UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Modelos de Programação Linear na Gestão
Florestal
Dissertação de Mestrado em
Matemática e Ciências da Natureza
- Carla da Conceição dos Santos Pereira -
Vila Real, 2010
UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Modelos de Programação Linear na Gestão
Florestal
De:
Carla da Conceição dos Santos Pereira
Orientadora:
Professora Doutora Ana Paula Aires
Borges Teixeira Vila Real, 2010 Este trabalho foi elaborado como
dissertação para efeito de obtenção do
grau de Mestre em Matemática e
Ciências
da
Natureza,
sendo
apresentado na Universidade de Trásos-Montes e Alto Douro.
ii Aos meus pais.
Aos meus irmãos.
Ao Paulo Rodrigues, meu marido.
iii Agradecimentos A realização desta investigação frutificou devido ao contributo de inúmeras pessoas,
sem as quais não teria sido possível a sua concretização, e às quais quero deixar uma
palavra de profunda gratidão e apreço:
À Professora Doutora Ana Paula Teixeira pela orientação e rigor científicos, apoio, e
incentivos demonstrados ao longo da elaboração deste estudo.
À minha amiga e cunhada, Dr.ª Patrícia Carvalho, pelo apoio na formatação do texto e
incansável incentivo dado na recta final deste projecto de investigação.
A todos os meus amigos e amigas, avós, irmãos e pais que de uma forma indirecta
contribuíram para o reforço do meu entusiasmo em concluir esta dissertação.
Ao meu marido, Paulo Rodrigues, pelo apoio e incentivo constante, pela ajuda na
formatação dos gráficos e pela companhia nos momentos menos bons.
iv Resumo O objectivo principal do presente trabalho é a análise de Modelos de Programação
Linear aplicados à Gestão de Florestas de Eucaliptos. Para abordar este tema foi
necessário começar por estudar não só algumas noções de Engenharia Florestal e de
Matemática Financeira/Economia, mas também os conceitos fundamentais de Análise
Convexa e de Programação Linear, essenciais à compreensão dos modelos matemáticos
a explorar. De seguida, analisaram-se quatro modelos de Programação Linear que
pretendem representar o problema genérico da Gestão Florestal.
A escolha da análise de modelos de Programação Linear aplicados à Gestão Florestal
como tema a desenvolver nesta dissertação deveu-se ao facto de, por um lado, se
pretender desenvolver um trabalho que envolvesse as áreas da Matemática e das
Ciências da Natureza e, por outro, de as florestas serem a base de sustentação da
indústria de madeira e terem um papel preponderante na economia Mundial. A
preferência pela Floresta de Eucaliptos deu-se em virtude desta espécie ser uma das
árvores mais cultivadas, devido ao seu rápido desenvolvimento e capacidade de
adaptação, e por permitir cortes sucessivos para o aproveitamento da madeira e matériaprima para diversos fins.
Palavras-chave: Programação Linear, Gestão Florestal, modelos matemáticos.
v Abstract This work aims at analyzing Linear Programming models applied to Eucalyptus Forest
Management. To address this issue, we had to begin studying not only some notions of
Forestry and Financial Mathematics / Economics, but also the fundamental concepts of
Convex Analysis and Linear Programming, necessary for understanding the
mathematical models we intended to explore. Next, we analyzed four Linear
Programming models that aim to represent the general problem of forest management.
The analysis of Linear Programming models applied to forest management as a theme
to develop in this dissertation was a choice made not only due to the fact that this was a
theme that involved both the area of mathematics and the area of natural sciences, but
also because forests are the base for timber industry and have a preponderant role in the
worldwide economy. The preference for Eucalyptus Forest occurred because this
species is one of the most planted trees, due to their rapid development and adaptability,
and it allows successive cuts providing wood and raw material for various purposes.
Keywords: Linear Programming, Forest Management, mathematical models vi Índice Agradecimentos ........................................................................................................................... iv Resumo.......................................................................................................................................... v Abstract ........................................................................................................................................ vi Notação .........................................................................................................................................ix
Introdução..................................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................................... 4 Noções de Análise Convexa .......................................................................................................... 4 1.1 Conjuntos Convexos ........................................................................................................... 4 1.2 Cones Convexos................................................................................................................ 11 1.3 Funções Convexas............................................................................................................. 13
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................. 18 Programação Linear .................................................................................................................... 18 2.1 Problemas de Programação Linear.................................................................................... 18 2.2 Teoria da Dualidade .......................................................................................................... 26
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................................. 36 Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal ............................................................... 36 3.1 Noções Preliminares.................................................................................................... 36 3.2 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal....................................................... 41
Conclusão .................................................................................................................................... 55
Referências Bibliográficas ........................................................................................................... 57 vii Índice de Imagens Figura 1.......................................................................................................................................... 6 Figura 2.......................................................................................................................................... 6 Figura 3.......................................................................................................................................... 6 Figura 4.......................................................................................................................................... 6 Figura 5.......................................................................................................................................... 8 Figura 6........................................................................................................................................ 12 Figura 7........................................................................................................................................ 12 Figura 8........................................................................................................................................ 15 Figura 9........................................................................................................................................ 15 Figura 10...................................................................................................................................... 15 Figura 11...................................................................................................................................... 16 Figura 12...................................................................................................................................... 16 Figura 13...................................................................................................................................... 16 Figura 14 ‐ Região admissível do problema (P1). .......................................................................... 1 Figura 15 ‐ Região admissível do problema (P1) com as rectas de nível Z 1 = 0 e Z1 = 1. ........ 23 Figura 16 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P2). ..................................................... 24 Figura 17 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P3)....................................................... 24 Figura 18 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P4)....................................................... 25 Figura 19 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P5)....................................................... 26 Figura 20 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (D7)...................................................... 33 viii Notação ix IR
conjunto dos números reais
IR +
conjunto dos números reais positivos
IR0+
conjunto dos números reais não negativos
IR n
espaço real dos vectores n -dimensionais reais
int (S )
interior do conjunto S
fr (S )
fronteira do conjunto S
S
fecho do conjunto S
cone (S )
envolvente cónica do conjunto S
Sc
complementar do conjunto S
B(a, ε )
bola aberta centrada em a e de raio ε
M m ,n
espaço das matrizes com m linhas e n colunas
a ij
entrada da linha i e da coluna j da matriz A = [a ij ]
AT
transposta da matriz A
(S i : i ∈ I )
família dos conjuntos S i , sendo I o conjunto de índices
min
mínimo/minimizar
max
máximo/maximizar
PL
Programação Linear
(P)
problema de PL de maximização na forma matricial
(D)
dual do problema (P)
x*
solução óptima do problema (P)/maximizante
Z*
valor óptimo do problema (P)
u*
solução óptima do problema (D)
W*
valor óptimo do problema (D)
FP
conjunto das soluções admissíveis do problema (P)
FD
conjunto das soluções admissíveis do problema (D)
FP*
conjunto das soluções óptimas do problema (P)
FD*
conjunto das soluções óptimas do problema (D)
epi ( f )
epigráfico da função f
Lα= ( f )
conjunto de nível α da função f
L≤α ( f )
conjunto de nível inferior a α da função f
L≥α ( f )
conjunto de nível superior a α da função f
H ( p, α )
hiperplano definido pelo vector p e pelo escalar α
H ≥ ( p, α ) semi-espaço fechado superior definido pelo hiperplano
H ( p, α )
H ≤ ( p, α )
semi-espaço fechado inferior definido pelo hiperplano
H ( p, α )
L função Lagrangeana
.2
norma euclideana em IR n
V0 capital inicial/valor presente
Vnt
valor futuro
i taxa de juro anual em decimal
VET
Valor Esperado da Terra
VET*
VET do ciclo economicamente óptimo
RLT
Receita Líquida Total
MGFGI
Modelo de Gestão Florestal Genérico do Tipo I
MGFGII
Modelo de Gestão Florestal Genérico do Tipo II
x Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Introdução Esta dissertação foi realizada no âmbito do Mestrado em Matemática e Ciências da
Natureza e versa a aplicação de modelos de Programação Linear à Gestão de Florestas.
A escolha deste tema foi consequência deste curso ter duas vertentes principais, a de
Matemática e a de Ciências da Natureza; e de se pretender desenvolver um trabalho que
envolvesse estas duas áreas do conhecimento. Assim, vão ser estudados quatro modelos
de Programação Linear aplicados à Gestão Florestal, mais propriamente ao caso da
Floresta de Eucaliptos.
O tema da Gestão Florestal suscitou interesse em virtude das florestas serem a base de
sustentação da indústria de madeira e terem um papel preponderante na economia
mundial. Os países do Mundo com maior área florestal são o Brasil, o Canadá, a Rússia,
os Estados Unidos, o Congo, a China e a Indonésia. Sabendo que o Brasil é considerado
o “pulmão” do Mundo e tendo em conta a ligação histórica que Portugal tem com este
país, pensou-se que a análise da Gestão Florestal levada a cabo neste país poderia ser
uma boa escolha para dar início ao estudo do tema. Por outro lado, a particularização
deste estudo à Floresta de Eucalipto deveu-se ao facto de esta estar presente nos cinco
continentes e, em particular, em todos os estados Brasileiros [3,8].
O eucalipto foi descoberto na Austrália e a disseminação das suas sementes no Mundo
começou no século XIX, tendo proliferado no Brasil no início do século XX, devido ao
aumento da população e à procura de madeira. Esta espécie desenvolve-se com muita
rapidez, possui uma grande capacidade de adaptação, permite cortes sucessivos para o
aproveitamento da madeira, para além de fornecer matéria-prima para diversos fins,
sendo, por isso, uma das árvores mais cultivadas. O eucalipto pode ter como
finalidades: a produção de celulose, papel, postes, energia, aglomerados, carvão vegetal,
derivados para a indústria da madeira, óleos; entre outros. Além disso, as suas folhas
libertam essências que perfumam a natureza para além de serem constituintes de
medicamentos, produtos de higiene e perfumes [3].
1 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Introdução Dada a importância da indústria na sociedade actual, não é surpreendente que sejam
investidas grandes quantias de dinheiro na gestão florestal. Como tal, a aplicação de
critérios de análise económica a esta área é fundamental para se decidir qual a melhor
alternativa de gestão a ser adoptada. A utilização de simulações baseadas nos critérios
técnico-económicos permite, assim, tomar decisões com maior segurança [16].
A Investigação Operacional é um ramo da Matemática Aplicada que tem por objectivo
o desenvolvimento de um conjunto de métodos/algoritmos e modelos matemáticos que
podem ser aplicados à resolução de problemas existentes na indústria e na economia,
entre outros. A Programação Linear, PL, é um dos ramos mais desenvolvidos e
utilizados da Investigação Operacional. O termo "programação" significa planeamento
e resolução de actividades, enquanto o "linear" traduz o facto do modelo matemático
envolver apenas funções/condições lineares.
Embora a PL tivesse origem em 1826, nos estudos de Fourier sobre sistemas de
inequações lineares, apenas em 1939 Kantarovich mostra a importância prática destes
problemas quando desenvolve um algoritmo para os solucionar. O seu auge deu-se na
década de 1940, durante a 2ª Guerra Mundial, quando George Dantzig desenvolveu o
Algoritmo Simplex para resolver problemas de optimização formulados a partir de
questões logísticas da Força Aérea dos E.U.A.. As inovações tecnológicas da última
metade de século XX fomentaram a eficiência dos algoritmos de PL na resolução de
uma grande variedade de problemas envolvendo questões de decisão em vários
domínios, nomeadamente: planeamento da distribuição e produção, planeamento a curto
prazo em aproveitamentos hidroeléctricos, decisões ligadas às políticas micro e
macroeconómicas, entre outros [7].
A PL tem sido aplicada à resolução de problemas de Exploração e Gestão Florestal
desde o início da década de 1960, pois permite a construção de modelos que
representam total ou parcialmente os problemas reais desta área [5,11,13].
Dado que a formação de base dos candidatos a este curso de mestrado não contempla
conceitos de PL nem conhecimentos suficientes de Análise Convexa e que ambos os
temas não foram abordados na parte curricular do referido curso, houve a necessidade
de proceder ao seu estudo no decorrer deste trabalho de investigação. Assim, esta
dissertação é composta por três capítulos, cujo conteúdo se passa a descrever.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 2 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal No primeiro capítulo, abordam-se algumas noções de Análise Convexa, nomeadamente
as relativas a Conjuntos Convexos, Cones Convexos e Funções Convexas, essenciais ao
desenvolvimento do restante trabalho. Demonstram-se, ainda, resultados relacionados
com estes conceitos e que se consideram importantes.
