UNIDADES EM ÁLGEBRAS DE OCTÔNIOS
Susan Wouters
Tese submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Ciências.
Área de Concentração: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Guilherme Augusto de La Roque Leal
Rio de Janeiro
2011
UNIDADES EM ÁLGEBRAS DE OCTÔNIOS
Susan Wouters
Tese submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal
do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de
Doutor em Ciências.
Área de Concentração: Matemática
Aprovada por:
Prof. Guilherme Augusto de La Rocque Leal - IM/UFRJ
(Presidente, Orientador )
Prof. Renato Portugal - LNCC
(Co-orientador )
Prof. Adilson Gonçalves - FGV - RJ
Prof. Bruno César Azevedo Scárdua - IM/UFRJ
Prof. Francisco Cesar Polcino Milies - USP
Prof. Osnel Broche Cristo - UFLA
Prof. Severino Collier Coutinho - IM/UFRJ
(Suplente)
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2011
ii
Quanto tempo gastou Arquimedes
Para desenhar retângulos e retângulos
Cada vez de menor base,
Até chegar à área de uma curva?
Arquimedes, Arquimedes,
Que paciência a tua.
Mas mostraste ao mundo
Que a Matemática ensina
Não a dizer: não sei
Mas a dizer: ainda não sei.
iii
Agradecimentos
Antes de tudo, agradeço a Deus por tantas oportunidades felizes e por ter me abençoado todos os dias da minha vida.
Ao meu orientador, professor Guilherme Augusto de La Rocque Leal, pela atenção,
dedicação e paciência que sempre teve para entender e atender aos meus questionamentos.
Ao meu co-orientador, professor Renato Portugal, pelas sugestões e contribuição.
A todos os colegas, em especial as colegas e amigas Cristiane de Mello e Andréa Luiza
Martinho que tornaram esses anos mais fáceis e agradáveis; obrigada pelas conversas,
paciência, companheirismo e verdadeira amizade.
Aos meus colegas e amigos da UFRRJ pelo apoio e carinho dedicados nesses últimos
meses; um especial agradecimento ao amigo Benaia Sobreira de Jesus Lima pelas sugestões
e por sempre atender meus pedidos “desesperados” para arrumar as imensas matrizes que
aparecem na tese.
À minha maravilhosa famı́lia que sempre esteve, mesmo de longe, me apoiando com
palavras e demonstrações de carinho; em especial à minha mãe e à minha irmã Marta que
se fizeram muito presentes em todos os momentos.
A FAPERJ pela bolsa de estudo recebida, tornando possı́vel o desenvolvimento deste
trabalho.
Enfim, gostaria de agradecer a todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuı́ram na elaboração dessa tese e foram de fundamental importância durante todo o
doutorado.
iv
Resumo
Seja F = Fq um corpo finito de caracterı́stica diferente de 2 e seja O a álgebra de
octônios com divisores de zero sobre F . Neste trabalho estudaremos os automorfismos
internos de O para mostrar que para toda unidade de O existe um automorfismo de O
que leva esta unidade em uma subálgebra de O isomorfa a uma álgebra de matrizes 2 × 2
sobre o mesmo corpo. A partir deste fato veremos também que o teorema de Cauchy não
é válido para o loop dos elementos inversı́veis de O.
Palavras-chave: Álgebras de Composição, Octônios, Teorema de Cauchy, matrizes de
Zorn.
Abstract
Let F = Fq be a finite field with characteristic not two and let O be the octonios
algebra over F with zero divisors. Here we investigate the internal automorphisms of O
in order to get that all unit of O is in fact an element of GL2 (F ). Finally we conclude
that the Cauchy theorem is not true for the loop of invertible matrices of O.
Key Words: Compositios Algebras, Octonios, The Cauchy Theorem, Matrices of Zorn.
Sumário
Resumo
Abstract
Sumário
Introdução
1 Álgebras de Composição
v
vi
vii
8
11
Introdução
11
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 O Processo de Cayley-Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Exemplos de álgebras de composição . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Automorfismos dos Octônios
24
3 Os Teoremas de Cauchy e de Sylow
43
A Apêndice
46
Introdução
No capı́tulo 1 apresentamos resultados preliminares sobre álgebras de composição que
serão utilizados na seção 1.2, na qual apresentamos o processo de Cayley-Dickson descrito
da seguinte forma: Seja A uma álgebra sobre um corpo F com elemento identidade 1 e com
uma involução a → ā, onde a + ā, aā ∈ F, ∀a ∈ A, o processo de Cayley-Dickson consiste
na construção de uma nova álgebra com involução contendo A como uma subálgebra. Se
a dimensão da álgebra A é m, então a dimensão da nova álgebra será 2m. Seja F um
corpo de caracterı́stica diferente de 2, definimos nesse capı́tulo uma álgebra de octônios O
que é uma álgebra de composição de dimensão 8 sobre F . Esta álgebra não é associativa,
mas satisfaz as identidades de Moufang:
((xy)x)z = x(y(xz)),
(1)
((xy)z)y = x(y(zy)),
(2)
(xy)(zx) = (x(yz))x.
(3)
e é diassociativa, isto é, se X, Y são unidades de O então o subloop < X, Y > gerado por
X e Y é um grupo. O nosso interesse estará voltado para as álgebras de octônios que
se decompõem, neste caso para cada corpo F só existe uma álgebra de octônios que se
decompõe. Aqui também apresentamos uma representação para essa álgebra conhecida
como a álgebra das matrizes de Zorn C(F ) que são matrizes da forma:

A=
a1
[a5 , a6 , a7 ]
[a2 , a3 , a4 ]
a8

 , ai ∈ F,
onde a adição e multiplicação por escalar dessas matrizes é a adição e multiplicação por
escalar usual de matrizes e a multiplicação é dada da seguinte maneira:
9
Introdução
Seja a ∈ C(F ). Associamos ao elemento a a matriz:
α11 a12
a21 α22
!
(1)
(2)
(3)
, onde aij = (αij , αij , αij ) ∈ F 3 .
α11 a12
a21 α22
!
β11 b12
b21 β22
!
=
α11 β11 + (a12 , b21 )
α11 b12 + β22 a12 − a21 × b21
β11 a21 + α22 b21 + a12 × b12 α22 β22 + (a21 , b12 )
!
,
onde para vetores
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ F 3 ,
por
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 é denotado seu produto escalar,
e por
x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
seu produto vetorial.
No capı́tulo 2, que constitui o corpo da tese, faremos os cálculos para mostrar o seguinte
teorema:
“Supondo que a álgebra de octônios O se decompõe, seja u uma unidade em O. Então,
existe um automorfismo ϕ tal que ϕ(u) ∈ M , onde M ⊂ O é o conjunto das matrizes da
forma:

A=
a1 0
[a2 0 , 0 , 0 ]
[a5 0 , 0 , 0 ]
a8 0

 , a0i ∈ F.”
Os cálculos serão feitos da seguinte maneira:
(i) Nosso primeiro passo será zerar a coordenada a7 da matriz

A=
a1
[a5 , a6 , a7 ]
[a2 , a3 , a4 ]
a8

.
(ii) O próximo passo é zerar a coordenada a3 mantendo a coordenada a7 = 0;
(iii) O próximo passo é zerar a coordenada a6 mantendo as coordenadas a3 e a7 iguais
a 0.
10
Introdução
Antes de zerarmos a coordenada a6, observamos que matrizes da forma:

