GEOMETRIA ESPACIAL
Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões
são: largura, comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos
geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo,
paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.
Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma
representada em algum objeto na nossa realidade, como:
Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo de refrigerante.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol, globo espelhado.
Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo
cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo
das estruturas das figuras espaciais.
PRISMAS
Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais
que são paralelogramos.
Classificação
Um prisma pode ser:
 reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
 oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma oblíquo
prisma reto
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular hexagonal
prisma regular triangular
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
2ª Obs.: Num prisma, a reunião das faces laterais chama-se superfície lateral; a união desta com as duas bases é
denominada superfície total.
VOLUME DE PRISMAS
O volume V de um prisma com área da base Ab e altura h é dado por:
ÁREAS
Em uma figura espacial, sua área total é composta pelas áreas de cada uma de suas faces.
.
:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim,
podemos ter:
b) paralelepípedo reto
a) paralelepípedo oblíquo
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo retoretângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
CILINDRO
O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. Podem ser
classificados, de acordo com a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases,
em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua às bases) e cilindro circular reto (a
geratriz é perpendicular às bases).
A primeira figura acima é um cilindro oblíquo, já a segunda é um cilindro
reto.
CÁLCULO DAS ÁREAS DE UM CILINDRO.
Num cilindro, temos as áreas das bases, a área lateral e a área total. Vejamos como
calcular cada uma delas.
A base do cilindro é um círculo de raio r. Dessa forma, a área da base é dada por:
Sb = πr2
Para melhor compreender o cálculo da área lateral ou da superfície lateral, vamos realizar
a planificação do cilindro. Observe a figura:
Dessa forma, podemos verificar que a superfície lateral é um retângulo de base 2πr e
altura h. Assim, a área da superfície lateral será dada por:
Sl = 2πrh
Onde,
h → é a altura do cilindro
r → é o raio da base
Sl → é a área lateral
A área total do cilindro é obtida somando a área das duas bases com a área lateral. Dessa
forma, teremos:
St = Sl + 2Sb
Como
Sl = 2πrh
Sb = πr2
Segue que:
St = 2πrh + 2πr2
Ou
St = 2πr(h+r)
Cálculo do volume do cilindro.
O volume do cilindro, de acordo com o princípio de Cavalieri, é obtido da mesma forma
que o volume de um prisma. Assim, podemos afirmar que o volume do cilindro é igual ao
produto da área da base pela altura, ou:
V = Sb∙h = πr2h
VOLUME E UNIDADES DE MEDIDA
O volume de um corpo é a quantidade de espaço que
ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior seu
volume, e vice-versa.
Unidades de medida de volume
Para saber se um corpo tem mais ou menos volume do que o outro, devemos saber qual deles
tem mais unidades de volume, que tomaremos como unidade-padrão para comparar.
Se o lado de um dos quadrados que formam as faces do cubo medisse 1 cm, teríamos
construído um centímetro cúbico (cm3).
O número de centímetros cúbicos que ocupam o
mesmo espaço físico que um determinado corpo
recebe o nome de volume deste corpo e é
expresso em cm3.
A unidade fundamental de volume é o metro cúbico,
que é o volume de um cubo com 1 m de aresta. O
metro cúbico é simbolizado por m3.
Embora a unidade fundamental de volume seja o m3, pode acontecer de usarmos uma
unidade, ou muito maior ou muito menor, em função do corpo cujo volume deseja-se calcular.
Por isso, para cada múltiplo ou submúltiplo do metro devemos definir também um múltiplo ou
submúltiplo do metro cúbico.
Quantos cubinhos têm nesse cubo?
As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1000 em 1000, isto é, cada unidade de
volume é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do
que a imediatamente superior.
Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer múltiplo do metro, teremos os múltiplos do
metro cúbico.
Observe que essas unidades são muito grandes e seu uso é, em geral, limitado. Assim:
1 km3 é o volume de um cubo de 1 km de
lado.
1 hm3 é o volume de um cubo de 1 hm de
•
lado.
1 dam3 é o volume de um cubo de 1 dam
•
de lado.
