Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO
Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.
S PAC
 1  i n  1 G  1  i n  1 
G
 R
 n   R  sn i    sn i  n 
  

i
i
i 

 i 

CPAC
 1  i n  1 
 1  i n  1 G 
n 


 n  R  
   an i 
 R  an i
n
n 
n
i
i  1  i  
1  i  

 i  1  i   i 
G
Anuidades Gradientes Postecipadas
SGP
n
G  1  i   1 
 
 n
i 
i

;
CGP
 1  i n  1 


 n
n
i
i  1  i  

G
Anuidades Gradientes Antecipadas
SGA
G  (1  i)n  1 
 
 n   (1  i)
i 
i

SGA  SGP  (1  i)
 (1  i )n  1 
G


 n
i  (1  i)n 1 
i

;
CGA
;
CGA  CGP  (1  i)
Anuidades Gradientes, Decrescentes e Postecipadas
SGDP
n
1  i   1 G

G 
n
n
   n  1  i  
  2   n  i  1  1  i   1
i 
i
 i
CGDP
 G  1  i n  1
G  1
 2 
 n  i  1    n 
n 
i  1  i n
i 1  i  
 i 
Anuidades Gradientes, Decrescentes e Antecipadas
CGDA 

G  1

 n  i  1  (1  i)
n
2
i  1  i 

e o montante correspondente, na época n-1, é dado por:
SGDA 

G  1


n

i

1

  (1  i ) n
n
2
i  1  i 

e o montante correspondente, na época n, é dado por:
  SGDA  1  i   SGDP  1  i 
SGDA
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Página 96
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO
Anuidades Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.
Ca , 
G R

i2 i
Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G.
Para q  1  i  CGG 
Rn
q
Para q  1  i  CGG 

R
qn 
 1 

1  i  q   1  i n 
;
SGG  n  R  1  i 
;
n 1
SGG 
R
n
 1  i   q n 


1  i  q 
Anuidades Periódicas, Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G.
se q  1  i  CG , 
R
1 i  q
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Página 97
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
8.10 — Exercícios Propostos
1) Quanto devemos aplicar, no dia de hoje, em um investimento que rende 5% a.m. para que
possamos sacar dez parcelas mensais, considerando que as mesmas formem:
a) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a
R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês?
b) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a
R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses?
c) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a
R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês?
d) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a
R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses?
e) Uma anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6%
de crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses?
f) Uma anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94,
com a primeira parcela daqui a 2 meses?
Solução
1) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a
300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês
C  CPAC
R$
 1  i n  1 
 1  i n  1 


 n  R  
n
n 
i
i  1  i  

 i  1  i  
G
 1  0, 05 10  1

 1  0, 05 10  1 
C

 10   3000  
10
10 
0, 05
0, 05  1  0, 05 


 0, 05  1  0, 05  
300
C  3683, 47952   2,57789  23165, 20479  R$ 32.660,81
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Página 98
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
b) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a
200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses
C  CPAC 
R$

 1  i n  1 
 1  i n  1  
1
G
1





n

R





n
n 
1  i   i  1  i   i

 i  1  i   
 1  i 

 1  0, 05 10  1

 1  0, 05 10  1  
200
1


C


10

2000





10
10  
0, 05
1  0, 05 


 0, 05  1  0, 05   

 0, 05  1  0, 05 
 
1
C  2455, 65301  2, 57789  15443, 46986 
 R$ 20.737, 02
1  0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
c) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a
R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês
Observando que o termo inicial é igual a 10 vezes a razão, e que temos 10 termos,
podemos lançar mão da expressão do valor atual de uma anuidade gradiente,
decrescente e postecipada; ou seja:
CGDP
n
10
1  0, 05   1 

G  1  i   1 300 
  n 

 10 
 R$13.669,59
n 
10 
i 
i 1  i   0, 05 
0, 05  1  0, 05  
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
d) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a
R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses
Note que neste caso podemos considerar essa anuidade como a soma de uma
anuidade uniforme, diferida em 1 período e com termo igual a R$ 2.000,00, com uma
anuidade gradiente, decrescente e postecipada, diferida em 1 período. Logo, seu valor
atual pode ser calculado como a soma dos valores atuais de cada uma das duas
anuidades.
O primeiro valor atual, C1 , da anuidade uniforme, é dado por:
 1  i n  1
1
C1  R  

, onde m é o prazo do diferimento
n 
m
 i  1  i   1  i 
 1  0, 0510  1 
1
C1  2000  