M =
m1
[m5 , m6 , 0]
[m2 , 0, m4 ]
m8


formam uma subálgebra de O. Iremos usar esse fato para, utilizando apenas matrizes
nessa subálgebra, zerar a6 mantendo a3 = a7 = 0.
(iv ) O último passo é zerar a4 mantendo a3 = a6 = a7 = 0.
No capı́tulo 3 mostraremos que o primeiro teorema de Sylow não é verdadeiro para o
loop GO(F ), onde F = Fq é o corpo de Galois de q elementos onde q = pn , p primo e
GO(F ) é o loop das matrizes de Zorn inversı́veis sobre F. Para isso, calcularemos a ordem
de GLO(F ) e GL2 (F ) e mostraremos que o Teorema de Cauchy, o qual garante que se p
é um divisor primo da ordem de um grupo finito G, então existe um elemento em G de
ordem igual a p, não é verdadeiro para o loop dos elementos inversı́veis de O.
1
Álgebras de Composição
1.1
Preliminares
Definição 1.1. Sejam F um corpo arbitrário e A um espaço vetorial de dimensão diferente
de zero sobre F. Uma aplicação f : A × A → F é chamada uma forma bilinear se para
0
0
quaisquer x, x , y, y ∈ A e α ∈ F :
0
0
(i) f (x + x , y) = f (x, y) + f (x , y);
0
0
(ii) f (x, y + y ) = f (x, y) + f (x, y );
(iii) f (αx, y) = f (x, αy) = αf (x, y).
Definição 1.2. Uma forma bilinear f é chamada simétrica se
f (x, y) = f (y, x) ∀x, y ∈ A.
Definição 1.3. Uma forma bilinear simétrica f é chamada não degenerada se
f (a, x) = 0 ∀x ∈ A implicar que a = 0.
Definição 1.4. Uma aplicação η : A → F é chamada uma forma quadrática se:
(i) η(λx) = λ2 η(x), onde x ∈ A, λ ∈ F ;
(ii) a função f (x, y) = η(x + y) − η(x) − η(y) é uma forma bilinear em A.
Definição 1.5. Uma forma quadrática η(x) é chamada estritamente não degenerada
se a forma bilinear simétrica f (x, y) correspondente é não degenerada, e é chamada não
degenerada se η(a) = f (a, x) = 0 ∀x ∈ A implicar que a = 0.
Definição 1.6. Uma forma quadrática η(x) admite composição se existe uma operação
binária bilinear(composição) xy em A tal que:
12
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
η(x)η(y) = η(xy).
(1.1)
O objetivo principal é estudar os automorfismos e grupos de automorfismos de álgebras
de composição, isto é, álgebras surgindo de formas quadráticas que admitem composição.
Essas álgebras são principalmente álgebras dos quatérnios e álgebras dos octônios.
O problema de determinar as formas quadráticas que admitem composição (Problema
de Hurvitz) tem sido tratado por muitos autores. Trataremos do caso de caracterı́stica
diferente de 2. Uma razão para tratar o problema de Hurvitz é que a análise de álgebras
de composição é essencial para o estudo dos seus automorfismos.
Definição 1.7. Uma álgebra A sobre um corpo F com forma quadrática η(x) é chamada
uma álgebra de composição se:
(i) η(xy) = η(x)η(y);
(ii) a forma quadrática η(x) é estritamente não degenerada;
(iii) existe um elemento identidade 1 em A.
Definição 1.8. Uma álgebra R é chamada alternativa se
x2 y = x(xy) e yx2 = (yx)x, ∀x, y ∈ R.
Lema 1.9. Seja A uma álgebra de composição. Então, A é alternativa se, e somente se,
cada elemento da álgebra A satisfaz uma equação quadrática com coeficientes de F (isto
é, a álgebra A é quadrática sobre F ).
Demonstração. Devemos identificar o corpo F com a subálgebra F · 1 da álgebra A.
Substituindo y + w no lugar de y em 1.1, obtemos:
η(x)η(y + w) = η(xy + xw).
(1.2)
Subtraindo a identidade 1.1 desta igualdade, e também a identidade obtida de 1.1
trocando y por w, obtemos:
η(x)η(y + w) − η(x)η(y) − η(x)η(w) = η(xy + xw) − η(xy) − η(xw) ⇒
η(x)[η(y + w) − η(y) − η(w)] = f (xy, xw) ⇒
η(x)f (y, w) = f (xy, xw).
(1.3)
Fazendo o mesmo procedimento com x, obtemos:
f (x, z)f (y, w) = f (xy, zw) + f (xw, zy).
(1.4)
13
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Substituindo z = 1, y = xu em 1.4, temos:
f (x, 1)f (xu, w) = f (x(xu), w) + f (xw, xu).
(1.5)
Como, por 1.3, f (xw, xu) = η(x)f (w, u), então 1.5 pode ser reescrita na forma:
f (x(xu), w) + η(x)f (w, u) − f (x, 1)f (xu, w) = 0,
a qual pela bilinearidade e simetria da forma f é equivalente a identidade:
f (x(xu) + η(x)y − f (x, 1)xu, w) = 0.
Como a forma f (x, y) é não degenerada e w é arbitrário, segue que:
x(xu) + η(x)u − f (x, 1)xu = 0
(1.6)
para quaisquer x, y em A. Agora, fazendo u = 1 em 1.6, obtemos:
x2 − f (x, 1)x + η(x) = 0,
(1.7)
o que prova a segunda parte do lema. Falta ainda provar que a álgebra A é alternativa.
Multiplicando 1.7 pela direita por u e comparando com 1.6, obtemos x2 u = x(xu).
Analogamente prova-se que ux2 = (ux)x. Portanto, a álgebra A é alternativa.
Definição 1.10. Um endomorfismo ρ de um espaço vetorial A é chamado uma involução
da álgebra A se é linear e
ρ(ρ(a)) = a e ρ(ab) = ρ(b)ρ(a), ∀a, b ∈ A.
Lema 1.11. A aplicação
a → ā = f (1, a) − a
é uma involução da álgebra A, a qual leva elementos do corpo F fixado. Também, os
elementos
t(a) = a + ā e η(a) = aā ∈ F, ∀a ∈ A.
Além disso, A satisfaz a equação:
a2 − t(a)a + η(a) = 0.
Demonstração. Primeiro provaremos a involução:
(i) a + b = f (1, a + b) − (a + b) = f (1, a) − a + f (1, b) − b = ā + b̄.
(ii) Seja λ ∈ F . Então, λa = f (1, λa) − λa = λ(f (1, a) − a) = λā.
¯ = f (1, ā) − ā = f (1, f (1, a) − a) − f (1, a) + a = f (1, 1)f (1, a) − 2f (1, a) + a.
(iii) ā
14
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Temos que η(1) = η(1.1) = η(1)η(1) ⇒ η(1) = 1. Logo, f (1, 1) = η(2) − η(1) − η(1) =
¯ = a.
4η(1) − 1 − 1 = 4 − 1 − 1 = 2. Portanto, ā
(iv) Substituindo em 1.7 x = a + b, x = a e x = b, e então subtraindo da primeira
identidade(obtida substituindo x por a+b) as outras duas, obtemos:
ab + ba − f (1, a)b − f (1, b)a + f (a, b) = 0.
(1.8)
Fazendo x = y = 1, z = a e w = b em 1.4, obtemos:
f (1, a)f (1, b) = f (1, ab) + f (a, b)
(1.9)
Substituindo 1.9 em 1.8, obtemos:
ab + ba − f (1, a)b − f (1, b)a + f (1, a)f (1, b) − f (1, ab) = 0.
(1.10)
Assim, āb̄ = (f (1, a) − a)(f (1, b) − b) = ab − f (1, a)b − f (1, b)a + f (1, a)f (1, b) =
f (1, ab) − ba.
Por 1.9, segue que f (1, ab) = f (1, ba). Consequentemente, āb̄ = ba.
Além disso, se λ ∈ F , então λ̄ = f (1, λ) − λ = λf (1, 1) − λ = λ. Finalmente,
a + ā = f (1, a) ∈ F , e por 1.7 aā = f (1, a)a − a2 = η(a) ∈ F . Como t(a) = f (1, a), a
igualdade a2 − t(a)a + η(a) = 0 segue diretamente de 1.7.
1.2
O Processo de Cayley-Dickson
Seja A uma álgebra sobre um corpo F com elemento identidade 1 e com uma involução
a → ā, onde a + ā, aā ∈ F ∀a ∈ A. O processo de Cayley-Dickson consiste na construção
de uma nova álgebra com involução contendo A como uma subálgebra. Se a dimensão da
álgebra A é m, então a dimensão da nova álgebra será 2m.
Fixe 0 6= α ∈ F e denote por (A, α) a coleção de todos os pares ordenados (a1 , a2 ), ai ∈
A, com operações de adição e multiplicação por escalar componente por componente e a
multiplicação definida da seguinte forma:
(a1 , a2 )(a3 , a4 ) = (a1 a3 + αa4 a¯2 , a¯1 a4 + a3 a2 ).
Temos que (A, α) é uma álgebra sobre F com elemento identidade (1, 0). O conjunto
0
A = {(a, 0)/a ∈ A}
é uma subálgebra da álgebra (A, α), a qual é isomorfa a álgebra A.
0
Seja v = (0, 1), então v 2 = α(1, 0) e (A, α) é a soma direta dos espaços vetoriais A
0
0
e vA . Se identificarmos A com A, os elementos da álgebra (A, α) são representados na
15
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
forma:
x = a1 + va2 ,
onde os ai ∈ A são unicamente determinados pelo elemento x e a multiplicação em (A, α)
é dada por:
(a1 + va2 )(a3 + va4 ) = (a1 a3 + αa4 a¯2 ) + v(a¯1 a4 + a3 a2 ).
Para um elemento arbitrário x = a1 + va2 ∈ (A, α), tomemos x̄ = a¯1 − va2 .
Lema 1.12. A aplicação x → x̄ é uma involução da álgebra (A, α). E mais, x+ x̄, xx̄ ∈ F ,
∀x ∈ (A, α). Se a forma quadrática η(a) = aā é estritamente não degenerada em A, então
a forma quadrática η(x) = xx̄ é estritamente não degenerada em (A, α).
Demonstração. Ver em [2] (página 29).
Agora, vamos considerar A uma álgebra de composição com forma quadrática η(a).
Pelo lema 1.11 existe uma involução a → ā em A tal que t(a) = a + ā e η(a) = aā ∈
F, ∀a ∈ A. Isso significa que podemos aplicar o processo de Cayley-Dickson para A.
O objetivo agora é obter condições sobre as quais a álgebra obtida (A, α) com forma
quadrática η(x) seja também uma álgebra de composição.
Lema 1.13. Se A é uma álgebra de composição, então (A, α) é uma álgebra de composição
se, e somente se, a álgebra A é associativa.
Demonstração. Como vimos acima (A, α) tem um elemento identidade e, pelo lema 1.12
a forma quadrática η(x) = xx̄ é estritamente não degenerada em (A, α). Portanto, (A, α)
é uma álgebra de composição se, e somente se, a forma η(x) admite composição.
Observe que se x = a1 + va2 , então:
η(x) = xx̄
= (a1 + va2 )(a¯1 − va2 )
= (a1 a¯1 − α(a2 a¯2 )) + v(−a¯1 a2 + a¯1 a2 )
= η(a1 ) − αη(a2 ).
Seja y = a3 + va4 . Então:
(xy) = (a1 + va2 )(a3 + va4 )
= (a1 a3 + αa4 a¯2 ) + v(a¯1 a4 + a3 a2 ).
16
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Logo,
η(xy) = η(a1 a3 + αa4 a¯2 ) − αη(a¯1 a4 + a3 a2 )
= (a1 a3 + αa4 a¯2 )(a1 a3 + αa4 a¯2 ) − α(a¯1 a4 + a3 a2 )(a¯1 a4 + a3 a2 )
= (a1 a3 a1 a3 + a1 a3 αa4 a¯2 + αa4 a¯2 a1 a3 + α2 a4 a¯2 a4 a¯2 ) − α(a¯1 a4 a¯1 a4 +
a¯1 a4 a3 a2 + a3 a2 a¯1 a4 + a3 a2 a3 a2 )
= (η(a1 a3 ) + α2 η(a4 a¯2 ) + αf (a1 a3 , a4 a¯2 )) − α(η(a¯1 a4 ) + f (a¯1 a4 , a3 a2 ) +
η(a3 a2 )).
Por outro lado,
η(x)η(y) = (η(a1 ) − αη(a2 ))(η(a3 ) − αη(a4 ))
= η(a1 )η(a3 ) − αη(a1 )η(a4 ) − αη(a2 )η(a3 ) + α2 η(a2 )η(a4 ).
Logo,
η(xy) − η(x)η(y) = η(a1 a3 ) + α2 η(a4 a¯2 ) + αf (a1 a3 , a4 a¯2 ) − αη(a¯1 a4 ) −
αf (a¯1 a4 , a3 a2 ) − αη(a3 a2 ) − η(a1 )η(a3 ) + αη(a1 )η(a4 ) +
αη(a2 )η(a3 ) − α2 η(a2 )η(a4 ).
Como
η(ab) = η(a)η(b) e η(ā) = η(a), ∀a, b ∈ A,
obtemos:
η(xy) − η(x)η(y) = αf (a1 a3 , a4 a¯2 ) − αf (a¯1 a4 , a3 a2 ).
Fazendo x = a1 a3 , z = a4 , y = 1 e w = a¯2 em 1.4, temos:
f (a1 a3 , a4 )f (1, a¯2 ) = f ((a1 a3 )1, a4 a¯2 ) + f ((a1 a3 )a¯2 , a4 ).
Daı́,
f (a1 a3 , a4 a¯2 ) = f ((a1 a3 )1, a4 a¯2 )
= −f ((a1 a3 )a¯2 , a4 ) + f (a1 a3 , a4 )f (1, a¯2 )
= f ((a1 a3 )(f (1, a¯2 ) − a¯2 ), a4 )
= f ((a1 a3 )a2 , a4 ).
17
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Analogamente verifica-se que:
f (a¯1 a4 , a3 a2 ) = f (a4 , a1 (a3 a2 )).
Portanto,
η(xy) − η(x)η(y) = α [f ((a1 a3 )a2 , a4 ) − f (a4 , a1 (a3 a2 ))]
= αf ((a1 a3 )a2 − a1 (a3 a2 ), a4 ).
Como α 6= 0 e a forma bilinear é não degenerada, segue que a forma quadrática η(x)
admite composição se, e somente se, a álgebra A é associativa.
1.2.1
Exemplos de álgebras de composição
(I ) F corpo com caracterı́stica diferente de 2, e η(α) = α2 , ∀α ∈ F . De fato é uma
álgebra de composição pois existe um elemento identidade em F e:
(i)η(xy) = (xy)2 = x2 y 2 = η(x)η(y);
(ii) η(x) é estritamente não degenerada: f (a, x) = η(a + x) − η(a) − η(x) = (a +
x)2 − a2 − x2 = 2ax = 0, ∀x ∈ A implica que a = 0.
No caso de caracterı́stica igual a 2, F não é uma álgebra de composição pois nesse
caso a forma bilinear f (x, y) = (x+y)2 −x2 −y 2 = 0 em F, isto é, a forma quadrática
η(x) = x2 não é estritamente não degenerada;
(II ) Sejam F um corpo com caracterı́stica diferente de 2 , µ ∈ F tal que 4µ + 1 6= 0 e
p(x) = x2 − x − µ ∈ F [x]. Seja agora v1 uma indeterminada tal que v12 − v1 − µ = 0
e seja v = v1 − 12 . Logo, F (v) = F (v1 ). Definimos K(µ) = F (v).
Temos que v 2 = (v1 − 21 )2 = v12 − v1 + 41 = µ + 14 = 14 (4µ + 1) 6= 0.
Definimos α + βv1 = (α + β) − βv1 e η(a) = aā.
Mostraremos que α + βv1 = (α + β) − βv1 é uma involução. De fato:
(i) (α + βv1 ) + (γ + δv1 ) = (α + γ) + (β + δ)v1 = (α + γ) + (β + δ) − (β + δ)v1 =
[(α + β) − βv1 ] + (γ + δ − δv1 );
(ii) Claramente α + βv1 = α + βv1 ;
(iii) Sejam a = α + βv1 e b = γ + δv1 . Verifica-se também que ab = b̄ā.
Assim, η(ab) = abab = abb̄ā = aābb̄ = η(a)η(b).
Falta agora mostrarmos que se f (a, x) = 0, ∀x implica que a = 0.
Temos que f (a, a) = η(2a) − η(a) − η(a). Se f (a, a) = 0 ⇒ 4η(a) = η(2a) =
2η(a) ⇒ η(a) = 0. E, f (a, 1) = η(a + 1) − η(a) − 1. Como η(a) = 0, se f (a, 1) = 0
então η(a + 1) = 1 ⇒ (a + 1)(a + 1) = 1 ⇒ aā + ā + a + 1 = 1 ⇒ ā = −a. Mas
