Prova
Capítulo 6
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
113
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
114
QUESTÕES OBJETIVAS
(C) 1 o ou 4 o
(D) 2o ou 3 o
(E) 3 o ou 4 o
1
Sendo este o gráfico de f(x),
3
Multiplicando os números 42 567 896 095 416 765 443 769 (de
23 algarismos) e 1 568 973 210 875 453 666 875 (de 22
algarismos) obtemos um produto cuja quantidade de algarismos é:
(A) 43
(B) 44
(C) 45
(D) 46
(E) 47
o gráfico de f(– x) será:
(A)
4
Dois pontos se movimentam em uma linha reta com equações horárias, s1(t) = sen (3t) e s2(t) = sen (t), com t ≥ 0.
Quando o primeiro retornar pela primeira vez à sua posição
inicial, onde estará o segundo?
(A) π /3
(B) π
(C) 3π
(D) sen ( π /3)
(E) sen (3π)
(B)
5
Em certa região, a área ocupada por plantações de soja tem
aumentado de 10% ao ano, e a ocupada por milharais tem
crescido 1km 2 por ano. Considere os gráficos a seguir.
(C)
Os gráficos que melhor representam as áreas ocupadas
pelas plantações de soja e de milho em função do tempo
são, respectivamente:
(A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e I.
(D) II e III.
(E) III e I.
(D)
6
(E)
Se x2 ≡ 1 (mod 5) então:
(A) x ≡ 1 (mod 5)
(B) x ≡ 2 (mod 5)
(C) x ≡ 4 (mod 5)
(D) x ≡ 1 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5)
(E) x ≡ 2 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5)
2
Se z1 é um número complexo do 1o quadrante e z2, um
número complexo do 2 o quadrante, ambos com partes reais
e imaginárias não nulas, então o quadrante em que fica o
produto z1z2 é o:
(A) 1 o ou 2o
(B) 1 o ou 3 o
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
7
Em um grupo multiplicativo, o elemento x satisfaz x4 = x. O
número de elementos do conjunto {x,x2,x3,x4, ...}
(A) é igual a 1.
(B) é igual a 3.
115
(C) é igual a 4.
(D) só pode ser 1 ou 3.
(E) só pode ser 2 ou 4.
lado,
2
2
for irracional, como ( 2 2 )
= 2 2 = 2,
teremos um exemplo de um irracional que elevado a um
irracional dá um racional.”
8
Um pai tem dois filhos, de 2 e 4 anos. Ele prometeu dividir
sua fazenda entre os filhos de modo diretamente proporcional às suas idades assim que se case o mais velho dos
filhos. Quanto mais tarde este filho se casar, a fração da
fazenda que lhe caberá será
O argumento acima prova que:
(A)
é um racional.
(B)
é um irracional.
(C) existem x e y irracionais tais que xy é racional.
(A) maior e nunca será menor do que
da fazenda.
(D) existem x e y irracionais tais que xy é irracional.
(E) se x e y são irracionais, xy é irracional.
(B) maior, mas nunca será maior do que
da fazenda.
(C) menor, mas sempre será maior do que a metade da
fazenda.
(D) menor, podendo ser menor do que a metade da fazenda.
(E) igual a
12
Um programa de computador apresentou para um polinômio
do 4 o grau com coeficientes reais o seguinte gráfico, em
que x varia entre - 5,7 e 7,1:
da fazenda, independente da data do seu
casamento.
9
As retas reversas r e t são paralelas aos vetores u e v,
respectivamente. A perpendicular comum a essas retas é
paralela
(A) à soma u + v.
(B) à diferença u – v.
(C) ao produto vetorial u ∧ v.
(D) ao produto escalar <u,v>.
(E) ao espaço gerado por u e v.
10
Em certa cidade o tempo, bom ou chuvoso, é igual ao do dia
anterior com probabilidade
Pode-se, então, concluir que esse polinômio tem:
(A) duas raízes reais simples e uma raiz real dupla.
(B) duas raízes reais e duas raízes complexas conjugadas.
(C) três raízes reais e uma raiz complexa não real.
(D) somente três raízes, todas reais.
(E) alguma raiz real com módulo maior que 5.
.
13
No sistema de três equações lineares com três incógnitas,
Se hoje faz bom tempo, a probabilidade de que chova
depois de amanhã vale:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3
(A)
são nulos os determinantes
(B)
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
(C)
a1 b1 d1
, a2 b2 d2
a3 b3 d3
a1 d1 c1
, a2 d2 c2
a3 d3 c3
e
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
.
