–––
Questão 01
Uma mola comprimida por uma deformação x está em contato com um corpo de massa m , que se encontra
inicialmente em repouso no Ponto A da rampa circular. O corpo é liberado e inicia um movimento sem atrito na rampa.
Ao atingir o ponto B sob um ângulo θ indicado na figura, o corpo abandona a superfície da rampa. No ponto mais
alto da trajetória, entra em contato com uma superfície plana horizontal com coeficiente de atrito cinético μ . Após
deslocar-se por uma distância d nesta superfície horizontal, o corpo atinge o repouso. Determine, em função dos
parâmetros mencionados:
a) a altura final do corpo H f em relação ao solo;
b)
a distância d percorrida ao longo da superfície plana horizontal.
Dados:
• aceleração da gravidade: g ;
•
•
constante elástica da mola: k ;
raio da rampa circular: h .
Resolução:
a)
Considere o esquema:
EMB  EMA
mvB2 kx 2

 m g h cosθ
2
2
kx 2
vB2 
 2 gh cosθ  I 
m
EMC  EMA
m  vc2
kx 2
 mg  H f 
 m g h.
2
2

kx 2
m  kx 2
m g .H f 
 mgh   
 2 gh  cosθ   cos 2 θ
2
2  m

b)
Hf 
kx 2
kx 2
2 mgh cos3 θ
h
cos 2 θ 
2 mg
2mg
2 mg
Hf 
kx 2
 1  cos 2 θ   h  h cos3 θ
2mg
Hf 
kx 2
sen 2θ  h  1  cos3 θ 
2mg
τ Fat  ΔEc
m . vc2
2
2


1 kx
μ g d  
 2 gh cosθ   cos 2 θ
2  m

μ m g d  
d

cos 2 θ  kx 2

 2 gh  cosθ 
2μg  m

Questão 02
Um corpo com massa m , inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal e preso a uma mola de constante
elástica k , representado na figura, recebe um impulso I , para a direita, dando início a um Movimento Harmônico
Simples (MHS). Inicialmente não existe atrito entre o corpo e a superfície horizontal devido à presença de um lubrificante.
Contudo, após 1000 ciclos do MHS, o lubrificante perde eficiência e passa a existir atrito constante entre o corpo e a
superfície horizontal. Diante do exposto, determine:
a) a máxima amplitude de oscilação;
b) o módulo da aceleração máxima;
c) a máxima energia potencial elástica;
d) a distância total percorrida pelo corpo até que este pare definitivamente.
Dados:
• massa do corpo: m  2 kg ;
•
impulso aplicado ao corpo: I  4 kg.m / s ;
•
•
constante elástica da mola: k  8 N / m ;
coeficiente de atrito: μ  0,1 ;
•
aceleração da gravidade: g  10 m / s 2 .
Observação:
• a massa da mola é desprezível em relação à massa do corpo.
Resolução:
2
a)
Pelo teorema do Impulso, temos:
I  Q  m  v  m  vo
I  m v  0
4  2 v
v  2 m/s
Conservação da energia
Em x0  Em x A
m . v 2 kA2

2
2
2  2 2  8  A2
b)
A2  1
A  1m
Aceleração máxima
FR  m  a
FRmáx  m  amáx
 kA  m  amáx
amáx
kA
m
8.1