18
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
η(a) = aā = 0, logo a = 0.
Temos que se x2 −x−µ é irredutı́vel então k(µ) = F (v1 ) é um corpo. E, se x2 −x−µ
é redutı́vel então k(µ) = F (v1 ) = F ⊕ F .
E mais, K(µ) = (F, α), pois a multiplicação e a involução coincidem com a multiplicação e a involução do processo de Cayley-Dickson.
(III ) Q(µ, β) = (K(µ), β), com β 6= 0 é a álgebra dos quatérnios generalizada. Temos
que essa álgebra é associativa, mas não é comutativa. De fato não é comutativa:
Sejam x, y ∈ Q(µ, β), x = ((0, 1), (0, 0)) e y = ((0, 0), (1, 0)). Temos que:
xy = ((0, 1), (0, 0)) · ((0, 0), (1, 0)) = ((0, 0), (0, 1̄)(1, 0)) = ((0, 0), (0, 1̄)) e
yx = ((0, 0), (1, 0)) · ((0, 1), (0, 0)) = ((0, 0), (0, 1)(1, 0)) = ((0, 0), (0, 1)).
(IV ) C(µ, β, γ) = (Q(µ, β), γ), com γ 6= 0 é a álgebra de Octônios. Essa álgebra é não
associativa.
Portanto, pelo lema 1.13 é impossı́vel continuar nosso processo indutivo para a construção de álgebras de composição.
Nosso objetivo agora é provar que todas as álgebras de composição são da forma de
um dos quatro exemplos vistos acima.
Seja A uma álgebra de composição e η(x) a forma quadrática correspondente definida
em A. Pelo lema 1.11 existe uma involução a → ā na álgebra A tal que
η(a) = aā e a + ā ∈ F ∀a ∈ A.
E mais, ᾱ = α para qualquer α ∈ F .
Seja f (x, y) a forma bilinear associada com a forma quadrática η(x). Então,
f (x, y) = xȳ + yx̄.
Se B é algum subespaço do espaço A, denotaremos por B ⊥ o complemento ortogonal do
subespaço B com respeito a forma f (x, y),
B ⊥ = {a ∈ A/f (a, B) = 0}.
Lema 1.14. Seja B uma subálgebra de uma álgebra de composição A a qual contém o
elemento identidade 1 da álgebra A. Então,
B ⊥ B + BB ⊥ ⊆ B ⊥ ,
e para todo a, b ∈ B e v ∈ B ⊥ as seguintes relações são válidas:
19
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
v̄ = −v,
av = vā
(1.11)
a(vb) = v(āb), (vb)a = v(ab)
(1.12)
(va)(vb) = −η(v)bā
(1.13)
Demonstração. Ver em [2] (página 31).
Teorema 1.15. Seja A uma álgebra de composição. Então, A é isomorfa a uma das
quatro álgebras mencionadas nos exemplos acima.
Demonstração. Pelo termo “subálgebra” devemos entender como uma subálgebra contendo o elemento identidade 1. Desde que a + ā ∈ F , toda subálgebra é invariante por
involução. De fato, como 1 ∈ A0 , F.1 = F ⊂ A0 . Logo, a + ā ∈ F ⊂ A0 e, como a ∈ A0 ,
temos que ā ∈ A0 .
Seja B uma subálgebra de dimensão finita da álgebra A na qual a restrição da forma
f (x, y) é não degenerada.
Como é bem conhecido, A se decompõe na soma direta de subespaços:
A = B + B⊥.
E mais, pelo teorema de Witt (ver em [5]), a restrição da forma f (x, y) para B ⊥ é
também não degenerada.
Assumimos que B 6= A. Então, podemos achar v ∈ B ⊥ tal que η(v) = −α 6= 0.
Por 1.3, obtemos:
f (va, vb) = η(v)f (a, b) = −αf (a, b).
Como f é não degenerada em B, segue que a aplicação v 7→ vx do subespaço B em
vB é injetora (pois o núcleo={0}). E, como essa aplicação é sobrejetora por construção,
temos que B e vB tem a mesma dimensão.
E mais, a relação obtida acima mostra que o espaço vB é não degenerado com respeito
a f (x, y). Isto significa que o subespaço B1 = B + vB, o qual é a soma de dois subespaços
não degenerados, é também não degenerado.
As relações 1.12 e 1.13 mostram que B1 = B +vB é a subálgebra da álgebra A obtida a
partir de B pelo processo de Cayley-Dickson, B1 = (B, α) (basta ver que a multiplicação
é a mesma).
Como
v̄ = −v e a + vb = ā − b̄v = ā − vb,
a involução induzida em B1 pela involução em A coincide com a involução obtida no
processo de Cayley-Dickson.
20
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Então, temos que a subálgebra B1 é não degenerada com respeito a f (x, y). Além
disso, B1 satisfaz as mesmas condições que B e podemos repetir o mesmo processo com a
álgebra B1 .
Retornaremos agora para a álgebra A considerando o caso em que F é um corpo com
caracterı́stica diferente de 2.
Neste caso a subálgebra F é não degenerada com respeito a f (x, y), e portanto podemos
tomar B = F .
Se F 6= A, então existe uma subálgebra B1 do tipo II contida em A.
Se B1 6= A, então existe uma subálgebra B2 do tipo III contida em A.
Se B2 6= A, então A contém uma subálgebra B3 do tipo IV.
Lema 1.16. Para uma álgebra de composição A, as seguintes condições são equivalentes:
(a) η(x) = 0 para algum x 6= 0 em A;
(b) Existem divisores de zero em A.
Demonstração. Se x 6= 0 e η(x) = xx̄ = 0, então é claro que x é um divisor de zero.
Reciprocamente, seja xy = 0, com x, y ∈ A e x 6= 0, y 6= 0. Então, 0 = η(xy) =
η(x)η(y) ⇒ η(x) = 0 ou η(y) = 0.
Se uma das condições (a), (b) do lema anterior é satisfeita em uma álgebra de composição A, então dizemos que A se decompõe.
Teorema 1.17. Álgebras de composição de mesma dimensão que se decompõem sobre um
corpo F são isomorfas.
Demonstração. Ver em [2] (página 43).
Corolário 1.18. Sobre um corpo algebricamente fechado F existem, ao todo, quatro álgebras de composição não isomorfas.
Agora, veremos em detalhes a estrutura de uma álgebra de composição que se decompõe.
Primeiro, é claro que
K(0) ∼
= F ⊕ F,
o isomorfismo correspondente estabelecido pela aplicação:
α + βv1 → (α + β, α).
E mais, a involução
(α, β) = (β, α)
na álgebra F ⊕ F corresponde a involução da álgebra K(0).
21
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Além disso, consideramos a álgebra F2 das matrizes de ordem 2 × 2 com elementos
de F. É fácil ver que F2 é uma álgebra de composição com respeito a forma quadrática
η(x) = detx. E, como existem divisores de zero, a álgebra F2 se decompõe. Pelo teorema
1.17 toda álgebra de composição que se decompõe de dimensão 4 sobre F é isomorfa a F2 .
Consequentemente, Q(0, 1) ∼
= F2 .
Esse isomorfismo pode também ser estabelecido diretamente considerando a correspondência:
α + βv1 + γv2 + δv1 v2 →
α+β γ+δ
γ
α
!
.
Como já vimos, a forma quadrática correspondente na álgebra F2 é o determinante
da matriz. Notemos também que o traço t(x), que é uma forma linear sobre a álgebra
F2 é o traço usual da matriz. E mais, pelo teorema de Hamilton-Cayley, a equação
x2 − t(x)x + η(x) = 0 é válida em F2 .
Finalmente, a involução
a → ā = t(a) − a
na álgebra F2 aparece da seguinte maneira:
α β
γ δ
!
δ
−β
−γ α
=
!
.
(1.14)
Podemos agora considerar a álgebra de octônios C(0, 1, 1). Pelo que já foi provado,
temos:
C(0, 1, 1) ∼
= (F2 , 1), isto é, C(0, 1, 1) = F2 + vF2 , onde v ∈ F2⊥ , v 2 = 1.
!
!
1 0
0 1
Sejam e11 =
, e12 =
, e21 =
0 0
0 0
zes unitárias da álgebra F2 . Façamos:
(1)
(2)
e12 = e12 ,
e12 = ve22 ,
(3)
e12 = ve21 ,
(1)
0 0
1 0
e21 = e21 ,
!
(2)
, e22 =
e21 = ve11 ,
0 0
0 1
!
as matri-
(3)
e21 = −ve12 .
Os elementos
(k)
(k)
e11 , e22 , e12 , e21 para k = 1, 2, 3
formam uma base da álgebra C(0, 1, 1).
(k)
Lema 1.19. Os elementos eii , eij (i, j = 1, 2; k = 1, 2, 3) satisfazem as relações:
(2)
(a) eii = eii , eii ejj = 0;
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
(b) eii eij = eij ejj = eij , ejj eij = eij eii = 0;
22
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
(k)
(k)
(l)
(c) (eij )2 = eij ◦ eij = 0(k 6= l);
(k) (k)
(k) (l)
(d) eij eji = eii , eij eji = 0(k 6= l);
(k) (k+1)
(e) eij eji
(k+2)
= (j − i)eji
(kmod(3))
Demonstração. As relações do ı́tem (a) são satisfeitas na álgebra F2 . As relações dos ı́tens
(b)-(e) são verificadas diretamente da definição de multiplicação na álgebra (F2 , 1). Por
exemplo, verificaremos as relações do ı́tem (d):
(1) (1)
Temos que eij eji = eij eji = eii .
De 1.14 segue que ēij = ejj = −eij . Logo,
(2) (2)
eij eji = (vejj )(veii ) = eii ējj = e2ii = eii ,
(3) (3)
eij eji = −(veji )(veij ) = −eij ēji = eij eji = eii .
Por outro lado, temos:
(1) (2)
eij eji = eij (veii ) = v(ēij eii ) = −v(eij eii ) = 0,
(1) (3)
eij eji = ±eij (veij ) = ±v(ēij eij ) = 0,
(2) (3)
eij eji = ±(vejj )(veij ) = ±eij ējj = ±eij eii = 0.
(k) (l)
(k)
Assim , provamos que eij eji = 0, para k < 1. Como t(eij ) = 0, e observando que a
identidade 1.10 pode ser reescrita na forma xy + yx = t(x)y + t(y)x − t(x)t(y) + t(xy),
(k) (l)
(k) (l)
temos que eij eji = 0, para k 6= 1. Logo, se k>1 também vale eij eji = 0. As outras
relações são provadas analogamente.
(k)
A álgebra de dimensão oito sobre um corpo F com base eii , eij (i, j = 1, 2; k = 1, 2, 3)
e multiplicação dada pelo lema 1.19 é chamada a álgebra de matriz de Zorn sobre o corpo
(k)
F. Denotaremos essa álgebra por C(F ). Chamaremos os elementos eii , eij as matrizes
unitárias de Zorn. Pelo que foi provado anteriormente segue que toda álgebra d octônios
que se decompõe sobre um corpo F é isomorfa à álgebra de matriz de Zorn C(F ). Assim,
é válido o seguinte teorema:
Teorema 1.20. Toda álgebra de composição que se decompõe sobre um corpo F é isomorfa
a uma das seguintes álgebras: a álgebra F ⊕ F , a álgebra de matrizes F2 , ou a álgebra de
matriz de Zorn C(F ).
O nome álgebra de matriz se deve ao fato que elementos de C(F ) podem ser representados por matrizes da seguinte maneira:
23
Capı́tulo 1: Álgebras de Composição
Seja a ∈ C(F ) com
a = α11 e11 + α22 e22 +
3
X
(k) (k)
(k) (k)
(α12 e12 + α21 e21 ).
k=1
Associamos ao elemento a a matriz:
!
α11 a12
(1)
(2)
(3)
, onde aij = (αij , αij , αij ) ∈ F 3 .
a21 α22
(1.15)
A adição e multiplicação por escalar dos elementos da álgebra C(F ) correspondem
a adição e multiplicação por escalar usual de matrizes da forma 1.15. Entretanto, a
multiplicação de elementos da álgebra C(F ) corresponderá a seguinte multiplicação de
matrizes da forma 1.15:
α11 a12
a21 α22
!
β11 b12
b21 β22
!
=
α11 β11 + (a12 , b21 )
α11 b12 + β22 a12 − a21 × b21
β11 a21 + α22 b21 + a12 × b12 α22 β22 + (a21 , b12 )
!
,
(1.16)
onde para vetores
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ F 3 ,
por
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 é denotado seu produto escalar,
e por
x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
seu produto vetorial.
Note também que para essa representação o traço do elemento a é o traço usual da
matriz, t(a) = α11 + α22 . Entretanto, a forma quadrática correspondente (ou norma) é o
seguinte análogo do determinante de matrizes da forma 1.15:
η(a) = α11 α22 − (a12 , a21 ).
E, a ação da involução a → ā na álgebra C(F ) é definida no caso dado pela equação 1.14.
2
Automorfismos dos Octônios
Se O é uma álgebra de octônios sobre um corpo F de caracterı́stica diferente de 2,
definiremos automorfismos internos como segue:
Para
a1 , a2 , ..., ar ∈ O,
defina
Qn
Q0
Q0
Q0
Q
Q
aj )an , 11 ai = a1 , 1n ai = an ( 1n−1 aj ), 11 ai = a1 .
ai = ( n−1
1
Q0
Q
Agora, suponha que ai satisfaz r1 ai = 1 e 1r ai = 1. Essas condições são equivalentes
a 1a1R ...arR = 1 = 1a1L ...arL , onde aR e aL são aplicações lineares definidas por : aR (x) =
xa e aL (x) = ax.
Elas também implicam que η(ai ) 6= 0, ou seja, todos os elementos são inversı́veis.
Logo, aiR e aiL são transformações lineares injetoras.
Para a ∈ O faça Ua = aL aR = aR aL . Então, a identidade de Moufang 3 pode ser
reescrita como:
(xy)Ua = (xaL )(yaR ).
1
Assim, obtemos:
((xy)Ua1 )Ua2 ...Uar = [(xa1L )(ya1R )]Ua2 ...Uar = [(xa1L a2L )(ya1R a2R )]Ua3 ...Uar
e, continuando com esse raciocı́nio obtemos:
(xy)Ua1 ...Uar = (xa1L ...arL )(ya1R ...arR ).
(2.1)
Q
Q0
Assumindo r1 ai = 1 = 1n ai , podemos concluir que Ua1 ...Uar , a1R ...arR , a1L ...arL
são injetoras.
Substituindo x = 1 e depois y = 1 em 2.1 obtemos que:
η ≡ Ua1 ...Uar = a1R ...arR = a1L ...arL .
25
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
Então, 2.1 mostra que η é um automorfismo.
Automorfismos dos octônios que têm esta forma são chamados automorfismos internos.
Pode-se provar que todo F-automorfismo dos octônios é interno(ver em [1] (página 67)).
Teorema 2.1. Supondo que a álgebra dos octônios O se decompõe, seja u uma unidade
em O. Então, existe um automorfismo ϕ tal que ϕ(u) ∈ M , onde M ⊂ O é o conjunto
das matrizes da forma:

