INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matemática
Disciplina Matemática I
Curso
Gestão de Empresas
Ano
1o
Ano Lectivo
2007/2008
Semestre
1o
Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceição
Joana Fialho
Paula Sarabando
1
3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
3.1. Conceito Elementar de Matriz
Definição 1 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz real m × n
é um conjunto de mn números reais distribuı́dos por m linhas e n colunas do
seguinte modo:






A=





a11 a12 ... a1j ... a1n


a21 a22 ... a2j ... a2n 


... ... ... ... ... ... 

ai1 ai2 ... aij ... ain 


... ... ... ... ... ... 

am1 am2 ... amj ... amn
onde aij ∈ IR para todo o i ∈ {1, 2, ..., m} e para todo o j ∈ {1, 2, ..., n} . Dizemos
neste caso, que a matriz tem ordem ou dimensão m × n . Cada número que
compõe a matriz chama-se termo, elemento ou coeficiente da matriz.
Notação: Abreviadamente podemos representar a matriz pelo sı́mbolo
A = [aij ]
1≤i≤m
.
1≤j≤n
Neste caso, o sı́mbolo aij é chamado termo geral da matriz. Cada elemento
da matriz é afectado de dois ı́ndices, o ı́ndice de linha que nos indica a linha
a que o elemento pertence e o ı́ndice de coluna que indica a coluna a que ele
pertence:
aij : i → ı́ndice de linha; j → ı́ndice de coluna
2

1
2

3



Exemplo 1: A = 
 0 √5  é uma matriz de dimensão 3 × 2
−1
2
a11 = 21 , a12 = 3, a21 = 0, a22 = 5, a31 = −1 e a32 =
√
2.
Definição 2 A toda a matriz m × 1, ou seja, a toda a matriz com m linhas e
1 coluna chamamos matriz coluna e a toda a matriz 1 × n , ou seja, a toda a
matriz com 1 linha e n colunas chamamos matriz linha.






Uma matriz coluna é da forma B = 





Uma matriz linha é do tipo A =
h
b11


b21 


... 

bi1 


... 

bm1
i
a11 a12 ... a1j ... a1n .
3.2. Matrizes Especiais
Definição 3 Chama-se matriz nula m × n a toda a matriz m × n com os
elementos todos iguais a zero.
Chama-se matriz quadrada de ordem n a uma matriz n × n, ou seja, a uma
matriz com n linhas e n colunas.
Definição 4 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos
a11 , a22 , ..., ann constituem a diagonal principal de A e os elementos an1 ,
a(n−1)2 , ..., a1n constituem a diagonal não principal ou diagonal secundária
de A.
3


3 4 −1



Exemplo 2: A = 
 −1 1 2 , matriz quadrada de ordem 3.
0 1 −5
Diagonal principal é constituı́da pelos elementos 3, 1 e -5.
Diagonal secundária é constituı́da pelos elementos -1, 1, 0.
Definição 5 Uma matriz quadrada em que os elementos situados fora da diagonal principal são todos iguais a zero chama-se matriz diagonal, isto é,
A = [aij ]
1≤i≤n
1≤j≤n
é uma matriz diagonal sse aij = 0 para todos os i, j ∈ {1, 2, ..., n}
tais que i 6= j.
Uma matriz quadrada diz-se triangular superior se todos os elementos situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é, A = [aij ] é uma matriz
triangular superior sse aij = 0 para i > j.
Uma matriz quadrada diz-se triangular inferior se todos os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é, que A = [aij ] é uma
matriz triangular inferior sse aij = 0 para i < j .
Exemplo 3:
"
#
1 0
• D=
é uma matriz diagonal.
0 −2


1 −1 0


 não é uma matriz diagonal pois a12 6= 0.
• M =
0
2
0


0 0 3
4


1 −2 3



• A=
 0 1 −2  é uma matriz triangular superior.
0 0 5
• B=
"
2
0
−1 3
#
é uma matriz triangular inferior.
Definição 6 À matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a um, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se
habitualmente por In .