No segundo capítulo introduz-se o problema de PL, constrói-se o seu dual e
apresentam-se alguns dos principais conceitos e resultados relativos à PL e à Teoria da
Dualidade, necessários ao estudo dos modelos de PL aplicados à Gestão de Florestas.
Tal como no Capítulo 1, também se provam os resultados apresentados.
No terceiro capítulo descrevem-se quatro modelos de PL aplicados à Gestão Florestal.
Apresentam-se, ainda, alguns conceitos e nomenclaturas referentes às áreas de
Engenharia Florestal e de Matemática Financeira/Economia, indispensáveis à
compreensão dos modelos estudados.
3 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa CAPÍTULO 1 Noções de Análise Convexa Neste capítulo, apresentam-se alguns conceitos de Análise Convexa fundamentais no
estudo da Programação Linear, PL.
1.1 Conjuntos Convexos
Comece-se por lembrar alguns conceitos de Álgebra Linear.
Definição 1
Um elemento x ∈ IR n diz-se uma combinação linear dos elementos
xi ∈ IR n , i = 1,...,k se existirem λi ∈ IR, i = 1,...,k tais que
k
x = ∑ λi x i .
i =1
Adicionando restrições aos coeficientes λi obtêm-se dois casos particulares de
combinações lineares.
Definição 2
(i) Um elemento x ∈ IR n diz-se uma combinação linear afim dos elementos
xi ∈ IR n , i = 1,...,k se existirem λi ∈ IR , i = 1,...,k , tais que
k
x = ∑ λi x i ,
k
com
i =1
∑ λi = 1 .
i =1
(ii) Um elemento x ∈ IR n diz-se uma combinação linear convexa dos elementos
xi ∈ IR n , i = 1,...,k se existirem λ i ∈ IR 0+ , i = 1,...,k , tais que
k
x = ∑ λi xi ,
i =1
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro com
k
∑λ
i =1
i
= 1.
4 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Associadas às noções de combinação linear afim (convexa) surgem as noções de
conjunto afim (convexo).
Definição 3
(i) Um conjunto S ⊆ R n diz-se afim se, para todo o x, y ∈ S e para todo o
λ ∈ IR, λ x + (1 − λ ) y ∈ S .
(ii) Um conjunto S ⊆ R n diz-se convexo se, para todo o x, y ∈ S e para todo o
λ ∈ [0,1], λ x + (1 − λ ) y ∈ S .
Das definições anteriores é imediato concluir que qualquer conjunto afim é um conjunto
convexo.
O resultado seguinte permite caracterizar um conjunto convexo (afim) através do
conjunto de todas as combinações lineares convexas (afins) dos seus elementos.
Teorema 1 Um conjunto S ⊆ R n é convexo (afim) se, e só se, contiver todas as
combinações lineares convexas (afins) dos seus elementos.
Demonstração. Se S contém todas as combinações lineares convexas (afins) dos seus
elementos então também contém as combinações lineares convexas (afins) de quaisquer
dois dos seus elementos, logo S é convexo (afim).
O recíproco será demonstrado por indução matemática. No caso de considerar apenas
um elemento é imediato. Suponha-se agora que qualquer combinação linear convexa de
k quaisquer elementos de S ainda é um elemento de S. Mostra-se de seguida que
qualquer combinação linear convexa de k+1 elementos arbitrários de S ainda pertence a
S. Considere-se
k +1
x = ∑ λi xi , com xi ∈ S , λi ≥ 0 , i = 1, ..., k + 1 e
i =1
k +1
∑λ
i =1
i
= 1.
Como n > 1 , pelo menos um dos λi < 1 . Suponha-se que λk +1 < 1 . Então, pode
escrever-se
x = λy + λk +1 x k +1 ,
5 (1)
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa com λy = ∑i =1 λi xi e λ = ∑i =1 λi = 1 − λk +1 > 0 .
k
k
Como λ > 0 obtém-se
k
y=∑
i =1
Dado que
λi
> 0 , i = 1,..., k , e
λ
∑
k
i =1
λi
xi .
λ
λi
= 1 , conclui-se que y é combinação linear
λ
convexa de k elementos de S e, portanto, y ∈ S .
Considerando que λ = 1 − λ k +1 e (1), pode escrever-se
x = (1 − λk +1 ) y + λk +1 x k +1 .
Como y, x k +1 ∈ S , 1 − λk +1 > 0 , λk +1 > 0 , (1 − λk +1 ) + λk +1 = 1 e S é convexo, vem que
x∈S .
Logo se S é convexo então S contém todas as combinações convexas dos seus
elementos.
Observe-se que para o caso afim a demonstração é semelhante à apresentada e, como
tal, é omitida.
■
As Figuras 1, 2, 3 e 4 fornecem exemplos de conjuntos convexos e não convexos em
IR 2 .
Figura 1 Figura 2 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Figura 3 Figura 4 6 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal As regiões das Figuras 1 e 2 representam conjuntos convexos enquanto as das Figuras 3
e 4 representam conjuntos não convexos E, F (G, H) pertencem à região da Figura 3 (4)
mas a combinação linear convexa destes pontos não se encontra contida na região
correspondente.
Seguem-se outros exemplos de conjuntos convexos.
Definição 4
Sejam α ∈ IR e p ∈ IR n \ {0} . O hiperplano definido pelo vector p e
pelo escalar α é o seguinte subconjunto de IR n
{
}
H ( p, α ) = x ∈ IR n : p T x = α .
Definição 5
Sejam α ∈ IR e p ∈ IR n\{0} . O hiperplano H(p, α ) define, em IR n , os
semi-espaços fechados
{
H ≥ ( p, α ) = x ∈ IR n : p T x ≥ α
Definição 6
}
e
{
}
H ≤ ( p, α ) = x ∈ IR n : p T x ≤ α .
Sejam x 0 ∈ IR n e d ∈ IR n \ {0} . Um raio é um conjunto de elementos da
forma {x0 + λd:λ ≥ 0}, onde d se designa por direcção do raio e x 0 por vértice do raio.
Define-se de seguida direcção de um conjunto convexo.
Definição 7
Seja S ⊆ IR n um conjunto convexo. Um vector d ∈ IR n\{0} diz-se
direcção de S se para todo o x0 ∈ S , o raio {x0 + λd : λ ≥ 0}∈ S .
Introduzem-se agora as noções de ponto, direcção e raio extremos de um conjunto
convexo.
Definição 8
Seja S ⊆ IR n um conjunto convexo. Um elemento de x ∈ S diz-se
ponto extremo de S se não puder ser escrito como combinação linear convexa de dois
elementos distintos de S, x1 , x 2 , tais que x ≠ x1 e x ≠ x 2 .
7 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa Definição 9
Seja S ⊆ IR n um conjunto convexo. Uma direcção de S diz-se direcção
extrema se não for possível escrevê-la como λ1 d1 + λ2 d 2 , com λ1 ,λ2 ∈ IR + e d1 , d 2
direcções de S tais que d1 não é um múltiplo positivo de d 2 .
Definição 10
Seja S ⊆ IR n um conjunto convexo. Um raio em S diz-se um raio
extremo se a sua direcção for uma direcção extrema.
Seguem-se alguns exemplos que têm por objectivo clarificar os conceitos anteriores. Na
Figura 1, todos os pontos da circunferência são pontos extremos do conjunto, enquanto
na Figura 2, os pontos extremos do conjunto são apenas A, B, C e D.
Considere-se agora a região da Figura 5. Neste caso, I, J e K são os pontos extremos. Os
vectores d1 e d 2 são as direcções extremas e qualquer outra direcção, que não seja
múltiplo de d1 e d 2 , pode representar-se como λ1d1 + λ2 d 2 , com λ1 , λ2 > 0 .
Figura 5 Apresentam-se de seguida alguns resultados relativos a conjuntos convexos. Mas antes
apresentam-se algumas noções topológicas gerais.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 8 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Definição 11
(i) Sejam a ∈ IR n e ε > 0 . Chama-se bola aberta centrada em a de raio ε ao
{
conjunto B (a, ε ) = x ∈ IR n : x − a
2
}
<ε .
(ii) Um elemento a ∈ S ⊆ IR n diz-se ponto interior de S se existe ε > 0 tal que
B(a, ε ) ⊆ S . O conjunto de todos os pontos interiores de S designa-se por interior
de S e denota-se por int(S ) .
(iii) O conjunto S ⊆ IR n diz-se aberto se S = int (S ) .
(iv) Seja a ∈ IR n . Um conjunto V ⊆ IR n diz-se vizinhança de a se existe um conjunto
aberto U tal que a ∈ U e U ⊆ V .
(v)
Um elemento a ∈ IR n diz-se ponto aderente de S ⊆ IR n se toda a vizinhança de
a contém, pelo menos, um ponto de S , isto é, se qualquer que seja o ε > 0
B(a, ε ) ∩ S ≠ 0/ . Ao conjunto de todos os pontos aderentes de S chama-se fecho
de S e representa-se por S .
(vi)
O conjunto S ⊆ IR n diz-se fechado se S = S .
(vii) Um elemento a ∈ IR n diz-se um ponto fronteiro de S ⊆ IR n se não for ponto
interior de S nem ponto interior do complementar de S , isto é, se para todo o
ε > 0 B(a, ε ) ∩ S ≠ 0/ e B(a, ε ) ∩ S c ≠ 0/ , onde S c é o complementar de S . O
conjunto de todos os pontos fronteiros de S diz-se fronteira de S e denota-se
por fr (S ) .
Pode verificar-se facilmente que uma outra forma de obter o fecho de S é
S = int (S ) ∪ fr (S ) .
Definição 12
(i)
O conjunto S ⊆ IR n diz-se limitado se existir uma bola aberta de IR n que
contém S .
(ii)
9 O conjunto S ⊆ IR n é compacto se, e só se, for limitado e fechado.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa O resultado seguinte mostra que quando se intersectam conjuntos convexos o conjunto
resultante mantém a propriedade original.
Teorema 2
A intersecção finita de conjuntos convexos (fechados) em IR n é ainda
um conjunto convexo (fechado).
Demonstração. Seja I um conjunto de índices e (S i : i ∈ I ) uma família de conjuntos
convexos em IR n . Considerem-se x,y ∈ ∩(S i : i ∈ I ) . Então, x,y ∈ S i , para cada i ∈ I .
Como cada um destes conjuntos é convexo, qualquer combinação linear convexa de x e
y pertence a S i , para cada i ∈ I . Assim sendo, pertence a ∩ (S i : i ∈ I ) . Logo,
∩ (S i : i ∈ I ) é convexo.
Como a intersecção de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado, no caso de
cada S i , i ∈ I ser fechado a sua intersecção também é um conjunto fechado.
Definição 13
■
A intersecção finita de semi-espaços fechados em IR n designa-se por
conjunto poliédrico.
O Teorema 2 permite concluir que um conjunto poliédrico é um conjunto convexo
fechado. As regiões representadas nas Figuras 2 e 5 são exemplos de conjuntos
poliédricos.
Definição 14
Um conjunto S ⊆ IR n é um politopo se for um conjunto poliédrico
limitado.
Definição 15
Seja S ⊆ IR n . Designa-se por envolvente convexa de S a intersecção
de todos os conjuntos convexos que contêm S.
Como exemplo, pode observar-se que a região representada na Figura 2 não só é um
politopo, mas também é a envolvente convexa da região apresentada na Figura 4.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 10 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Krein e Milman [23] mostraram que todo o subconjunto de IR n convexo e compacto é a
envolvente convexa dos seus pontos extremos. Tendo em consideração este resultado, o
próximo teorema obtém-se de forma imediata.
Teorema 3
Seja S ⊆ IR n um politopo. Então S é a envolvente convexa dos seus
pontos extremos.
Demonstração. Como por hipótese S ⊆ IR n é um politopo, S é um conjunto compacto
em IR n . Então, pelo Teorema de Krein-Milman, S é a envolvente convexa dos seus
pontos extremos.
■
1.2 Cones Convexos
Nesta secção estuda-se um novo tipo de conjunto, bem como algumas das suas
propriedades.
Tal como na Secção 1.1, começa-se por apresentar uma outra combinação linear.
Definição 16
Um elemento x ∈ IR n é combinação linear cónica dos elementos
xi ∈ IR n , i = 1,..,k se existirem λi ∈ IR0+ ,i = 1,..,k tais que x = ∑i =1 λi xi .
k
Definição 17
Um conjunto S ⊆ IR n diz-se um cone se para todo o x ∈ S e para todo
o λ ∈ IR0+ , λx ∈ S .