•
Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer submúltiplo do metro, obteremos os
submúltiplos do metro cúbico. Assim:
• 1 dm3 é o volume de um cubo de 1 dm de lado.
• 1 cm3 é o volume de um cubo de 1 cm de lado.
• 1 mm3 é o volume de um cubo de 1 mm de lado.
Na transformação de unidades de volume, no sistema
métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade
de volume é 1.000 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
3
3
 transformar 2,45 m para dm .
km3
hm3
dam3
3
m3
dm3
cm3
mm3
3
Para transformar m em dm (uma posição à direita)
devemos multiplicar por 1.000.
3
2,45 x 1.000 = 2.450 dm
Exemplo:
Quantos centímetros cúbicos tem um decímetro cúbico?
Observe que para passar de dm 3 para cm3 temos de deslocar uma unidade para a direita;
portanto, multiplicaremos a quantidade dada por mil:
1 dm3 = 1 X 1 000 = 1 000 cm 3
Exemplo:
Quantos metros cúbicos têm 2 km3? Para passar de km3 para m3, temos de deslocar três
unidades para a direita; portanto, multiplicaremos a quantidade por mil, vezes mil, vezes mil,
isto é, por
1 000 000 000:
2 km3 = 2 X 1 000 000 000 = 2 000
000 000 m3
Exemplo:
Para expressar em m3 um volume de 14 hm3 169 dam3 74 dm3, faremos o seguinte:
14 hm3 = 14 X 1 000 000 = 14 000 000 m 3
169 dam3 = 169 X 1 000 = 169 000 m 3
74 dm3 = 74 ÷ 1 000 = 0,074 m3
14 hm3 169 dam3 74 dm3 = 14 169 000,074
m3
ESFERA
Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a
R.
Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.
Área da superfície esférica e volume da esfera
A área da superfície esférica de raio R é dada por:
O volume da esfera de raio R é dado por:
Secção de uma esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de
raio R determina como seção plana um círculo de raio R.
Sendo OO’ = d, temos:
Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o
círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.
Testes de Vestibular
1.
(UNITAU) Indique quantas faces
possuem, respectivamente, nessa
ordem, os sólidos numerados como I, II,
III e IV a seguir:
a) 8, 6, 5, 6.
b) 8, 6, 6, 5.
c) 8, 5, 6, 6.
d) 5, 8, 6, 6.
e) 6, 18, 6, 5.
2.
(UFRGS) Aumentando a aresta de um cubo
em 20%, sua área total aumentará em:
5.
(A) 1
a) 20%
(UFRGS) Num cilindro circular reto de
volume 36  , a altura mede 4. Então, o raio
da base mede:
(B) 2
(C) 3
(D)6
(E)9
b) 44%
c) 96%
6.
d) 144%
e) 264%
3.
Num armazém foram empilhadas
algumas caixas que formaram o monte
mostrado na figura a seguir.
(UFRGS) Deseja-se elevar em 20cm o nível
de água da piscina de um clube. A piscina é
retangular, com 20m de comprimento e 10m
de largura. A quantidade de litros de água a
ser acrescentada é
a) 4.000
b) 8.000
c) 20.000
d) 40.000
e) 80.000
7.
Se cada caixa pesa 25 kg quanto pesa o monte
com todas as caixas?
A) 300 B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg
4.
(UFRGS) Uma barra de ferro de 60 cm de
comprimento tem todas as secções
transversais iguais a um quadrado com 4 cm
de lado. No torno se faz a maior barra
cilíndrica circular reta possível. Qual é o
volume mais aproximado, em cm3, do
material desperdiçado?
(ENEM 2010) A siderúrgica "Metal Nobre"
produz diversos objetos maciços utilizando o
ferro. Um tipo especial de peça feita nessa
companhia tem o formato de um
paralelepípedo retangular, de acordo com as
dimensões indicadas na figura que segue
O produto das três dimensões indicadas na peça
resultaria na medida da grandeza
a) massa.
b) volume.
a) 200
b) 206
c) 250
c) superfície.
d) capacidade.
e) comprimento.
d) 256
e) 270
8.
