Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
Osvaldo R. Saavedra -GSP-DEE –UFMA
Osvaldo R. Saavedra
GSP – DEE – UFMA
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
Osvaldo R. Saavedra -GSP-DEE –UFMA
Introdução
O filósofo grego Aristóteles (384 - 322 a.C.), é considerado o pai da ciência da lógica,
e estabeleceu um conjunto de regras rígidas para que conclusões pudessem ser aceitas
como logicamente válidas. O emprego da lógica de Aristóteles levou a uma linha de
raciocínio lógico, baseado em premissas e conclusões. Considere-se, por exemplo, as
seguintes premissas: i) é observado que "todo ser vivo é mortal" ; ii) constata-se que
"Maria é um ser vivo". Como conclusão, temos que "Maria é mortal". Esta lógica,
também chamada de Ocidental, tem sido de essência binária, onde uma declaração é
falsa ou verdadeira, não podendo ser ao mesmo tempo parcialmente verdadeira e
parcialmente falsa.
A Lógica Difusa (Fuzzy Logic) não atende estas suposições. O conceito de dualidade,
estabelecendo que algo pode e deve coexistir com o seu oposto, faz a lógica difusa
parecer natural, até mesmo inevitável. A lógica Ocidental trata binariamente
afirmações, classificando-as como verdadeiras ou falsas. Não obstante, muitas das
experiências do mundo real não podem ser classificadas simplesmente como
verdadeiras ou falsas, sim ou não, branco ou preto. Por exemplo, é aquele homem alto
ou baixo? A taxa de risco para aquele empreendimento é grande ou pequena? Um sim
ou um não como resposta a estas questões é, na maioria das vezes, incompleta. Na
verdade, entre a certeza de ser e a certeza de não ser, existem infinitos graus de
incerteza. Esta imperfeição intrínseca à informação representada numa linguagem
natural, tem sido tratada matematicamente no passado com o uso da teoria das
probabilidades.
Por outro lado, a Lógica Nebulosa, com base na teoria dos Conjuntos Nebulosos (Fuzzy
Set), tem se mostrado mais adequada para tratar imperfeições da informação do que a
teoria das probabilidades. De forma mais objetiva e preliminar, podemos definir Lógica
Nebulosa como sendo uma ferramenta capaz de capturar informações vagas, em geral
descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil
manipulação pelos computadores de hoje em dia. Considere a seguinte afirmativa: Se o
tempo de um investimento é longo e o sistema financeiro tem sido não muito estável,
então a taxa de risco do investimento é muito alta. Os termos "longo", "não muito
estável" e "muito alta" trazem consigo informações vagas. A extração (representação)
destas informações vagas se dá através do uso de conjuntos nebulosos. Devido a esta
propriedade e a capacidade de realizar inferências, a Lógica Difusa tem encontrado
grandes aplicações nas seguintes áreas: Sistemas Especialistas; Computação com
Palavras; Raciocínio Aproximado; Linguagem Natural; Controle de Processos;
Robótica; Modelamento de Sistemas Parcialmente Abertos; Reconhecimento de
Padrões; Processos de Tomada de Decisão (decision making).
A Lógica Nebulosa, também pode ser definida, como a lógica que suporta os modos de
raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente
acostumados a trabalhar. Ela está baseada na teoria dos conjuntos nebulosos e difere dos
sistemas lógicos tradicionais em suas características e detalhes.
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Nesta lógica, o raciocínio exato corresponde a um caso limite do raciocínio aproximado,
sendo interpretado como um processo de composição nebulosa.
A Lógica Nebulosa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia
em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria probabilística,
inteligência artificial e redes neurais para que possa representar o pensamento humano, ou
seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores
definidos por palavras do que pela matemática.
1.1 Conjuntos Nebulosos
Uma conversa cotidiana contém muitas palavras vagas tal como a declaração “A
menina da casa ao lado é bonita”, ou a declaração de um economista que “O dólar está se
mostrando relativamente forte”. Conjuntos nebulosos foram propostos para lidar com
palavras e expressões que contenham incertezas. Os conjuntos nebulosos podem lidar com
conceitos vagos tais como “um conjunto de pessoas altas” e “as pessoas que vivem
próximo a Tókio”, que não podem tratadas pela teoria dos conjuntos convencional. Nas
expressões anteriores, as palavras “altas” e “próximo” dão idéias ambíguas. Estas
expressões vagas não são permitidas na teoria dos conjuntos convencionais e temos que
definir condições precisas tais como “o conjunto de pessoas com altura superior a 190 cm”,
ou “as pessoas que moram em Tóquio”. A medida da altura de uma pessoa mostrará se esta
pessoa pertence ao conjunto. Estes conjuntos convencionais, que são definidos exatamente,
são denominados conjuntos Crisp.
A teoria dos conjuntos Crisp será descrita antes de introduzirmos a teoria dos conjuntos
fuzzy. A teoria dos conjuntos fuzzy é uma extensão dos primeiros e a compreensão dos
conjuntos fuzzy será difícil sem o conhecimento da teoria dos conjuntos Crisp. Porém,
como o objetivo desta apostila é a aplicação da Lógica fuzzy, limitar-nos-emos a mostrar
apenas os conceitos básicos dos conjuntos Crisp.
2.1.1
Conjuntos Crisp e Funções Características
Na teoria dos conjuntos Crisp, união, interseção, e complementos são definidos como
segue.
União, intersecção e complemento dos conjuntos crisp
Sejam A, B representando subconjuntos do universo X. A união, intersecção e
complemento são definidos como.
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•
União dos conjuntos Crisp A e B:
A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B}.
(1.1)
•
Intersecção dos conjuntos A e B:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
(1.2)
•
O complemento do conjunto Crisp A: A = {x | x ∉ A}.
(1.3)
As definições anteriores de união, intersecção e complemento, estão ilustrados na
figura 1.1. Estas figuras são chamadas de diagramas de Venn ou diagramas de Euler.
Vamos representar A e B como subconjuntos do universo X tal que A ⊂ X
e B ⊂ X . Quando dizemos “A é subconjunto de X” significa que qualquer elemento do
conjunto A pertence a X. Por exemplo, temos;
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {−3, 0, 3}.
Então A ⊂ X mas B ⊄ X . Aqui, B ⊄ X indica que B não é um subconjunto de X.
Figura 1.1: (a) união, (b) intersecção e (c) complemento de conjuntos
•
União: A ⊂ ( A ∪ B), B ⊂ ( A ∪ B )
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•
Intersecção:
•
Complemento:
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( A ∩ B) ⊂ A, ( A ∩ B) ⊂ B
A∩ A= X
A∩ A=φ
(lei da metade excluída)
(lei da contradição)
Onde φ é o conjunto vazio.
Estas propriedades podem ser verificadas através dos diagramas de Venn. Outras
propriedades são resumidas como segue.
Propriedades dos conjuntos Crisp
• Lei da Idempotência
A ∪ A = A, A ∩ A = A.
• Comutativa:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
• Associativa:
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ,
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C.
•
•
•
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Distributiva:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ),
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
Dupla negação:
(1.7)
A = A.
Lei de De Morgan:
A∪B= A∩B
(1.8)
(1.9)
A ∩ B = A ∪ B.
EXEMPLO 1.1. União, intersecção e complemento de conjuntos Crisp
Um clube de tênis do qual Bob pertence inclui seis membros. Vamos imaginar um
conjunto de mulheres e estudantes. O universo neste caso é o conjunto de todos os
membros, o qual é definido como:
membros = {Anne, Bob, Cathy, Jhon, Linda, Tom}.
Vamos formar um conjunto de mulheres a partir do conjunto anterior.
membros mulheres = {Anne, Cathy, Linda}.
Também, o conjunto dos estudantes será:
Membros estudantes = {Bob, John, Linda}.
Aqui, se nós designarmos os conjuntos anteriores como
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X: membros,
A: membros femininos, e
B: membros estudantes,
o relacionamento dos conjuntos pode ser ilustrado na figura 1.2.
União, interseção e complemento de A e B são como segue:
A ∪ B = {Anne, Bob, Cathy, John, Linda}
A ∩ B = {Linda}
A = {Bob, John, Tom}
B = {Anne, Cathy, Tom}
Aqui A U B é o conjunto dos membros femininos ou estudantes, A∩B é o conjunto
dos membros estudantes femininos, A é o conjunto dos membros que não são femininos
(masculinos), e B é o conjunto dos membros que não são estudantes.
Observamos também que:
A ∪ B = A ∩ B = {Tom}
A ∩ B = A ∪ B = {Anne, Bob, Cathy, John, Tom}
Confirmando a lei de De Morgan.
Não há problema em escrever os elementos dos conjuntos se, como neste exemplo, o
número de elementos é pequeno. Entretanto, pode ser um incômodo se houver muitos
elementos. Por exemplo, é fácil escrever.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
mas se
A = {1, 2, 3, ..., 98, 99, 100},
é mais conveniente escrever
A = {x | 1 ≤ x ≤ 100 e x é inteiro}
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Figura 1.2: diagramas de Venn dos membros do clube de tênis
Em geral, conjuntos Crisp são definidos por funções características como segue.