Definição 18
Teorema 4
Um conjunto S ⊆ IR n é um cone convexo se for cone e for convexo.
Um conjunto S ⊆ IR n é um cone convexo se, e só se, contiver todas as
combinações lineares cónicas dos seus elementos.
Demonstração. Seja S um cone convexo. Considerem-se agora x1 , x2 ∈ S e λ , μ ≥ 0
arbitrários.
Se λ + μ = 0 , então λ = μ = 0 e λx1 + μx2 = 0 x1 + 0 x2 = 0 ∈ S .
11 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa Se λ + μ > 0 , então, como S é convexo,
λ
λ+μ
x1 +
μ
λ+μ
x2 ∈ S .
Como S é cone,
⎛ λ
⎞
μ
x1 +
x 2 ⎟⎟ ∈ S .
λ+μ ⎠
⎝λ +μ
λx1 + μx 2 = (λ + μ )⎜⎜
Assim, qualquer combinação linear cónica dos elementos de S pertence-lhe.
Reciprocamente, considerem-se x1 , x2 ∈ S e λ , μ ≥ 0 , com λ + μ = 1 , arbitrários.
Então, dado que por hipótese S contém todas as combinações lineares cónicas dos seus
elementos, λx1 + μx 2 ∈ S . Como tal, S é convexo. Além disso, por hipótese,
λx1 = λx1 + 0 x1 ∈ S . Portanto S é cone.
■
Apresenta-se agora a noção correspondente às envolventes afim e convexa para cones.
Definição 19
Chama-se envolvente cónica de S ⊆ IR n , e representa-se por
cone (S ) , à intersecção de todos os cones convexos que contêm S .
De seguida apresentam-se dois exemplos de cones em IR 2 , um convexo, Figura 6, e
outro não convexo, Figura 7.
Figura 6
Figura 7
Observe-se que o 1º ortante é um cone convexo em IR n .
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 12 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Tal como acontece com os conjuntos afins e convexos, a propriedade de ser cone (cone
convexo) permanece invariante sob a intersecção.
Teorema 5
A intersecção finita de cones (convexos) em IR n é ainda um cone
(convexo) em IR n .
Demonstração. Seja I um conjunto de índices e (S i : i ∈ I ) uma família de cones em
IR n . Considere-se x ∈ ∩ (S i : i ∈ I ) . Então, x ∈ S i , para cada i ∈ I . Como cada um
destes conjuntos é um cone, λx ∈ S i , para todo o λ ≥ 0, i ∈ I . Logo, λx ∈ ∩ (S i : i ∈ I ) ,
para todo o λ ≥ 0, i ∈ I e, como tal, ∩ (S i : i ∈ I ) é cone.
Se
(S i : i ∈ I ) for
uma família de conjuntos convexos então, pelo Teorema 2,
∩ (S i : i ∈ I ) também é convexo.
■
Introduz-se, agora, a noção de cone poliédrico.
Definição 20
Um conjunto em IR n diz-se cone poliédrico convexo se resulta da
intersecção finita dos semi-espaços H ≤ (p i ,0 ), com p i ∈ IR n\{0}, i = 1,L ,m .
Observe-se que o cone da Figura 6 é um cone poliédrico convexo em IR 2 .
1.3 Funções Convexas
A classe das funções convexas é importante na Programação Linear, dado que engloba
as funções lineares. Nesta secção são apresentados alguns conceitos sobre esta classe de
funções.
Definição 21 Seja S ⊆ IR n . O epigráfico de
f:S → IR é um subconjunto de
IR n +1 definido por
epi( f ) = {( x, α ) ∈ S × IR : f ( x) ≤ α }.
13 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa Definição 22 Sejam S ⊆ IR n , f:S → IR e α ∈ IR . Chama-se:
(i)
conjunto de nível α da função f em S ao conjunto definido por
Lα= ( f ) = {x ∈ S : f ( x ) = α }.
(ii)
conjunto de nível inferior a α da função f em S ao conjunto definido por
Lα≤ ( f ) = {x ∈ S : f ( x ) ≤ α }.
(iii)
conjunto de nível superior a α da função f em S ao conjunto definido por
Lα≥ ( f ) = {x ∈ S : f ( x ) ≥ α }.
Definição 23 Seja S ⊆ IR n convexo. Uma função f:S → IR diz-se:
(i)
convexa em S se para todo o x1 , x2 ∈ S e para todo o λ ∈ [0, 1]
f (λx1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) .
(ii)
estritamente convexa em S se para todo o x1 ,x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , e para todo o
λ ∈ ]0,1[
f (λx1 + (1 − λ )x2 ) < λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) .
A partir da definição anterior é possível definir função côncava (estritamente côncava).
Definição 24 Seja
S ⊆ IR n
convexo. Uma função
f:S → IR diz-se
côncava
(estritamente côncava) em S se -f for convexa (estritamente convexa) em S.
Os exemplos que se seguem clarificam os conceitos anteriores. Exemplo 1
Considerem-se as funções f, g, h: IR → IR tais que f ( x ) = x 2 , g ( x ) = − x 2 e
h( x ) = x 3 , cujas representações gráficas se apresentam nas Figuras 8, 9 e 10, respectivamente.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 14 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Figura 8
Figura 9
Figura 10
A função f, Figura 8, é estritamente convexa enquanto a função g, Figura 9, é estritamente
côncava. Finalmente, a função h, Figura 10, não é côncava nem convexa.
Há um tipo de funções, designadas por funções afins, que satisfazem simultaneamente
as condições de concavidade e convexidade.
Definição 25
Dados a ∈ IR n e b ∈ IR , a função f:IR n → IR tal que f(x) = a T x + b
designa-se por função afim.
Se na definição anterior a=0, então f diz-se uma função constante. No caso de b=0, f
designa-se por função linear. Assim sendo, a classe das funções afins é a classe das
funções que se podem exprimir como a soma de uma função linear com uma função
constante.
Os conjuntos de nível inferior a α duma função convexa são convexos.
Teorema 6
Seja S ⊆ IR n convexo. Se f : S → IR é convexa, então L≤α ( f ) é um
conjunto convexo para todo o α ∈ IR .
Demonstração. Sejam x1 , x 2 dois elementos arbitrários de Lα≤ ( f ) . Então x1 , x2 ∈ S .
Como, por hipótese, S é convexo λx1 + (1 − λ )x2 ∈ S , com λ ∈ [0,1] . Assim, como f é
convexa e x1 , x 2 ∈ Lα≤ ( f ) ,
f (λx1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
15 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Noções de Análise de Convexa ≤ λ α + (1 − λ )α
=α .
Logo, λx1 + (1 − λ )x2 ∈ Lα≤ ( f ) e, como tal, L≤α ( f ) é convexo.
■
Do Teorema 6 e da definição de função côncava pode concluir-se, de forma análoga,
que os conjuntos de nível superior a α duma função côncava também são convexos.
Note-se que o recíproco do Teorema 6 não é verdadeiro, isto é, não é suficiente mostrar
que todos os conjuntos de nível inferior de uma função f são convexos, para se poder
concluir que f é convexa. Basta tomar como contra-exemplo a função h : IR → IR
definida por h( x ) = x 3 , Figura 10.
Considere-se novamente as funções f, g, h do Exemplo 1. As Figuras 11, 12 e 13
ilustram os epigráficos dessas funções.
Figura 11
Figura 12
Figura 13
Os epigráficos das funções g e h, Figuras 12 e 13, respectivamente, não são convexos
enquanto o epigráfico da função f, Figura 11, é convexo. Assim, a noção de epigráfico
de uma função é muito importante, na medida em que, através deste conceito podem
tirar-se conclusões acerca da convexidade dessa função.
Teorema 7
Seja S ⊆ IR n convexo. Então, f : S → IR é convexa em S se, e só se, o
seu epigráfico for um conjunto convexo.
Demonstração. Suponha-se que f é convexa em S . Considerem-se agora λ ∈ [0,1] e
(x1 , α1 ) e (x2 , α 2 )
dois elementos arbitrários do epigráfico de f, epi ( f ) . Por definição
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 16 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal de epi ( f ) , x1 , x2 ∈ S . Como, por hipótese, S é convexo, f é convexa em S e ( x1 , α1 ) ,
(x2 , α 2 ) ∈ epi( f ) , vem
f (λx1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ≤ λα 1 + (1 − λ )α 2 .
Ou seja,
(λx1 + (1 − λ )x2 , λα1 + (1 − λ )α 2 ) ∈ epi( f ) , isto é,
λ ( x1 , α1 ) + (1 - λ )(x2 , α 2 ) ∈ epi( f ) . Logo, epi( f ) é convexo.
Reciprocamente, suponha-se agora que epi( f ) é convexo. Sejam x1 , x 2 elementos
arbitrários de S . Então ( x1 , f (x1 )) , ( x2 , f (x2 )) ∈ epi( f ) . Como, por hipótese, epi( f ) é
convexo,
(λx1 + (1 − λ )x2 , λ f (x1 ) + (1 − λ ) f (x2 )) ∈ epi( f ) , com λ ∈ [0,1] .
Isto é,
f (λx1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f (x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) e, como tal, f é convexa.
■
Referências: Neste capítulo utilizou‐se como material de consulta fundamental [1], [2], [7], [12], [14], [21] e [23]. 17 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear CAPÍTULO 2 Programação Linear A Programação Matemática, PM, e em particular a Programação Linear, PL, constitui
um dos ramos mais desenvolvidos e mais utilizados da Investigação Operacional. O seu
objecto pode ser qualquer actividade humana em que se pretenda satisfazer da melhor
forma um determinado objectivo, tendo em consideração as limitações que existem no
funcionamento dessa actividade.
Neste capítulo serão abordados alguns dos principais conceitos e resultados relativos à
PL , necessários à abordagem ao tema da Gestão Florestal efectuada no Capítulo 3.
2.1 Problemas de Programação Linear
Tem-se um problema de PL quando se pretende optimizar (maximizar/minimizar) uma
função linear sujeita a um conjunto de restrições lineares e às restrições de não
negatividade das variáveis. Assim, qualquer problema de PL com n variáveis e m
restrições pode ser formulado do seguinte modo:
(Pm) n
max Z = ∑ c j x j
j =1
s.a
n
∑a
j =1
ij
x j ≤ bi ,
i = 1,..., m
x j ≥ 0,
j = 1,..., n,
onde se designam a ij , bi , c j ∈ IR, i = 1,L ,m, j = 1,L ,n por coeficientes técnicos,
termos
independentes
e
coeficientes
da
função
objectivo,
x j , j = 1,L ,n por variáveis de decisão, Z = ∑ j =1 c j x j
n
∑
n
j =1
respectivamente,
por função objectivo,
aij x j ≤ bi , i = 1,L ,m por restrições funcionais e x j ≥ 0, j = 1, L , n por condições
de não negatividade. A esta formulação dá-se o nome de forma típica de um problema
de maximização. Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 18 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Analogamente, a forma típica de um problema de minimização é:
n
min Z = ∑ c j x j
j =1
s.a
n
∑a
j =1
ij
x j ≥ bi ,
x j ≥ 0,
i = 1,..., m
j = 1,..., n.
Observe-se que:
- Qualquer problema de minimização pode converter-se num problema de
maximização, dado que
mínimo Z = - máximo (-Z).
- Qualquer restrição de desigualdade do tipo maior ou igual pode ser convertida
numa restrição do tipo menor ou igual. Para tal, basta multiplicar ambos os
membros da desigualdade por (-1), isto é,
n
∑a
j =1
n
ij x j ≥ bi ⇔ ∑ ( − a ij ) x j ≤ −bi .
j =1
- Qualquer restrição de igualdade pode ser sempre convertida em duas restrições de
desigualdade que conjuntamente são equivalentes àquela, ou seja,
⎛ n
a ij x j = bi ⇔ ⎜⎜ ∑ a ij x j ≤ bi ∧
∑
j =1
⎝ j =1
n
n
∑a
j =1
ij
⎞
x j ≥ bi ⎟⎟.
⎠
- Uma variável livre (sem restrição de sinal) pode ser sempre substituída pela
diferença de variáveis não negativas, obtendo-se um novo problema, em termos
das novas variáveis, equivalente ao anterior.
Tendo em consideração as observações anteriores, pode concluir-se que qualquer
problema de PL pode escrever-se na forma (Pm). Assim, esta será a forma adoptada no
decorrer desta dissertação.