Tal sistema é:
(A) possível e indeterminado.
(B) possível e determinado.
(C) possível.
(D) impossível.
(E) impossível ou indeterminado.
(D)
(E)
14
11
“Se
for racional, temos um exemplo de um irracional
que elevado a um irracional dá um racional. Se, por outro
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
Em um cubo, CC’ é uma aresta e ABCD e A’B’C’D’ são faces
opostas. O plano que contém o vértice C’ e os pontos médios
das arestas AB e AD determina no cubo uma seção que é
um
116
(A) triângulo isósceles.
(B) triângulo retângulo.
(C) quadrilátero.
(D) pentágono.
(E) hexágono.
(A)
15
(B)
Um programa de computador desenhou o gráfico das
retas y = 2x + 15 e y = 45 – x/2 . O ângulo α formado
por elas no desenho é aparentemente diferente de
90 o, como mostra a figura abaixo.
(C)
(D)
Observa-se que:
(A) houve algum erro porque o ângulo α deveria ter 90o.
(B) o ângulo α formado pelos gráficos não depende das
escalas dos eixos.
(C) o programa usou escalas diferentes para cada um dos
gráficos.
(D) os gráficos estão certos, masα ≠ 90o porque as escalas
nos eixos são diferentes.
(E) as coordenadas do ponto de encontro das retas é que
dependem das escalas dos eixos.
(E)
19
A seqüência {an } definida por a n = (–1)n +
sen n :
3
(A) não é convergente, mas admite subseqüência convergente.
(A) é monótona.
(B) é divergente para ∞ .
(C) é convergente para um número racional.
(D) é convergente para um número irracional.
(E) não é convergente, mas admite subseqüência
convengente.
16
Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os
valores da população a cada ano formam uma progressão:
(A) geométrica de razão 1,2.
(B) geométrica de razão 1,02.
(C) geométrica de razão 0,02.
(D) aritmética de razão 1,02.
(E) aritmética de razão 0,02.
20
Solta-se uma pedra em queda livre na boca de um poço e
ouve-se seu impacto na água 2 segundos depois. Usando
a lei que rege a queda dos corpos, desprezando-se a
resistência do ar, s = (1/2) gt2, com g = 10 m/s 2 e
considerando a velocidade de propagação do som no ar
igual a 340 m/s, conclui-se que a distância, em metros,
entre o ponto de onde a pedra foi solta e a superfície da
água está compreendida entre:
(A) 17 e 18.
(B) 18 e 20.
(C) 20 e 21.
(D) 21 e 23.
(E) 23 e 24.
17
Os pontos (x,y,z) pertencentes às retas que contêm o
ponto (0,0,1) e que se apóiam na curva y = x2 do plano z
= 0 formam um conjunto dado pela equação:
(A) x2 + yz – y = 0
(B) x2 + xz – y = 0
(C) x2 + 2xz – y = 0
(D) x2 + z – y = 0
(E) x2 – z – y = 0
21
18
Considere o retângulo no plano (x,y) cujo vértice inferior
esquerdo tem coordenadas cartesianas (0,0) e o vértice
superior direito é (x0,y0). Deseja-se representar esse retângulo numa tela de computador de resolução 640 por 200.
Se um corpo cai de grande altura, partindo do repouso e
submetido apenas à ação da gravidade e a uma força de
atrito (resistência do ar) diretamente proporcional à sua
velocidade, o gráfico que melhor representa esta velocidade em função do tempo é:
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
1
Considere na tela as coordenadas (l,c) como na figura:
117
(A) não faz sentido, porque tal triângulo não existe.
(B) admite mais de uma solução.
(C) admite uma única solução,
(D) admite uma única solução,
Uma possível correspondência entre os pontos (x,y) do
plano e os pontos (l,c) da tela, tal que a imagem do
retângulo seja a tela inteira e a orientação seja preservada,
é dada por:
(E) admite uma única solução,
23
(A)
Uma urna contém N bolas, numeradas de 1 a N, sem
repetições. Para estimar o valor desconhecido de N, um
estatístico retira, ao acaso, três bolas dessa urna. As
bolas retiradas foram as de números 15, 43 e 17. Ele toma
para estimativa de N o valor para o qual a média dos
números das bolas retiradas é igual à média dos números
de todas as bolas da urna. A estimativa que ele obtém
para N é:
(A) 43
(B) 49
(C) 51
(D) 53
(E) 55
l = 199
c = 639
l = 639
(B)
24
c = 199
O Método de Newton, aplicado ao cálculo de
, consiste
em tomar uma aproximação inicial x0 > 0 e obter aproximações sucessivas
l = 199 − 199
de modo que
seja igual a:
(A)
(C)
c = 639
(B)
(C)
(D)
l = 639
(D)
c = 199 − 199
(E)
(E)
25
l=
A Lei de Boyle diz que, mantida constante a temperatura, o
produto da pressão pelo volume de um gás perfeito é
constante. Um gás perfeito, inicialmente à pressão de 16.10 5
Pa, ocupa um cilindro de volume 100L. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a reduzir o volume do gás. Se a
temperatura é mantida constante e o volume diminui à razão
de 1L/s, com que velocidade, em Pa/s, está aumentando a
pressão no instante em que o volume for igual a 80L?
