Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 1
Matrizes




1 2 3
−1 0 −1


1 
1. Considere as matrizes A = 
 2 3 1 eB= 2 3
.
3 1 2
1 2
0
Calcule a matriz 2(A + B) − AB.
2. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:






1 2 −1
2 1
3
h
i




2 
(a) A = 
 2 0
 e B =  0 3  , (b) A = 1 0 −1 e B =  2  ,
3 1
3
4 2
1




1
2 −2
6
3
2



1
2 eB= 2
1 2/3 
(c) A =  −2
.
−2 −4
4
5 5/2 5/3
3. Considere as matrizes


1 −3
2
1 −3 
,
4 −3 −1
A=
 2


1

4 1 0
1 1 1 
,
1 −2 1 2
B=
 2
2
1 −1 1




C=
 3 −2 −1 2  ,
D=


2 −5 −1 3
2
1
0
1



.

Verifique que AB = AC e BD = CD.
4. Considere as matrizes
"
A=
1 0 1
−1 1 1
#
"
,
B=
−1
1
1 −1
#
"
,
C=
1
2

#

1 0

D= 0 1 
.
1 1
,
Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja
definido e calcule esse produto.
5. Mostre que se os produtos AB e BA estiverem ambos definidos e A for do tipo m × n,
então B é do tipo n × m.
6. Calcule o número de multiplicações necessárias para multiplicar uma matriz A do tipo
m × n por uma matriz B do tipo n × p.
"
7. Sejam α e β números reais, calcule o produto
8. Calcule:

2
2 1 1

(a)  3 1 0 
 ;
0 1 2
"
(b)
2 1
1 3
#3
cos α − sin α
sin α
cos α
"
;
(c)
3
2
−4 −2
#"
cos β − sin β
sin β
cos β
#5
"
;
(d)
1 1
0 1
#
.
#k
(k ∈ IN);
"
(e)
2 −1
3 −2
#k
"
(k ∈ IN);
9. Calcule:






µ1 0
0 µ2
..
..
.
.
0 0
...
...
..
.
0
0
..
.
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
(f)

#k
3
0 1 0


(g)  0 0 1  .
0 0 0
(θ ∈ IR, k ∈ IN);
k


 (k ∈ IN).


. . . µn
10. (a) Verifique que as igualdades (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 , (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ,
(A + B)(A − B) = A2 − B 2 e (AB)2 = A2 B 2 nem sempre são verdadeiras quando A e B
são matrizes. Considere, por exemplo, as matrizes seguintes:
"
1 −1
0
2
(i) A =
"
(iii) A =
#
"
,B=
i 1+i
−i 1 − i
1 0
1 2
#
"
,B=
#
"
;
−i 2 + i
3i 1 − i
(ii) A =
2 0
−1 1
#
"
,B=
#
1 0
3 4
;
#
.
(b) Transforme os segundos membros daquelas igualdades de forma a obter identidades
(sempre válidas) para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.
(c) Mostre que se duas matrizes A e B verificarem a primeira igualdade referida em (a)
então A e B também verificam as outras três igualdades.
11. Calcule todas as matrizes permutáveis com A, sendo:
"
(a) A =
2 0
0 3
#
"
;
(b) A =
1
2
−1 −1
#
"
;
(c) A =
1 1
0 1

#
;

1 0 0

(d) A = 
 0 1 0 .
3 1 2
12. Em cada uma das alı́neas dê exemplos de matrizes reais 2 × 2 com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I; (b) A2 = 0, sendo A não nula;
elemento nulo.
(c) AB = 0, não tendo A nem B nenhum
13. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Prove que
(a) se A for invertı́vel e C for uma matriz n × p tal que AC = 0n×p (0n×p a matriz nula
n × p), então C = 0n×p ;
(b) se A for invertı́vel e D for uma matriz m × n tal que DA = 0m×n , então D = 0m×n ;
(c) se A for invertı́vel e AC = AD (C e D matrizes n × p), então C = D;
(d) se A for invertı́vel e EA = F A (E e F matrizes m × n), então E = F.
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Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
14. Calcule os produtos AB e BA nos seguintes casos:
"
(a) A =
"
(b) A =
"
(c) A =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
i 1
0 i
0 i
i 0
#
"
,
#
B=
"
,
B=
#
"
,
B=
−i 1
0 −i
15. (a) Determine a inversa da matriz
(b) Calcule
17 −6
35 −12
"
#
;
#
;
#
0 −i
−i 0
"
"
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
Folha 2
.
2 3
5 7
#
.
#5
usando a igualdade
17 −6
35 −12
#
"
=
2 3
5 7
#"
2 0
0 3
#"
−7
3
5 −2
#
.
16. Considere as matrizes




