Instruções:
• Indique claramente as respostas dos itens
de cada questão, fornecendo as unidades, se
for o caso.
• Apresente de forma clara e ordenada os
passos utilizados na resolução das questões.
Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas.
• Ao apresentar a resolução das questões,
evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas.
• Não use aproximações para os valores de π
ou e.
• Toda a resolução das questões deve ser a
caneta, não apenas as respostas numéricas.
Questão 1
Em uma estrada de ferro, os dormentes e os
trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou
lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme
representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a
base maior tem 2,8 m e as arestas laterais
têm 50 cm de comprimento. Supondo que um
trecho de 10 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões.
Resposta
a) O lastro do trecho de ferrovia descrito é um
prisma reto de altura 10 km = 10 000 m cuja base
é um trapézio isósceles ABCD, conforme figura a
seguir:
A
2,0 m
B
0,5 m
D
0,5 m
E
F
C
2,8 m
Como os triângulos BFC e AED são congruentes,
2,8 − 2
FC = DE =
= 0,4 m. Assim, pelo Teorema
2
de Pitágoras, no triângulo BFC, (BF) 2 + (0,4) 2 =
= (0,5) 2 ⇔ BF = 0,3 m, altura do trapézio. Sua
⎛ 2,8 + 2,0 ⎞
2
área, então, é ⎜
⎟ ⋅ 0,3 = 0,72 m .
⎝
⎠
2
O volume de brita pedido corresponde ao volume
do prisma reto, ou seja, 0,72 ⋅ 10 000 = 7 200 m 3 .
b) Considerando a parte interna da caçamba de
um caminhão um paralelepípedo reto-retângulo,
seu volume é 6 ⋅ 2,5 ⋅ 0,6 = 9 m 3 . Como temos
7 200 m 3 de brita, e supondo que em todas as
viagens o volume total da caçamba seja ocupado
7 200
por brita, serão necessárias
= 800 viagens
9
de caminhão para transportar toda a brita.
Questão 2
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento,
2,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas
viagens de caminhão serão necessárias para
transportar toda a brita?
Uma passagem de ônibus de Campinas a São
Paulo custa R$ 17,50. O preço da passagem é
composto por R$ 12,57 de tarifa, R$ 0,94 de
pedágio, R$ 3,30 de taxa de embarque e
R$ 0,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro
ônibus sai às 5 horas da manhã e o último, à
meia-noite. No período entre o meio-dia e as
duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas é de 30 minutos.
a) Suponha que a empresa realiza todas as
viagens previstas no enunciado e que os ônibus transportam, em média, 36 passageiros
por viagem. Qual o valor arrecadado pela em-
matemática 2
presa, por dia, nas viagens entre Campinas e
São Paulo, desconsiderando as viagens de
volta?
b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e
esse aumento for integralmente repassado ao
preço da passagem, qual será o aumento percentual total do preço da passagem?
Resposta
a) Após a primeira viagem, às 5 h, há 4 viagens
por hora, com exceção dos períodos das 12 h às
13 h e das 13 h às 14 h, em que há 2 viagens por
hora. Entre as 5 h e a meia-noite há 24 − 5 = 19
horas, de modo que o total de viagens é
1 + (19 − 2) ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 73 .
Logo, a empresa arrecada, em média, por dia,
73 ⋅ 36 ⋅ 17,50 = 45 990 reais.
b) O aumento na taxa de embarque, que é também o aumento no preço da passagem, é de
0,3333 ⋅ 3,30 ≅ 1,10 real. Assim, o aumento percen1,10
tual total do preço da passagem é
≅ 6,28%.
17,50
Questão 3
Considere a sucessão de figuras apresentada
a seguir. Observe que cada figura é formada
por um conjunto de palitos de fósforo.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a) Suponha que essas figuras representam os
três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação.
Suponha também que F1 , F2 e F 3 indiquem,
respectivamente, o número de palitos usados
para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F n . Calcule F10 e escreva a expressão geral de F n .
b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.