(A) 25.103 (B) 25.104 (C) 25.105 (D) 16.106 (E) 16.107
c=
22
Considere o problema a seguir: “Em um triângulo ABC,
temos AC = 3m, BC = 4m e B = 600. Calcule sen A.” Esse
problema:
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
118
QUESTÕES DISCURSIVAS
PARTE B
QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA
1
Identifique e corrija o(s) erro(s) da argumentação a seguir.
(i) "A função f(x) = tg x tem derivada positiva em todo seu domínio, pois
f’(x) = sec2x.
(ii) Uma função cuja derivada é positiva no seu domínio é crescente nesse domínio.
(iii) Logo, a função tangente é crescente em todo o seu domínio.
(iv)Então, como
, temos
Ou seja, − 1 > 1."
(valor: 20,0 pontos)
Questão nº 1
Conteúdos predominantes:
− Cálculo diferencial das funções de uma variável real; Funções trigonométricas.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
− analisar criticamente textos matemáticos e redigir formas alternativas.
Padrão de Resposta Esperado:
A afirmação (i) "A função f(x) = tg x ... f' (x) = sec2x" está correta.
A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente
nesse intervalo."
A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu
domínio."
A conclusão (iv) está evidentemente errada (−1 não é maior que 1) e, apesar de
porque
não é subconjunto do domínio da função tangente (
ao domínio da função tangente).
, não se pode concluir que
, que está compreendido entre
, não pertence
(valor: 20,0 pontos)
Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se
concentra em (ii).
2
a) Mostre que, se um número inteiro a não é divisível por 3, então a2 deixa resto 1 na divisão por 3. (valor: 10,0 pontos)
b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a2 + b2, então a e b são divisíveis por 3.
(valor: 10,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
119
Questão nº 2
Conteúdos predominantes:
− Números inteiros, divisibilidade. Teoria dos números, divisibilidade e congruências.
Habilidades aferidas:
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
a) Se a não é divisível por 3, então a ≡ 1 ou a ≡ 2 (mod 3). Daí, a 2 ≡ 1 ou a 2 ≡ 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a 2
≡ 1 (mod 3).
(valor: 10,0 pontos)
b) Suponhamos que 3 (a2 + b 2),
1º caso: 3
a e
b . Tem-se, então, b 2 ≡ 0 (mod 3) e, pela parte a), a 2 ≡ 1 (mod 3); donde a 2 + b 2 ≡ 1(mod 3),
o que é incompatível com a hipótese.
2º caso: Por simetria, não se pode ter 3
a e3
3º caso: Falta examinar o caso em que 3
a e 3
b.
b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a 2 + b 2 ≡ 1 + 1 (mod 3),
ou seja a 2 + b 2 ≡ 2 (mod 3), o que é também incompatível com a hipótese.
Logo, 3 a e 3 b.
Alternativa: não usar congruências e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou 2, e prosseguir a argumentação.
(valor: 10,0 pontos)
3
Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24,
Y = 25, Z = 26) e usar uma chave f, de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra
associada ao número p, transmite-se aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p), decifra a letra determinando
p = f – 1 (q).
O imperador romano Júlio César, por exemplo, usava como chavef(p) = p + 3 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Assim,
a mensagem ZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW.
a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26) não é invertível.
(valor: 10,0 pontos)
b) Determine f –1(q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26).
(valor: 10,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
− fazer uso apropriado de novas tecnologias.
Padrão de Resposta Esperado:
a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, emZ26; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar
que f não é sobrejetora, pois 2, por exemplo, não pertence à imagem de f.
(valor: 10,0 pontos)
b) 1a alternativa: q = 3p + 1 ⇔ 3p = q − 1 ⇔ p = 3 − 1. (q − 1) ⇔ p = 9(q − 1) ⇔ p = 9q − 9, isto é, f− 1(q) = 9q + 17.