1 0 0
a b c




E21 (2) =  2 1 0  e A =  d e f  .
0 0 1
g h i
(a) Efectue os produtos E21 (2)A e AE21 (2).
(b) O que observa relativamente às linhas de E21 (2)A e às colunas de AE21 (2) ?
(c) O que observa 
relativamente às linhas de E32 (2)A e às colunas de AE32 (2) sendo
1 0 0

E32 (2) =  0 1 0 
?
0 2 1
(e) Efectue os produtos P21 A e AP21 .
(f) O que observa relativamente às linhas de P21 A e às colunas de AP21 ?
(g) O que observa relativamente às linhas de P32 A e às colunas de AP32 ?
(i) Efectue os produtos D2 (−1)A e AD2 (−1).
(j) O que observa relativamente às linhas de D2 (−1)A e às colunas de AD2 (−1) ?
(k) O que observa relativamente às linhas de D3 (2)A e às colunas de AD3 (2)?
(l) Generalize as observações efectuadas.
17. Seja E a matriz elementar 4×4 cujo efeito, quando multiplicada por uma matriz, é adicionar
a primeira linha à terceira linha dessa matriz.
(a) Qual é o efeito de E 50 ?
(b) Escreva por extenso as matrizes E, E 50 e 50E.




1
0 0
1 0 0
1 0 0




1 0 
18. Sendo A =  0
  0 1 0   −1 1 0  , calcule A−1 .
0 −2 1
3 0 1
0 0 1
19. Escreva todas as matrizes de permutação 3×3, incluindo P = I, e para cada uma identifique
a respectiva inversa (que também é uma matriz de permutação).
20. Quantas matrizes de permutação n × n existem ?
21. (a) Mostre que se uma matriz quadrada tiver uma linha (ou uma coluna) nula então não
pode ser invertı́vel.
(b) Mostre que se numa matriz quadrada uma linha (ou uma coluna) for múltipla de outra
então a matriz não pode ser invertı́vel.
(c) Mostre que se uma matriz 2 × 2 for não-invertı́vel, então há, de certeza, uma linha (e
uma coluna) que é múltipla da outra.
(d) Dê um exemplo de uma matriz 3×3 não-invertı́vel na qual nenhuma linha (nem coluna)
é múltipla de outra.
Determinantes
22. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Qual a relação com detA de:
(a) det(2A) ?
(b) det(−A) ?
23. Calcule os seguintes determinantes:
¯
¯
¯
(a) ¯¯
¯
¯
¯
¯
(e) ¯¯
¯
¯
1 3 ¯¯
¯;
−2 4 ¯
¯
2 1 3 ¯¯
1 0 2 ¯¯ ;
¯
1 4 2 ¯
¯
¯
¯ 1
3 ¯¯
¯
(b) ¯¯
¯;
0 −5 ¯
¯
¯ 3 1
3
¯
¯
(f) ¯¯ −3 2 −2
¯ −2 1
2
¯
¯ −1
¯
(c) ¯¯
−2
¯
¯
¯
¯
¯;
(g)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯;
¯
¯
¯
¯ −2 −1 ¯
¯
¯
(d) ¯¯
¯;
−2
5 ¯
¯
¯
¯
¯ −2
1 2 4 ¯¯
0 4 ¯¯
¯
¯
¯
1 1 0 ¯¯ ;
(h) ¯¯ 1 −1 0 ¯¯ .
¯
¯ 1
1 4 2 ¯
0 2 ¯
−3
0
24. Calcule o determinante das matrizes referidas nos exercı́cios 1, 2.(c), 10.(a)(i), 10.(a)(ii),
11, 14.(a), 16.
25. Calcule
¯
¯ 1
¯
¯ 1
¯
(a) ¯
¯ 1
¯
¯ 1
o
1
1
1
4
determinante de cada uma das matrizes seguintes:
¯
¯
¯
¯
¯ a 0 0 0 ¯
¯ 0 1 0 0
1 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 1 0
1 2 ¯
¯ 0 0 0 b ¯
¯
¯;
(b) ¯
¯;
(c) ¯
¯ 0 c 0 0 ¯
¯ 0 1 0 1
3 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 0 1 0
1 1
0 0 d 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯;
¯
¯
¯
¯
¯ 1
2
¯
¯ 2
3
¯
(d) ¯
¯ −1 −2
¯
¯ 0
2
−2
−4
0
5
0
1
2
3
26. Calcule o determinantes da matriz dos exercı́cio 23 (b), bem como da respectiva matriz
inversa. Que relação existe entre o determinante de uma matriz e o determinante da matriz
inversa?
¯
¯
¯
¯
¯
¯;
¯
¯
¯
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Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 3
Sistemas de Equações Lineares
27. Resolva pelo método de eliminação de Gauss o sistema de equações
(
x−y = 0
x + 2y = 6
e desenhe no plano xy as duas rectas cujas equações são as indicadas. Desenhe também as
rectas que aparecem no final da eliminação.
28. Resolva os seguintes sistemas, quando possı́veis, usando o método de eliminação. Registe
os pivots utilizados e as operações que efectuou com as equações.