1
0 ... 0

 0 1 ... 0
In = 
 ... ... ... ...

0 0 ... 1
Exemplo 4: I2 =
"
1 0
0 1








1 0 0



I3 = 
0
1
0


0 0 1
#

1 0 0 0

0 1 0 0
I4 = 

0 0 1 0
0 0 0 1






Definição 7 Seja A uma matriz m × n. Chama-se transposta de A, e
denota-se por AT , à matriz n × m cujas linhas coincidem com as colunas de A.
Sendo A = [aij ]
1≤i≤m
, temos
1≤j≤n






AT = 





a11 a21 ... ai1 ... am1
a12 a22 ... ai2 ...
...
... ... ... ...
a1j a2j ... aij ...
...
... ... ... ...
a1n a2n ... ain ...
5


am2 


... 

amj 


... 

amn
T
Propriedade da Matriz Transposta: AT = (AT )T = A.
Exemplo 5:
"
•A=
•A=
h
1 −1 4
3
0
2
#


1 3



=⇒ AT = 
−1
0


4 2
a11 a12 ... a1j ... a1n
• (In)T = In





i

=⇒ AT = 





a11


a12 


... 


a1j 

... 

a1n
Definição 8 A matriz A diz-se simétrica se coincide com a sua transposta,
isto é, A = AT .


1 2 3


T

Exemplo 6: A = 
 2 7 −1  = A =⇒ A é simétrica.
3 −1 0
Definição 9 A matriz A diz-se anti-simétrica sse A = −AT
Exemplo 7:




0 −2 −3
0 2 3




 = −  −2 0 −1  = −AT ⇒ A anti-simétrica.
A=
2
0
1




3 −1 0
−3 1 0
6
3.3. Operações com Matrizes: Propriedades.
3.3.1. Adição de Matrizes
Denotemos por Mm×n (IR) o conjunto de todas as matrizes reais de dimensão
m × n.
Definição 10 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes de Mm×n (IR).
Chama-se soma de A com B à matriz C = [cij ] de Mm×n(IR), cujo termo
geral é cij = aij + bij , i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n.
Isto é,

a11 + b11
a12 + b12 ... a1n + b1n

 a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n
C = A + B = [aij + bij ] = 

...
...
...
...

am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn






Exemplo 8:
8.1 A + B =
"
=
"
8.2.
7
#
3 −2
−5 0
1
+
"
−2
2
7 + (−2)
3+0
−5 + 2
0 + (−3)
Sendo A =
"
2
3
−1 0
#
eB=
h
0
#
−1
−3 −4
−2 + (−1)
1 + (−4)
4 2 1
i
=
#
=
"
5
3
−3 −3 −3
não podemos obter
A + B porque as matrizes não têm a mesma dimensão.
7
−3
#
Propriedades da Adição de Matrizes: Sejam A, B e C ∈ Mm×n(IR). Então:
• A + B = B + A (comutatividade).
• (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade).
• ∃′ O ∈ Mm×n (IR) tal que A + O = O + A = A (existência de um elemento
neutro).
• ∃′ A′ ∈ Mm×n (IR) tal que A + A′ = A′ + A = O (existência de um simétrico).
• (A + B)T = AT + B T .
Nota: A matriz A′ cuja existência está garantida na 4a propriedade chama-se
matriz simétrica de A e denota-se habitualmente por −A.
3.3.2. Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
Definição 11 Dada uma matriz A ∈ Mm×n(IR) e um escalar α ∈ IR, chamamos
produto da matriz A pelo escalar α à matriz B = αA ∈ Mm×n (IR) cujo
termo geral é definido por bij = αaij .
Exemplo 9: A =
"
1
−1
#
e α = −3 =⇒ αA = −3A
Propriedades da Multiplicação Escalar:
Sejam A, B ∈ Mm×n (IR) e α, β ∈ IR . Então
• (α + β)A = αA + βA.
• α(A + B) = αA + αB.
• (αβ)A = α(βA).
8
"
−3
3
#
.
Exemplo 10: A =
"
1
2
0
−1 3 −4
1
1
1
1
A − B = (A − B) =
3
3
3
3
"
#
eB=
"
2
3
#
Exercı́cio 1: Considere as matrizes A =
−2
"
4
−1 0 −2
−1 −1 −4
0
3
−1
2
=
"
0
−3
#
− 13
#
0
− 13
− 43
− 23
"
−2
1
,B=
4
#
0
−6
#
.
Sem efectuar cálculos, mostre que 3(2A + 2B)T = 6(AT + B T ).
3.3.3. Multiplicação de matrizes
Definição 12 Sejam A = [aij ] uma matriz m × n e B = [bjr ] uma matriz
n × p. O produto de A por B (por esta ordem) é a matriz m × p cujo termo
geral cir obtém-se somando os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos
elementos coluna r da matriz B, isto é,