Funções características
Sendo A representando um conjunto Crisp de um universo X. Sua função característica χA
pode ser definida como:
χA : X → {0, 1}
(1.10)
1 se x ∈ X
.
χ A (x) = 
0 se x ∉ X
(1.11)
com
(1.11) indica que se o elemento x pertence a A, χA é igual a1, e se não pertence a A, χA é 0.
Funções características são raramente usadas em aplicações dos conjuntos Crisp. Porém,
quando estendemos esta idéia para conjuntos fuzzy a regra de funções características tornase significativa como se mostra na seção seguinte.
1.2.2 Conjuntos Fuzzy e funções de Pertinência
Enquanto os conjuntos crisp podem ser definidos por funções características, os
conjuntos fuzzy podem ser caracterizados por funções de pertinência (membership). Antes
de irmos para a definição de funções de pertinência, revisaremos o caso dado no exemplo
1.1.
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EXEMPLO 1.2. Conjuntos fuzzy e conjuntos crisp
Os conjuntos usados no exemplo anterior são:
X: membros,
A: membros femininos, e
B: membros estudantes,
Neste exemplo, substituiremos os conjuntos crisp A e B pelos seguintes conjuntos fuzzy
~
~
A e B:
~
A : conjunto das pessoas gordas;
~
B : conjunto das pessoas de altura moderada.
É conveniente expressar estes conjuntos fuzzy por diagramas de Venn porque a idéia
de “gordas” e “altura moderada” são diferentes de pessoa para pessoa e depende da
situação. Não é prático dividir as pessoas em um grupo “gordas” e outras “não gordas”. O
grau de pessoas “gordas” pode variar de “pouco pesado” até “extremamente pesado”.
Portanto é necessário expressar um grau de as pessoas serem “gordas”. Neste exemplo,
atribuiremos um número real entre 0 e 1 para definir o grau de pertinência. Grau 1 significa
que a pessoa pertence completamente ao conjunto de “pessoas gordas” e 0 denota que a
pessoa não faz parte do conjunto. Neste caso, suponha que nós podemos expressar o grau
de “gordas” e “altura moderada” como na tabela 1.1.
TABELA 1.1. Grau de “gordas” e “altura moderada”
Conjunto das pessoas
Gordas
Altura moderada
Anne Bob Cathy John Linda Tom
0.5
0.9 0.3
0.4
0.7
0.6
0.4
0.1 0.5
0.7
0.9
0.8
Funções de pertinência dos conjuntos fuzzy definem o grau mostrado na tabela. Na função
característica dos conjuntos crisp devemos decidir o grau, 0 ou 1, enquanto que as funções
de pertinência nos permitem escolher um valor real arbitrário entre 0 e 1.
~
~
No exemplo anterior, os conjuntos fuzzy foram distinguidos como A e B usando o
sinal ~ . Daqui em diante, não será usado o sinal ~ a menos que tenhamos que distinguir
conjuntos fuzzy de conjuntos crisp.
Conjuntos fuzzy podem ser assumidos como uma ampliação dos conjuntos crisp.
Conseqüentemente, funções de pertinência são uma extensão de funções características.
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Conjuntos fuzzy e funções de pertinência
Um conjunto ou subconjunto fuzzy A de um universo X é um conjunto definido por uma
função de pertinência µA representando um mapeamento
µ A : X → {0,1}
(1.12)
Aqui o valor de µA(x) para o conjunto fuzzy é chamado de valor de pertinência ou grau de
pertinência de x ∈ X . O valor de pertinência representa o grau com que x faz parte do
conjunto fuzzy A.
O valor da função característica para os conjuntos crisp definido em (1.11) ou era 0
ou 1. Porém, o valor de pertinência de um conjunto fuzzy pode ser um real arbitrário entre 0
e 1 como indicado por (1.12). Um valor de µA(x) próximo de 1, indica um alto grau de
pertinência de um elemento x em um conjunto fuzzy A. Se µA(x) = 1, o elemento x
pertence completamente ao conjunto fuzzy A. Se µA(x) = 0, o elemento x não pertence do
conjunto A.
EXEMPLO 1.3. Funções de pertinência e funções características.
Neste exemplo comparam-se as funções de pertinência com as funções características
para demonstrar as propriedades dos conjuntos fuzzy. Existem vários exemplos de
conjuntos fuzzy baseados na altura das pessoas. As figuras 1.3 e 1.4 mostram as funções
características e de pertinência, respectivamente, para estaturas “baixa”, “média” e “alta”.
Suponha que a altura de três pessoas A, B e C é dada como:
A: 179 cm
B: 171 cm
C: 169 cm.
Figura 1.3: conjuntos Crisp da altura.
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Figura 1.4: conjuntos fuzzy da altura.
Se compararmos a altura individual com o conjunto crisp definido na figura 1.3, podemos
obter os valores da função característica como na tabela 1.2.
Tabela 1.2. Valor da função
característica em conjuntos crisp
Altura Baixa média Alta
A 179 cm
0
1
0
B 171 cm
0
1
0
C 168 cm
1
0
0
O valor da função característica indica que A e B pertencem ao conjunto de altura “média”,
e C pertence ao conjunto de altura “baixa”. Porém, A ou B pode se sentir incômodos com
relação a esta divisão, já que a diferença de altura entre B e C é somente 3 cm, enquanto
que a diferença ente A e B é 8 cm e eles estão no mesmo grupo. Isto é devido à divisão do
conjunto de altura “média” estar entre 170 cm e 180 cm.
Por outro lado, obtemos o valor de pertinência da altura do indivíduo comparando os
conjuntos fuzzy mostrados na figura 1.4 e o valor da altura atual. A tabela 1.3 mostra tais
valores de pertinência. Esta tabela mostra, por exemplo, que A pertence ao conjunto
”médio” em um grau de 0.6, enquanto que A não pertence ao conjunto “baixo”. Se
queremos expressar as alturas lingüisticamente, as expressões podem ser as seguintes:
A: alto médio
B: baixo médio
C: relativamente baixo
Tabela 1.3. Valor da função de
transferência em conjuntos fuzzy.
Altura baixa média alta
A 179 cm
0
0.4
0.6
B 171 cm
0.4
0.6
0
C 168 cm
0.7
0.3
0
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Quando expressamos a altura em conjuntos fuzzy, a divisão não resultará em uma
diferença constrangedora como no caso dos conjuntos crisp, e cada indivíduo ficará
satisfeito com o resultado. Conjuntos fuzzy podem, portanto, dar oportunidades para
expressar aspectos sensíveis de maneira que fique mais próximo do sentimento humano,
que no caso dos conjuntos crisp.
Os conjuntos fuzzy precisam ser definidos corretamente para refletir a situação. Por
exemplo, o significado de “rápido” e “médio” podem ser diferentes dependendo da
situação. Vamos discutir a “apropriada” definição de conjuntos fuzzy no exemplo seguinte.
EXEMPLO 1.4. Definição de conjuntos fuzzy dependentes da situação
Quando pensamos na velocidade de um carro, a interpretação de quanto “veloz” o
carro está indo é diferente se está rodando em uma estrada normal ou em uma rodovia. A
figura 1.5 mostra a diferença de definição do conjunto fuzzy “velocidade”. A velocidade de
80 km/h pode provavelmente ser considerada “rápida” em uma estrada normal mas poder
não ser considerada rápida em uma rodovia.
Figura 1.5: Diferença na velocidade de um carro dependendo da situação
Um outro exemplo é o conjunto fuzzy que representa a altura “moderada”. A
interpretação de altura “moderada” é diferente, por exemplo, de um país para outro e
também varia de um esporte para outro. A altura média de um homem americano é maior
que a de um homem japonês, e a altura média de um jogador de voleibol é maior que de um
jockey. A figura 1.6 mostra tais diferenças na definição do conjunto fuzzy altura
“moderada”.
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Figura 1.6: Conjuntos fuzzy representando altura moderada: (a)
diferença na nacionalidade; (b) diferença em esportes.
1.1.3 A Notação de Conjuntos Fuzzy
Foi mostrado em 1.1.2 que os conjuntos fuzzy podem ser expressos como uma extensão
dos conjuntos clássicos. Contudo, devemos tomar cuidado com a notação dos conjuntos
fuzzy porque eles fazem uso especial de símbolos que aparecem na matemática normal.
Muitos estudiosos iniciais ficaram confusos com a notação especial dos conjuntos fuzzy.
Os métodos de expressar os conjuntos fuzzy podem ser divididos em dois, de acordo
as seguintes definições.
Expressões de conjuntos fuzzy
•
Expressões discretas (quando o universo é finito): Considere-se o universo X como
X = {x 1 , x 2 , ..., x n } .
Então, um conjunto fuzzy A em X pode ser representado como segue:
N
A = µ A (x 1 )/x 1 + µ A (x 2 )/x 2 + L + µ A (x n )/x n = ∑ µ A (x i )/x i
(1.13)
I =1
•
Expressões contínuas (quando o universo é infinito): quando o universo X é um
conjunto infinito, um conjunto fuzzy pode ser representado como segue.
A = ∫ µ A (x i )/x i
x
(1.14)
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O símbolo / em (1.13) e (1.14) é chamado de separador. À direita do separador
aparece o elemento do universo enquanto que no lado esquerdo, seu valor de pertinência no
conjunto definido. Cada elemento é descrito da mesma forma, sendo conectados através do
símbolo “+”. Na matemática normal os símbolos / e + significam divisão e adição,
respectivamente, mas eles têm diferente definição em conjuntos fuzzy. Se precisarmos
juntar termos em expressões discretas, utiliza-se o símbolo Σ mas cujo significado também
é diferente do símbolo normal em matemática.
Existem duas outras regras para expressões discretas:
i. Quando o grau de pertinência de um elemento x’ é zero, isto é µ A ( x ' ) = 0 , não
escrevemos 0/x’ ; o termo é omitido.
ii. Se existem vários valores atribuídos a um elemento do universo, podemos tomar
o valor máximo
para
representar
o valor
de pertinência. Por exemplo, para x’
'
'
'
'
0.6 /x + 0.7 /x + 0.3 /x − > 0.7 /x .
Por outro lado, em uma expressão contínua, o símbolo ∫ é usado como
generalização de Σ para o mundo contínuo, e não tem nenhuma conexão com integral. No
lado inferior direito do símbolo ∫ nós escrevemos o nome do universo de forma que
indique em qual universo o conjunto fuzzy está representado. Numa expressão contínua,
existe um número infinito de elementos e não podemos escrever os elementos e seus
valores de pertinência. Conseqüentemente, colocamos os elementos como uma variável x à
direita do separador, e a função de pertinência no lado esquerdo.
Reescrevendo a definição da expressão dos conjuntos fuzzy em uma forma mais geral:
Expressões dos conjuntos fuzzy
•
Expressões discretas:
(Valor de pertinência do primeiro elemento) / (o valor do primeiro elemento)
+ (valor de pertinência do segundo elemento) / (o valor do segundo elemento)
+...
+ (valor do n-ésimo elemento) / (o n-ésimo elemento)
n
= ∑ (valor de pertinência do i − ésimo elemento) / (o valor o i − ésimo elemento)
i =1
•
Expressões contínuas:
∫universo (função de pertinência/elemento variável)
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Pode haver um número infinito de variações nos conjuntos fuzzy mas tipos práticos
são limitados. Introduziremos no próximo exemplo alguns conjuntos fuzzy populares.
EXEMPLO 1.5. Conjuntos fuzzy populares
Neste exemplo introduziremos três diferentes tipos de conjuntos fuzzy – triangular,
trapezoidal, e exponencial.
EXEMPLO 1.5.i. Conjuntos fuzzy triangulares
As figuras 1.7 e 1.8 mostram conjuntos fuzzy triangulares com expressões contínua
e discreta, respectivamente, com base 4 e máximo em x = 0.
A expressão contínua dos conjuntos fuzzy na figura 1.7 é
A=
2+ x


−2  2 
∫
0
x+
2 2 −
∫0 
x

2 
x.
Figura 1.7: expressão infinita (triangular).
Vamos reescrever esta expressão por uma expressão finita.
Caso 1.
Se o universo X é dado como
X = {−2, − 1, 0, 1, 2} ,
A = 0.5 / − 1 + 1.0 / 0 + 0.5 / 1.
Isto está mostrado na figura 1.8.
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Figura 1.8: expressão finita (caso 1).
Caso 2.
Se o universo X é mais complicado como
X = {−2, − 1.5, − 1, − 0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2},
A = 0.25 / − 1.5 + 0.5 / − 1 + 0.75 / 0.5 + 1.0 / 0 + 0.75 / 0.5 + 0.5 / 1 + 0.25 / 1.5.
Isto caso está mostrado na figura 1.9.
Figura 1.9: expressão finita (caso 2).
EXEMPLO 1.5.ii. Conjuntos fuzzy trapezoidais
A figura 1.10 mostra um exemplo de conjunto fuzzy trapezoidal. Esse conjunto pode
ser expresso por uma expressão infinita:
B=
−2
∫−4
4+ x


 2 
x+
2
∫−2
1/ x +
4
4− x

2 
∫2 
x.
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Figura 1.10: conjunto fuzzy trapezoidal.
A seguir, vamos imaginar uma expressão finita. Se o universo X é dado como
X = {−5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
a expressão finita do conjunto fuzzy B será
B = 0.5 / − 3 + 1 / − 2 + 1 / − 1 + 1 / 0 + 1 / 1 + 1 / 2 + 0.5 / 3.
EXEMPLO 1.5.iii. Conjuntos fuzzy exponenciais
A figura 1.11 mostra um exemplo de um conjunto fuzzy exponencial. A função de
pertinência deste tipo de conjunto fuzzy é expressa por uma função exponencial. A
expressão infinita deste tipo de conjunto fuzzy pode ser
∫x
2
D = e −0.5( x −5) / x.
vamos agora considerar uma expressão finita do conjunto fuzzy exponencial. Se o universo
X é dado como
X = { 0, 2, 4, 6, 8, 10},
então a expressão finita de D será
D = 0.11 / 2 + 0.607 / 4 + 0.607 / 6 + 0.11 / 8.
Figura 1.11: conjunto fuzzy exponencial.
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Os valores de pertinência do elemento 0 e 10 são muitos pequenos e
aproximadamente 0, conseqüentemente eles podem ser omitidos da expressão:
µ D (0) = µ D (10) = 3.73 × 10 −6 ≈ 0.
A seguir, o método de representação dos conjuntos fuzzy em programas
computacionais será introduzido. A expressão discreta é mais apropriada que expressão
contínua para representação computacional, devido que os conjuntos fuzzy são
representados por vetores, como será mostrado mais à frente. Expressões contínuas de
conjuntos fuzzy são freqüentemente aproximadas por expressões discretas.
O problema da expressão discreta para o conjunto fuzzy original é quantos elementos
devem ser especificados para a expressão discreta. Se designarmos poucos elementos, a
precisão da aproximação do conjunto fuzzy não é muito boa. Por outro lado, com muitos
elementos há um consumo grande de memória. Conseqüentemente, precisamos selecionar
um número apropriado de elementos para a expressão discreta.
Foi mencionado que os vetores são eficazes para a representação de conjuntos fuzzy
discretos em computadores. Existem muitas outras técnicas aplicáveis para representação
semelhante. Entretanto, cada método é basicamente idêntico na sua função. Logo aqui
focalizaremos apenas a representação via vetores.
Suponha um conjunto fuzzy A definido como
A = µ A (x 1 )/X1 + µ A (x 2 )/X 2 + µ A (x 3 )/X 3 + µ A (x 4 )/X 4 + µ A (x 5 )/X 5 .
Se colocarmos o valor de pertinência deste conjunto fuzzy em um vetor semelhante à
linguagem C, obtemos
O dado precedente representa um vetor para A em um computador.
A relação entre os elementos do vetor e o valor de pertinência é
A[i − 1] = µ A ( xi ), i = 1, 2, 3, 4, 5.
EXEMPLO 1.6. Representação de conjuntos fuzzy em computadores.
Neste exemplo vamos representar o conjunto fuzzy exponencial introduzido no
exemplo 1.5.iii usando vetores.
O universo X é dado por
X = {0, 2, 4, 6, 8, 10},
e o conjunto fuzzy é
D = 0.11 / 2 + 0.607 / 4 + 0.607 / 6 + 0.11 / 8.
Substituindo os valores de pertinência nos elementos do vetor um por um, obtemos:
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Como no exemplo anterior, os índices do vetor e os elementos do universo em geral não
são iguais. Em tal caso, devemos notar a correspondência dos índices e dos elementos do
universo. Neste exemplo, para D existem as seguintes relações entre os índices do vetor e
os elementos do universo.
índice
generalizando
Elementos do universo
0
→
0
1
→
2
2
→
4
3
→
6
4
→
8
5
→
10
a
→
2a
Se especificarmos a como índice, o correspondente elemento do universo é 2 a . Por
exemplo, o índice 3 do vetor corresponde ao elemento 6 do universo. Igualmente, o
elemento 8 do universo corresponde ao índice 4. Se escrevemos tal correspondência em
uma equação geral, temos:
O elemento do universo = x min + i ( x max − x min ) /(n − 1)
onde
x min
: é o valor mínimo dos elementos do universo;
x max : é o valor máximo dos elementos do universo;
i
: é o índice dos elementos do vetor; e
n
: é o número de elementos do universo.
Para que a equação acima seja válida, os elementos do universo precisam estar separados
igualmente. Por exemplo, se o universo X é dado por:
X = {0, 2, 3, 6, 7, 10},
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os elementos não estão distanciados igualmente um do outro, e nós não podemos aplicar a
equação anterior.
Vamos aplicar a equação apresentada acima para o vetor D, então. Antes de tudo,
encontramos
x min = 0;
x max = 10;
n=6
Se o índice i = 0, o elemento correspondente do universo pode ser obtido como
0 + 0×
10
=0
5
similarmente, se i = 2, o elemento correspondente do universo será
0 + 2×
10
=4
5
1.1.4 Conjuntos fuzzy Normal, Convexo e Cardinalidade
Nesta seção, descreveremos os conjuntos
Cardinalidade.
fuzzy Normal, Convexo e
a sua
Normal, convexo e cardinalidade.
Seja A um conjunto fuzzy do universo X. Os conjuntos fuzzy normal, convexo e a
cardinalidade são definidos como segue.
•
Conjunto fuzzy normal: o conjunto fuzzy A é normal se
max µ A (x) = 1.
(1.15)
x∈X
•
Conjunto fuzzy convexo: o conjunto fuzzy A é convexo se
para ∀x1 ∈ X , ∀x 2 ∈ X , ∀λ ∈ [0,1]
µ A (λx1 + (1 − λ ) x 2 ) ≥ min( µ A ( x1 ), µ A ( x 2 )).
(1.16)
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
•
Osvaldo R. Saavedra -GSP-DEE –UFMA
Cardinalidade: quando X é um conjunto finito, a cardinalidade do conjunto fuzzy A
em X é definido por
A=
∑ µ A ( x).
(1.17)
x∈X
•
Cardinalidade relativa: a cardinalidade relativa de um conjunto fuzzy A em X é
definido por
A =
A
X
.
(1.18)
onde |A| é a cardinalidade de A e |X| é a cardinalidade do universo X.
A equação (1.15) significa que se o valor máximo do grau de pertinência for igual a 1, o
conjunto fuzzy é normal.
Alternativamente, podemos definir uma função para o valor máximo de µ A como
maximo(A) = max µ A (x) ,
x∈X
e se Maximo(A) = 1, o conjunto fuzzy A é normal.
A equação (1.16) para o conjunto fuzzy convexo pode também ser definida como
segue. Em um intervalo arbitrário [x1, x2] para todo x ∈ [x1, x2] a seguinte condição
torna-se verdadeira,
µ A ( x) ≥ min ( µ A ( x1 ), µ A ( x 2 )) ,
onde min( a , b ) é o operador que retorna o menor valor entre a e b .
A definição de cardinalidade para conjuntos fuzzy é uma expansão de cardinalidade
para os conjuntos crisp. Vamos supor uma função de pertinência especial tal como:
1 x ∈ A
.
0 x ∉ A
µ A ( x) = 
Esta é função característica de um conjunto crisp. Neste caso o valor de
∑ µ A ( x)
x∈X
número de elementos e (1.17) e resulta na cardinalidade do conjunto crisp.
éo
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
Osvaldo R. Saavedra -GSP-DEE –UFMA
EXEMPLO 1.7. Conjuntos fuzzy normal, convexo e cardinalidade dos conjuntos
A figura 1.12, 1.13 e 1.14 mostram exemplos de conjuntos fuzzy normal, convexo e
a cardinalidade de conjunto fuzzy, respectivamente.
A seguir é realizada uma discussão e avaliação de normalidade e convexidade de
um conjunto fuzzy a partir de vetores de dados.
Nome do vetor A
A[0]
0.5
A[1]
0.9
A[2]
0.7
A[3]
1.0
A[4]
0.7
A[5]
0.3
Nome do vetor B
B[0]
0
B[1]
0.4
B[2]
0.8
B[3]
0.7
B[4]
0.2
B[5]
0
Para avaliar se um conjunto fuzzy é normal, devemos encontrar o valor máximo do vetor e
verificar se é igual a 1. Devido o máximo valor do vetor A ser 1.0, o conjunto fuzzy A é
normal. Por outro lado, devido o máximo valor do vetor B ser 0.8, o conjunto fuzzy B não é
normal.
Figura 1.12. conjuntos fuzzy: (a) normal; (b) não normal.
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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A avaliação de convexidade não é realizada diretamente como da normalidade. Partindo do
primeiro (mais à direita) elemento do vetor, comparamos os elementos adjacentes
seqüencialmente. Observamos a relação para os primeiros elementos como
A[i] < A[i + 1], i = 0,1,....
Se a desigualdade anterior não se cumpre até o i-ésimo elemento, armazenamos o índice
i. No vetor A do exemplo anterior, notamos que A[1] > A[2]. Portanto armazenamos o
índice 1.
Figura 1.13. conjuntos fuzzy: (a) convexo; (b) não
convexo.
Figura 1.14. cardinalidade de conjuntos fuzzy.
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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Em seguida, do último (mais a direita) elemento do vetor comparamos os elementos
adjacentes na direção inversa. Observamos para os primeiros elementos da pesquisa a
seguinte desigualdade;
A[i] ≥ A[i + 1], i = k, k -1, k -2,....
Aqui, k é o maior índice. Logo, armazenamos o índice i + 1, se esta relação não é
verdadeira para i. No vetor A, observa-se que A[2] < A[3], assim armazenamos o índice 3.
Se o índice armazenado nas operações anteriores são os mesmos, o conjunto fuzzy é
convexo. Se dois índices são diferentes para o vetor A, o conjunto fuzzy A é não convexo.
Se aplicarmos o mesmo procedimento ao vetor B, obtemos o mesmo índice 2 em
ambas as direções de busca, e conseqüentemente, o conjunto fuzzy B é convexo.
1.2 Operações fundamentais com conjuntos fuzzy – União, Intersecção e
Complemento
Nesta seção introduziremos a união,intersecção e complemento de conjuntos fuzzy. Estas
podem ser deduzidas pela operação de suas funções de pertinência, como definido a seguir.
União, intersecção e complemento de conjuntos fuzzy
•
União dos conjuntos fuzzy A e B: a união A ∪ B dos conjuntos fuzzy A e B é um
conjunto fuzzy definido pela função de pertinência:
µ A ∪ B (x) = µ A (x) ∨ µ B (x) .
(1.19)
onde
µ A (x) µ A (x) ≥ µ B (x)
µ A (x) ∨ µ B (x) = 
µ B (x) µ A (x) < µ B (x)
µ A (x) ∨ µ B (x) pode ser reescrita como max{µ A (x), µ B (x)} .
•
Intersecção dos conjuntos fuzzy A e B: a intersecção A ∩ B dos conjuntos fuzzy A
e B é um conjunto fuzzy definido pela função de pertinência:
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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µ A ∩ B (x) = µ A (x) ∧ µ B (x)
(1.20)
onde
µ A (x) µ A (x) ≤ µ B (x)
;
µ A (x) ∧ µ B (x) = 
µ B (x) µ A (x) > µ B (x)
µ A (x) ∧ µ B (x) pode ser reescrita como min{µ A (x), µ B (x)} .
•
Complemento do conjunto fuzzy A: o complemento do conjunto fuzzy A é definido
pela função de pertinência:
µ A (x) = 1 − µ A (x)
(1.21)
Note que união, intersecção e complemento de conjuntos crisp são casos especiais de
união, intersecção e complemento dos conjuntos fuzzy, respectivamente.
Conseqüentemente, através da substituição da função de pertinência por equações
características podemos deduzir as operações fundamentais dos conjuntos crisp.
EXEMPLO 1.8 União, intersecção e complemento de conjuntos fuzzy
As figuras 1.15, 1.16, 1.17 mostram exemplos de união, intersecção e complemento
de conjuntos fuzzy. As funções de pertinência da união, intersecção e complemento são
derivadas a partir das definições (1.19) - (1.21) .
Figura 1.15. União: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.
Figura 1.16. intersecção: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.
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Figura 1.17. complemento: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.
Agora mostraremos como calcular a união, intersecção e complemento
computacionalmente Foi mencionado que os conjuntos fuzzy podem ser representados por
vetores. Considerem-se os vetores:
A
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
B
0
0
0.1
0.4
0.7
1.0
0.7
0.4
0.1
0
Para calcular a união A ∪ B comparamos cada elemento correspondente dos vetores e
substituímos o maior valor dos dois em um outro vetor representando A ∪ B . De A e B
acima obtemos
A∪B
0
0.1
0.6
1.0
0.7
1.0
0.7
0.4
0.1
0
A figura 1.18 mostra esta operação.
Figura 1.18. união de A e B.
Por outro lado, para calcular a intersecção A ∩ B substituímos o menor valor dos elementos
correspondentes em um outro vetor representando A ∩ B como abaixo:
A
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
B
0
0
0.1
0.4
0.7
1.0
0.7
0.4
0.1
0
A∩B
0
0
0.1
0.4
0.6
0.1
0
0
0
0
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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A figura 1.19 indica esta operação.
Figura 1.19. intersecção de A e B.
O complemento pode ser obtido subtraindo-se cada elemento de 1. O vetor A é dado como
segue.
A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1
0
0
0
0
A
1.0 0.9
0.4
0
0.4
0.9
1.0
1.0
1.0 1.0
A figura 1.20 mostra como é esta operação.
Figura 2.20. complemento de A.
O princípio de operação de conjuntos fuzzy tem as seguintes propriedades. Algumas
propriedades são válidas tanto para conjuntos fuzzy quanto para conjuntos crisp. Outras
propriedades são válidas somente para os conjuntos crisp.
Propriedades dos conjuntos fuzzy
Sejam A, B e C conjuntos fuzzy em um universo X.
i. Propriedades válidas para ambos conjuntos.
• Lei da idempotência:
A ∪ A = A, A ∩ A = A.
• Lei comutativa:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
• Lei associativa:
(1.22)
(1.22)
(1.24)
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A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ,
•
•
•
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C.
Lei distributiva:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ),
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
Lei de dupla negação:
A = A.
Lei de Morgan:
A∪B = A∩B
(1.25)
(1.26)
(1.27)
A ∩ B = A ∪ B.
ii. Propriedades válidas para os conjuntos crisp, mas em geral não são válidas para os
conjuntos fuzzy.
• Lei da metade excluída:
(1.28)
A∪A ≠ X
• Lei da contradição:
(1.29)
A∩A ≠φ
onde φ é o conjunto vazio
As leis da metade excluída e da contradição não são válidas em conjuntos fuzzy.
EXEMPLO 1.9. Leis da metade excluída e da contradição
Neste exemplo mostramos as leis da metade excluída e da contradição, as quais não
são aplicadas aos conjuntos fuzzy. A figura 1.21 indica a lei da metade excluída enquanto
que a figura 1.22 mostra a lei da contradição.
Figura 1.21. lei da metade excluída.
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Figura 1.22. lei da contradição.
A seguir apresentaremos a igualdade e inclusão de conjuntos fuzzy.
Igualdade e inclusão de conjuntos fuzzy
Sejam A e B conjuntos fuzzy no universo X.
•
Igualdade de conjuntos fuzzy: a igualdade dos conjuntos fuzzy A e B é definida
como
A = B ⇔ µ A ( x) = µ B ( x), ∀ x x ∈ x.
(1.30)
•
Inclusão de conjuntos fuzzy: a inclusão do conjunto fuzzy A em B, ou A ser
subconjunto de B, é definida como
A ⊂ B ⇔ µ A ( x) ≤ µ B ( x), ∀ x ∈ x.
(1.31)
Os conjuntos fuzzy A e B são iguais quando os seus valores de pertinência são
idênticos. Semelhantemente, A está incluído em B quando todos os valores de pertinência
de B são iguais ou maiores que os correspondentes valores de A.
As figuras 1.23 e 1.24 mostram a igualdade e inclusão, respectivamente.
Figura 1.23. igualdade.
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Figura 1.24. inclusão.
A seguir é apresentada uma descrição de como tratar a igualdade e a inclusão
computacionalmente. Suponha que os vetores para representar os conjuntos fuzzy A e B
são dados como segue.
A
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
B
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
Para avaliar a igualdade dos conjuntos fuzzy, deve-se comparar cada elemento
correspondente e verificar se eles são iguais.
No caso dos vetores acima, nota-se que
A[i] = B[i],
i = 0, ..., 9.
Conseqüentemente A = B.
Agora, admitamos que os conjuntos A e B são dados pelos vetores:
A
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
B
0
0.1
0.6
1.0
0.8
0.1
0
0
0
0
Neste caso, A[4] ≠ B[4] e então A ≠ B.
Como mostrado nesse exemplo, se um par de valores de pertinência não são iguais,
então a igualdade não é válida.
Vejamos agora a inclusão de conjuntos fuzzy A e B. Para avaliar a inclusão A ⊂ B ,
devemos comparar os elementos correspondentes e verificar se os valores dos elementos de
B são iguais ou maiores que aqueles de A. Considere os vetores:
A
0
0.1
0.5
0.9
0.5
0
0
0
0
0
B
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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Quando comparamos estes vetores, nós observamos
A[i ] ≤ B[i ], i = 0, L ,9.
Portanto, A ⊂ B .
Entretanto, se A e B são
A
0
0.1
0.5
0.9
0.9
0
0
0
0
0
B
0
0.1
0.6
1.0
0.6
0.1
0
0
0
0
A[4] > B[4].
Então A ⊄ B .
1.3 Cortes α e Princípio da decomposição
Em esta seção, é apresentado o conceito de cortes α e o princípio da decomposição
baseado na idéia de cortes α .
Cortes α e princípio da decomposição
Considere um conjunto fuzzy A no universo X.
• Cortes : para o conjunto fuzzy A podem ser definidos os seguintes cortes – α .
cortes α robustos:
(1.32)
Aα = {x | µ A ( x) ≥ α }, α ∈ [0,1)
cortes α fracos:
(1.33)
Aα = {x | µ A ( x) ≥ α }, α ∈ (0,1]
Os cortes α fracos são às vezes chamados de conjuntos de níveis α.
• Princípio de decomposição: Usando cortes α pode-se decompor uma função de
pertinência µ A (x) em um número infinito de funções de pertinência
retangulares (α ∧ χ Aα ( x) or α ∧ χ ( x)). Quando agregamos estas funções
Aα
de pertinência e aplicamos a operação max, pode ser obtido o conjunto fuzzy
original:
µ A ( x) = max[α ∧ χ Aα ( x)] = max[α ∧ χ Aα ( x)]
(1.34)
α∈[ 0,1)
α ∈( 0,1]
onde χ Aα ( x) é uma equação característica do conjunto Aα .
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
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A figura 1.25 mostra um exemplo de um corte α.
A figura 1.26 ilustra a idéia do princípio da decomposição. Seja uma função
característica de um corte α fraco χ Aσ ( x) para um α ∈ (0, 1] . Define-se a função de
pertinência retangular que satisfaz α ∧ χ Aα ( x ). . Mudando o valor de α no intervalo de
α ∈ (0, 1] repetimos a mesma operação e obtemos um numero infinito de funções de
pertinência retangular. O princípio de decomposição nos permite que a função de
pertinência do conjunto fuzzy original A pode ser expresso pela operação max das funções
de pertinência retangular obtidas previamente. Isto é definido por
µ A ( x) = max [α ∧ χ Aα ( x)]
α ∈( 0 ,1]
Figura 1.25. Corte α
Figura 1.26. Princípio de Decomposição
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Exemplo 1.10. PRINCÍPIO DE DECOMPOSIÇÃO
Assumindo um conjunto fuzzy A definido pela expressão discreta:
A= 0.2/1+0.5/2+0.7/3+1.0/4+0.8/5+0.4/6+0.2/7.
Se aplicamos corte α para α ∈ (0, 1] desde 0.1 até 1 com o tamanho de passo de 0.1,
obtemos os seguintes cortes α
A0.1 = A0.2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A0.3 = A0.4 = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A0.5 = {2, 3, 4, 5}
A0.6 = A0.7 = {3, 4, 5}
A0.8 = {4, 5}
A0.9 = A1.0 = {4}
Agora tentemos reconstruir a conjunto fuzzy A usando os cortes α . Primeiro
reescrevemos os cortes α usando expressões discretas de conjuntos fuzzy como a seguir.
A0.1 = 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7
A0.2 = 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7
A0.3 = 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6
A0.4 = 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6
A0.5 = 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5
A0.6 = 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5
A0.7 = 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5
A0.8 = 1.0/4 + 1.0/5
A0.9 = 1.0/4
A1.0 = 1.0/4
Aqui, já que A0.1 é obtido como :
A0.1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ,
Quando associamos o valor 1.0 para a equação característica para estes elementos,
obtemos
A0.1 = 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7
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Com operações similares derivamos a expressão anterior desde A0.2 até A0.1 . Se
focalizamos o valor da equação característica, notamos que
χ Aα (1) = ... = χ Aα (7 ) = 1 .0 .
Em seguida, calculamos α ∧ χ Aα (x) .
Assumindo
x1 = 1, x 2 = 2, ..., x 7 = 7
ou
X i = i para i = 1,..., 7.
Se denotamos como Aα* o conjunto fuzzy
que tem α ∧ χ Aα (x) como o valor
pertinência, podemos calcular Aα* como segue.
7
([
A *0.1 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
[
= [0.1 ∧ x
0.1
= 0.1 ∧ x A
0.1
A0.1
(xi )] /
xi
)
(x1 )] / x1 + ... + [0.1 ∧ x A (x7 )] / x7
(x1 )] / 1 + ... + [0.1 ∧ x A (x7 )] / 7
0.1
0.1
= 0.1/1 +0.1/2 + 0.1/3 + 0.1/4 + 0.1/5 + 0.1/6 + 0.1/7
7
([
A *0.2 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0.2
(xi )] /
xi
)
= 0.2/1 +0.2/2 + 0.2/3 +0.2/4 + 0.2/5 + 0.2/6 + 0.2/7
7
([
A *0.3 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0.3
(xi )] /
xi
)
= 0.3/2 + 0.3/3 +0.3/4 + 0.3/5 + 0.3/6
7
([
A *0.4 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0.4
(xi )] /
xi
)
= 0.4/2 + 0.4/3 +0.4/4 + 0.4/5 + 0.4/6
7
A *0. 5 = ∑
i =1
( [0.1 ∧ x
A0. 5
(xi )] /
xi
)
= 0.5/2 + 0.5/3 +0.5/4 + 0.5/5
7
([
A *0. 6 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0. 6
(xi )] /
xi
)
xi
)
xi
)
= 0.6/3 +0.6/4 + 0.6/5
7
([
A *0. 7 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0. 7
(xi )] /
= 0.7/3 +0.7/4 + 0.7/5
7
([
A *0. 8 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
0. 8
(xi )] /
= 0.8/4 + 0.8/5
de
Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos
7
([
0. 9
(xi )] /
xi
)
1.0
(xi )] /
xi
)
A *0. 9 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
= 0.9/4
7
([
A *1.0 = ∑ 0.1 ∧ x A
i =1
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= 1.0/4
Calculando a união dos conjuntos fuzzy anteriores, podemos obter o conjunto fuzzy original
A como:
*
U Aα
α
∈( 0 ,1]
=
U ∑ ([α ∧ X
α

∈( 0 ,1]
7
i =1
Aα
])

( xi ) / xi )

= 0.2/1 +0.5/2 + 0.7/3 +1.0/4 + 0.8/5 + 0.4/6 + 0.2/7
=A
Isto também pode ser escrito como:
µ A ( x) = max max[α ∧ X Aα ( x)]
α ∈( 0 ,1]
A expressão anterior é o mesma de (1.34).
Em este exemplo, a resolução de valores de pertinência é 0.1, sendo suficiente para
representar o conjunto fuzzy A por cortes α .
Para um conjunto fuzzy contínuo, a operação max poderia ser aplicada em forma
mais precisa para o intervalo de α ∈ (0, 1] .
A seguir vamos estudar como calcular os cortes α em computadores. Assumimos
um conjunto fuzzy é dado num arranjo vetorial :
A
A [0] A [1]
0
0.1
A [2]
0.6
A [3] A [4]
1.0
0.5
A [5]
0.1
A [6]
0
A [7]
0
A [8]
0
Os cortes α são calculados pelo processamento dos elementos de A como segue:
Se α < A[i ] , A[i ] = 1, i = 0,1, ..., 7, 8;
se não, A[i ] = 0;
Para um α que fornece um corte α fraco.
Por exemplo, para α = 0.2 , α = 0.6 , e α = 0.8 , os arranjos resultantes serão:
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A 0.2
0
0
1.0
1.0
1.0
0
0
0
0
A 0.6
0
0
1.0
1.0
0
0
0
0
0
A 0.8
0
0
0
1.0
0
0
0
0
0
1.4 Números Fuzzy e o Princípio da Extensão
Na seção 1.4.1 introduzimos o princípio da extensão e na seção 1.4.2 descrevemos
operações como números fuzzy usando este princípio. Na seção 1.4.3 descrevemos
números fuzzy L-R e fórmulas de cálculo.
1.4.1
Princípio da Extensão
Através do princípio da extensão podemos definir várias operações com conjuntos
fuzzy.
Quando existe uma relação y = 3x + 2 entre x e y, os valores de y para x = 4 pode ser
calculado por:
y = 3 x 4 +2 = 14
Então, como podemos calcular o valor de y quando x é dado por um conjunto fuzzy
tal que x = “próximo de 4?”. O princípio da extensão fornece um método para fazer isto.
A figura 1.27 mostra a idéia do princípio da extensão. O processo de cálculo na
figura 1.27 pode ser interpretado como:
3 x “Próximo de 4”+2= “Próximo de 12”+2= “Próximo de 14”.
Agora, introduzimos idéias necessárias para explicar o princípio da extensão.
Considere-se um mapeamento de um conjunto X para outro conjunto Y, tal que:
f : X → Y.
Agora, seja A um subconjunto de X. Logo,
f ( A) = {y / y = f (x ), x ∈ A}
é chamado a imagem de A através de f . Note –se que f(A) é um subconjunto de Y.
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Figura 1.27. O conceito do princípio da extensão
Similarmente, seja B um subconjunto de Y. Então.
f
−1
(B ) = {x / f (x ) = y, y ∈ B}
é chamada imagem inversa de B através de f . f −1 (B ) é subconjunto de X.
Estas relações são definidas para os conjuntos fuzzy A e B pelo princípio da extensão,
formalizado a seguir:
Princípio da Extensão
Estenda um mapeamento f : XÆ Y para relacionar um conjunto fuzzy A em X com um
conjunto fuzzy B em Y:
sup µ A ( x) f −1 ( y ) ≠ ∅

µ f ( A) ( y ) =  y = f ( x)
(1.35)
0
f −1 ( y ) = ∅

Quando f é mapeado um a um, podemos escrever a relação anterior simplesmente
como:
(1.36)
µ f ( A) ( y ) = µ A (x)
EXEMPLO 2.11. PRINCÍPIO DA EXTENSÃO
Analisemos o processo dos exemplos prévios, usando conjuntos fuzzy e o princípio da
extensão:
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3 x “Próximo de 4”+2= “Próximo de 12”+2= “Próximo de 14”.
Primeiro de todo, considerar o mapeamento dado por.
y = 3x + 2.
Fazendo que A seja um conjunto fuzzy “próximo de 4” tal que
A = 0.5/3 + 1.0/4 +0.5/5.
x 2 = 4,
Também definamos x1 = 3,
yi = 3 xi ,+2,
x3 = 5 de forma que
i = 1, 2, 3.
Já que f fornece o mapeamento de 1:1, podemos aplicar (1.36) para obter f(A) para o
conjunto Fuzzy A como segue:
3
f ( A) = ∑ µ f ( A ) ( y i ) / y i
i =1
=
3
∑ µ ( y ) / (3x
i =1
A
i
i
+ 2)
= 0.5/(3 x 3 + 2) + 1.0/(3 x 4 + 2) + 0.5/(3 x 5 + 2)
= 0.5/11 + 1.0/14 + 0.5/17
= “Próximo de 14”.
Já que f (A) é um conjunto fuzzy assimétrico com valor de pertinência de 1 até 14,
podemos interpretar este conjunto fuzzy como “Próximo de 14”.
Agora, estendemos a discussão anterior para um caso geral. Introduzimos a idéia de
produto cartesiano usado na definição do princípio da extensão.
Produto cartesiano
•
•
Produto cartesiano : seja x1 ,... , x n os elementos de X 1 ,... , X n . O conjunto de
todas as combinações de ( x1 ,... , x n ) é chamado de produto cartesiano de X 1 ,... , X n
e é denotado por X 1 ×,... ,× X n .
O produto cartesiano de conjuntos nebulosos: sejam X 1 ×,... ,× X n o produto
cartesiano do universo X 1 ,... , X n , e A1 ,... , An conjuntos fuzzy em X 1 ,... , X n . O
produto cartesiano dos conjuntos fuzzy A1 ,... , An pode ser definido por
A1 ×,... ,× An
=∫
A1 ×,... ,× An
min(µ A1 ( x1 ), ..., µ An ( x n ) /( x1 , ..., x n )
no universo X 1 ×,... ,× X n
(1.37)
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A seguir o princípio de extensão é generalizado.
Princípio da Extensão (no espaço do produto cartesiano)
Seja f um mapeamento de X 1 ×,... ,× X n para Y , para satisfazer y = f ( x1 ,... , x n ) .
Estendendo a função f:
f : X 1 ×,... ,× X n → Y ,
obtemos a relação entre o produto cartesiano A1 ×,... ,× An dos conjuntos fuzzy
A1 ,... , An em X e um conjunto fuzzy B (= f ( A1 ×,... ,× An )) em Y, tal que:
 sup min( µ A1 ( x1 ), ..., µ An ( x n )
 x ,... , x
µ B ( y ) =  x11 ×... × nxn

0

f
−1
( y) ≠ ∅
f −1 ( y ) = ∅
(1.38)
Onde f −1 ( y ) é a imagem inversa de y.
1.4.2 Números Fuzzy e suas Aplicações
Os números fuzzy são conjuntos fuzzy com considerações especiais para seu fácil
cálculo. Podemos definir operações fuzzy usando o princípio da extensão. Primeiro,
definamos os números fuzzy.
Números fuzzy
Definição: Se um conjunto fuzzy A no universo R de números reais satisfaz as
condições seguintes, podemos chamá-lo um número fuzzy:
i.
ii.
iii.
•
A é um conjunto fuzzy convexo;
Existe somente um x0 que satisfaz µ A ( x0 ) = 1; e
µ A é contínua em um intervalo.
Números Fuzzy monótonos: Corresponde a um número fuzzy A que satisfaz
a seguinte condição,
m1 < m2
(m1 , m2 ) ∈ R
(1.39)
µ A ( x) = 1
∀x ∈ [m1 , m2 ].
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A diferença entre números fuzzy monótonos e outros números fuzzy está no fato
que no primeiro caso, elementos o valor de pertinência de 1 é dado para um intervalo,
enquanto que para os segundos, apenas para um ponto.. Figura 1.28 e 2.29 mostra
exemplos de números fuzzy e um números fuzzy monótonos respectivamente.
Introduzamos as operações de números Fuzzys baseados no princípio da extensão.
Aplicando este princípio, obtemos um cálculo “fuzzy” do tipo “próximo de 2” mais
“próximo de 3” é “próximo de 5”.
Figura 1.28 Números fuzzy
Operações de números fuzzy baseados no princípio da extensão
A operação * de números reais pode ser estendida para números Fuzzy A e
B no universo X tal que:
µ A ⊗ B ( z ) = sup [µ A (x ) ∧ µ A ( y )].
(1.40)
Se reescrevemos a expressão anterior usando conjuntos fuzzy, obtemos
A⊗ B = ∫
X ×X
Onde
[ µ A (x ) ∧ µ B ( y ) ] / (x ∗ y ).
x , y, z ∈ X
Usando a definição anterior podemos derivar a aritmética de números fuzzy como segue:
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Aritmética de números fuzzy
Adição:
µ A ⊗ B ( z ) = sup [µ A ( x ) ∧ µ A ( y )].
x+ y
Subtração:
µ A ⊗ B ( z ) = sup [µ A ( x ) ∧ µ A ( y )].
x− y
Multiplicação:
µ A ⊗ B ( z ) = sup [µ A ( x ) ∧ µ A ( y )].
x× y
Divisão:
µ A ⊗ B ( z ) = sup [µ A ( x ) ∧ µ A ( y )].
x÷y
Se um corte α de um conjunto fuzzy leva a um intervalo fechado, podemos substituir a
aritmética precedente de números fuzzy com operações de intervalos.
[a, b]*[c, d ]= {z / z = x * y, x ∈[a, b], y ∈[c, d ]}
Quando escolhemos + ou – para a operação
[a, b]+ [c, d ]= [a + c, b + d ]
[a, b]− [c, d ]= [a − d , b − c]
Por exemplo.
[3 , 5] + [4 , 8]= [7 ,13]
[3 , 5] − [4 , 8]= [− 5, 1]
A multiplicação e divisão não podem ser escritas em uma forma geral como a adição e
subtração. Porém, se assumimos a, b, c, d > 0, podemos escrever.
[a, b] * [c, d ]= [a * c, b * d ]
[a, b] / [c, d ]= [a / d , b / c]
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Por exemplo,
[3 , 5] * [4 , 8]= [12 , 40]
[3 , 5] / [4 , 8]= [0.375,1.25]
Note que a subtração de números fuzzy não é uma operação inversa da adição, e a
divisão não e uma operação inversa da multiplicação. Por exemplo, se subtraímos de um
número o próprio , o resultado não será zero, porém é um número “próximo de 0”.
EXEMPLO 1.12. Operação com números fuzzy usando o princípio da extensão.
A figura 1.30 mostra um exemplo da adição dos números fuzzy “próximo de 2” e “próximo
de 3”.
Do resultado desta operação notamos que o número fuzzy obtido no cálculo
tem um grau de nebulosidade aumentado. (Note-se que a base do número fuzzy resultante
é mais larga que a dos números fuzzy originais).
Figura 1.30 Adição de números fuzzy
Figura 1.31 Subtração de números fuzzy (1)
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EXEMPLO 1.13 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FUZZY (1)
Calculemos “próximo de 5” menos “próximo de 3”. A figura 1.31 mostra o resultado. Tal
como podemos ver da comparação das figuras 1.30 e 1.31 o resultado da subtração
“próximo de 5” menos “próximo de 3” não é “próximo de 2”.
EXEMPLO 1.14 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FUZZY (2)
A figura 1.32 mostra “próximo de 3” menos “próximo de 3”. Como podemos ver, o
resultado não é zero e sim “próximo de zero”, que corresponde a um número Fuzzy.
Figura 1.32 Subtração de números fuzzy (2)
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1.4.3 Números Fuzzy L-R e Fórmulas de Cálculo
Dubois e Prade [2] mostraram que os números fuzzy L-R alcançam são eficientes em
processos de cálculo. Em esta seção descrevemos as principais operações com números
fuzzy L-R.
Número Fuzzy L-R
Considere-se a funções L e R que satisfazem as condições:
i.
L( x ) = L(− x ),
R( x ) = (− x );
L(0 ) = 1,
R (0 ) = 1;
ii.
L e R não são funções crescentes
iii.
iv.
Um números fuzzy L-R, designado como M , pode ser definido usando as funções L
e R assim:
 m− x
L α  x ≤ m, α > 0

 
µ M (x) = 
m− x

 x ≥ m, β > 0
R

 β 
Onde L e R são chamados funções de forma, m é chamado de valor médio, α e β
definem o tamanho da largura da conjunto fuzzy triangular M , para a esquerda e
direita do valor médio, respectivamente.
As funções L e R podem ser de qualquer tipo ou tamanho, desde que satisfaçam as
condições precedentes. Algumas funções típicas são , por exemplo:
(
L( x ) = R( x ) = max 0,1 − | x | p
L( x ) = R( x ) = e
−x
)
p >= 0;
p
(
)
L( x ) = R ( x ) = 1 / 1 + | x | p
p >= 0;
A figura 1.33 mostra um exemplo de número fuzzy L-R. Escolhendo,
α =1, β =1
m = 10,
L( x ) = max(0,1 − | x | )
(
R ( x ) = max 0,1 − | x |
)
A seguinte discussão é sobre a notação simplificada de números fuzzy L-R.
Expressões Simples para Números Fuzzy L-R
Um número fuzzy L-R é definido pela funções L(x) e R(x), pelo valor médio m e
parâmetros α e β , que definem o intervalo do números fuzzy. Logo, usando uma
notação simplificada:
M = (m, α , β ) LR
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Figura 1.33 Número fuzzy L-R
A figura 1.34 mostra o numero fuzzy L-R M = (1, 2, 1) LR . Aqui, usamos,
L(x ) = max (0,1− | x |)
R( x ) = max(0,1− | x |)
para L( x ) e R( x ) .
Na seguinte discussão é relativa a operações envolvendo números fuzzy usando
expressões simplificadas. Note que, dependendo das operações, LR pode ser substituído
por RL. Também, a definição de M para M > 0 é:
µ M ( x ) = 0 ∀x 〈 0 .
Analogamente, a definição de M para M < 0 é:
µ M ( x ) = 0 ∀x 〉 0 .
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Operações com números fuzzy L-R
•
Adição:
(m, α , β )LR ⊕ (n, y, δ )LR = (m + n, α + γ , β + δ )LR .
•
Subtração:
(m, α , β )LR − (n, y, δ )RL = (m − n, α + δ , β + γ )LR .
Das definições anteriores podemos derivar a seguinte relação:
− (m, α , β )LR = (− m, β , α )RL .
Nota: Observe que aqui a função de pertinência de referência (funções L e R) foi mudada.
• Multiplicação:
Para M > 0 e N > 0.
(m, α , β )LR ⊗ (n, y, δ )LR ≈ (mn, mγ + nα , mδ + nβ )LR .
Para M > 0
e N < 0.
(m, α , β )LR ⊗ (n, y, δ )LR ≈ (mn, mα − nδ , mβ − nγ )RL .
e N > 0.
Para M < 0
(m, α , β )LR ⊗ (n, y, δ )LR ≈ (mn, nα − mδ , nβ − mγ )RL .
e N < 0.
Para M < 0
(m, α , β )LR ⊗ (n, y, δ )LR ≈ (mn, − nβ − mδ , − nα − mγ )RL .
Das definições anteriores podemos derivar o seguinte:
Para escalar λ > 0
λ ⊗ (m, α , β )LR = (λm, λα , λβ )LR .
Para escalar λ < 0
λ ⊗ (m, α , β )LR = (λm, − λβ , − λα )RL .
•
Inversão
•
Divisão
(m, α , β )−1LR ≈ (m −1 , − βm − 2 , − αm2 )RL .
Para M > 0
e N > 0.
(m, α , β )LR ÷ (n, y, δ )RL ≈  m , mδ +2 nα , mγ +2 nβ 
n
n
n
O cálculo anterior é derivado pela aproximação de
M ÷ N = M ⊗ N −1
 LR
.
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Observação: As fórmulas de multiplicação e divisão são aproximadas e válidas sob a
hipótese de que a propagação dos argumentos é pequena em comparação dos valores
modais dos números fuzzy.
EXEMPLO 1.15 Operações com Números fuzzy L-R
Sejam números fuzzy M, N,
M = (2, 1, 2) LR
N = (3, 2, 1) LR
A funções de forma são definidas como:
L( x ) = max (0,1− | x |)
R( x ) = max(0,1− | x |)
Aplicando a fórmula da soma, obtemos
M ⊕ N = (2, 1, 2) LR ⊕ (3, 2, 1) LR
= (5, 3, 3) LR
A figura 1.35 mostra o resultado desta operação.
Quando representamos computacionalmente as operações
necessário determinar;
i.
Valor médio m
ii.
Os parâmetros α , β e,
iii.
Funções forma L e R.
de números fuzzy L-R, é
Figura 1.34 Número fuzzy L-R M = (1, 2) LR
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Figura 1.35 Adição de números fuzzy L-R.
1.5 Exemplos Aplicativos de Conjuntos Fuzzy
1.5.1 Casamento (1)
Em neste exemplo, consideramos um processo de casamento assistido por computador
usando conjuntos fuzzy.
Assumindo um cliente A que tem o seguinte ideal de companheiro(a):
“Nem jovem nem velho; com salário anual de vários milhares de dólares americanos ou
mais”.
Existem três candidatos potenciais para o matrimônio: B, C e D. Uma base de dados
fornece a idade e os salários:
Nome
Idade
B
C
D
38
32
58
Ingressos Anuais
(Milhares de Dólares)
100
50
20
Podemos expressar a idéia de “jovem”, “velho” e “Salário de vários milhares de dólares”
usando conjuntos fuzzy como mostrado na figura 1.36.
Devido que A especificou “Nem jovem nem velho” , temos que definir a conjunto fuzzy
correspondente a idéia. A figura 1.37 mostra o processo de gerar o conjunto fuzzy para
“qualquer jovem ou velho”.
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Figura 1.36. Conjunto fuzzy para (a) idade e (b) salário
Figura 1.37. Conjunto fuzzy para (a) jovem e (b) velho
Se designarmos Y como o conjunto Fuzzy de “Jovens” e O para o conjunto fuzzy de
“Velhos” obteremos
“Não jovens”: Y
e
“Não velhos”: O .
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O conjunto Fuzzy “Nem jovem nem velho” pode ser gerado por Y ∩ O . Isto é porque
podemos interpretar “nem jovem nem velho” como a intersecção de “Não jovem” e
“Não velho”. Escrevendo esta idéia através de funções de pertinência obtemos
µY ∩O ( x) = (1 − µγ ( x) ) ∧ (1 − µO ( x) ) .
Comparando o conjunto fuzzy obtido “Nem jovem nem velho” e a idade atual de cada
candidato, podemos obter o valor de pertinência da idade individual para o critério. Se
aplicamos o mesmo procedimento para o nível de salário, obteremos o valor de
pertinência dos candidatos para o ideal de A, como segue:
Nome Idade Salário Total
B
0.9
1.0
0.9
C
0.6
0.5
0.5
D
0.2
0
0
Estes resultados são obtidos por operações min aplicadas aos valores de pertinência de
idade e salário. Isto implica que para idades e salários longe do ideal, os candidatos são
considerados não qualificados. O valor da avaliação total pode ser interpretado de acordo
ao grau de casamento. Se A acena com um nível mínimo de satisfação de 0.8, B será
selecionado, pois atende o requisito com 0.9.
Existem vários outros métodos para determinar o total de pontos. A multiplicação dos
valores de pertinência da idade e salário, ou a média de ambos, pode também ser
usado.
1.52 Itinerário de negócios
Quando um Professor em Kanasawa vá a Tókio, o itinerário pode ser avaliado via
números fuzzy LR
Sejam as seguintes quatro alternativas de transporte com custo e tempo de viagem:
Método
Transporte
1
2
3
4
Trem bala
Trem expresso
Avião
Carro
Custo
(R$)
240
190
280
270
Tempo
4
6
2
6-8
Observações
Inclui tráfego pelo aeroporto
Inclui combustível e taxa de
pedágio
O método da avaliação do transportação é definido como
(Avaliação)= (Tempo [horas]) + (custo[R$ 100]).
O tempo para cada método de transporte não inclui demoras, tempo requerido para
transbordo, entre outros. Se incluirmos tais fatores, podemos usar números fuzzy L-R
para representar o tempo, como segue:
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Método 1
Método 2
Método 3
Método 4
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M 1 = (4.5, 0.5, 0.5) LR ;
M 2 = (6.5, 0.5, 0.5) LR ;
M 3 = (2.5, 0.5, 1.0) LR ;
M 4 = (7.5, 1.0, 3.0) LR ;
Figura 1.38 mostra estes números. Os Números fuzzy L-R para o avião e carro têm
amplio faixa de valores comparados com o trem. O tempo poderia variar para um carro
dependendo das condições de tráfico na estrada, e os aviões tendem a ser mais demorado
comparados ao trem.
Consideremos L(x) e R(x) tal que
L( x) = max(0.1− | x |);
R ( x) = max(0.1− | x |).
por outro lado, os números Fuzzys L-R para o custo serão:
Método 1
N1 = (2.4, 10 −5 , 10 −5 ) LR ;
Método 2
N 2 = (1.9, 10−5 , 10−5 ) LR ;
N 3 = (2.8, 10−5 , 10−5 ) LR ;
Método 3
Método 4
N 4 = (2.7, 10−5 , 10−5 ) LR ;
A pesar que os custos terem valores definidos , eles são assumidos como números fuzzy LR com variação zero. Porém, dada a definição de números fuzzy L-R , tem-se que
α , β > 0. Para superar este obstáculos, utilizamos números muito pequenos.
A avaliação, a partir dos custos e tempos pode ser definida como segue.
( Número fuzzy da avaliação)=(Número fuzzy para o tempo) ⊕ (Números fuzzy para o
custo).
Logo:
Figura 1.38. Números fuzzy para o tempo
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Figura 1.39. Números fuzzy L-R para avaliação
Método 1
Método 2
Método 3
M 1 ⊕ N1 = (6.9, 0.5, 0.5) LR ;
M 2 ⊕ N 2 = (8.5, 0.5, 0.5) LR ;
M 3 ⊕ N 3 = (5.3, 0.5, 1.0) LR ;
Método 4
M 4 ⊕ N 4 = (10.2, 0.5, 3.0) LR ;
Estes números fuzzy são mostrados na figura 1.39, na qual indica que o método 3 é um
bom método de viagem ( menor valor).
Agora assumamos a situação, na qual a área de Kawazawa foi atingida por uma grande
nevasca. Em tal caso os números fuzzy para o tempo mudam com o segue:
Método 1
M 1* = (5.0, 0.5, 1.0) LR ;
Método 2
M 2* = (7.0, 0.5, 1.0) LR ;
Método 3
M 3* = (5.0, 0.5, 3.0) LR ;
Método 4
M 4* = (12.0, 2.0, 5.0) LR ;
Figura 1.40 Números fuzzy para o tempo no caso de nevasca.
Estes números fuzzy são mostrados na figura 1.40. A figura indica o caso da nevasca
pesada, a incerteza relativa a atraso de tempo em geral crescerá, sendo isto mais frisado
para aviões e carros. Logo, a avaliação de transporte será:
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Método 1
Método 2
M 1* ⊕ N 1 = (7.4, 0.5, 1.0) LR ;
Método 3
M 3* ⊕ N 3 = (7.8, 0.5, 3.0) LR ;
Método 4
M 4* ⊕ N 4 = (14.7, 2.0, 5.0) LR ;
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M 2* ⊕ N 2 = (9.0, 0.5, 1.0) LR ;
A figura 1.41 mostra estes números fuzzy, e observando esta figura, podemos concluir
que o método 1 é melhor nesta situação de nevasca.
Agora, pensemos no mesmo para transporte para um grupo de quatro pessoas .
Por simplicidade assumamos que são adultos. Em tal caso todos os custos, exceto os do
carro serão quadruplicados. Logo, os números fuzzy L-R para custos serão agora:
Método 1
N 1* = (9.6, 10 −5 , 10 −5 ) LR ;
N 2* = (8.0, 10 −5 , 10 −5 ) LR ;
Método 2
Método 3
N 3* = (11.2, 10 −5 , 10 −5 ) LR ;
Método 4
N 4* = (2.7, 10 −5 , 10 −5 ) LR ;
Se os números fuzzy do tempo
muda para:
são como os mostrados na figura 1.38, a avaliação
Método 1
M 1 ⊕ N 1* = (14.1, 0.5, 0.5) LR ;
Método 2
M 2 ⊕ N 2* = (14.5, 0.5, 0.5) LR ;
Método 3
M 3 ⊕ N 3* = (13.7, 0.5, 1.0) LR ;
Método 4
M 2 ⊕ N 4* = (10.2, 1.0, 3.0) LR ;
Estes conjuntos fuzzy são mostrados na figura 2.42.
Observando este resultado conclui-se que, para o grupo de 4 pessoas, o transporte via
carro é melhor.
Figura 1.41 Números fuzzy L-R para a avaliação no caso de nevasca.
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Figura 2.42 Números fuzzy para o grupo de viagem
REFERENCIAS
[1] Zadeh. L.A., 1965. Fuzzy sets. Information and control 8:, 338-353.
[2] Dubois D. and Prade, H. 1980, Fuzzy sets and systems Theory and applications
Academic Press, New York.
[3] Pedrycz, W. and Gomide F., An introduction to Fuzzy Sets, 1998, MIT Press.
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