Resposta
a) De acordo com a lei de formação apresentada,
as figuras são compostas por quadrados cujos lados têm a medida de 1 palito e, a partir da figura
2, a figura n é obtida acrescentando-se (n − 1) ⋅ 2
quadrados à figura 1.
Portanto uma expressão geral que apresenta o
número de palitos utilizados para formar a figura n
é Fn = 4 ⋅ [1 + (n − 1) ⋅ 2] = 8n − 4 para n ≥ 1 e,
sendo assim, F10 = 8 ⋅ 10 − 4 = 76.
b) Ao exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras, são necessários (8 ⋅ 1 − 4) +
+ (8 ⋅ 2 − 4) + (8 ⋅ 3 − 4) + ... + (8 ⋅ 50 − 4) palitos de fósforo.
Observando que, anteriormente, temos a soma
de uma PA com a1 = 4 e a50 = 396, o número de
(4 + 396) ⋅ 50
palitos de fósforos é
= 10 000.
2
Questão 4
Dois atletas largaram lado a lado em uma
corrida disputada em uma pista de atletismo
com 400 m de comprimento.
Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17 voltas e meia, o atleta mais rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados,
pergunta-se:
a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento
para percorrer cada volta?
b) Em quanto tempo o atleta mais rápido
completou a prova, que era de 10.000 metros?
No momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distância o atleta
mais lento havia percorrido?
matemática 3
Resposta
a) Como o atleta mais rápido ultrapassou o mais
lento após 17 voltas e meia, o mais lento havia
percorrido 16 voltas e meia até esse instante. Já
que o atleta mais rápido completou cada volta em
66 segundos, o atleta mais lento completou cada
17,5 ⋅ 66
volta em
= 70 segundos.
16,5
10 000
b) A prova era composta por
= 25 voltas.
400
Assim, o atleta mais rápido demorou
25 ⋅ 66 = 1 650 segundos = 27 minutos e 30 segundos.
Além disso, até esse instante, o atleta mais lento
1 650
havia dado
voltas, o que equivale a uma
70
1 650
distância de
⋅ 400 ≅ 9 428,6 metros.
70
Questão 5
Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso
filmado. Com base na gravação, descobriu-se
a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y( x ) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso.
Distância
(m)
Altura
(m)
1
2,0
2
2,7
3
3,2
a) Determine os valores de a, b e c.
b) Calcule a distância total alcançada pelo
peso nesse arremesso.
Resposta
a) Temos:
a +b +c =2
a +b +c =2
4a + 2b + c = 2,7 ⇔ 2b + 3c = 5,3 ⇔
9a + 3b + c = 3,2
6b + 8c = 14,8
a +b +c =2
a = −0,1
⇔ 2b + 3c = 5,3 ⇔ b = 1
c = 1,1
c = 1,1
b) A distância total alcançada pelo peso nesse arremesso é o valor de x > 0 tal que y(x) = 0. Assim,
x =
−1 ± 12 − 4 ⋅ ( −0,1) ⋅ 1,1
−1 ± 1,2
⇔
=
−0,2
2 ⋅ ( −0,1)
⇔ x = −1 ou x = 11. Logo a distância total é de
11 metros.
Questão 6
Seja C o conjunto dos números (no sistema
decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1, ou seja, C = { 1, 11, 111, 1111,
11111, 111111, ... }.
a) Verifique se o conjunto C contém números
que são divisíveis por 9 e se contém números
divisíveis por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento
em relação ao 6.
b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e
sabendo que esse número tem, no máximo,
1000 algarismos, qual a probabilidade de m
ser divisível por 9?
Resposta
a) • Um número é divisível por 9 se, e somente
se, a soma de seus algarismos, no sistema decimal, é divisível por 9.
Logo, um elemento de C, formado por k algarismos iguais a 1, k inteiro positivo, é divisível por 9
se, e somente se, k é divisível por 9, ou seja, devemos ter k = 9t , t inteiro positivo.
Assim, C contém números divisíveis por 9, sendo
que o menor deles é 111
111
111
14
4
244
3.