 14708, 06653
10 
 0, 05  1  0, 05  1  0, 05
O segundo valor atual, C2 , da anuidade gradiente decrescente, é dado por:
n
G  1  i   1
1
C2    n 

, onde m é o prazo do diferimento
n 
m
i 
i 1  i   1  i 
10
1  0, 05  1 

200 
1
C2 
 10 

 8679,105029
10 
0, 05 
0, 05  1  0, 05  1  0, 05
Logo o valor atual da anuidade original, C , é dado por:
C  C1  C2  14708,06653  8679,10503  R$ 23.387,17
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Página 100
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
e) anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de
crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses
q  1  i  CGG 
CGG

R
qn 
1
, onde m é o prazo do diferimento
 1 

n
1  i  q   1  i   1  i m

3000
1, 0610 
1

 1 
 R$ 28.407,18

10
1  0, 05  1, 06   1  0, 05  1  0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
f)
anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a
primeira parcela daqui a 2 meses
q  1  i  CGG 
CGG 

R
qn 
1
, onde m é o prazo do diferimento
 1 

n
1  i  q   1  i   1  i m

3000
0,9410 
1
 1 
 R$17.385,38

10
1  0, 05  0,94   1  0, 05  1  0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Página 101
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
2) Pedro contraiu um empréstimo de R$ 10.000,00 que será pago em 10 parcelas mensais,
que formam uma anuidade gradiente, crescente com o primeiro pagamento ao final de 6
meses. Se a taxa de juros que o banco cobra de Pedro é de 5% a.m., quais os valores da
primeira e décima parcelas?
Solução
O fluxo de caixa representativo do problema é:
Logo, a equação de valor é dada por:
 1  0, 0511  1

1
10000 

 11 
11
4
0, 05
0, 05  1  0, 05 
 1  0, 05 
G
Vale ressaltar que o último pagamento de uma anuidade gradiente crescente e
postecipada, tem o valor  n  1  G ; o que acarretou fazermos n = 11, na equação acima.
10000 
G
 3, 206787  0,822702  G  R$ 324,14
0, 085517
Portanto o valor da 1ª parcela é R$ 324,14; e o da última parcela corresponde a
R$ 3.241,40.
Podemos modelar este problema de diversas maneiras. Vamos, neste caso, utilizar as
funções VPL e Solver do Excel; como mostrado nas planilhas abaixo
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 102
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
3) Thiago pretende fazer dez retiradas mensais, formando uma anuidade gradiente,
crescente, com termo inicial e razão de R$ 500,00; com a primeira retirada devendo
ser realizada daqui a 6 meses.
Sabendo que Thiago tem uma caderneta de poupança, com aniversário no dia de hoje,
e saldo de R$ 1.000,00, quanto deverá depositar regularmente (depósitos uniformes e
mensais), de hoje até a data de sua última retirada, para que o saldo final da caderneta
(juros de 6%a.a.c.m.) seja R$ 2.000,00, imediatamente após a última retirada?
Solução
Como o saldo final na época 15 (data da última retirada) deve ser R$ 2.000,00,
consideraremos esta data como a data focal para estabelecimento da equação de
valor. Representando retiradas como setas para cima, e depósitos como setas para
baixo, temos a seguinte ilustração para o fluxo de caixa:
Logo, temos a seguinte equação de valor:1
11
 1  0, 005 15  1 

500  1  0, 005   1
15
1000

R

1

0,
005

R


2000


 11




 

0, 005
0, 005 
0, 005




onde, para o emprego da fórmula do montante da anuidade gradiente, crescente,
tendo em vista 10 retiradas, fez-se n 1  10  n  11 .
Assim:
1077, 682738  1, 077683R  15,536548R  2000  27916, 66
16, 614231R  28838,97726  R  R$1.735,80
A planilha a seguir mostra uma das possíveis modelagens para resolução do problema
no Excel.
1
Como estudado na seção 10.2.1 do capítulo 10, as cadernetas de poupança, além de pagarem juros à
taxa de 6% a.a.c.m, consideram também a taxa referencial, TR. No caso, estaremos supondo que a TR
fique nula durante todo o prazo considerado.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 103
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
4) João fez um financiamento para compra de um carro no valor de R$ 50.000,00. O
vendedor apresentou diversas opções de pagamento, descritas a seguir, nas quais a
primeira parcela tem carência de 3 meses:
a. 50 parcelas mensais iguais no valor de R$ 1.500,00
b. 50 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.A., com termo inicial
de R$ 500,00 e razão de R$ 50,00.
c. 30 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.G., com termo inicial
de R$ 2000,00 e taxa de crescimento de 2% a.m.
Se João quer pagar a menor taxa de juros, qual das três opções deve escolher?
Solução
Por se tratar, em cada opção, de um fluxo de caixa com apenas uma variação de sinal,
podemos garantir que existe apenas uma taxa interna de retorno. Isso possibilita que a
análise possa ser feita através da escolha do financiamento com a menor taxa interna de
retorno.
Financiamento do tipo (a)
A equação de valor é:
 1  i 50  1 
1
50000  1500  