19 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear O problema (Pm) pode ser escrito, na forma matricial, do seguinte modo:
(P)
max Z = c T x
s.a Ax ≤ b
x ≥ 0,
com c = [c1 c 2 K c n ] ∈ IR n , x = [x1 x 2 K x n ] ∈ IR n , b = [b1 b2 K bm ] ∈ IR m e
T
T
T
A = [aij ] ∈ M m,n ( IR) .
Apresentam-se, de seguida, algumas definições e resultados relativos ao conjunto das
soluções admissíveis do problema (P).
{
}
Represente-se por FP = x ∈ IR n : Ax ≤ b, x ≥ 0 o conjunto das soluções admissíveis do
problema (P). Então, (P) diz-se impossível se FP = ∅ e ilimitado no caso de ter
soluções admissíveis com o valor da função objectivo tão grande quanto se queira.
O conjunto constituído pelas soluções admissíveis do problema (P) que optimizam a sua
função objectivo designa-se por conjunto de soluções óptimas do problema (P) e
denota-se por FP* . Ao valor que a função objectivo de (P) assume para uma sua solução
óptima chama-se valor óptimo de (P). Representa-se uma solução óptima de (P) por x * e
o respectivo valor óptimo por Z * = c T x * .
Teorema 8
O conjunto FP é poliédrico.
Demonstração. Imediato a partir das Definições 5 e 13.
Teorema 9
■
Sejam S ⊆ IR n um politopo e f uma função linear definida em S. Então, f
atinge o óptimo num ponto extremo de S. No caso de f atingir o óptimo em mais de um
ponto extremo, o valor de f também será óptimo para qualquer combinação linear
convexa destes pontos extremos.
Demonstração. Apenas se demonstrará este resultado para o caso da maximização,
dado que para a minimização a demonstração é semelhante.
Considere-se um conjunto S e uma função f nas condições descritas no enunciado. O
teorema de Weierstrass garante a existência do máximo de f em S.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 20 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Como S é um politopo, o número dos seus pontos extremos é finito. Sejam, então,
xi , i = 1,L ,k os pontos extremos de S e x* um maximizante de f em S.
Se x* = xi para algum i = 1,L ,k , então f atinge o máximo num ponto extremo de S.
Caso contrário,
k
k
i =1
i =1
x* = ∑ λi xi , com λi ≥ 0, i = 1, L , k e ∑ λi = 1 .
Seja f m = max { f(x i )} . Como f é linear e
i∈{1,K, k }
∑
k
i =1
λi = 1 , obtém-se
k
k
k
i =1
i =1
i =1
f ( x*) = ∑ λi f ( xi ) ≤ ∑ λi f m = f m ∑ λi = f m .
(2)
Mas, dado que por hipótese x* é maximizante de f em S, vem f(x*) ≥ f m . O que,
conjuntamente com (2), permite concluir que f(x*) = f m . Logo, f atinge o máximo num
ponto extremo de S.
Suponha-se agora que f atinge o máximo em mais do que um ponto extremo de S. Sejam
xi* , i = 1, L , p , com p ≤ k , esses pontos. Então, f(x *i ) = f m , i = 1,L ,p . Considere-se,
agora,
p
x = ∑ λi xi* ,
com λi ≥ 0, i = 1,..., p e
i =1
Assim sendo, como f é linear e
∑
p
i =1
p
∑λ
i =1
i
= 1.
λi = 1 , pode escrever-se
p
p
i =1
i =1
f ( x ) = ∑ λi f ( xi* ) = f m ∑ λi = f m ,
isto é, qualquer combinação linear convexa de pontos extremos de S que sejam
maximizantes de f em S também é um maximizante de f em S.
■
Apresentam-se agora alguns exemplos de problemas de PL com duas variáveis de
decisão que, como tal, podem ser resolvidos graficamente.
21 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear Exemplo 2
Considere-se o problema
(P1)
max Z1 = −3 x1 + x 2
s.a − x1 + x 2 ≤ 1
x1 , x 2 ≥ 0.
Este problema pode ser resolvido graficamente da seguinte forma: começa-se por esboçar a
região admissível, que não é mais do que a representação gráfica do conjunto das soluções
admissíveis do problema (P1),
{
}
FP1 = (x1 , x2 ) ∈ IR 2: − x1 + x2 ≤ 1 , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .
Figura 14 ‐ Região admissível do problema (P1).
De seguida traçam-se duas rectas de nível da função objectivo, por exemplo Z1 = 0 e Z1 = 1 .
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 22 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Figura 15 ‐ Região admissível do problema (P1) com as rectas de nível Z 1 = 0 e Z1 = 1.
A solução óptima de (P1), ( x1* , x 2* ) = (0,1), obtém-se interceptando FP1 com a recta de nível da
função objectivo mais afastada da origem (a que corresponde a um valor mais elevado da
função objectivo), como se observa na Figura 15. O valor óptimo de (P1) é Z 1* = 1 .
Um problema de PL pode ter apenas uma solução óptima, como no Exemplo 2, ou um
número infinito de soluções óptimas. Neste último caso, o conjunto das soluções
óptimas pode ser a combinação linear convexa de dois pontos extremos do conjunto das
soluções admissíveis, tal como já foi referido no Teorema 9, ou um raio extremo, cujo
vértice é um dos pontos extremos do conjunto das soluções admissíveis. Os Exemplos 3
e 4 ilustram estes dois casos.
Exemplo 3
Seja (P2) o problema
(P2)
max Z 2 = − x1
s.a ( x1 , x 2 ) ∈ F P 1 .
O conjunto das soluções óptimas de (P2) é constituído pela combinação convexa dos pontos
extremos (0,0) e (0,1), Figura 16, ou seja
{(
)
(
)
}
F * = x1* , x 2* ∈ IR 2 : x1* , x 2* = λ (0,0) + (1 − λ )(0,1), λ ∈ [0,1] ,
P2
23 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear Figura 16 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P2).
e o seu valor óptimo é Z 2* = 0 .
Exemplo 4
Considere-se agora
(P3)
max Z 3 = − x1 + x 2
s.a ( x1 , x 2 ) ∈ F P 1 .
Figura 17 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P3).
O conjunto das soluções óptimas de (P3) é o raio extremo com vértice no ponto (0,1) e cuja
direcção é o vector (1,1). Deste modo, o conjunto das soluções óptimas de (P3) é
{
}
FP*3 = ( x1* , x 2* ) ∈ IR 2 : x 2* = 1 + x1* , x1* ≥ 0
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 24 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal e o seu valor óptimo é Z 3* = 1 .
Para além destes casos, e como também já foi referido anteriormente, um problema de
PL pode ser ilimitado ou impossível. Como os Exemplos 5 e 6 pretende-se exemplificar
ambas as situações, respectivamente.
Exemplo 5
Seja (P4) o problema
(P4)
max Z 4 = x1 + x2
s.a ( x1 , x 2 ) ∈ F P 1 .
Figura 18 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P4).
Como se pode observar pela Figura 18, dada qualquer recta de nível da função objectivo de (P4)
que intercepte FP1, Z 4 = k com k ≥ 0 , é sempre possível encontrar outra recta de nível
Z 4 = l com l > k que ainda intercepte FP1. Assim sendo, a função objectivo de (P4) pode
assumir valores arbitrariamente elevados e, consequentemente, não existe um valor máximo
finito para Z 4 . Tal permite concluir que (P4) é ilimitado.
Exemplo 6
Considere-se agora
(P5)
max Z 5 = −3x1 + x 2
s.a − x1 + x 2 ≥ 3
( x1 , x 2 ) ∈ F P 1 .
25 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear Figura 19 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P5).
A região admissível do problema (P5) é vazia, isto é FP 5 = ∅ , Figura 19. Assim sendo, (P5) é
impossível.
2.2 Teoria da Dualidade
Considere-se o problema (P) definido na Secção 2.1.
(P)
com
max Z = c T x
s.a Ax ≤ b
x ≥ 0,
c = [c1 c 2 K c n ] ∈ IR n , x = [x1 x 2 K x n ] ∈ IR n , b = [b1 b2 K bm ] ∈ IR m
T
T
T
e
A = [aij ] ∈ M m,n ( IR) .
O dual de (P) construir-se-á utilizando a dualidade Lagrangeana [12,21]. Comece-se por
escrever a função Lagrangeana, L , que resulta da associação de um peso, u i , a cada
restrição, i = 1,L ,m, do problema (P) e da sua introdução na função objectivo de (P).
Assim, para ( x,u) ∈ (IR0+ ) n × (IR0+ ) m
L(x,u) = c T x + u T (b − Ax ) .
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 26 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal A função dual em u ∈ (IR0+ ) m é
⎧b T u se c T − u T A ≤ 0
θ (u ) = max L( x, u ) = max b u + c − u A x = ⎨
x≥0
x≥0
caso contrário.
⎩+ ∞
{
T
(
T
)}
T
Finalmente, o dual de (P) obtém-se considerando
min θ(u) = min max L(x,u) ,
u ≥0
u ≥0
x≥0
do qual resulta
(D) min
s.a
W = bT u
AT u ≥ c
u≥0 ,
com c ∈ IR n , b,u ∈ IR m e A ∈ M m,n (IR ).
Pode mostrar-se, de forma idêntica à anterior, que (P) é o seu bidual, isto é, que o dual
Lagrangeano de (D) é o próprio (P).
Para formular o dual de qualquer problema de PL é sempre possível seguir o
procedimento descrito anteriormente. No entanto, o dual pode obter-se directamente
usando as regras sumariadas na Tabela 1 [1,15].
Problema de maximização
←→
Problema de minimização
≤
≥
═
≤0
j-ésima variável
≥0
livre
matriz dos coeficientes técnicos A
≥0
≤0
i-ésima variável
livre
≤
≥
j-ésima restrição
═
matriz dos coeficientes técnicos AT
coeficientes da função objectivo
termos independentes
termos independentes
coeficientes da função objectivo
i-ésima restrição
Tabela 1 – Regras para a construção do problema dual.
27 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear A um par de problemas constituído por um problema de PL e pelo seu dual dá-se o
nome de par de problemas primal-dual.
Apresentam-se de seguida alguns conceitos relativos ao problema (D), semelhantes aos
já introduzidos na Secção 2.1 para o problema (P).
{
}
Represente-se por FD = u ∈ IR m : AT u ≥ c, u ≥ 0 o conjunto das soluções admissíveis
do problema (D). Então, (D) diz-se impossível se FD = ∅ e ilimitado no caso de ter
soluções admissíveis com o valor da função objectivo tão pequeno quanto se queira.
O conjunto constituído pelas soluções admissíveis do problema (D) que optimizam a
sua função objectivo designa-se por conjunto de soluções óptimas do problema (D) e
denota-se por FD* . Ao valor que a função objectivo do problema (D) assume para uma
sua solução óptima chama-se valor óptimo de (D). Representa-se uma solução óptima
de (D) por u * e o respectivo valor óptimo por W * = bT u * .
Nos Exemplos 7 e 8 apresentam-se dois problemas de PL e o respectivo dual.
Exemplo 7
Considere-se o problema do Exemplo 2
(P1)
max Z1 = −3 x1 + x 2
s.a − x1 + x2 ≤ 1
x1 , x2 ≥ 0.
Neste caso, c = [− 3 1] , b = [1] e A = [− 1 1] . Utilizando as regras da Tabela 1, obtém-se o
T
dual do problema (P1),
(D1)
min W1 = u1
s.a − u1 ≥ −3
u1 ≥ 1
u1 ≥ 0.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 28 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Exemplo 8
Considere-se agora o problema:
(P6)
min Z 6 = − x1 + 2 x 2
x1 − x 2 ≤ 1
s.a
3 x1 + 5 x 2 = 15
x1 + 2 x 2 ≥ 2
x1 , x 2 ≥ 0.
As regras da Tabela 1, conjuntamente com a informação
c = [− 1 2] ,
b = [1 15 2]
T
T
T
e
⎡ 1 3 1⎤
A=⎢
⎥
⎣ − 1 5 2⎦ ,
permitem construir o dual de (P6)
(D6)
max W6 = u1 + 15u 2 + 2u 3
s.a u1 + 3 u 2 + u 3 ≤ −1
− u1 + 5 u 2 + 2u 3 ≤ 2
u1 ≤ 0, u 3 ≥ 0.
Exemplo 9
Seja o problema:
(P=) max Z = c T x
s.a Ax = b
x ≥ 0.
Usando as regras da Tabela 1, é simples verificar que
(D=) min
s.a
W = bT u
AT u ≥ c
é o seu dual.