(UNITAU) Se dobrarmos
convenientemente as linhas tracejadas
das figuras a seguir, obteremos três
modelos de figuras espaciais cujos
nomes são:
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e
hexaedro.
9.
(ENEM 2010) Alguns testes de preferência
por bebedouros de água foram realizados
com bovinos, envolvendo três tipos de
bebedouros, de formatos e tamanhos
diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a
forma de um tronco de cone circular reto,
de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base
superior igual a 120 cm e 60 cm,
respectivamente. O bebedouro 3 é um
semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm
de comprimento e 60 cm de largura. Os três
recipientes estão ilustrados na figura.
10. (UFRGS 2010) Considere um cubo de aresta
10 e um segmento que une o ponto P,
centro de uma das faces do cubo, ao ponto
Q, vértice do cubo, como indicado na figura
abaixo. A medida do segmento PQ é:
Considerando que nenhum dos recipientes tenha
tampa, qual das figuras a seguir representa uma
planificação para bebedouro 3?
a) 10.
b) 5√6
c) 12.
d) 6√5
e) 15.
11. (UFRGS-02) Na figura abaixo, p é o centro
da face superior de um cubo. A pirâmide de
base hachurada tem um de seus vértices
em P.
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 1/3.
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 4/3.
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 3/4.
d) III,
pela
relação
armazenamento de 2/3.
e)
III,
pela
relação
armazenamento de 7/12.
Se o volume da pirâmide é 1, então o volume do cubo
é
área/capacidade
área/capacidade
de
de
14. (UFRGS-03) Considere uma esfera inscrita
num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a
melhor aproximação para a razão entre o
volume da esfera e o volume do cubo é
(A) 2.
(B) 3.
(A) 2/5
(C) 4.
(B) 1/2
(D) 6.
(C) 3/5
(E) 8.
(D) 2/3
12. (UFPE 2001) Na figura abaixo o cubo de
aresta medindo 6 está dividido em pirâmides
congruentes de bases quadradas e com
vértices no centro do cubo. Qual o volume
(E) 3/4
15. (UFRGS-04) No desenho abaixo, em cada
um dos vértices do cubo está centrada uma
esfera cuja medida do diâmetro é igual à
medida da aresta do cubo.
de cada pirâmide?
a) 36
b) 48
c) 54
d) 64
e) 72
13. (ENEM 2010) Uma empresa vende tanques
de combustíveis de formato cilíndrico, em
três tamanhos, com medidas indicadas nas
figuras. O preço do tanque é diretamente
proporcional à medida da área da superfície
lateral do tanque. O dono de um posto de
combustível deseja encomendar um tanque
com menor custo por metro cúbico de
capacidade de armazenamento.
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado
pelas esferas e o volume do cubo é
(A) /6
(B) /5
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do
posto? (Considere π ≈ 3)
(C) /4
(D) /3
(E) /2
1
a) 2
16. (UFRGS-07)
Considere
as
seguintes
planificações:
d)
1
6
b)
1
3
e)
1
8
c)
1
4
19. (UFRGS) A figura abaixo representa um
Quais delas podem ser planificações do prisma?
cilindro circunscrito a uma esfera. Se V1 é o
volume da esfera e V2 é o volume do
a) Apenas I.
cilindro, então a razão
b) Apenas II.
V2
V 2  V1
é:
c) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
a)
b)
c)
d)
e)
1/3
1/2
1
2
3
17. (UFRGS-06) A figura abaixo, formada por
trapézios
congruentes
e
triângulos
equiláteros, representa a planificação de um
sólido.
20. (UFRGS) A área da base de um cone é 20.