2
 4 m/s 2
E pe

amáx 
amáx
c)
E pe
E pe
d)
máx
máx
kA2
2
8.1

2
 4J
máx
O corpo percorrerá a distância correspondente aos 1000 ciclos iniciais (4 metros cada ciclo), mais a distância  d  percorrida no
movimento com atrito.
Força dissipativa atuante.
fatc  μc  N  μ  mg (constante)
Logo o trabalho será:
τ fat   fat  d  μ  m g  d
Quando o corpo parar definitivamente, ele terá perdido toda a energia mecânica
τ fat  Δ Em
τ fat  Em f  Emo  0  4
τ fat  4J
μ  m  g  d  4
2d  4
d  2m
A distância total será:
D  1000 4  2  4002m
Questão 03
3
Um feixe de elétrons atravessa um capacitor carregado e furado em suas duas placas paralelas ao plano yz , sendo
acelerado durante a sua permanência no interior do capacitor, conforme as figuras. Logo após deixar o capacitor, o feixe
penetra em uma região do espaço sujeita a um campo magnético uniforme, conforme indicado nas figuras. Sabendo
que a coordenada x de qualquer elétron do feixe é não decrescente, determine:
a) o módulo da velocidade final dos elétrons;
b) as coordenadas do ponto onde o feixe deixa a região sujeita ao campo magnético;
c) a tensão E para que se obtenha θ  0 ;
d) os valores α e β tais que, para um valor muito alto de E , a coordenada x do ponto onde o feixe de elétrons
deixa a região do campo magnético possa ser aproximada por X saída  αEβ .
Dados:
• carga do elétron: q ;
• massa do elétron: m ;
• tensão aplicada ao capacitor: E ;
• capacitância do capacitor: C ;
• coordenadas do vetor campo magnético dentro da região ABCD : (0, 0,  B) ;
• comprimento dos segmentos AB e CD : L;
• comprimento dos segmentos BC e AD : infinito;
• velocidade inicial do feixe de elétrons: v0 .
Observações:
• todas as respostas não devem ser expressas em função de θ ;
• a trajetória do feixe antes de entrar no capacitor coincide com o semieixo x negativo;
• o campo elétrico no interior do capacitor é constante;
• não há campo gravitacional presente.
Resolução:
a)
Para os elétrons entre as placas do capacitor:
WRES  ΔEc
mv 2 mvo2

2
2
mv 2 mvo2
q .  E  

2
2
2qE
2
2
 v  vo
m
2qE
v  vo2 
m
q .U 
b)
Fm  q  v  B  sen 90º
Fm  q  v  B
Fm  Fcp
m v2
R
mv
R
1
q B
q vB 
Elevando-se ao quadrado todos os termos da equação 1 , temos:
R 2 q 2 B 2  m 2v 2
2qE 

R 2 q 2 B 2  m 2  vo2 

m 

R
m
2qE
vo2 
qB
m
4
Da figura anterior temos:
R 2   R  L   X c2
2
R 2  R 2  2 RL  L2  X c2
X c2  2 RL  L2
X c2 
2mL 2 2qE
vo 
 L2
qB
m
2mL 2 2qE
vo 
 L2
qB
m
Xc 
Logo, as coordenadas do ponto C são:


 2mL

2qE
2
2
C 
vo 
 L , L,0 
m
 qB
yc zc 


X
c


c)
Da figura anterior:
RL
sen θ 
R
R sen θ  R  L
L  R 1  sen θ 
Para θ  0 , sen 0  0 , então:
RL
m2  2 2qE 
2
 vo 
L
q2 B2 
m 
2qE L2 q 2 B 2

m
m2
2qE L2 q 2 B 2

 vo2
m
m2
L2 qB 2 mvo2
E

2m
2q
vo2 
d)
Para a tensão E muito grande, temos:
v2
m  v  vo2 
2
E
2q
 E
mv 2
2q
2mL 2qE

