 RESUMO TEÓRICO – 1ª PARTE - Determinantes 11, 22 e 33 
 IDÉIA DO CONCEITO:
“Determinante como um nú mero que dá inf orm ações a r esp eito d e matrizes qu adrad as”.
 RESUMO:
 O Determinante de uma matriz 11, é o próprio elemento da matriz:
det
Exemplo: det
4 =
 a 11 =
a
=a
4 =4
 Regra prática para o cálculo de um Determinante 22:
Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e subtrai-se do produto dos elementos da diagonal
secundária.
a
c
b

=
d  22
det 
1
3
Exemplo: det 
2
4

 =

1
3
2
4
a
c
b
d
= ad  bc
= 14  23 = 4  6 = 2
 Regra prática para o cálculo de um Determinante 33, ou Regra de Sarrus:
a

det  d
g

b
e
h
c

f
=

i  33
a
d
g
b
e
h
c
f
i
1o Passo: copia-se as duas primeiras colunas ao lado da última coluna
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
b
d
e
g
h
2o Passo: multiplicam-se os 3 elementos da diagonal principal e os 3 elementos das duas diagonais
paralelas à principal:
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
b
d
e
g
h
aei
bfg
cdh
1
3o Passo: de maneira análoga ao 2o Passo multiplicam-se os 3 elementos da diagonal secundária e os 3
elementos das duas diagonais paralelas à secundária, porém, mudando o sinal do resultado:
a
d
g
 ceg
 afh
b
e
h
c
f
i
a
b
d
e
g
h
 bdi
4o Passo: Somam-se os resultados obtidos no 2o e 3o Passos:
a

det  d
g

b
e
h
 1

Exemplo: A =  - 3
 1

c

f
=

i  33
5
2
2
4
3
3
a
d
g
b
e
h
c
f = aei + bfg + cdh  ceg  afh  bdi
i


 det A =


 33
1
-3
1
5
2
2
1o Passo:
1
-3
1
5
2
2
4
3
3
4
3
3
?
2o Passo:
1
-3
1
1
-3
1
5
2
2
5
2
2
4
3
3
1
-3
1
123
3o Passo:
1
-3
1
5
2
2
5
2
2
531 4(3)2
4o Passo:
4
3
3
1
-3
1
5
2
2
det A = 6 + 15  24  8  6 + 45 = 28
421  132  5(3)3
2
 RESUMO TEÓRICO – 2ª PARTE – Desenvolvimento de Laplace 
 IDÉIA DO CONCEITO:
“O Desenvolvi mento de Laplace como ‘p ro cedi mento’ p ara o cálculo d e d et ermin antes d e
qualquer o rd em.”
 RESUMO:
 Para se calcular o Cofator (A
i j)
de um elemento a
i j
de uma matriz quadrada, basta calcular o
determinante da submatriz obtida pela eliminação da linha e coluna do elemento a
pelo número (  1)
i+j
 7

Exemplo: A =  - 3
 1

ij
e multiplicar tal resultado
.
3
2
4 

5  Cofatores A 1 1 e A 2 3 ?
3  33
2
Cofator A 1 1 : O elemento é a 1 1 = 7; vamos eliminar a linha e a coluna do 7 ( linha 1 e coluna 1 ) para obter a
submatriz, calcular seu determinante e então, multiplicar pelo fator (  1) 1 + 1 = (  1) 2 = 1.








A
11
= (  1) 1 + 1 
2
2
Cofator A 2 3 : O elemento é a
7
3
4
-3
2
5
1
2
3
5
3
23








Elementos para a
Submatriz
= (  1) 2  ( 23  52 ) = 1  ( 6  10 ) =  4  A
11
=4
= 5; vamos eliminar a linha e a coluna do 5 ( linha 2 e coluna 3 ) para obter a
submatriz, calcular seu determinante e então, multiplicar pelo fator (  1) 2 + 3 = (  1) 5.= 1.
Elementos para a
Submatriz
A
23
= (  1) 2 + 3 