b1r

n
h
ib 
X

2r
 = ai1b1r + ai2b2r + ... + ain bnr =
aik bkr .
cir = ai1 ai2 ... ain 


 ... 
k=1
bnr
Consequentemente

n
X
n
X
k=1
k=1
a1k bk2
a1k bk1

 k=1
k=1
 n
n
X
 X

a2k bk1
a2k bk2

AB =  k=1
k=1


...
...

n
n
X
X

amk bk1
amk bk2
9
...
n
X

a1k bkp 

k=1

n
X

...
a2k bkp 


k=1


...
...

n

X

...
amk bkp
k=1
Nota: Da definição resulta que só se podem multiplicar matrizes quando o
número de colunas da matriz da esquerda for igual ao número de linhas da matriz
da direita.
Exemplo 11: Calcule, quando possı́vel, o produto A × B
a) A =
"
b) A =
h
2 0
1 1
0 2
#
i
eB=
"
eB=
"
1
3
#
⇒ AB =
3 0
1 1
#
"
2×1+0×3
1×1+1×3
⇒ AB =
=
c) A =
"
3 1 4
6 0 5
AB =
"
=
=
"
#
2×3
7 0 4



eB=
4
3
5


−1 5 6
0×3+2×1
0×0+2×1
2
4
#
#
.
=
i
2 2 .
3×3


#
h
=
"


7 0 4



×
4
3
5


6 0 5
2×3
−1 5 6
3 1 4
"
#
=
3×3
3 × 7 + 1 × 4 + 4 × (−1) 3 × 0 + 1 × 3 + 4 × 5 3 × 4 + 1 × 5 + 4 × 6
6 × 7 + 0 × 4 + 5 × (−1) 6 × 0 + 0 × 3 + 5 × 5 6 × 4 + 0 × 5 + 5 × 6
21 23 41
27 25 54
#
2×3
Note que nestes casos não é possı́vel calcular B × A pois o número de colunas
de B não coincide com o número de linhas de A.
10
=
Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
Sejam A, B e C matrizes de dimensão convenientes e α ∈ IR. Então
• (AB)C = A(BC) (associatividade).
• (A + B)C = AC + BC e A(B + C) = AB + AC (distributividade).
• α(AB) = (αA)B = A(αB).
• AI = A e IB = B (existência de elemento neutro).
• AO = O e OB = O.
• (AB)T = B T AT .
• A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa, isto é,
geralmente A × B 6= B × A.
"
1 0
1 0
#
0 0
#
=
"
=
"
Exemplo 12: A =
AB =
"
BA =
"
1 0
1 0
0 0
1 1
#"
#"
1 1
1 0
1 0
#
eB=
0 0
0 0
0 0
2 0
"
0 0
1 1
#
#
#
=⇒ AB 6= BA
As matrizes tais que A×B = B×A dizem-se matrizes permutáveis.
• Não é válida a lei do anulamento do produto
AB = O ⇒ A = O ∨ B = O
no caso de multiplicação de matrizes.
11
Exemplo 13:
AB =
"
1 0
1 0
#"
0 0
1 1
#
=
"
#
0 0
0 0
com
A=
"
1 0
1 0
#
6=
"
0 0
0 0
#
eB=
"
0 0
1 1
#
6=
"
0 0
0 0
#
• Não é válida a lei do corte
AX = AY , com A 6= O ⇒ X = Y
no caso de multiplicação de matrizes.
"
1 1
#"
#
Exemplo 14: A =
AB =
"
1 1
1 1
1 1
1
2
#
,B=
=
3
#
6=
"
"
3
"
=
1
2
"
#
eC=
1 1
1 1
#"
"
2
2
#
1
1
#
= AC
e
B=
"
1
2
#
2
1
#
= C.
3.4. Resolução de Sistemas de Equações Lineares
3.4.1. Matrizes em Escada
Definição 13 Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que,
por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, e por baixo dos elementos
anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas.
Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento não
nulo de cada linha.
12
Exemplo 15:


1 2 3 4 5



• A=
 0 0 −1 2 −3  - matriz em escada com pivots 1, -1 e 1.
0 0 0 1 2


1 2 3


 - matriz em escada com pivots 1, -3 e 5.
• B=
0
−3
5


0 0 5

1 2 3 4

0 0 2 5
• C=
0 0 4 6

0 0 0 0



 não é uma matriz em escada.


3.4.2. Eliminação de Gauss
Definição 14 Dada uma matriz, designam-se por operações elementares
sobre linhas, as seguintes transformações:
• Troca de duas linhas i e j (Li ↔ Lj );
• Multiplicação de uma linha i por um número α diferente de zero (αLi);
• Substituição de uma linha j pela que se obtém adicionando-lhe o produto de
outra linha i por um número real α (Lj + αLi ).
Nota: De forma análoga se definem as operações elementares
sobre colunas e representam-se por Ci ↔ Cj , αCi e Lj + αLi .
13
Exercı́cio 3: Identifique as operações elementares efectuadas em cada caso:
3.1.
"
3.2.
"
−1 3
#
2
0
4
−3
−1

1
→
#
"
→
#
3 −1
0
2
"
4 −3

0

#
1
4

1
2
4 2 0
1
0







3.3. 
→
 2 0 −1 
 2 0 −1 
−6 0 6
0 0 3
Definição 15 A condensação ou eliminação de Gauss de uma matriz
consiste em efectuar operações elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a
transformar a matriz dada numa matriz em escada de linhas.
Exercı́cio 4: Utilize a eliminação de Gauss para transformar as matrizes
seguintes em matrizes em escada:


1 2 0 1



4.1. 
 2 0 1 3
−1 1 0 2


0 2 3 −1 4



4.2. 
 1 −1 2 3 0 
−3 1 1 2 1
3.4.3. Caracterı́stica de uma Matriz
Chama-se caracterı́stica de A, e denota-se por car(A), ao número de linhas
não nulas da matriz em escada de linhas que se obtém de A através da sua
condensação.
14
Em sı́ntese temos:





A=




a11 a12
a21 a22
...
...
ak1 ak2
...
...
am1 am2
...
...
...
...
...
...
a1k
a2k
...
akk
...
amj
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
...
akn
...
amn










 −→ 
 O.E. 






ā11 ā12
0 ā22
... ...
0
0
0
0
0
0
... ā1k
... ā2k
... ...
... ākk
0 0
0 0
... ā1n
... ā2n
... ...
... ākn
0 0
0 0





 ⇒ car(a) = k




Nota: Como é óbvio, car(A) ≤ min{m, n}.
Exemplo 16: Calcule a caracterı́stica das seguintes matrizes:
•A =


−−−−−−−→
1 0 1


 2 3 1  L2 − 2L1


L3 + L1
−1 −3 2


1 0 1



→ 
 0 3 −1 
0 0 2
•B =

0 −1 2

1

2

3
1

1
1
2
3

 0 −1 2
→ 
0 0 0

0 0 0

1 0 1

 −−−−→
 0 3 −1  −

 L3 + L2
0 −3 3
⇒ car(A) = 3



0
−−−−→
 −
L
1 ↔ L2
0

0
0

1
1
0

 0 −1 2

2 2 0

3 3 0



 ⇒ car(B) = 2


15

 −−−−−−−→
 L3 − 2L1

 L − 3L

4
1


0 1 −1


 2 1 2 




Exercı́cio 5: Calcule a caracterı́stica da matriz  −1 −1 −1 .