50
2
 i  1  i   1  i 
ou
1  i   1  33,333333  0
52
i  1  i 
50
Por se tratar de uma função muito complexa, utilizaremos a análise gráfica da função para
saber uma estimativa da taxa interna de retorno. Para tal, chamaremos de f (i) a função
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 104
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
representada pelo lado esquerdo da equação. O gráfico de f (i) é representado a seguir,
para dois intervalos ( 0 ; 1) e (0 ; 0,1), nos qual podemos verificar a existência de apenas
uma raiz e ter uma boa estimativa de seu valor.
Logo, a raiz da equação está no intervalo aberto (1% ; 2%). Portanto, lançando mão do
método da bisseção, começaremos nossa análise pela taxa 1,5%a.m..
Para i = 1,5%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,63953; isto é, maior que zero,
indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 2%.
Para i = 1,75%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -1,32231; isto é, menor que zero,
indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,75%.
Para i = 1,625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,36161; isto é, menor que
zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,625%.
Para i = 1,5625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,13378; isto é, menor que
zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5625% e 1,625%.
Realizando mais algumas iterações chegaríamos a i = 1,57925%a.m. que tem uma
aproximação da ordem de 10-6.
Este mesmo problema poderia ser resolvido utilizando o Excel, de diversas maneiras.
Mostraremos aqui apenas duas delas. Na primeira, utilizamos a função TIR do Excel e
explicitamos o fluxo de caixa. Na segunda, utilizamos as funções financeiras e a função
Solver do Excel.
Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar
o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao
lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a
efetivamente inserida na célula D1.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
Solução 1
Solução 2
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Página 106
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
Alternativamente, usando a função [TIR] da HP 12C, tem-se:
[f][REG]50000[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]1500[g][CFj]50[g][Nj][f][IRR]1,579251
Financiamento do tipo (b)
Tendo em vista a fórmula para CPAC e o diferimento de 2 meses tem-se:

 1  i 50  1

 1  i 50  1  
50
1
50000  

 50   500  

50
50  
2
i


 i  1  i    1  i 
 i  1  i 
ou
 1  i 50  1

 1  i 50  1 

 50   500  
 50000  0
52
52 
i
i  1  i 


 i  1  i  
50
Como já observado o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez; podemos, pois, garantir que
só existirá uma taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i),
formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O
gráfico abaixo representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).
Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (b), poderíamos constatar,
por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno
inferior a do financiamento (b); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento
(b).
Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos
o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a
seguir mostra, portanto, apenas um possível encaminhamento para a solução.
Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar
o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 107
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a
efetivamente inserida na célula D1.
Financiamento do tipo (c)
Em casos tais como este, o primeiro passo é testar a solução q  1  i . Se esta fosse
válida, deveríamos ter, considerando o diferimento de 2 meses:
CGG  50000  1  0, 02   52020 
2
Como
a
igualdade
R  n 2000  30

 58823,52941
q
102
não
é
satisfeita,
sabemos
que
teremos
q  1  i  i  q  1  1,02  1  0,02. Portanto, a equação de valor que define a taxa i
cobrada no financiamento é:
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 108
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
 1700

