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SUMÁRIO – TERCEIRO VOLUME CAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SER
ENSINADO ................................................................................................................................
013
CAPÍTULO 01: AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NOTÁVEIS ................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
TABELA DE SENOS, COSSENOS E TANGENTES DE 0º ATÉ 90º ...........................................
018
020
026
028
035
036
CAPÍTULO 02: O CICLO TRIGONOMÉTRICO.
MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO E COMPRIMENTO DE UM ARCO ................................
CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................................................................................
ARCOS CÔNGRUOS ...................................................................................................................
ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ..............................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
037
041
043
046
047
048
050
CAPÍTULO 03: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
ALGUMAS NOTAÇÕES IMPORTANTES ..................................................................................
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO ...........................................
FUNÇÃO PERIÓDICA ...............................................................................................................
FUNÇÃO y = sen x ......................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sen x .................................
FUNÇÃO y = cos x ......................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cos x .................................
FUNÇÃO y = tg x ........................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x ...................................
FUNÇÃO y = cotg x ....................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cotg x ...............................
FUNÇÃO y = sec x ......................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sec x .................................
FUNÇÃO y = cossec x .................................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cossec x ............................
RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – IDENTIDADES .......................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
051
051
052
060
060
061
065
066
071
072
077
077
081
081
083
083
085
087
092
099
CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE.
SIMETRIAS ..................................................................................................................................
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ................................................................................
100
100
 π

ARCOS DA FORMA  n. ± x  ...................................................................................................
 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
109
110
114
CAPÍTULO 05:TRANSFORMAÇÕES.
ADIÇÃO DE ARCOS ...................................................................................................................
SOMA DE VÁRIOS ARCOS ........................................................................................................
SUBTRAÇÃO DE ARCOS ...........................................................................................................
DUPLICAÇÃO DE ARCOS .........................................................................................................
SOMA DE SENOS OU DE COSSENOS DE ARCOS EM P.A. ...................................................
TRIPLICAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................
FÓRMULAS DE SIMPSON .........................................................................................................
CÁLCULO DO SENO E DO COSSENO DO ARCO nα .............................................................
BISSECÇÃO DE ARCOS .............................................................................................................
SENO, COSSENO E TANGENTE EM FUNÇÃO DA TANGENTE DO ARCO METADE .........
FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE (TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO) .............................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
116
117
119
120
123
123
124
124
124
127
127
132
136
143
CAPÍTULO 06:EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – INTRODUÇÃO ..............................................................
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES ...............................................................
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO ELEMENTARES ......................................................
EQUAÇÕES SOLUCIONÁVEIS POR OUTROS ARTIFÍCIOS ..................................................
SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
144
144
157
166
181
183
188
195
CAPÍTULO 07:INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES ............................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
197
206
208
210
104
CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS.
FUNÇÃO ARCO-SENO ...............................................................................................................
FUNÇÃO ARCO-COSSENO .......................................................................................................
FUNÇÃO ARCO-TANGENTE .....................................................................................................
FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE ...............................................................................................
FUNÇÃO ARCO-SECANTE ........................................................................................................
FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE ................................................................................................
SOMAS DE FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ....................................................................
ALGUMAS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ........
211
211
212
212
213
213
215
216
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
217
219
222
CAPÍTULO 09:RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS.
LEI DOS COSSENOS ..................................................................................................................
LEI DOS SENOS OU TEOREMA DE LAMY ..............................................................................
ÁREA DE UM TRIÂNGULO .......................................................................................................
LEI DAS TANGENTES OU TEOREMA DE NEPPER ................................................................
FÓRMULAS DE BRIGGS ...........................................................................................................
TEOREMA DAS PROJEÇÕES OU DE CARNOT ......................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
223
224
226
227
227
227
228
230
236
APÊNDICE
FORMULÁRIO-RESUMO DO TERCEIRO VOLUME ...............................................................
241
Outra solução:
sen α = 0,6
B
cos α = 0,8
α
tg α = 0,75
x
α
D
50
2α
C
x2 + y2 = 2500
(I)
A
x
3
150 + 3 y
= ⇒x=
50 + y y
4
Substituindo (II) em (I), encontramos:
Pela tg α, temos:
(II)
2
22500 + 900 y + 9 y 2
 150 + 3 y 
2
+ y 2 = 2500 .