 −1 0 1 


2 3 2
Definição 16 Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se singular se
car(A) < n.


0 2 3


 é singular.
Exercı́cio 6: Verifique se a matriz 
1
−1
2


−3 1 1
3.4.4. Algoritmo de Gauss
Consideremos um sistema de m equações lineares a n incógnitas:



a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a11 a12




 a x + a x + ... + a x = b

a21 a22
21 1
22 2
2n n
2
⇔


...
...

 ...


 a x + a x + ... + a x = b
am1 am2
m1 1
m2 2
mn n
m
... a1n
... a2n
... ...
... amn




x1
b1

 

  x2   b2 

=

  ...   ...  ⇔ AX = b

 

xn
bm
Na resolução de sistemas de equações lineares vamos considerar a matriz ampliada [A|b] , onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, x é a matriz das
incógnitas e b é a matriz dos termos independentes.
Algoritmo de Gauss: Ao proceder à eliminação de Gauss da matriz ampliada
[A|b] (efectuando operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de
modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficamos com um novo sistema
de equações de mais simples resolução.
16





[A|b] = 




a11 a12
a21 a22
...
...
ak1 ak2
...
...
am1 am2
...
...
...
...
...
...
a1k
a2k
...
akk
...
amj
...
...
...
...
...
...
a1n b1
a2n b2
... ...
akn bk
... ...
amn bm








 −−→ 
 O.E. 








ā11 ā12
0 ā22
... ...
0
0
0
0
0
0
... ā1k
... ā2k
... ...
... ākk
0 0
0 0

... ā1n b̄1

... ā2n b̄2 

... ... ... 

... ākn b̄k 


0 0 ... 
0 0 b̄m
3.4.5. Classificação de sistemas
O sistema Ax = b de m equações a n incógnitas, pode ser classificado da
seguinte forma:
• Se car(A) = car([A|b]) = n, o sistema é possı́vel determinado
• Se car(A) = car([A|b]) < n, o sistema é possı́vel indeterminado
• Se car(A) < car([A|b]), o sistema é impossı́vel.
Exercı́cio 7: Classifique e resolva, quando possı́vel, os seguintes sistemas usando o algoritmo de Gauss.
7.1.



 x + y + 2z = 7
x − 2y − 3z = 1


 x−y+z =0
7.2.



 x1 + x2 + x3 = 1
7.3.
−x1 + x2 − x3 = −1


 2x + 2x = 2
1
3
17



 x1 + 2x2 + x3 = 1
−x1 − 2x2 = 5


 −2x − 4x − 2x = 1
1
2
3
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matemática
Disciplina Matemática I
Curso
Gestão de Empresas
Ano
1o
Ano Lectivo
2007/2008
Semestre
1o
Caderno de Exercı́cios: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceição
Joana Fialho
Paula Sarabando
18
1. Considere as matrizes

1 2

A= 0 3
1 2
3



−1 0 −1


1  e B= 2
2
1

1 .
0
1
2
Calcule a matriz 2(A + B) − AB.
2. Considere A =
"
−1 0
2
1
#
1
,B=
−1
"
3
−1
#
eC=
"
1
1
#
.
Calcule (B T A + C T A)T .
3. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:

1

a)A =  2
3



2 −1
2 1



0
2  eB= 0 3 
1
3
4 2
b) A =
h
1
0
−1
i


3


eB= 2 
1




1
2 −2
6
3
2




c) A =  −2
1
2  e B= 2
1 2/3 
−2 −4
4
5 5/2 5/3
4. Considere as matrizes



1 −3
2
1



A= 2
1 −3  , B =  2
4 −3 −1
1
4
1
1 1
−2 1
0


2


1 ,C = 3
2
2
1
−1 1


2



 1 


.
−2 −1 2  e D = 

0


−5 −1 3
1
Verifique que AB = AC e BD = CD.
5. Considere as matrizes A =
"
1 0
1
−1 1
1
#
, B=
"
1
1
1 −1
#
, C=
"
1
2
#

1 0



, D =  0 1 .
1 1
Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule
esse produto.
6. Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é do tipo m × n, então B é do tipo n × m.
7. Calcule:

2 0

(a)  1 1
0 3
1
2

1 
2
; (b)
"
3
2
−4 −2
#5
; (c)
"
1
1
0 −1
19
#k
; (d)
"
2 −1
3 −2
#k
.
8. Considere que a ESTV, no ano lectivo de 2006/2007, começa uma nova licenciatura, com numeros clausus
de 100 alunos por ano, e duração de três anos. Considere que, em cada ano lectivo, 70% dos estudantes
transitam de ano (ou terminam o curso caso estejam no 3o ano), e 30% ficam retidos no mesmo ano.
Representemos por um vector estado,

xk1



Xk =  xk2 ,
xk3
os alunos que frequentam a licenciatura no ano lectivo k, divididos por ano escolar (assim, por exemplo, o
número xk2 representa o número de alunos que frequentam o segundo ano no ano lectivo k).
Tomemos k = 0 para representar o ano lectivo 2006/2007, em que a licenciatura arranca. Temos

100

X0 =  0
0


.
(a) Encontre uma matriz A, 3 × 3, tal que, Xk+1 = X0 + AXk (isto é, somando os alunos novos ao resultado
de multiplicar A pelo vector estado de um determinado ano lectivo, obtemos o vector estado do ano
lectivo seguinte).
(b) Escreva a fórmula da alı́nea anterior, que permite obter o vector estado para determinado ano lectivo n,
mas sem ser por recorrência, ou seja, uma fórmula em função de X0 e das potências de A.
(c) Em Agosto de 2009/2010, quantos alunos têm o diploma desta nova licenciatura?
9. (a) Verifique que as identidades algébricas
(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B 2 , (AB)2 = A2 B 2 , (A + B)(A − B) = A2 − B 2
nem sempre são verdadeiras quando A e B são matrizes.
Considere, por exemplo, os casos seguintes:
(a) A =
"
1 −1
0
2
#
, B=
"
1
1
0
2
#
; (b) A =
"
2 0
−1 1
#
, B=
"
1
3
0
4
#
.
(b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades sempre válidas
para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.
10. Em cada uma das alı́neas dê exemplo de matrizes reais 2 × 2 com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I; (b) A2 = 0, sendo A não nula;
(c) AB = 0, não tendo A nem B nenhum elemento nulo.
20
11. Foi feito um estudo com o objectivo de detectar que parte do rendimento destinam os indivı́duos para a sua
formação e informação. O preço de revistas, livros, jornais e cd’s é dado respectivamente pelo seguinte vector
[50 220 45 600] (em unidades monetárias. Em três grupos seleccionados (A, B e C) verificou-se que o consumo
dos quatro produtos era o seguinte:
R
L
J
CD
A
2
1
3
0
B
C
4
2
3
3
2
5
1
1
Utilize o cálculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos.
12. Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C e carrega cargas em contentores de três
tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
I
II
III
A
B
4
5
3
2
2
3
C
2
2
3
Utilizando a teoria das matrizes determine o número de recipientes x1 , x2 e x3 de cada categoria A, B e C,
se a companhia deve transportar 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III.
13. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detém a seguinte quota de marcado:
A detém 20% do mercado, B detém 60% do mercado e C detém 20% do mercado.
No ano seguinte ocorreram as seguintes alterações:
A mantém 80% dos clientes, perde 10% para B e 10% para C;
B mantém 40% dos clientes, perde 10% para A e 50% para C;
C mantém 70% dos clientes, perde 20% para A e 10% para B.
Associando o número 1 à firma A, 2 à firma B e 3 à firma C determine a matriz de transição, T, definida
da seguinte forma:
T = [tij ], i,j=1,2,3 com
tij = percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no próximo ano.
Com a mesma associação de valores às firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de
mercado, que se caracteriza por ter todas as componentes positivas e soma igual a 1:
si1 = percentagem de mercado inicial que a firma i detém.
Depois de determinadas ambas as matrizes, calcule T s. Verifique tratar-se de uma matriz coluna de quotas
de mercado e interprete o resultado. Justifique.
21
14. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variáveis reais usando o método de eliminação de Gauss.
(a)
(c)
(e)