9 uns
•
Um número é divisível por 6 se, e somente se,
ele é par e divisível por 3. Como todos os números do conjunto C têm o algarismo das unidades
igual a 1, todos são ímpares e, portanto, nenhum
é divisível por 6.
b) Considerando as observações feitas no
1
1 000
item a e que 1 ≤ 9t ≤ 1 000 ⇔
≤t ≤
⇔
9
9
⇔ 1 ≤ t ≤ 111, para t inteiro positivo, há 111 múltiplos de 9 entre os números de C com, no máximo, 1 000 algarismos.
Conseqüentemente, a probabilidade pedida é
111
= 11,1% .
1 000
matemática 4
Resposta
Questão 7
a) f(x) ⋅ g(x) < 0 ⇔ −5x(2x + 5) < 0 ⇔
A escala de um aparelho de medir ruídos é
definida como Rβ = 12 + log10 I, em que Rβ é
a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m2 . No Brasil, a unidade
mais usada para medir ruídos é o decibel,
que equivale a um décimo do bel. O ruído dos
motores de um avião a jato equivale a 160 decibels, enquanto o tráfego em uma esquina
movimentada de uma grande cidade atinge
80 decibels, que é o limite a partir do qual o
ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.
a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído Rdβ , em decibels, com a intensidade sonora I, emW/m2 . Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora
máxima que o ouvido humano suporta sem
sofrer qualquer dano.
b) Usando a fórmula dada no enunciado ou
aquela que você obteve no item (a), calcule a
razão entre as intensidades sonoras do motor
de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.
Resposta
5⎞
5
⎛
⇔ x ⎜ x + ⎟ > 0 ⇔ x < − ou x > 0
⎝
2⎠
2
b) Seja h(x) = g(x) − f(x) = (2 − p)x + 5 . Para
que g(x) ≤ f(x) ⇔ h(x) ≤ 0 no intervalo [−8; −1],
basta que h(x) ≤ 0, nos extremos do intervalo, já
que o gráfico de h é uma reta.
Portanto:
h( −8) ≤ 0
(2 − p)( −8) + 5 ≤ 0
⇔
⇔
h( −1) ≤ 0
(2 − p)( −1) + 5 ≤ 0
⇔
11
8 ⇔ p ≤ −3
p ≤ −3
p ≤
Questão 9
Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal
se PT = P−1 , ou seja, se sua transposta é
igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os
valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P−1 P = I,
em que I é a matriz identidade.
1
bel , temos:
10
= 10 ⋅ (12 + log10 I) ⇔
⎡−1/3 −2/3 −2/3⎤
P = ⎢−2/3
a
−1/3⎥
⎢
⎥
2/3 ⎥⎦
b
⎢⎣−2/3
a) Como1 decibel =
Rd β = 10R β
⇔ Rd β = 120 + 10 log10 I
A intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta, sem sofrer qualquer dano, é
tal que 80 = 120 + 10 ⋅ log10 I ⇔ −4 = log10 I ⇔
⇔ I = 10 −4 W/m 2 .
b) A intensidade sonora do motor de um
avião a jato é tal que 160 = 120 + 10 log10 I ⇔
⇔ 4 = log10 I ⇔ I = 104 W/m 2 . Portanto a razão
entre as intensidades sonoras do motor de um
avião a jato e do tráfego em uma esquina movi104
mentada de uma grande cidade é
= 108 .
10 −4
Questão 8
Sejam dadas as funções f(x) = px e g(x) = 2x + 5,
em que p é um parâmetro real.
a) Supondo que p = − 5, determine para quais
valores reais de x tem-se f(x) ⋅ g(x) < 0.
b) Determine para quais valores de p temos
g(x) ≤ f(x) para todo x ∈ [−8, −1].
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na
forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a
solução do sistema Ax = b, para o vetor b
dado, sem obter explicitamente a matriz
A.
Dica: lembre-se de que x = A −1 b.