 L2
qB
m
Xc 
X c2  L2 
2mL 2qE
qB
m
X c2  L2 
8 mL2 E
qB 2
Se a tensão ‘E’ é muito grande, o raio ‘R’ também será, logo: X c  L 
X c2
1 8mL2 E
1  2
2
L
L
qB 2
X c2
1 8mL2 E
 2
2
L
L
qB 2
Xc 
4
8mL2 E
8mL2
1
4
E 4
2
qB
qB 2
Logo: X c  X saída
8 mL2 14
 E  α. E β
qB 2
Portanto:
4
α
4
1
8 mL2
e β
4
qB 2
5
Xc
 1
L
Questão 04
Considere a figura acima. A bobina I, com N1 espiras, corrente i e comprimento L , gera um campo magnético
constante na região da bobina II. Devido à variação da temperatura da água que passa no cano, surge uma tensão
induzida na bobina ll com N 2 espiras e raio inicial ro . Determine a tensão induzida na bobina II medida pelo voltímetro
da figura.
Dados:
• permissividade da água: ;
• coeficiente de dilatação da bobina: ;
• variação temporal da temperatura: b .
Observações:
•
considere que
r2
t
2rO
r
, onde
t
r e
t são respectivamente, a variação do raio da bobina II e a variação do
tempo;
• suponha que o campo magnético a que a bobina II está sujeita é constante na região da bobina e igual à
determinada no eixo central das bobinas.
Resolução:
Considerando que o campo magnético produzido pela bobina I é uniforme em toda a região interna, temos:
MN1i
B1
L
Aplicando a lei de Faraday-Newmam, temos:
N 2 B1 A
Eind
t
t
como N 2 e B1 não variam com o tempo:
Eind
Eind
r
r
t
Eind
r2
A
N 2 B1
t
t
r2
r
N 2 B1
N 2 B1 2rO
t
t
rO
T (devido ao aquecimento da água)
N 2 B1
rO
T
rO b
t
2 N1 N 2i brO2
L
Questão 05
6
A figura mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por barras fixadas por pinos. As barras AE e DE são feitas de um
material uniforme e homogêneo. Cada uma das barras restantes tem massa desprezível e seção transversal circular de
16 mm de diâmetro. O apoio B, deformável, é elástico e só apresenta força de reação na horizontal. No ponto D, duas
cargas são aplicadas, sendo uma delas conhecida e igual a 10 kN e outra na direção vertical, conforme indicadas na
figura. Sabendo que a estrutura no ponto B apresenta um deslocamento horizontal para a esquerda de 2 cm, determine:
a) a magnitude e o sentido da reação do apoio B;
b) as reações horizontal e vertical no apoio A da estrutura, indicando seu sentido;
c) a magnitude e o sentido da carga vertical concentrada no ponto D;
d) o esforço normal (força) por unidade de área da barra BC, indicando sua magnitude e seu tipo (tração ou
compressão).
Dados:
• aceleração da gravidade: g
• densidade linear de massa:
•
10 m/ s 2 ;
100 kg/ m ;
constante elástica do apoio B: k 1600kN/ m .
Resolução:
a)
F K x
F 1600 103 2 10
d)
b)
A
r2
F
A
32kN
2 10 4 m2
2
3,14 8mm
3,2 104 N
32kN , para a direita.
2
201mm2
16 107 N/ m2
2,0 10 4 m2
160 106 Pa 160MPa , sendo um esforço de tração.
Vamos representar as 7 forças externas que atuam na estrutura:
As forças externas à estrutura são:
P1 2000 N 2kN da barra DE
6kN da barra EA
P2
10kN horizontal
carga vertical em D
VD
Reação do apoio B 32kN , horizontal para a direita
RAx reação horizontal do apoio A
reação vertical do apoio A.
RAy
Força resultante horizontal = 0
10kN 32k N RAx 0 RAx 42kN , para a esquerda
Força resultante vertical = 0
P1 P2 VD RAy
RAy equação (I)
8kN VD
MD
0
P1 1 P2 3 32000 1,5 RAy 4 0
2000 18000 48000
RAy
c)
4 RAy
68000
17 k N , para cima
4
Utilizando a equação I:
8kN VD RAy
8kN VD
VD
17kN
9kN , para baixo.
7
Questão 06
A figura acima apresenta um circuito composto por quatro baterias e três resistores. Sabendo-se que I1 é igual a 10
determine, em função de U e R :
a) a resistência r ;
b) o somatório de I1 , I 2 e I 3 ;
c) a potência total dissipada pelos resistores;
d) a energia consumida pelo resistor 3R em 30 minutos.
Resolução:
Partindo do ponto A para analisar o circuito:
Os pontos B, C e D tem potenciais:
VB VA U
VC
VA
3U
VD
VA
2U
a)
Olhando os resistores
Vemos que as correntes x , y , z se relacionam com i1 , i2 , i3 da seguinte maneira: (Lei dos nós, Kirchhoff)
x
y
z
y
*z
i3
i2
x i1
E podemos obter x , y , z :
5V
b)
R y
4V r z
V
U
U
x
y 5
z 4
R
r
Então, de * temos:
U 1 U
U
R
4
10
, multiplicando por
r 3 R
R
U
R 1
4
10
r 3
R 31
4
r
3
12 R
r
31
U
i1 10
z y
i2
R
3R x
1 U
3 R
i3
x
y
8
U
,
R
U
r
4 U
12 R
31
31 U
3 R
5U
R
5U
R
4
i2
Logo: i1 i2
c)
i3
Em R
POt1 R y 2
25U 2
R2
25U 2
R
POt1
R
POt1
10
U
R
E
POt2
i3
i2
i3
5 U
R
46 U
3 R
46 U
3 R
15U 1 U
3R 3 R
16 U
3 R
i2
16 U
3 R
0 , como era esperado pela lei dos nós em A.
Em 3R
POt2 3R x2
POt2
3R
POt2
U2
3R
Então a potência total: POtT
d)
i2
POt1
Em r
POt3 r z 2
1U2
9 R2
POt3
POt3
POt2
POt3
12 R 312 U 2
31
9R2
124 U 2
3 R
200 U 2
3 R
t , adotando U e R no S.I.
2
E
E
U
1800
3R
U2
600
R
Questão 07
A figura acima apresenta duas fontes sonoras P e Q que emitem ondas de mesma frequência. As fontes estão presas às
extremidades de uma haste que gira no plano da figura com velocidade angular constante em torno do ponto C ,
equidistante de P e Q . Um observador, situado no ponto B também no plano da figura, percebe dois tons sonoros
simultâneos distintos devido ao movimento das fontes. Sabendo-se que, para o observador, o menor intervalo de tempo
entre a percepção de tons com a máxima frequência possível é T e a razão entre a máxima e a mínima frequência de
tons é k , determine a distância entre as fontes.
Dado:
• velocidade da onda sonora: v .
Observação:
• a distância entre B e C é maior que a distância entre P e C .
Resolução:
9