Note-se que, tendo em consideração as observações presentes na Secção 2.1, o
problema (P=), do Exemplo 9, pode ser escrito na forma (P). Deste modo, e à
semelhança do que acontece com o par de problemas primal-dual (P) e (D), também
pode utilizar-se o par de problemas primal-dual (P=) e (D=) para representar qualquer
problema de PL e o respectivo dual.
29 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear Dado um par de problemas primal-dual para o qual é conhecida uma solução admissível
de cada um dos problemas, o valor da função objectivo associado à solução do
problema de maximização é não superior ao valor da função objectivo associada à
solução do problema de minimização. No caso particular da igualdade as soluções
admissíveis são soluções óptimas dos respectivos problemas.
Teorema 10 (Dualidade Fraca)
Demonstração.
Como
x ∈ FP e u~ ∈ FD . Então c T ~
Sejam ~
x ≤ b T u~ .
~
x ∈ FP e u~ ∈ FD ,
vem
que
A~
x ≤ b e u~ ≥ 0 .
Logo,
u~ T A~
x ≤ u~ T b . De forma idêntica se tem AT u~ ≥ c e ~
x ≥ 0 , o que implica ~
x T AT u~ ≥ ~
xTc,
que, por sua vez, é equivalente a u~ T A~
x ≥ cT ~
x . Assim sendo, c T ~
x ≤ u~ T A~
x ≤ u~ T b .
Logo, c T ~
■
x ≤ b T u~ .
x ∈ FP e u~ ∈ FD tais que c T ~
x é solução óptima
Teorema 11 Sejam ~
x = b T u~ . Então ~
de (P) e u~ é solução óptima de (D).
Demonstração. A hipótese c T ~
x = b T u~ e o Teorema 10 permitem concluir que
x
cT ~
x = b T u~ ≥ c T x para todo o x ∈ F e b T u~ = c T ~
x ≤ b T u para todo o u ∈ F . Logo, ~
P
é solução óptima de (P) e u~ é solução óptima de (D).
D
■
O resultado seguinte, conhecido por Teorema da Dualidade Forte, não só fornece uma
condição suficiente para a existência de uma solução óptima de um dos problemas do
par de problemas primal-dual, mas também relaciona os valores óptimos de ambos os
problemas.
Teorema 12 (Dualidade Forte)
Considere-se um problema de par de problemas
primal-dual. Se um dos problemas possui solução óptima, então o outro também possui
e os respectivos valores óptimos são iguais.
Demonstração. Considere-se o par de problemas primal-dual (P=) e (D=), Exemplo 9.
Suponha-se que m ≤ n e que as m restrições de (P=) são linearmente independentes, isto
é que a característica da matriz A é m. Seja B uma submatriz quadrada de A constituída
por m colunas de A linearmente independentes e N a submatriz de A constituída pelas nm colunas restantes (observe-se que, por construção, B é uma matriz invertível). Então,
sem perda de generalidade, pode considerar-se
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 30 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal [
x = x BT
]
T
x TN ,
[
c = c BT
]
T
c TN ,
e
A = [B N ]
e reescrever-se o problema (P=) como
(P=) max Z = c BT x B + c TN x N
s.a Bx B + Nx N = b
xB ≥ 0
x N ≥ 0.
Suponha-se agora que (P=) é o problema que possui solução óptima e que esta é
[
x* = x B*T
x *NT
]
T
. Mostra-se que [14,15]
x B* = B −1b , sendo B −1 a inversa da matriz B ;
(3)
Z * = c BT x B* ;
(4)
c T − c BT B −1 A ≤ 0 .
(5)
Considere-se
u *T = c BT B −1 .
(6)
Substituindo (6) em (5), obtém-se c T − u *T A ≤ 0 , que é equivalente a AT u * ≥ c . Logo,
u * é solução admissível de (D=). Além disso,
Z * = c BT x B* = c BT B −1b = u *T b = b T u * = W * .
Assim sendo, pelo Teorema 11, conclui-se que u * é solução óptima de (D=).
De modo semelhante se prova que no caso de (D=) possuir solução óptima então (P=)
também possui e os respectivos valores óptimos são iguais.
31 ■
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear O próximo teorema indica condições necessárias e suficientes para a existência de
soluções óptimas de cada um dos problemas do par de problemas primal-dual.
Teorema 13 Os problemas (P) e (D) têm solução óptima se, e só se,
FP ≠ ∅ e FD ≠ ∅.
Demonstração. Se (P) e (D) têm solução óptima, então é imediato que
FP ≠ ∅ e FD ≠ ∅.
Reciprocamente, sejam FP ≠ ∅ e FD ≠ ∅. Então c T ~
x e b T u~ são finitos. Como, b T u~
é finito e, pelo Teorema 10, c T ~
x ≤ b T u~ , o valor óptimo de (P), c T x* , existe e satisfaz a
condição c T x* ≤ b T u~ , sendo por isso finito. Logo (P) tem solução óptima.
Pelo Teorema 12, a existência de solução óptima para (P) garante a existência de
solução óptima para (D).
■
Como já foi referido anteriormente, nem sempre os problemas de PL admitem solução
óptima, ou mesmo qualquer solução admissível. No resultado seguinte é caracterizada
uma dessas situações.
Teorema 14 Considere-se um problema de PL (P) e o seu dual (D). Se um destes
problemas é ilimitado, então o outro é impossível.
Demonstração. Seja (P) o problema ilimitado. Suponha-se que u~ ∈ FD ≠ ∅. Então,
pelo Teorema 10,
cT ~
x ≤ b T u~ ,
x ∈ FP ,
para todo o ~
o que contradiz a hipótese de (P) ser ilimitado. Logo, FD = ∅ e, como tal, (D) é
impossível.
De forma análoga se prova no caso de (D) ser ilimitado que (P) será impossível.
■
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 32 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal O recíproco do Teorema 14 não se verifica, dado que o dual de um problema impossível
pode ser ilimitado ou impossível, como se pode verificar nos Exemplos 9 e 10,
respectivamente.
Exemplo 10 Considere-se o problema
(P7)
max Z 7 = x1 + 2 x 2
s.a x1 + x 2 ≤ 3
x 2 ≤ −2
x1 , x 2 ≥ 0.
Dado que a conjunção das condições x 2 ≤ −2 e x 2 ≥ 0 é uma condição impossível, FP 7 = ∅
e, como tal, o problema (P7) é impossível. De seguida, mostrar-se-á que o seu dual,
(D7)
min W7 = 3u1 − 2u 2
s.a u1 ≥ 1
u1 + u 2 ≥ 2
u1 , u 2 ≥ 0
é ilimitado.
Figura 20 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (D7).
A Figura 20 permite observar que a intersecção de FD 7 com a família de rectas de nível da
função objectivo de (D7), W7 = k , k ∈ IR é sempre não vazia. Deste modo, a função objectivo
de (D7) pode assumir valores arbitrariamente pequenos e, consequentemente, (D7) é ilimitado.
33 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Programação Linear Exemplo 11 Considere-se agora o problema impossível.
max Z 8 = − x1 − x 2
s.a x1 − x 2 ≤ −2
(P8)
− x1 + x 2 ≤ −2.
É imediato verificar que o seu dual
min W8 = −2u1 − 2u 2
s.a u1 − u1 = −1
(D8)
− u1 + u 2 = −1
u1 , u 2 ≥ 0
também é impossível.
Dado um problema de PL e o seu dual, o resultado seguinte permite concluir que se uma
variável/componente da solução óptima de qualquer um dos problemas é não nula,
então a restrição que lhe está associada no problema dual encontra-se saturada (é
satisfeita sob a forma de igualdade). Além disso, refere ainda que se uma restrição de
qualquer um dos problemas não se encontra saturada para a solução óptima, então a
variável/componente da solução óptima que lhe está associada no problema dual é nula.
Teorema 15 (Desvios complementares)
x ∈ FP e u~ ∈ FD . Estas soluções
Sejam ~
são óptimas para (P) e (D), respectivamente se, e só se,
(
)
~
x T AT u~ − c = 0
e
u~ T (b-A~
x ) = 0.
(3)
x ∈ FP e u~ ∈ FD então, pela demonstração do Teorema 10, vem
Demonstração. Se ~
cT ~
x ≤ u~ T A~
x ≤ u~ T b .
(
)
x e u~
Se ~
x T AT u~ − c = 0 e u~ T (b − A~
x ) = 0, então u~ T b = c T ~
x e, pelo Teorema 11, ~
são soluções óptimas de (P) e (D), respectivamente.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 34 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Reciprocamente, se uma das condições em (3) não se verificar, então tem-se
x ou u~ não é
cT ~
x < b T u~ . Tal permite concluir que pelo menos uma das soluções ~
solução óptima do problema respectivo.
■
As condições (3) designam-se por condições de complementaridade dos desvios e
permitem obter a solução óptima de um dos problemas no caso da solução óptima do
problema dual deste ser conhecida.
Os exemplos seguintes têm por objectivo clarificar os conceitos anteriores.
Exemplo 12 Considere-se o problema (P1) e o respectivo problema dual (D1), Exemplos 2 e
7. As condições de complementaridade dos desvios deste par de problemas (Teorema 15) são:
u1* (1 + x1* − x 2* ) = 0
∧
x1* (−u1* + 3) = 0
∧
x 2* (u1* − 1) = 0.
É simples verificar que as soluções óptimas de ambos os problemas, ( x1* , x 2* ) = (0,1) e u1* = 1,
satisfazem as condições anteriores (1(1+0-1)=0 ∧ 0(-1+3)=0 ∧ 1(1-1)=0).
Exemplo 13 Considere-se agora o problema (P6) e o respectivo problema dual (D6), Exemplo
8. Através da resolução gráfica de (P6) é possível determinar a sua solução óptima
( x1* , x 2* ) = (5/2, 3/2). As condições de complementaridade dos desvios deste par de
problemas (Teorema 15) são:
⎧ u1* (1 − x1* + x 2* ) = 0
⎪ u * (15 − 3x * − 5 x * ) = 0
1
2
⎪⎪ 2*
*
*
⎨ u 3 (−2 + x1 + 2 x 2 ) = 0
⎪ x * (−1 − u * − 3u * − u * ) = 0
1
2
3
⎪ *1
⎪⎩ x 2 (2 + u1* − 5u 2* − 2u 3* ) = 0.
Substituindo a solução óptima de (P6) no sistema anterior e resolvendo-o obtém-se a solução
óptima do problema (D6), (u1* , u 2* , u 3* ) = (-11/8, 1/8, 0).
Referências: Neste capítulo utilizou-se como material de consulta fundamental [1], [7],
[12], [14], [15], [21] e [23].
35 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal CAPÍTULO 3 Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal Neste capítulo são estudados quatro modelos de Programação Linear, PL, aplicados à
optimização da Gestão da Floresta de Eucaliptos. 3.1
Noções Preliminares
Começa-se por referir que a definição de Gestão Florestal considerada neste trabalho é a
de Leuschener [10]:
“A Gestão Florestal compreende o estudo e a aplicação de técnicas analíticas de
pesquisa das alternativas de gestão que mais contribuem para os objectivos
organizacionais.”
As alternativas de gestão mencionadas na definição anterior podem ser vistas como
possíveis formas de acção a utilizar para atingir determinados objectivos. Entre essas
formas de acção destacam-se:
- O Corte, que permite obter os produtos florestais desejados no momento certo
e implica uma decisão quanto ao momento e o tipo de corte a efectuar.
- A Reflorestação, que envolve diferentes sistemas de reflorestação,
nomeadamente a reforma e a implantação de povoamentos, e diferentes tipos de
preparação do solo, composição de espécies, densidade da plantação, entre
outros.
- As Obras de engenharia, que estabelecem diferentes alternativas de traçado de
estradas, locais de armazenamento de madeira, etc (que poderão afectar futuras
explorações, a estabilidade dos solos e o equilíbrio do ecossistema, entre outros).
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 36 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal O gestor florestal deve escolher alternativas de gestão que alcancem os objectivos tendo
em consideração as restrições existentes. A Gestão Florestal pode ser levada a cabo
tendo em consideração os dois critérios seguintes:
- Determinação da idade óptima de corte, em que o objectivo principal é
maximizar o volume produzido ou o resultado económico dos investimentos
sem que haja necessidade de um fluxo anual fixo de produção.
- Controlo do fluxo de produção, sendo neste caso o principal objectivo a
maximização do resultado económico dos investimentos, obrigando, para tal, a
produção a ser constante e superior a um mínimo estipulado pelo mercado.