Para que o seu volume seja 40, sua altura
deve ser
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Esse sólido é um
e) 6
21. (UFRGS) O volume de um cubo em que uma
(A) tronco de pirâmide
face tem área de 12cm² é:
(B) tronco de prisma
(A) 9cm³ (B) 12cm³ (C) 12
(C) poliedro regular
24
3 cm³
(D) 24cm³ (E)
3 cm³
(D) prisma trapezoidal
(E) prisma triangular
22. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de
18. (UFRGS)
Uma ampulheta pode ser
considerada como formada por dois cones
retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos
em um cilindro reto. A razão entre o volume
de um dos cones e o volume do cilindro é
diâmetro esta completamente cheia de
massa para doce, sem exceder a sua altura,
que é de 16 cm. O número de doces em
formato de bolinhas de 2 cm de raio que se
pode obter com toda essa massa é:
(A) 300 (B) 250 (C) 200 (D)150 (E)100
23. (PUC) Os catetos de um triângulo retângulo
medem
3 cm
e
5 cm.
(ENEM 99) Assim como na relação
entre o perfil de um corte de um torno
e a peça torneada, sólidos de revolução
resultam da rotação de figuras planas
em torno de um eixo. Girando-se as
figuras abaixo em torno da haste
indicada obtêm-se os sólidos de
revolução que estão na coluna da
direita. Faça a correspondência correta
entre as figuras planas e os sólidos de
revolução obtidos.
O volume, em
cm , do sólido gerado pela rotação do
triângulo em torno do menor cateto é
2
a)
 2
b) 
3
3
c)
5
3

d) 5 3
3
e)
5 5
3
24. (PUC/2005-1) Um reservatório tem a forma
de uma semi-esfera. A base, que está
assentada no solo, possui área interna de
36 m 2
. O volume de gás que comporta
o reservatório, em
m
3
, é de
A correspondência correta entre as figuras
planas e os sólidos de revolução obtidos é:
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
a) 288 π
b) 216 π
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
c) 144 π
(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
d) 72 π
28. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e
o diâmetro da base é 8m. Então, a área
2
total (em m ) vale:
e) 36 π
25. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é
então seu diâmetro é:
(A) 1
(B) 2
(D)
6

,
6
(C) 3
(E) 6
26. (UFRGS) Uma esfera de volume 36
está inscrita em um cilindro de volume
igual a:
24
(A) 9
(B) 18
(C)
(D)
27.
54
(E)
60
a)
b)
c)
d)
e)
52
36
20
16
12
29. (UFSM) Quantas garrafas de 300 ml de
refrigerantes são necessárioas para
encher uma jarra, na forma de um
prisma regular, cuja área de base é 100
cm³ e a altura de 21cm:
(A) 2,1
(D) 7,0
(B) 3,0
(E)21,0
(C) 6,3
30. (ENEM 2010) Dona Maria, diarista na casa
da família Teixeira, precisa fazer café para
servir as vinte pessoas que se encontram
numa reunião na sala. Para fazer o café,
Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica
e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista
deseja colocar a quantidade mínima de água na
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
32. (UCEPEL-2012-VERÃO) Um poliedro
convexo possui 9 faces, 5
quadrangulares e 4 triangulares. Então,
o número de arestas e o de vértices
desse poliedro, respectivamente, é
a) 16 e 9
b) 18 e 6
c) 12 e 10
d) 14 e 8
e) 10 e 6
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
33. (UEL 2001) Em qual das alternativas
está a planificação do cubo
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
representado à esquerda?
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
31. (ENEM-2007)
Representar
objetos
tridimensionais em uma folha de papel nem
sempre é tarefa fácil. O artista holandês
Escher
(1898-1972)
explorou
essa
dificuldade criando várias figuras planas
impossíveis de serem construídas como
objetos tridimensional, a exemplo da
litografia Belvedere, reproduzida ao lado.
34. (UFRGS 09) Observe o quadrado abaixo,
cujas diagonais medem 2 dm. A rotação
desse quadrado em torno de uma reta que
contém uma de suas diagonais gera um
sólido.
Considere que um marceneiro tenha encontrado
algumas figuras supostamente desenhadas por Escher
e deseje construir uma delas com ripas rígidas de
madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos
desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um
modelo tridimensional real?
A superfície desse sólido, em dm2, é de
 2
(D) 3 2
(A)
(B)
2 2
(E)
3 3
(C)
2 3
35. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de
comprimento e 10cm de diâmetro interno,
encontra-se na posição vertical e possui a
base inferior vedada. Colocando-se 2 litros
de água em seu interior, a água:
a)
b)
c)
d)
e)
41. (UFRGS 06) Duas esferas de raio r foram
colocadas dentro de um cilindro circular
reto com altura 4r, raio da base r e
espessura desprezível, como na figura
abaixo.