2a alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa
construindo a tabela para a função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas
funções tem 26 elementos e os cálculos não são tão complicados.
(valor: 10,0 pontos)
Obs.: Serão também aceitas respostas com:
− alguma pesquisa sobre valores de f e de f– 1;
− a apresentação da inversa mesmo sem prova.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
120
4
Em visita ao Museu da Academia, em Florença, Maria observa maravilhada a estátua de David feita por Michelângelo. A
sala está lotada de turistas e, por isto, Maria foi empurrada para muito perto da estátua, cujo pedestal está acima do nível
dos seus olhos. Como resultado, ela não pode ver quase nada!
a) Faça um esquema geométrico e identifique as variáveis relevantes para o estudo da situação.
(valor: 10,0 pontos)
b) Calcule a distância ideal de onde Maria veja a estátua sob o maior ângulo de visão possível (supondo, é claro, que a
multidão a deixe movimentar-se à vontade pela sala!).
(valor: 10,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Trigonometria; Cálculo diferencial das funções de uma variável real.
Habilidade aferida:
− interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas.
Padrão de Resposta Esperado:
1ª alternativa:
a)
Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal;b a altura do pedestal,
x a distância dos olhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria
vê a estátua. É preciso determinar x de modo que γ seja máximo.
É claro que d = a − b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b.
(valor: 10,0 pontos)
b) Tem-se: tg γ = tg (α − β) =
para x > 0 somente quando x =
, com x, a, b e a − b > 0 e
que se anula
, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de
x, a função f(x) passa por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor
de γ também será máximo. Logo o valor de x procurado é x =
(valor: 10,0 pontos)
2ª alternativa:
a)
(valor: 10,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
121
b) tg α =
e tg β =
. Como γ = arctg
− arctg
que se anula para x > 0 somente quando x =
tem-se que γ' =
, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para
este valor de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x =
(valor: 10,0 pontos)
5
Seja
uma série convergente de números reais.
a) É sempre verdade que
também converge?
(valor: 5,0 pontos)
b) Forneça uma demonstração se a sua resposta a a) for afirmativa ou um contra-exemplo, se negativa.
(valor: 15,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Análise matemática: seqüências e séries infinitas.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
− compreender e utilizar definições, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
a) Não.
(valor: 5,0 pontos)
b) Um exemplo de série convergente é o da série
(converge porque é uma série alternada em que os valores
absolutos dos termos formam uma seqüência decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a série só dos termos pares,
tem-se:
e esta última é divergente para ∞ , pois é a série harmônica.
(valor: 15,0 pontos )
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
122
PARTE C
QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO
6
Seja γ um caminho no plano complexo, fechado, simples, suave (isto é, continuamente derivável) e que não passa por i nem
por – i. Quais são os possíveis valores da integral
(valor: 20,0 pontos)
?
Conteúdo predominante:
− Funções de variáveis complexas: Fórmula Integral de Cauchy, resíduos.
Habilidades aferidas:
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
1a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integralI é igual a
. Calculando
os resíduos da função em seus pólos, i e −i, temos:
De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = −i, que dá
.
Daí, têm-se os 4 casos:
1. γ não contém nem i nem – i em seu interior, então: I = 0;
2. γ contém i no interior, mas não – i, então: I =
3. γ contém −i no interior, mas não i, então: I =
4. γ contém i e – i, no interior, então: I =
Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima.
2a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. Decompondo f em frações simples, chega-se a:
.
Têm-se novamente os 4 casos:
1. γ não contém nem i nem – i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0;
2. γ contém i no interior, mas não – i; então a parcela
é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à
integral da outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy
, é: I =
3. γ contém −i no interior, mas não i; então é a parcela
que é analítica no interior de γ, e o valor da integral será
o valor da integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando:
I=
4. γ contém i e – i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto é: I = π − π = 0.
Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima.
(valor: 20,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
123
7
Uma função u : R2 → R, com derivadas contínuas até a 2 a ordem, é dita harmônica emR2 se satisfaz a Equação de Laplace:
em R2.
Mostre que se u e u 2 são harmônicas em R2, então u é uma função constante.
(valor: 20,0 pontos)
Conteúdos predominantes:
− Equações diferenciais parciais: Equação de Laplace; Diferenciação de funções de várias variáveis.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
Se u 2 é harmônica, tem-se que: ∆ u2 = 0, mas
Se u é harmônica, tem-se então que
, mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u.
Sendo grad u = 0 no plano, que é conexo, tem-se u = constante.
Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais deu em vez do gradiente.
(valor: 20,0 pontos)
8
Seja {An}, n ∈ N, uma seqüência de números reais positivos e considere a série de funções de uma variável real t dada
por
. Suponha que tal série converge se t = t0 ∈ R. Prove que ela converge uniformemente no intervalo [t0, ∞ [.
(valor: 20,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Séries de funções. Convergência uniforme.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
Esse resultado é verdadeiro no caso em que t0 > 0 (dado não informado). Com efeito, se
converge, então
. Logo, s e n d o c um número fixado entre 0 e 1, existe n 0 tal que para n ≥ n 0 t e m - s e q u e 0 <
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
124
< c < 1. Mas , então, como a exponencial de base menor que 1 é decrescente, tem-se que, para todo n ≥ n 0
e t ≥ t0> 0
Isto é, a série
:0<
porque
≥ 1.
admite uma série majorante convergente e essa majoração é a mesma para todo t. Então, (pelo
critério M de Weierstrass) a série
é uniformemente convergente.
Alternativa:
Se t0 < 0, a tese não pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 ∈ [ t0 ,
[ e esta série não converge quando t = 0.
(valor: 20,0 pontos)
9
Sejam A =
e n um inteiro positivo. Calcule An.
Sugestão: Use a Forma Canônica de Jordan ou o Teorema de Cayley-Hamilton.
(valor: 20,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Matrizes e redução à forma diagonal.
Habilidades aferidas:
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
1ª alternativa:
Os autovalores dessa matriz são as raízes de
=0
.
São, portanto, λ = 0, 2 e 3 e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando
a Forma Canônica de Jordan para A, que:
A = P J P−1. onde
Logo, An = P Jn P −1, mas:
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
125
2ª alternativa:
O polinômio característico é P(λ) = −λ (2 −λ) (3 −λ).
Dividindo λn por P(λ) teremos λn = P(λ) . Q (λ) + a λ2 + b λ + c.
Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = 2
= 9a + 3b.
Daí, a = 3n −1 − 2 n −1 , b = 3 . 2 n −1 − 2 . 3 n −1, c = 0.
Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0.
e
λ = 3, obtendo 0 = c, 2n = 4a + 2b e 3n
Daí,
An = a A2 + bA. Como
.
3ª alternativa:
Calcular A2, A3, sugerir uma expressão para An e provar por indução.
(valor: 20,0 pontos)
10
Como bem se sabe, a América do Sul (17,9 milhões de km 2) é muito maior que a Europa (9,8 milhões de km 2), embora ambas
pareçam aproximadamente do mesmo tamanho nos mapas comuns. Tais mapas utilizam a projeção criada na Alemanha
em 1569 pelo geógrafo e matemático Gerhard Kremer Mercator (1512 – 1594). Uma alternativa à projeção de Mercator é
a projeção criada pelo historiador alemão Arno Peters, que preserva a razão entre as áreas dos diversos países. Esta
projeção é feita da seguinte maneira: considere um cilindro de altura 2R circunscrito a uma esfera de raio R, ambos com
o mesmo baricentro. Dado um ponto P no cilindro, considere o segmento de reta que liga P ao eixo do cilindro e que é
perpendicular a esse eixo. Defina f(P) como sendo a intersecção desse segmento com a esfera.
Mostre que f preserva a razão de áreas entre regiões no cilindro e as correspondentes imagens na esfera.
(valor: 20,0 pontos)
Projeção cilíndrica equatorial ou de Mercator.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
126
Projeção cilíndrica equivalente de Peters.
Conteúdo predominante:
− Geometria diferencial: estudo local de superfícies, primeira forma fundamental, ou
− Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis reais.
Habilidades aferidas:
− interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas, integrando os vários campos da Matemática;
− compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
1ª alternativa:
Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e
C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:
Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e
Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.
Daí,
=
= R 2 sen ϕ em ambas as superfícies.
2ª alternativa:
Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e
C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:
Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e
Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.
Daí,
EG − F2 = R 4 sen 2 ϕ, em ambas as superfícies.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
127
3ª alternativa:
Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:
S(u,v)=( R2 − v2 cosu, R2 − v 2 senu, v) .
Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes
por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).
Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada
uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela
integral dupla da expressão
EG − F2 estendida ao mesmo domínio, onde E = <Su, Su> ; G = <Sv , Sv > e F = <Su, Sv > na esfera e expressões análogas
para o cilindro.