⎡ 1/2
⎢
Q = ⎢ 1/2
⎢⎣ 2 /2
−1/2 − 2 /2⎤
⎡2 0
⎥
2 /2 ⎥ , R = ⎢0 −2
−1/2
⎢
2 /2
0 ⎥⎦
⎢⎣0 0
0 ⎤
0 ⎥,
⎥
2 ⎥⎦
⎡6⎤
b = ⎢−2⎥ .
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
Resposta
Note que P é a matriz ortogonal ⇔ P T = P −1 ⇔
⇔ P T ⋅ P = P −1 ⋅ P ⇔ P T ⋅ P = I.
matemática 5
a) A matriz P dada é ortogonal se, e somente se,
AB
PT ⋅ P = I ⇔
⎡ 1
⎢− 3
⎢
2
⇔ ⎢−
⎢ 3
⎢ 2
⎢−
⎣ 3
A
2⎤ ⎡ 1
− ⎥ ⎢−
3
3
⎥ ⎢
2
b ⎥ ⋅ ⎢−
⎥ ⎢ 3
2 ⎥ ⎢ 2
⎥ ⎢−
3 ⎦ ⎣ 3
2
−
3
a
−
1
3
2
−
3
a
b
2
−
3
1
−
3
2
3
⎤
⎥
⎥
⎥ =
⎥
⎥
⎥
⎦
B
a
a
rio
50
⎡1 0 0 ⎤
= ⎢0 1 0 ⎥ ⇔
⎢
⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo.
2
2
2
⎡
⎤
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em
− a− b
1
0
⎢
⎥
o
9
3
3
equivale a 30 segundos, qual será o tempo
1
⎢
⎥
2
2
2
4
4
1
2
⇔⎢ − a− b
+ a2 + b 2
− a + b ⎥ = necessário para elevar os pontos A e B a uma
⎢9
3
3
9
9
3
3 ⎥
altura de 12,5 m, com relação à posição des⎢
⎥
4 1
2
− a+ b
1
0
⎢
⎥
tes quando a ponte está abaixada?
3
9
3
⎣
⎦
b) Se α = 75o, quanto mede AB?
2
2
2
b =0
a−
−
2
9
3
3
⎡1 0 0 ⎤
a=
4
3
⎢
⎥
2
2
= 0 1 0 ⇔
⇔
+ a + b =1
⎢
⎥
1
9
b =−
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
2
4
1
3
b =0
− a+
3
9
3
b) Sendo Q ortogonal, a solução do sistema é:
x = A −1b = (QR) −1 b = R −1Q −1b = R −1QT b =
⎡1
⎢2
⎢
= ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
⎡ 1
⎢
⎢ 4
1
=⎢
⎢ 4
⎢ 1
⎢−
⎢⎣ 2
0
−
1
2
0
1
4
1
4
1
2
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎥
2 ⎥⎦
2
4
2
−
4
0
⎡ 1
⎢
⎢ 2
1
⋅⎢ −
⎢ 2
⎢
⎢− 2
⎢⎣ 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
1
2
1
−
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥⎦
2
2
2
2
⎡6 ⎤
⋅ ⎢ −2 ⎥ =
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡6 ⎤ ⎡1 ⎤
⋅ ⎢ −2 ⎥ = ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎢⎣ −4 ⎥⎦
Questão 10
Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar
passagem a algumas embarcações, pode-se
abrir a ponte a partir de seu centro, criando
um vão AB, conforme mostra a figura abaixo.
Resposta
a) Quando os pontos A e B estão a uma altura de
12,5 m, α é a medida de um ângulo num triângulo retângulo oposto ao cateto de medida 12,5 m.
12,5
Como a hipotenusa mede 25 m, senα =
=
25
1
=
⇔ α = 30o .
2
O tempo gasto para girar a ponte em1o é 30 s, logo,
para girá-la 30o serão necessários 30 ⋅ 30 = 900 s =
= 15 min
b) Considere a figura a seguir, em que CD = 50 m
representa o comprimento da ponte e α = 75 o .