A=
a1
0
0
[a2 , 0 , 0 ]
[a5 0 , 0 , 0 ]
a8 0

 , a0i ∈ F.
Demonstração. Para demonstrarmos esse teorema, primeiramente definiremos dois automorfismos que serão utilizados nas contas posteriores:
Dada a matriz


a1
[a2 , a3 , a4 ]
,
A=
[a5 , a6 , a7 ]
a8
chamaremos de F (A) o seguinte automorfismo:

F =
a1
[a3 , a4 , a2 ]
[a6 , a7 , a5 ]
a8

Observe que G(A) = F 2 (A) = 
a1


[a4 , a2 , a3 ]
[a7 , a5 , a6 ]

 também é um automor-
a8
fismo.
O outro automorfismo que definiremos é

H(A) = H = 
a8
[−a2 , −a3 , −a4 ]
[−a5 , −a6 , −a7 ]
a1


De fato F(A) e H(A) definidos acima são automorfismos:
Considere
as matrizes:




a1
[a2 , a3 , a4 ]
u1
[u2 , u3 , u4 ]
eU =
.
A=
[a5 , a6 , a7 ]
a8
[u5 , u6 , u7 ]
u8
26
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
Então,




 a1 u1+a2 u5+a3 u6+a4 u7



AU = 
 [u1 a5+a8 u5+a3 u4-a4 u3,


 u1 a6+ a8 u6+a4 u2-a2 u4,

u1 a7+a8 u7+a2 u3-a3 u2]
[a1 u2+u8 a2-a6 u7+ a7 u6,
a1 u3+u8 a3-a7 u5+a5 u7,
a1 u4+u8 a4-a5 u6+a6 u5]










a8 u8+ a5 u2+a6 u3+ a7 u4 

e,




 a1 u1+a2 u5+a3 u6+a4 u7



F (AU ) = 
 [u1 a6+a8 u6+a4 u2-a2 u4,


 u1 a7+ a8 u7+a2 u3-a3 u2,

u1 a5+a8 u5+a3 u4-a4 u3]
[a1 u3+u8 a3-a7 u5+ a5 u7,
a1 u4+u8 a4-a5 u6+a6 u5,
a1 u2 +u8 a2-a6 u7+a7 u6]
a8 u8+a5 u2+a6 u3+a7 u4






.





Por outro lado,

F (A) = 
a1
[a6 , a7 , a5 ]
[a3 , a4 , a2 ]
a8


 e F (U ) = 
u1
[u6 , u7 , u5 ]
[u3 , u4 , u2 ]
u8

.
Logo,



 a1 u1+ a2 u5+a3 u6+a4 u7



F (A)F (U ) = 
 [u1 a6+a8u6+a4 u2-a2 u4,


 u1 a7+ a8 u7+a2 u3-a3 u2,

u1a5+a8 u5+a3 u4-a4 u3]

[a1 u3+u8a3 -a7 u5+a5 u7,
a1 u4+u8 a4-a5 u6+a6 u5,
a1 u2+u8 a2-a6 u7+a7 u6]
a8 u8+a5 u2+a6 u3+ a7 u4
Portanto, F(AU)=F(A)F(U), ou seja, F é um automorfismo.






.





27
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
Mostremos agora que H também é um automorfismo:


[-u1 a5-a8 u5-a3 u4+a4 u3,
-u1 a6- a8 u6-a4 u2+a2 u4,
-u1 a7-a8 u7-a2 u3+a3 u2]


 a8 u8+ a5 u2+a6 u3+a7 u4



H(AU ) = 
 [-a1 u2-u8 a2+a6 u7-a7 u6,


 -a1 u3- u8 a3+a7 u5-a5 u7,

-a1 u4-u8 a4+a5 u6-a6 u5]
a1 u1+ a2 u5+a3 u6+a4 u7






.





Por outro lado,

H(A) = 
e
[−a2 , −a3 , −a4 ]

H(U ) = 
[−a5 , −a6 , −a7 ]
a8

a1
[−u5 , −u6 , −u7 ]
u8
[−u2 , −u3 , −u4 ]


.
u1
Logo,




 a8 u8+ a5 u2+a6 u3+a7 u4



H(A)H(U ) = 
 [-a1 u2-u8 a2+a6 u7-a7 u6,


 -a1 u3- u8 a3+a7 u5-a5 u7,

-a1 u4-u8 a4+a5 u6-a6 u5]
[-u1 a5-a8 u5-a3 u4+a4 u3,
-u1 a6- a8 u6-a4 u2+a2 u4,
-u1 a7-a8 u7-a2 u3+a3 u2]
a1 u1+a2 u5+a3 u6+ a4 u7






.





Portanto,
H(AU ) = H(A)H(U ),
ou seja, H é um automorfismo.
Definidos esses automorfismos, explicitaremos automorfismos da Álgebra dos octônios(O) e iremos utilizá-los para zerar coordenadas de uma dada matriz A em (O):
(I) Nosso primeiro passo será zerar a coordenada a7 da matriz

A=
a1
[a5 , a6 , a7 ]
[a2 , a3 , a4 ]
a8


Primeiro observe que se a7 = 0, não há o que fazer. Então, suponha a7 6= 0.
28
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
1) Se a5 6= 0, considere as matrizes:

X=
x1
[−1, 0, 0]
[1, 0, 0]
0


,Y = 
0
[0, −1, 0]
[0, 1, 0]
z8 a5 +a7
a5


 eZ=
0
[0, −1, 0]
[0, 1, 0]
z8
Então,

XY
= 
0
[0, 0, 1]

ZXY
= 
[1, 0, z8 −

U ZX = 

U ZXY
= 
[−1, 0, 0]
z8 a5 +a7
]
a5
−x1
−x1
[−1, 0, −z8 +

UZ = 
0
0

U = (ZXY )−1 = 
[− z8 a5a5+a7 , −x1 , −1]
0

⇒

⇒
[1, 0, 0]
z8 a5 +a7
]
a5
[ z8 a5a5+a7 , x1 , 1]
[0, 0, −1]
0

z8 a5 +a7
[0,
1,
0]
a5
⇒
[0, −1, 0]
0

1
[0, 0, 0]
.
[0, 0, 0]
1

⇒
0

⇒
Aplicando o automorfismo acima na matriz

A=
obtemos:

a1
[a5 , a6 , a7 ]
−a6


YA=
 [z8 a5 + a7 − a4 , a1 +

(z8 a5 +a7 )a6 (z8 a5 +a7 )a7
,
+ a2 ]
a5
a5
[a2 , a3 , a4 ]
a8

,
[-a7,-a8, a5]
(z8 a5 +a7 )a8
a5



⇒

+ a3 


29
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios


 -x1 a6-z8 a5-a7+a4


XY A = 



[-a6,a5,a8]

−a5





 [−z8 a6 − x1 a5 + a1 +
ZXY A =  (z8 a5 +a7 )a6

, −x1 a6
−

a5

 a7 + a4 , z8 a8 − x1 a7 −
 (z8 a5 +a7 )a8
− a3 ]
a5





U ZXY A = 



a1 a5 +a7 a6
a5

+a7 )a8
[−x1 a7 − (z8 a5a5
−
(z8 a5 +a7 )a7
+
a3 , −x1 a8 +
a5
+a7 )a6
a2 , x1 a5 −a1 − (z8 a5a5
]




⇒



- a7

[-a8, a7,-a6]






⇒
−z8 a7 − x1 a8 + 


(z8 a5 +a7 )a7
+
a2

a5

x1 a6 +a7 a4
,
[ a2 a5 −a7 a5
2
2 a6 −a8 a5 a7 −a3 a5 2
− −a7 x1 a5 +a7 a1 a5 +a7
,
a5 2
− a7 + a4 ]
a8 a5 −a7 a6
a5
[a5,a6,0]





.



2) Se a5 = 0: Basta aplicar o automorfismo G.
(II) O próximo passo é zerar a coordenada a3 mantendo a coordenada a7 = 0.
Primeiro observe que se a3 = 0, não há o que fazer. Suponha então a3 6= 0.
1) Se a5 6= 0, considere as matrizes:

X=
x1
[−1, 0, 0]
[1, 0, 0]
0

Z=
Então:



Y =
0
[0, 0, −1]

[0, 0, 1]
− a3 −z8a5
a5

0
[0, 0, −1]
[0, 0, 1]
z8

.
e
30
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios

XY
= 
[0, 1, 0]

ZXY
= 
0
U = (ZXY )−1 = 
UZ = 

U ZX = 
= 
−x1
[−1, 0, 0]
a3
[1, − a5
, 0]
0

⇒
, 1, x1 ]
[ a3 −z8a5
a5
0
[0, −1, 0]
0
− a3 −z8a5
a5
[0, 0, 1]
[0, 0, −1]
0

U ZXY
⇒
−x1

1
[0, 0, 0]
[0, 0, 0]
⇒
0

[1, 0, 0]
[−1 a3
, 0]
a5


, −1, −x1 ]
[− a3 −z8a5
a5
0

⇒

⇒

.
1
Aplicando o automorfismo acima na matriz

A=
a1
[a2 , a3 , a4 ]
[a5 , a6 , 0]

,
a8
obtemos:

YA=
)a6
[z8a5 , − (a3 −z8a5
a5





XY A = 




[a6 , −a5 , −a8 ]
0
− a2 , a1 ]
)a8
− (a3 −z8a5
a5
+ a4

z8a5
)a8
[x1 a6 − (a3 −z8a5
+ a4 ,
a5
− x1 a5 − a1 , −x1 a8 −
(a3 −z8a5 )a6
− a2 ]
a5
[0, a8 , −a5 ]
−a6
a5




ZXY A =  [−x1 a5 − a1 , z8 a8

 x1 a6 + (a3 −z8a5 )a8

a5
a4 , z8a5 − z8 a5 ]
[a8,0,a6]
−
−

⇒




⇒








⇒
−z8 a6 −x1 a8 − 

(a3 −z8a5 )a6
− a2 
a5
31
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios


[ z8 a6 a5 +a6a5a3 −a6 z8a5 +
a2 a5 +2 z8 a5 z8a5 −z8 2 a5 2
+
a5
a3 z8a5 −a3 z8 a5 −z8a5 2
, 0,
a5
−z8 a8 a5 −a8 a3 +a8 z8a5
+
a5
a4 a5 +z8 a5 2 x1 +z8 a5 a1
+
a5
a3 x1 a5 +a3 a1 −z8a5 x1 a5 −z8a5 a1
]
a5






a1



U ZXY A = 




 [a5 , −z8 a5 − a3 +


z8a5 + a6 , 0]
a8








.








2) Se a5 = 0, basta aplicar o automorfismo H e depois o automorfismo F.
(III) O próximo passo é zerar a coordenada a6 mantendo as coordenadas a3 e a7 iguais
a 0.
Antes de zerarmos a coordenada a6, observamos que matrizes da forma:

M =
m1
[m2 , 0, m4 ]
[m5 , m6 , 0]
m8


formam uma subálgebra de O. Iremos usar esse fato para, utilizando apenas matrizes
nessa subálgebra, manter a3 = a7 = 0.
Se a6 = 0 está resolvido. Suponhamos então que a6 6= 0 e consideraremos separados
dois casos:
1) a5 6= 0 e 2) a5 = 0.
1) Se a5 6= 0, considere as seguintes matrizes:

X=
z8 a5 −a6
a5
[1, 0, −1]
[−1, 0, 0]
0

Z=
Temos que:



Y =
0
[1, 0, 0]
[−1, 0, 0]
y8
0
[−1, 0, 1]
[−1, 1, 0]
z8




e
32
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios

XY
= 
[ z8 a5a5−a6 + y8 , 0, −y8 ]
−1
[0, −1, 0]
−1

ZXY
= 

−1
U = (ZXY )
= 

z8 +
z8 a5 −a6
, 0]
a5
z8 a5 −a6
a5
[1, −1 − z8 +
+ y8
UZ = 
y8
[−1, 0, 0]
[1, 0, 0]
U ZXY

⇒
− y8

⇒
0

⇒
−1

⇒
U ZX = 

z8 a5 −a6
a5
[1, 0, −2]
z8 a5 −a6
, 0]
a5
[0, 1, 0]

−z8 −
[− z8 a5a5−a6 − y8 , 0, y8 ]
−1
⇒
[1, 0, −2]
0
[1, −1 − z8 +

1
0
[0, 0, 0]
= 

.
[0, 0, 0]
1
Seja

A=

YA=
a1
[a2 , 0, a4 ]
[a5 , a6 , 0]
a8
a5
⇒
[a8 , 0, a6 ]
[−a1 + a5 y8 , y8 a6 − a4 , 0] y8 a8 − a2


 z8 a5 − a6 − a1 + a5 y8


XY A = 



[−a5 , −a8 − a6 , 0]



⇒

−a6 )a8
[ (z8 a5a5
+
(z8 a5 −a6 )a6
a2 , 0,
a5
y8 a8 − 

− y8 a8 + 

⇒
a2 + y8 a6 − a4 ]



−a8
a5






ZXY A = 
 [−2 z8 a5 + a6 + a1 −
 a5 y8 , z8 a5 − a6 − a1 +


)a6
 a5 y8 + (−a8 −a6
+y8 a6 −
a5

a4 , 0]
[a8 , 0, −2 a8 − a6 − a5 ]
−z8 a8 −
y8 a8 + a2
(z8 a5 −a6 )a8
a5







⇒


− 



33
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios




U ZXY A = 


a6 a5 −a6 a5
[a2 , 0, − 2 a2 a5 +y8a5
2
2
−a4 a5 −a6 2 +a6 a1
− z8 a5 +a5 y8 −a8 a6
]
a5
a1
[a5,0, 0]
a8







2) Se a5 = 0, então aplicamos o automorfismo F e obtemos uma matriz com a2 = a6 =
a7 = 0. Mas, temos ainda que zerar a3. Para isso, observe que o novo a5 é diferente de
zero porque ele é o a6 (da matriz antes do automorfismo F ser aplicado) que por hipótese
não é zero. Assim, para esse caso considere as seguintes matrizes:

X=
x1
[−1, 0, 0]
[1, 0, 0]
0



Y =

Z=
[0, −1, 0]

[0, 1, 0] − −a4a5+a3

0
0
[0, −1, 0]
[0, 1, 1]
− −a4a5+a3
e

.
Temos que:

XY
= 

ZXY
= 

U = (ZXY )−1 = 

UZ = 

U ZX = 

U ZXY
= 
0
[ −a4a5+a3 , −x1 , −1]
[0, 0, 1]
0
0
⇒
0
⇒
0
[− −a4a5+a3 , x1 , 1]
[0, 0, −1]
− −a4a5+a3
[0, 1, 0]
[0, −1, 0]
0
1
[0, 0, 0]

[1, 0, 0]
[−1, 0, 0]
[0, 0, 0]
1
⇒

[−1, 0, 0]
[1, 0, 0] −1 − x1
−1 − x1

0


⇒
⇒


Aplicando o automorfismo UZXY para zerar a coordenada a3 mantendo a6 = a7 = 0:
Considerando


a1
[0, a3 , a4 ]
,
A=
[a5 , 0, 0]
a8
34
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
temos:

YA = 

XY A = 

ZXY A = 

[0, −a8 , a5 ]
0
)a8
[−a3 , a1 , 0] − (−a4 +a3
+ a3
a5
⇒
+a3 )a8
[ (−a4 a5
− a3 , −x1 a8 , x1 a5 − a1 ]
a3
[0, a5 , a8 ]
0
−a5
[−a8 + a5 , 0, 0]
[−x1 a5 + a1 , a4 , 0] −x1 a8 + x1 a5 − a1

[a8 − a5 − a1 , 0, a4 ]
 a5 + a1

U ZXY A = 

[a5,0,0]
a8 − a5

⇒

⇒



.

IV) O último passo é zerar a4 mantendo a3 = a6 = a7 = 0:
Caso 1) Se a5 6= 0:
Considere as matrizes:




y8
[0,
1,
−1]
0
[0,
−1,
1]
− 2 a4 −a5
a5
,Y = 
 e
X=
[0, 1, −1]
0
[0, −1, 1]
y8

Z=
0
[1, 0, 1]
[0, −1, 1]
z8

.
35
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
Então:

XY
= 
= 
[0, 2, −2]
[−2, 0, −2]
−2 (z8 a5 +a4)
a5
[−1/2, 0, −1/2]
0
−1/2
[0, 0, 0]
−y8 /2
[0, −1/2, 1/2]
[0, −1/2, 1/2]

1

⇒

⇒
0

[0, 0, 0]
[0, 0, 0]

⇒
[0, −a4
, a4 ]
2 a5 2 a5
−1/2

= 
⇒
[0, 1/2, −1/2]
UZ = 
U ZXY
⇒
z8 a5 +a4
2 a5

U ZX = 


0

U = (ZXY )−1 = 
2 a4
]
a5
−2
[0, 0, 0]

ZXY
[0, 2 a4, a5 −
−2
.
1
Aplicando o automorfismo U ZXY acima na matriz:

A=
a1
[a2 , 0, a4 ]
[a5 , 0, 0]

,
a8
obtemos:

YA=


XY A = 
[0, −a8 − a5 , a8 − a5 ]
0
[a5 y8 − a4 , −a1 + a2 , a1 + a2 ]
−2 a1
[−2 a2 ,
⇒
y8 a8 + a4

2 a4 (a8 +a5 )
, − 2 a8a5a4 ]
a5

⇒
−2 a8
[−2 a5 , 0, 0]



0



ZXY A = 

 [−2 a1 − 2 z8 a5 − 2a4 ,

− 2 a2 , −2 a1 − 2 a2 ]

U ZXY A = 
[0,2 a8+ 2 a5,-2 a8]
−2 z8 a8 − 2 a2 −
a1
[a5 , 0, 0]
[a2 , 0, 0]
a8

.
2 a8 a4
a5



⇒



36
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios
Caso 2) Se a5 = 0 , a2 6= 0 ( no caso em que a5 = a2 = 0 o problema estaria resolvido)
e a1 6= a8, considere as matrizes:


2
3
2
2
2
2
2
a8 +a1 a4 a2 −a1 a4
 − a4 a1 −3 a1a2a4(−a8
−
+a1 )2


 −2 a1 a2 a4 2 a8 +3 a1 a8 2 a422 +2 a1 a2 2 a4 2 −

a2 (−a8 +a1 )



 2 a4 a8 a1 −2 a2 a4 a1 +a2 32a4 2 −a8 3 a4 2 −

a2 (−a8 +a1 )

 −2 a2 2 a4 2 a8 +a8 2 a4 2 a2 +2 a8 a2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )2

 −2 a2 2 a4 −a4 a8 2 +a2

a2 (−a8 +a1 )2
X=







 [0, − 2 a1 a8 −a2 2 −a1 2 −a8 2 +a2 3 a4 −

+a1 )
 −2 a8 a4 a2 2 +2a2a1(−a8
a4 a2 2 +a8 2 a2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )

 a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )

3
3
 −2 a8 a1 a2 a4 +a1 a4 −a8 a4 , −1]
a2 (−a8 +a1 )

Y =
[0, −1, 0]
0
[0, −1, 0]
1


 eZ=








[0, 0, −1] 







,












0




0
[0, −1, 1]
+a2 a4 +a1 a4
[− −1−a4a2a8(−a8
, 0, 1]
+a1 )
1
Então:









0





XY = 








 [-1,0,0]




[1, a4
2 a1 3 −3 a1 2 a4 2 a8 +a1 2 a4 2 a2 −a1 2 a4
a2 (−a8 +a1 )2
+



2
2
2
2
2
−2 a1 a2 a4 a8 +3 a1 a8 a4 +2 a1 a2 a4

+
2

a2 (−a8 +a1 )


2 a4 a8 a1 −2 a2 a4 a1 +a2 3 a4 2 −a8 3 a4 2

+
a2 (−a8 +a1 )2


−2 a2 2 a4 2 a8 +a8 2 a4 2 a2 +2 a8 a2 a4 −2 a2 2 a4

+

a2 (−a8 +a1 )2

⇒
−a4 a8 2 +a2

2 , −1]
a2 (−a8 +a1 )



2
2
2
3
2

2 a1 a8 −a2 −a1 −a8 +a2 a4 −2 a8 a4 a2
+

a2 (−a8 +a1 )


2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4
+ 
a2 (−a8 +a1 )


2
3
3
3 a1 a8 a4 −2 a8 a1 a2 a4 +a1 a4 −a8 a4

a2 (−a8 +a1 )

.
37
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios


2











0











ZXY = 






2
3
2 a4 2 a8 +a1 2 a4 2 a2

 [− a4 a1 −3a2a1(−a8
−
+a1 )2


a1 a8 2 a4 2
 −a1 2 a4 −2 a1 a2 a4 2 a8 +3
−
2

a2 (−a8 +a1 )

 2 a1 a2 2 a4 2 +2 a4 a8 a1 −2 a2 a4 a1

−
a2 (−a8 +a1 )2

 a2 3 a4 2 −a8 3 a4 2 −2 a2 2 a4 2 a8 +a8 2 a4 2 a2

−

a2 (−a8 +a1 )2

 2 a8 a2 a4 −2 a2 2 a4 −a4 a8 2 +a2
, 1, 1]

a2 (−a8 +a1 )2
2
2 +a2 3 a4
−a1 −a8
[0, − 2 a1 a8 −a2
a2 (−a8 +a1 )
−
−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4
−
a2 (−a8 +a1 )
a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4
−
a2 (−a8 +a1 )
−2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4
a2 (−a8 +a1 )
+ 1,
2 a1 a8 −a2 2 −a1 2 −a8 2 +a2 3 a4
+
a2 (−a8 +a1 )]
−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4
+
a2 (−a8 +a1 )]
a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4
a2 (−a8 +a1 )]
−2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4
a2 (−a8 +a1 )]
2 a1 a8 −a2 2 −a1 2 −a8 2 +a2 3 a4
+
a2 (−a8 +a1 )
−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4
+
a2 (−a8 +a1 )
a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4
+
a2 (−a8 +a1 )
−2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4
a2 (−a8 +a1 )
+a2 a4 +a1 a4
− −1−a4a2a8(−a8
+a1 )
−1






















⇒






















38
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios


2
U = (ZXY )−1






2 −a1 2 −a8 2 +a2 3 a4

 − 2 a1 a8 −a2
−
a2 (−a8 +a1 )

 −2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4

−

a2 (−a8 +a1 )

 a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4 −

a2 (−a8 +a1 )

 −2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4

+1
a2 (−a8 +a1 )

 −1−a4 a8 +a2 a4 +a1 a4

a2 (−a8 +a1 )



=




 a4 2 a1 3 −3 a1 2 a4 2 a8 +a1 2 a4 2 a2
−

a2 (−a8 +a1 )2

 −a1 2 a4 −2 a1 a2 a4 2 a8 +3 a1 a8 2 a4 2

−

a2 (−a8 +a1 )2

 2 a1 a2 2 a4 2 +2 a4 a8 a1 −2 a2 a4 a1 −

a2 (−a8 +a1 )2

 a2 3 a4 2 −a8 3 a4 2 −2 a2 2 a4 2 a8

−

a2 (−a8 +a1 )2

 a8 2 a4 2 a2 +2 a8 a2 a4 −2 a2 2 a4 −

a2 (−a8 +a1 )2

 −a4 a8 2 +a2

2 , 1, 1]
a2 (−a8 +a1 )
2
2 +a2 3 a4
−a1 −a8
[0, − 2 a1 a8 −a2
a2 (−a8 +a1 )
− 



−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4
−

a2 (−a8 +a1 )


a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )


−2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4

+
1,

a2 (−a8 +a1 )


2 a1 a8 −a2 2 −a1 2 −a8 2 +a2 3 a4
+

a2 (−a8 +a1 )


−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 +a8 2 a2 a4

a2 (−a8 +a1 )


2
2
2
a1 a2 a4 −3 a1 a8 a4 +3 a1 a8 a4


a2 (−a8 +a1 )

3
3

−2 a8 a1 a2 a4 +a1 a4 −a8 a4
]
⇒
a2 (−a8 +a1 )
















0









2 a8









UZ = 










U ZX = 
a1 −a2 2 −a8 2 −a1 2 +a2 3 a4
a2 (−a8 +a1 )
+
−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2
+
a2 (−a8 +a1 )
−2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4
−
a2 (−a8 +a1 )
a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4
−
a2 (−a8 +a1 )
3 a1 a8 2 a4
−
a2 (−a8 +a1 )
[1, 0, 0]
−1
[0, −1, 0]
[0, −1, 0]
0

[−1, −
a4 2 a1 3 −3 a1 2 a8
a4 2 +a1 2 a4 2 a2
−


−a1 2 a4 −2 a1 a2 a4 2 a8 +3 a1 a8 2 a4 2

−

a2 (−a8 +a1 )2

2
2

2 a1 a2 a4 −2 a1 a2 a4 +2 a1 a8 a4
−

a2 (−a8 +a1 )2

⇒
a2 3 a4 2 −a8 3 a4 2 −2 a2 2 a4 2 a8 +a8 2 a4 2 a2

−
2

a2 (−a8 +a1 )


2 a8 a2 a4 −a8 2 a4 −2 a2 2 a4 +a2
,
1]

2
a2 (−a8 +a1 )




0

 ⇒ U ZXY = 
a2 (−a8 +a1 )2
1
[0, 0, 0]
[0, 0, 0]
1

.
39
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios

Aplicando o automorfismo UZXY acima na matriz A = 
a1
[0, 0, 0]
[a2 , 0, a4 ]
a8
temos:

YA=
[0, −a8 , 0]
0
[−a4 , −a1 , a2 ]
a8

⇒



















−a2







XY A = 


















 [−a8 , 0, 0]




[ a8 a1 −a2
2 −a8 2 +a2 3 a4 −2 a8
a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2
+ 


−2a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4 +a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4
+ 

−a8 +a1

2
2
2
3
2
2
2
−3 a1 a8 a4 +3 a1 a8 a4 +a8 a4 a1 −3 a1 a8 a4

,

−a8 +a1


a8 a1 2 a4 2 a2 −a1 2 a8 a4 −2a1 a2 a4 2 a8 2 +3 a1 a8 3 a4 2
+ 
a2 (−a8 +a1 )2


2 a8 a1 a2 2 a4 2 +2 a1 a8 2 a4 +a8 a2 3 a4 2 −a8 4 a4 2

+

a2 (−a8 +a1 )2

2
2
2
3
2
2
3

−2 a2 a4 a8 +a8 a4 a2 +a8 a2 a4 −a8 a4
+

a2 (−a8 +a1 )2


−2 a8 a4 a2 2 +a8 a2 −a1 2 a2 a4 +a8 2 a2 −a8 a1 a2

,
2

a2 (−a8 +a1 )


2 a1 a8 a4 −a2 2 a4 −a8 2 a4 −a1 2 a4 +a2 3 a4 2
+
⇒
a2 (−a8 +a1 )


−2 a2 2 a4 2 a8 +2 a1 a2 2 a4 2 −2 a1 a2 a4 2 a8 +a4 2 a1 3
+ 
a2 (−a8 +a1 )


−a8 3 a4 2 +a8 2 a4 2 a2 +a1 2 a4 2 a2 −3 a1 2 a8 a4 2

+

a2 (−a8 +a1 )


3 a1 a8 2 a4 2
]

a2 (−a8 +a1 )





(2 a8 a1 −a2 2 −a8 2 −a1 2 +a2 3 a4 −2 a8 a4 a2 2

+
a2 (−a8 +a1 )


2 a1 a4 a2 2 −2 a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4

+

a2 (−a8 +a1 )

2
2
2
2

a8 a2 a4 +a1 a2 a4 −3 a1 a8 a4 +3 a1 a8 a4 )a8

−a8 +a1
a2 (−a8 +a1 )

, ob-
40
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios



a8 (2 a8 a1 −a2 2 −a8 2 −a1 2 +a2 3 a4

[0,
−
−

a2 (−a8 +a1 )


−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 −2 a8 a1 a2 a4
−

a2 (−a8 +a1 )


a1 3 a4 −a8 3 a4 +a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )


−3 a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4 +a8 a2 −a1 a2 )

0

,
a2 (−a8 +a1 )


(2 a8 a1 −a2 2 −a8 2 −a1 2 +a2 3 a4

+

a2 (−a8 +a1 )


−2 a8 a4 a2 2 +2 a1 a4 a2 2 −2 a8 a1 a2 a4

−
a2 (−a8 +a1 )


a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4 −3 a1 2 a8 a4

−

a2 (−a8 +a1 )


3 a1 a8 2 a4 )a8

]

a2 (−a8 +a1 )




a1 (a4 2 a1 3 −3a1 2 a8 a4 2 +a1 2 a4 2 a2
a8 a1 −a2 2 −a8 2 −3 a8 a1 a2 a4 −a1 2 a2 a8

+
−
 [−
2
a2 (−a8 +a1 )2
a2 (−a8 +a1 )

ZXY A = 
a1 a8 2 a4 2
−a1 a2 2 a8−2a8 a4 a2 2 +2a1 a4 a2 2 −a4 2 a2 4
 −a1 2 a4 −2 a1 a2 a4 2 a8 +3
−
+

a2 (−a8 +a1 )2
a2 (−a8 +a1 )2

 2a1 a2 2 a4 2 −2a1 a2 a4 +2a1 a8 a4 +a2 3 a4 2 − −a8 3 a2+a8 2 a2 2+3 a8 2 a1 2−a8 a1 3−3a8 3 a1 +

a2 (−a8 +a1 )2
a2 (−a8 +a1 )2

 −a8 3 a4 2 −2a2 2 a4 2 a8 +a8 2 a4 2 a2 −a8 2 a4
2
3
+2a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4

− 2a1 a2 a8 +2a2a2 a4
+
a2 (−a8 +a1 )2
(−a8 +a1 )2


 2a8 a2 a4 )−2 a2 2 a4 +a2 , a8 a1 −a2 2 −a8 2 + a8 4 +2a1 a8 2 a4 −a1 2 a8 a4 +3a8 a1 2 a4 2 a2 +

−a8 +a1
a2 (−a8 +a1 )2
a2 (−a8 +a1 )2

 a2 3 a4 −2a8 a4 a2 2 +2a1 a4 a2 2 −2a8 a1 a2 a4
−a8 3 a4 −3a1 a2 a4 2 a8 2 +2 a8 a1 a2 2 a4 2

+
+

a2 (−a8 +a1 )2
−a8 +a1

 a1 3 a4 −a8 3 a4 +a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4
2 a8 a2 3 a4 2 −a2 2 a4 2 a8 2 +6 a1 2 a8 3 a4
+
+

a2 (−a8 +a1 )2
−a8
+a1

 −3a1 2 a8 a4 +3a1 a8 2 a4 a8 a2 −a1 a2
−4a8 4 a4 a1−a8 4 a2 a4−a1 2 a4 2 a2 2+a8 5 a4

+
, −a8 +a1 +
a2 (−a8 +a1 )2

−a8 +a1

 a8 a1 −a2 2 −a8 2 +a2 3 a4 −2a8 a4 a2 2
a8 a1 4 a4 −2a1 a4 2 a2 3 +3a8 3 a1 a2 a4
+
+

a2 (−a8 +a1 )2
−a8
+a1

 2a1 a4 a2 2 −2a8 a1 a2 a4 +a1 3 a4 −a8 3 a4
−a1 3 a4 2 a2 −4a8 2 a4 a2 2 a1 −3a8 2 a1 2 a2 a4

+
+
a2 (−a8 +a1 )2
−a8 +a1


a8 a2 3 a4 a1+2a8 a1 2 a4 a2 2 +a8 a1 3 a2 a4
 a8 2 a2 a4 +a1 2 a2 a4 −3a1 2 a8 a4 +3 a1 a8 2 a4
]

a2 (−a8 +a1 )2
−a8 +a1

U ZXY A = 
a1
[a2 , 0, 0]
[0, 0, 0]

.
a8
Caso 3) Se a5 = 0, a2 6= 0 e a1 = a8, considere as seguintes matrizes:

X=
(x6 +2)
− x6 a4a2
[0, 0, −1]
[0, x6 , −1]
0



Y =
0
[0, −1, 0]
[0, −1, 0]
1


e





































































41
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios

Z=
0
[0, −1, 1]
+1)
, 0, 1]
[ a4 (x6
a2
1

.
Temos que:

XY
= 
(x6 +2)
[1, x6 a4a2
, −1]
0

ZXY
= 

U = (ZXY )−1 = 
(x6 +2)
[− x6 a4a2
, 1, 1] −x6 − 1 +
x6 + 1 −
[1, 0, 0]
0
= 
[0, −1, 0]
[0, −1, 0]
[0, 0, 0]
[0, 0, 0]
1
⇒


⇒

⇒
0
1

⇒
0
(x6 +2)
[−1, − x6 a4a2
, 1]
−1
a4 (x6 +1)
a2
[0, x6 + 1, −x6 ]
−x6

U ZXY
a4 (x6 +1)
a2
(x6 +2)
, 1, 1]
[− x6 a4a2

U ZX = 
⇒
[0, x6 + 1, −x6 ]
0

UZ = 
−x6
[−1, 0, 0]


.

Aplicando o automorfismo UZXY acima na matriz A = 
a8
[0, 0, 0]
[a2 , 0, a4 ]

, ob-
a8
temos:

YA = 

XY A = 
0
[0, −a8 , 0]
[−a4 , −a8 , a2 ]
a8
−a2
[−a8 , 0, 0]

⇒
+2)a8
[−x6 a2 + a8 , a4 x6 (x6
− a4 , −a8 − x6 a4 ]
a2
−x6 a8

⇒
42
Capı́tulo 2: Automorfismos dos Octônios


[0, x6 a8 +a8 , −x6 a8 ]
0




ZXY A = 
 [−a4 (x6 + 1) + x6 a4 −
 a4 x6 (x6 +2)a8
+ a4 , −x6 a2 +

a2

a8 , −a2 − x6 a2 + a8 ]

U ZXY A = 




⇒

a4 (x6 +1)(−x6 a2 +a8 )
− 
−x6 a8 +
a2


a8 − x6 a4
a8
[a2 , 0, 0]
[0, 0, 0]
a8

.
Portanto, dada a matriz

A=
a1
[a2 , a3 , a4 ]
[a5 , a6 , a7 ]

,
a8
existe um automorfismo ϕ(= composição dos automorfismos descritos nos casos I-IV
acima) tal que:

ϕ(A) = 
a1 0
0
[a5 , 0 , 0 ]
[a2 0 , 0 , 0 ]
a8
0

.
3
Os Teoremas de Cauchy e de Sylow
Seja F = Fq o corpo de Galois de q elementos onde q = pn , p primo. Usaremos a
notação usual GL2 (F ) para o grupo de matrizes 2 × 2 inversı́veis sobre F e denotaremos
por GO(F ) o loop das matrizes de Zorn inversı́veis sobre F. Lembramos que estamos
considerando F um corpo de caracterı́stica diferente de 2.
Neste capı́tulo mostraremos que o primeiro teorema de Sylow não é verdadeiro para o
loop GO(F ); para isso mostraremos que o teorema de Cauchy não vale.
Os teoremas de Cauchy e de Sylow são:
1◦ Teorema de Sylow: Sejam p um número primo e G um grupo de ordem pm b com
MDC(p, b) = 1. Então, para cada n, 0 ≤ n ≤ m, existe um subgrupo H de G tal que
|H| = pn .
Teorema de Cauchy: Se p é um divisor primo da ordem de um grupo finito G, então
existe um elemento em G de ordem igual a p.
Lema 3.1. Seja F = Fq o corpo de Galois de q elementos onde q = pn , p primo. A ordem
de GL2 (F ) é (q 2 − 1)(q 2 − q) e a ordem de GO(F ) é (q 4 − 1)(q 4 − q 3 ).
Demonstração. Primeiro contaremos o número de matrizes não singulares de GL2 (F ).
Seja A uma matriz não singular de GL2 (F ) e escreva A como a matriz dos seus vetores
coluna:
A = [C1 , C2 ].
Então, A é não singular se, e somente se, os vetores colunas de A são linearmente
independente sobre F . Claramente existem q 2 − 1 possı́veis escolhas para C1 , pois C1 = 0
deve ser excluı́da. Então, C2 deve ser escolhida como qualquer vetor que não pertença ao
subespaço gerado pelo vetor C1 . Como esse subespaço contém q elementos e existem q 2
vetores no total, C2 pode ser escolhida de q 2 − q maneiras.
44
Capı́tulo 3: Os Teoremas de Cauchy e de Sylow
Logo, A pode ser escolhida de (q 2 − 1)(q 2 − q) maneiras.
2
2
Portanto, |GL2 (F
 )| = (q − 1)(q − q).

a1
[a2 , a3 , a4 ]
 uma matriz em GO(F ).
Seja agora A = 
[a5 , a6 , a7 ]
a8


a8
[−a2 , −a3 , −a4 ]
/det(A), segue que:
Como A−1 = 
[−a5 , −a6 , −a7 ]
a1
A é inversı́vel ⇔ det(A) 6= 0 ⇔ a1a8 − a5a2 − a6a3 − a7a4 6= 0.
Aplicaremos o mesmo raciocı́nio usado acima para achar a ordem de GO(F ). Para
isso, reescreveremos A da seguinte forma:



A=


a1
a5
a6
a7
a2
a3
a4
a8



.


Agora, escreva A como a matriz dos seus vetores coluna:
A = [C1 , C2 ].
Claramente existem q 4 − 1 possı́veis escolhas para C1 , pois C1 = 0 deve ser excluı́da.
Temos que escolher C2 de forma que a1a8 − a5a2 − a6a3 − a7a4 6= 0.
Como a dimensão do espaço das soluções nulas de a1a8 − a5a2 − a6a3 − a7a4 = 0 é
3, temos que C2 pode ser escolhida de (q 4 − q 3 ) maneiras.
Logo, A pode ser escolhida de (q 4 − 1)(q 4 − q 3 ) maneiras.
Portanto, |GO(F )| = (q 4 − 1)(q 4 − q 3 ).
Teorema 3.2. Seja F = Fq , com caracterı́stica de F diferente de 2. Então, o teorema de
Cauchy não é válido em GO(F ).
Demonstração. Como |GO(F )| = (q 4 −1)(q 4 −q 3 ) = (q 2 +1)(q 2 −1)q 3 (q −1) e |GL2 (F )| =
(q 2 − 1)(q 2 − q) = (q 2 − 1)q(q − 1), os únicos possı́veis primos que dividem |GO(F )| e não
dividem |GL2 (F )| são divisores de (q 2 + 1).
Agora, MDC{(q 2 + 1), q} = 1, MDC{(q 2 + 1), (q − 1)}=MDC {(q 2 + 1), (q 2 − 1)} = 2.
Portanto, todo primo que divide |GO(F )| também divide |GL2 (F )| se, e somente se,
q 2 + 1 = 2n ; ou seja, se, e somente se, q 2 = 2n − 1. Como q é ı́mpar, q 2 ≡ 1(mod4) e,
tomando n ≥ 2, 2n − 1 é congruente a 3(mod4) e a equação nunca é satisfeita.
Pelo teorema 2.1, todo elemento inversı́vel de GO(F ) está em GL2 (F ) por um automorfismo de O. Logo, pelo teorema de Lagrange, a ordem de todo elemento de GO(F )
divide a ordem de GL2 (F ). Então, pelo que foi feito acima o teorema segue.
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Capı́tulo 3: Os Teoremas de Cauchy e de Sylow
Observação 3.3. Veja que se F = Z3 , por exemplo, temos que 5| |GO(Z3 )| = (80).(54) =
4320, mas 5 - |GL2 (Z3 )| = (8).(6) = 48 e o teorema de Cauchy não vale para o primo 5,
em GO(Z3 ).
A
Apêndice
Rotina para a multiplicação de matrizes de Zorn e para a determinação da matriz
inversa:
> with ( LinearAlgebra ) ;
> zornmult := proc (A , B )
local C ;
if 2 < nargs then
if args [ -1] = left then
return procname ( procname (A , B ) , args [3.. -2])
elif args [ -1] = right then
return procname ( args [1.. -4] , procname ( args [ -3] , args [ -2]) )
else return procname ( args , left )
end if
end if ;
C := Matrix (2 , 2) ;
C [1 , 1] := A [1 , 1]* B [1 , 1] +
DotProduct ( Vector ( A [1 , 2]) , Vector ( B [2 , 1]) , conjugate = false ) ;
C [1 , 2] := A [1 , 1]* B [1 , 2] + A [1 , 2]* B [2 , 2] +
convert ( CrossProduct ( Vector ( A [2 , 1]) , Vector ( B [2 , 1]) ) , list ) ;
C [2 , 1] := A [2 , 1]* B [1 , 1]+ A [2 , 2]* B [2 , 1] +
convert ( CrossProduct ( Vector ( A [1 , 2]) , Vector ( B [1 , 2]) ) , list ) ;
C [2 , 2] := A [2 , 2]* B [2 , 2] +
DotProduct ( Vector ( A [2 , 1]) , Vector ( B [1 , 2]) , conjugate = false ) ;
return C
end proc ;
zorninv := proc ( A )
local det ;
det := A [1 , 1]* A [2 , 2] - DotProduct ( Vector ( A [1 , 2]) , Vector ( A [2 , 1]) ,
conjugate = false ) ;
Matrix ([[ A [2 , 2] , -A [1 , 2]] , [ - A [2 , 1] , A [1 , 1]]]) / det
end proc ;
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Referências Bibliográficas
[1] N. Jacobson, Composition Algebras and Their Automorphisms, Rend. Circ.
Mat. Palermo(2) 7 (1958) 55-80.
[2] K.A. Zhevlakov, A.M. Slin’ko, I.P. Shestakov and A.I Shirshov, Rings that are
Nearly Associative, Academic Press, New York 1982.
[3] Guy, R. K.,Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York:
Springer-Verlag, pp. 8-13, 1994.
[4] Robinson, R. M., Mersenne and Fermat Numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 5,
842-846, 1954.
[5] Lam, T. Y., The Algebraic Theory of Quadratic Forms, W. A. Benjamin,
1973.
[6] G. Goodaire, E. Jespers, C. P. Milies, Alternative Loop Rings, North-Holland,
1996.
[7] M. L. Merlini Giuliani, C. P. Milies, The Smallest Simple Moufang Loop, J.
of Algebra 320, 961-979, 2008.
[8] Adilson Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA 2007.
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