Para determinar a idade óptima de corte de uma árvore ou floresta é necessário
compreender o que se considera como idade óptima. Sabe-se que a escolha de uma
determinada idade de corte pode maximizar a produção média anual de uma floresta,
mas não necessariamente o resultado económico. Neste trabalho será considerado, como
método de determinação da idade óptima de corte a determinação do ciclo florestal
financeiramente maduro e maximizador do valor de ocupação do solo, isto é, o método
da maximização do valor presente de uma sucessão perpétua de ciclos florestais iguais,
visto ser considerado como o mais adequado [16].
De seguida, introduzem-se alguns conceitos relativos às áreas de Engenharia Florestal
[16,17,20] e de Matemática Financeira/Economia [4,18,19,22], necessários à
compreensão dos modelos de Gestão Florestal apresentados na Secção 3.2.
Começa-se pelas noções referentes à área de Engenharia Florestal.
- Rotação – período de tempo decorrido entre o crescimento inicial da muda, ou
da rebentação, e o corte raso de uma floresta.
- Ciclo Florestal – período de tempo entre a plantação da muda e o corte raso
final da floresta (pode compreender uma ou mais rotações).
- Talhão Florestal – resulta da subdivisão em pequenas áreas de uma floresta,
com localização e dimensões bem definidas e, em geral, permanente.
- Estrato Florestal – conjunto de talhões florestais cuja constituição arbórea,
idade e localização topográfica permitem diferenciá-lo dos demais.
37 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal - Horizonte de Planeamento – período de tempo ao longo do qual são
considerados determinados objectivos e restrições (deve ser suficientemente
longo para suportar 1,5 a 2 ciclos de uma floresta).
- Regime de Gestão – corresponde ao conjunto de práticas de silvicultura
necessárias à implementação da repetição de um mesmo ciclo florestal ao longo
do horizonte de planeamento.
A aplicação de critérios de análise económica à área de Engenharia Florestal é
fundamental para se decidir qual a melhor alternativa de gestão a ser adoptada. Decisões
como a determinação da idade económica de corte, o espaçamento, a adubação, a época
e a intensidade de tratamentos de silvicultura e a espécie, de entre outras decisões,
podem ser tomadas de forma mais segura quando efectuadas as simulações baseadas nos
critérios técnico-económicos [22]. Assim, introduzem-se de seguida algumas noções de
Matemática Financeira necessárias à compreensão dos conceitos económicos a abordar.
Juros – remuneração associada a um investimento de capital, sendo que a taxa
de juro é definida em termos temporais (em geral de forma anual).
Os juros podem classificar-se como simples ou compostos. Quando se utilizam os Juros
Simples não há capitalização, isto é, em cada período temporal apenas é considerado
como investimento o capital inicial. Por sua vez, os Juros Compostos implicam
capitalização, o que significa que o capital inicial de um determinado período
juntamente com o rendimento obtido nesse mesmo período será o capital inicial do
período seguinte.
Na análise económica relativa à área de Engenharia Florestal utilizam-se os juros
compostos, visto o seu uso ser aconselhado no caso de investimentos com sobre vida
superior a um período de capitalização. Tal deve-se ao facto destes permitirem
comparar valores que ocorrem em diferentes instantes no tempo [18].
De seguida clarifica-se o conceito de juro composto.
Seja V0 o capital inicial e i a taxa de juro anual (em decimal). Inicialmente o capital é
V0 . Após um ano o capital acumulado é
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 38 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal V1 = V0 + iV0 = V0 (1 + i ) .
Este será o capital a investir no início do segundo ano. No final do segundo ano o
capital acumulado será
V2 = V0 (1 + i ) + iV0 (1 + i ) = V0 (1 + i )(1 + i ) = V0 (1 + i ) 2 .
Do mesmo modo, no final do terceiro ano obter-se-á
V3 = V0 (1 + i ) 2 + iV0 (1 + i ) 2 = V0 (1 + i ) 3 .
Assim, no n -ésimo período de capitalização de juros o montante será
Vn = V0 (1 + i ) n .
(4)
A Vn dá-se o nome de Valor Futuro. Reescrevendo (4) em função de Vn obtém-se o
Valor Presente
V0 =
Vn
.
(1 + i ) n
(5)
No caso particular do período de capitalização de juros ser inferior a um ano, a taxa de
juro por período obtém-se dividindo a taxa anual pelo número de períodos de
capitalização no ano. Neste caso, a fórmula (4) escreve-se como
nt
⎛ i⎞
Vnt = V0 ⎜1 + ⎟ ,
⎝ t⎠
onde V0 é o valor inicial investido, i é a taxa de juro (em decimal), n é o número de anos
de capitalização de juros e t é o número de períodos de capitalização no ano.
Os problemas referentes a juros compostos podem envolver um único pagamento ou
uma sucessão de pagamentos em intervalos regulares. Neste último caso, as sucessões
de pagamentos podem ser classificadas como finitas ou perpétuas e anuais ou
periódicas. Como o nome indica, no caso finito existe um último pagamento, enquanto
no caso perpétuo os pagamentos continuam indefinidamente. As sucessões anuais
39 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal apresentam pagamentos anuais em intervalos idênticos à periodicidade da taxa de juro
usada, enquanto as sucessões periódicas apresentam pagamentos separados por
intervalos de dois ou mais períodos de capitalização.
Começa-se por explicar o caso dos Pagamentos Finitos Periódicos.
Numa sucessão de pagamentos finitos periódicos os intervalos entre pagamentos
envolvem dois ou mais períodos de capitalização. Para encontrar o valor futuro desta
série de pagamentos considera-se a quantia periodicamente paga, a , o número de
pagamentos, n , o intervalo entre pagamentos, t, e a taxa de juro anual em decimal, i.
t
Neste caso, o pagamento do ano tn será a , o do ano t (n − 1) será a (1 + i ) , o do ano
t (n − 2 ) será a (1 + i )2t e assim sucessivamente. Deste modo, o primeiro pagamento será
a (1 + i )
( n −1) t
. No futuro, a soma de todos os pagamentos é
Vnt = a + a (1 + i ) + a (1 + i ) + ... + a (1 + i )
t
( n −1) t
2t
.
Multiplicando ambos os membros da condição anterior por (1 + i ) , obtém-se
t
Vnt (1 + i ) t = a (1 + i ) + a (1 + i ) + a (1 + i ) + ... + a (1 + i ) .
t
2t
3t
nt
Subtraindo a esta segunda expressão a primeira, obtém-se
Vnt (1 + i ) − Vnt = a (1 + i ) − a,
t
nt
que é equivalente a
⎡ (1 + i )nt − 1⎤
Vnt = a ⎢
⎥,
t
(
)
1
+
−
1
i
⎣
⎦
(6)
que, por sua vez, permite calcular o valor futuro de uma sucessão de pagamentos finitos
periódicos. O valor presente pode obter-se substituindo (6) em (5). Assim,
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 40 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal V0 =
[
]
a (1 + i ) − 1
nt
[(1 + i ) − 1](1 + i )
t
nt
.
(7)
O caso dos Pagamentos Finitos Anuais é uma particularização do caso anterior. Basta
considerar o número de períodos de capitalização igual a 1, isto é, t=1. Assim, de (6) e
(7) obtêm-se, respectivamente, o valor futuro e o valor presente
Vn =
[
]
a (1 + i ) − 1
i
n
V0 =
[
]
a (1 + i ) − 1
.
n
i (1 + i )
n
(8)
No caso dos Pagamentos Perpétuos Anuais, o valor presente pode obter-se de (8)
bastando, para tal, considerar em V0 o número de pagamentos a continuar
indefinidamente. Deste modo, considerando em V0 n arbitrariamente grande, isto é,
n → ∞ , vem
V0 =
a
.
i
Finalmente, o valor presente para o caso de Pagamentos Perpétuos Periódicos obtém-se
de (7) de forma análoga à anterior, isto é, considerando n → ∞ . Assim,
V0 =
a
[(1 + i ) − 1] .
t
(9)
3.2 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal
A Programação Linear, PL, tem sido aplicada à resolução de problemas de Exploração e
Gestão Florestal há algumas décadas [5,11,13], visto permitir a construção de modelos
que representam total ou parcialmente os problemas reais desta área [20]. Na construção
dos modelos tem que ser tida em consideração a procura, as restrições, as estratégias de
gestão e as respostas do sistema, entre outras. Embora tenham aparecido na literatura
41 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal diversas formulações, Johnson e Scheurman [9] classificaram-nas em apenas dois
modelos diferentes, designados por Modelo do Tipo I e Modelo do Tipo II. Nos
Modelos do Tipo I as variáveis acompanham as actividades de gestão de um hectare ao
longo de todo o horizonte de planeamento. Nos Modelos do Tipo II as variáveis apenas
acompanham as actividades de gestão de um hectare enquanto nele se desenvolve um
ciclo da espécie florestal (da sua implantação ao seu último corte). Assim, nos Modelos
do Tipo II a cada hectare estarão associadas diferentes variáveis até que este atinja o
final do horizonte de planeamento. Devido à sua maior simplicidade, o Modelo do Tipo
I tem sido o mais difundido e utilizado [17,20]. Assim, embora neste trabalho sejam
abordadas formulações referentes aos dois modelos, dar-se-á especial ênfase ao Modelo
do Tipo I.
Apresentam-se agora quatro modelos lineares que pretendem traduzir o problema
genérico de Gestão Florestal, tendo em conta que o principal objectivo do gestor
florestal é maximizar o valor presente global de um empreendimento florestal, de modo
a obter um fluxo regular de produção ao longo do horizonte de planeamento e
considerando a disponibilidade da área total de cada estrato florestal, os limites anuais
de corte e de área plantada e reformada, as cotas anuais de produção impostas e a
disponibilidade orçamental.
De seguida formula-se o problema genérico de Gestão Florestal no formato do Modelo
do Tipo I [16,17]. Este modelo designar-se-á por Modelo de Gestão Florestal Genérico I
e representar-se-á por MGFGI. Utilizando a terminologia:
n – número de anos do horizonte de planeamento;
N – número de estratos florestais;
M – número de regimes de gestão;
L – número de derivados de madeira (madeira para polpa, energia, serração, etc.);
Ai – número total de hectares do estrato florestal i;
X ik – número de hectares do estrato florestal i sujeitos ao regime de gestão k;
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 42 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Pik – valor presente, por hectare, do fluxo monetário do estrato florestal i, caso seja
adoptado o regime de gestão k;
Vijkl – volume ou peso, por hectare, do derivado de madeira l a ser explorado no estrato
florestal i, no ano j , caso seja adoptado o regime de gestão k;
Dijk – fluxo de capital no ano j , referente ao estrato florestal i, caso seja adoptado o
regime de gestão k;
VMin jl – volume mínimo de produção do derivado de madeira l exigido, de forma a
suprir as necessidades da indústria no ano j ;
VMax jl – volume máximo de produção do derivado de madeira l pretendido, de modo a
suprir as necessidades da indústria no ano j ;
E Min j – número mínimo de hectares que deve ser cortado/plantado no ano j ;
E Max j – número máximo de hectares passível de ser cortado/plantado no ano j ;
⎧1 se no ano j o regime de gestão k determinar o corte/plantação do estrato i
caso contrário;
⎩0
α ijk = ⎨
R Min j – número mínimo de hectares que deve ser reformado no ano j ;
R Max j – número máximo de hectares passível de ser reformado no ano j ;
⎧1 se no ano j o regime de gestão k determinar a reforma do estrato i
caso contrário;
⎩0
β ijk = ⎨
D Min j – disponibilidade orçamental mínima no ano j ;
D Max j – disponibilidade orçamental máxima no ano j ;
é possível formular o MGFGI como
43 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal N
M
max Z = ∑∑ Pik X ik
s.a
M
i =1 k =1
∑X
k =1
N M
ik
= Ai ,
∑∑V
i =1 k =1
N
ijkl
M
∑∑V
i =1 k =1
N
ijkl
M
∑∑ α
i =1 k =1
N
i =1 k =1
N
ijk
X ik ≤ E Max j , j = 1,...,n
M
i =1 k =1
∑∑ β
N
ijk
X ik ≥ RMin j , j = 1,...,n
ijk
X ik ≤ RMax j , j = 1,...,n
M
i =1 k =1
M
∑∑ D
i =1 k =1
N
ijk
M
∑∑ D
i =1 k =1
X ik ≤ VMax jl , j = 1,...,n, l = 1,...,L
X ik ≥ E Min j , j = 1,...,n
∑∑ β
N
X ik ≥ VMin jl , j = 1,...,n, l = 1,...,L
ijk
M
∑∑ α
i = 1,...,N
ijk
X ik ≥ 0,
X ik ≥ DMin j , j = 1,...,n
X ik ≤ DMax j , j = 1,...,n
i = 1,...,N ,
k = 1,...,M .