 2x1 − x2 + 3x3 = 8
−3x1 + 2x2 + x3 = −7


−2x1 + x2 + 2x3 = −3


 x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x1 + x2 + x3 + 2x4 = −1


−x2 − 2x3 + x4 = 1


2x1 + 3x2 − x3 + 5x4



 3x − x + 2x − 7x
1
2
3
4

4x1 + x2 − 3x3 + 6x4



 x − 2x + 4x − 7x
1
(g)
(b)
2
3
4


x1 + x2 = 1





 x1 + x2 + x3 = 4
x2 + x3 + x4 = −3



 x3 + x4 + x5 = 2



x4 + x5 = −1
(d)


 x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0


3x1 + 5x2 + 7x3 = 1


 −x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1
2x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 7


x1 − 5x2 + 2x3 − x4 = −4


−x1 + x2 + x3 = 2



 2x + 2x + 8x = 16
1
2
3
(f )

x1 + x3 = 3



 −x − 2x = −13
=0
=0
=0
=0
1
(h)
2


x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2





 x1 + 2x2 − x3 − x5 = −3
x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 10



 x2 − x3 + x4 − 2x5 = −5



2x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1
15. (a) Usando o método de eliminação de Gauss encontre a parábola f (x) = ax2 + bx + c que passa pelos
pontos (1,4), (2,7) e (3,4).
(b) Verifique, usando derivadas, que a parábola referida na alı́nea anterior tem o vértice em (2,7).
(c) Faça um esboço para uma possı́vel função l(x) tal que l′ (x) = f (x).
16. Determine os valores de α para os quais o sistema
(
αx + y = 1
x + αy = 1
(a) não tem solução; (b) tem uma solução; (c) tem uma infinidade de soluções.
17. Discuta os seguintes sistemas em função dos respectivos parâmetros
(a)
(c)


 x1 + x2 + x3 = β + 1
x1 + βx2 + x3 = 1


βx1 + x2 = β + 2β 2


 x1 + x2 + x3 = 0
βx1 + x2 + βx3 = γ


x1 + γx3 = β
(b)
(d)


 x1 + x2 + (1 − β)x3 = β + 1
(1 + β)x1 − x2 + 2x3 = 0


2x1 − βx2 + 3x3 = β + 2


 x1 + 2x2 + x3 = 5
βx1 − x2 + 3x3 = 6


2x1 + x2 − x3 = γ
22
(e)


x + z + 2v = 1



 2x + 3y + 2z + 3w + αv = 0
 y + w + v = −γ



 −2x + y − 2z + w + βv = −2
(f )


x+y+z+w =1



 2x + 2y + 4z − 2w = 0
 −x − y + z + αw = β



 x + y + 3z − 3w = γ
18. (Exame Época Especial, 2006-2007 )

1
0
α


0





Considere o sistema Ax = b com A =  1 α α + γ  , b =  β + 1  , α, β, γ ∈ IR
1 0
2α
β
(a) Discuta o sistema em função dos parâmetros considerados.
(b) Considere α = −1, β = 0, e γ = 2.
Resolva o sistema anterior através do método de Gauss.
19. Determine um sistema A× = b com duas equações e três incógnitas cuja solução geral seja