1, 0230  
1
50000  
 1 
 
30 
1  i  1, 02   1  i    1  i 2

ou
 1  i 30  1, 0230 
1700

  50000  0
1  i  1, 02   1  i 32 
Como o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez, podemos garantir que só existirá uma
taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i), formada pelo lado
esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O gráfico abaixo
representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).
Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos
o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a
seguir mostra esse encaminhamento.
Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (c), poderíamos constatar,
por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno
inferior à do financiamento (c); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 109
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
(c); Logo, João deveria optar pelo financiamento (a), pois é o que apresenta a menor taxa
interna de retorno.
5) O Governo do Estado do Rio de Janeiro deve realizar obras para revitalização na Av.
Brasil, principal acesso rodoviário à cidade do Rio de Janeiro. Existem duas propostas
para tal obra. A primeira, utilizando asfalto normal, com vida útil de cinco anos, ao
custo inicial de R$ 500.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.A.,
postecipada, com termo inicial de R$ 50.000,00 e razão de R$10.000,00. A segunda,
utilizando um novo tipo de asfalto, denominado asfalto emborrachado, que utiliza
pneus velhos em sua composição; sendo, portanto, ecologicamente correto e com
vida útil de 12 anos. Seu custo inicial é de R$ 1.000.000,00/km, e custo anual de
manutenção formando uma P.G., postecipada, com termo inicial de R$ 30.000,00 e
taxa de crescimento de 1%a.a. Considerando que existe disponibilidade orçamentária
para ambas as opções, qual deve ser a escolhida, considerando um custo de capital de
5%a.a.?
Solução
Como as duas opções têm vidas úteis distintas devemos comparar o custo médio de cada
opção, nas suas respectivas vidas úteis.2 Para tal, devemos encontrar o valor atual de cada
uma das anuidades e soma-los com seu respectivo custo inicial; e a seguir, e ai distriuí-lo
uniformemente pela duração de sua vida útil.
Opção do Asfalto Normal (custo médio RAN )
CPAC 
 1  0, 055  1 
 1  0, 05 5  1 


5

50000

 R$ 298.843, 00



5
5
0, 05
0, 05  1  0, 05 

 0, 05  1  0, 05  
10000
Logo
RAN
 0, 05  1  0, 055 
 298843  500000  
  R$184.512, 60
5
 1  0, 05  1 
Opção do Asfalto Emborrachado (custo médio RAE )
q  1  i  CGG 

30000
1, 0112 
 1 
  R$ 279.406, 24
1  0, 05  1, 01  1  0, 0512 
Logo
RAE
 0, 05  1  0, 0512 
 279406, 24  1000000  
  R$144.349,53
12
 1  0, 05  1 
Portanto, a opção pelo asfalto emborrachado deve ser a preferida.
2
Justificaremos tal critério de seleção no capítulo 11.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 110
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e
PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas C e F representam as
efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas B e E.
6) Reconsidere o exercício 5, na hipótese de previsão de inflação futura à taxa de 3%a.a. Qual
seria, nesse caso, a opção preferível?
Solução
Primeiramente, deveremos explicitar a taxa de juros real iR , a partir da taxa de juros
aparente (i=5%a.a.) e da taxa de inflação (I=3%a.a.).
1  i  1  iR   1  I   1,05  1,03 1  iR   iR 
1,05
 1  0,019417 ou 1,9417%a.a.
1,03
Por outro lado, supondo que os custos de manutenção não sejam reajustados, devemos
calcular o fluxo de caixa real de ambos os casos deflacionando os fluxos do exercício 5. Os
fluxos reais, isto é, os fluxos a preços da data atual, são os apresentados na tabela abaixo
(onde a coluna “ Valores Aparentes” representam os custos de manutenção a preços
correntes).
Período
Val.Aparentes Valores Reais
0
1
2
3
4
5
50000
60000
70000
80000
90000
48543,68932
56555,75455
64059,91615
71078,96383
77634,79059
Período
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Val.Aparentes Valores Reais
30000
30300
30603
30909,03
31218,1203
31530,3015
31845,60452
32164,06056
32485,70117
32810,55818
33138,66376
33470,0504
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
29126,21359
28560,65605
28006,0802
27462,27282
26929,0248
26406,13112
25893,39071
25390,60642
24897,58494
24414,13669
23940,07578
23475,21994
Página 111
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
Matematicamente, as expressões que representam as parcelas reais de manutenção do
asfalto normal RNj e do asfalto emborrachado REj , são dadas por:
RN j 
RE j 
50000  10000   j  1
1  I 
j
30000  1  0, 01
1  I 
j
,
j  1, 2,...,5
j 1
,
j  1, 2,...,12
Devemos, agora, descontar os respectivos fluxos reais à taxa real, para somar com o
respectivo custo inicial; e, a seguir, expressa-los em termos de custos médios, ao longo das
respectivas vidas úteis. Comparando, então, seus custo médios reais.
Vale notar que os valores atuais na época zero, considerando os fluxos aparentes, à taxa
aparente, se igualam aos dos respectivos fluxos reais, à taxa real. Portanto, os valores
atuais calculados no exercício 5 podem ser utilizados para obter os custos médios reais de
cada opção. Ou seja, o custo médio real do asfalto normal (RAN ) e do emborrachado (RAE )
são, tendo em vista a taxa real de 1,9417%a.a.
 0, 019417  1  0, 019417 5 
RAN  298843  500000  
  R$169.194,58
5
1  0, 019417   1 

