Representação de um conjunto de Matrizes
Operações
Soma de Matrizes
Subtração
Produto por escalar
Matrizes e Imagens Digitais
Matrizes - Soma e Produto por Escalar
Márcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1
23 de julho de 2015
Márcio Nascimento
Matrizes - Soma e Produto por Escalar
Representação de um conjunto de Matrizes
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Sumário
1
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2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
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Márcio Nascimento
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Sumário
1
Representação de um conjunto de Matrizes
2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
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Márcio Nascimento
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Matriz
Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais
(ou complexos) dispostos em linhas e colunas
Por exemplo,
1 2 3
4 5 6
é uma matriz formada por números reais com duas linhas e
três colunas.
Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (com
elementos reais) com duas linhas e três colunas por R2×3 .
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EXEMPLOS
4 2
A = 2 3
0 1
(2i)
B=
(0)
4 2
A= 2 3
0 1
1
−1 ∈ R3×3
7
(4 − 2i)
(7i)
(5)
√
∈ C2×4
(−3 + 7i) (12i) (5 − 2i)
1
−1 ∈ C3×3
7
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GENERALIZANDO
Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n × m com entradas
reais;
Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n × m com entradas
complexas;
É verdade que Rn×m ⊂ Cn×m ?
É verdade que Rn×m = Rm×n ?
É verdade que R2×2 ⊂ R3×3 ?
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NOTAÇÃO
a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
A= .
..
.. ∈ Rn×m (ou ∈ Cn×m )
.
.
.
.
an1 an2 . . . anm
ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;
Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;
a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;
a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;
A = [ars ]n×m : r ∈ {1, 2, ..., n} e s ∈ {1, 2, ..., m}
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EXEMPLO
Esboçar a matriz A = [ars ] ∈ R4×3 tal que ars = r 2 − s.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A=
a31 a32 a33
a41 a42 a43
2
(1 − 1) (12 − 2) (12 − 3)
(22 − 1) (22 − 2) (22 − 3)
A=
(32 − 1) (32 − 2) (32 − 3)
(42 − 1) (42 − 2) (42 − 3)
0 −1 −2
3
2
1
A=
8
7
6
15 14 13
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Importante
Uma vez que todo número real também é um número complexo,
podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando a
notação
Cn×m
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Sumário
1
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2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
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Considere um conjunto Ω não vazio.
Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos uma
operação (∗) entre os elementos de Ω;
Os elementos de Ω, sob a influência da operação ∗, possuem
algumas propriedades;
Se consideramos um conjunto de matrizes, então a Álgebra
Matricial consiste da operação entre matrizes e suas
propriedades.
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EXEMPLO
Considere o conjunto não vazio
Ω = {matriculados em Álgebra Matricial no semestre 2015.1}
Operação: x ∗ y = y
Propriedade: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y ) ∗ z
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IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Antes de definirmos as operações, vamos estabelecer que duas
matrizes são IGUAIS quando
possuem a mesma ordem e
os elementos correspondentes (posições) são iguais.
√
3
√9
Exemplo: 2 =
4
0
1
5
(2 − 4i)
6= (2 − 4i) (1 + 2i)
Exemplo:
(1 + 2i)
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Sumário
1
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2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
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Soma de Matrizes
Considere duas matrizes A, B de mesma ordem n × m. A soma
A + B é a matriz também de ordem n × m obtida pela soma das
entradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições.
7
0 2
3 2 1
,B=
Exemplo: A =
−5 −4 2
4 −1 5
(3 + 7)
(2 + 0)
(1 + 2)
A+B =
(4 + (−5)) (−1 + (−4)) (5 + 2)
10 2 3
A+B =
−1 −5 7
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Soma de Matrizes
Considerando as matrizes
3 2 1
,
A=
4 −1 5
7
0 2
B = −5 −4 2
0
0 0
o que se pode dizer sobre a soma A + B?
Não está definida, pois A tem ordem 2 × 3 e B tem ordem
3 × 3.
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Soma de Matrizes
Usando a notação matricial:
Se A = [ars ]n×m , B = [brs ]n×m ,
então A + B = [(ars + brs )]n×m
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Propriedades da Soma
Sejam A = [ars ]n×m , B = [brs ]n×m e C = [crs ]n×m com entradas
reais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades:
Associatividade: A + (B + C ) = (A + B) + C
Comutatividade: A + B = B + A
Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X0 de
ordem n × m tal que A + X0 = A qualquer que seja a matriz
A de ordem n × m.
Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A de
ordem n × m, existe uma matriz A′ tal que A + A′ = X0 .
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Propriedades da Soma
Associatividade: A + (B + C ) = (A + B) + C
A + (B + C ) = [ars ] + ([brs ] + [crs ])
= [ars ] + ([brs + crs ]) (definição da soma)
= [ars + (brs + crs )] (definição da soma)
= [(ars + brs ) + crs ] (associatividade em R, C)
= [(ars + brs )] + [crs ] (definição da soma)
= ([ars ] + [brs ]) + [crs ] = (A + B) + C
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Propriedades da Soma
Comutatividade: A + B = B + A
A + B = [ars ] + [brs ]
= [(ars + brs )] (definição para a soma de A e B)
= [(brs + ars )] (comutatividade em R, C)
= [brs ] + [ars ] = B + A
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Propriedades da Soma
Existência de Elemento Neutro: Seja A uma matriz de ordem
n × m. Vamos resolver a equação
A+X =A
A+X =A
=⇒ [ars ] + [xrs ] = [ars ]
=⇒ [(ars + xrs )] = [ars ]
=⇒ ars + xrs = ars para todo r ∈ {1, ..., n},
s ∈ {1, ..., m}
=⇒ xrs = 0 para todo r ∈ {1, ..., n}, s ∈ {1, ..., m}
=⇒ X é uma matriz de ordem n × m formada por 0.