 + y = 2500 ⇒
4
16


Ou ainda: 25 y 2 + 900 y − 17500 = 0 ⇒ y 2 + 36 y − 700 = 0 , cujas soluções são y1 = 14 e y2 = –
50 (não serve).
Para y = 14, encontramos x = 48.
RESPOSTA: alternativa c.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFGO) No triângulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordem, são:
a) 2 e
3.
3 – 1 e 2.
x
2 3
6− 2
c)
e
.
y
135º
15º
3
3
6− 2 2 3
d)
e
.
2
3
3
e) 2 e 3 – 1.
RESOLUÇÃO:
O melhor truque a ser utilizado na resolução dessa questão é “completar” o triângulo
retângulo conforme a figura abaixo, em que o ângulo A é reto:
B
b)
x
y
135º
15º
C
2
D
A
25
CICLO TRIGONOMÉTRICO:
Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a um
sistema de coordenadas ortogonais com origem em seu centro. Convencionemos como sentido
positivo de percurso dessa circunferência o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos
ponteiros do relógio) e, em contrapartida, o sentido negativo será o oposto (a favor do movimento
dos ponteiros do relógio). A intersecção do semi-eixo positivo das abscissas do sistema de
coordenadas com a circunferência (ponto A na figura abaixo) será a origem dos arcos, isto é, o
ponto a partir do qual marcaremos os arcos que serão considerados sobre a circunferência. A esse
conjunto chamamos de ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico ou circunferência
trigonométrica.
Os arcos com os quais trabalharemos, marcados sobre o ciclo, serão denominados arcos
trigonométricos e esses, ao contrário do que ocorre na Geometria Plana, poderão ter medidas
maiores do que 360º (bastando para isso que se percorra todo o ciclo mais de uma vez no sentido
positivo) ou menores do que 0º (bastando para isso que se percorra o ciclo, a partir da origem dos
arcos, no sentido negativo).
Sempre que, para chegarmos à extremidade de um arco, precisarmos, a partir da origem dos
arcos, percorrer o ciclo no sentido positivo, esse arco terá medida positiva; em caso contrário, terá
medida negativa.
Na figura, temos:
B(0, 1)
Γ
F+
O(0, 0) – origem do sist. cartesiano.
A – origem dos arcos.
F – extremidade do arco AF (α > 0).
E – extremidade do arco AE (γ < 0).
α
C(–1, 0)
γ
O(0, 0)
A(1, 0)
–
E
D(0, –1)
Existe uma correspondência entre os pontos da reta real e os pontos do ciclo. A cada
número real corresponde um único ponto do ciclo que é sua imagem. O ponto O do eixo real tem
como correspondente o ponto A do ciclo. O sentido positivo de percurso do eixo real corresponde
ao sentido positivo de percurso do ciclo (sentido anti-horário) enquanto que o sentido negativo de
percurso do eixo real corresponde ao sentido negativo de percurso do ciclo (sentido horário).
Dessa maneira, chamando o ciclo trigonométrico de Γ, e fixando uma origem A nesse ciclo,
criamos uma função F : R → Γ, de forma que, para determinarmos a imagem de um número real x
qualquer, devemos:
• A partir da origem A, percorrer Γ no sentido positivo, se x > 0; ou
• A partir da origem A, percorrer Γ no sentido negativo, se x < 0.
41
OBS.: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome de
tangentóide. As retas verticais que passam pelos pontos x = kπ + π 2 , k ∈ Z são as chamadas
assíntotas.
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x:
Para funções do tipo y = a + b . tg (mx + n), temos período p =
π
m
e temos imagem igual a
R. Na verdade, cada um dos números reais a, b e m provoca uma deformação no gráfico de y = tg
x. Veja gráficos comparativos no intervalo [0, 2π] abaixo:
A) f(x) = tg x
e
x
g ( x) = tg   .
2
período de f = π rad
período de g = 2π rad