Como
tem-se que na esfera:
EG − F2 = (R2 − v2) (sen2 u + cos 2 u) [1 + v2 (cos 2 u + sen 2 u) / (R2 − v2)] − [v sen u cos u − v cos u sen u]2 = R 2 e
no cilindro: EG − F2 = R 2 (sen 2 u + cos 2 u) x 1 − 0 = R 2.
Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais.
4ª alternativa:
Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:
.
Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes
por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).
Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região D no domínio das parametrizações em cada
uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla
∫∫ Su ∧S v dudv e no cilindro por
D
,
∫∫ Cu ∧C v du d v , onde
D
Como
, tem-se que áre-
as de regiões correspondentes são iguais.
(valor: 20,0 pontos)
PARTE C
QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA
11
Numa prova, o professor apresenta a seguinte questão: “ Dois estados do país, num certo ano, apresentam o modo como
dividiram os impostos arrecadados. Os gráficos de setores a seguir ilustram a relação entre a quantia gasta em cada área
e a arrecadação total daquele estado naquele ano.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
128
i) Determine que percentual da arrecadação do estado II, daquele ano, foi gasto com Saúde e Educação, juntas. Justifique.
ii) Pode-se dizer que naquele ano o estado I gastou mais com Segurança do que o estado II? Por quê?”
Um aluno apresentou as seguintes respostas a estas questões:
“i) 50%. Os gastos com Saúde e Educação correspondem à metade da circunferência.
ii) Sim. Setor circular de área maior.”
a) Analise a resposta desse aluno à questão i).
(valor: 10,0 pontos)
b) Faça o mesmo, em relação à questão ii).
(valor: 10,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Avaliação e Educação Matemática: formas e instrumentos.
Habilidades aferidas:
− analisar criticamente textos matemáticos;
− elaborar, representar e interpretar gráficos.
Padrão de Resposta Esperado:
a)
A resposta está certa.
Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele só dispõe do desenho e não tem
os dados numéricos.
(valor: 10,0 pontos)
b)
A resposta do aluno está errada.
A resposta certa seria afirmar que não se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informação que se
pode tirar do gráfico é que o estado I gastou com segurança uma porcentagem de sua arrecadação maior do que o estado
II, em relação à própria arrecadação, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadação, não se podem comparar
as quantias gastas por um e por outro.
(valor: 10,0 pontos)
12
O aluno de Licenciatura nem sempre se dá conta da relação entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A
Integral de Riemann, por exemplo, esclarece a definição de área. Tanto o cálculo da integral pode servir para o cálculo de
áreas quanto vice-versa.
a) Esboce o gráfico de y =
b) Calcule o valor da integral
para 0 ≤ x ≤ 1.
(valor: 10,0 pontos)
dx por meio de sua interpretação como área no plano, recorrendo apenas à
Geometria e à Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Médio.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
129
(valor: 10,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Organização dos conteúdos de Matemática em sala da aula.
Habilidades aferidas:
− compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas.
Padrão de Resposta Esperado:
a) Como y =
tem-se que o gráfico solicitado é o arco da circunferência
de raio 1 e centro (0, 0), que fica no 1º quadrante.
(valor: 10,0 pontos)
b) A figura em questão pode ser decomposta em um triângulo de base
Então sua área pode ser calculada como a soma de
Ou seja, a área é:
e altura
com
.
, e um setor circular de ângulo central
=
.
(valor: 10,0 pontos)
13
O conceito de logaritmo, introduzido na Matemática no século XVII, teve grande importância por facilitar cálculos numéricos.
Atualmente, com o aperfeiçoamento dos computadores e a popularização das calculadoras, esse emprego dos logaritmos
perdeu o interesse. Apesar disso, o estudo dos logaritmos e de suas inversas, as exponenciais, permanece nos cursos
médio e superior.
a) De acordo com os princípios orientadores dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), de contextualizar os assuntos
tratados, justifique essa permanência citando alguma aplicação da Matemática a outra Ciência (Física, Química, Economia,
Estatística, ...) em que seja empregada a função logaritmo ou sua inversa.
(valor: 10,0 pontos)
b) Desenvolva os cálculos que levam à utilização da função logaritmo ou de sua inversa na aplicação citada em a).
(valor: 10,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
130
Conteúdo predominante:
− Tendências em Educação Matemática. (PCN).
Habilidades aferidas:
Elaborar modelos e resolver problemas, integrando os vários campos da Matemática.
Padrão de Resposta Esperado:
a) Qualquer grandeza cuja variação seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada
por uma função exponencial que é a inversa do logaritmo.
