................................. 29
Figura 21 – Elemento de malha do tipo Shell Quadrilátero Linear ...................................... 31
Figura 22 – Elemento de malha do tipo Shell Quadrilátero Linear ...................................... 31
Figura 23 – Geometria do duto e sua respectiva aplicação do momento, a) Seção sem
defeito, b) Seção com defeito ............................................................................................... 33
Figura 24 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito para um
duto sem reparo .................................................................................................................... 36
Figura 25 – Planos de simetria do duto com defeito sem compósito ................................... 39
Figura 26 – Condições de contorno para a análise do duto com defeito sem compósito ..... 40
Figura 27 – Camadas do modelo Shell e respectivas espessuras substituídas no modelo.... 42
Figura 28 – Geometria em formato Shell do duto com defeito externo e compósito........... 43
Figura 29 – Malha do modelo............................................................................................... 44
Figura 30 – Simetria longitudinal do modelo Shell.............................................................. 45
Figura 31 – Simetria da seção transversal do modelo Shell ................................................. 45
Figura 32 – Condição de contato entre o compósito e o duto .............................................. 46
Figura 33 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito para um
duto sem reparo .................................................................................................................... 49
Figura 34 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito para um
duto com reparo (tc = ta)....................................................................................................... 50
iii
Figura 35 – Gráfico do comportamento do momento fletor limite em relação ao
crescimento angular do defeito para um duto com reparo (tc = 1,5ta) ................................ 51
Figura 36 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito para um
duto com reparo (tc=ta e σcadm=500 MPa)............................................................................ 52
Figura 37 – Ponto de tensão analisado no modelo FEA ....................................................... 53
Figura 38 – Distorção e distribuição de tensão no duto – Vista lateral – Aplicação de
momento fletor do lado esquerdo e condição de simetria do lado direito ............................ 54
Figura 39 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = ta) ............ 55
Figura 40 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = 1.5ta) ....... 56
Figura 41 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = ta, σcadm =
500MPa) ............................................................................................................................... 56
Figura 42 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = 1.5ta, σcadm =
500MPa) ............................................................................................................................... 57
Figura 43 – Resultado da máxima tensão (251.59 MPa) no modelo sólido com defeito (d =
0.1D, 2θ=18⁰, σaadm = 250MPa)........................................................................................... 91
Figura 44 – Resultado da máxima tensão (248.27 MPa) no modelo Shell com defeito (d =
0.2D, 2θ=18⁰, σaadm = 250MPa)........................................................................................... 92
iv
Lista de Tabelas
Tabela 1- Propriedades mecânicas dos materiais utilizados................................................. 34
Tabela 2- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,1............................... 57
Tabela 3- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,3............................... 58
Tabela 4- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,5............................... 58
Tabela 5- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,7............................... 58
Tabela 6- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,9 ............................... 59
v
Lista de Símbolos
θ
Metade do ângulo do defeito local
β
Metade do ângulo neutro
Ro
Diâmetro externo do duto
Ri
Diâmetro interno do duto
Rm
Diâmetro médio do duto
I
Momento de inércia da seção transversal do duto sem defeito
ta
Espessura de parede do duto
tc
Espessura do compósito
d
Profundidade do defeito
η
Razão da espessura remanescente do duto na região com defeito
Ld
Comprimento do defeito ao longo do duto
L
Comprimento do duto
N.A.
Linha neutra
σ
Tensão de flexão
σaadm Tensão admissível (Limite considerado para o material)
௔
ߪ௔ௗ௠
௖
ߪ௔ௗ௠
Tensão admissível do aço
Tensão admissível do compósito
σ0
Tensão admissível (limite) para um duto sem defeito
σf
Tensão de fluência (Flow stress)
a(ξ)
Função profundidade do defeito
M0
Momento fletor limite de um tubo sem defeito
M
Momento fletor limite de um tubo com defeito
vi
E
Módulo de elasticidade do material
K
Coeficiente de resistência
ε
Deformação linear
n
Coeficiente de encruamento
1
Capítulo 1
Introdução
1.1.Considerações gerais
Na indústria, principalmente de óleo e gás, a utilização de dutos rígidos é vasta. De
acordo com Duell et al [7] existem mais de 1,7 milhões de kilômetros de linhas de óleo e
gás em operação. Só no norte da América são gastos cerca de dois a três bilhões de dólares
para reparos ou substituição dos dutos que apresentam determinados defeitos.
No segmento offshore / subsea, os risers e flowlines, por exemplo, podem ser dutos
rígidos. São os chamados Steel Catenary Riser (SCR), conforme citado na DNV-OS-F101
[6]. Estes estão sujeitos a diversos carregamentos desde seu lançamento até a operação,
como pode ser observado nas Figuras 1 e 2.
2
Figura 1 – Navio de instalação de SCR por bobina [www.subseaworld.com]
Figura 2 – Linhas submarinas de produção de petróleo (SCR em vermelho)
[www.technip.com]
3
Em outras áreas da engenharia como energia, siderurgia, mineração também
possuem dutos rígidos em sua produção. Todos estão sujeitos ao surgimento de defeitos em
suas estruturas e deve-se saber qual decisão tomar para solucionar o problema. Por isso, é
desejável que se tenha um conhecimento aprofundado das propriedades mecânicas e limites
de carregamento dos dutos rígidos.
A perda de espessura é um defeito muito comum nos dutos rígidos e vasos de
pressão durante sua vida útil. Este defeito pode ocorrer internamente, devido à corrosão
e/ou erosão no transporte do fluido ou externamente, devido à água do mar ou ao solo,
sendo ele, então, fruto de um desgaste corrosivo ou abrasivo, ou até mesmo de um dano
mecânico. Neste trabalho, será tratado como um defeito a perda de material numa
determinada seção do duto.
No segmento offshore / subsea, existem regiões críticas, as quais apresentam
desgaste excessivo e altos carregamentos. O primeiro ponto de contato do SCR com o solo
submarino (Ver Figura 2), também conhecido como o Touch Down Point (TDP) [6], é um
exemplo onde ocorrem altos carregamentos, grandes curvaturas e desgaste contínuo.
Descontinuidades na seção de um duto, seja ela na região interna ou externa,
também pode ocorrer durante a sua fabricação. Regiões de solda geralmente estão sujeitas à
falta de penetração, mordedura ou falta de fusão, conforme mostrado na Figura 3.
Baseado nessas ocorrências, alguns métodos analíticos foram desenvolvidos para
quantificar a perda da integridade estrutural do duto, ou seja, para determinar os máximos
carregamentos externos que o duto ainda pode suportar.
4
Figura 3 – Exemplo de defeito interno num duto [13]
Rahman e Wilkowski [13] propõem um método generalizado do Net-SectionCollapse (NSC), onde o momento limite de um duto depende do ângulo (2θ) e da
profundidade radial do defeito local, a qual é uma função do ângulo do defeito a(ξ), onde 0
< ξ < θ. Já a norma ASME Seção XI [3] considera em seus cálculos a mesma metodologia
NSC, porém a profundidade do defeito é constante (d) e é definida pelo maior valor de a(ξ).
Figura 4 – Geometria do defeito externo em um duto [8]
5
Na Figura 4 é ilustrado um duto com uma determinada geometria de defeito
externo. Analiticamente o comprimento do defeito L (ou Ld) na direção longitudinal não
teria efeito sobre o momento limite de um duto, porém Han et al [8] comprova pelo método
de elementos finitos que para pequenos valores de Ld o momento limite do duto varia
consideravelmente. Em todo seu estudo Han utiliza a mesma metodologia da ASME Seção
XI.
Geralmente os dutos que apresentam defeitos muito severos são reparados de duas
diferentes formas. A primeira opção é a troca do segmento de duto com dano por outro
novo. Outra opção é a fixação de um reforço de aço, por solda ou parafusos, em todo o
contorno do duto na região danosa. Entretanto, as duas ações requerem a parada de
produção por um longo período, o que resulta em grande prejuízo para a empresa
produtora.
Uma prática que tem se tornado cada vez mais comum é a aplicação de um
compósito em todo o perímetro da região com defeito. Este reparo é comumente chamado
de FRP (Fiber Reinforced Polymer) e pode ser de diferentes materiais como: fibra de vidro,
fibra de aramida ou fibra de carbono, estes combinados com resina epóxi. De acordo com
Duell et al [7] o reparo com fibra de carbono (CFRP) se mostra mais eficaz devido suas
propriedades mecânicas.
Com o surgimento dessas falhas ou defeitos, e com o tubo sujeito a diferentes
esforços, as seções críticas devem sofrer uma análise diferenciada, considerando sua nova
área de seção e momento de inércia. Assim, torna-se possível avaliar a estrutura e definir se
ela poderá continuar em operação, ou deverá sofrer reparo ou substituição.
6
A tomada de decisão para esses casos geralmente envolve altos custos para as
empresa, daí a importância de saber exatamente qual a ação mínima a se fazer para que
tenha baixo custo e garanta a integridade estrutural do duto.
7
1.2.Descrição do trabalho
Este trabalho tem como principal objetivo o estudo do momento limite em duto com
defeito, sendo este reparado com material compósito. Para isso, foi proposto um modelo
matemático baseado no critério NSC, e com a aplicação de um compósito CFRP como
reparo.
Motivado por diversos trabalhos publicados que estudam o comportamento de dutos
com defeito sujeitos a momento fletor, e sabendo do grande impacto financeiro que estes
defeitos podem gerar para as indústrias, foi possível desenvolver um método capaz de
prever a espessura mínima necessária do reparo, de forma a auxiliar a aplicação do reforço
estrutural nesses dutos.
No final do capítulo 1 é feita uma revisão bibliográfica abordando os conceitos de
momento fletor em duto de seção circular, Flow Stress, critério NSC geral e simplificado,
aplicação de reparo FRP em dutos com defeito e definições de malha e seus elementos,
sólido e de casca (Shell), para análise em elementos finitos.
No capítulo 2 é apresentada a metodologia proposta para a análise do momento no
duto com defeito externo reparado com CFRP. Diferentes geometrias do defeito e
diferentes configurações do compósito são consideradas no estudo analítico. Neste capítulo
também é apresentado o estudo por elementos finitos que foi feito para comparar os
resultados analíticos encontrados.
Já no capítulo 3 os resultados da teoria proposta são apresentados em gráficos
seguindo a mesma metodologia utilizada por Rahman et al [13] e Han et al [8]. Em
seguida, novos gráficos são traçados, dessa vez adicionando os pontos discretos, os quais
representam os resultados do modelo numérico (análise em elementos finitos).
8
Por fim, no capítulo 4 são apresentadas as conclusões do estudo, bem como algumas
sugestões para trabalhos futuros.
9
1.3.Revisão Bibliográfica
1.3.1. Tensão devido ao momento fletor em duto de seção circular
Segundo Hibbeler [9], a tensão devido ao momento fletor, também chamada de
tensão de flexão, relaciona a distribuição de tensão longitudinal de um duto ao momento
fletor resultante interno que atua na sua seção transversal.
Para isso, é suposto que o material se comporta de maneira linear-elástica de modo
que a Lei de Hooke a ele se aplica, isto é, σ = E.ε. Uma variação linear da deformação
normal deve ser a consequência de uma variação linear na tensão normal. Então, como a
variação da deformação, σ varia de zero no eixo neutro do elemento a um valor máximo,
σmax, à distância Ro (raio externo) mais afastada do eixo neutro, como ilustrado na Figura 5.
Figura 5 – Distribuição da tensão de flexão num duto
Devido à proporcionalidade dos triângulos, ou usando a Lei de Hooke, pode-se
escrever:
௬
ߪ = − ቀ ቁߪ௠ ௔௫
ோ೚
onde,
‫ܴ[ ߳ ݕ‬௜, ܴ௢]
(1)
A equação 1 representa a distribuição de tensão sobre a área da seção transversal. A
convenção de sinal estabelecida é significativa nesse caso. No caso do momento fletor M0
10
positivo, que atua na direção +x, valores positivos de y resultam em valores positivos de σ,
ou seja, em uma tensão de tração, visto que atua na direção positiva de z. Se um elemento
de volume do material for selecionado em um ponto específico da seção transversal, apenas
tensões normais atuarão sobre ele.