Ultrapassa o meio do cano
transborda
Não chega ao meio do cano
Enche o cano até a borda
Atinge exatamente o meio do cano
36. (UFRGS 08) A areia contida em um cone
fechado, de altura 18cm, ocupa 7 da
capacidade do cone.
8
Nessas condições, a razão entre o volume do
cilindro não ocupado pelas esferas e o voluma
das esferas é
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme
indica a figura, a altura do tronco de cone ocupado
pela areia, em centímetros, é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
37. (UFRGS)-O diâmetro da lua é
a)
b)
c)
d)
e)
aproximadamente ¼ do diâmetro da Terra.
Aproximadamente quantas vezes a Terra é
maior do que a lua em volume?
4
16
64
128
256
38. (UFRGS)-O volume de uma esfera A é 1/8
a)
b)
c)
d)
e)
do volume de uma esfera B. Se o raio da
esfera B mede 10, então o raio da esfera A
mede:
5
4
2,5
2
1,25
39. (UFSM) Dobrando-se o raio de uma
esfera, o seu volume ficará.
(A) multiplicado por 2
(D) inalterado
(B) multiplicado por 4
(E) reduzido à
metade
(C) multiplicado por 8
40. (UFRGS-2011) O paralelepípedo reto A, com
a)
b)
c)
d)
e)
dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm é a
reprodução de 1:10 do paralelepípedo B.
Então o volume do paralelepípedo B é, em
cm³:
85
850
8500
85000
850000
a)
1
5
d)
1
2
b)
1
4
c)
1
3
e) 2
3
42. (UFRGS-2011) Observe o sólido s formado
por 6 cubos e representado na figura
abaixo:
Dentre as opções a seguir, o objeto
que convenientemente composto com o sólido S,
forma um paralelepípedo é:
Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a
área do quadrilátero ABCD é
a) 25.
b)
c)
75.
.
d)
e)
100.
.
45. (UFRGS – 2012) Se duplicarmos a
medida da aresta da base de uma
pirâmide quadrangular regular e
reduzirmos sua altura à metade, o
volume desta pirâmide
a) Será reduzido à quarta parte.
b) Será reduzido à metade.
c) Permanecerá inalterado.
d) Será duplicado.
e) Aumentará quatro vezes.
46. (UFRGS 2007) A partir dos quatro
vértices de um cubo de aresta 6,
construído com madeira maciça, foram
recortadas pirâmides triangulares
congruentes, cada uma tendo três
arestas de medida 3, conforme
representado na figura 1, abaixo.
43. (UFRGS 2011) A superfície total do
tetraedro regular representado na
figura abaixo é 9√3. Os vértices do
quadrilátero PQRS são os pontos
médios de arestas do tetraedro, como
indica a figura.
O sólido obtido após a retirada das pirâmides
está representado na figura 2, abaixo.
O perímetro do
quadrilátero é
a) 4.
b) 4√2.
c) 6.
d) 5√3.
e) 6√3.
44. (UFRGS 2005) Na figura abaixo, os
vértices do quadrilátero ABCD são
pontos médios de quatro das seis
arestas do tetraedro regular.
O volume do sólido obtido é
(A) 198. (B) 204. (C) 208. (D) 212. (E) 216.
Gabarito:
1 A; 2 B; 3 E; 4 E; 5 E; 6 D; 7 B; 8 E; 9 E; 10 B; 11 D;12 A; 13 D; 14 B; 15 D; 16 D; 17 A; 18 D; 19 B;
20 E; 21 E; 22 D; 23 D; 24 A; 25 A; 26 D; 27 D; 28 B; 29 D; 30 1; 31 E; 32 A; 33 D; 34 B; 35 A; 36
C; 37 C; 38 A; 39 C; 40 D; 41 D; 42 ; 43 C; 44 A; 45 D; 46 A;