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Metas Curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Números e Operações
Números racionais
Multiplicar e dividir números racionais relativos
1. Provar, a partir da caraterização algébrica (a soma dos simétricos é
nula), que o simétrico da soma de dois números racionais é igual à
soma dos simétricos e que o simétrico da diferença é igual à soma do
simétrico do aditivo com o subtrativo:
−(q + r) = (− q) + (− r) e −(q − r) = (− q) + r.
2. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
identificação do produto de um número natural n por um número q
como a soma de n parcelas iguais a q, representá-lo por n × q e por
q × n, e reconhecer que n × (− q) = (− q) × n = −(n × q).
3. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
identificação do quociente entre um número q e um número natural
como o número racional cujo produto por é igual a q e
( )
representá-lo por q : e por e reconhecer que
=−
4. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
identificação do produto de um número q por r = (onde a e b são
números naturais) como o quociente por b do produto de q por a,
representá-lo por q × r e r × q e reconhecer que (−q) × r = r × (− q) =
= −(q × r).
5. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
identificação do produto de − 1 por um número q como o respetivo
simétrico e representá-lo por (−1) × q e por q × (− 1).
6. Identificar, dados dois números racionais positivos q e r, o produto
(− q) × (− r) como q × r, começando por observar que
(−q) × (− r) = (q × (−1)) × (− r).
7. Saber que o produto de dois quaisquer números racionais é o
número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores
absolutos dos fatores, sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o
mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta
propriedade em exemplos concretos.
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Dízimas finitas e infinitas periódicas
Relacionar números racionais e dízimas
Números reais
Relação de ordem
1. Reconhecer, dada uma fração irredutível , que esta é equivalente
a uma fração decimal quando (e apenas quando) b não tem fatores
primos diferentes de 2 e de 5, e nesse caso, obter a respetiva
representação como dízima por dois processos: determinando uma
fração decimal equivalente, multiplicando numerador e
denominador por potências de 2 e de 5 adequadas, e utilizando o
algoritmo da divisão.
1. Reconhecer, dados três números racionais q, r e s representados
em forma de fração com q < r, que se tem q + s < r + s comparando
as frações resultantes e saber que esta propriedade se estende a
todos os números reais.
2. Reconhecer, dados três números racionais q, r e s representados
em forma de fração com q < r e s > 0, que se tem qs < rs comparando
as frações resultantes e saber que esta propriedade se estende a
todos os números reais.
2. Reconhecer, dada uma fração própria irredutível tal que b tem
pelo menos um fator primo diferente de 2 e de 5, que a aplicação do
algoritmo da divisão à determinação sucessiva dos algarismos da
aproximação de como dízima com erro progressivamente menor
conduz, a partir de certa ordem, à repetição indefinida de uma
sequência de algarismos com menos de b termos, a partir do
algarismo correspondente ao primeiro resto parcial repetido.
3. Utilizar corretamente os termos «dízima finita», «dízima infinita
periódica» (representando números racionais nessas formas),
«período de uma dízima» e «comprimento do período»
(determinando-os em casos concretos).
4. Saber que o algoritmo da divisão nunca conduz a dízimas infinitas
periódicas de período igual a «9».
5. Representar uma dízima infinita periódica como fração,
reconhecendo que é uma dízima finita a diferença desse número
para o respetivo produto por uma potência de base 10 e de
expoente igual ao comprimento do período da dízima e utilizar este
processo para mostrar que 0,(9) = 1.
6. Saber que se pode estabelecer uma correspondência um a um
entre o conjunto das dízimas finitas e infinitas periódicas com
período diferente de 9 e o conjunto dos números racionais.
7. Efetuar a decomposição decimal de uma dízima finita utilizando
potências de base 10 e expoente inteiro.
3. Reconhecer, dados três números racionais q, r e s representados
em forma de fração com q < r e s < 0, que se tem qs > rs comparando
as frações resultantes e saber que esta propriedade se estende a
todos os números reais.
4. Provar para a, b, c e d números reais com < e < se tem
+ < + e, no caso de a, b, c e d serem positivos, < .
5. Justificar, dados dois números reais positivos a e b, que se < ,
< e
< , observando que esta última propriedade
então
se estende a quaisquer dois números reais.
6. Justificar, dados dois números reais positivos e , que se < ,
então > .
7. Simplificar e ordenar expressões numéricas reais que envolvam
frações, dízimas e radicais utilizando as propriedades da relação de
ordem.
Definir intervalos de números reais
1. Identificar, dados dois números reais a e b (com a < b), os
«intervalos não degenerados», ou simplesmente «intervalos», [a, b],
]a, b[, [a, b[ e ]a, b] como os conjuntos constituídos pelos números
reais tais que, respetivamente, a ≤ x ≤ b, a < x < b, a ≤ x < b, a <x ≤
b, designando por «extremos» destes intervalos os números a e b e
utilizar corretamente os termos «intervalo fechado», «intervalo
aberto» e «amplitude de um intervalo».
1
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Números e Operações
8. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
identificação do quociente entre um número q (o dividendo) e um
número não nulo r (o divisor) como o número racional cujo produto
pelo divisor é igual ao dividendo e reconhecer que
=
=− .
9. Saber que o quociente entre um número racional e um número
racional não nulo é o número racional cujo valor absoluto é igual ao
quociente dos valores absolutos, sendo o sinal positivo se estes
números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário,
verificando esta propriedade em exemplos concretos.
8. Representar números racionais em notação científica com uma
dada aproximação.
9. Ordenar números racionais representados por dízimas finitas ou
infinitas periódicas ou em notação científica.
10. Determinar a soma, diferença, produto e quociente de números
racionais representados em notação científica.
11. Identificar uma dízima infinita não periódica como a
representação decimal de um número inteiro seguido de uma
vírgula e de uma sucessão de algarismos que não corresponde a
uma dízima infinita periódica.
12. Representar na reta numérica números racionais representados
na forma de dízima convertendo-a em fração e utilizando uma
construção geométrica para decompor um segmento de reta em
partes iguais.
Dízimas infinitas não periódicas
Completar a reta numérica
1. Reconhecer que um ponto da reta numérica à distância da origem
igual ao comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 não
pode corresponder a um número racional e designar os pontos com
esta propriedade por «pontos irracionais».
2. Reconhecer, dado um ponto A da semirreta numérica positiva que
não corresponda a uma dízima finita, que existem pontos de abcissa
dada por uma dízima finita tão próximos de A quanto se pretenda,
justapondo a0 segmentos de reta de medida 1 a partir da origem tal
que A esteja situado entre os pontos de abcissa a0 e a0 + 1,
justapondo em seguida, a partir do ponto de abcissa a0, a1
segmentos de medida
tal que A esteja situado entre os pontos de
abcissa a0 +
e a0 +
segmentos de medida
e continuando este processo com
,
2. Identificar, dado um número real a, os intervalos [a,+ ∞[, ]a,+ ∞[,
]− ∞, a[ e ] − ∞, a] como os conjuntos constituídos pelos números
reais x tais que, respetivamente, x ≥ a, x > a, x < a e x ≤ a e designar
os símbolos «− ∞» e «+ ∞» por, respetivamente, «menos infinito» e
«mais infinito».
3. Identificar o conjunto dos números reais como intervalo,
representando-o por ]− ∞,+ ∞[.
4. Representar intervalos na reta numérica.
5. Determinar interseções e reuniões de intervalos de números reais,
representando-as, quando possível, sob a forma de um intervalo ou,
caso contrário, de uma união de intervalos disjuntos.
Operar com valores aproximados de números reais
1. Identificar, dado um número x e um número positivo r, um
número x' como uma «aproximação de x com um erro inferior a r»
quando x' ∈ ]x − r, x + r[.
2. Reconhecer, dados dois números reais x e y e aproximações x’ e y’
respetivamente de x e y com erro inferior a r, que x’ + y’ é uma
aproximação de x + y com erro inferior a 2r.
3. Aproximar o produto de dois números reais pelo produto de
aproximações dos fatores, majorando por enquadramentos o erro
cometido.
4. Aproximar raízes quadradas (respetivamente cúbicas) com erro
inferior a um dado valor positivo r, determinando números racionais
cuja distância seja inferior a r e cujos quadrados (respetivamente
cubos) enquadrem os números dados.
Resolver Problemas
1. Resolver problemas envolvendo aproximações de medidas de
grandezas em contextos diversos.
, ... e associar a A a dízima «a0,a1a2…».
3. Saber, dado um ponto A da semirreta numérica positiva, que a
dízima a0,a1a2… associada a A é, no caso de A não ser um ponto
irracional, a representação na forma de dízima da abcissa de A.
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8º ANO
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Números e Operações
4. Reconhecer que cada ponto irracional da semirreta numérica
positiva está associado a uma dízima infinita não periódica e
interpretá-la como representação de um número, dito «número
irracional», medida da distância entre o ponto e a origem.
5. Reconhecer que o simétrico relativamente à origem de um ponto
irracional A da semirreta numérica positiva, de abcissa a0,a1a2… é
um ponto irracional e representá-lo pelo «número irracional
negativo» − a0,a1a2…
6. Designar por «conjunto dos números reais» a união do conjunto
dos números racionais com o conjunto dos números irracionais e
designá-lo por «ℝ».
7. Saber que as quatro operações definidas sobre os números
racionais, a potenciação de expoente inteiro e a raiz cúbica se
podem estender aos reais, assim como a raiz quadrada a todos os
reais não negativos, preservando as respetivas propriedades
algébricas, assim como as propriedades envolvendo proporções
entre medidas de segmentos.
8. Reconhecer que √2é um número irracional e saber que √
(sendo n um número natural) é um número irracional se n não for
um quadrado perfeito.
9. Utilizar o Teorema de Pitágoras para construir geometricamente
radicais de números naturais e representá-los na reta numérica.
10. Saber que π é um número irracional.
Ordenar números reais
1. Estender aos números reais a ordem estabelecida para os
números racionais utilizando a representação na reta numérica,
reconhecendo as propriedades «transitiva» e «tricotómica» da
relação de ordem.
2. Ordenar dois números reais representados na forma de dízima
comparando sequencialmente os algarismos da maior para a menor
ordem.
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9º ANO
Geometria e Medida
Alfabeto grego
Teorema de Pitágoras
Conhecer o alfabeto grego
Relacionar o Teorema de Pitágoras com semelhança de
triângulos
Utilizar corretamente o vocabulário próprio do método
axiomático
1. Saber nomear e representar as letras gregas minúsculas
α, β, γ, π, ρ, ε σ.
1. Demonstrar, dado um triângulo [ABC] retângulo em C, que a altura
[CD] divide o triângulo em dois triângulos a ele semelhantes, tendo-se
1. Identificar uma «teoria» como um dado conjunto de proposições
consideradas verdadeiras, incluindo-se também na teoria todas as
proposições que delas forem dedutíveis logicamente.
Figuras geométricas
Classificar e construir quadriláteros
1. Identificar uma «linha poligonal» como uma sequência de
segmentos de reta num dado plano, designados por «lados», tal que
pares de lados consecutivos partilham um extremo, lados que se
intersetam não são colineares e não há mais do que dois lados
partilhando um extremo, designar por «vértices» os extremos
comuns a dois lados e utilizar corretamente o termo «extremidades
da linha poligonal».
=
e
=
.
2. Reconhecer, dado um triângulo [ABC] retângulo em C e de altura
[CD], que os comprimentos a =
,b=
,c=
,x= ,y=
2
2
satisfazem as igualdades b = xc e a = yc e concluir que a soma dos
quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da
hipotenusa e designar esta proposição por «Teorema de Pitágoras».
2. Identificar uma linha poligonal como «fechada» quando as
extremidades coincidem.
3. Reconhecer que um triângulo de medida de lados a, b e c tais que
2
2
2
a + b = c é retângulo no vértice oposto ao lado de medida c e
designar esta propriedade por «recíproco do Teorema de Pitágoras».
3. Identificar uma linha poligonal como «simples» quando os únicos
pontos comuns a dois lados são vértices.
Resolver problemas
4. Reconhecer informalmente que uma linha poligonal fechada
simples delimita no plano duas regiões disjuntas, sendo uma delas
limitada e designada por «parte interna» e a outra ilimitada e
designada por «parte externa» da linha.
5. Identificar um «polígono simples», ou apenas «polígono», como a
união dos lados de uma linha poligonal fechada simples com a
respetiva parte interna, designar por «vértices» e «lados» do
polígono respetivamente os vértices e os lados da linha poligonal, por
«interior» do polígono a parte interna da linha poligonal, por
«exterior» do polígono a parte externa da linha poligonal e por
«fronteira» do polígono a união dos respetivos lados, e utilizar
corretamente as expressões «vértices consecutivos» e «lados
consecutivos».
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1. Resolver problemas geométricos envolvendo a utilização dos
teoremas de Pitágoras e de Tales.
2. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias
desconhecidas por utilização dos teoremas de Pitágoras e de Tales.
Vetores, translações e isometrias
Construir e reconhecer propriedades das translações do
plano
1. Identificar segmentos orientados como tendo «a mesma direção
quando as respetivas retas suportes forem paralelas ou coincidentes.
2. Identificar segmentos orientados [A, B] e [C, D] como tendo «a
mesma direção e sentido» ou simplesmente «o mesmo sentido»
quando as semirretas
e
tiverem o mesmo sentido e como
tendo «sentidos opostos» quando tiverem a mesma direção mas não
o mesmo sentido.
Axiomatização das teorias Matemáticas
2. Reconhecer, no âmbito de uma teoria, que para não se incorrer
em raciocínio circular ou numa cadeia de deduções sem fim, é
necessário fixar alguns objetos («objetos primitivos»), algumas
relações entre objetos que não se definem a partir de outras
(«relações primitivas»), e algumas proposições que se consideram
verdadeiras sem as deduzir de outras («axiomas»).
3. Designar por «axiomática de uma teoria» um conjunto de objetos
primitivos, relações primitivas e axiomas a partir dos quais todos os
objetos e relações da teoria possam ser definidos e todas as
proposições verdadeiras demonstradas e utilizar corretamente os
termos «definição», «teorema» e «demonstração de um teorema».
4. Saber que os objetos primitivos, relações primitivas e axiomas de
algumas teorias podem ter interpretações intuitivas que permitem
aplicar os teoremas à resolução de problemas da vida real e, em
consequência, testar a validade da teoria como modelo da realidade
em determinado contexto.
5. Distinguir «condição necessária» de «condição suficiente» e
utilizar corretamente os termos «hipótese» e «tese» de um
teorema e o símbolo «⇒».
6. Saber que alguns teoremas podem ser designados por «lemas»,
quando são considerados resultados auxiliares para a demonstração
de um teorema considerado mais relevante e outros por
«corolários» quando no desenvolvimento de uma teoria surgem
como consequências estreitamente relacionadas com um teorema
considerado mais relevante.
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8º ANO
9º ANO
Geometria e Medida
6. Designar por [A1A2…An] o polígono de lados [A1A2], [A2A3], …,
[AnA1].
7. Identificar um «quadrilátero simples» como um polígono simples
com quatro lados, designando-o também por «quadrilátero» quando
esta simplificação de linguagem não for ambígua, e utilizar
corretamente, neste contexto, o termo «lados opostos».
8. Identificar um «ângulo interno» de um polígono como um ângulo
de vértice coincidente com um vértice do polígono, de lados
contendo os lados do polígono que se encontram nesse vértice e que
interseta o interior do polígono e utilizar corretamente, neste
contexto, os termos «ângulos adjacentes» a um lado.
9. Designar um polígono por «convexo» quando qualquer segmento
de reta que une dois pontos do polígono está nele contido e por
«côncavo» no caso contrário.
10. Saber que um polígono é convexo quando (e apenas quando) os
ângulos internos são todos convexos e que, neste caso, o polígono é
igual à interseção dos respetivos ângulos internos.
11. Identificar um «ângulo externo» de um polígono convexo como
um ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno do
polígono.
12. Demonstrar que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero
é igual a um ângulo giro.
13. Reconhecer, dado um polígono, que a soma das medidas das
amplitudes, em graus, dos respetivos ângulos internos é igual ao
produto de 180 pelo número de lados diminuído de duas unidades e
que associando a cada ângulo interno um externo adjacente a soma
destes é igual a um ângulo giro.
14. Designar por «diagonal» de um dado polígono qualquer
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.
15. Reconhecer que um quadrilátero tem exatamente duas diagonais
e saber que as diagonais de um quadrilátero convexo se intersetam
num ponto que é interior ao quadrilátero.
AREAL EDITORES | Fonte: Ministério da Educação
3. Identificar, dado um ponto A, o segmento de reta [AA] e o
segmento orientado [A, A] de extremos ambos iguais a A como o
próprio ponto A e identificar, dada uma qualquer unidade de
comprimento, a medida do comprimento de [AA] e a distância de A a
ele próprio como 0 unidades, e considerar que o segmento orientado
[A, A] tem direção e sentido indefinidos.
4. Designar por comprimento do segmento orientado [A, B] o
comprimento do segmento de reta [AB], ou seja, a distância entre as
respetivas origem e extremidade.
Identificar factos essenciais da axiomatização da Geometria
1. Saber que para a Geometria Euclidiana foram apresentadas
historicamente diversas axiomáticas que foram sendo
aperfeiçoadas, e que, dadas duas delas numa forma rigorosa, é
possível definir os termos e relações primitivas de uma através dos
termos e relações primitivas da outra e demonstrar os axiomas de
uma a partir dos axiomas da outra, designando-se, por esse motivo,
por «axiomáticas equivalentes» e conduzindo aos mesmos
teoremas.
5. Identificar segmentos orientados como «equipolentes» quando
tiverem a mesma direção, sentido e comprimento e reconhecer que
os segmentos orientados [A, B] e [C, D] de retas suportes distintas são
equipolentes quando (e apenas quando) [ABCD] é um paralelogramo.
2. Saber que, entre outras possibilidades, existem axiomáticas da
Geometria que tomam como objetos primitivos os pontos, as retas
e os planos e outras apenas os pontos, e que a relação «B está
situado entre A e C» estabelecida entre pontos de um trio ordenado
(A, B, C), assim como a relação «os pares de pontos (A, B) e (C, D)
6. Saber que um «vetor» fica determinado por um segmento
são equidistantes», entre pares de pontos podem ser tomadas
orientado de tal modo que segmentos orientados equipolentes
determinam o mesmo vetor e segmentos orientados não equipolentes como relações primitivas da Geometria.
determinam vetores distintos, designar esses segmentos orientados
3. Saber que na forma histórica original da Axiomática de Euclides
por «representantes» do vetor e utilizar corretamente os termos
se distinguiam «postulados» de «axiomas», de acordo com o que se
«direção», «sentido» e «comprimento» de um vetor.
supunha ser o respetivo grau de evidência e domínio de
aplicabilidade, e que nas axiomáticas atuais essa distinção não é
7. Representar o vetor determinado pelo segmento orientado [A, B] feita, tomando-se o termo «postulado» como sinónimo de axioma»,
e enunciar exemplos de postulados e axiomas dos «Elementos de
por
.
Euclides».
8. Designar por «vetor nulo» o vetor determinado pelos segmentos
orientados de extremos iguais e representá-lo por 0.
4. Identificar «lugar geométrico» como o conjunto de todos os
pontos que satisfazem uma dada propriedade.
Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos
9. Identificar dois vetores não nulos como «colineares» quando têm a
mesma direção e como «simétricos» quando têm o mesmo
Caracterizar a Geometria Euclidiana através do axioma das
comprimento, a mesma direção e sentidos opostos, convencionar que
paralelas
o vetor nulo é colinear a qualquer outro vetor e simétrico dele próprio
1. Saber que o «5.º postulado de Euclides», na forma enunciada nos
e representar por − o simétrico de um vetor .
«Elementos de Euclides», estabelece que se duas retas num plano,
intersetadas por uma terceira, determinam com esta ângulos
10. Reconhecer dado um ponto e um vetor que existe um único
internos do mesmo lado da secante cuja soma é inferior a um
e designá-lo por « + ».
ponto tal que =
ângulo raso então as duas retas intersetam-se no semiplano
determinado pela secante que contém esses dois ângulos.
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Geometria e Medida
16. Reconhecer que um quadrilátero é um paralelogramo quando (e
apenas quando) as diagonais se bissetam.
17. Reconhecer que um paralelogramo é um retângulo quando (e
apenas quando) as diagonais são iguais.
18. Reconhecer que um paralelogramo é um losango quando (e
apenas quando) as diagonais são perpendiculares.
19. Identificar um «papagaio» como um quadrilátero que tem dois
pares de lados consecutivos iguais e reconhecer que um losango é
um papagaio.
20. Reconhecer que as diagonais de um papagaio são
perpendiculares.
21. Identificar «trapézio» como um quadrilátero simples com dois
lados paralelos (designados por «bases») e justificar que um
paralelogramo é um trapézio.
22. Designar um trapézio com dois lados opostos não paralelos por
«trapézio isósceles» quando esses lados são iguais e por «trapézio
escaleno» no caso contrário.
23. Designar um trapézio por «trapézio retângulo» quando tem um
lado perpendicular às bases.
24. Demonstrar que todo o trapézio com bases iguais é um
paralelogramo.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo congruências de triângulos e
propriedades dos quadriláteros, podendo incluir demonstrações
geométricas.
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11. Identificar a «translação de vetor » como a aplicação que a um
ponto associa o ponto + e designar a translação e a imagem de
respetivamente por
e por
( )
12. Identificar, dados vetores e , a «composta da translação
com a translação » como a aplicação que consiste em aplicar a um
ponto a translação
e, de seguida, a translação
ao ponto
( ) obtido.
13. Representar por «
∘ » a composta da translação
translação
e reconhecer, dado um ponto P, que
( ∘ )( ) = ( + ) +
com a
14. Reconhecer que
∘
é uma translação de vetor tal que se
=
e designando por a extremidade do representante de
de origem ( =
), então =
e designar por +
(«regra do triângulo»).
15. Reconhecer que se podem adicionar dois vetores através da
«regra do paralelogramo».
16. Justificar, dado um ponto
( + )+ = +( + )
e vetores
e
, que
17. Reconhecer, dados vetores , e , que + = + ,
+ 0 = , + (− ) = 0 e ( + ) + = + ( + ) e
designar estas propriedades respetivamente por comutatividade,
existência de elemento neutro (vetor nulo), existência de simétrico
para cada vetor e associatividade da adição de vetores.
18. Demonstrar que as translações são isometrias que preservam
também a direção e o sentido dos segmentos orientados.
19. Saber que as translações são as únicas isometrias que mantêm a
direção e o sentido de qualquer segmento orientado ou semirreta.
2. Saber que o «axioma euclidiano de paralelismo» estabelece que
por um ponto fora de uma reta r não passa mais que uma reta a
ela paralela e que é equivalente ao «5.º postulado de Euclides» no
sentido em que substituindo um pelo outro se obtêm axiomáticas
equivalentes.
3. Saber que é possível construir teorias modificando determinadas
axiomáticas da Geometria Euclidiana que incluam o 5.º postulado
de Euclides e substituindo-o pela respetiva negação, designar essas
teorias por «Geometrias não-Euclidianas» e, no caso de não haver
outras alterações à axiomática original para além desta substituição,
saber que se designa a teoria resultante por
«Geometria Hiperbólica» ou «de Lobachewski».
Identificar posições relativas de retas no plano utilizando o
axioma euclidiano de paralelismo
1. Demonstrar que se uma reta interseta uma de duas paralelas e é
com elas complanar então interseta a outra.
2. Demonstrar que são iguais os ângulos correspondentes
determinados por uma secante em duas retas paralelas.
3. Demonstrar que duas retas paralelas a uma terceira num dado
plano são paralelas entre si.
Identificar planos paralelos, retas paralelas e retas paralelas
a planos no espaço euclidiano
1. Saber que a interseção de dois planos não paralelos é uma reta e,
nesse caso, designá-los por «planos concorrentes».
2. Identificar uma reta como «paralela a um plano» quando não o
intersetar.
3. Saber que uma reta que não é paralela a um plano nem está nele
contida interseta-o exatamente num ponto, e, nesse caso, designála por «reta secante ao plano».
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Geometria e Medida
Paralelismo, congruência e semelhança
Identificar e construir figuras congruentes e semelhantes
1. Identificar duas figuras geométricas como «isométricas» ou
«congruentes» quando é possível estabelecer entre os respetivos
pontos uma correspondência um a um de tal modo que pares de
pontos correspondentes são equidistantes e designar uma
correspondência com esta propriedade por «isometria».
2. Identificar duas figuras geométricas como «semelhantes» quando
é possível estabelecer entre os respetivos pontos uma
correspondência um a um de tal modo que as distâncias entre pares
de pontos correspondentes são diretamente proporcionais, designar
a respetiva constante de proporcionalidade por «razão de
semelhança», uma correspondência com esta propriedade por
«semelhança» e justificar que as isometrias são as semelhanças de
razão 1.
3. Saber que toda a figura semelhante a um polígono é um polígono
com o mesmo número de vértices e que toda a semelhança
associada faz corresponder aos vértices e aos lados de um
respetivamente os vértices e os lados do outro.
4. Saber que dois polígonos convexos são semelhantes quando (e
apenas quando) se pode estabelecer uma correspondência entre os
vértices de um e do outro de tal modo que os comprimentos dos
lados e das diagonais do segundo se obtêm multiplicando os
comprimentos dos correspondentes lados e das diagonais do
primeiro por um mesmo número.
5. Decompor um dado triângulo em dois triângulos e um
paralelogramo traçando as duas retas que passam pelo ponto médio
de um dos lados e são respetivamente paralelas a cada um dos dois
outros, justificar que os dois triângulos da decomposição são iguais e
concluir que todos os lados do triângulo inicial ficam assim
bissetados.
6. Reconhecer, dado um triângulo [
], que se uma reta "
intersetar o segmento [ ] no ponto médio M e o segmento [ ]
no ponto , que
=
quando (e apenas quando) " é paralela a
e que, nesse caso,
= 2' .
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20. Identificar, dada uma reflexão Rr de eixo r e um vetor com a
direção da reta r, a «composta da translação
com a reflexão Rr»
como a aplicação que consiste em aplicar a um ponto a reflexão Rr
e, em seguida, a translação
ao ponto Rr ( ) assim obtido e
designar esta aplicação por «reflexão deslizante de eixo r e vetor ».
21. Saber que as imagens de retas, semirretas e ângulos por uma
isometria são respetivamente retas, semirretas e ângulos,
transformando origens em origens, vértices em vértices e lados em
lados.
4. Saber que se uma reta é secante a um de dois planos paralelos
então é também secante ao outro.
5. Saber que se um plano é concorrente com um de dois planos
paralelos então é também concorrente com o outro e reconhecer
que as retas interseção do primeiro com cada um dos outros dois
são paralelas.
6. Saber que duas retas paralelas a uma terceira (as três não
necessariamente complanares) são paralelas entre si.
22. Demonstrar que as isometrias preservam a amplitude dos ângulos 7. Saber que é condição necessária e suficiente para que dois planos
e saber que as únicas isometrias do plano são as translações, rotações, (distintos) sejam paralelos que exista um par de retas concorrentes
reflexões e reflexões deslizantes.
em cada plano, duas a duas paralelas.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias
utilizando raciocínio dedutivo.
8. Provar que dois planos paralelos a um terceiro são paralelos
entre si, saber que por um ponto fora de um plano passa um plano
paralelo ao primeiro e provar que é único.
2. Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de
translação, rotação, reflexão axial e reflexão deslizantes.
Identificar planos perpendiculares e retas perpendiculares a
planos no espaço euclidiano
1. Reconhecer, dados dois planos α e β que se intersetam numa
reta r, que são iguais dois quaisquer ângulos convexos 1! 1 1 e
2! 2 2 de vértices em " e lados perpendiculares a " de forma que
os lados !# 1 e !$ 2 estão num mesmo semiplano determinado
por " em α e os lados !# 1 e!# 2 estão num mesmo semiplano
determinado por " em β, e designar qualquer dos ângulos e a
respetiva amplitude comum por «ângulo dos dois semiplanos».
2. Designar por «semiplanos perpendiculares» dois semiplanos que
formam um ângulo reto e por «planos perpendiculares» os
respetivos planos suporte.
3. Saber que se uma reta r é perpendicular a duas retas s e t num
mesmo ponto , é igualmente perpendicular a todas as retas
complanares a % e & que passam por e que qualquer reta
perpendicular a " que passa por está contida no plano
determinado pelas retas s e t.
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Geometria e Medida
7. Enunciar o Teorema de Tales e demonstrar as condições de
proporcionalidade nele envolvidas por argumentos geométricos em
exemplos com constantes de proporcionalidade racionais.
8. Reconhecer que dois triângulos são semelhantes quando os
comprimentos dos lados de um são diretamente proporcionais aos
comprimentos dos lados correspondentes do outro e designar esta
propriedade por «critério LLL de semelhança de triângulos».
9. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois triângulos
são semelhantes quando os comprimentos de dois lados de um são
diretamente proporcionais aos comprimentos de dois dos lados do
outro e os ângulos por eles formados em cada triângulo são iguais e
designar esta propriedade por «critério LAL de semelhança de
triângulos».
10. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois triângulos
são semelhantes quando dois ângulos internos de um são iguais a
dois dos ângulos internos do outro e designar esta propriedade por
«critério AA de semelhança de triângulos».
11. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois triângulos
semelhantes têm os ângulos correspondentes iguais.
12. Reconhecer que dois quaisquer círculos são semelhantes, com
razão de semelhança igual ao quociente dos respetivos raios.
4. Identificar uma reta como «perpendicular a um plano» num
ponto quando é perpendicular em a um par de retas distintas
desse plano e justificar que uma reta perpendicular a um plano num
ponto é perpendicular a todas as retas do plano que passam por
.
5. Provar que é condição necessária e suficiente para que dois
planos sejam perpendiculares que um deles contenha uma reta
perpendicular ao outro.
6. Saber que existe uma reta perpendicular a um plano passando
por um dado ponto, provar que é única e designar a interseção da
reta com o plano por «pé da perpendicular» e por «projeção
ortogonal do ponto no plano» e, no caso em que o ponto pertence
ao plano, a reta por «reta normal ao plano em ».
7. Saber, dada uma reta " e um ponto , que existe um único plano
perpendicular a " passando por , reconhecer que é o lugar
geométrico dos pontos do espaço que determinam com uma reta
perpendicular a " e designar esse plano por «plano perpendicular
(ou normal) a " passando por » e, no caso de pertencer à reta,
por «plano normal a " em ».
13. Saber que dois polígonos são semelhantes quando (e apenas
quando) têm o mesmo número de lados e existe uma
correspondência entre eles tal que os comprimentos dos lados do
segundo são diretamente proporcionais aos comprimentos dos
lados do primeiro e os ângulos formados por lados correspondentes
são iguais e reconhecer esta propriedade em casos concretos por
triangulações.
8. Reconhecer que se uma reta é perpendicular a um de dois planos
paralelos então é perpendicular ao outro e que dois planos
perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
14. Dividir, dado um número natural n, um segmento de reta em n
segmentos de igual comprimento utilizando régua e compasso, com
ou sem esquadro.
Resolver problemas
9. Designar por «plano mediador» de um segmento de reta [ ] o
plano normal à reta suporte do segmento de reta no respetivo
ponto médio e reconhecer que é o lugar geométrico dos pontos do
espaço equidistantes de e .
1. Resolver problemas envolvendo as posições relativas de retas e
planos.
Construir e reconhecer propriedades das homotetias
1. Identificar, dado um ponto ! e um número racional positivo ", a
«homotetia de centro ! e razão "» como a correspondência que a
um ponto ' associa o ponto '’ da semirreta ! ' tal que
!'′ = r !'.
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2. Identificar, dado um ponto ! e um número racional negativo ", a
«homotetia de centro ! e razão "» como a correspondência que a
um ponto ' associa o ponto '’ da semirreta ! ' tal que
!'′ = − r !'.
3. Utilizar corretamente os termos «homotetia direta», «homotetia
inversa», «ampliação», «redução» e «figuras homotéticas».
4. Reconhecer que duas figuras homotéticas são semelhantes, sendo
a razão de semelhança o módulo da razão da homotetia.
5. Construir figuras homotéticas utilizando quadrículas ou utilizando
régua e compasso.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo semelhanças de triângulos e
homotetias, podendo incluir demonstrações geométricas.
Medida
Medir comprimentos de segmentos de reta com diferentes
unidades
Medida
Definir distâncias entre pontos e planos, retas e planos e
entre planos paralelos
1. Reconhecer, fixada uma unidade de medida de comprimento, um
segmento de reta [ ] de medida + e um segmento de reta [ ]
de medida +’, que a medida de [ ] tomando o comprimento de
-.
[ ] para unidade de medida é igual a .
1. Identificar, dado um ponto e um plano π, a «distância entre o
ponto e o plano» como a distância de à respetiva projeção
ortogonal em π e provar que é inferior à distância de a qualquer
outro ponto do plano.
2. Reconhecer que o quociente entre as medidas de comprimento
de dois segmentos de reta se mantém quando se altera a unidade
de medida considerada.
2. Reconhecer, dada uma reta " paralela a um plano α, que o plano
π definido pela reta " e pelo pé da perpendicular traçada de um
ponto de r para α é perpendicular ao plano α, que os pontos da
reta p interseção dos planos α e π são os pés das perpendiculares
traçadas dos pontos da reta " para o plano π, designar / por
«projeção ortogonal da reta " no plano α» e a distância entre as
retas paralelas " e / por «distância entre a reta " e o plano α»,
justificando que é menor do que a distância de qualquer ponto
de " a um ponto do plano distinto da respetiva projeção ortogonal.
-
3. Designar dois segmentos de reta por «comensuráveis» quando
existe uma unidade de medida de comprimento tal que a medida de
ambos é expressa por números inteiros.
4. Reconhecer que se existir uma unidade de comprimento tal que a
hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo isósceles têm
2
medidas naturais respetivamente iguais a a e a 0 então a = 2b2,
decompondo o triângulo em dois triângulos a ele semelhantes pela
altura relativa à hipotenusa, e utilizar o Teorema fundamental da
aritmética para mostrar que não existem números naturais a e 0
nessas condições, mostrando que o expoente de 2 na decomposição
2
em números primos do número natural a teria de ser
simultaneamente par e ímpar.
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3. Reconhecer, dados dois planos paralelos α e β, que são iguais as
distâncias entre qualquer ponto de um e a respetiva projeção
ortogonal no outro, designar esta distância comum por «distância
entre os planos α e β» e justificar que é menor que a distância
entre qualquer par de pontos, um em cada um dos planos, que
não sejam projeção ortogonal um do outro.
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5. Justificar que a hipotenusa e um cateto de um triângulo retângulo
isósceles não são comensuráveis e designar segmentos de reta com
esta propriedade por «incomensuráveis».
6. Reconhecer que dois segmentos de reta são comensuráveis quando
(e apenas quando), tomando um deles para unidade de comprimento,
existe um número racional positivo r tal que a medida do outro é igual
a r.
Calcular medidas de áreas de quadriláteros
Comparar e calcular áreas e volumes
1. Saber que a decomposição de um prisma triangular reto em três
pirâmides com o mesmo volume permite mostrar que o volume de
qualquer pirâmide triangular é igual a um terço do produto da área
de uma base pela altura correspondente.
2. Reconhecer, por decomposição em pirâmides triangulares, que o
volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área
da base pela altura.
1. Provar, fixada uma unidade de comprimento, que a área de um
papagaio (e, em particular, de um losango), com diagonais de
×4
comprimentos D e d unidades, é igual a
unidades quadradas.
3. Saber que o volume de um cone é igual a um terço do produto da
área da base pela altura, por se poder aproximar por volumes de
pirâmides de bases inscritas e circunscritas à base do cone e o
mesmo vértice.
2. Identificar a «altura» de um trapézio como a distância entre as
bases.
4. Saber que o volume de uma esfera é igual a
raio da esfera.
3. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a área de
um trapézio de bases de comprimentos B e b unidades e altura a
9:
unidades é igual a
× a unidades quadradas.
5. Saber que comprimento de um arco de circunferência e a área de
um setor circular são diretamente proporcionais à amplitude do
respetivo ângulo ao centro.
$
$
Relacionar perímetros e áreas de figuras semelhantes
1. Provar, dados dois polígonos semelhantes ou dois círculos que o
perímetro do segundo é igual ao perímetro do primeiro multiplicado
pela razão da semelhança que transforma o primeiro no segundo.
56
7
87 , onde 8 é o
6. Saber que numa dada circunferência ou em circunferências iguais
arcos (respetivamente setores circulares) com comprimentos
(respetivamente áreas) iguais são geometricamente iguais.
7. Identificar a área da superfície de um poliedro como a soma das
áreas das respetivas faces.
3. Saber, dadas duas figuras planas semelhantes, que a medida da
área da segunda é igual à medida da área da primeira multiplicada
pelo quadrado da razão da semelhança que transforma a primeira na
segunda.
8. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a área (da
superfície) lateral de um cone reto é igual ao produto da medida da
geratriz pelo raio da base multiplicado por , sabendo que pode ser
aproximada pelas áreas (das superfícies) laterais de pirâmides com
o mesmo vértice e bases inscritas ou circunscritas à base do cone,
ou, em alternativa, observando que a planificação da superfície
lateral corresponde a um setor circular de raio igual à geratriz.
9. Saber que a área de uma superfície esférica é igual a 4;8$ , onde
8 é o raio da esfera.
Resolver problemas
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de
figuras semelhantes.
1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas e volumes de
sólidos.
2. Provar que dois quadrados são semelhantes e que a medida da área
do segundo é igual à medida da área do primeiro multiplicada pelo
quadrado da razão da semelhança que transforma o primeiro no
segundo.
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Trigonometria
Definir e utilizar razões trigonométricas de ângulos agudos
1. Construir, dado um ângulo agudo θ, triângulos retângulos dos
quais θ é um dos ângulos internos, traçando perpendiculares de
um ponto qualquer, distinto do vértice, de um dos lados de θ para
o outro lado, provar que todos os triângulos que assim se podem
construir são semelhantes e também semelhantes a qualquer
triângulo retângulo que tenha um ângulo interno igual a θ.
2. Designar, dado um ângulo agudo θ interno a um triângulo
retângulo e uma unidade de comprimento, por «seno de θ» o
quociente entre as medidas do comprimento do cateto oposto a θ e
da hipotenusa e representá-lo por sin (θ), sin θ, sen (θ) ou sen θ.
3. Designar, dado um ângulo agudo θ interno a um triângulo
retângulo e uma unidade de comprimento, por «cosseno de θ» o
quociente entre as medidas do comprimento do cateto adjacente a
θ e da hipotenusa e representá-lo por cos (θ) ou cos (θ).
4. Designar, dado um ângulo agudo θ interno a um triângulo retângulo e
uma unidade de comprimento, por «tangente de θ» o quociente entre
as medidas do comprimento do cateto oposto a θ e do cateto adjacente
a θ e representá-lo por tan (θ), tan θ, tg (θ) ou tg θ.
5. Designar seno de θ, cosseno de θ e tangente de θ por «razões
trigonométricas» de θ.
6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados dois
> , que o seno, cosseno
ângulos θ e θ’ com a mesma amplitude θ= = θ′
e tangente de θ são respetivamente iguais ao seno, cosseno e
tangente de θ’ e designá-los também respetivamente por seno,
cosseno e tangente de θ=.
7. Justificar que o valor de cada uma das razões trigonométricas de
um ângulo agudo θ (e da respetiva amplitude) é independente da
unidade de comprimento fixada.
8. Reconhecer que o seno e o cosseno de um ângulo agudo são
números positivos menores do que 1.
9. Provar que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um
ângulo agudo é igual a 1 e designar este resultado por «fórmula
fundamental da Trigonometria».
10. Provar que a tangente de um ângulo agudo é igual à razão
entre os respetivos seno e cosseno.
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11. Provar que seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de um
ângulo complementar.
12. Determinar, utilizando argumentos geométricos, as razões
trigonométricas dos ângulos de 45º, 30º e 60º.
13. Utilizar uma tabela ou uma calculadora para determinar o valor
(exato ou aproximado) da amplitude de um ângulo agudo a partir
de uma das suas razões trigonométricas.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias
utilizando as razões trigonométricas dos ângulos de 45º, 30º e 60º.
2. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias
utilizando ângulos agudos dados e as respetivas razões trígonométricas dadas por uma máquina de calcular ou por uma tabela.
3. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias a
pontos inacessíveis utilizando ângulos agudos e as respetivas razões
trigonométricas.
Lugares Geométricos envolvendo pontos notáveis de
triângulos
Identificar lugares geométricos
1. Provar que as mediatrizes dos lados de um triângulo se
intersetam num ponto, designá-lo por «circuncentro do triângulo» e
provar que o circuncentro é o centro da única circunferência
circunscrita ao triângulo.
2. Provar que a bissetriz de um ângulo convexo é o lugar geométrico
dos pontos do ângulo que são equidistantes das retas suportes dos
lados do ângulo.
3. Provar que as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se
intersetam num ponto, designá-lo por «incentro do triângulo» e provar que o incentro é o centro da circunferência inscrita ao triângulo.
4. Saber que as três alturas de um triângulo são concorrentes e
designar o ponto de interseção por «ortocentro» do triângulo.
5. Justificar que a reta que bisseta dois dos lados de um triângulo é paralela ao terceiro e utilizar semelhança de triângulos para mostrar que
duas medianas se intersetam num ponto que dista do vértice 2/3 do
comprimento da respetiva mediana e concluir que as três medianas de
um triângulo são concorrentes, designando-se o ponto de interseção
por «baricentro», «centro de massa» ou «centroide» do triângulo.
6. Determinar, por construção, o incentro, circuncentro, ortocentro
e baricentro de um triângulo.
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Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo lugares geométricos no plano.
Circunferência
Conhecer propriedades de ângulos, cordas e arcos definidos
numa circunferência
1. Identificar «arco de circunferência» como a interseção de uma
dada circunferência com um ângulo ao centro e utilizar
corretamente o termo «extremos de um arco».
2. Designar, dados dois pontos A e B de uma circunferência de
centro O, não diametralmente opostos, por «arco menor AB», ou
simplesmente «arco AB», o arco determinado na circunferência
pelo ângulo ao centro convexo AOB.
3. Designar, dados dois pontos A e B de uma circunferência de centro O, não diametralmente opostos, por «arco maior AB», o arco
determinado na circunferência pelo ângulo ao centro côncavo AOB.
4. Representar, dados três pontos A, B e P de uma dada circunferência, por arco APB o arco de extremos A e B que contém o P.
5. Designar, dados dois pontos A e B de uma circunferência, por
«corda AB» o segmento de reta [AB], os arcos de extremos A e B
por «arcos subtensos pela corda AB», e quando se tratar de um
arco menor, designá-lo por «arco correspondente à corda AB ».
6. Reconhecer, numa circunferência ou em circunferências iguais,
que cordas e arcos determinados por ângulos ao centro iguais
também são iguais e vice-versa.
7. Identificara «amplitude de um arco de circunferência APB», como
a amplitude do ângulo aocentro correspondente e representá-la por
? , ou simplesmente por @ quando se tratar de um arco menor.
8. Reconhecer que são iguais arcos (respetivamente cordas)
determinados por duas retas paralelas e entre elas compreendidos.
9. Demonstrar que qualquer reta que passa pelo centro de uma
circunferência e é perpendicular a uma corda a bisseta, assim como
aos arcos subtensos e aos ângulos ao centro correspondentes.
10. Designar por «ângulo inscrito» num arco de circunferência
qualquer ângulo de vértice no arco e distinto dos extremos e com
lados passando por eles, o arco por «arco capaz do ângulo inscrito»
e utilizar corretamente a expressão «arco compreendido entre os
lados» de um ângulo inscrito.
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13
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Geometria e Medida
11. Demonstrar que a amplitude de um ângulo inscrito é igual a
metade da amplitude do arco compreendido entre os respetivos
lados e, como corolários, que ângulos inscritos no mesmo arco têm
a mesma amplitude e que um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto.
12. Designar por «segmento de círculo» a região do círculo
compreendida entre uma corda e um arco por ela subtenso, dito
«maior» quando o arco for maior e «menor» quando o arco for menor.
13. Provar que um ângulo de vértice num dos extremos de uma
corda, um dos lados contendo a corda e o outro tangente à
circunferência («ângulo do segmento»), tem amplitude igual a
metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
14. Designar por ângulo «ex-inscrito num arco de circunferência»
um ângulo adjacente a um ângulo inscrito e a ele suplementar, e
provar que a amplitude de um ângulo ex-inscrito é igual à
semissoma das amplitudes dos arcos correspondentes às cordas
que as retas suporte dos lados contêm.
15. Provar que a amplitude de um ângulo convexo de vértice no
interior de um círculo é igual à semissoma das amplitudes dos arcos
compreendidos entre os lados do ângulo e os lados do ângulo
verticalmente oposto.
16. Provar que a amplitude de um ângulo de vértice exterior a um
círculo e cujos lados o intersetam é igual à semidiferença entre a
maior e a menor das amplitudes dos arcos compreendidos entre os
respetivos lados.
17. Provar que a soma das medidas das amplitudes, em graus, dos
ângulos internos de um polígono com A lados é igual a (A − 2)180
e deduzir que a soma de A ângulos externos com vértices distintos é
igual a um ângulo giro.
18. Provar que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero
inscrito numa circunferência é igual a um ângulo raso.
Resolver problemas
1. Construir um polígono regular com A lados inscrito numa
circunferência sendo conhecido um dos seus vértices e o centro da
circunferência.
2. Resolver problemas envolvendo a amplitude de ângulos e arcos
definidos numa circunferência.
3. Resolver problemas envolvendo a amplitude de ângulos internos
e externos de polígonos regulares inscritos numa circunferência.
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14
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Funções, Sequências e Sucessões
Funções
Gráficos de funções afins
Funções algébricas
Definir funções
Identificar as equações das retas do plano
Definir funções de proporcionalidade inversa
1. Saber, dados conjuntos A e B, que fica definida uma «função f (ou
aplicação) de A em B», quando a cada elemento x de A se associa um
elemento único de B representado por f(x) e utilizar corretamente os
termos «objeto», «imagem», «domínio», «conjunto de chegada» e
«variável».
2. Designar uma função f de A em B por «f:A→B» ou por «f»
quando esta notação simplificada não for ambígua.
1. Demonstrar, utilizando o teorema de Tales, que as retas não
verticais num dado plano que passam pela origem de um referencial
cartesiano nele fixado são os gráficos das funções lineares e justificar
que o coeficiente de uma função linear é igual à ordenada do ponto
do gráfico com abcissa igual a 1 e à razão de proporcionalidade entre a
ordenada e a abcissa de qualquer ponto da reta, designando-o por
«declive da reta».
3. Saber que duas funções f e g são iguais (f =g)quando (e apenas
quando) têm o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada e
cada elemento do domínio tem a mesma imagem por f e g.
4. Designar, dada uma função f:A→B, por «contradomínio de f» o
conjunto das imagens por f dos elementos de A e representá-lo por
CDf, D’f ou f(A).
5. Representar por «(a, b)» o «par ordenado» de «primeiro
elemento» a e «segundo elemento» b.
6. Saber que pares ordenados (a, b)e (c, d)são iguais quando (e
apenas quando) a = c e b =d.
7. Identificar o gráfico de uma função f:A→B como o conjunto dos pares
ordenados ( , )com x ∈ A e = ( ) e designar neste contexto x
por «variável independente» e y por «variável dependente».
8. Designar uma dada função f:A→B por «função numérica»
(respetivamente «função de variável numérica») quando B
(respetivamente A) é um conjunto de números.
9. Identificar, fixado um referencial cartesiano num plano, o «gráfico
cartesiano» de uma dada função numérica f de variável numérica
como o conjunto G constituído pelos pontos P do plano cuja
ordenada é a imagem por f da abcissa e designar o gráfico
cartesiano por «gráfico de f» quando esta identificação não for
ambígua e a expressão « = ( )» por «equação de G».
10. Identificar e representar funções com domínios e conjuntos de
chegada finitos em diagramas de setas, tabelas e gráficos
cartesianos e em contextos variados.
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2. Reconhecer, dada uma função : →ℝ( ∈ℝ)que o gráfico da
função definida pela expressão ( ) = ( ) + (sendo um
número real) se obtém do gráfico da função f por translação de vetor
definido pelo segmento orientado de origem no ponto de
coordenadas (0, 0) e extremidade de coordenadas (0, ).
3. Reconhecer que as retas não verticais são os gráficos das funções
afins e, dada uma reta de equação =
+ , designar por
«declive» da reta e por «ordenada na origem».
4. Reconhecer que duas retas não verticais são paralelas quando (e
apenas quando) têm o mesmo declive.
5. Reconhecer, dada uma reta determinada por dois pontos, A de
coordenadas ( ,
) e B de coordenadas ( ,
), que a reta não é
vertical quando (e apenas quando) ( ≠ ) e que, nesse caso, o
declive de é igual a
.
6. Reconhecer que os pontos do plano de abcissa igual a c (sendo c
um dado número real) são os pontos da reta vertical que passa pelo
ponto de coordenadas (!, 0) e designar por equação dessa reta a
equação « = !».
Resolver problemas
1. Determinar a expressão algébrica de uma função afim dados dois
pontos do respetivo gráfico.
2. Determinar a equação de uma reta paralela a outra dada e que
passa num determinado ponto.
3. Resolver problemas envolvendo equações de retas em contextos
diversos.
1. Reconhecer, dada uma grandeza inversamente proporcional a
outra, que, fixadas unidades, a «função de proporcionalidade
inversa f » que associa à medida da segunda a correspondente
medida = ( ) da primeira satisfaz, para todo o número real
positivo , ( ) = ( ) (ao multiplicar a variável
independente por um dado número positivo, a variável
dependente = ( ) fica multiplicada pelo inverso desse
número) e, considerando = 1, que f é uma função dada por
uma expressão da forma ( ) = , onde = (1) e concluir
que é a constante de proporcionalidade inversa.
2. Saber, fixado um referencial cartesiano no plano, que o gráfico
de uma função de proporcionalidade inversa é uma curva
designada por «ramo de hipérbole» cuja reunião com a respetiva
imagem pela reflexão central relativa à origem pertence a um
conjunto mais geral de curvas do plano designadas por
«hipérboles».
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo funções de proporcionalidade
inversa em diversos contextos.
Interpretar graficamente soluções de equações do
segundo grau
1. Saber, fixado um referencial cartesiano no plano, que o gráfico
de uma função dada por uma expressão da forma ( ) = ( número real não nulo) é uma curva designada por «parábola de
eixo vertical e vértice na origem».
2. Reconhecer que o conjunto-solução da equação de 2.º grau
+ + ! = 0é o conjunto das abcissas dos pontos de
interseção da parábola de equação = , com a reta de
equação = − − !.
15
D
Metas Curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Funções, Sequências e Sucessões
Operar com funções
1. Identificar a soma de funções numéricas com um dado domínio A
e conjunto de chegada ℚcomo a função de mesmo domínio e
conjunto de chegada tal que a imagem de cada x ∈ A é a soma das
imagens e proceder de forma análoga para subtrair, multiplicar e
elevar funções a um expoente natural.
2. Efetuar operações com funções de domínio finito definidas por
tabelas, diagramas de setas ou gráficos cartesianos.
3. Designar, dado um número racional b, por «função constante
igual a b» a função f:ℚ→ℚ tal que f(x)=bpara cada x∈ℚ e
designar as funções com esta propriedade por «funções constantes»
ou apenas «constantes» quando esta designação não for ambígua.
4. Designar por «função linear» uma função f:ℚ→ℚ para a qual
existe um número racional a tal que f(x)=ax, para todo o x ∈ℚ,
designando esta expressão por «forma canónica» da função linear e
a por «coeficiente de f».
5. Identificar uma função afim como a soma de uma função linear
com uma constante e designar por «forma canónica» da função afim
a expressão «ax + b», onde a é o coeficiente da função linear e b o
valor da constante, e designar a por «coeficiente de x» e b por
«termo independente».
6. Provar que o produto por constante, a soma e a diferença de
funções lineares são funções lineares de coeficientes
respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à
diferença dos coeficientes das funções dadas.
7. Demonstrar que o produto por constante, a soma e a diferença de
funções afins são funções afins de coeficientes da variável e termos
independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à
soma e à diferença dos coeficientes e dos termos independentes das
funções dadas.
8. Identificar funções lineares e afins reduzindo as expressões dadas
para essas funções à forma canónica.
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D
Metas Curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Funções, Sequências e Sucessões
Definir funções de proporcionalidade direta
1. Reconhecer, dada uma grandeza diretamente proporcional a
outra, que, fixadas unidades, a «função de proporcionalidade direta
f» que associa à medida m da segunda a correspondente medida
y =f(m) da primeira satisfaz, para todo o número positivo x,
f(xm)=x f(m) (ao multiplicar a medida m da segunda por um dado
número positivo, a medida y=f(m) da primeira fica também
multiplicada por esse número) e, considerando m =1, que f é uma
função linear de coeficiente a =f(1).
2. Reconhecer, dada uma grandeza diretamente proporcional a
outra, que a constante de proporcionalidade é igual ao coeficiente
da respetiva função de proporcionalidade direta.
3. Reconhecer que uma função f é de proporcionalidade direta
quando (e apenas quando) é constante o quociente entre f(x) e x,
para qualquer x não nulo pertencente ao domínio de f.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo funções de proporcionalidade
direta em diversos contextos.
Definir sequências e sucessões
1. Identificar, dado um número natural N, uma «sequência de N
elementos» como uma função de domínio {1,2,…,N}e utilizar
corretamente a expressão «termo de ordem n da sequência» e
«termo geral da sequência».
2. Identificar uma «sucessão» como uma função de domínio ℕ,
designando por un a imagem do número natural n por u e utilizar
corretamente a expressão «termo de ordem n da sucessão» e
«termo geral da sucessão».
3. Representar, num plano munido de um referencial cartesiano,
gráficos de sequências.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo sequências e sucessões e os
respetivos termos gerais.
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17
D
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7º ANO
8º ANO
9º ANO
Álgebra
Expressões algébricas
Potências de expoente inteiro
Estender a potenciação e conhecer as propriedades das
operações
Inequações
Estender o conceito de potência a expoentes inteiros
Resolver inequações do 1º grau
1. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais as
propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação
e as propriedades distributivas da multiplicação relativamente à
adição e à subtração.
1. Identificar, dado um número não nulo , a potência como o
número 1, reconhecendo que esta definição é a única possível por
=
a expoentes positivos
forma a estender a propriedade
ou nulos.
2. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais, a
identificação do 0 e do 1 como os elementos neutros respetivamente da
adição e da multiplicação de números, do 0 como elemento absorvente
da multiplicação e de dois números como «inversos» um do outro
quando o respetivo produto for igual a 1.
1. Identificar, dadas duas funções numéricas e , uma
«inequação» com uma «incógnita » como uma expressão da forma
« ( ) < ( )», designar, neste contexto, « ( )» por «primeiro
membro da inequação», « ( )» por «segundo membro da
inequação», qualquer tal que ( ) < ( ) por «solução» da
inequação e o conjunto das soluções por «conjunto-solução».
2. Identificar, dado um número não nulo e um número natural , a
como o número , reconhecendo que esta definição é a
potência
única possível por forma a estender a propriedade
=
a
2. Designar uma inequação por «impossível» quando o conjuntoexpoentes inteiros.
solução é vazio e por «possível» no caso contrário.
3. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais o
reconhecimento de que o inverso de um dado número não nulo é
igual a , o inverso do produto é igual ao produto dos inversos, o
3. Estender as propriedades previamente estudadas das potências de
expoente natural às potências de expoente inteiro.
inverso do quociente é igual ao quociente dos inversos e de que,
dados números , ,
( , e não nulos).
e , × =
×
×
( e não nulos) e
=
×
×
4. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a
definição e as propriedades previamente estudadas das potências
de expoente natural de um número.
5. Reconhecer, dado um número racional e um número natural ,
que (− ) = se for par e(− ) = − se for ímpar.
6. Reconhecer, dado um número racional não nulo e um número
natural , que a potência é positiva quando é par e tem o sinal de
quando é ímpar.
7. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as
quatro operações aritméticas, a potenciação e a utilização de
parênteses.
Raízes quadradas e cúbicas
Operar com raízes quadradas e cúbicas racionais
1. Saber, dados dois números racionais positivos e com < ,
que # < # , verificando esta propriedade em exemplos concretos,
considerando dois quadrados de lados com medida de comprimento
respetivamente iguais a e em determinada unidade, o segundo
obtido do primeiro por prolongamento dos respetivos lados.
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3. Identificar duas inequações como «equivalentes» quando tiverem
o mesmo conjunto-solução.
4. Reconhecer que se obtém uma inequação equivalente a uma
dada inequação adicionando ou subtraindo um mesmo número a
ambos os membros, multiplicando-os ou dividindo-os por um
Reconhecer e operar com monómios
mesmo número positivo ou multiplicando-os ou dividindo-os por
1. Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos um mesmo número negativo invertendo o sentido da desigualdade
e designar estas propriedades por «princípios de equivalência».
de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e
letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de
expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» 5. Designar por «inequação do 1º grau com uma incógnita» ou
simplesmente «inequação do 1º grau» qualquer inequação
(ou «indeterminadas»).
« ( ) < ( )» tal que e são funções afins de coeficientes de
2. Designar por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio
distintos e simplificar inequações do 1º grau representando e
uma expressão representando o produto dos respetivos fatores
na forma canónica.
numéricos.
Monómios e Polinómios
3. Designar por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e
por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica.
4. Designar por «parte literal» de um monómio não constante,
estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por
essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes
dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado.
5. Identificar dois monómios não nulos como «semelhantes» quando
têm a mesma parte literal ou partes literais que podem ser obtidas
uma da outra trocando a ordem das variáveis.
6. Simplificar os membros de uma inequação do 1º grau e aplicar os
princípios de equivalência para mostrar que uma dada inequação do
1º grau é equivalente a uma inequação em que o primeiro membro
é dado por uma função linear de coeficiente não nulo e o segundo
membro é constante ( < ").
7. Resolver inequações do 1º grau apresentando o conjunto-solução
na forma de um intervalo.
8. Resolver conjunções e disjunções de inequações do 1º grau e
apresentar o conjunto-solução na forma de um intervalo ou como
reunião de intervalos disjuntos.
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D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Álgebra
2. Saber, dados dois números racionais positivos e com < ,
que $ < $ , verificando esta propriedade em exemplos concretos,
considerando dois cubos de arestas com medida de comprimento
respetivamente iguais e em determinada unidade, o segundo
obtido do primeiro por prolongamento das respetivas arestas.
3. Designar por «quadrados perfeitos» (respetivamente «cubos
perfeitos») os quadrados (respetivamente cubos) dos números
inteiros não negativos e construir tabelas de quadrados e cubos
perfeitos.
4. Reconhecer, dado um quadrado perfeito não nulo ou, mais
geralmente, um número racional igual ao quociente de dois
quadrados perfeitos não nulos, que existem exatamente dois
números racionais, simétricos um do outro, cujo quadrado é igual
a , designar o que é positivo por «raiz quadrada de » e
representá-lo por ) .
5. Reconhecer que 0 é o único número racional cujo quadrado é igual a
0, designá-lo por «raiz quadrada de 0» e representá-lo por √0.
6. Provar, utilizando a definição de raiz quadrada, que para
quaisquer e respetivamente iguais a quocientes de quadrados
perfeitos, que também o são × e (para ≠ 0) , e que) × =
√
) × √ e (para ≠ 0)8 = √ .
7. Reconhecer, dado um cubo perfeito ou, mais geralmente, um
número racional igual ao quociente de dois cubos perfeitos ou ao
respetivo simétrico, que existe um único número racional cujo cubo
é igual a , designá-lo por «raiz cúbica de » e representá-lo por 9) .
8. Provar, utilizando a definição de raiz cúbica, que para quaisquer
e respetivamente iguais a quocientes ou a simétricos de cubos
perfeitos não nulos, que também o são × e (para ≠ 0) , que
9
√
9
9
9
)− = − ) , ) × = ) × √ e (para ≠ 0)8 = 9√ .
9
9
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9
6. Designar por «forma canónica» de um monómio não nulo um
monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e
em seguida a parte literal.
7. Identificar dois monómios como «iguais» quando admitem a
mesma forma canónica ou quando são ambos nulos.
8. Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais.
9. Designar por «grau» de um monómio não nulo a soma dos
expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos
monómios constantes não nulos o grau 0.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo equações do 1º grau.
Equações do 2º grau
Completar quadrados e resolver equações do 2º grau
1. Determinar, dado um polinómio do 2º grau na variável ,
# + " + &, uma expressão equivalente da forma ( + ')# + (,
onde ' e ( são números reais e designar este procedimento por
«completar o quadrado».
2. Resolver equações do 2º grau começando por completar o
quadrado e utilizando os casos notáveis da multiplicação
3. Reconhecer que uma equação do segundo grau na variável ,
10. Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva
+ #
+- . /
#
«soma algébrica» como um monómio com a mesma parte literal e
+ " + & = 0, é equivalente à equação * + , = e
#
. cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas. designar a expressão ∆ = " # − 4 &por «binómio discriminante»
ou simplesmente «discriminante» da equação.
11. Identificar o «produto de monómios» como um monómio cuja
4. Reconhecer que uma equação do 2º grau não tem soluções se o
parte numérica é igual ao produto dos coeficientes dos fatores e a
respetivo discriminante é negativo, tem uma única solução
parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à
+
* = − , se o discriminante é nulo e tem duas soluções
soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém nos
#
+±√+- . /
monómios dados.
4 =
6 se o discriminante for positivo, e designar este
#
resultado por «fórmula resolvente».
12. Multiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios
semelhantes.
5. Saber de memória a fórmula resolvente e aplicá-la à resolução de
equações completas do 2º grau.
13. Reconhecer, dada uma soma de monómios semelhantes, que
Resolver problemas
substituindo as indeterminadas por números obtém-se uma expressão
numérica de valor igual à soma dos valores das expressões numéricas 1. Resolver problemas geométricos e algébricos envolvendo
que se obtêm substituindo, nas parcelas, as indeterminadas
equações do 2º grau.
respetivamente pelos mesmos números.
14. Reconhecer, dado um produto de monómios, que substituindo as
indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de
igual valor ao produto dos valores das expressões numéricas que se
obtêm substituindo, nos fatores, as indeterminadas respetivamente
pelos mesmos números.
Proporcionalidade Inversa
Relacionar grandezas inversamente proporcionais
1. Identificar uma grandeza como «inversamente proporcional» a
outra quando dela depende de tal forma que, fixadas unidades, ao
multiplicar a medida da segunda por um dado número positivo, a
medida da primeira fica multiplicada pelo inverso desse número.
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D
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7º ANO
8º ANO
9º ANO
Álgebra
9. Determinar, na forma fracionária ou como dízimas, raízes
quadradas (respetivamente cúbicas) de números racionais que
possam ser representados como quocientes de quadrados perfeitos
(respetivamente quocientes ou simétrico de quocientes de cubos
perfeitos) por inspeção de tabelas de quadrados (respetivamente
cubos) perfeitos.
10. Reconhecer, dado um número racional representado como dízima
e tal que deslocando a vírgula duas (respetivamente três) casas
decimais para a direita obtemos um quadrado (respetivamente
cubo) perfeito, que é possível representá-lo como fração decimal
cujos termos são quadrados (respetivamente cubos) perfeitos e
determinar a representação decimal da respetiva raiz quadrada
(respetivamente cúbica).
11. Determinar as representações decimais de raízes quadradas
(respetivamente cúbicas) de números racionais representados na
forma de dízimas, obtidas por deslocamento da vírgula para a
esquerda um número par de casas decimais (respetivamente um
número de casas decimais que seja múltiplo de três) em
representações decimais de números retirados da coluna de
resultados de tabelas de quadrados (respetivamente cubos) perfeitos.
Equações algébricas
Resolver equações do 1º grau
1. Identificar, dadas duas funções f e , uma «equação» com uma
«incógnita » como uma expressão da forma « ( ) = ( )»,
designar, neste contexto, « ( )» por «primeiro membro da equação»,
« ( )» por «segundo membro da equação», qualquer tal que
( ) = ( ) por «solução» da equação e o conjunto das soluções
por «conjunto-solução».
2. Designar uma equação por «impossível» quando o conjunto-solução
é vazio e por «possível» no caso contrário.
3. Identificar duas equações como «equivalentes» quando tiverem o
mesmo conjunto-solução e utilizar corretamente o símbolo « ⇔».
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Reconhecer e operar com polinómios
1. Designar por «polinómio» um monómio ou uma expressão ligando
monómios (designados por «termos do polinómio») através de sinais
de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração
tomando-se, para o efeito, o simétrico da parte numérica do monómio
que se segue ao sinal.
2. Designar por «variáveis do polinómio» ou «indeterminadas do
polinómio» as variáveis dos respetivos termos e por «coeficientes do
polinómio» os coeficientes dos respetivos termos.
2. Reconhecer que uma grandeza é inversamente proporcional a
outra da qual depende quando, fixadas unidades, o produto da
medida da primeira pela medida da segunda é constante e utilizar
corretamente o termo «constante de proporcionalidade inversa».
3. Reconhecer que se uma grandeza é inversamente proporcional a
outra então a segunda é inversamente proporcional à primeira e as
constantes de proporcionalidade inversa são iguais.
Resolver problemas
3. Designar por «forma reduzida» de um polinómio qualquer
polinómio que se possa obter do polinómio dado eliminando os
termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e
eliminando as somas nulas, e, no caso de por este processo não se
obter nenhum termo, identificar a forma reduzida como «0».
1. Resolver problemas envolvendo grandezas inversamente e
diretamente proporcionais em contextos variados.
4. Designar por polinómios «iguais» os que admitem uma mesma
forma reduzida, por «termo independente de um polinómio» o termo
de grau 0 de uma forma reduzida e por «polinómio nulo» um
polinómio com forma reduzida «0».
5. Designar por «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus
dos termos de uma forma reduzida desse polinómio.
6. Identificar, dados polinómios não nulos, o «polinómio soma»
(respetivamente «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os
polinómios parcelas através do sinal de adição (respetivamente
«subtração») e designar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados.
7. Reconhecer que se obtém uma forma reduzida da soma algébrica de dois
polinómios na forma reduzida adicionando algebricamente os coeficientes
dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim
obtidas e adicionando os termos assim obtidos, ou concluir que a soma
algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados.
8. Identificar o «produto» de dois polinómios como o polinómio que
se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um
por um termo do outro e adicionando os resultados obtidos.
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D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
4. Identificar uma equação « ( ) = ( )» como «numérica»
quando f e são funções numéricas, reconhecer que se obtém uma
equação equivalente adicionando ou subtraindo um mesmo número a
ambos os membros, ou multiplicando-os ou dividindo-os por um
mesmo número não nulo e designar estas propriedades por
«princípios de equivalência».
5. Designar por «equação linear com uma incógnita» ou simplesmente
«equação linear» qualquer equação « ( ) = ( )» tal que f e
são funções afins.
6. Simplificar ambos os membros da equação e aplicar os princípios de
equivalência para mostrar que uma dada equação linear é equivalente
a uma equação em que o primeiro membro é dado por uma função
linear e o segundo membro é constante ( = ").
7. Provar, dados números racionais e ", que a equação
="é
impossível se = 0e " ≠ 0, que qualquer número é solução se
= " = 0(equação linear possível indeterminada), que se ≠ 0 a
+
única solução é o número racional (equação linear possível
determinada) e designar uma equação linear determinada por
«equação algébrica de 1º grau».
8. Resolver equações lineares distinguindo as que são impossíveis das
que são possíveis e entre estas as que são determinadas ou
indeterminadas, e apresentar a solução de uma equação algébrica de
1º grau na forma de fração irredutível ou numeral misto ou na forma
de dízima com uma aproximação solicitada.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo equações lineares.
8º ANO
9º ANO
Álgebra
9. Reconhecer, dada uma soma (respetivamente produto) de
polinómios, que substituindo as indeterminadas por números
racionais, obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma
(respetivamente produto) dos valores das expressões numéricas que
se obtêm substituindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as
indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.
10. Reconhecer os casos notáveis da multiplicação como igualdades
entre polinómios e demonstrá-los.
11. Efetuar operações entre polinómios, determinar formas reduzidas
e os respetivos graus.
Resolver problemas
1. Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e
volumes interpretando geometricamente igualdades que os envolvam.
2. Fatorizar polinómios colocando fatores comuns em evidência e
utilizando os casos notáveis da multiplicação de polinómios.
Equações incompletas de 2º grau
Resolver equações do 2º grau
1. Designar por equação do 2º grau com uma incógnita uma equação
equivalente à que se obtém igualando a «0» um polinómio de 2º grau
com uma variável.
2. Designar a equação do 2º grau # + " + & = 0 ( ≠0) por
«incompleta» quando " = 0ou & = 0.
3. Provar que se um produto de números é nulo então um dos fatores é
nulo e designar esta propriedade por «lei do anulamento do produto».
4. Demonstrar que a equação do 2º grau # = :não tem soluções se
: < 0, tem uma única solução se : = 0 e tem duas soluções
simétricas se : > 0.
5. Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações de
2º grau, reconhecendo, em cada caso, que não existem mais do que
duas soluções e simplificando as expressões numéricas das eventuais
soluções.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo equações de 2º grau.
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D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Álgebra
Equações literais
Reconhecer e resolver equações literais em ordem a uma das
incógnitas
1. Designar por «equação literal» uma equação que se obtém
igualando dois polinómios de forma que pelo menos um dos
coeficientes envolva uma ou mais letras.
2. Resolver equações literais do 1º e do 2º grau em ordem a uma dada
incógnita considerando apenas essa incógnita como variável dos
polinómios envolvidos e as restantes letras como constantes.
Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas
Resolver sistemas de duas equações do 1º grau a duas incógnitas
1. Designar por «sistema de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas x e <» um sistema de duas equações numéricas redutíveis à
forma « + "< = &» tal que os coeficientes e " não são ambos
nulos e utilizar corretamente a expressão «sistema na forma canónica».
2. Designar, fixada uma ordem para as incógnitas, o par ordenado de
números ( , < ) como «solução de um sistema com duas incógnitas»
quando, ao substituir em cada uma das equações a primeira incógnita por
e a segunda por < se obtêm duas igualdades verdadeiras e por
«sistemas equivalentes» sistemas com o mesmo conjunto de soluções.
3. Interpretar geometricamente os sistemas de duas equações de 1º grau
num plano munido de um referencial cartesiano e reconhecer que um tal
sistema ou não possui soluções («sistema impossível»), ou uma única
solução («sistema possível e determinado») ou as soluções são as
coordenadas dos pontos da reta definida por uma das duas equações
equivalentes do sistema («sistema possível e indeterminado»).
4. Resolver sistemas de duas equações do 1º grau pelo método de
substituição.
Resolver problemas
1. Resolver problemas utilizando sistemas de equações do 1º grau
com duas incógnitas.
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22
D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Organização e tratamento de dados
Medidas de localização
Representar, tratar e analisar conjuntos de dados
Diagramas de extremos e quartis
Representar, tratar e analisar conjuntos de dados
Histogramas
Organizar e representar dados em histogramas
1. Estender a noção de variável estatística quantitativa ao caso em
que cada classe fica determinada por um intervalo de números,
fechado à esquerda e aberto à direita, sendo esses intervalos
disjuntos dois a dois e de união igual a um intervalo (e estender
também ao caso em que se interseta cada um desses intervalos com
um conjunto finito pré-determinado de números), designando
também cada intervalo por «classe».
1. Construir, considerado um conjunto de dados numéricos, uma
sequência crescente em sentido lato repetindo cada valor um
número de vezes igual à respetiva frequência absoluta, designando-a
por «sequência ordenada dos dados» ou simplesmente por «dados
ordenados».
1. Identificar, dado um conjunto de dados numéricos (sendo
ímpar), o «primeiro quartil» (respetivamente «terceiro quartil») como a
mediana do subconjunto de dados de ordem inferior (respetivamente
na sequência ordenada do conjunto inicial de dados.
superior) a
2. Identificar, dado um conjunto de dados numéricos, a
«mediana» como o valor central no caso de ser ímpar (valor do
elemento de ordem
da sequência ordenada dos dados), ou como
a média aritmética dos dois valores centrais (valores dos elementos
de ordens e + 1 da sequência ordenada dos dados) no caso de
ser par e representar a mediana por « » ou « ».
2. Identificar, dado um conjunto de dados numéricos (sendo par),
o «primeiro quartil» (respetivamente «terceiro quartil») como a
2. Identificar uma variável estatística quantitativa como «discreta»
mediana do subconjunto de dados de ordem inferior ou igual a
quando cada classe fica determinada por um número ou um
(respetivamente superior ou igual a + 1) na sequência ordenada do conjunto finito de números e como «contínua» quando se associa a
cada classe um intervalo.
conjunto inicial de dados.
3. Determinar a mediana de um conjunto de dados numéricos.
4. Reconhecer, considerado um conjunto de dados numéricos, que
pelo menos metade dos dados têm valores não superiores à
mediana.
5. Designar por «medidas de localização» a média, a moda e a
mediana de um conjunto de dados.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados
em tabelas de frequência, diagramas de caule-e-folhas, gráficos de
barras e gráficos circulares.
3. Identificar, considerado um conjunto de dados numéricos, o
«segundo quartil» como a mediana desse conjunto e representar os
primeiro, segundo e terceiro quartis respetivamente por 1, 2 e 3.
4. Reconhecer, considerado um conjunto de dados numéricos, que
pelo menos um quarto dos dados têm valores não superiores ao
primeiro quartil e que pelo menos três quartos dos dados têm valores
não superiores ao terceiro quartil.
5. Representar conjuntos de dados quantitativos em diagramas de
extremos e quartis.
3. Reagrupar as unidades de uma população em classes com base
num conjunto de dados numéricos de modo que as classes tenham
uma mesma amplitude pré-fixada e designar este processo por
«agrupar os dados em classes da mesma amplitude».
4. Identificar, considerado um conjunto de dados agrupados em
classes, «histograma» como um gráfico de barras retangulares
justapostas e tais que a área dos retângulos é diretamente
proporcional à frequência absoluta (e portanto também à frequência
relativa) de cada classe.
6. Identificar a «amplitude interquartil» como a diferença entre o 3.º
5. Reconhecer que num histograma formado por retângulos de
quartil e o 1.º quartil (Q3 – Q1) e designar por «medidas de dispersão»
bases iguais, a respetiva altura é diretamente proporcional à
a amplitude e a amplitude interquartis.
frequência absoluta e à frequência relativa de cada classe.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados
em gráficos diversos e em diagramas de extremos e quartis.
6. Representar, em histogramas, conjuntos de dados agrupados em
classes da mesma amplitude.
Resolver problemas
1. Resolver problemas envolvendo a representação de dados em
tabelas de frequência, diagramas de caule-e-folhas e histogramas.
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D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Organização e tratamento de dados
Probabilidade
Utilizar corretamente a linguagem da probabilidade
1. Identificar uma «experiência» como um processo que conduz a
um resultado pertencente a um conjunto previamente fixado
designado por «universo dos resultados» ou «espaço amostral», não
se dispondo de informação que permita excluir a possibilidade de
ocorrência de qualquer desses resultados, designar os elementos do
espaço amostral por «casos possíveis» e a experiência por
«determinista» quando existe um único caso possível e «aleatória»
em caso contrário.
2. Designar por «acontecimento» qualquer subconjunto do universo
dos resultados de uma experiência aleatória e os elementos de um
acontecimento por «casos favoráveis» a esse acontecimento e
utilizar a expressão «o acontecimento A ocorre» para significar que o
resultado da experiência aleatória pertence ao conjunto A.
3. Designar, dada uma experiência aleatória, o conjunto vazio por
acontecimento «impossível», o universo dos resultados por
acontecimento «certo», um acontecimento por «elementar» se
existir apenas um caso que lhe seja favorável e por «composto» se
existir mais do que um caso que lhe seja favorável.
4. Designar dois acontecimentos por «incompatíveis» ou «disjuntos»
quando a respetiva interseção for vazia e por «complementares»
quando forem disjuntos e a respetiva reunião for igual ao espaço
amostral.
5. Descrever experiências aleatórias que possam ser repetidas
mantendo um mesmo universo de resultados e construídas de modo
a que se espere, num número significativo de repetições, que cada
um dos casos possíveis ocorra aproximadamente com a mesma
frequência e designar os acontecimentos elementares dessas
experiências por «equiprováveis».
6. Designar, dada uma experiência aleatória cujos casos possíveis
sejam em número finito e equiprováveis, a «probabilidade» de um
acontecimento como o quociente entre o número de casos
favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis,
designar esta definição por «regra de Laplace» ou «definição de
Laplace de probabilidade» e utilizar corretamente os termos «mais
provável», «igualmente provável», «possível», «impossível» e
«certo» aplicados, neste contexto, a acontecimentos.
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D
Metas curriculares de Matemática - 3º Ciclo do Ensino Básico
7º ANO
8º ANO
9º ANO
Organização e tratamento de dados
7. Reconhecer que a probabilidade de um acontecimento, de entre
os que estão associados a uma experiência aleatória cujos casos
possíveis sejam em número finito e equiprováveis, é um número
entre 0 e 1 e, nesse contexto, que é igual a 1 a soma das
probabilidades de acontecimentos complementares.
8. Justificar que se e forem acontecimentos disjuntos se tem
∪
=
+
.
9. Identificar e dar exemplos de acontecimentos possíveis,
impossíveis, elementares, compostos, complementares,
incompatíveis e associados a uma dada experiência aleatória.
10. Utilizar tabelas de dupla entrada e diagramas em árvore na
resolução de problemas envolvendo a noção de probabilidade e a
comparação das probabilidades de diferentes acontecimentos
compostos.
11. Realizar experiências envolvendo a comparação das frequências
relativas com as respetivas probabilidades de acontecimentos em
experiências repetíveis (aleatórias), em casos em que se presume
equiprobabilidade dos casos possíveis.
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