 2x1 − x2 + 3x3
(a)  −3x1 + 2x2 + x3

−2x1 + x2 + 2x3


 x1 + x2 + x3
=
8
= −7
= −3

x1 − x2 − 3x3 + 4x4




x + x2 + x3 + 2x4
(c)  1
−x2 − 2x3 + x4



x1 + 2x2 + 3x3 + x4
= 0
(b)  x1 + 2x2 + 3x3 = 0

3x1 + 5x2 + 7x3 = 1
=
1
= −1
=
1
= −2

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4




x − x3 + x4
(d)  2
x
1 + 3x2 − 3x4



−7x2 + 3x3 + x4
=
4
= −3
=
1
= −3
29. Mesmo exercı́cio para os sistemas das alı́neas (a) a (f). (Repare nas relações existentes
entre esses sistemas e utilize-as para resolver o exercı́cio.)


 x1 + x2 + x3
(a)  x1 + x2 + 3x3

3x1 + 5x2 + 7x3
(c)


 x1 + x2 + x3


x1 + x2 + 3x3
3x1 + 5x2 + 7x3


 x1 + x2 + x3 + x4
= 0
= 0
= 0
= 1
= 3
(b)  x1 + x2 + 3x3 + 2x4

3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0
= 11
= 23
= 30

x1 + x2 + x3 + x4



 x + x + 3x + 2x
1
2
3
4
(e)

3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4



3x1 + 5x2 + 9x3 + 4x4
=
=
=
=
(d)
1
3
0
3


 x1 + x2 + x3


x1 + x2 + 3x3
3x1 + 5x2 + 7x3
= 10
= 23
= 30

x1 + x2 + x3 + x4



 x + x + 3x + 2x
1
2
3
4
(f)

3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4



3x1 + 5x2 + 9x3 + 4x4
=
=
=
=
1
3
0
2
(g) Acrescente uma equação ao sistema da alı́nea (b) de modo que o novo sistema seja
possı́vel e determinado.
30. Determine os números complexos z e w que satisfazem
(
iz + (1 + i)w = 3 + i
(1 − i)z − (6 − i)w = 4
31. Determine os valores de α para os quais o conjunto das soluções do sistema é
(
(i) vazio;
αx + y = 1
x + αy = 1
(ii) singular;
(iii) infinito.
32. Considere o sistema de equações onde β é um parâmetro real:


 x + βy + βz = 0
βx + y + z = 0
x + y + βz = β 2


(a) Discuta o sistema em função de β.
(b) Considere o sistema homogéneo associado a β = 0 e determine a solução (ou soluções)
do sistema.
33. Considere o sistema de equações nos parâmetros reais a, b e c:


 ax1


x1
+bx2
= c
bx2 −x3 = 1
+x3 = 2
Determine a relação entre a, b e c de forma que o sistema só tenha uma variável livre.
34. Considere o sistema de equações:

2x1 + 4x2



 5x − 2x
1
2

3x1 + ax2



4x1 + bx2
=
=
=
=
16
4
9
−7
Determine a e b de forma que o sistema seja possı́vel e determine a solução nesse caso.
35. Determine as decomposições LU e LDU das seguintes matrizes:


"
#
"
#
2 −3 0
1 0
2 1
5 1 
(a)
;
(b)
;
(c) 
 4
;
8 1
8 7
2
0 4




(e) 
1 −1
0
0
−1
2 −1
0
0 −1
2 −1
0
0 −1
2



;





(f) 
2
0
2
0
4
3
7
0
0
3
9
6
2
1
7
5


1 3 5

(d)  3 12 18 
;
5 18 30



.

Que relação nota entre os factores triangulares da decomposição LDU nas alı́neas (d) e (e)?
(Ver-se-á adiante que isto está relacionado com a estrutura das matrizes dessas alı́neas.)
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Ano lectivo 2005/2006
Folha 4
Sistemas de Equações Lineares
36. Mediante a resolução de sistemas triangulares resolva os sistemas Ax = b1 e Ax = b2 onde,
(a) A é a matriz da alı́nea (c) do exercı́cio anterior e com
b1 =
h
8 5 1
iT
e b2 =
h
1 0 0
iT
;
(b) A é a matriz da alı́nea (e) do exercı́cio anterior e com
b1 =
h
iT
1 1 1 1
e b2 =
h
1 2 3 4
iT
;
(c) A é a matriz da alı́nea (f) do exercı́cio anterior e com
b1 =
h
6 4 8−4

iT
e b2 =
h
1 2 4 7
iT
.