 
1
1


 
× =  1 +α 2 .
0
1
20. Considere o seguinte sistema AX = B de equações lineares com parâmetros reais a, b:

 
 

1
a
a+1
x
b

 
 

2a  .  y  =  1 .
 0 a−1
2
2
2
z
0
(a) Seja Y = [1 4 − 5]T . Calcule A.Y e diga, justificando, os valores dos parâmetros a, b para os quais
Y é solução do sistema.
(b) Classifique o sistema para todos os valores reais dos parâmetros a, b.
(c) Resolva o sistema quando a = 2 e b = 0.
21. Determine um sistema A× = b com três equações e três incógnitas cuja solução geral seja a mesma do
exercı́cio anterior e que não tenha solução quando b1 + b2 6= b3 .
22. Determine todas as matrizes permutáveis com A, sendo:
"
#
"
#
1
2
1 1
(a) A =
; (b) A =
.
−1 −1
0 1
23. Uma empresa produtora de componentes para automóveis fez uma pesquisa de mercado e concluiu que para
maximizar os seus lucros deveria, apenas, passar a produzir três produtos: pneus, volantes e “jantes”. A
diferença entre o número de pneus e o número de “jantes” a produzir deve ser igual ao dobro do número de
volantes produzido. O número de volantes a produzir deve ser a quarta parte das “jantes” fabricadas.
Utilizando a teoria das matrizes, determine duas quantidades possı́veis para cada um dos produtos que a
empresa fabrica de forma que responda às condições deduzidas da pesquisa de mercado.
23
24. No centro de uma cidade há um conjunto de ruas de um só sentido e que se intersectam como na figura. O
volume de tráfego que entra e sai nessa zona durante a hora de ponta é o indicado na figura. Que conclui
quanto ao volume de tráfego en cada um dos 4 cruzamentos?
25. Uma empresa explora simultaneamente duas minas, A e B. Num dia de trabalho na mina A extrai 20
toneladas de cobre e 550 quilos de prata enquanto que, num dia de trabalho na mina B extrai 30 toneladas
de cobre e 500 quilos de prata.
a) Supondo que a empresa explora a mina A durante x dias e a mina B durante y dias, estabeleça um
sistema de equações lineares que permita determinar o número de dias necessários à extracção de 190
toneladas de cobre e 4250 quilos de prata.
b) Escreva o sistema da alı́nea anterior na forma matricial e resolva-o utilizando o método de eliminação
de Gauss.

0
k
0



26. Considere as matrizes Ak =  1 0 k 
1 −1 0
e

0



bn =  0 
n
a) Discuta em função dos parâmetros k e n o sistema Ak x = bn
b) Determine, se possı́vel, uma matriz D tal que:
i) A0 D − 2I3 = A1
ii) A0 D seja uma matriz simétrica
iii) A0 D seja uma matriz triangular inferior
iv) A0 D seja uma matriz diagonal
27. Indique, justificando, qual o valor lógico das seguintes afirmações:
a) Se A ∈ M3×4 (IR) e B ∈ M4×3 (IR) então é possı́vel efectuar os produtos AB e BA mas AB 6= BA.
"
#
0 −1
b) A matriz
é ortogonal.
1 0
c) Todo o sistema homogéneo é possı́vel.
24
d) O produto de matrizes ortogonais é ainda ortogonal.
e) Todo o sistema de n equações e n incógnitas cuja caracterı́stica da matriz dos coeficientes é igual ao
número de equações do sistema é sempre possı́vel determinado.
f ) Se A ∈ Mn×n (IR) e x e y são matrizes n × 1 então a igualdade Ax = Ay =⇒ x = y
28. Sabendo que A(0, 10), B(1, 7), C(3, −11) e D(4, −14), determine os coeficientes a, b, c, e d de modo que a
figura abaixo possa representar o gráfico da função y = ax3 + bx2 + cx + d,
y
10
−2
−1
A
y = f (x)
B
1
2
3
−10
4
C
D
−20
25
5
x