7
1
7
3
4
-3
2
5
1
2
3
2
3








= (  1) 5  ( 72  31 ) = 1  ( 14  3 ) =  11  A
23
=  11
3
 O Desenvolvimento de Laplace é usado para o cálculo de um determinante de ordem maior que 1 e consiste dos
seguintes passos:
 1

Exemplo: A =  - 3
 1

5
2
2
4
3
3


 det A =


 33
1
-3
1
5
2
2
4
3
3
?
1o Passo: escolhe-se uma fila ( linha ou coluna ) e calcula-se os cofatores dos elementos desta fila.
(É conveniente escolher a fila com o maior numero de zeros!)
Escolhendo, por exemplo, a 1a Linha, devemos calcular os cofatores A
11
A 1 1 = (  1) 1 + 1 
2
2
3
3
A 1 2 = (  1) 1 + 2 
-3
1
3
3
= (  1) 3  ( 33  31 ) = 1  ( 9  3 ) = 12
A 1 3 = (  1) 1 + 3 
-3
1
2
2
= (  1) 4  ( 32  21 ) = 1  ( 6  2 ) =  8
, A12 e A
= (  1) 2  ( 23  32 ) = 1  ( 6  6 ) = 0

.
A 11 = 0


13
A 1 2 = 12
A 13 =  8
2o Passo: o determinante será dado pela soma de cada elemento, da fila escolhida, multiplicado pelo
respectivo cofator.
1
-3
1
det A =
5
2
2
4
3
3
= a 11  A 11 + a 12  A 12 + a 13  A 13 = 1  0 + 5  12 + 4  ( 8) =
= 0 + 60 + (32)
= 28
 ATIVI D ADES BÁSIC AS:
1) Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
a) A =  5

- 3
 2
e) E = 
1

i) I =  2
3

b) B =
2

4 
5
4

3
1
1
2 
 -7 
 1
- 3
f) F = 
1

j) J =  2
3

3
2
13
g) G = 
11
 1

k) K =  - 1
2

c) C = 
2

4 
-2
-1
1
3
2
2





2

4 
7

5 
3
0
5
1
3
1
h) H = 
x
d) D = 
2

4 
x

y 
2

-2 
1 
4
2) Resolva as seguintes equações:
a)
2a
-4
5
-1
=0
1
0
2
b)
m
-1
m
2
3
4
= 111
 2x
3) Para que valores de x os determinantes das matrizes 
-3
 1
3
2
 eB=
4 
4) Dadas as matrizes A = 
a) det A
c) det (A t )
b) det B
x
- 2  
e 1
x  
2

x
2
2
3
0 
3  são iguais?

5 

 3 -2

 . Calcule:
 0 - 1
d) det (AB)
e) det A  det B
f) det (3A)
5) Observando o exercício anterior, para as matrizes A e B, conforme acima, assinale V
“Verdadeiro” e F para “Falso”.
a) det A = det (A t )
[
]
b) det A  det B = det (AB)
[
2
c) det (3A) = 3det A
[
]
d) det (3A) = 3 det A
[
6) Dada a matriz
 1

A=  2
 -1

a) O cofator A11
2
1
2
0
3
-3
b) O cofator A12
2

7) Calcule o det  3
4

0
0
-3
para
]
]


 obter:


c) O cofator A13
d) det A
-1 

2 :
7 
a) pela regra de Sarrus
b) usando o desenvolvimento de Laplace
2

5
8) Dada A = 
0

3

2

5
9) Dada A = 
0

3

0
3
1
1
0
2
-1
-2
0
3
0
1
0
2
0
-2
-2 

4
, calcule det A.
2

0 
- 2

4
, calcule det A.
2

0 
10) Calcule o determinante das seguintes matrizes identidades:
1
0
a) I 2 = 
0