Alguns exemplos são: em Química, a quantidade de uma substância radioativa; em Economia, um capital empregado
a juros; em Biologia, certas populações (de bactérias, por exemplo), etc.
(valor: 10,0 pontos)
b) Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se:
e daí, se x (t0) ≠ 0, tem-se:
In |x (t)/ x (t0)| = k (t − t0) ou x (t) = x (t0) exp [k (t − t0)] (e esta vale mesmo para x(t0) = 0)
(valor: 10,0 pontos)
14
Ensinando Trigonometria, um professor construiu, para motivar seus alunos, um aparelho rudimentar, usado por alguns
engenheiros e guardas-florestais para medir, à distância, a altura de árvores. Este aparelho é formado por uma placa
retangular de madeira, que tem um canudo colado ao longo de um dos seus lados, e tem um fio de prumo preso a um dos
vértices, próximo a uma das extremidades do canudo (Figura A).
Observando o topo de uma árvore através do canudo, os profissionais verificam o ângulo indicado no transferidor pelo fio
de prumo.
Segundo esses profissionais, a medida do ângulo de "visada", isto é, do ângulo formado com o plano horizontal pelo canudo,
quando por ele se observa o topo da árvore, é a mesma determinada pelo fio de prumo sobre o transferidor.
a) Com o auxílio do esquema da Figura B, verifique, justificando, se de fato o ângulo de “visada” tem a mesma medida do
ângulo indicado pelo fio de prumo sobre o transferidor.
(valor: 10,0 pontos)
b) Suponha que você deseja medir a altura, em relação ao plano horizontal dos seus olhos, do topo de uma árvore da qual
você não consegue se aproximar por haver um rio entre ela e você. Utilizando esse aparelho, mostre como fazê-lo,
indicando os cálculos necessários para chegar ao resultado.
(valor: 10,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
131
Conteúdo predominante:
− Teorias da cognição e sua relação com a sala de aula de Matemática; Metodologia do ensino de Matemática: uso de
material concreto.
Habilidades aferidas:
− trabalhar diferentes métodos pedagógicos na sua prática profissional.
Padrão de Resposta Esperado:
a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ângulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo,
o ângulo formado pelo fio de prumo e o canudo terá por medida
(valor: 10,0 pontos)
+ 90° = 90° + , logo, = .
b) Seja W o topo da árvore, X o ponto em que estão os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traçada
do topo da árvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O triângulo XZW é retângulo
em Z e o observador pode medir o ângulo <X = v. Em seguida, andando na direção de Z uma distância d, o observador faz
uma nova medida a partir do ponto Y, obtendo o ângulo p.
Considerando os triângulos retângulos XWZ e YWZ, tem-se que tg v1 = x/(d + YZ) e tg v2 = x/YZ
Então, tg v1 = x . tg v2 / (d . tg v2 + x),
de onde
x (tg v2 − tg v1) = d . tg v1 . tg v2.
Como os ângulos v1 e v2 são diferentes (pois o ponto Y se encontra mais próximo de Z) e estão ambos entre 0 e 180°,
tem-se que a diferença tg v2 − tg v1 não se anula; logo, pode-se escrever:
x = d . tg v1 . tg v2 / (tg v2 − tg v1),
como a expressão que dá a altura pedida.
Observação: Uma simplificação interessante no processo se dá quando seja possível localizar o aparelho de forma que os
valores de v1 e v2 sejam ângulos com tangente conhecida como por exemplo o caso em que v1 = 45° e v2 = 60° quando
então
(valor: 10,0 pontos)
15
Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que formam um dos
vértices de T. Este plano divide T em dois poliedros, sendo um deles um tetraedro regular que chamaremos de t.
Analogamente, considerando outros três planos relativamente a cada um dos outros vértices do tetraedro, é possível
decompor T em quatro tetraedros regulares iguais a t e mais um poliedro, que chamaremos de P.
Responda justificando:
a) Qual é a forma do poliedro P?
(valor: 5,0 pontos)
b) Qual é a razão entre o volume de T e o volume de t?
(valor: 5,0 pontos)
c) Qual é a razão entre o volume de P e o volume de t?
(valor: 5,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
132
d) Descreva um material didático na forma de um "quebra-cabeças” para montar, constituído por 8 (oito) peças com formas
de poliedros, o qual possa ser utilizado para auxiliar o aluno a perceber os fatos geométricos envolvidos na situação
descrita anteriormente.
(valor: 5,0 pontos)
Conteúdo predominante:
− Metodologia do ensino de Matemática: uso de material concreto.
Habilidades aferidas:
− visualizar formas geométricas espaciais.
Padrão de Resposta Esperado:
a)
1a alternativa:
P é um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares são formados
por uma face do octaedro obtida pelo corte do plano que passa pelos três pontos médios de cada um dos vértices e por
uma face triangular inscrita numa face do tetraedro.
2a alternativa:
O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na
figura do “octaedro inscrito no tetraedro”.
(valor: 5,0 pontos)
b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas det, e como T e t são tetraedros regulares
− figuras semelhantes, portanto, e com razão de semelhança igual a ½ − o volume de T é oito vezes o volume de t.
(valor: 5,0 pontos)
c) Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se:
V(P) = 8 V(t) – 4 V(t) = 4 V(t) .
(valor: 5,0 pontos)
d)
1a alternativa:
O jogo poderá ser formado por 4 tetraedros regulares iguais at (com arestas do tamanho da metade das deT) e quatro
tetraedros não regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros não regulares formem
uma das pirâmides de base quadrada que compõemP.
2a alternativa:
O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na
figura anterior, onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirâmides que formam o octaedro P.
(valor: 5,0 pontos)
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
133
Impressões sobre a Prova
31
Como você considera as informações fornecidas em
cada questão para a sua resolução?
(A) Sempre excessivas.
(B) Sempre suficientes.
(C) Suficientes na maioria das vezes.
(D) Suficientes somente em alguns casos.
(E) Sempre insuficientes.
As questões abaixo visam levantar sua opinião sobre a
qualidade e a adequação da prova que você acabou de
realizar e também sobre o seu desempenho na prova.
Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião e
à razão que explica o seu desempenho nos espaços
próprios (parte inferior) do Cartão-Resposta.
Agradecemos sua colaboração.
32
Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos
definidos para o Provão/2000 desse curso?
(A) Totalmente adequada.
(B) Medianamente adequada.
(C) Pouco adequada.
(D) Totalmente inadequada.
(E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/
2000.
26
Qual o ano de conclusão deste seu curso de
graduação?
(A) 2000.
(B) 1999.
(C) 1998.
(D) 1997.
(E) Outro.
33
Como você avalia a adequação da prova para verificar
as habilidades que deveriam ter sido desenvolvidas
durante o curso, conforme definido para o Provão/2000?
(A) Plenamente adequada.
(B) Medianamente adequada.
(C) Pouco adequada.
(D) Totalmente inadequada.
(E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/
2000.
27
Qual o grau de dificuldade desta prova?
(A) Muito fácil.
(B) Fácil.
(C) Médio.
(D) Difícil.
(E) Muito difícil.
28
Quanto à extensão, como você considera a prova?
(A) Muito longa.
(B) Longa.
(C) Adequada.
(D) Curta.
(E) Muito curta.
34
Com que tipo de problema você se deparou mais
freqüentemente ao responder a esta prova?
(A) Desconhecimento do conteúdo.
(B) Forma de abordagem do conteúdo diferente daquela
a que estou habituado.
(C) Falta de motivação para fazer a prova.
(D) Espaço insuficiente para responder às questões.
(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder
à prova.
29
Para você, como foi o tempo destinado à resolução da
prova?
(A) Excessivo.
(B) Pouco mais que suficiente.
(C) Suficiente.
(D) Quase suficiente.
(E) Insuficiente.
35
Como você explicaria o seu desempenho nas questões
objetivas da prova?
(A) Não estudei durante o curso a maioria desses
conteúdos.
(B) Estudei somente alguns desses conteúdos durante o
curso, mas não os aprendi bem.
(C) Estudei a maioria desses conteúdos há muito tempo
e já os esqueci.
(D) Estudei muitos desses conteúdos durante o curso,
mas nem todos aprendi bem.
(E) Estudei e conheço bem todos esses conteúdos.
30
As questões da prova apresentam enunciados claros e
objetivos?
(A) Sim, todas apresentam.
(B) Sim, a maioria apresenta.
(C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta.
(D) Não, poucas apresentam.
(E) Não, nenhuma apres enta.
Como você explicaria o seu desempenho em cada questão aberta da parte comum da prova?
Números referentes ao CARTÃO-RESPOSTA.
36
37
38
39
40
Números das questões da prova.
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
O conteúdo ...
(A) não foi ensinado; nunca o estudei.
(B) não foi ensinado; mas o estudei por conta própria.
(C) foi ensinado de forma inadequada ou superficial.
(D) foi ensinado há muito tempo e não me lembro mais.
(E) foi ensinado com profundidade adequada e suficiente.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
134