A posição do eixo neutro na seção transversal circular de um duto será no centro da
seção, de modo que a força resultante produzida pela distribuição de tensão sobre a seção
transversal deve ser igual a zero. Observando que a força ݀‫ ܣ݀ ߪ = ܨ‬atua sobre o elemento
infinitesimal arbitrário de área dA na Figura 5, tem-se que:
‫ܨ‬ோ = ∑ ‫ܨ‬௫
(2)
0 = ∫஺ ݀‫∫ = ܨ‬஺ ߪ ݀‫ܣ‬
(3)
௬
0 = ∫஺ − ቀோ ቁߪ௠ ௔௫ ݀‫ܣ‬
0= −
ఙ೘ ೌೣ
Como σmax/Ro é diferente de zero:
ோ೚
೚
∫஺ ‫ܣ݀ ݕ‬
∫஺ ‫ = ܣ݀ ݕ‬0
(4)
(5)
(6)
A tensão na viga pode ser determinada considerando que o momento interno
resultante M seja igual ao momento produzido pela distribuição de tensão em torno do eixo
neutro. O momento produzido por dF em torno do eixo neutro, na Figura 5, é ݀‫ܨ݀ ݕ = ܯ‬.
Como ݀‫ܣ݀ ߪ = ܨ‬, usando a Equação (1), tem-se que:
(‫ ܯ‬ோ )௭ = ∑ ‫ ܯ‬௭
Logo,
(7)
௬
‫∫ = ܯ‬஺ ‫∫ = ܨ݀ ݕ‬஺ ‫∫ = )ܣ݀ ߪ(ݕ‬஺ ‫ݕ‬ቀோ ߪ௠ ௔௫ቁ݀‫ܣ‬
೚
‫= ܯ‬
ఙ೘ ೌೣ
ோ೚
∫஺ ‫ݕ‬ଶ݀‫ܣ‬
(8)
(9)
11
A integral representa o momento de inércia I da área da seção transversal calculado
em torno do eixo neutro. Portanto, a Equação (9) pode ser escrita da forma:
ߪ௠ ௔௫ =
ெ ோ೚
onde,
ூ
ܴ௢ = ‫ݕ‬௠ ௔௫
(10)
A tensão normal na distância intermediária y pode ser determinada por uma equação
semelhante à Equação 10:
ߪ=
ெ ௬
ூ
(11)
12
1.3.2. Flow Stress
Flow Stress é uma tensão entre o escoamento e o limite de resistência a tração. Ela é
definida como o menor valor de tensão requerido para manter uma determinada deformação
plástica no material, como é mostrado na Figura 6.
Em outras palavras, a Flow Stress é como uma tensão de escoamento expressa como
função da deformação plástica do material, a qual segue a relação:
ߪ௙ = ‫ߝܭ‬௡
(12)
Onde K é a resistência plástica e n é o coeficiente de encruamento.
Figura 6 – Diagrama tensão x deformação
De acordo com Hensel [2] existem vários parâmetros que afetam a Flow Stress do
material. Alguns exemplos são apresentados na Figura 7. Seu valor pode aumentar ou
diminuir dependendo da composição química do material; quanto maior o grau de pureza
do material, maior será a Flow Stress; A mudança da estrutura cristalina decorrente da
13
conformação ou do tratamento térmico também afeta a Flow Stress; Assim como a
mudança de fase, a estrutura cristalina ou tamanho do grão.
Figura 7 – Fatores que influenciam a Flow Stress; a) Composição química, b)
Pureza, c) Estrutura cristalina, d) Transformação de fase da rede cristalina, e) Método de
fabricação, f) Tamanho do grão [2]
Flow stress é comumente utilizada como tensão limite em estudos de colapso de
dutos. A teoria Net-Section-Collapse, citada na seção 1.3.3 e Miyazaki e al [11], em seu
experimento, utilizam a Flow Stress como tensão admissível em seus estudos.
14
1.3.3. Net-Section Collapse
1.3.3.1.
Net-Section-collapse – Introdução
Net-Section-collapse (NSC) é um método desenvolvido para verificar a integridade
estrutural de um duto que apresenta uma determinada perda de espessura (defeito), seja ela
constante ou variável, em sua seção transversal. Neste critério, são avaliados os
carregamentos externos limites, ou seja, os carregamentos admissíveis antes da falha do
duto.
Este método, originalmente desenvolvido no Eletric Power Research Institute
(EPRI) Project RP585, segundo Kanninen e al [10], pode ser utilizado no cálculo do
máximo carregamento de um duto quando a tenacidade à fratura de seu material é
suficientemente grande para, assim, garantir que sua falha seja definida pela flow stress, e o
crescimento do defeito é desprezível, ou seja, considerado constante em relação ao tempo.
Dessa forma, o método NSC tem sido utilizado pela ASME Seção XI [3] como um
dos mecanismos de falha na determinação do critério de aceitação de um duto com defeito.
Os defeitos nos dutos rígidos geralmente apresentam geometrias complexas, como
por exemplo, a geometria apresentada na Figura 8, que consiste numa Intergranular StressCorrosion Crack (IGSCC), ou corrosão intergranular. Trata-se de um defeito interno, com
360 graus de abrangência, e com diferentes espessuras ao longo da seção. Nesta figura,
percebe-se claramente a grande variação da espessura do defeito em torno da circunferência
do duto.
15
Figura 8 – Defeito na seção de um duto devido à corrosão intergranular [13]
Outro exemplo pode ser visto na Figura 9, a qual apresenta um defeito interno,
também devido à corrosão, num duto do gerador diesel de emergência do sistema de
abastecimento de água na Planta Haddam Neck [13]. As diferentes medidas de espessura
foram medidas por ultrassom, e confirmaram uma variação de 7 a 63.5% da espessura.
Estes exemplos, definitivamente, não seguem nenhuma geometria pré-definida, por
isso apresentam maior dificuldade na modelagem do problema.
16
Figura 9 – Exemplo de defeito interno devido à corrosão [13]
1.3.3.2. Equação Geral – Net-Section-collapse
O método Net-Section-collapse (NSC) é baseado no carregamento limite de dutos
com defeitos (perda de material) circunferenciais. Dado um duto de seção circular com uma
variação de espessura circunferencial interna, ou seja, um defeito conforme Figura 10, são
considerados os raios externo e interno Ro e Ri, respectivamente, e espessura t. Este duto é
então, submetido a um momento fletor e uma pressão interna.
Denota-se, então, como 2θ o ângulo total da abertura do defeito na seção e a(ξ) a
espessura do defeito, a qual é função da coordenada angular ξ medida do eixo y. O defeito
é considerado simétrico em relação ao eixo y, dessa forma é assegurada a distribuição
17
simétrica da tensão na análise NSC. Na realidade, dificilmente haverá casos em que a
geometria do defeito é simétrica em relação ao eixo x, porém, para efeito de cálculos, é
possível considerar o defeito mais crítico para os dois lados do eixo x de forma
conservadora, ou seja, “espelhar” o defeito com maiores dimensões em relação ao eixo x.
Assim haverá simetria em relação à x, e a linha neutra N.A., apesar de se deslocar, será
sempre paralela ao eixo z, o que garante o equilíbrio do momento fletor externo aplicado.
Figura 10 – Distribuição de tensão num duto [13]
De acordo com a variação de 2θ e a(ξ) haverá mudança na área tensionada e,
principalmente, no momento polar de inércia. A linha neutra (N.A.) se deslocará do centro
da seção para a região menos defeituosa da seção, como mostra a Figura 10.
O método NSC é comumente dividido em dois casos:
Primeiro caso: Considera que o defeito está presente em apenas um dos lados da
linha neutra, ou seja, θ<π-β (Veja a Figura 10). Então, da equação do equilíbrio de forças
tem-se:
18
ఏ
ଵ
2ߪ௙ܴ௠ ‫ݐ‬ቂ∫଴ ൬1 − ௧ ܽ(ߦ) ൰݀ߦ+ (ߨ − ߚ − ߠ)ቃ= ߨܴ௜ଶ‫݌‬
Onde,
ߚ=
భ ഇ
గି ∫బ ௔(క)ௗక
೟
Da equação do equilíbrio do momento:
ఏ
ଶ
−
గோ೔మ௣
గିఉ
ଵ
(14)
ସఙ೑ ோ೘ ௧
‫ = ܯ‬2ߪ௙ܴ௠ଶ ‫ݐ‬ቂ∫଴ ൬1 − ௧ ܽ(ߦ) ൰cos ߦ݀ߦ+ ∫ఏ
Neste caso o momento fletor limite é dado por
(13)
గିఉ
cos ߦ ݀ߦ+ ∫ఏ
ଵ ఏ
‫ = ܯ‬2ߪ௙ܴ௠ଶ ‫ݐ‬ቂ2 sin ߚ − ∫଴ ܽ(ߦ) cos ߦ݀ߦቃ
௧
cos ߦ ݀ߦቃ(15)
(16)
Segundo caso: Considera que o defeito está presente nos dois lados da linha neutra,
ou seja, θ>π-β. Veja a Figura 11. Do equilíbrio das forças, tem-se:
గିఉ
2ߪ௙ܴ௠ ‫ݐ‬ቂ∫଴
ఏ
ଵ
ଵ
൬1 − ௧ ܽ(ߦ) ൰݀ߦ− (ߨ − ߠ) − ∫గିఉ ൬1 − ௧ ܽ(ߦ) ൰݀ߦቃ= ߨܴ௜ଶ‫( ݌‬17)
Figura 11 – Distribuição de tensão numa seção defeituosa, onde θ>π-β, utilizando
critério NSC [13]
19
Onde,
ߚ = ݂ଵ ቀܴ௠ , ‫ݐ‬, ‫݌‬, ߪ௙, ܽ(ߦ)ቁ
(18)
Do equilíbrio dos momentos,
ଵ గିఉ
‫ = ܯ‬2ߪ௙ܴ௠ଶ ‫ݐ‬ቂ2 sin ߚ − ௧ ∫଴
ଵ ఏ
ܽ(ߦ) cos ߦ݀ߦ + ௧ ∫గିఉ ܽ(ߦ) cos ߦ݀ߦቃ
(19)
Neste método, integrais similares envolvendo a(ξ) aparecem tanto na equação de β
como na equação do momento M. Como, na realidade, a geometria do defeito geralmente
apresenta-se muito irregular, chegar a uma função da profundidade do defeito a(ξ) para, em
fim, calcular sua integral talvez seja o mais trabalhoso para a aplicação dessa metodologia.
As equações apresentadas para os dois casos são válidas para os dutos que possuem
defeitos circunferenciais com uma geometria arbitrária, porém apresentando simetria em
relação ao eixo y. Estas são as equações denominadas Equações NSC Generalizadas.
Uma observação importante a ser feita, é que a relação Rm / t é suficientemente
grande para garantir a aproximação da metodologia de tubo de parede fina.
1.3.3.3.
Equações simplificadas - Net-Section-Collapse
O critério NSC prevê ainda simplificações na geometria do defeito para maior
agilidade nos cálculos, obviamente de forma conservativa. Para isso, assume-se que a
função profundidade do defeito a(ξ) pode ser constante (a0) ou pode variar de forma
elíptica ou parabólica (Veja a Figura 12). Com isso as fórmulas para o momento fletor
podem ser menos extensas, o que agiliza a compilação dos resultados.
Neste caso, a equação de a(ξ) é dada por:
ܽ଴, ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋ܿ ݋ݐ݂݅݁݁݀ ܽݎܽ݌‬
ܽ(ߦ) = ቐ ܽ଴ඥ1 − (ߦ/ߠ)ଶ, ‫݈݁ ܽ ݉ݎ݋݂ ݉݋ܿ ݋ݐ݂݅݁݁݀ ܽݎܽ݌‬í‫ ܽܿ݅ݐ݌‬ቑ
ܽ଴(1 − ߦ/ߠ)ଶ, ‫ܾܽݎܽ݌ ܽ ݉ݎ݋݂ ݉݋ܿ ݋ݐ݂݅݁݁݀ ܽݎܽ݌‬ó݈݅ܿܽ
(20)
20
O critério (a) da Figura 12 é o método utilizado atualmente pela ASME Seção 11
[3].
Figura 12 – Critério NSC simplificado [13]
Rahman et al [13] apresenta um exemplo numérico, com o objetivo de comparar os
resultados dos três casos (defeito constante, elíptico e parabólico). No exemplo, foram
assumidos o diâmetro externo, a espessura e sua Flow stress. O duto foi sujeito a um
determinado momento fletor combinado a uma pressão interna.
21
Nos três casos, a espessura do defeito a0 foi definida tendo seu valor máximo no
eixo y, com os valores a0 / t = 0.1 e a0 / t = 0.9.
Utilizando a Equação (20) de a(ξ) nas Equações (14) e (16) de β e M,
respectivamente, foi possível chegar à relação M / M0, em relação ao ângulo do defeito
em função de π (θ / π).
Vale lembrar que o momento M0 é o momento limite do duto sem defeito,
conforme apresentado na seção 1.2.
O gráfico da Figura 13 mostra que a diferença entre os momentos NSC,
considerando a espessura constante, elíptica e parabólica, é pequena perante a relação a0 / t
= 0.1. Entretanto, para a relação a0 / t = 0.9, a diferença entre os resultados se torna bem
maior. No gráfico pode ser observado também que a curva da espessura do defeito
constante resulta momentos limite menores para o problema. Isso indica que a
metodologia que considera a espessura constante em todo o defeito é mais
conservadora que as demais.
Figura 13 – Momento normalizado NSC em relação ao ângulo do defeito [13]
22
Portanto, considerando a espessura do defeito constante (a0 = d), as equações de β e
M podem ser expressas seguindo a seguinte relação para os dois casos:
Primeiro caso (θ < π-β):
ߚ=
Onde,
గ
(ଵିఎ)ఏ
൬1 −
ଶ
ߟ=
Assim,
గ
௣
−
ଶగோ೘ ௧ఙ೑
൰
௧ିௗ
(21)
(22)
௧
‫ ≅ ܯ‬2ߪ௙ܴ௠ଶ ‫[ݐ‬2 sin ߚ − (1 − ߟ) sin ߠ]
(23)
Analogamente, para o segundo caso (θ > π-β):
ߚ=
గ
ଶఎ
൬2ߟ +
(ଵିఎ)ఏ
గ
− 1−
௣
ଶగோ೘ ௧ఙ೑
൰
‫ ≅ ܯ‬2ߪ௙ܴ௠ଶ ‫[ݐ‬2ߟsin ߚ + (1 − ߟ) sin ߠ]
(24)
(25)
Se a pressão interna p for considerada igual a zero, é possível obter as equações do
momento fletor limite, puramente. Eliminando então o termo que possui p na Equação de β,
têm-se as novas relações para o momento limite.
Para θ < π-β:
ߚ=
Onde M0 é expresso por,
గ
ቀ1 −
ଶ
(ଵିఎ)ఏ
గ
‫ ܯ ≅ ܯ‬଴ ቂsin ߚ −
ቁ
(26)
(ଵିఎ)
ଶ
sin ߠቃ
‫ ܯ‬଴ = ߪ௙ܴ௠ଶ ‫ݐ‬
Para θ > π-β:
ߚ=
గ
ଶఎ
ቀ2ߟ +
(ଵିఎ)ఏ
గ
− 1ቁ
(27)
(28)
(29)
23
‫ ܯ ≅ ܯ‬଴ ቂߟsin ߚ −
(ଵିఎ)
ଶ
sin ߠቃ
(30)
A Figura 14 mostra a relação entre o momento limite, o ângulo (tamanho
circunferencial) e espessura do defeito. O lado esquerdo da reta onde θ = π- β, representa os
resultados das fórmulas (26) a (27), e o lado direito (29) e (30).
Figura 14 – Momento limite do duto baseado no critério NSC com espessura de defeito
constante [8]
24
1.3.4. Aplicação do reparo usando compósito em dutos com defeito
1.3.4.1.
Metodologia de reparo usando material compósito
Os dutos são componentes de grande responsabilidade nas operações industriais,
principalmente na offshore/subsea. São elementos que estão sujeitos à corrosão externa e
danos mecânicos durante sua vida útil, por isso, geralmente eles são reparados para garantir
sua integridade original quando em operação.
Dentre as técnicas convencionais de reparo, está a aplicação de um colar (clamp),
seja ele soldado ou parafusado, no diâmetro externo do duto, conforme é citado por
Alexander e Ochoa [1] e Chappeti e al [4]. Esta operação envolve muitas dificuldades
durante a sua instalação: o peso da peça e o processo de soldagem num duto que está em
serviço acabam gerando riscos e comprometendo a segurança, além de apresentar um custo
elevado.
A solução que vem ganhando espaço no mercado é a aplicação do reparo de
compósito na região do defeito, o qual é chamado Fiber Reinforced Polymer (FRP). Esta
alternativa tornou-se atrativa pelo fato de apresentar baixo custo, baixo peso, não requer
soldagem e é de simples instalação.
De acordo com Duell e al [7], algumas análises realizadas por indústrias
comprovaram que este tipo de reparo é, em média, 24% mais barato que os reforços de aço,
soldados em torno do duto, e 73% mais barato que a troca do segmento do duto com dano.
Os FRPs apresentam alta resistência mecânica, boa resistência à corrosão e grande
durabilidade. No mercado, três tipos de material podem ser utilizados na matriz do FRP. As
fibras, de vidro e a de aramida, oferecem um custo menor, entretanto sua resistência
mecânica é consideravelmente menor que a fibra de carbono, por isso tem-se adotado mais
25
os Carbon Fiber Reinforced Polymer (CFRPs). O CFRP apresenta maior impacto no
aumento da resistência aos carregamentos externos, o que facilita alcançar a integridade
estrutural original do duto.
O compósito é feito da combinação de dois materiais, a fibra de carbono e a resina
epóxi, os quais se agregam ao substrato, que é o aço do duto. Seu limite de resistência varia
de acordo com as características de sua fabricação, ou seja, depende diretamente do número
de fibras por milímetros quadrados utilizados na fabricação.
1.3.4.2.
Aplicação de reforço com material compósito
Atualmente, dois métodos são comumente utilizados na aplicação do reparo. O
primeiro consiste na aplicação de uma seção de compósito pré-fabricada, colada na
superfície externa do duto, conforme Figura 15. Este método é mais apropriado para dutos
que possuem sua superfície externa sem irregularidades e um defeito de geometria simples
como é mostrado na Figura 16.
Figura 15 – Compósito pré-fabricado [1]
26
O outro método é modelar o compósito conforme a superfície e a geometria do duto
e do defeito, o qual é mais recomendado para dutos com superfície externa irregular e com
geometria de defeito complexa. Este método é também mais apropriado quando é requerida
alta resistência na região colada.
Figura 16 – Geometria do defeito no duto antes do reparo [7]
Dois materiais são necessários para a fabricação e aplicação do compósito: a resina
epóxi e a manta de fibra de carbono. A resina tem duas funções, preencher toda a região
com defeito até garantir uma superfície regular de mesmo diâmetro externo do duto e
misturar-se à manta de fibra de carbono durante seu enrolamento para a formação do
compósito. A resina epóxi Diglycidyl Ether of Bisphenol-A (DGEBA) é comumente
utilizada neste tipo de aplicação. A Figura 17 mostra o duto após a aplicação da resina para
o preenchimento da região com defeito, antes da aplicação do compósito.
27
Figura 17 – Aplicação da resina para preenchimento do defeito do duto em laboratório [7]
A Figura 18 apresenta um duto com a manta de fibra de carbono já enrolada. Esta
figura mostra um método artesanal para aplicação do compósito, feito em laboratório.
Figura 18 – Região do duto com defeito reparado em laboratório [7]
O compósito, após ser moldado no duto, passa pelo processo de cura. Essa etapa
depende do tempo e da temperatura do local. É comum a utilização de catalisadores para
agilizar o processo.
28
A Figura 19 apresenta o esquema de um duto reparado com o compósito. O lado
esquerdo da figura é a vista isométrica do duto reparado e o lado direito mostra a seção
circular do duto com o sentido de enrolamento do compósito.
Figura 19 – Aplicação do compósito no defeito do duto [17]
29
1.3.5. Análise em elementos finitos: Definição de malha
1.3.5.1.
Malha com elemento sólido
A malha com elemento sólido é o conjunto de elementos de geometria definida e
seus respectivos nós, em três dimensões, o qual define e mapeia o modelo a ser estudado
por método de elementos finitos. Essa malha é muito utilizada para peças e estruturas de
geometria complexa e de orientação espacial, onde sua malha apresentar-se-á não uniforme.
De acordo com Simo e Armero [14], o elemento sólido pode ter inúmeras
geometrias, dentre elas o hexaedro, o tetraedro, a forma piramidal ou prismática. Ele pode
apresentar diferentes quantidades de nós e diferentes graus de liberdades para cada nó.
Figura 20 – Elemento de malha do tipo sólido Quadrático Hexaedro
30
O elemento sólido quadrático hexaedro, por exemplo, possui vinte nós por elemento
e três graus de liberdade por nó, translação nas direções x, y e z. Estes elementos permitem
análises de plasticidade, hiperelasticidade, fluência, grandes deslocamentos e grandes
deformações. A Figura 20 apresenta alguns diferentes tipos de elementos sólidos
quadráticos hexaedros para a formação da malha de FEA.
1.3.5.2.
Malha com elemento de casca – Método Shell
A malha Shell é o conjunto de elementos de geometria definida e seus respectivos
nós, em uma ou duas dimensões, o qual define e mapeia o modelo a ser estudado. A
utilização dessa malha com elemento de casca é recomendada para análises de estruturas
que possuem espessuras finas ou moderadas, onde a largura e o comprimento do modelo
são muito maiores que sua espessura. Trata-se de uma malha com elementos coplanares,
onde é analisada a deformação da membrana formada pelos seus nós.
O elemento de malha Shell, de acordo com Simo e Armero [14], pode ter diferentes
características quanto à quantidade de nós e seus respectivos graus de liberdade. Elementos
com quatro ou oito nós são comumente utilizados em MEF no método Shell. Cada nó
geralmente possui apenas três graus de liberdade: translação nas direções x, y e z.
Entretanto, para análises dinâmicas e térmicas, seja em regime estacionário ou transiente,
inúmeros graus de liberdade podem ser combinados: translação, rotação, velocidade,
aceleração e temperatura.
Por exemplo, uma malha do tipo Shell Quadrilátero Linear pode apresentar quatro
ou oito nós por elemento, com três graus de liberdade cada um: translação nas direções x, y
e z, conforme mostra a Figura 21 e a Figura 22.
31
Figura 21 – Elemento de malha do tipo Shell Quadrilátero Linear
Estes elementos são utilizados para análises com grandes deformações, lineares ou
não lineares. Análises onde camadas podem ser feitas para a modelagem da geometria que,
por exemplo, possui várias camadas de compósito ou compósito mais aço.
Figura 22 – Elemento de malha do tipo Shell Quadrilátero Linear
32
Capítulo 2
Metodologia Proposta
2.1.Descrição matemática do problema
Foi considerado um duto de comprimento L e raios externo e interno Ro e Ri,
respectivamente. O defeito, de comprimento Ld, encontra-se no centro do duto conforme
Figura 23. Foi inserido, então, um compósito de fibra de carbono de comprimento Lc e
espessura tc em todo o perímetro da região com dano. Geralmente o volume do dano (a
região sem material), entre o duto e o reparo, numa aplicação real, é preenchido com resina
epóxi conforme citado na seção 1.3.4.2, entretanto, para efeito de cálculo, esta região foi
conservadoramente considerada sem material.
33
É importante salientar que o valor do comprimento do defeito Ld foi mantido
constante e seguindo a relação:
௅೏
ඥோ೘ ௧
≥ 1.5
(31)
Esta relação foi descrita por Han et al [8] para não haver divergências nos
resultados pois, segundo Han, para valores menores que 1.5 na Equação (31) as bordas do
defeito influenciam nos resultados.
Outras considerações importantes foram referentes ao compósito utilizado. Apesar
de a CFRP apresentar propriedades ortotrópicas, seu módulo de elasticidade, módulo
tangente e coeficiente de poisson foi tomado como isotrópico. Esta consideração não deve
impactar em grandes proporções nos resultados, visto que a tensão devido ao momento
fletor atua apenas na direção longitudinal do duto (direção z). A outra simplificação foi para
o comprimento Lc do compósito, o qual também foi considerado constante, seguindo a
relação da Equação (31).
Figura 23 – Geometria do duto e sua respectiva aplicação do momento, a) Seção sem
defeito, b) Seção com defeito
34
A Figura 23 apresenta as duas geometrias de duto, uma sem o defeito e outra com o
defeito e com o reparo. Esta última foi considerada no estudo analítico. Na figura, é
possível reparar o deslocamento da linha neutra de a) para b) devido ao defeito reparado.
A Tabela 1 apresenta as propriedades mecânicas dos materiais utilizados. As
propriedades do aço foram retiradas da norma ASTM A36. Para sua tensão admissível foi
considerada sua respectiva Flow Stress. Já as propriedades do compósito (E e ν) foram
consideradas apenas na sua direção longitudinal, e foram retiradas de [1] e [7].
Em relação à tensão admissível σadm do compósito, de fato, os CFRPs não são
dimensionados pela Flow Stress nem pela tensão de escoamento, mas sim pelo seu limite
de resistência a tração devido ao seu comportamento frágil (seu alongamento até a ruptura
gira em torno de 1 a 2%, de acordo com Soutis e Fleck [16]). Seu limite de resistência a
tração pode chegar a valores bem mais altos que 355 MPa, dependendo da organização e da
direção das fibras. Entretanto, sabendo que no problema proposto, haverá regiões onde o
compósito será comprimido, foi adotado de forma conservadora o valor 65% da menor
resistência a compressão encontrada nos testes realizados por Darrel et al [5] em amostras
de fibra de carbono com resina epóxi.
Tabela 1- Propriedades mecânicas dos materiais utilizados
Propriedades
Componente
Material
σadm (Mpa)
E (GPa)
Poisson (ν)
Duto
ASTM A36
250
200
0.3
Reparo
CFRP
355
70
0.196
35
2.2.Modelo analítico para duto com defeito externo reparado
De posse dos dados do problema, foi desenvolvido, então, um modelo analítico para
representar o comportamento mecânico do duto reparado em relação ao seu defeito e
reparo.
Primeiramente, num duto sem defeito, conforme apresentado na seção 1.3.1, a
tensão atuante devido a um momento fletor (M0) pode ser dada por:
ߪ଴ =
ସெ బோ೚
(32)
గ൫ோ೚రିோ೔ర൯
Logo, para um material que apresenta uma tensão admissível σadm seu momento
fletor limite será:
‫ܯ‬଴ =
ఙೌ೏೘ గ൫ோ೚రିோ೔ర൯
ସோ೚
(33)
Durante o estudo, a Flow stress do material, citada na seção 1.3.2, foi considerada
sua tensão admissível.
Agora, considerando apenas o defeito, ainda sem o reparo, de acordo com [8],
utilizando o critério NSC simplificado, onde o defeito possui profundidade constante, o
momento fletor limite (M) pode ser calculado de duas formas:
Primeiro caso: Considera que o defeito está presente em apenas um dos lados da
linha neutra, ou seja, θ<π-β (Figura 23). Neste caso o momento fletor limite é dado por
Onde,
‫ ܯ ≈ ܯ‬଴ ቀsin ߚ −
ߚ=
గ
ଶ
(ଵିఎ)
ଶ
ቀ1 −
sin ߠቁ
(ଵିఎ)ఏ
గ
ቁ
(34)
(35)
36
Segundo caso: Considera que o defeito está presente nos dois lados da linha neutra,
ou seja, θ>π-β. Neste caso o momento fletor limite é dado por:
Onde,
‫ ܯ ≈ ܯ‬଴ ቀߟsin ߚ +
ߚ=
గ
ቀ2ߟ +
ଶఎ
(ଵିఎ)
ଶ
sin ߠቁ
(ଵିఎ)ఏ
గ
− 1ቁ
(36)
(37)
Dessa forma foi possível traçar um gráfico apresentando o comportamento do
momento fletor limite (M) em relação à variação angular do defeito. Veja a Figura 24.
Figura 24 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito
para um duto sem reparo
Agora, considerando um reparo conforme Figura 23, foi possível fazer a mesma
relação. Para efeito de cálculos, foi considerado um tubo de parede fina (Rm<<t).
Da Equação do equilíbrio do momento na Figura 23, tem-se:
37
ఉ
Resolvendo,
‫∫ = ݎܨ݀ ∫ = ܯ‬଴ (ߪ௔ௗ௠ ܴ௠ ‫ ܴ ݕ݀ )ݐ‬cos ‫ݕ‬
(38)
ఉ
‫ߪ = ܯ‬௔ௗ௠ ܴ௠ ଶ‫∫ݐ‬଴ cos ‫ݕ݀ݕ‬
(39)
‫ߪ = ܯ‬௔ௗ௠ ܴ௠ ଶ‫ݐ‬sin ߚ
(40)
Agora, considerando os dois materiais (aço e compósito), tem-se no equilíbrio de
forças:
ఉ
గିఉ
௔
௖
௔
௖
∑ ‫ = ܨ‬2ܴ ቂ− (ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ ݀‫ ݕ‬+ ( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫ఏ
ఏ
௖
ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ ݀‫ݕ‬ቃ= 0
௔ (
݀‫ ݕ‬+ ( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ − ݀) +
(41)
Considerando,
Para θ < π-β, obtem-se:
௔
௖
ߪ
ത௘௤ = ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖
ߚ=
(42)
ೌ
ഥ೐೜ గିఙೌ೏೘
ఙ
ௗఏ
(43)
ഥ೐೜
ଶఙ
Na Equação de equilíbrio do momento fletor:
ఏ
గିఉ
௔ (
௖
௔
௖
2ܴ௠ଶ ൤[ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ − ݀) + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖] ∫଴ cos ‫ ݕ݀ݕ‬+ (ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫ఏ
ఉ
௔
௖
( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ cos ‫ݕ݀ݕ‬൨= 0
cos ‫ ݕ݀ݕ‬+
(44)
Enfim, tem-se:
௔
‫ = ܯ‬2ܴ௠ ଶ൫2ߪ
ത௘௤ sin ߚ − ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
ெ
ெబ
=
ଵ
௔
‫ ܯ‬଴ = 4ܴ௠ ଶߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔
ೌ
ଶఙೌ೏೘
௧ೌ
௔
൫2ߪ
ത௘௤ sin ߚ − ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
(45)
(46)
(47)
38
Analogamente, para θ > π-β:
ߚ=
ೌ
ഥ೐೜గ
ఙೌ೏೘
ௗ(ଶగିఏ)ିఙ
ೌ
ഥ೐೜൯
ଶ൫ఙೌ೏೘
ௗିఙ
௔
௔
‫ = ܯ‬2ܴ௠ ଶ൫2൫ߪത௘௤ − ߪ௔ௗ௠
݀൯sin ߚ + ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
ெ
ெబ
=
ଵ
ೌ
ଶఙೌ೏೘
௧ೌ
௔
௔
൫2൫ߪത௘௤ − ߪ௔ௗ௠
݀൯sin ߚ + ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
(48)
(49)
(50)
39
2.3.Modelo numérico – Método de elementos finitos (FEA)
2.3.1. Modelo utilizando malha de elemento sólido
Com o objetivo de validar a metodologia analítica desenvolvida neste trabalho foi
utilizado um software de elementos finitos para a análise numérica do problema. Durante as
análises numéricas, o comportamento dos materiais foi considerado elasto-plástico, ou
bilinear.
Como primeira análise, um duto foi modelado com defeito externo sem o compósito
a fim de comparar os resultados aos apresentados em [13] e [8]. A geometria foi modelada
com simetria em relação ao plano longitudinal xy e à seção transversal xz no centro do tubo
(Figura 25).
Figura 25 – Planos de simetria do duto com defeito sem compósito
40
Assim, o momento fletor foi aplicado em apenas uma das extremidades. A Figura
26 apresenta a condição de contorno do modelo. O lado direito da Figura 26 é o centro do
tubo com a condição de simetria aplicada, e o lado esquerdo é a seção transversal da
extremidade, onde o momento foi aplicado.
Suas dimensões foram definidas unitárias, ou seja, o diâmetro externo D e o
comprimento do lado analisado do duto 0,5L (lado direito do plano xz da Figura 25)
equivalem a um milímetro. As demais cotas são valores percentuais.
A Figura 26 mostra o duto com uma espessura de defeito d igual a 0,005D e
espessura total igual a 0,05D. Já o defeito foi considerado em todo o comprimento L do
duto para atender a Equação (31).
Figura 26 – Condições de contorno para a análise do duto com defeito sem
compósito
41
A análise foi realizada com algumas dimensões de defeito, e todos os resultados
apresentaram-se de acordo com [13] e [8]. Um exemplo de resultado é apresentado no
Apêndice C.
Assim, o modelo e suas condições de contorno foram validados para as análises
posteriores.
42
2.3.2. Modelo utilizando malha de elemento Shell
Para agilizar o processamento dos resultados, o modelo citado na seção anterior foi
otimizado com a malha de elemento Shell para a realização de todas as análises. Sendo
assim, foram modeladas, primeiramente, duas membranas: A primeira representando a
espessura interna do duto, ou seja, a espessura que começa do diâmetro interno até o limite
onde possui uma seção de circunferência perfeita, sem o defeito; A segunda representando
a espessura externa do duto, ou seja, toda a espessura que possui o defeito até o seu
diâmetro externo. A Figura 27 explicita cada camada que substituiu as espessuras da
geometria.
Figura 27 – Camadas do modelo Shell e respectivas espessuras substituídas no modelo
43
Os resultados do modelo Shell, sem o defeito também foram validados e são
apresentados no Apêndice C.
Na etapa seguinte, o modelo pode então ser configurado com o proposto reparo em
seu diâmetro externo. Sendo assim, a terceira e última membrana foi aplicada ao modelo
considerando a espessura do compósito. Foram inseridas também todas as propriedades
mecânicas dos materiais utilizados conforme Tabela 1, apresentada na seção 2.1.
Análogo aos modelos anteriores, o momento fletor foi aplicado em uma das
extremidades do duto. É importante salientar que o carregamento não foi aplicado na
membrana que representa o compósito. A Figura 28 ilustra o carregamento no modelo Shell
com defeito externo e com o reparo.
Figura 28 – Geometria em formato Shell do duto com defeito externo e compósito
44
Com o modelo Shell foi possível conceber uma malha mapeada e confiável. A
malha aplicada foi do tipo Shell Quadrilátero Linear, conforme seção 1.3.5.2, a qual possui
quatro nós em cada elemento, com três graus de liberdade em cada um, translação nas
direções x, y e z. A Figura 29 apresenta a malha do modelo.
Figura 29 – Malha do modelo
Neste modelo também foi considerada a simetria em relação ao plano longitudinal
xy e à seção transversal xz no centro do duto, assim o momento foi aplicado apenas em um
dos lados, garantindo o maior estado de tensões na seção transversal no meio do duto, local
de interesse deste estudo. A Figura 30 e a Figura 31 ilustram as simetrias, longitudinal e
transversal, respectivamente.
45
Figura 30 – Simetria longitudinal do modelo Shell
Figura 31 – Simetria da seção transversal do modelo Shell
46
Outra importante consideração foi em relação à condição de contato entre o
compósito e o duto. Durante todo o estudo utilizou-se o contato perfeitamente colado. A
Figura 32 mostra o estado do contato entre o duto e o compósito.
De fato, numa aplicação real como num teste, por exemplo, o estudo do contato
entre o reparo e o duto deve ser mais apurado, pois é possível que este item interfira nos
resultados.
Figura 32 – Condição de contato entre o compósito e o duto
Enfim, o modelo numérico foi configurado com suas devidas condições de contorno
e simetrias aceitáveis para a geometria e para o tipo de carregamento. O modelo foi, então,
parametrizado com várias geometrias diferentes, do dano e da espessura do compósito,
além da mudança da tensão admissível do reparo. Dessa forma, foram realizadas trezentos
e vinte e quatro (324) análises:
9 ângulos (2θ) x 9 espessuras (d) x 2 espessuras (tc) x 2 tensões admissíveis (σcadm) = 324
47
No Apêndice B são apresentadas as tabelas dos valores da parametrização do
modelo. Cada linha da tabela representa uma análise diferente. Vale lembrar que, como o
modelo é adimensional (D = 1 mm), os valores dimensionais das tabelas são valores
percentuais de D.
Os valores de tensão atuante em cada análise foram comparados à tensão admissível
do duto σaadm. A razão entre elas foi tomada como o desvio entre o modelo analítico e
numérico.
48
Capítulo 3
Resultados e Discussão
3.1.Resultados do Método Analítico
De posse dos resultados analíticos do problema foi possível traçar os gráficos e
analisar o comportamento do duto para diferentes casos.
Para efeitos de comparação, a Figura 33 apresenta mais uma vez a redução do
momento limite em relação ao aumento gradativo do ângulo e da espessura do defeito para
um duto com defeito sem o compósito. Estes mesmos resultados foram adquiridos por
Rahman et al [13] e Han et al [8]. As figuras seguintes apresentam a mesma relação, porém
considerando o compósito.
49
Figura 33 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito
para um duto sem reparo
Na Figura 34 foi considerada uma espessura de defeito tc igual à espessura do duto.