1 
1

b) I 3 =  0
0

0
1
0
0

0
1 
1

0
c) I 4 = 
0

0

0
0
1
0
0
1
0
0
0

0
0

1 
d) I n
5
 ATIVIDADES EXTRAS – PARTE A 
4 
11) (PUCRS 2014) Dadas as matrizes A  1 2 3  e B  5  , o determinante det  A  B  é igual a
 6 
a) 18
b) 21
c) 32
d) 126
e) 720
12) (PUCPR 2010) Considere as seguintes desigualdades:
2 2 3 4

1 4 1 5
I.
II.
III.
3 6
5 2

4
7
1 5
8
1
9 2

2 6 1 7
É correto afirmar que:
a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) As três desigualdades são verdadeiras.
e) As três desigualdades são falsas.
13) (G1 - CFTSC 2008) Calcule o valor de x para que se tenha
a) -3.
b) 6.
c) 0.
d) 3.
x 3 0
4 2
e) -6.
14) (G1-IFBA 2012) A quantidade de números naturais que satisfazem à inequação abaixo é:
1 x 5
1
1 1 1

1
1
x5 1
x5 1
a) Infinitos
b) Nenhum
c) 4
d) 5
e) 6
2
15) (PUCMG 2004) Considere as matrizes A  
1  e B   3  1 .
  3 4
  2 2 
É CORRETO afirmar que o valor do determinante da matriz AB é:
a) 32
b) 44
c) 51
d) 63
 x 2
1 x 
16) (ESPM 2011) Dadas as matrizes A  
eB

 a diferença entre os valores de x, tais
1 1
 1 2 
que det(A  B)  3x, pode ser igual a:
a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1
6
1  1 , B    x 1 e det(AB)  2 ,
17) (FATEC 2008) Se x é um número real positivo tal que A  
 x
0 
 1  1
então x  x é igual a
a) - 4
b)
1
4
 3

18) (PUCRS 2001) Se A   5
4

 5
a)  1
c) 1
d) 2
4
5  e B   1
3
  2

5
b) 1
e) 4


1 então
det A 2 B 2 é igual a
3
d) 
c) 5
7
5
e)
7
5
19) (UFRRJ 2001) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2, se i < j e aij = 3i + j, se i ≥ j,
encontre o DETERMINANTE da matriz At.
20) (UNESP 2001) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij =  1 + 2i + j, para 1 ≤ i ≤ 2,
1 ≤ j ≤ 2. O determinante de A é:
a) 22.
b) 2.
c) 4.
d)  2.
e)  4.
 PARTE B 
21) (MACKENZIE 2001) Se A = (aij) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que
aij =  3, se i = j e aij = 0, se i ≠ j , então o determinante de A vale:
a)  27
b) 27
c) 1/27
d)  1/27
e) zero
22) (Uel 2001) O determinante mostrado na figura a seguir
1
0
x
é positivo sempre que
a) x > 0
b) x > 1
0
x
0
1
0
1
c) x < 1
x
23. (PUCPR 2001) O valor de x no determinante log 9 3
2
a) 1
b) 2
c) 3
d) x < 3
2
4
1
e) x > -3
log 3 9
 1  5 é:
3
d) 4
e) 5
a  10,se i  j
24) (MACKENZIE 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que  ij
e B = (bij)3x3 tal que
 aij  0,se i  j
bij  3,se i  j
, o valor de det(AB) é

bij  0,se i  j
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32 x 102
e) 27 x 104
7
25) (ESPM 2010) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a:
1
1
log4
log2 
a) 0,36
b) 0
1
log16
2
log 4 
log 400
2
log20 
2
c) 3
d) 0,74
e) 0,42
1 0 0 
26) (UECE 2010) Se n é um número inteiro positivo e X é a matriz 1 2 0  , então o valor do
1 1 3 
determinante da matriz Y = Xn é
a) 2n
b) 3n
c) 6n
1
2
3
2
27) (UECE 2007) Considere a matriz M  2
3
é igual a :
a) 14
b)  14
d) 9n
3
2  . A soma das raízes da equação det M 2  25
x 
 