1 −1
0

0 −2 
37. Seja A =  1
.
0 −2
0
(a) Determine a decomposição LU de A.
(b) Determine a matriz inversa de L e a matriz inversa de U.
(c) Usando os resultados obtidos na alı́nea anterior calcule A−1 .
38. Sendo A quadrada não singular, mostre que a matriz D nas decomposições LDU de A e
AT é a mesma.
(Por outras palavras, A e AT têm os mesmos pivots.)


1 3 2


39. Sendo A =  2 6 9  determine uma matriz de permutação P para a qual exista a
1 8 8
decomposição LU de P A e determine os factores dessa decomposição.
40. Determine as decomposições P A = LDU sendo:
"
(a) A =
0 1
2 3

#
;


1 2 3

(b) A =  2 4 2 
;
1 1 1
"

#

0 a b

(c) A =  0 0 c 
 , a, c, d 6= 0.
d e f

1 2 2
γ 2

41. Para cada uma das matrizes A =
e B = 
 α 8 3  , diga que valores dos
6 4
0 β 3
parâmetros tornam necessárias trocas de linhas no processo de factorização, e que valores
dos parâmetros tornam a matriz singular.


2 1 0


42. Determine a decomposição A = LU para A =  1 2 1  e resolva Ax = b para os três
0 1 2
segundos membros indicados:



1


(a) b =  0  ,
0


0


(b) b =  1  ,
0

0


(c) b =  0  .
1
43. Calcule as inversas das seguintes matrizes:
"
3 4
5 7
(a)

#


1 1 1


(b)  0 1 1  ;
0 0 1
;


0
2 −1

1 −1 
(c)  1
;
−2 −5
4



(d) 
2
3
4
5
3
3
4
5
4
4
4
5
5
5
5
5



.

44. Efectue a factorização LDLT das seguintes matrizes:



1 2 3

(a)  2 3 0 
;
3 0 6

(b) 




1 4 7 3
4 15 25 10 

;
7 25 39 22 
3 10 22 5

1 2 4

(c)  2 3 9 
.
4 9 7
45. Para cada uma das seguintes matrizes A,
- determine uma factorização LU, onde L é triangular inferior com elementos diagonais
iguais a 1 e U é uma matriz em escada (se tal não for possı́vel, faça-o para P A, onde P é
uma matriz de permutação adequada);
- registe os pivots usados na eliminação e indique a caracterı́stica de A;
- determine relativamente ao sistema Ax = 0, as incógnitas básicas e as incógnitas livres
e escreva a solução geral como combinação linear de um número de vectores tão pequeno
quanto possı́vel:



1 2 0 1


(a)  0 1 1 0  ;
1 2 0 1

0 1 0


(b)  0 0 1  ;
0 0 0
"
(c)
0 1 4 0
0 2 8 0
#
;
(d) a transposta da matriz da alı́nea anterior;


1 0



(e)  0 1  ;
2 3




(f) 




2
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
1
1
1
4
1
3
1
1
1
1
5
4
1





;








(g) 
2
0
2
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
0
1
0



.

46. Para cada um dos seguintes sistemas, escreva a solução geral como soma de uma solução
particular, caso exista, com a solução geral do sistema homogéneo correspondente:
(
(a)
(c)
x1 + x2 + x3 = 1
;
x1 − x3 = 2


 x1 + x2 + x3 = 2


(b)


 x1 + x2 + x3 = 2


2x1 + x2 + x3 = 3 ;
3x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 8x2 + 6x3 = −2




x1 + 7x2 + 5x3 = 3
2x1 + x2 + x3 = 3 ; (d)
.

−2x1 − 9x2 + 5x3 = 7


3x1 + x2 + x3 = 5

x1 + 12x2 + 20x3 = 16
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Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006

Folha 5

1 −1 1 2


47. Para α, β ∈ IR, considere a matriz A =  1 α − 3 0 2  .
2 α−4 1 β
(a) Determine a factorização LU da matriz A.
(b) Indique para que valores de α e β se tem
i. car(A) = 2;
ii. car(A) = 3.
(c) Faça α = 1 e β = 4.
i. Determine uma base para o espaço das colunas de A.
ii. Mostre que (0, −1, −1) pertence ao espaço das colunas de A, C(A).
iii. Resolva o sistema homogéneo Ax = 0.
iv. Usando o resultado obtido na alı́nea iii., indique a solução geral de Ax =
h
0 −1 −1
Espaços Vectoriais
48. Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR4 são subespaços de IR4 :
(a) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 = 0 e x3 = x4 };
(b) (x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 + x3 = 0 e x4 é um inteiro não nulo};
(c) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x2 = 0};
(d) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 + x3 + x4 = 1}.
49. Diga quais dos seguintes subconjuntos de Mn (IR) são subespaços de Mn (IR) :
(a) o conjunto das matrizes triangulares superiores;
(b) o conjunto das matrizes simétricas;
(c) o conjunto das matrizes ortogonais.
50. Diga se o vector (2, 5, −3) pertence ao subespaço de IR3 gerado pelos vectores (1, 4, −2) e
(−2, 1, 3).
51. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de IR4 gerado
pelos vectores (1, 0, 2, 1) e (1, −1, 2, 2).
52. Considere os seguintes vectores de IR3 :
v1 = (1, 0, 2), v2 = (1, −1, 1), v3 = (0, −1, −1), v4 = (1, −1/2, 3/2).
Prove que o subespaço gerado por v1 e v2 coincide com o subespaço gerado por v3 e v4 .
53. Descreva geometricamente o subespaço de IR3 gerado por:
(a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0);
(b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1);
(c) os seis vectores indicados em (a) e (b).
iT
.
54. Sendo A m × n, mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v ∈ IRn }.
55. Escreva o vector (2, −3) de IR2 como combinação linear dos vectores
(a) (1, 0) e (0, 1);
(b) (1, 1) e (1, 2);
(c) (0, 1) e (2, −3).
56. (a) Escreva o vector nulo de IR2 como combinação linear dos vectores (2, −3) e (−4, 6) de
várias maneiras diferentes.
(b) Pode o vector nulo de IR2 escrever-se como combinação linear dos vectores (2, −3) e
(4, 6) em mais do que uma maneira ?
57. Verifique que o conjunto dos números complexos {1 + i, 2 − i} é
(a) linearmente independente no espaço vectorial real C;
(b) linearmente dependente no espaço vectorial complexo C.
58. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores IR3 são linearmente independentes e em
caso de dependência escreva um dos vectores como combinação linear dos outros:
(a) {(1, −2, 3), (3, −6, 9)};
(b) {(1, −2, −3), (3, 2, 1)};
(c) {(0, 1, −2), (1, −1, 1), (1, 2, 1)};
(d) {(0, 2, −4), (1, −2, −1), (1, −4, 3)};
(e) {(1, −1, −1), (2, 3, 1), (−1, 4, −2), (3, 1, 2)}.
59. Considere os vectores de IR4 :
v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, −1, 1, −1), v3 = (−2, 0, 1, 2), v4 = (3, −1, 3, −1).
(a) Mostre que {v1 , v2 , v3 } é linearmente independente.
(b) Mostre que {v1 , v2 , v4 } é linearmente dependente.
60. Discuta segundo os valores de µ a dependência ou independência linear dos vectores de IR4
v1 = (1, −2, −5, 8), v2 = (−1, 1, 1, 5), v3 = (1, 2, 11, µ).
61. Diga para que valores de α, β e γ, o conjunto dos vectores {(0, γ, −β), (−γ, 0, α), (β, −α, 0)}
é linearmente independente.
62. Considere os seguintes vectores de IR3 : v1 = (2, −3, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 1, −2).
(a) Mostre que {v1 , v2 , v3 } é uma base de IR3 .
(b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente a essa base.
63. Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de IR3 gerado pelos
vectores (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9).
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Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 6
64. Para cada um dos subespaços de IR4 encontrados no exercı́cio 48, determine a dimensão e
indique uma base.
65. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IRn , prove que se trata de um subespaço,
determine a dimensão e indique uma base.
(a) O conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais.
(b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ı́ndice par são nulas.
(c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ı́ndice par são todas iguais.
(d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, ...).
66. Considere os subespaços de IR4 :
F={(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 = x3 e x4 = 2x2 } e G = L{(1,0,1,0),(0,2,0,1), (-1,2,-1,1)}.
Determine a dimensão e indique uma base para F e G.
67. Indique uma base de IR4 que contenha os vectores v1 = (1, 0, 1, 0) e v2 = (0, −1, 2, 1).
68. Considere v1 = (1, α, 1),
v2 = (1, α − 1, 1),
v3 = (1, α + 1, 1),
v4 = (α, 1, 1).
Determine os valores de α ∈ IR para os quais o subespaço gerado por estes quatro vectores
de IR3 tenha dimensão 2.
69. Considere as bases B1 = {(5, 2), (7, 3)} e B2 = {(3, 2), (1, 1)} de IR2 .
(a) Determine a matriz de mudança da base B1 para a base B2 .
(b) Se as componentes de um vector v em relação à base B2 forem 1 e 4, quais são as
componentes de v em relação à base B1 ?
70. Seja B1 = {e1 , e2 , e3 } a base canónica de IR3 e v = αe1 + βe2 + δe3 um vector arbitrário
de IR3 . Considere os vectores f1 = (1, 1, 0), f2 = (1, 0, 1), f3 = (1, −1, 1).
(a) Verifique que B2 = {f1 , f2 , f3 } é uma base de IR3 .
(b) Determine a matriz de mudança da base B1 para a base B2 .
(c) Escreva, usando matrizes de mudança de base, o vector v como combinação linear da
base B2 .




0 0 1
0 0 1 2

 

71. Determine a caracterı́stica e o espaço nulo das matrizes  0 0 1  e  0 0 1 2  .
1 1 1
1 1 1 0
72. Para cada uma das matrizes do exercı́cio 71:
i. indique a caracterı́stica e a nulidade;
ii. determine uma base para o espaço das linhas e uma base para o espaço das colunas.


1 −α
2


73. Considere a matriz A =  α −1 3α − 1  , onde α é um parâmetro real. Determine
1 −1
3
para que valores de α a caracterı́stica de A é, respectivamente, 1, 2 e 3. Em cada caso,
determine bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de A.


1 2α 1


74. O mesmo que no exercı́cio anterior para a matriz A =  α 1 α  .
0 1 α
75. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1).
76. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo
contenha o vector (1, 0, 0) ?
77. Se A for uma matriz 64 × 17 com caracterı́stica 11, quantos vectores linearmente independentes satisfazem Ax = 0 ? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem
AT y = 0 ?
78. Será sempre verdade que nul(A) = nul(AT ) ?
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Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 7
Transformações Lineares
79. Para cada uma das seguintes aplicações, diga se é ou não linear.
(a) T :
IR2 −→
IR2
(x, y) → (x + 1, y)
(b) T :
IR2 −→
IR2
(x, y) → (x, y 2 )
(c) T :
IR3
−→
IR2
(x, y, z) → (2x, y + z)
(d) T :
IR2 −→
IR3
(x, y) → (x − y, 1, x)
(e) T :
IR3
−→
IR3
(x, y, z) → (x, 3x − y + z, 0)
(f ) T : CC −→ CC
z
→
z
80. Sejam T e P as aplicações de IR2 em IR2 definidas por T (x, y) = (y, x) e P (x, y) = (x, 0).
(a) Prove que T e P são lineares.
(b) Descreva T e P geometricamente.
81. Seja T : IR3 −→ IR2 a transformação linear definida por
T (1, 0, 0) = (1, 3), T (0, 1, 0) = (3, 1) e T (0, 0, 1) = (1, −1).
(a) Determine T (1, 2, 3).
(b) Determine os vectores x de IR3 tais que T (x) = (1, 2).
82. Seja T : IR3 −→ IR2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 1), T (1, 0, 0) = (1, −1).
Determine T (1, −1, 1) e T (−1, 1, −1).
83. Diga, justificando, se existe alguma transformação linear T : IR2 −→ IR2 tal que
T (1, 1) = (1, 0), T (2, −1) = (0, 1) e T (8, −5) = (4, 7).
84. Para cada uma das transformações lineares encontradas no exercı́cio 79, calcule uma matriz
A tal que T (v) = Av para todo o v (escrito como matriz coluna) do domı́nio.
85. Escreva a matriz da transformação linear T : IR3 −→ IR3 definida por
T (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x − z, 2z − x − y).
relativamente à:
(a) base canónica;
(b) base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
86. Determine a matriz que representa a transformação linear T : IR3 −→ IR2 definida
por T (x, y, z) = (x + y, x − z) relativamente às bases {(1, 0, −1), (1, 2, 1), (−1, 1, 1)} e
{(1, −1), (2, −1)}.
87. Seja T : IR3 −→ IR3 a transformação linear que é representada pela matriz


−1 0 1


A =  2 0 3 .
0 1 1
relativamente à base {(1, 0, 0), (1, −1, 0), (−1, 1, 1)} de IR3 . Calcule T (1, 1, 0).
88. Seja E um espaço de dimensão 3 sobre IR, {e1 , e2 , e3 } uma base de E e f : E −→ E uma
aplicação linear cuja matriz relativamente a essa base é


1 1
0


M (f ; {e1 , e2 , e3 }) =  −1 0 −1  .
0 1 −1
Sejam e01 = e2 , e02 = e1 + e3 , e03 = 2e1 + 3e2 . Prove que B = {e01 , e02 , e03 } é uma base de E e
determine M (f ; B).
89. Seja {e1 , e2 , e3 , e4 } uma base de um espaço vectorial real de dimensão 4, e f um endomorfismo desse espaço tal que




M (f ; {e1 , e2 , e3 , e4 }) = 
1
3
2
1
2
0 1
0 −1 2
5
3 1
2
1 3



.

(a) Determine M (f ; {e1 , e3 , e2 , e4 }).
(b) Determine M (f ; {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 }).
90. Sejam B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B 0 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} bases de IR3 . Seja
T a transformação linear T : IR3 −→ IR3 definida por
T (x, y, z) = (2y + z, x − 4y, 3x), (x, y, z) ∈ IR3 .
(a) Usando a definição de matriz de uma transformação linear relativamente a uma dada
base, determine:
i. a matriz A que representa a transformação linear T relativamente à base B de
IR3 , A = M (T ; B);
ii. a matriz A0 que representa a transformação linear T relativamente à base B 0 de
IR3 , A0 = M (T ; B 0 ).
(b) Verifique que
A0
h
v
i
B0
=
h
T (v)
i
B0
para todo o v ∈ IR3 .
(c) Calcule a matriz de mudança da base B para a base B 0 , P = M(B,B 0 ) .
(d) Confirme que A0 = P −1 AP.
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Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 8
Ângulos e Distâncias em IRn
91. No espaço IR3 , considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−3, 0, 1).
(a) Verifique que u e v são ortogonais.
(b) Calcule as normas de u e de v.
u
v
(c) Escreva os vectores kuk e kvk .
92. Calcule o ângulo que o vector (1, 1, ..., 1) ∈ IRn faz com os vectores da base canónica.
√
√
√
3
93. Mostre que
o
triângulo
em
IR
cujos
vértices
são
u
=
(
2,
0,
−
2),
v
=
(1,
−
2, 1) e
√
w = (−1, 2, −1) é rectângulo e isósceles.
94. Que múltiplo de v1 = (1, 1) devemos subtrair de v2 = (4, 0) para que o resultado seja
ortogonal a v1 ? Interprete geometricamente.
95. Seja F o subespaço de IR4 constituı́do pelos vectores ortogonais a (1, −1, 1, −1) e a (2, 3, −1, 2).
Determine uma base ortonormada para F.
96. Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormada para IR3 a partir dos vectores (1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 3, 4).
97. Seja F o subespaço de IR4 gerado pelos vectores (1, 1, −1, −2), (−2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7) e
(3, −3, −3, −9). Determine a dimensão de F e encontre uma base ortonormada para F.
98. Projecte o vector b = (1, 3, 2) sobre os vectores (não ortogonais) v1 = (1, 0, 0) e v2 =
(1, 1, 0). Mostre que, ao contrário do caso ortogonal, a soma das duas projecções não é
igual à projecção ortogonal de b sobre o subespaço gerado por v1 e v2 .
99. Calcule a projecção ortogonal do vector (2, −2, 1) sobre o plano gerado pelos vectores
(1, 1, 1) e (0, 1, 3).
100. (a) Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema


 x1 = 1


x2 = 1
x1 + x2 = 0.
(b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por x
a solução encontrada, determine a projecção p = Ax de b sobre o espaço das colunas de
A.
(c) Calcule o erro kAx − bk.
(d) Verifique que b − p é perpendicular às colunas de A.
101. Mesmo exercı́cio para o sistema


 x1 + 2x2 = 1


2x1 + 5x2 = 0
3x1 + 7x2 = 2.
102. Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema (com m equações e
uma incógnita) x = β1 , x = β2 , . . . , x = βm .
103. Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema do exercı́cio 46.(d)
subs-tituindo o segundo membro da última equação por 0.
104. Determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos mı́nimos quadrados, aos
seguintes pontos (e represente graficamente):
(a) (0, 0), (1, 0), (3, 12);
(b) (−1, 2), (1, −3), (2, −5), (0, 0).
105. Deduza uma fórmula geral para o cálculo do declive e da ordenada na origem da recta que
melhor se ajusta, no sentido dos mı́nimos quadrados, aos pontos (α1 , β1 ), . . . , (αm , βm ).
106. Considere os pontos (0, 0), (1, 0), (0, −1) de IR2 .
(a) Determine a recta que melhor se ajuste, no sentido dos mı́nimos quadrados, aos pontos
dados.
(b) Seja F = L{(0, 1, 0), (1, 1, 1)}. Usando a alı́nea anterior, determine o ponto de F mais
próximo de b = (0, 0, 1).


0
1
2

107. Considere a matriz  1 −1 −4 
.
−1 0
2
(a) Determine uma base para o espaço das colunas de A, C(A).
(b) Calcule a projecção ortogonal de b = (0, 1, 3) sobre C(A).
(c) Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema Ax = b.
108. Seja A a matriz do tipo 3 × 3 que admite a seguinte decomposição P A = LU, sendo






1 0 0
1 0 0
1 0 0






P =  0 0 1 ,L =  1 1 0 ,U =  0 1 1 .
0 1 0
−1 0 1
0 0 0
(a) Determine uma base ortogonal para o plano F gerado pelas colunas de A.
(b) Indique o ponto W de F cuja distância ao ponto (1, 1, 1) seja mı́nima.
(c) Indique, justificando, a distância de W ao ponto Az de IR3 onde z representa a solução,
no sentido dos mı́nimos quadrados, do sistema Ax =



h
1 1 1
iT
.

1 −1 −1
0


1 
109. Considere as matrizes A = 
 −1 1
, b =  1 .
−1 1 −1
1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Determine, para a matriz A, a respectiva factorização P A = LU.
Indique uma base e a respectiva dimensão para cada um dos espaços N (A) e C(A).
Determine uma base ortogonal para C(A).
Mostre que b não pertence a C(A) e determine o vector de C(A) mais próximo de b.
Usando a alı́nea anterior, determine a solução, no sentido dos mı́nimos quadrados, do
sistema Ax = b.
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Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Engenharia Civil
Ano lectivo 2005/2006
Folha 9
Valores Próprios e Vectores Próprios
110. Calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios de cada uma das seguintes
matrizes (indicando uma base para os espaços próprios).
"
(a)
"
(d)
4 −5
2 −3
1 1
0 1

#
"
;
(b)
2 1
−1 0
#
"
;

#
(c)

1 −1
0

2 −1 
(e)  −1
;
0 −1
1
;

−3 1 −1

(g)  −7 5 −1 
;
−6 6 −2
0 1
−1 0

#
;

3 2 4

(f)  2 0 2 
;
4 2 3


2 1 1

(h)  2 3 2 
.
3 3 4
111. Sabe-se que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios. Verifique que a recı́proca
não
é verdadeira
através
das matrizes
"
#
"
#
2 0
2 1
e
.
0 2
0 2


3
0 0


112. (a) Determine os valores e os vectores próprios da matriz  0 −1 0  .
0
0 2
(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.
113. Quais são os valores próprios de uma matriz triangular ?
114. Determine

4 1

(a)  0 3
0 0
os vectores próprios das seguintes matrizes:



0
α 1 0


1 
(b)  0 α 1  (estude os casos α = β e α 6= β).
;
2
0 0 β
115. Diga se cada uma das matrizes do exercı́cio 106 é ou não diagonalizável, e em caso afirmativo determine uma matriz diagonalizante.


1 1 1

116. Considere a matriz A =  1 1 1 
.
1 1 1
(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Determine um vector próprio de A, associado ao valor próprio 0, que tenha norma 1.
(c) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes
diferentes.


1 1 2


117. Considere a matriz A =  0 1 0  .
0 1 3
(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes
diferentes.
"
118. Calcule
3 4
5 2
#9
.
"
119. Considere a matriz A =
7 −4
9 −5
#
.
(a) Calcule os valores próprios de A.
(b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável.
120. Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A, determine uma matriz ortogonal
Q tal que Qt AQ seja diagonal.




"
#
7 2 0
2 1 1
6 2


(b) A = 
(c) A = 
(a) A =
 2 6 2 
 1 2 1 .
2 3
0 2 5
1 1 2


−1 −1 1

121. Seja A =  −1 −1 −1 
.
1 −1 −1
(a) Determine a caracterı́stica da matriz A − I e conclua que A − I é uma matriz não
invertı́vel.
(b) Sem efectuar cálculos, diga, justificando, qual o valor lógico da seguinte afirmação:
”O número 1 é valor próprio de A”.
(c) Justifique o facto de A ser uma matriz diagonalizável. Indique uma matriz diagonalizante de A.
122. Seja T uma transformação linear em IR3 tal que


2
0 −3


A = M (T ; B) =  −3 −1 3 
−1 0
0
onde B = {e1 , e2 , e3 } é a base canónica de IR3 .
(a) Recorrendo à definição de valor-próprio, mostre que λ = 3 é um valor-próprio de A,
a que está associado o vector-próprio x = (−3, 3, 1).
(b) Determine os valores-próprios da matriz A e os respectivos subespaços-próprios associados.
(c) Indique uma matriz diagonal que seja semelhante à matriz A e uma matriz P tal que
P −1 AP seja a matriz diagonal determinada (não necessita calcular P −1 ).