 0, 019417  1  0, 019417 12 
RAE  279406, 24  1000000  
  R$120.547,39
12
1  0, 019417   1 

A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e
PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas D e H representam as
efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas C e G.
Mais uma vez, o asfalto emborrachado seria o preferido; já que apresenta o menor custo
médio anual.
7) Calcular o primeiro termo de uma anuidade mensal, postecipada e de 10 termos, cujo
valor presente é R$ 40.000,00, à uma taxa de juros de 5% a.m. , nos casos em que:
a) a anuidade é em P.A. com razão R$ 200,00.
b) a anuidade é em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
Solução
a) Anuidade em P.A. com razão R$ 200,00.
A equação de valor é dada por:
 1  0, 05 10  1

 1  0, 05 10  1 
40000 

 10   R  
10
10 
0, 05
0, 05  1  0, 05 


 0, 05  1  0, 05  
200
ou
40000  6330, 409585  7, 721735R
Logo o primeiro termo, R , é:
R
40000  6330, 409585
 R$ 4.360,37
7, 721735
b) Anuidade em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m.
Como q  1  0,05  0,95  1  i  1,05 , tem-se
40000 
  0,95 10 
R
 1  

1  0, 05  0,95   1  0, 05  
ou
40000  6,324275 R
Logo o primeiro termo, R , é dado por:
R
40000
 R$ 6.324,84
6.324275
8) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.A.,
postecipada, com termo inicial e razão iguais a R$ 1.000,00. O tomador do empréstimo
pretende sugerir que o financiamento seja pago em cinco parcelas iguais. Calcular o valor
das parcelas se o banco trabalha com taxa de juros compostos de 12%a.a., e a primeira
parcela tem vencimento de hoje a 1 mês.
Solução
1
1
im  1  ia 12  1  1,12 12  1  0, 009489 ou 0,9489%a.m.
5
 1  0, 009489 5  1 

1  0, 009489   1 


5

1000




5
5
0, 009489
0, 009489  1  0, 009489  

 0, 009489  1  0, 009489  
 14490, 46581
CGAP 
CGAP
1000
Queremos que:
CGAP
5

1  0, 00949   1 

 R 
 4,860758R
5
 0, 00949  1  0, 00949  
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
Logo, temos:
14490, 40794  4,86074 R  R  R$ 2.981,11
9) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.G. com
termo inicial igual a R$ 1.000,00 e taxa de decrescimento de 5%. O tomador do
empréstimo pretende sugerir que o financiamento seja pago em dez parcelas iguais.
Calcular o valor das parcelas constantes se o banco trabalha com taxa de juros compostos
de 2%a.m., e as primeiras prestações, em ambos os casos, têm vencimento de hoje a 1
mês.
Solução
q  1  i  CGG 

1000
0,955 
 1 
  4273, 753784
1  0, 02  0,95  1  0, 02 5 
Queremos que:
CGG
 1  0, 02 10  1 
 R
  8,982585R
10
 0, 02  1  0, 02  
Logo, temos:
4273,753784  8,982585R  R  R$ 475,78
10) Uma empresa está fazendo seu planejamento financeiro de curto prazo (12 meses, de
janeiro a dezembro), e projeta que os custos com a folha de pessoal, prevista para janeiro,
no valor de R$ 100.000,00, decresçam à taxa de 5%a.m., durante o ano; devido a uma
política de aposentadorias incentivadas. Sabendo-se que o diretor financeiro pretende
fazer uma aplicação que rende 1%a.m., que valor C deve depositar no dia 26 de dezembro
para fazer frente às despesas com a folha de pessoal no próximo ano, paga no dia 26 de
cada mês, considerando o pagamento do 13º salario junto com o salário de dezembro?
Solução
Como q  0,95  1  i  1  0,01 , tem-se:


11

100000
0,9512  100000  0,95
C
 1 
 R$ 917.907,88

12
1  0, 01  0,95  1  0, 0112 
1  0, 01
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