O
π/2
π
3π/2
2π 5π/2
3π
x
g ( x) = tg  
2
f(x) = tg x
Houve uma dilatação horizontal no gráfico de y = tg x, porque 0 < m < 1; se tivéssemos m >
1, haveria uma compressão horizontal.
72
6) EEAR – 2/2004 – turma A – A expressão
1 + cot g 2 x
é idêntica à (ao):
1 + tg 2 x
a) tg2 x. b) sen2 x. c) cotg2 x. d) cos2 x.
7) EEAR – 2/2005 – Existirá x ∈ R que satisfaça a igualdade sen x = 2k – 5 se, e
somente se:
a) 1 < k ≤ 3. b) 1 < k < 4. c) 2 ≤ k < 4. d) 2 ≤ k ≤ 3.
8) EEAR – 2/2006 – turma B – O quadrante em que as funções seno, cosseno e
tangente são, simultaneamente, crescentes é o:
a) 1º. b) 2º. c) 3º. d) 4º.
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – EPCAR:
1) EPCAR – 1998 – Sejam f e g duas funções trigonométricas definidas no conjunto
dos números reais por f(x) = 4 cos 2x e g(x) = 2 cos (x/4). Se PF é o período de f e PG
é o período de g, pode-se afirmar que:
a) PG = PF. b) PG = (1/2)PF. c) PG = 8PF. d) PG = 4PF.
2) EPCAR – 1998 – Examine o gráfico abaixo e assinale a função correspondente:
a) y = cos 2x.
b) y = 2 cos x.
c) y = 2 sen x.
d) y = sen 2x.
y
1
π/2
3π/2
π
O
2π
x
3) EPCAR – 2002 – Se A = log (1 + cotg2 x) + log (1 + cos x) + log (1 – cos x), sendo 0 <
x < π/2, então A é igual a:
a) log (1/10). b) log (1/2). c) log 1. d) log 10.
4) EPCAR – 2002 – No sistema cartesiano abaixo, estão sobrepostos os gráficos de
três funções y1 = k1.cotg x, y2 = k2.cotg x e y3 = k3.cotg x. Tem-se, necessariamente,
que:
y
a) k1 < k2. < k3.
b) k1 = k2. = k3.
c) k3 < k2. < k1.
d) k2 < k3. < k1.
O
π/2
π
93
• cos α =
2x
x 5
=
2 5
.
5
z 2x
=
⇒ z = 2y.
y x
x+ y
. Substituindo z por 2y e
Pelo triângulo ABC, podemos concluir que sen 2α =
z
x+ y
desenvolvendo a expressão do arco duplo, ficamos com 2 . sen α . cos α =
. Substituindo os
2y
Pelo teorema das bissetrizes no triângulo ABC, ficamos com
valores do seno e do cosseno, ficamos com: 2 .
5 2 5
x+ y
8y
.
=
⇒
= x + y ⇒ 5x = 3y
5
5
2y
5
5
5
x = AD .
3
3
RESPOSTA: alternativa b.
⇒y=
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Provar que sen 10º . sen 50º . sen 70º = 1/8.
RESOLUÇÃO:
Façamos x = sen 10º . sen 50º . sen 70º. No momento em que provarmos que o valor de x é
igual a 1/8, estaremos provando a igualdade da questão.
Multiplicando ambos os membros por 2 cos 10º, ficamos com:
2 cos 10º . x = 2 sen 10º . cos 10º . sen 50º . sen 70º = sen 20º . sen 50º . sen 70º.
Substituindo sen 70º por cos 20º e novamente multiplicando por 2 ambos os membros,
caímos em: 2 . 2 cos 10º . x = 2 . sen 20º . cos 20º . sen 50º = sen 40º . sen 50º, ou seja:
4 cos 10º . x = sen 40º . sen 50º.
Substituindo sen 50º por cos 40º e, mais uma vez, multiplicando ambos os membros por 2,
chegamos a: 2 . 4 cos 10º . x = 2 . sen 40º . cos 40º ⇒ 8 cos 10º . x = sen 80º.
Finalmente, substituindo sen 80º por cos 10º, cancelando cos 10º em ambos os membros e
1
isolando x, chegamos a: 8 cos 10º.x = cos 10º ⇒ 8 x = 1 ⇒ x = , c.q.d.
8
RESPOSTA: Veja desenvolvimento.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (MACK) Se y = 3 + sen x cos x, 0 ≤ x ≤ π/2, então o maior valor que
y pode assumir é:
a) 3. b) 13/4. c) 10/3. d) 7/2. e) 4.
RESOLUÇÃO:
Multiplicando ambos os membros da lei de associação da função por 2 e isolando y, vem:
6 + sen 2 x
1
2 y = 6 + 2 sen x cos x ⇒ y =
= 3 + . sen 2 x .
2
2
O maior valor de sen 2x implicará o maior valor de y. Sabemos que o seno de um arco
varia de –1 até 1, isto é, o maior valor que sen 2x pode assumir é igual a 1. Então, o maior valor
1
7
que y pode assumir é igual a 3 + .1 = .
2
2
RESPOSTA: alternativa d.
122