2
2
p
 2T
p



T
f máx
f

d
v
v
2
f mín
f

d
v
v
2
f máx
k
f mín
d
v
f máx
2  kv  d k  v  d
k

f mín v  d
2
2
2
d
 k  1 v   k  1
2
2  k  1 vT
d
  k  1
Questão 08
A figura acima mostra uma rampa AB no formato de um quarto de circunferência de centro O e raio r . Essa rampa
está apoiada na interface de dois meios de índices de refração n1 e n2 . Um corpo de dimensões desprezíveis é lançado
do ponto A com velocidade escalar v0 , desliza sem atrito pela rampa e desprende-se dela por efeito da gravidade.
Nesse momento, o corpo emite um feixe de luz perpendicular à sua trajetória na rampa, que encontra a Base 2 a uma
distância d do ponto P .
Determine:
a) a altura relativa à Base 1 no momento em que o corpo se desprende da rampa, em função de v0 ;
b)
o valor de v0 para que d seja igual a 0,75 m ;
c) a faixa de valores que d pode assumir, variando-se v0 .
Dados:
• aceleração da gravidade: g  10 m/s2 ;
•
raio da rampa: OA  2 m ;
•
•
espessura do meio 2 : h  1 m ;
índice de refração do meio 1 : n1  1 ;
•
índice de refração do meio 2 : n2  4 / 3 .
Resolução:
mv 2
 mg  cos 
R
v2  Rg  cos 
10
a)
m  v02
mv 2
 mgh 
2
2
2
v0
Rg  cos 
 gh 
2
2
v02
Rg h
 gh 