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Elemento Neutro
a11
a21
.
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
an2
...
...
...
x11
a1m
a2m x21
+
. .
. .
.
.
xn1
anm
x12
x22
.
.
.
xn2
...
...
...
a11
x1m
a21
x2m
=
.
..
.
.
.
an1
xnm
a12
a22
.
.
.
an2
...
...
...
a1m
a2m
.
.
.
anm
0 0 ... 0
0 0 . . . 0
X = . .
.. = [0]n×m
.
.
. .
.
0 0 ... 0
Vamos denotar tal matriz por 0.
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Propriedades da Soma
Existência do Inverso Aditivo: Seja A uma matriz de ordem
n × m. Vamos resolver a equação
A+X =0
A+X =0
=⇒ [ars ] + [xrs ] = [0]
=⇒ [(ars + xrs )] = [0]
=⇒ ars + xrs = 0 para todo r ∈ {1, ..., n},
s ∈ {1, ..., m}
=⇒ xrs = −ars para todo r ∈ {1, ..., n},
s ∈ {1, ..., m}
=⇒ X = [−ars ] é a inversa aditiva da matriz A.
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Inverso Aditivo
a11
a21
.
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
an2
...
...
...
x11
a1m
a2m x21
+
. .
. .
.
.
xn1
anm
x12
x22
.
.
.
xn2
...
...
...
0
x1m
0
x2m
=
.
..
.
.
.
0
xnm
0
0
.
.
.
0
...
...
...
0
0
.
.
.
0
−a11 −a12 . . . −a1m
−a21 −a22 . . . −a2m
X = .
..
.. = [−ars ]n×m
.
.
.
.
−an1 −an2 . . . −anm
Vamos denotar tal matriz por −A.
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EXEMPLO
Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, no
conjunto de matrizes C2×2 ?
0 0
0=
0 0
Qual o inverso aditivo da matriz A = (3 + 2i) (−2 + i) em
C1×2 ?
−A = (−3 − 2i) (2 − i)
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Sumário
1
Representação de um conjunto de Matrizes
2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
Matrizes e Imagens Digitais
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Soma de Matrizes
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Dadas duas matrizes A = [ars ] e B = [brs ], ambas de mesma
ordem, definimos a subtração da seguinte forma:
A − B = A + (−B)
Ou seja,
A − B = [ars ] + [−brs ]
= [(ars + (−brs ))]
= [(ars − brs )]
Isto é, a subtração de duas matrizes se dá elemento a
elemento.
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EXEMPLO Considere as matrizes
1 2 3
3 2 1
A = 4 5 6 , B = 6 5 4
0 9 8
8 9 0
2
A − B = −2
8
−2
B −A= 2
−8
0 −2
0 2
0 −8
0 2
0 −2
0 8
Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA.
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Sumário
1
Representação de um conjunto de Matrizes
2
Operações
3
Soma de Matrizes
4
Subtração
5
Produto por escalar
6
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O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arroz
em quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade.
A
A1
A2
E1
E2
E3
E4
2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de
10% nos preços de todas as suas mercadorias. Como fica o
novo quadro com os preços de arroz?
E1
E2
E3
E4
A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
B
A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
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Vejamos as duas tabelas
A
B
A1
A2
E1
E2
E3
E4
2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
E1
E2
E3
E4
A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes:
2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
A=
2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
B=
2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
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Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A e
B?
2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
A=
2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
B=
2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
ars /brs é sempre igual?
Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matriz
B) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é:
brs = 0, 9.ars para todas as entradas.
Escreveremos B = 0, 9.A
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Generalizando Seja A uma matriz de ordem n × m e α um escalar
(número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz A
é definido por:
α.A = [α.ars ]
a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
α. .
..
.. =
..
.
.
an1 an2 . . . anm
(α.a11 ) (α.a12 ) . . . (α.a1m )
(α.a21 ) (α.a22 ) . . . (α.a2m )
..
..
..
.
.
.
(α.an1 ) (α.an2 ) . . . (α.anm )
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Propriedades Sejam A, B matrizes de mesma ordem e α, β
escalares.
α.(β.A) = (α.β).A
α.(A + B) = α.A + α.B
(α + β).A = α.A + β.A
Existe um escalar x0 tal que x0 .A = A para qualquer matriz A.
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Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0 .A = A para
qualquer matriz A.
Vamos resolver a equação x.A = A.
x.A = A =⇒ x.[ars ] = [ars ]
=⇒ [(x.ars )] = [ars ]
=⇒ x.ars = ars para todo r ∈ {1, ..., n}, s ∈ {1, ..., n}
=⇒ x = 1
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Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.
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Imagens coloridas: três matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e
255.
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Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor para
cada ’pixel’.
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Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidade
das cores, isto é, multiplicar uma (ou duas, ou três) das matrizes
R,G,B por escalar(es).
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R = [rij ]1920×1080 =
r11
r21
..
.
r12
r22
..
.
...
...
r1,1080
r2,1080
..
.
r1920,1
r1920,2
...
r1920,1080
G = [gij ]1920×1080 ,
1.R, 1.G , 1.B
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B = [bij ]1920×1080
α.R
α.R, βG , γB
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