π
5π
S =  x ∈ R | x = 2kπ + ou x = 2kπ +
,k∈Z
6
6


k
podemos dizer que S =  x ∈ R | x = kπ + (− 1)

questão.
RESPOSTA: alternativa c.

 ou ainda, resumindo em uma única forma,

π

, k ∈ Z  , conforme alternativa “c” da
6

SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Neste item, veremos alguns sistemas de equações trigonométricas resolvidos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equações
r sen θ = 3
, para r > 0 e 0 ≤ θ < 2π é:

r cos θ = 1
a) {2, π/6}. b) {1, π/3}. c) {2, 1}. d) {1, 0}. e) {2, π/3}.
RESOLUÇÃO:
r 2 sen 2 θ = 3
Quadrando as duas equações do sistema, caímos em  2
. Somando as duas
2
r cos θ = 1
equações, ficamos com r2 sen2 θ + r2 cos2 θ = 4 ⇒ r2 (sen2 θ + cos2 θ) = 4 ⇒ r2 = 4 ⇒ r = 2 (r >
0). Sendo r > 0, então, da primeira equação, deduzimos também que sen θ > 0.
Substituindo o valor de r = 2 na segunda equação, vem: cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60º (π/3 rad) ou
θ = 300º (5π/3 rad), que não serve, porque o número sen 300º ficaria negativo (não satisfaria à
primeira equação do sistema). O par ordenado (r, θ) que é solução do sistema é, portanto, (2, π/3).
RESPOSTA: alternativa e.
x + y = π
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) Para que valores de t o sistema 
2
sen x + sen y = log 10 t
admite solução?
a) 0 < t < 10. b) 0 < t < 10π. c) 0 < t < 102. d) 0,1 < t ≤ 10. e) NRA.
RESOLUÇÃO:
Da primeira equação, tiramos x = π – y, então, sen x = sen (π – y) = sen y.
Substituindo esse valor na segunda equação, vem: sen y + sen y = log t2 ⇒ 2 sen y = 2
log t ⇒ sen y = log t.
Como o valor do seno de um número real varia entre –1 e 1, vem: –1≤ log t ≤ 1 ⇒ 10–1≤
t ≤ 101 ⇒ 0,1 < t ≤ 10.
RESPOSTA: alternativa d.
π

x + y =
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver o sistema 
no intervalo de 0 a 2π
2
sen x + cos y = 1
radianos.
RESOLUÇÃO:
Observe que os arcos x e y são complementares, isto é, a função trigonométrica de um é
igual à “co-função” do outro e vice-versa.
181
DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x.
OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = kπ + π 4 , pois a função f(x) =
arc cotg x tem contradomínio ]0, π[, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas
aqueles compreendidos entre 0 e π.
FUNÇÃO ARCO-SECANTE:
É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 , definida por f(x) = arc sec x (lê-se:
]
] ]
]
“f(x)” é igual ao arco cuja secante é “x”). O gráfico da função arco-secante é:
y
π
–1
2
O
1
−π
x
2
–π
DICA: A igualdade y = arc sec x é equivalente a sec y = x.
OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc sec
]
] ]
arc sec x tem contradomínio − π ,− π 2 ∪ 0, π 2
]
2 = kπ + π
, pois a função f(x) =
4
, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores,
mas apenas aqueles compreendidos nesses intervalos de números reais.
FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE:
É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π ∪ 0, π , definida por f(x) = arc cossec x
2
2
]
] ]
]
(lê-se: “f(x)” é igual ao arco cuja cossecante é “x”). O gráfico da função arco-cossecante é:
213
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:
1) E.N. – 1988 – Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C =
60º, AB = x e BC = 6. Podemos afirmar que o problema:
a) sempre admite solução, se x > 0.
b) admite duas soluções, se x > 3.
c) admite solução única, se x = 3.
d) admite duas soluções, se 3 3 < x < 6.
e) não admite solução, se x > 6.
2) E.N. – 2003 – Considere a figura abaixo:
B
α
A
a)
b)
c)
d)
e)
β
D
d1
A área do triângulo BDC é:
d1 + d 2
.
cot gα − cot gβ
d1 .d 2
.
2(cot gα + cot gβ )
d1 + d 2
.
2(cot gα − cot gβ )
d1.d 2
.
2 cot gα − cot gβ
d1.d 2
.
2(cot gα − cot gβ )
C
d2
RESPOSTAS:
QUESTÕES DE VESTIBULARES:
1) d 2) d 3) e 4) e 5) d 6) a 7) c 8) d 9) c 10) d 11) b
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES:
CFT: 1) b.
EEAR: 1) b 2) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) c.
EPCAR: 1) a.
ESPCEX: 1) c.
236