d)  17
c) 17
28) (UFC 2002) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96
x
29) (UEPB 2014) Se x e y são números reais não nulos e x
x2  y2
y
0
2 3
é:
a) 10
b) 4
30) (UEPB 2013) A equação
c) 7
log(x  1) 1
0
1
1
0
x2
5
d) –5
 0, então o valor de 2x  3y
e) 5
 0 tem como solução real os valores de x:
log(x  1) 1 log(x  1)
a) 2 e 10
b) 0 e 2
c) 3 e 11
d) 4 e 11
e) 2 e 11
3 x  x 
31) (UFPR 2012) Considere o polinômio p(x)  3 x 4  .
 x 3 3 
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, deixando claro se utilizou propriedades de
determinantes ou algum método para obter as raízes do polinômio.
8
 RESPOSTAS – ATIVIDADES EXTRAS – PARTES A e B 
11) Alternativa C.
Solução: A  B  1 4  2  5  3  6  32 e det(A  B)  32
12) Alternativa B.
I) 8 – (– 2) > 15 – 4 (falsa).
II) – 6 + 30 < 20 + 7(verdadeira).
III) – 48 + 2 > – 63 + 2(verdadeira).
13) Alternativa E.
14) Alternativa E.
Solução:
1
1
x5 1

1 x 5
1
1
6x 
 6  x Logo,
6x
(x  6)
6x
6x 1
 x  5
 1
x5
Portanto, os números naturais que satisfazem a equação são 0, 1, 2, 3, 4 e 5 (6 números).
15) Alternativa B.
16) Alternativa C.
Solução: De acordo com o Teorema Binet, segue que
det(A  B)  3x  det A  det B  3x
 (x  2)  (x  2)  3x
 x 2  3x  4  0
 x  1ou x  4.
Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A  B)  3x, pode ser igual a 4  ( 1)  5 .
17) Alternativa B.
18) Alternativa B.
19) det (At) = 18
21) Alternativa A.
22) Alternativa B.
23) Alternativa B.
20) Alternativa D.
24) Alternativa A.
Solução:
10 0 0 
3
A   0 10 0   det A  103 e B   0
 0 0 10 
0



0
3
0
0
0   det B  33
3 
det(A.B) = det(A).det(B) = 103.33= 27.103
9
25) Alternativa E.
Solução:
1
1
log4
1
1
log 400 = 0,6
log16
log2 
2
 log 4 
2
 log20 
2
1
1,2
1
2,6 =
0,09 0,36 1,69
1,2.1,69 + 0,6.0,36 + 0,09.2,6 – 1,2.0,09 – 0,36.2,6 – 1,69.0.6=
= 0,6.1,69 – 2.0,36 +1,4.0.09 = 0,42
26) Alternativa C.
Solução: O determinante da matriz dada é 1.2.3 = 6. Então, o determinante de x n será 6n.
27) Alternativa B.
28) Alternativa E.
29) Alternativa E.
Solução:Desenvolvendo o determinante da equação, temos:
3x3  5xy  3x  (x 2  y 2 )  2x2 y  0
3x3  5xy  3x3  3xy 2  2x 2 y  0
5xy  3xy 2  2x2 y  0
xy( 5  3y  2x)  0
Como o produto  x  y  é não nulo, temos:
3y  2x - 5  0  2x  3y  5
30) Alternativa E.
Solução:
log(x  1) 1
0
1
1
0
 0  log(x  1)[log(x  1)  1]  0
log(x  1) 1 log(x  1)

log(x  1)  0
ou
log(x  1)  1  0
 x  2 ou x  11.
3 x x
3 x x 3 x
31) Solução: p(x)  3 x 4  p(x)  3 x 4 3 x  x3  4x 2  9x  36
Aplicando Re gra de Sarrus
x 3 3
x 3 3 x 3
Portanto: (fatorando o polinômio)
p(x)  x3  4x 2  9x  36
 p(x)  x 2  x  4   9(x  4)
 p(x)  x2  x  4   9(x  4)
 x 2  9  0  x  3
 p(x)  (x2  9)  x  4   
 x  4  0  x  4
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