A
B
25 m
D
25 m
a
a
E
F
C
50 m
Sendo AB = x , como ABCD é um trapézio isósce50 − x
. Do triângulo retângulo AED,
les, CF = DE =
2
50 − x
DE
o
2
cosα =
⇔ cos 75 =
⇔
25
AD
50
−
x
⇔ cos(30o + 45 o ) =
⇔
50
o
o
o
⇔ cos 30 ⋅ cos 45 − sen 30 ⋅ sen 45 o =
50 − x
6 − 2
50 − x
⇔
=
⇔
50
4
50
25(4 − 6 + 2 )
⇔x =
m
2
=
matemática 6
y
Questão 11
Q
Suponha que um livro de 20 cm de largura
esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo
$ = 120o e DBC
$ = 60o.
DAC
B
20 c
R
m
60°
P
O
x
A
120°
D
C
a) Calcule a altura AB do livro.
b) Calcule o volume do tetraedro de vértices
A, B, C e D.
Resposta
$ ) = 60o e BD = BC, o triângulo
a) Como m (DBC
DBC é eqüilátero. Seja BD = BC = DC = l. Aplicando a lei dos co-senos no triângulo DAC,
DC 2 = AD 2 + AC 2 − 2 ⋅ AD ⋅ AC ⋅ cos 120o ⇔
⎛ 1⎞
⇔ l2 = 20 2 + 20 2 − 2 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ ⎜ − ⎟ ⇔
⎝ 2⎠
⇔ l = 20 3 cm.
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo BAD,
AB 2 + 20 2 = l2 ⇔ AB 2 = 3 ⋅ (20 2 ) − 20 2 ⇔
⇔ AB = 20 2 cm.
b) Sejam DAC a base e AB a altura do tetraedro
1
ABCD. Seu volume é dado por ⋅ área DAC ⋅ AB =
3
1 1
=
⋅
⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ sen 120o ⋅ 20 2 =
3 2
2 000 6
=
cm 3 .
3
Resposta
a) Considerando a figura dada, uma equação da
reta PQ é y = ax + b, com a < 0 e b > 0; e uma
equação da reta OR é y = cx , com c > 0.
Assim, em PQ, x = 0 ⇔ y = b e y = 0 ⇔ x = −
b
,
a
⎛ b
⎞
ou seja, Q = (0; b) e P = ⎜ − ; 0 ⎟ .
⎝ a ⎠
Finalmente, R = (x ; y ) é a intersecção de PQ e OR,
ou seja:
b
x =
y = ax + b
c −a
⇔
y = cx
bc
y =
c −a
E, sendo b a média aritmética dos coefia +c
cientes a e b , temos b =
⇔ c = 2b − a e
2
⎛
b(2b − a) ⎞
b
R =⎜
;
⎟.
2(b − a) ⎠
⎝ 2(b − a)
b)
y
b Q
b(2b _ a)
___
2(b _ a)
R
Questão 12
As retas de equações y = ax + b e y = cx são
ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o
coeficiente b é igual à média aritmética dos
coeficientes a e c,
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e
R em termos dos coeficientes a e b;
b) determine a, b e c sabendo que a área do
triângulo OPR é o dobro da área do triângulo
ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.
b
__
a
O
b
___
2(b _ a)
P
x
Como a área do triângulo OPQ é 1 e a área do
triângulo OPR é o dobro da área do triângulo
OQR, as áreas dos triângulos OPR e OQR são,
2
1
respectivamente,
e
. Portanto, lembrando
3
3
que a < 0 e b > 0:
matemática 7
1 ⎛ b⎞
⋅ ⎜− ⎟ ⋅ b = 1
2 ⎝ a⎠
⎛
⎞
1
b
1
⋅b ⋅⎜
⎟ =
2
⎝ 2(b − a) ⎠ 3
⇔
b 2 = −2a
3b 2 = 4(b − a)
⇔
⇔
a = −8
b 2 = −2a
⇔
b
=4
a = −2b
Ou seja, a = −8 , b = 4 e c = 2b − a = 16.