Aula n.o 04
Questões Gerais de Geometria Plana
01. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2
metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas
informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
02. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
Eneágono
60o
90o
108o
120o
135o
140o
Figura
Ângulo interno
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela,
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
a) triângulo;
b) quadrado;
c) pentágono;
d) hexágono;
e) eneágono.
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03. Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser
dividido em três depósitos e um hall de entrada de
20 m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e
III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, e
suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.
05. A sombra de uma pessoa que tem 1,8 m de altura
mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a
sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se,
mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a
sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
A largura do depósito III deve ser, em metros, igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
04. A figura, com dimensões em metros, representa um
terreno retangular vizinho de uma pequena praça
com a forma de um triângulo isósceles, ambos com
frente para a Av. São Carlos. Sabendo-se que a área
do terreno é igual ao triplo da área da praça, pode-se
afirmar que a medida y, assinalada na figura, é igual
a:
06. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e
D estão dispostas como vértices de um quadrado de
40 km de lado. Deseja-se construir uma estação
central que seja ao mesmo tempo equidistante das
estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.
A nova estação deve ser localizada
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,
oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A
e B.
a) 6 m
b) 8 m
c) 10 m
d) 12 m
e) 16 m
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07. Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o
volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco
com um barbante.
08. Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de um jornal:
VILA DAS FLORES
Vende-se terreno plano medindo 200 m2.
Frente voltada para o Sol no período da manhã.
Fácil acesso. (443)0677-0032
II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e,
em seguida, seu comprimento é medido com fita
métrica.
III. O valor obtido com essa medida é multiplicado
por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de
madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal
do volume do tronco, considerando-o um cilindro
perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente
equivalente às perdas de madeira no processo de
corte para comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de
a) 30%
b) 22%
c) 15%
d) 12%
e) 5%
Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, observa um painel com a
planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V:
Considerando as informações do jornal, é possível
afirmar que o terreno anunciado é o
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
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09.
10. Por vezes, o comprimento da diagonal da tela de um
televisor é indicado em polegadas. No gráfico que se
segue, podemos ver a relação aproximada existente
entre esta unidade de comprimento e o centímetro.
Na figura acima, que representa o projeto de uma
escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,8 m
b) 1,9 m
c) 2,0 m
d) 2,1 m
e) 2,2 m
Qual das 5 igualdades que se seguem se pode calcular a diagonal da tela de um televisor, em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?
a) c = 1,27p
b) c = 2,54p
1
p
c) c =
127
,
1
p
d) c =
254
,
e) c = 3,81p
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Gabarito
01. e
As sobras de material doadas para as entidades I, II e III são dadas, respectivamente, por:
SI = 22 – π.12 = (4 – π) m2
1
SII = 22 – 4.π. 
 2
2
= (4 – π) m2
1
SIII = 22 – 16. π. 
 4
2
= (4 – π) m2
Assim, as três entidades recebem iguais quantidades de material.
02. b
Para que a pavimentação seja possível, a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos em torno de
cada vértice deve ser igual a 360o. Como um dos polígonos é o octógono regular, um dos ângulos internos mede
135o. Assim, a soma dos outros deve ser igual a 360o – 135o = 225o. Como 225o não é múltiplo de nenhuma das
medidas dos ângulos internos dos polígonos da tabela, devemos fazer uma combinação de dois ou mais polígonos. Portanto, podemos utilizar outro octógono e um quadrado, pois 225o = 135o + 90o. Observe na figura como
fica a pavimentação.
03. d
A área total dos depósitos é igual a 11.10 – 20 = 90 m2. O total de fardos que devem ser armazenados é 90 + 60 +
120 = 270. Como a área de cada depósito deve ser proporcional à quantidade de fardos, podemos escrever uma
regra de três simples e direta.
quantidade de fardos
área (em m2)
90
270
AIII
120
270 . AIII = 90.120 → AIII = 40 m2
Assim, a largura l do depósito III é tal l . 10 = 40, ou seja, l = 4m.
04. b
Como o triângulo é retângulo e isósceles, temos que:
(16 2)2 = x2 + x2 → x = 16 m
A área do terreno é igual ao triplo da área da praça, ou seja,
3 .16
x.x
3x
x.(x + y) = 3.
→y=8m
→x+y=
→ 16 + y =
2
2
2
05. b
3
2,00 – 0,50 1,50 3
da medida inicial, pois
=
= . Como
4
2,00
2,00 4
existe uma proporcionalidade entre as medidas das sombras do poste e da pessoa, temos que a nova medida da
3
sombra da pessoa é . 60 cm = 45 cm.
4
Observe que a medida da sombra do poste reduziu-se a
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06. c
Observe na figura as estações A, B, C e D.
Sendo x a distância entre a estação central O às estações A e B e também à estrada que liga as estações C e D,
temos que:
x2 = 202 + (40 – x)2 → x2 = 400 + 1600 – 80x + x2 → x = 25 km
Assim, a estação central deve ser localizada na perpendicular à estrada que liga C e D passando, por seu ponto
médio, a 25 km dessa estrada.
07. b
Considerando o tronco como sendo um cilindro perfeito, temos, por meio da fórmula usual, que seu volume é igual
a π . R2 . c, onde R e c são, respectivamente, as medidas do raio da base e do comprimento do tronco. Utilizando o
2
π 2 . R2
2π . R 
. Assim, a diferença entre os volumes é
processo descrito, o volume do tronco é dado por 
 .c =
 4 
4
π 2 . R2
4πR2 c – π 2R2 c πR2 c.(4 – π )
igual a π .R2. c –
.c=
. Para estimar o percentual das perdas de madeira,
=
4
4
4
basta escrever uma regra de três simples e direta.
πR2c
100%
2
πR c.(4 – π )
4
x
x = 25.(4 – π) ≅ 25.(4 – 3,14) = 21,5%
08. d
Como o sol nasce no leste, os possíveis terrenos que têm frente voltada para o sol no período da manhã são II, IV
e V. Utilizando a escala da planta dos terrenos, temos que apenas o terreno representado pelo número IV tem
área igual a 200 m2, uma vez que suas dimensões são iguais a 20 m e 10 m.
09. d
O comprimento total do corrimão é igual a 60 cm somado com o comprimento da hipotenusa de um triângulo
retângulo cujos catetos medem 90 cm e 5.24 cm = 120 cm. Sendo x a medida da hipotenusa desse triângulo
retângulo, temos que:
x2 = 902 + 1202 → x2 = 22500 → x = 150 cm. Assim, o comprimento do corrimão é igual a 60 cm + 150 cm = 210 cm
= 2,1 m.
10. b
Observe que 0,5 polegadas correspondem a 1,27 cm. Assim, podemos escrever uma regra de três simples e
direta.
polegada
centímetro
0,5
1,27
p
c
0,5.c = 1,27p → c = 2,54.p
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