2
2 2
v02
 10h  5h
2
v02
 15h
2
v2
h 0
30
b)
9
16
25 5
k2 

16 4
k 2  12 
4
 sen 
3
3
4
1  sen    4
3 5
4
4 3 4
sen    
3 4 5
sen   ,8  cos   0,6
h
 0,6  h  1,2 m
2
v2
Como: h  0
30
1  sen  
v02  30  1, 2
v0  36
v0  6 m/s
c)
Para incidência rasante
1  sen 90 
4
 sen 
3
3
4
1  cotg2   cossec2 
1 16
1 2 
d
9
sen  
1 16
 1
d2 9
1 7
9
3 7
  d2   d 
m
d2 9
7
7
0d 
3 7
m
7
11
Questão 09
Uma fábrica produz um tipo de resíduo industrial na fase líquida que, devido à sua toxidade, deve ser armazenado em
um tanque especial monitorado à distância, para posterior tratamento e descarte.
Durante uma inspeção diária, o controlador desta operação verifica que o medidor de capacidade do tanque se
encontra inoperante, mas uma estimativa confiável indica que 1/ 3 do volume do tanque se encontra preenchido pelo
resíduo. O tempo estimado para que o novo medidor esteja totalmente operacional é de três dias e neste intervalo de
tempo a empresa produzirá, no máximo, oito litros por dia de resíduo.
Durante o processo de tratamento do resíduo, constata-se que, com o volume já previamente armazenado no tanque,
são necessários dois minutos para que uma determinada quantidade de calor eleve a temperatura do líquido em 60º C.
Adicionalmente, com um corpo feito do mesmo material do tanque de armazenamento, são realizadas duas experiências
relatadas abaixo:
Experiência 1: Confecciona-se uma chapa de espessura 10 mm cuja área de seção reta é um quadrado de lado
500 mm . Com a mesma taxa de energia térmica utilizada no aquecimento do resíduo, nota-se que a face esquerda da
chapa atinge a temperatura de 100º C enquanto que a face direita alcança 80C º.
Experiência 2: A chapa da experiência anterior é posta em contato com uma chapa padrão de mesma área de seção
reta e espessura 210 mm. Nota-se que, submetendo este conjunto a 50% da taxa de calor empregada no tratamento do
resíduo, a temperatura da face livre da chapa padrão é 60º C enquanto que a face livre da chapa da experiência atinge
100º C.
Com base nestes dados, determine se o tanque pode acumular a produção do resíduo nos próximos três dias sem risco
de transbordar. Justifique sua conclusão através de uma análise termodinâmica da situação descrita e levando em conta
os dados abaixo:
Dados:
• calor específico do resíduo: 5000 J/kg ºC;
• massa específica do resíduo: 1200 kg/m3;
• condutividade térmica da chapa padrão: 420 W/m ºC.
12
Resolução:
Experiência 1
K  A  1
1  1
e1
  K1
A 100  80 
e1
K A
  20 1
e1
Experiência 2
Fluxo na primeira chapa
K  A  1
1  1
e1
A  100  T 

 K1
2
e1
  2 100  T  
K1 A
e1
Logo:
K A
K A
20 1
 2 100  T   1
e1
e1
20  200  2T
T  90º C
(Temperatura na interface entre as duas chapas)
Fluxo na chapa padrão

A  2
2   K 2 
2
e2
500 10   90  60
  2  420 
3 2
210  103
  30000 J/s

Q
t
30000 
Q
120
Q  3,6  106 J
Massa do resíduo:
Q  m  c  T
3,6 106  m  5000  60
m  12 kg
12
V  0,01 m3
 V  10
1200
1
do volume, ou seja, a capacidade do tanque é 30 .
10 equivalem a
3
Como já existem 10 , ao se adicionarem 24 ocorrerá o transbordamento.