Neste modelo:
- a primeira restrição diz respeito à área total disponível de cada estrato florestal e
impõe a que a soma das áreas de um mesmo estrato florestal submetidas a regimes
de gestão diferentes seja igual à área total do estrato, isto é, obriga à gestão da
totalidade da área de cada estrato florestal;
- os limites anuais mínimos e máximos da produção desejada de cada derivado de
madeira são impostos na segunda e terceira restrições, respectivamente;
- a capacidade anual mínima e máxima de trabalho das equipas de corte/plantação
está expressa nas restrições quatro e cinco, respectivamente;
- a sexta e a sétima restrições dizem respeito, respectivamente, aos limites anuais
mínimo e máximo de área florestal a reformar;
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 44 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal - as condições oito e nove representam, respectivamente, as restrições orçamentais
mínimas e máximas em cada ano;
- as últimas MN condições são restrições de não negatividade e apenas indicam que
o número de hectares de cada estrato florestal sujeitos a um dado regime de gestão
não podem ser negativos.
A função objectivo do MGFGI traduz o valor presente do fluxo monetário global,
resultante da gestão futura de todos os estratos da floresta. Antes de proceder à sua
análise é importante referir que, segundo Rodriguez [19], a idade de corte de um talhão
representa uma das principais variáveis de decisão em planos de Gestão Florestal,
podendo a definição da duração de uma rotação requerer uma análise independente por
talhão ou estar vinculada à produção simultânea de todos os talhões da floresta. Como já
foi mencionado anteriormente, a idade óptima de corte de um talhão florestal pode ser
definida em termos volumétricos ou económicos, sendo que neste trabalho apenas se
abordará este segundo critério. O critério de avaliação mais recomendado para
determinação da idade óptima de corte é o do Valor Esperado da Terra (VET), que
consiste em maximizar o valor presente de uma sucessão perpétua periódica de
pagamentos iguais, sendo que estes representam as Receitas Líquidas Totais (RLT)
oriundas de um ciclo florestal [16,17]. O ciclo que apresenta maior VET designa-se por
Ciclo Economicamente Óptimo. O método de maximização do VET considera que [19]:
- a terra será utilizada para efectuar uma sucessão infinita de rotações florestais
idênticas e que o valor presente dessa série de rotações fornece um critério adequado
da medida do valor da terra;
- o empreendedor florestal pode adquirir ou pedir emprestado recursos a uma taxa de
juro conhecida e constante ao longo do tempo;
- a procura de madeira é conhecida e constante;
- a produção florestal e os custos de reforma e manutenção dos talhões são
conhecidos e não se alteram com o tempo;
- a floresta é imediatamente reformada após o corte e que os ciclos se repetem
indefinidamente apresentando os mesmos níveis de produção.
45 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal Observe-se ainda que, tal como os ciclos, alguns regimes de gestão apresentam
resultados financeiros mais favoráveis do que outros, sendo essas diferenças utilizadas
como critério de selecção dos regimes de gestão que mais contribuem para a
optimização do resultado económico do empreendimento florestal.
No caso do MGFGI, a função objectivo é
N
M
Z = ∑∑ Pik X ik ,
i =1 k =1
com
L
nk
Pik = ∑
∑(p
l =1
l
− el )Vijkl − I ijk − mijk
j =0
(1 + id ) j
+
VETi
*
(1 + id )n
k
(10)
onde,
Vijkl – volume ou peso, por hectare, do derivado de madeira l a ser explorado no estrato
florestal i, no ano j, caso seja adoptado o regime de gestão k ;
m ijk – custo de manutenção do estrato florestal i, no ano j, caso seja adoptado o regime
de gestão k ;
I ijk – custo de implantação do estrato florestal i, no ano j, caso seja adoptado o regime
de gestão k ;
pl − el – lucro por unidade de volume ou peso do derivado de madeira l;
L – número de derivados de madeira;
nk – ano em que ocorre o último corte no regime de gestão k;
i d – taxa de juro em decimal;
*
VETi – VET do ciclo economicamente óptimo do estrato florestal i, isto é, o maior
VET de todos os ciclos do estrato i.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 46 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Proceder-se-á agora ao cálculo do VET correspondente ao ciclo economicamente
óptimo para cada estrato florestal i. Usando a sua definição pode escrever-se
*
VETi = max VETik ,
k∈{1,...,M }
onde VETik representa, para cada estrato florestal i ∈ {1,..., N } , o VET do ciclo
k ∈ {1,..., M } e é calculado considerando a receita líquida total de cada ciclo k
nk
⎡L
⎤
RLTik = ∑ ⎢∑ ( pl − el )α ijk Vijkl (1 + id ) nk − j − mijk (1 + id ) nk − j ⎥ − I i 0 k (1 + id ) nk ,
j =1 ⎣ l =1
⎦
(11)
como um pagamento perpétuo periódico. Assim, usando (9), vem que
RLTik
*
VETi = max
k∈{1,..., M }
[(1 + i
d
)n
k
].
−1
(12)
Observe-se que em (11) as parcelas
nk
L
∑∑ ( p
j =1 l =1
l
− el )α ijk Vijkl (1 + id ) nk − j
representam o capital conseguido com a madeira explorada (lucro mais os juros obtidos
anualmente);
nk
∑m
j =1
ijk
(1 + id ) nk − j
dizem respeito ao custo de manutenção (capital gasto mais os juros pagos anualmente);
I i 0 k (1 + id ) nk
referem-se ao capital investido inicialmente (capital gasto mais os juros pagos até ao
ano em que ocorre o último corte).
Em (10), cada uma das nk + 1 primeiras parcelas obtém-se aplicando (5) ao fluxo
monetário anual correspondente à área do estrato florestal i sujeita ao regime de gestão k
e representa o valor presente deste fluxo monetário anual. A sua interpretação é similar
47 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal à efectuada na descrição da receita líquida total em (11). A última parcela é o valor
presente de VETi * relativo ao ano em que ocorre o último corte no regime de gestão k.
A introdução desta última parcela tem por objectivo tornar comparáveis os valores
presentes de todos os regimes de gestão, mesmo quando apresentam períodos de
duração inicialmente diferentes.
Prossegue-se com a formulação do problema genérico de Gestão Florestal, analisado
anteriormente, mas no formato do Modelo do Tipo II. Este modelo designar-se-á por
Modelo de Gestão Florestal Genérico II e representar-se-á por MGFGII.
max
N
n− g
n
Q = ∑∑ Dij Yij + ∑
i =1 j =1
s.a
n
n
j =1 k = j + g
∑Y
+ Wi = Ai , i = 1,...,N
n
N
ij
j =1
N
n
i =1
j =1
∑ E jk X jk + ∑ TiWi + ∑ Z jU j
∑ X jk + U j − ∑ Yij = 0, j = 1,...,n
k = j+ g
i =1
j−g
N
∑V Y
ij
i =1
+ ∑ H kj X kj ≥ V Min j , j = 1,...,n
ij
k =1
j−g
N
∑V Y
+ ∑ H kj X kj ≤ V Max j , j = 1,...,n
ij
ij
i =1
k =1
j−g
N
∑Y + ∑ X
i =1
ij
k =1
kj
≥ E Min j , j = 1,...,n
j−g
N
∑ Yij + ∑ X kj ≤ E Max j , j = 1,...,n
i =1
k =1
n
∑X
k = j+g
jk
+ U j ≥ R Min j , j = 1,...,n
jk
+ U j ≤ R Max j , j = 1,...,n
n
∑X
k = j+g
j−g
N
∑ C1 Y + ∑ C 2
i =1
ij
ij
k =1
X kj ≥ D Min j , j = 1,...,n
kj
X kj ≤ D Max j , j = 1,...,n
j−g
N
∑ C1 Y + ∑ C 2
i =1
kj
ij
ij
k =1
Yij ≥ 0, X jk ≥ 0, Wi ≥ 0, U j ≥ 0, i = 1,...,N , j = 1,...,n , k = 1,...,n,
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 48 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal onde,
n – número de anos do horizonte de planeamento;
N – número de estratos iniciais;
Ai – número de hectares do estrato florestal inicial i ;
g – duração mínima de um ciclo florestal;
Yij – número de hectares do estrato florestal inicial i explorados no ano j ;
Dij – valor líquido presente (por hectare do estrato florestal inicial i cortado no ano j ),
referente ao fluxo de capital existente entre o ano 0 e o ano j ;
C1ij – custo de exploração, por hectare, do estrato florestal inicial i cortado no ano j ;
X
jk
– número de hectares reformados no ano j e explorados no ano k (se j>n-g, então
X
jk
= 0 );
E jk – valor líquido presente (por hectare reformado no ano j e explorado no ano k),
referente ao fluxo de capital existente entre o ano j e o ano k;
C 2 kj – custo de exploração por hectare explorado no ano j e reformado no ano k;
Wi – número de hectares do estrato florestal inicial i não explorados até ao último ano
do horizonte de planeamento;
Ti – valor líquido presente por hectare do estrato florestal inicial i não explorado até ao
último ano do horizonte de planeamento;
U j – número de hectares reformados no ano j, que não receberam mais intervenções até
ao último ano do horizonte de planeamento;
Z j – valor líquido presente por hectare reformado no ano j, que não recebeu mais
intervenções até ao último ano do horizonte de planeamento (o primeiro ano deste fluxo
de capital é o ano j);
49 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal Vij – volume, por hectare, do estrato florestal inicial i explorado no ano j ;
H kj – volume, por hectare, explorado no ano j de talhões reformados no ano k (se
k<j+g, então H jk = 0 );
V Min j – volume mínimo de produção exigido, de forma a suprir as necessidades da
indústria no ano j ;
V Max j – volume máximo de produção pretendido, de modo a suprir as necessidades da
indústria no ano j ;
E Min j – número mínimo de hectares que deve ser cortado/plantado no ano j ;
E Max j – número máximo de hectares passível de ser cortado/plantado no ano j ;
R Min j – número mínimo de hectares que deve ser reformado no ano j ;
R Max j – número máximo de hectares passível de ser reformado no ano j ;
D Min j – disponibilidade orçamental mínima no ano j ;
D Max j – disponibilidade orçamental máxima no ano j .
Neste modelo, a função objectivo representa o valor presente do fluxo monetário global
resultante da exploração da floresta. Quanto às restrições:
- a primeira refere-se à disponibilidade da área de cada estrato florestal inicial;
- a segunda garante, em cada ano, a reforma dos hectares que são cortados nesse
ano;
- a terceira e a quarta asseguram, respectivamente, as exigências anuais mínimas e
máximas de produção;
- a capacidade anual mínima e máxima de trabalho das equipas de corte/plantação
está expressa na quinta e sexta condições, respectivamente;
- a sétima e oitava dizem respeito, respectivamente, aos limites anuais mínimo e
máximo de área florestal a reformar;
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 50 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal - as restrições orçamentais mínimas e máximas em cada ano são impostas na nona e
décima condições;
- o último conjunto indica que o número de hectares reformados, explorados e não
explorados tem de ser não negativo.