Já na Figura 35 tc foi considerada uma vez e meia maior. Analisando estes gráficos
percebe-se que a variação de tc desloca todas as curvas das diferentes espessuras de defeito
proporcionalmente para cima. Essa variação deve-se a σeq das fórmulas (47 e 50), a qual
depende diretamente de tc.
Nas duas figuras onde foram consideradas espessuras de reparo, analisando o eixo
das ordenadas, pode-se verificar um crescimento de 2,4 a 3,2 vezes a resistência duto rígido
em relação ao momento fletor.
50
Figura 34 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito
para um duto com reparo (tc = ta)
Comparando o gráfico da Figura 34 ao gráfico da Figura 33, confirma-se um
deslocamento aproximado de 2.4 vezes o valor do momento limite. Ou seja, o compósito
aumentou a resistência ao momento fletor do duto.
Na comparação entre a Figura 35 e a Figura 33 o deslocamento é ainda maior, 3.2
vezes, aproximadamente. Isso se deve à maior espessura do compósito (1.5ta).
51
Figura 35 – Gráfico do comportamento do momento fletor limite em relação ao
crescimento angular do defeito para um duto com reparo (tc = 1,5ta)
Assim, quanto maior a espessura do compósito, maior será a resistência ao
momento fletor. O custo, neste caso, é um fator a ser considerado a fim de estabelecer a
máxima espessura do reparo. Outro fator passível de delimitar a espessura é a interface com
os demais elementos sejam eles da operação, instalação ou manuseio. Por exemplo, se o
sistema de instalação tem uma limitação de diâmetro do duto, este será um dos fatores a ser
considerado para a determinação da máxima espessura do compósito.
Outra variável da formulação é σcadm. Este valor foi adotado como premissa 355
MPa no início do estudo.
௖
A Figura 36 apresenta a variação do momento fletor, agora com ߪ௔ௗ௠
= 500‫ܽܲ ܯ‬.
Dessa forma comprovou-se que o momento fletor limite também varia com as propriedades
mecânicas do compósito.
52
Figura 36 – Momento fletor limite em relação ao crescimento angular do defeito
para um duto com reparo (tc=ta e σcadm=500 MPa)
53
3.2.Resultados do Método Numérico – Comparação com o Método Analítico
Os resultados do modelo em elementos finitos foram computados caso a caso. O
modelo Shell possibilitou a análise do duto com várias geometrias diferentes, do dano e da
espessura do compósito, além de mudança da tensão admissível do reparo, devido à
otimização do tempo de processamento,
O ponto da seção estudado foi o mesmo utilizado no modelo analítico, raio externo
na região com defeito, no centro longitudinal do duto. Como o interesse é a integridade do
duto, a tensão atuante no raio externo do compósito não foi analisada caso a caso, tendo em
vista sua maior tensão admissível σcadm associada aos valores de diâmetro externo maiores
que do duto e espessura, pelo menos, igual a do duto. A Figura 37 mostra a vista lateral e
frontal do duto, com seu respectivo ponto de tensão em azul.
Figura 37 – Ponto de tensão analisado no modelo FEA
54
A seção central do duto, onde se encontra o defeito e onde foi analisada a tensão,
apresentou-se com uma distribuição de tensão uniforme, dependendo apenas da geometria
do modelo, ou seja, não houve distorção dos resultados devido à aplicação do momento
fletor na extremidade do duto. A Figura 38 apresenta a distribuição da tensão no duto
numa vista lateral, onde é explicitada a distorção de resultados na região de aplicação do
momento fletor (lado esquerdo da figura) e a atenuação do efeito em direção ao centro do
duto (lado direito da figura).
Figura 38 – Distorção e distribuição de tensão no duto – Vista lateral – Aplicação de
momento fletor do lado esquerdo e condição de simetria do lado direito
A garantia de ausência de distorção na região estudada foi possível devido ao alto
valor considerado para a razão entre o comprimento do duto L e a sua respectiva espessura
ta, ou seja, L/ta = 40.
55
Na sequência, todos os resultados da análise numérica foram inseridos nos gráficos
do modelo analítico para a comparação dos resultados.
Analisando as figuras a seguir, pode-se conferir a validade do modelo devido à
compatibilidade com os resultados obtidos em FEA. Os pontos discretos do gráfico
mostram os resultados do modelo numérico e apresentam uma linha de tendência muito
próxima das curvas analíticas.
Figura 39 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = ta)
56
Figura 40 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = 1.5ta)
Figura 41 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = ta,
σcadm = 500MPa)
57
Figura 42 – Momento fletor limite: Método analítico x Método numérico (tc = 1.5ta,
σcadm = 500MPa)
O maior desvio encontrado entre as análises foi de 2.29%. Alguns destes resultados
foram inseridos nas tabelas a seguir, onde possível comparar os desvios para diferentes
casos.
Tabela 2- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,1
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
Desvio
M/M0 (%)
0,2
1
355
1.16
0,4
1
500
0.36
0,6
1.5
355
-0.64
0,8
1.5
500
-0.09
58
Tabela 3- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,3
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
Desvio
M/M0 (%)
0,2
1
355
0.17
0,4
1
500
0.81
0,6
1.5
355
0.95
0,8
1.5
500
0.92
Tabela 4- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,5
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
Desvio
M/M0 (%)
0,2
1
355
0.15
0,4
1
500
0.13
0,6
1.5
355
1.59
0,8
1.5
500
1.69
Tabela 5- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,7
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
Desvio
M/M0 (%)
0,2
1
355
-0.69
0,4
1
500
-1.31
0,6
1.5
355
-1.61
0,8
1.5
500
-0.72
59
Tabela 6- Resultados analíticos x resultados numéricos para θ/π = 0,9
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
Desvio
M/M0 (%)
0,2
1
355
0.21
0,4
1
500
0.16
0,6
1.5
355
0.28
0,8
1.5
500
0.18
60
Capítulo 4
Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
4.1.Conclusões
A aplicação do compósito no contorno do defeito mostrou-se influente em seu
momento fletor limite. A utilização da metodologia NSC para o desenvolvimento da
fórmula do momento fletor limite de um duto reparado foi validada e apresentou-se com
desvios desprezíveis quando comparada às análises numéricas. A espessura do reparo e sua
tensão admissível são diretamente proporcionais ao momento fletor limite, ou seja, quanto
maior a espessura do reparo e sua tensão admissível maior será a resistência ao momento.
É importante enfatizar que, utilizando a simples equação desenvolvida neste estudo,
é possível estimar a espessura do compósito necessária para reparar o defeito do duto para,
61
assim, garantir sua integridade estrutural original. Os dados são obtidos em segundos, sem
haver a necessidade de usar softwares de elementos finitos, os quais necessitariam de um
longo tempo de processamento. Outra informação importante para os responsáveis pelo
manuseio, instalação e operação do duto é o valor do menor raio de curvatura admissível
para o duto sem que ele saia do seu regime elástico, o qual também pode ser determinado
pela metodologia apresentada neste trabalho.
É altamente recomendada a utilização do limite de resistência à compressão do
CFRP para sua tensão admissível nos cálculos, visto valor ser conservador nos cálculos.
Em suma, a análise do momento fletor limite para dutos com defeito externo
reparado por compósito, oferece resultados coerentes e confiáveis para aplicações na
indústria.
62
4.2.Sugestões para Trabalhos Futuros
4.2.1. Estudo do critério NSC num duto reparado sujeito a momento e pressão
Um duto rígido geralmente está sujeito a diferentes tipos de carregamentos. Por
isso, para um trabalho futuro, é altamente recomendado o desenvolvimento do método
analítico NSC para um duto com defeito, reparado com compósito, considerando não só o
momento, mas também pressões, externa e interna, e carga axial.
4.2.2. Análise por elementos finitos – Propriedades Ortotrópicas
A metodologia analítica desenvolvida neste presente trabalho foi validada por
métodos de elementos finitos. Entretanto, devido à necessidade de rápido processamento
dos resultados (324 análises, conforme citado na seção 3.2), as propriedades mecânicas do
compósito foram tomadas como isotrópicas, e não ortotrópicas como é na realidade.
Por isso, num trabalho futuro, algumas das 324 configurações podem ser analisadas
por FEA considerando o compósito com propriedades ortotrópicas e, em seguida, comparar
os resultados aos apresentados em 3.2. De fato, os resultados devem ser próximos devido
ao modelo possuir tensões apenas na direção longitudinal (z) do duto.
4.2.3. Teste de Flexão no duto com defeito e com compósito
A realização do teste de flexão no duto com defeito e com a aplicação de compósito
é uma importante sugestão para um trabalho futuro. Com ele, os resultados empíricos
podem ser comparados aos analíticos e numéricos. É importante salientar que, nos estudos,
analítico e numérico, o compósito foi considerado perfeitamente colado, ou seja, num
63
possível teste, deve-se realisar um estudo aprofundado da aderência do compósito no duto,
e levar esta variável em consideração na discussão dos resultados finais.
Outro item importante a ter atenção no teste é a geometria do defeito. Ela deve ser
conhecida e simétrica em relação ao eixo perpendicular ao eixo da linha neutra (eixo y
deste presente estudo) para garantir que a distribuição do momento interno no duto ocorra
sobre o eixo da linha neutra (direção x), o que garantirá o equilíbrio do momento fletor
externo aplicado.
4.2.4. Estudo do máximo comprimento do reparo de compósito
Conforme citado na seção 1, os dutos rígidos têm vasta aplicação em diferentes
setores industriais. Nas aplicações subsea, os dutos rígidos SCR, podem ser enrolados em
bobinas durante a instalação e podem operar com determinados raios de curvatura. Estes
raios são determinados durante o desenvolvimento do projeto do duto, considerando sua
rigidez e buscando manter sua integridade.
Num suposto caso de aplicação de compósito num SCR, o menor raio de
dobramento do duto será afetado na região reparada. O impacto no valor do raio dependerá
do comprimento do reparo de compósito devido à diferença de rigidez entre os materiais,
além das diferentes propriedades de alongamento.
Este estudo é recomendado porque tratará o mesmo problema, porém considerando
máximas deformações ao invés de máximos carregamentos.
64
Referências Bibliográficas
[1]
Alexander C, Ochoa Ozden O, Extending onshore pipeline repair to offshore steel
risers with carbon–fiber reinforced composites, Composite Structures, United
States, 92, 499-507, 2010;
[2]
Arno Hensel, Technologie der Metallformung -Eisen- und Nichteisenwerkstoffe,
ISBN, 3, 342-00311-1, 1990;
[3]
ASME Boiler & Pressure vessel Code Section XI, Rules for In-service Inspection of
Nuclear Power Plant Components, Division 1, 1997, IWB-3500 and IWB-3600;
[4]
Chappeti M D, Otegui J L, Manfredi C, Martins C F, Full scale experimental
analysis of stress states in sleeve repairs of gas pipelines, International Journal of
Pressure Vessels and Piping, Argentina, 78, 379-387, 2001;
[5]
Darrel P, Daniel D, John F, Douglas S, Compression Strength of carbon fiber
laminates containing flaws with fiber waviness, Montana State University, United
States, 59717;
[6]
Det Norske Veritas, DNV-OS-F101 Submarine Pipeline Systems, 2000;
[7]
Duell JM, Wilson JM, Kessler MR, Analysis of a carbon composite overwrap
pipeline repair system, International Journal of Pressure Vessels and Piping, USA,
85, 782-788, 2008;
[8]
Han Liang-hao, He Shu-yan, Wang Ying-pei, Liu Ceng-dian, Limit moment of local
wall thinning in pipe under bending, International Journal of Pressure Vessels and
Piping, China, 76, 539-542, 1999;
[9]
Hibbeler R C, Resistência dos Materiais, 5a Edição, c2004. 688p;
[10]
Kanninen M F, Broek D, Marschall C W, Rybicki E F, Sampath S G, Simonen F A
and Wilkowski G M, Mechanical fracture predictions for sensitized stainless steel
65
piping with circumferential cracks, EPRI NP-192, Electric Power Research
Institute, Palo Alto, CA, 1976;
[11]
Miyazaki K, Kanno S, Ishiwata M, Hasegawa K, Ahn S H, Ando K, Fracture
behavior of carbon steel pipe with local wall thinning subjected to bending load,
Nuclear Engineering and Design, Japan, 191, 195-204, 1999;
[12]
Moulin D, Touboul F, Foucher N, Lebey J, Acker D, Experimental Evaluation of J
in Cracked Straight and Curved Pipes Under Bending, Nuclear Engineering and
Design, CEA-CEN Saclay, Gif sur Yvette, France, 171, 33-43, 1997.
[13]
Rahman S, Wilkowski G, Net-section-collapse analysis of circunferentially cracked
cylinders – part I: arbitrary-shaped cracks and generalized equations, Engineering
Fracture Mechanics, USA, 61, 191-211, 1998;
[14]
Simo J C, Armero F, Geometrically nonlinear enhanced strain mixed methods and
the method of incompatible modes, IJNME, 33, 1413-1449, 1992;
[15]
Song Tae-Kwang, Kim Yun-Jae, Oh Chang-Kyun, Jin Tae-Eun, Kim Jong-Sung,
Net-section limit moments and approximate J estimates for circumferential cracks
at the interface between elbows and pipes, International Journal of Pressure Vessels
and Piping, Republic of Corea, 86, 495-507, 2009;
[16]
Soutis C, Fleck N A, Failure prediction technique for compression loaded carbon
fibre-epoxy laminate with open holes, Engineering Department, Cambridge
University, United Kingdom, 1990;
[17]
Toutanji Houssam, Dempsey Sean, Stress Modeling of pipelines strengthened with
advanced composites materials, Thin-Walled Structures, USA, 39, 153-165, 2000;
[18]
Zheng M, Luo JH, Zhao XW, Zhou G, Li HL, Modified expression for estimating
the limit bending moment of local corroded pipeline, International Journal of
Pressure Vessels and Piping, China, 81, 725-729, 2004.
66
APÊNDICE
67
Apêndice A: Artigo enviado para International Symposium on Solid Mechanics MecSol
2011
LIMIT MOMENT OF LOCAL WALL THINNING IN RIGID PIPELINE
REPAIRED WITH COMPOSITE MATERIAL UNDER BENDING
R. Mattedi1 and L.C.S. Nunes2
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PGMEC / Departamento de Engenharia
Mecânica - TEM
Universidade Federal Fluminense – UFF
Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada – LMTA
Rua Passo da Pátria, 156, Bloco E, Sala 216, Niterói, RJ CEP 24210-240, Brasil
________________________________________________________________________________________
Abstract:
Local wall thinning on pipelines or pressure vessels are common in industry and,
usually, they occur because of the corrosion or mechanical damages. To study the impacts
that these cracks do on pipelines, some analytical models and some failure criterion are
mentioned. One of them is called Net-Section-Collapse Analysis (NSC), which predicts the
maximum moment of a circumferentially cracked pipe with a variable-depth internal
surface crack subject to loads like bending moment and, eventually, tension (pressureinduced). To preserve the structural integrity and stop the external corrosion on crack point,
an important method has been developed. It is a composite overwrap pipeline repair
system. In this method, a composite, usually a carbon fiber, is applied circumferentially
around the defect on external face of pipeline. In this paper will be presented the study of
limit moment of local wall thinning in rigid pipeline under bending and repaired by a
composite around the crack. In this context the value of limit bending moment will be
analyzed as a function of some discrete values of depth and angle of surface crack. In order
to validate the method, the analytical results are compared with a commercially available
finite element code.
Keywords: limit moment, local wall thinning, pipeline, repair system.
________________________________________________________________________________________
NOMENCLATURE
θ
β
Ro
Ri
Half of local thinning angle
Half of neutral angle
External radius of pipe
Internal radius of pipe
1
Author contact: +55 27 99812878
Email: [email protected]
2
Author contact: +55 21 98188460
Email: [email protected]
68
Rm
ta
tc
d
η
Ld
L
N.A.
σaadm
σ0
a(ξ)
M0
M
Average radius of pipe
Thickness of pipe
Thickness of composite repair
Crack depth (radial direction)
(t-d)/t
Longitudinal thinning length
Pipe length
Neutral axis
Allowable strength (Limit strength considered for each material)
Strength for pipe without crack under limit bending moment
Function of crack depth
Limit bending moment for pipe without crack
Limit bending moment for pipe with crack and repair applied
1. INTRODUCTION
In industry, especially of oil and gas, there is a wide application of rigid pipelines.
According to Duell et al. (4) there are more than 1,7 million kilometers of oil and gas
pipelines in operation. In North America, it is expended around two or three billion dollars
with repairing or replacement of pipelines with failing, been by wear or abrasion, or even
mechanical damage.
For example, on offshore/subsea segment the risers can be rigid pipelines. They are
called Steel Catenary Riser (SCR) (3). These pipes are usually submitted to external loads
from their laying step to their operation step. In other engineering areas like energy and
mining, they also have rigid pipelines in production plants. All of them are subjected to
beginning of failing on their structures and in this case, it is important to know how to solve
the problem.
Several works have been developed to have the knowledge of mechanical properties
of material and the limit loads allowable for determinate application of pipeline. RAHMAN
(6) offers a generalized method of Net-Section-Collapse (NSC), where the limit bending
moment depends on the angle (2θ) and the radial depth of local thinning, which is a
function of crack a(ξ), where 0 < ξ < θ. Nevertheless, ASME Section XI (1) considers the
same methodology NSC, but the depth of crack is a constant (d) and it is defined by the
biggest value of a(ξ).
The longitudinal thinning length has theoretically no effect on limit bending
moment in analytical calculation, however HAN et al. (5) have proved by finite elements
method that there is an effect, which is associated to the constraint of remaining material
surrounding local wall thinning. In work developed by HAN et al., the same methodology
of ASME Section XI was used.
The Net-Section limit moments was also the subject of papers issued by SONG et
al. (7) and MOULIM et al. (8). However, both made an additional calculation for elbows.
MOULIM et al. have performed an experimental to confirm the analytical methodology.
The purpose of this work is to investigate the limit moment of local wall thinning in
rigid pipeline under bending. It is considered a failing the loss of material in a determinate
section of a pipe. In the present analysis, this cracked pipeline is repaired using composite
material. In this context the value of limit bending moment is analyzed as a function of
some discrete values of depth and angle of surface crack. Finally, the analytical results are
69
confronted to commercially available finite element code.
2. CASE DESCRIPTION
A pipe was considered with length L and external and internal radius, Ro and Ri,
respectively. The local wall thinning, which has longitudinal length Ld, is in the centre of
the pipe, see Figure 1. Then, a carbon fiber composite with length Lc and thickness tc was
applied around the damage. Normally, an epoxy resin is applied between the pipe and
composite, in the failing region, but this was not considered in the present calculation.
The strength for a pipe without crack under bending moment (M0) can be calculated
as:
ߪ଴ =
ସெ బோ೚
గ൫ோ೚రିோ೔ర൯
[1]
Then, considering a material that presents an allowable strength  adm , the limit
bending moment will be:
‫ܯ‬଴ =
ఙೌ೏೘ గ൫ோ೚రିோ೔ర൯
ସோ೚
[2]
This paper will consider that the yield strength of material is equal to allowable
strength  adm .
Figure 1 – Geometry of pipeline, a) without crack, b) with crack and composite
It is important to mention that the value of longitudinal thinning length Ld was
considered constant and it follows the relation described on ref. (5). That is to avoid
divergence on results, and it is given by:
[3]
Other important assumptions were adopted about the composite to expedite the
70
analyses. Although carbon fiber gives orthotropic properties its Young modulus, tangent
modulus and Poisson coefficient were considered isotropic. Another simplification was to
consider the equation [3] also for composite length (Lc) to avoid divergence on results.
The behavior of materials was assumed as elastic-plastic, or bilinear, during
numerical analyses by finite elements analysis (FEA). The table 1 presents the mechanical
properties of the materials of pipeline and its repair.
Table 1- Mechanical properties of materials
Properties
Component
Material
σadm
(Mpa)
E (GPa)
Poisson
(ν)
Pipe
ASTM A36
250
200
0.3
Tangent
Mod.
(Mpa)
2535
Repair
Carbon fiber
355
23.4
0.196
7882
3. ANALYTICAL MODEL FOR PIPE WITH EXTERNAL LOCAL WALL
THINNING REPAIRED BY COMPOSITE
An analytical model was developed considering all data of the problem, to represent
the relation of crack and repair geometries in a tube under bending. The Thin-walled tube
method (Rm<<t) was considered for the formulation.
According ref. (5), considering NSC simplified criterion, which its depth is a
constant (d), the limit bending moment (M) can be performed by two cases, for now
without repair:

First case: The crack exists only in one side of neutral axis so, θ < π-β
(Figure 1). In this case the limit bending moment is represented by:
Where β is,
‫ ܯ ≈ ܯ‬଴ ቀsin ߚ −
ߚ=
గ
ଶ
ቀ1 −
(ଵିఎ)
ଶ
(ଵିఎ)ఏ
ቁ
గ
sin ߠቁ
[4]
[5]

Second case: The crack geometry overpasses to the other side of neutral axis
so, θ > π-β. Then, the limit bending moment is:
Where β is,
‫ ܯ ≈ ܯ‬଴ ቀߟsin ߚ +
ߚ=
గ
ଶఎ
ቀ2ߟ +
(ଵିఎ)
ଶ
(ଵିఎ)ఏ
గ
sin ߠቁ
− 1ቁ
[6]
[7]
Now considering the repair, the same relation can be performed. From the force
equilibrium equation, on Figure 1:
71
ఉ
‫∫ = ݎܨ݀ ∫ = ܯ‬଴ (ߪ௔ௗ௠ ܴ௠ ‫ ܴ ݕ݀ )ݐ‬cos ‫ݕ‬
Solving,
[8]
ఉ
‫ߪ = ܯ‬௔ௗ௠ ܴ௠ ଶ‫∫ݐ‬଴ cos ‫ݕ݀ݕ‬
[9]
‫ߪ = ܯ‬௔ௗ௠ ܴ௠ ଶ‫ݐ‬sin ߚ
[10]
Considering both materials (steel and composite), the force equilibrium relation is:
ఉ
గିఉ
௔
௖
௔
௖
∑ ‫ = ܨ‬2ܴ ቂ− (ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ ݀‫ ݕ‬+ ( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫ఏ
ఏ
௖
ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ ݀‫ݕ‬ቃ= 0
௔ (
݀‫ ݕ‬+ ( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ − ݀) +
[11]
Assuming that,
௔
௖
ߪ
ത௘௤ = ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖
For the first case (θ < π-β):
ߚ=
[12]
ೌ
ഥ೐೜ గିఙೌ೏೘
ఙ
ௗఏ
[13]
ഥ೐೜
ଶఙ
So, the bending moment equilibrium equation is:
ఏ
గିఉ
௔ (
௖
௔
௖
2ܴ௠ଶ ൤[ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ − ݀) + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖] ∫଴ cos ‫ ݕ݀ݕ‬+ (ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫ఏ
ఉ
௔
௖
( ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔ + ߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௖) ∫଴ cos ‫ݕ݀ݕ‬൨= 0
cos ‫ ݕ݀ݕ‬+
[14]
Then, the limit bending moment relation for the first case is given by:
௔
‫ = ܯ‬2ܴ௠ ଶ൫2ߪത௘௤ sin ߚ − ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
ெ
ெబ
=
ଵ
௔
‫ ܯ‬଴ = 4ܴ௠ ଶߪ௔ௗ௠
‫ݐ‬௔
ೌ
ଶఙೌ೏೘
௧ೌ
௔
൫2ߪ
ത௘௤ sin ߚ − ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
[15]
[16]
[17]
Analogously, in second case (θ > π-β):
ߚ=
ೌ
ഥ೐೜ గ
ఙೌ೏೘
ௗ(ଶగିఏ)ିఙ
ೌ
ഥ೐೜൯
ଶ൫ఙೌ೏೘
ௗିఙ
௔
௔
‫ = ܯ‬2ܴ௠ ଶ൫2൫ߪ
ത௘௤ − ߪ௔ௗ௠
݀൯sin ߚ + ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
[18]
[19]
72
ெ
ெబ
=
ଵ
ೌ
ଶఙೌ೏೘
௧ೌ
௔
௔
൫2൫ߪ
ത௘௤ − ߪ௔ௗ௠
݀൯sin ߚ + ߪ௔ௗ௠
݀ sin ߠ൯
[20]
4. NUMERICAL MODEL – FINITE ELEMENTS ANALYSIS (FEA)
A numerical model was performed to validate the analytical method presented in
section 3. This model was developed in finite elements software. The pipeline was modeled
with the local wall thinning and the repair and all the mechanical properties presented on
table 1 were also inserted on analyses.
Two symmetry planes were applied in the geometry, one concerning the
longitudinal plane and the other one concerning the transversal plane in the center of the
pipe. Then, bending moment was applied only on pipe, not in the composite, in the end
section of the pipe, only in one side, because of its symmetry.
The Shell method was used to streamline the processing of results, being possible
the modeling of three membranes; the first layer represents the internal sheath of pipe (the
layer without failing); the second layer represents the external sheath of pipe (the layer with
failing); and the last one represents the composite sheath. The Figure 2 presents the
geometry rendered by Shell method.
Figure 2 – Shell model of pipeline with external local wall thinning repaired
It is important to mention that this model was compared to a conventional model
(considering solid elements) used in (5) and there were not significant differences on the
results.
73
Figure 3 – Mesh of model
With the Shell model was possible to perform a refined mapped mesh that offers
confinable results, as illustrated in Fig. 3. The mesh applied is the Shell Quadrilateral
Linear type, which gives four nodes per element, with six degrees of liberty each,
translation and rotation in direction x, y and z.
Due to the symmetry of the pipe, the bending moment was applied only in one side.
It guarantees the major plane of stresses is in the middle of the length pipeline.
5. RESULTS AND DISCUSSION
By analytical model and numerical solution presented in previous sections, the
results of the behavior of the pipeline considering different geometries of the crack and
different mechanical properties of the composite was plotted and analyzed.
Figure 4Figura 33 presents a decrease of limit bending moment considering a
gradual growth of the angle and depth of local wall thinning for a pipeline without repair.
This result is only for comparison. The others present the same relation, nevertheless, with
the composite.
Figure 4 – Limit bending moment considering the growth of angle and depth of crack for a
pipeline without repair
74
In order to investigate the mechanical behavior of cracked pipe with repair the
thickness of composite is varied. In Figure 5, the thickness of composite (tc) is taken equal
to the thickness of the pipe (ta). In Figure 6, tc is equal to 1.5ta. Analyzing these results, it
can be seen that the variation of tc displaces all the curves proportionally to up or down.
This occurs because of σeq from equations [17] e [20], which depends directly on tc.
Figure 5 – Limit bending moment considering the growth of angle and depth of crack for a
pipeline with repair (tc = ta)
Figure 6 – Limit bending moment considering the growth of angle and depth of crack for a
pipeline with repair (tc = 1.5ta)
Another important variable from the equation of limit bending moment is σcadm. In
the present work, this value was adopted as 355 MPa in the beginning. Now, for evaluating
the influence of this parameter, the Figure 7 presents the variation of limit bending moment
with σcadm = 500 MPa. This result proves that the limit bending moment also varies with
mechanical properties of the composite.
75
Figure 7 – Limit bending moment considering the growth of angle and depth of crack for a
pipeline with repair (tc = ta and σcadm = 500 MPa)
Figure 8 and Figure 9 show the compatibility of analytical and numerical results,
and proves that the analytical model developed in this paper is valid. The discrete points on
graph are the numerical results and gives trend lines close to analytical curves. The
geometry and mechanical proprieties are the same previously presented in above analyses.
Figure 8 – Limit bending moment: Analytical model x Numerical model (tc = ta)
76
Figure 9 – Limit bending moment: Analytical model x Numerical model (tc = 1.5ta)
The major deviation founded between the analyses was 2.29%. Some of these
results were added in the following tables, where is possible to compare the deviation for
different cases.
Table 2- Analytical results x numerical results for θ/π = 0.1
Deviation
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
M/M0 (%)
0,2
1
355
1.16
0,4
1
500
0.36
0,6
1.5
355
-0.64
0,8
1.5
500
-0.09
Table 3- Analytical results x numerical results for θ/π = 0.3
Deviation
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
M/M0 (%)
0,2
1
355
-0.17
0,4
1
500
-0.81
0,6
1.5
355
-0.95
0,8
1.5
500
-0.92
Table 4- Analytical results x numerical results for θ/π = 0.5
Deviation
d/t
tc/ta
σcadm (MPa)
M/M0 (%)
0,2
0,4
1
355
-0.15
1
500
-0.13
77
0,6
1.5
355
-1.59
0,8
1.5
500
-1.69
6. CONCLUSION
The utilization of composite around the failing influences considerably on limit
bending moment of the pipeline. The NSC method used to develop the expression of limit
bending moment for a pipeline repaired was validated and gives inexpressive deviations
when compared to numerical results. The thickness of the composite and its admissible
strength are directly proportional to the limit bending moment, in other words, higher are
these values, as higher will be the pipeline resistance for bending moment.
The described analysis of limit bending moment for a pipeline with external local
wall thinning repaired by composite presents consistent and reliable results for industry
application. It is important to emphasize that using the simple expression, developed in this
work, is possible to estimate the thickness of composite necessary to repair a damaged
pipeline, in which the original mechanical behavior can be recovered.
7. REFERENCES
(1) ASME Boiler & Pressure vessel Code Section XI, “Rules for In-service Inspection of
Nuclear Power Plant Components”, Division 1, 1997, IWB-3500 and IWB-3600;
(2) Castro Zheng, M., Luo, J.H., Zhao, X.W., Zhou, G., Li, H.L., “Modified expression for
estimating the limit bending moment of local corroded pipeline”, International Journal of
Pressure Vessels and Piping, China, 81, 725-729, 2004;
(3) DNV-OS-F101 “Submarine Pipeline Systems”. Det Norske Veritas, 2000;
(4) Duell, J.M., Wilson, J.M., KesslerR, M.R., “Analysis of a carbon composite overwrap
pipeline repair system”, International Journal of Pressure Vessels and Piping, USA, 85,
782-788, 2008;
(5) Han, Liang-hao, HE, Shu-yan, WANG, Ying-pei, LIU, Ceng-dian, “Limit moment of
local wall thinning in pipe under bending”, International Journal of Pressure Vessels and
Piping, China, 76, 539-542, 1999;
(6) Rahman, S., Wilkowski, G., “Net-section-collapse analysis of circunferentially cracked
cylinders – part I: arbitrary-shaped cracks and generalized equations”, Engineering Fracture
Mechanics, USA, 61, 191-211, 1998;
(7) Song, Tae-Kwang, Kim, Yun-Jae, Oh, Chang-Kyun, Jin, Tae-Eun, Kim, Jong-Sung,
“Net-section limit moments and approximate J estimates for circumferential cracks at the
interface between elbows and pipes”, International Journal of Pressure Vessels and Piping,
Republic of Corea, 86, 495-507, 2009;
(8) Moulin, D., Touboul, F., Foucher, N., Lebey, J., Acker, D., “Experimental Evaluation of
78
J in Cracked Straight and Curved Pipes Under Bending”, Nuclear Engineering and Design,
CEA-CEN Saclay, Gif sur Yvette, France, 171, 33-43, 1997.
79
Apêndice B: Tabela dos resultados numéricos
Tabela dos resultados numéricos para tc = ta e σcadm = 355 MPa
ângulo
2θ (⁰)
Espessura
do defeito
d (xD)
18
18
18
18
18
18
18
18
18
36
36
36
36
36
36
36
36
36
54
54
54
54
54
54
54
54
54
72
72
72
72
72
72
72
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
Momento Espessura
Analítico
do
M
compósito
(N.mm)
tc (xD)
10,148
10,082
10,016
9,949
9,882
9,814
9,746
9,678
9,609
10,088
9,962
9,833
9,703
9,571
9,438
9,303
9,166
9,027
10,040
9,864
9,684
9,499
9,311
9,119
8,923
8,724
8,520
10,009
9,798
9,580
9,355
9,124
8,885
8,640
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
Tensão
da
Análise
Numérica
(Mpa)
246,222
247,096
247,990
248,973
249,870
250,696
251,377
251,807
251,699
246,652
247,945
249,191
250,388
251,332
252,172
252,673
252,775
252,176
248,402
249,566
250,561
251,460
252,281
252,775
252,917
252,579
251,670
248,847
249,513
250,053
250,523
250,895
251,204
251,390
Tensão
admissível
σaadm
(Mpa)
Desvio
(Tensão
Numérica
/ σaadm )
Momento
corrgido
(N.mm)
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
1,51%
1,16%
0,80%
0,41%
0,05%
-0,28%
-0,55%
-0,72%
-0,68%
1,34%
0,82%
0,32%
-0,16%
-0,53%
-0,87%
-1,07%
-1,11%
-0,87%
0,64%
0,17%
-0,22%
-0,58%
-0,91%
-1,11%
-1,17%
-1,03%
-0,67%
0,46%
0,19%
-0,02%
-0,21%
-0,36%
-0,48%
-0,56%
10,301
10,199
10,097
9,990
9,887
9,787
9,692
9,608
9,544
10,223
10,044
9,865
9,688
9,520
9,356
9,204
9,064
8,948
10,104
9,881
9,662
9,444
9,226
9,018
8,819
8,634
8,463
10,055
9,817
9,578
9,335
9,091
8,842
8,592
80
72
72
90
90
90
90
90
90
90
90
90
108
108
108
108
108
108
108
108
108
126
126
126
126
126
126
126
126
126
144
144
144
144
144
144
144
144
144
162
162
162
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
8,388
8,129
9,997
9,770
9,532
9,283
9,024
8,754
8,474
8,183
7,881
9,988
9,755
9,514
9,262
8,998
8,721
8,428
8,116
7,786
9,960
9,702
9,439
9,171
8,896
8,613
8,321
8,018
7,703
9,914
9,613
9,310
9,005
8,696
8,384
8,068
7,747
7,420
9,856
9,499
9,140
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
251,531
252,024
250,070
250,366
250,894
251,431
252,028
252,634
253,269
253,664
252,259
250,958
251,708
252,439
253,151
253,842
254,349
254,390
253,304
249,994
250,947
251,737
252,395
252,932
253,283
253,223
252,453
250,663
248,848
250,277
250,783
251,131
251,290
251,156
250,653
249,688
248,546
248,905
249,285
249,470
249,526
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
-0,61%
-0,81%
-0,03%
-0,15%
-0,36%
-0,57%
-0,81%
-1,05%
-1,31%
-1,47%
-0,90%
-0,38%
-0,68%
-0,98%
-1,26%
-1,54%
-1,74%
-1,76%
-1,32%
0,00%
-0,38%
-0,69%
-0,96%
-1,17%
-1,31%
-1,29%
-0,98%
-0,27%
0,46%
-0,11%
-0,31%
-0,45%
-0,52%
-0,46%
-0,26%
0,12%
0,58%
0,44%
0,29%
0,21%
0,19%
8,337
8,063
9,994
9,756
9,498
9,230
8,951
8,662
8,363
8,063
7,810
9,950
9,688
9,421
9,145
8,860
8,569
8,280
8,009
7,786
9,922
9,635
9,349
9,063
8,779
8,502
8,239
7,997
7,738
9,903
9,583
9,268
8,959
8,656
8,362
8,078
7,792
7,452
9,884
9,519
9,157
81
162
162
162
162
162
162
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
8,782
8,422
8,062
7,701
7,338
6,974
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
249,441
249,182
248,740
248,249
248,108
249,110
250
250
250
250
250
250
desvio max
desvio min
0,22%
0,33%
0,50%
0,70%
0,76%
0,36%
1,51%
-1,76%
8,802
8,450
8,103
7,755
7,394
6,999
82
Tabela dos resultados numéricos para tc = 1.5ta e σcadm = 355 MPa
Espessura
Espessura
Momento
ângulo
do
do
Analítico
2θ (⁰) defeito d
compósito
M (N.mm)
(xD)
tc (xD)
18
18
18
18
18
18
18
18
18
36
36
36
36
36
36
36
36
36
54
54
54
54
54
54
54
54
54
72
72
72
72
72
72
72
72
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
13,144
13,078
13,012
12,946
12,879
12,812
12,745
12,677
12,609
13,085
12,959
12,831
12,703
12,573
12,441
12,309
12,175
12,039
13,037
12,862
12,684
12,503
12,319
12,131
11,941
11,748
11,552
13,006
12,797
12,583
12,364
12,140
11,910
11,674
11,434
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
Tensão da
Análise
Numérica
(Mpa)
248,344
249,059
249,724
250,400
251,060
251,588
252,050
252,200
251,850
248,814
249,775
250,667
251,368
251,982
252,297
252,381
252,147
251,598
249,645
250,549
251,289
251,831
252,217
252,384
252,243
251,769
251,139
249,968
250,503
250,875
251,205
251,446
251,579
251,648
251,851
Desvio
Tensão
Momento
(Tensão
admissível
corrgido
Numérica
a
σ adm (Mpa)
(N.mm)
/ σaadm )
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
0,66%
0,38%
0,11%
-0,16%
-0,42%
-0,64%
-0,82%
-0,88%
-0,74%
0,47%
0,09%
-0,27%
-0,55%
-0,79%
-0,92%
-0,95%
-0,86%
-0,64%
0,14%
-0,22%
-0,52%
-0,73%
-0,89%
-0,95%
-0,90%
-0,71%
-0,46%
0,01%
-0,20%
-0,35%
-0,48%
-0,58%
-0,63%
-0,66%
-0,74%
13,231
13,127
13,026
12,925
12,824
12,731
12,641
12,565
12,516
13,147
12,971
12,797
12,633
12,473
12,327
12,192
12,070
11,962
13,056
12,834
12,619
12,411
12,210
12,015
11,834
11,665
11,499
13,008
12,771
12,539
12,304
12,070
11,835
11,597
11,349
83
72
90
90
90
90
90
90
90
90
90
108
108
108
108
108
108
108
108
108
126
126
126
126
126
126
126
126
126
144
144
144
144
144
144
144
144
144
162
162
162
162
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
11,188
12,994
12,771
12,539
12,299
12,051
11,794
11,529
11,256
10,975
12,985
12,755
12,519
12,275
12,024
11,763
11,493
11,211
10,916
12,957
12,700
12,441
12,177
11,908
11,635
11,356
11,071
10,778
12,911
12,611
12,309
12,005
11,700
11,392
11,082
10,768
10,452
12,853
12,495
12,137
11,779
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
252,426
251,475
252,049
252,562
253,093
253,431
253,981
254,497
254,708
252,239
252,768
253,547
254,279
254,946
255,478
255,723
255,380
253,647
249,849
252,847
253,543
254,103
254,453
254,488
254,020
252,810
250,526
248,699
251,806
252,189
252,407
252,365
251,987
251,183
249,960
248,702
249,003
250,354
250,450
250,454
250,244
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
-0,97%
-0,59%
-0,82%
-1,02%
-1,24%
-1,37%
-1,59%
-1,80%
-1,88%
-0,90%
-1,11%
-1,42%
-1,71%
-1,98%
-2,19%
-2,29%
-2,15%
-1,46%
0,06%
-1,14%
-1,42%
-1,64%
-1,78%
-1,80%
-1,61%
-1,12%
-0,21%
0,52%
-0,72%
-0,88%
-0,96%
-0,95%
-0,79%
-0,47%
0,02%
0,52%
0,40%
-0,14%
-0,18%
-0,18%
-0,10%
11,079
12,917
12,666
12,411
12,147
11,886
11,606
11,322
11,044
10,877
12,841
12,574
12,305
12,032
11,761
11,494
11,246
11,047
10,923
12,809
12,520
12,237
11,960
11,694
11,448
11,228
11,048
10,834
12,818
12,501
12,191
11,891
11,607
11,338
11,084
10,824
10,494
12,835
12,473
12,115
11,768
84
162
162
162
162
162
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
11,420
11,061
10,701
10,341
9,979
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
249,851
249,299
248,753
248,605
249,333
250
250
250
250
250
desvio max
desvio min
0,06%
0,28%
0,50%
0,56%
0,27%
0,66%
-2,29%
11,427
11,092
10,754
10,399
10,006
85
Tabela dos resultados numéricos para tc = ta e σcadm = 500 MPa
ângulo
2θ (⁰)
Espessura
do defeito
d (xD)
18
18
18
18
18
18
18
18
18
36
36
36
36
36
36
36
36
36
54
54
54
54
54
54
54
54
54
72
72
72
72
72
72
72
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
Momento Espessura
Analítico
do
M
compósito
(N.mm)
tc (xD)
12,595
12,530
12,464
12,397
12,330
12,263
12,196
12,128
12,060
12,536
12,410
12,283
12,154
12,023
11,892
11,759
11,624
11,488
12,489
12,313
12,135
11,953
11,768
11,580
11,389
11,195
10,998
12,457
12,248
12,034
11,814
11,588
11,357
11,120
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
Tensão
da
Análise
Numérica
(Mpa)
247,798
248,331
248,710
249,098
249,261
249,441
249,635
250,051
250,926
247,316
248,192
249,095
250,021
250,756
251,553
252,206
252,666
252,649
249,566
250,483
251,292
252,021
252,736
253,169
253,335
253,120
252,587
248,900
249,559
250,077
250,541
250,911
251,251
251,551
Tensão
admissível
σaadm
(Mpa)
Desvio
(Tensão
Numérica
/ σaadm )
Momento
corrgido
(N.mm)
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
0,88%
0,67%
0,52%
0,36%
0,30%
0,22%
0,15%
-0,02%
-0,37%
1,07%
0,72%
0,36%
-0,01%
-0,30%
-0,62%
-0,88%
-1,07%
-1,06%
0,17%
-0,19%
-0,52%
-0,81%
-1,09%
-1,27%
-1,33%
-1,25%
-1,03%
0,44%
0,18%
-0,03%
-0,22%
-0,36%
-0,50%
-0,62%
12,706
12,614
12,528
12,442
12,366
12,290
12,214
12,126
12,015
12,671
12,500
12,327
12,153
11,987
11,818
11,655
11,500
11,366
12,511
12,289
12,072
11,856
11,639
11,433
11,237
11,055
10,884
12,512
12,270
12,030
11,788
11,546
11,300
11,051
86
72
72
90
90
90
90
90
90
90
90
90
108
108
108
108
108
108
108
108
108
126
126
126
126
126
126
126
126
126
144
144
144
144
144
144
144
144
144
162
162
162
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
10,878
10,630
12,446
12,221
11,989
11,747
11,497
11,239
10,972
10,696
10,412
12,437
12,206
11,969
11,724
11,471
11,208
10,935
10,649
10,349
12,408
12,152
11,891
11,627
11,357
11,083
10,802
10,514
10,219
12,362
12,062
11,760
11,456
11,150
10,842
10,531
10,216
9,899
12,304
11,946
11,589
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
251,997
253,184
249,034
249,231
249,763
250,337
250,997
251,807
252,691
253,625
253,476
250,025
250,767
251,604
252,487
253,427
254,255
254,710
254,102
251,183
250,545
251,530
252,452
253,280
253,926
254,144
253,534
251,724
249,933
250,018
250,737
251,357
251,813
251,934
251,610
250,689
249,507
250,136
248,846
249,187
249,448
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
-0,80%
-1,27%
0,39%
0,31%
0,09%
-0,13%
-0,40%
-0,72%
-1,08%
-1,45%
-1,39%
-0,01%
-0,31%
-0,64%
-0,99%
-1,37%
-1,70%
-1,88%
-1,64%
-0,47%
-0,22%
-0,61%
-0,98%
-1,31%
-1,57%
-1,66%
-1,41%
-0,69%
0,03%
-0,01%
-0,29%
-0,54%
-0,73%
-0,77%
-0,64%
-0,28%
0,20%
-0,05%
0,46%
0,33%
0,22%
10,791
10,495
12,494
12,259
12,000
11,731
11,451
11,158
10,854
10,541
10,267
12,436
12,169
11,892
11,607
11,314
11,017
10,729
10,474
10,300
12,381
12,078
11,774
11,474
11,179
10,899
10,649
10,442
10,222
12,361
12,026
11,696
11,373
11,064
10,772
10,502
10,236
9,894
12,361
11,985
11,615
87
162
162
162
162
162
162
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
11,230
10,872
10,512
10,152
9,791
9,429
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
0,050
249,599
249,597
249,387
249,069
249,098
250,411
250
250
250
250
250
250
desvio max
desvio min
0,16%
0,16%
0,25%
0,37%
0,36%
-0,16%
1,07%
-1,88%
11,248
10,890
10,538
10,190
9,826
9,413
88
Tabela dos resultados numéricos para tc = 1.5ta e σcadm = 500 MPa
Espessura
Espessura
Momento
ângulo
do
do
Analítico
2θ (⁰) defeito d
compósito
M (N.mm)
(xD)
tc (xD)
18
18
18
18
18
18
18
18
18
36
36
36
36
36
36
36
36
36
54
54
54
54
54
54
54
54
54
72
72
72
72
72
72
72
72
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
16,816
16,750
16,684
16,618
16,552
16,485
16,418
16,351
16,284
16,757
16,631
16,504
16,377
16,248
16,118
15,987
15,856
15,723
16,709
16,535
16,358
16,180
15,998
15,815
15,629
15,441
15,250
16,678
16,471
16,260
16,045
15,826
15,602
15,374
15,143
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
Tensão da
Análise
Numérica
(Mpa)
248,928
249,249
249,432
249,617
249,766
249,786
249,911
250,231
250,947
248,341
248,998
249,696
250,322
250,974
251,454
251,840
252,096
252,138
250,274
250,964
251,574
252,049
252,428
252,648
252,604
252,299
252,095
249,712
250,130
250,510
250,821
251,081
251,262
251,428
251,853
Desvio
Tensão
Momento
(Tensão
admissível
corrgido
Numérica
a
σ adm (Mpa)
(N.mm)
/ σaadm )
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
0,43%
0,30%
0,23%
0,15%
0,09%
0,09%
0,04%
-0,09%
-0,38%
0,66%
0,40%
0,12%
-0,13%
-0,39%
-0,58%
-0,74%
-0,84%
-0,86%
-0,11%
-0,39%
-0,63%
-0,82%
-0,97%
-1,06%
-1,04%
-0,92%
-0,84%
0,12%
-0,05%
-0,20%
-0,33%
-0,43%
-0,50%
-0,57%
-0,74%
16,888
16,800
16,722
16,643
16,568
16,499
16,424
16,336
16,222
16,868
16,698
16,524
16,356
16,185
16,024
15,869
15,723
15,589
16,691
16,471
16,255
16,047
15,843
15,648
15,466
15,299
15,122
16,697
16,462
16,227
15,992
15,758
15,523
15,286
15,031
89
72
90
90
90
90
90
90
90
90
90
108
108
108
108
108
108
108
108
108
126
126
126
126
126
126
126
126
126
144
144
144
144
144
144
144
144
144
162
162
162
162
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,005
0,010
0,015
0,020
14,907
16,667
16,446
16,219
15,985
15,745
15,498
15,245
14,985
14,719
16,658
16,430
16,197
15,959
15,715
15,465
15,208
14,944
14,672
16,629
16,374
16,116
15,855
15,591
15,324
15,052
14,777
14,497
16,583
16,283
15,982
15,680
15,376
15,071
14,764
14,456
14,145
16,524
16,167
15,809
15,452
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
253,186
250,260
250,650
251,047
251,494
251,869
252,502
253,289
254,218
253,702
251,897
252,634
253,418
254,202
254,959
255,567
255,721
254,587
251,092
252,956
253,772
254,512
255,107
255,417
255,204
254,155
251,800
249,905
252,228
252,762
253,152
253,286
253,067
252,355
251,106
249,750
250,325
250,692
250,885
251,017
250,928
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
-1,27%
-0,10%
-0,26%
-0,42%
-0,60%
-0,75%
-1,00%
-1,32%
-1,69%
-1,48%
-0,76%
-1,05%
-1,37%
-1,68%
-1,98%
-2,23%
-2,29%
-1,83%
-0,44%
-1,18%
-1,51%
-1,80%
-2,04%
-2,17%
-2,08%
-1,66%
-0,72%
0,04%
-0,89%
-1,10%
-1,26%
-1,31%
-1,23%
-0,94%
-0,44%
0,10%
-0,13%
-0,28%
-0,35%
-0,41%
-0,37%
14,717
16,650
16,403
16,151
15,889
15,627
15,343
15,044
14,732
14,501
16,532
16,257
15,976
15,691
15,403
15,121
14,860
14,670
14,608
16,432
16,127
15,825
15,531
15,253
15,005
14,802
14,671
14,502
16,435
16,103
15,781
15,474
15,187
14,929
14,699
14,470
14,127
16,478
16,110
15,745
15,395
90
162
162
162
162
162
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
15,093
14,735
14,376
14,016
13,656
0,075
0,075
0,075
0,075
0,075
250,631
250,139
249,611
249,544
250,671
250
250
250
250
250
desvio max
desvio min
-0,25%
-0,06%
0,16%
0,18%
-0,27%
0,66%
-2,29%
15,055
14,727
14,398
14,042
13,619
91
Apêndice C: Resultados da análise numérica do duto com defeito sem reparo
Figura 43 – Resultado da máxima tensão (251.59 MPa) no modelo sólido com defeito (d =
0.1D, 2θ=18⁰, σaadm = 250MPa)
92
Figura 44 – Resultado da máxima tensão (248.27 MPa) no modelo Shell com defeito (d =
0.2D, 2θ=18⁰, σaadm = 250MPa)