m
V
V
13
Questão 10
Quatro corpos rígidos e homogêneos (I, II, III e IV) de massa específica  0 , todos com espessura a (profundidade em
relação à figura), encontram-se em equilíbrio estático, com dimensões de seção reta representadas na figura. Os corpos
I, II e IV apresentam seção reta quadrada, sendo: o corpo I apoiado em um plano inclinado sem atrito e sustentado por
um fio ideal; o corpo II apoiado no êmbolo menor de diâmetro 2a de uma prensa hidráulica que contém um líquido
ideal; e o corpo IV imerso em um tanque contendo dois líquidos de massa específica 1 e  2 . O corpo III apresenta
seção reta em forma de H e encontra-se pivotado exatamente no ponto correspondente ao seu centro de gravidade.
Um sistema de molas ideais, comprimido de x, atua sobre o corpo III. O sistema de molas é composto por três molas
idênticas de constante elástica K1 associadas a outra mola de constante elástica K 2 . No vértice superior direito do corpo
III encontra-se uma força proveniente de um cabo ideal associado a um conjunto de polias ideais que sustentam o corpo
imerso em dois líquidos imiscíveis. A parte inferior direita do corpo III se encontra imersa em um dos líquidos e a parte
inferior esquerda está totalmente apoiada sobre o êmbolo maior de diâmetro 3a da prensa hidráulica. Determine o
ângulo  do plano inclinado em função das variáveis enunciadas, assumindo a condição de equilíbrio estático na
geometria apresentada e a aceleração da gravidade como g .
Resolução:
Se o sistema como um todo encontra-se em equilíbrio, podemos analisar separadamente os equilíbrios de cada corpo.
F
F
y
 0  N1  P1 y
x
 0  T1  P1x
T1  P1  sen 
Onde P1  4a30 g
 T1  4a30 g sen 
F
V
(i)
 0  N2  P2  a30 g
No sistema hidráulico, temos (Princípio de Pascal)
N2
N3
N
N

 2  3
(2a) 2   3a 2
4
9
4
4
9
9 3
N3  N 2  a 0 g (ii )
4
4
14
F
V
 0  2T4  E1  E2  P4  0
P4  E1  E2 

2

onde


3
P4  40 a 3 g
 T4  a g  20  1   2 

E1  21a 3 g


E2  20 a 3 g


T4 
Keq 
(iii )
3K1K 2
3K1  K 2
Fe  Keq  x
 Fe 
3K1K 2
 x (iv)
3K1  K 2
M

0
 Fe 2a  T1a  E3  2a  N3  2a  T4  4a  0
2Fe  T1  2E3  2 N3  4T4  0
Substituindo i, ii, iii e iv na equação acima:
3K1K 2
9
2
 x  4a30 g sen   2  4a31g  2 a30 g 4a3 g  20  1  2   0
3K1  K 2
4
9
6 K1K 2 x
4a30 g sen   8a30 g  4a31g  4a32 g  8a31g  a30 g 
2
3K1  K 2
4a30 g sen  
 sen  
25 3
6K1K 2 x
a 0 g  12a31g  4a32 g 
2
3K1  K 2
25
 
6 K1K 2 x
3 1  2  3
8
0 0 4a 0 g  3K1  K 2 
 25

 
3K1K 2 x
  arcsen   3 1  2  3

0 0 2a 0 g  3K1  K 2  
 8
15
Física
Anderson
André Villar
Cícero
Marcelo
Marcos
Moisés
Vinícius Miranda
Wesley
Colaboradores
Aline Alkmin, Carolina Chaveiro, Igor Macedo, José Diogo,
Moisés Humberto, Nathally Cortez, Paulo Adorno
Digitação e Diagramação
Daniel Alves
Érika Rezende
João Paulo
Valdivina Pinheiro
Desenhistas
Luciano Lisboa, Rodrigo Ramos
Projeto Gráfico
Vinicius Ribeiro
Assistente Editorial
Valdivina Pinheiro
Supervisão Editorial
José Diogo
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
Copyright©Olimpo2014
A Resolução Comentada das provas do IME poderá ser obtida diretamente no
OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefone (62) 3088-7777
As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos,
competências, conhecimentos e habilidades específicos. Esteja preparado.
www.grupoolimpo.com.br
16