Recorde-se que o objectivo principal desta dissertação é a análise de modelos de PL
aplicados à Gestão de Florestas, não fazendo parte dos objectivos definidos o estudo de
métodos de resolução desses modelos. É, no entanto, importante referir que alguns
destes métodos se baseiam numa interpretação do problema dual [6]. Assim sendo,
optou-se por incluir neste trabalho o dual de cada um dos problemas apresentados
anteriormente. O dual do problema MGFGI é:
(
)
n
N
⎡L
⎤
min W = ∑ Ai ai + ∑ ⎢∑ VMin jl (v m ) jl + VMax jl (v M ) jl + f j ⎥
j =1 ⎣ l =1
i =1
⎦
s.a
[
]
n
⎧L
⎫
ai + ∑ ⎨∑ Vijkl (v m ) jl + (v M ) jl + hijk ⎬ ≥ Pik , i = 1,..., N , k = 1,..., M
j =1 ⎩ l =1
⎭
(vm ) jl
≤ 0, (v M ) jl ≥ 0, (em ) j ≤ 0, (eM ) j ≥ 0, (rm ) j ≤ 0, (rM ) j
≥ 0,
(d m ) j
≤ 0, (d M ) j ≥ 0, j = 1,..., n , l = 1,..., L , onde,
f j = R Min j (rm ) j + R Max j (rM ) j + E Min j (e m ) j + E Max j (e M ) j + D Min j (d m ) j + D Max j (d M ) j (
)
(
)
(
hijk = α ijk (e m ) j + (e M ) j + β ijk (rm ) j + (rM ) j + Dijk (d m ) j + (d M ) j
)
e
ai – variável dual associada à área total do estrato florestal i;
(vm ) jl
– variável dual associada ao volume mínimo de produção do derivado de madeira
l exigido, de modo a suprir as necessidades da indústria no ano j ;
(vM ) jl
– variável dual associada ao volume máximo de produção do derivado de
madeira l pretendido, de modo a suprir as necessidades da indústria no ano j ;
51 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal (rm ) j
– variável dual associada à área mínima que deve ser reformada no ano j ;
(rM ) j
– variável dual associada à área máxima que deve ser reformada no ano j ;
(em ) j
– variável dual associada à área mínima que deve ser cortada/plantada no ano j ;
(eM ) j
– variável dual associada à área máxima que deve ser cortada/plantada no ano j ;
(d m ) j
– variável dual associada à disponibilidade orçamental mínima no ano j ;
(d M ) j
– variável dual associada à disponibilidade orçamental máxima no ano j .
No problema dual as variáveis designam-se por Preços Duais ou Preços Sombra e
representam o impacto na função objectivo resultante da variação marginal dos recursos
disponíveis. Deste modo, as variáveis duais associadas às restrições relativas à produção
dos derivados de madeira indicam as alterações ao valor presente do fluxo monetário
global (vpfmg) correspondentes à variação unitária do volume de produção desses
derivados. As variáveis duais para as restrições de área indicam as alterações ao vpfmg
resultantes da variação marginal da área disponível, explorada e reformada. Finalmente,
as variáveis duais associadas à disponibilidade orçamental traduzem o impacto no
vpfmg resultante da adição ou subtracção de uma unidade monetária ao orçamento base
anual.
Termina-se este trabalho com a formulação do dual do problema MGFGII. Neste caso, a
terminologia utilizada é a seguinte:
ai – variável dual associada à área total do estrato florestal inicial i;
o j – variável dual associada à área total cortada/reformada no ano j ;
(vm ) j
– variável dual associada ao volume mínimo de produção exigido, de modo a
suprir as necessidades da indústria no ano j ;
(v M ) j
– variável dual associada ao volume máximo de produção pretendido, de modo a
suprir as necessidades da indústria no ano j ;
(rm ) j
– variável dual associada à área mínima que deve ser reformada no ano j ;
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 52 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal (rM ) j
– variável dual associada à área máxima que deve ser reformada no ano j ;
(em ) j
– variável dual associada à área mínima que deve ser cortada/plantada no ano j ;
(eM ) j
– variável dual associada à área máxima que deve ser cortada/plantada no ano j ;
(d m ) j
– variável dual associada à disponibilidade orçamental mínima no ano j ;
(d M ) j
– variável dual associada à disponibilidade orçamental máxima no ano j ;
e o dual de MGFGII pode formular-se como
(
N
n
i =1
j =1
min R = ∑ Ai ai + ∑ VMin j (v m ) j + VMax j (v M ) j + f j
s.a
)
a i − o j + (e m ) j + (e M ) j + s ij ≥ Dij , i = 1,..., N , j = 1,..., n
o k + (e m ) j + (e M ) j + (rm )k + (rM )k + hkjg ≥ E k ( j + g ) ,
j = 1,..., n − g , k = 1,..., j
ai ≥ Ti , i = 1,..., N
o j + (rm ) j + (rM ) j ≥ Z j , j = 1,..., n
(vm ) j
≤ 0, (v M ) j ≥ 0, (em ) j ≤ 0, (eM ) j ≥ 0, (rm ) j ≤ 0, (rM ) j
≥ 0, (d m ) j ≤ 0, (d M ) j ≥ 0 , j = 1,..., n , onde,
f j = R Min j (rm ) j + R Max j (rM ) j + E Min j (e m ) j + E Max j (e M ) j + D Min j (d m ) j + D Max j (d M ) j (
)
(
)
s ij = Vij (v m ) j + (v M ) j + C1ij (d m ) j + (d M ) j (
)
(
)
hkjg = H k ( j + g ) (v m ) j + (v M ) j + C 2 k ( j + g ) (d m ) j + (d M ) j .
Tal como já foi referido na descrição da formulação do dual do MGFGI, as variáveis
duais representam o impacto na função objectivo resultante da variação marginal dos
53 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal recursos disponíveis. Assim, as variáveis duais associadas às restrições de área total de
cada estrato florestal inicial, indicam as alterações ao valor presente do fluxo monetário
global (vpfmg) correspondentes à variação de um hectare desses estratos iniciais. As
variáveis duais relativas à área total cortada/reformada em cada ano (correspondente ao
segundo conjunto de restrições do MGFGII) não têm qualquer influência no vpfmg. As
restantes variáveis provocam no vpfmg alterações semelhantes às referidas na descrição
do dual do MGFGI.
Referências: Neste capítulo utilizou-se como material de consulta fundamental [3], [4],
[5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [13], [15], [16], [17], [18], [19], [20] e [22].
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 54 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Conclusão Esta dissertação foi realizada no âmbito do Mestrado em Matemática e Ciências da
Natureza e tinha por objectivo estudar modelos de Programação Linear, PL, aplicados à
Gestão Florestal.
Este trabalho focou-se no caso particular da Floresta de Eucaliptos no Brasil. Estas
escolhas deveram-se não só a este país ser considerado o “pulmão” do Mundo e ter uma
forte ligação histórica com Portugal, mas também ao facto do Eucalipto estar presente
nos cinco continentes e, em particular, em todos os estados Brasileiros.
A análise dos modelos de PL que se pretendiam estudar requer o domínio dos conceitos
fundamentais de Análise Convexa, de PL e Teoria da Dualidade, bem como de algumas
noções e nomenclaturas referentes às áreas de Engenharia Florestal e de Matemática
Financeira/Economia. Dado que estes temas não estão contemplados nem na formação
de base dos candidatos a este curso de mestrado, nem na parte curricular deste mestrado,
foi necessário proceder ao seu estudo no decorrer deste trabalho de investigação.
Neste trabalho foram analisados quatro modelos de PL relativos ao problema genérico
da Gestão da Floresta de Eucaliptos Brasileira. Embora o tempo imposto para terminus
desta dissertação não permitisse aprofundar este estudo tanto como era desejado,
consequência da implementação do Processo de Bolonha, pensa-se que os objectivos
propostos inicialmente foram cumpridos, mais, ainda, se for tida em conta a lacuna na
formação base relativa aos conceitos fundamentais de Análise Convexa e PL,
necessários à compreensão do tema proposto. Considera-se, ainda, que este estudo
também poderá servir para que potenciais interessados no tema da Gestão Florestal
colmatem lacunas nestas áreas do conhecimento, facilitando-lhes, assim, um primeiro
contacto com o tema.
Dado que um mestrado é apenas o iniciar de um trabalho de investigação que se
pretende continuar através da frequência de outros estudos avançados, futuramente seria
interessante estudar os modelos de PL utilizados na gestão das florestas Portuguesas,
55 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Conclusão nomeadamente o Pinhal de Leiria, a Serra de Sintra, o Parque Nacional da PenedaGerês e a Serra do Marão, e compará-los com os apresentados neste trabalho. Seria,
ainda, tema de interesse o estudo, a formulação e a resolução de um problema real,
preferencialmente relativo à gestão da floresta portuguesa.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 56 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal Referências Bibliográficas [1]
Bazaraa, M. S., Jarvis, J.J.e Sherali, H. D. 1977. Linear Programing And Network
Flows. Wiley.
[2]
Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., Shetty, C.M. 1993. Nonlinear Programing: Theory
and Algorithms. New York - John Wiley and Sons.
[3]
Bertola,
A.
Eucalipto
–
100
anos
de
Brasil.
In
http://www.celso-
foelkel.com.br/artigos/outros/Eucalipto_100%20anos%20de%20Brasil_Alexandre
_Bertola.pdf, consultado a última vez em 20-11-2010.
[4]
Clutter, Jerome L.; Fortson, James C.; Pienaar, Leon V.; Brister, Graham H.;
Bailey, Robert L., Timber Management – A quantitative Approach. E.U.A - John
Wiley e Sons.
[5]
Curtis, F. H. 1962. Linear programming in the management of a forestry property.
Journal of Forestry, 60, 611-616.
[6]
Hauer, G. K. 1992.Timber Management Scheduling with Multiple Products. A
Thesis submitted to the Faculty of the Graduate School of the University of
Minnesota.
[7]
Hillier, F. S., Lieberman, Gerald J. 2005. Introduction to Operations Research.
Mcgraw-Hill, (8th edition).
[8]
Hof, John, Bevers, Michael. 1998. Spatial optimization for managed ecosystems.
New York - Columbia University Press.
[9]
Jonhson, K. N. and E. L. Scheurman. 1977. Techiques for prescribing optimal
timber harvest and investment under different objectives – Discussion and
Synthesis. Forest Science Monograph, 18, 1-31.
[10]
Leuschener, W.A. 1984. Introduction to Forest Resource Management. - New
York, John Wiley & Sons.
[11]
Loucks, D. P. 1964. The development of an optimal program for sustained-yield
management. Journal of Forestry, 62, 485-490.
[12]
Minoux, M. 1995. Mathematical Programming: Theory and Algorithms. John
Wiley e Sons, New York.
57 Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro Referências Bibliográficas [13]
Navon, D. I. 1971. Timber RAM: a long-range planning method for commercial
timber lands under multiple-use management. USDA Forest Service Research
Paper, PNW 70, 1-22.
[14]
Ramalhete, M., J. Guerreiro e A. Magalhães. 1984. Programação Linear.
Portugal - McGraw-Hill, Lda. Volume I.
[15]
Ramalhete, M., J. Guerreiro e A. Magalhães. 1984. Programação Linear.
Portugal - McGraw-Hill, Lda. Volume II.
[16]
Rodriguez, L. C. E. 1991. Gerenciamento da Produção Floresta. Piracicaba São Paulo, Instituto de Pesquisas e Estudos Florestais – Escola Superior de
Agricultura
“Luiz
de
Queiroz”
-
Universidade
de
São
Paulo.
In
http://www.ipef.br/PUBLICACOES/docflorestais/cap13.pdf, consultado em Junho
2009.
[17]
Rodriguez, L. C. E., Moreira R. M. 1989. Gerenciamento de Florestas de
Eucalyptus com Modelos de Programação Linear. Piracicaba – São Paulo,
Instituto de Pesquisas e Estudos Florestais – Departamento de Ciências Florestais.
In http://www.ipef.br/publicacoes/stecnica/nr19/cap01.pdf, consultado em Abril
de 2009.
[18]
Rodriguez, L. C. E. Agosto de 2006. Introdução à Matemática Financeira.
Piracicaba – São Paulo, Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de São Paulo.
[19]
Rodriguez, L. C. E., Bueno, A. R. S., Rodrigues, F. Junho 1997. Rotações de
Eucaliptos mais longas: Análise Volumétrica e Económica. Scientia Forestalis, 51,
15-28,.
In
http://www.ipef.br/PUBLICACOES/SCIENTIA/nr51/cap2.pdf,
consultado em Fevereiro de 2010.
[20]
Rodriguez, L. C. E. 2005. Técnicas Quantitativas para a Gestão de Florestas
Plantadas. Piracicaba – São Paulo, Escola Superior de Agricultura “Luiz de
Queiroz”
-
Universidade
de
São
Paulo,
In
http://lmq.esalq.usp.br/~lcer/lcf586/LCF586_Apostila.pdf, consultado em Abril de 2009.
[21]
Shapiro, J. F., Sloan, A. P., Mathematical Programming: Structures and
Algorithms. School of Management – Massachusetts Institute of Technology, John
Wiley e Sons.
[22]
Silva, M. L., Fontes, A. A. 2005. Discussão sobre os Critérios de Avaliação
Económica: Valor Presente Líquido (VPL), Valor Anual Equivalente (VAE) e
Valor Esperado da Terra (VET). Revista Árvore, 29, 6, 931-936, In
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 58 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal http://redalyc.uaemex.mx/pdf/488/48829612.pdf, consultado em Fevereiro de
2010.
[23]
59 Webster, R. 1994. Convexity. Oxford University Press, Oxford.
Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro