Medidas e resultados em um experimento.
I- Introdução
O estudo de um fenômeno natural do ponto de vista experimental envolve algumas
etapas que, muitas vezes, necessitam de uma elaboração prévia de uma seqüência de trabalho um projeto. Antes de tudo, deve-se ter clareza sobre o problema que se pretende estudar, ou seja,
ter um entendimento da proposta de estudo. Para isto é fundamental que se consiga elaborar os
objetivos pretendidos.
Obviamente, antes de se começar o experimento propriamente, o material necessário à
sua realização − equipamentos e instrumentos, ferramentas de cálculo e tratamento de medidas,
etc. − deve ser preparado e colocado em um ambiente adequado. Após a determinação das etapas
a serem desenvolvidas e a maneira de desenvolvê-las, ou seja, o procedimento a ser seguido,
passa-se à sua execução. É comum, sobretudo em ciências naturais, a obtenção de informações
através da realização de um conjunto de medidas. O resultado dessas medidas passa por uma
análise devendo, posteriormente, ser preparado para apresentação (tabelas, gráficos, tratamento
matemático).
Chega-se, então, à parte onde a participação de quem está trabalhando no experimento,
o “experimentador”, é das mais significativas: a interpretação dos resultados e a conclusão e
análise crítica geral de tudo o que foi feito. Geralmente, escreve-se um relatório de maneira a
deixar registrado todo o trabalho realizado. Ao se escrever o relatório, o “experimentador” deve
considerar que ele tem que ser suficientemente claro e completo de maneira a permitir que uma
pessoa com um nível de formação semelhante ao seu compreenda o quê, como e por que foi
feito o trabalho, e qual a relevância dos resultados encontrados.
O presente texto pretende servir como um guia introdutório, resumido e de rápido
acesso, para os estudantes de disciplinas experimentais de Física básica. Não se tem aqui a
intenção de ser completo e exaustivo; algumas referências bibliográficas serão dadas, no sentido
de permitir um aprofundamento maior em alguns pontos, caso seja do interesse do estudante.
II.- Medidas: os resultados e seus desvios ou erros
Conforme foi dito anteriormente, em ciências naturais a coleta de informações é
comumente feita através da realização de um conjunto de medidas de grandezas relacionadas
direta ou indiretamente com a análise do fenômeno em questão.
II.1- Medidas diretas e indiretas, algarismos significativos e valor mais provável
Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma natureza, escolhida
como unidade. O resultado dessa comparação denomina-se medida da grandeza e nela estão
contidas três informações:
- o valor numérico, que é um número inteiro ou fracionário;
- a precisão, expressa pelo número de algarismos significativos e pelo desvio;
- a unidade correspondente utilizada.
O sistema de unidades normalmente utilizado é o Sistema Internacional (SIU); o
APÊNDICE SIU traz uma lista das unidades fundamentais neste sistema.
Em experimentos realizados com uma qualidade aceitável, as medidas são feitas com
instrumentos calibrados tais como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, termômetros e
muitos outros. A menor graduação do instrumento representa o menor valor que ele é capaz de
medir com confiança. Por exemplo, não faz sentido querer medir o diâmetro de um fio de cabelo
usando uma régua graduada em milímetros; a maior precisão que se pode ter de uma medida
1
realizada com esta régua, é a precisão de um milímetro, podendo-se estimar o valor entre duas
divisões.
Ao se medir o diâmetro de uma moeda de 1 real com a régua graduada em
milímetros, uma pessoa pode escrever como resultado d = 27,2 mm. Aqui o valor
numérico da grandeza é 27,2 e a unidade é o milímetro; esse resultado tem 3
algarismos significativos sendo que o último é incerto ou duvidoso.
Analisemos um pouco mais esse resultado. Primeiramente, é claro que se trata de uma
medida direta: foi feita uma comparação direta do diâmetro da moeda com uma régua graduada
em milímetros. O resultado tem 3 algarismos significativos sendo um duvidoso (em qualquer
resultado tem-se, em geral, apenas um algarismo duvidoso!).
Essa pessoa poderia querer escrever seu resultado usando outra unidade de
comprimento, como por exemplo o metro; nesse caso ela deveria escrever
d = 0,0272 m
ou
d = 2,72 x 10-2 m
e, em ambos os casos, continuaríamos tendo 3 algarismos significativos, com um
duvidoso, e com a precisão na casa dos décimos de milímetro.
Ou seja, o simples fato de mudar a unidade escolhida para descrever um resultado não pode
alterar a sua precisão. Os algarismos “zero” que aparecem antes do primeiro algarismo
diferente de zero não são significativos; depois, sim. Sendo assim, não é correto escrever
d = 27,20 mm pois, nesse caso, teríamos 4 algarismos significativos com o algarismo duvidoso
sendo o zero; nessa situação o resultado expressaria uma precisão − centésimo de milímetro
− que a régua não tem! Poder-se-ia dizer que numericamente é “a mesma coisa” mas do ponto de
vista científico não é: não se pode alterar a precisão de um resultado acrescentando algarismos
significativos a ele.
O perímetro p da moeda de 1 real pode ser calculado a partir da medida do seu
diâmetro, usando a relação p = 2πr sendo r o raio da moeda. Assim, tem-se p = 85,5 mm
podendo-se dizer que foi feita uma medida indireta do perímetro da moeda uma vez que a
grandeza medida diretamente foi o diâmetro e a partir dele é que se encontrou o perímetro. Seria
possível medir diretamente o perímetro da moeda utilizando-se uma fita métrica flexível, mas
não foi esse o caso. Outra grandeza que poderia ser encontrada a partir da medida do diâmetro da
moeda é a área da sua face S = πr2. Assim, teríamos S = 581 mm2 que é a área da face da moeda,
obtida indiretamente.
Observa-se que foi mantido o número de algarismos significativos igual a 3 nos
resultados obtidos tanto para o perímetro quanto para a área. Sempre que se opera
com medidas o resultado também deverá conter apenas um algarismo duvidoso.
O valor do diâmetro da moeda apresentado é o resultado de uma única medida feita por
uma única pessoa. É possível, e provável, que outras pessoas encontrem valores ligeiramente
diferentes. Mesmo a própria pessoa, ao realizar a medida várias vezes, pode encontrar um
conjunto de valores diferentes entre si, distribuídos em torno de um determinado valor. Em
situações desse tipo, o que se faz comumente é encontrar o valor médio e utilizá-lo como o valor
mais provável para a grandeza. Supondo que quatro medidas do diâmetro d da moeda tenham
fornecido os valores 27,2 mm; 27,0 mm; 27,2 mm e 27,1 mm, o valor numérico mais provável
seria d = 27,125 mm. (Atenção: por enquanto, está sendo apresentado apenas o valor numérico; o
resultado correto, considerando-se o número de algarismos significativos, é apresentado na próxima
seção.) Aqui foi feita uma média aritmética simples para se encontrar o valor mais provável. Há
situações em que são utilizados métodos estatísticos mais complexos; alguns casos serão
apresentados durante o curso.
2
II.2- Incerteza ou desvio de uma medida
II.2.1- Medidas diretas: erro de leitura e desvio médio
Como no caso que foi descrito anteriormente, repetindo-se a medida de uma grandeza
várias vezes, são encontrados valores nem sempre iguais. Os valores diferentes encontrados
podem ser devidos tanto à habilidade de quem realizou as medidas quanto ao instrumento
utilizado, ao método empregado, às dificuldades intrínsecas ao processo, etc. As flutuações nos
valores medidos são chamadas de erro, ou incerteza ou desvio.
Durante um processo de medida podem ocorrer erros sistemáticos e erros aleatórios.
Os erros sistemáticos são devidos a problemas de calibração ou fabricação de um aparelho ou a
um erro de procedimento; quando acontece esse tipo de erro os valores encontrados nas medidas
são afetados sistematicamente “para mais” ou sistematicamente “para menos”. Os erros
aleatórios, também chamados erros estatísticos, afetam desordenadamente a medida, às vezes
para mais, às vezes para menos. Esse tipo de erro é intrínseco a qualquer processo de medida e é
importante saber calculá-lo ou estimá-lo para que o resultado final de um trabalho experimental
seja expresso corretamente.
No caso de medidas diretas, os desvios podem ser facilmente encontrados. Quando se
realiza uma única medida de uma grandeza, o desvio pode ser encontrado usando diferentes
procedimentos mas é sempre importante usar o bom senso. Uma regra amplamente difundida é
a de que, no caso de medida única, o desvio (erro de leitura) deve ser a metade da menor divisão
da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir a largura l de uma folha de
papel A4 com uma régua de 300 mm alguém poderia considerar como desvio, a metade de uma
unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim a medida da largura da
folha seria escrita como l = (211,5 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira indica que há
uma incerteza de 0,5 mm (desvio absoluto) na determinação da largura da folha.
Entretanto, se essa régua for usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro
que o desvio não mais poderá ser de 0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes
para completar a medida eleva muito o erro na determinação da altura da porta, devendo este ser
da ordem de centímetro.
Portanto, essa regra tão difundida de que o desvio é a metade da menor divisão da
escala deve ser usada com muito cuidado, sendo poucas as vezes em que ela pode
ser aplicada corretamente.
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com
ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um
valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como desvio a própria precisão do
instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da
escala utilizada. Se houver oscilação, é mais razoável calcular o desvio a partir dos limites desta
oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação!
No caso de aparelhos digitais, pode acontecer também de o resultado se apresentar sem
flutuações, ou se apresentar oscilando. A avaliação do desvio deverá, então, ser feita como no
caso anterior.
Freqüentemente é possível e aconselhável realizar várias medidas da mesma grandeza
para se encontrar um resultado mais preciso.
Quando se realizam N medidas de uma mesma grandeza, deve-se encontrar o seu
valor médio − o qual será o valor mais provável − e tomar como desvio, a média dos
valores absolutos das diferenças entre o valor mais provável e cada valor individual.
3
O seguinte experimento ilustra uma situação deste tipo. Para se determinar a altura de
uma cachoeira, algumas pessoas mediram o tempo de queda de pedrinhas soltas em queda livre
de um mesmo local. Conhecendo-se o tempo de queda t, pode-se calcular a altura h a partir da
relação cinemática h = ½ g t 2 onde g é a aceleração da gravidade. Foi utilizado um cronômetro
com precisão de centésimos de segundo e os valores ti obtidos em 8 medidas foram: 1,30 s;
1,09 s; 1,03 s; 1,27 s; 1,18 s; 1,31 s; 1,24 s; e 1,15 s. A dispersão dos valores, entre 1,03 s e
1,31 s, se deve à dificuldade intrínseca do processo particular de medida e ao fato de que a
precisão do instrumento utilizado (centésimo de segundo) é bem maior do que a capacidade das
pessoas de medir tempo com um tal cronômetro. Para se encontrar o valor mais confiável para a
altura h deve-se, então, usar o valor mais provável de tempo < t > e o respectivo erro ou desvio
absoluto ∆t; numericamente teremos:
〈t 〉 =
=
N
∑ ti
(eq. 1)
i =1
1
(1,30 + 1,09 + 1,13 + 1,27 + 1,18 + 1,31 + 1,24 + 1,15) s = 1,196 s
8
∆t =
=
1
N
1 N
∑ ti − 〈 t 〉
N i =1
(eq. 2)
1
(0,104 + 0,106 + 0,066 + 0,074 + 0,016 + 0,114 + 0,044 + 0,046) s = 0.071 s
8
e, respeitando-se o critério de se escrever o desvio com um algarismo significativo, a resposta
correta para o resultado encontrado para o tempo de queda:
t = 〈t 〉 ± ∆t = (1,20 ± 0,07) s.
Utilizando-se esse resultado e considerando-se g = (9,784 ± 0,001) m/s2, chega-se ao
valor h = (7,0 ± 0,8) m. O desvio de 0,8 m foi encontrado usando os processos que estão
descritos na seção II.2.2.
Deve-se observar que a repetição da medida de uma grandeza várias vezes pode
melhorar a precisão na sua determinação mas esta não deve ir além da precisão do instrumento
utilizado para medi-la.
Ao se escrever o valor de uma grandeza com o seu respectivo desvio, está-se
indicando um intervalo de valores aceitáveis para ela, de acordo com o
procedimento em questão.
II.2.1a- Desvio absoluto e desvio relativo
Nos resultados encontrados anteriormente, estão expressos os valores das grandezas e
seu desvio absoluto, ou seja, tempo de queda foi determinado como sendo 1,20 s com um desvio
absoluto de 0,07 s e para a altura, foi encontrado o valor de 7,0 m com desvio absoluto de 0,8 m.
Na medida do tempo cometeu-se um erro de 0,07 segundos em 1,20 e na medida da altura o erro
foi de 0,8 metros em 7,0. É muito comum e muito útil expressar resultados em termos do desvio
relativo, ∆t / < t >, no caso do tempo, e ∆h / h no caso da altura.
O desvio relativo é quem melhor indica a precisão da medida e é comum expressá-lo
em termos percentuais. No presente caso ele é de aproximadamente 0,058, ou ~6%,
para o valor do tempo de queda das pedrinhas, e de aproximadamente 0,117, ou
~12%, para a altura da cachoeira. Comparando-se os desvios relativos, pode-se ver
qual grandeza foi determinada com maior precisão.
4
II.2.2- Medidas indiretas: propagação de erros
Uma medida é indireta quando é obtida a partir de expressões matemáticas que a
relacionam com outras grandezas medidas diretamente. Em um exemplo anterior, a altura da
cachoeira foi medida indiretamente, através de medidas diretas do tempo de queda das pedrinhas.
De maneira geral, uma grandeza f pode ser função de outras grandezas x, y, z, t, etc., cada uma
com seu respectivo erro ∆x, ∆y, ∆z, ∆t, etc.:
f = f (x ± ∆x, y ± ∆y, z ± ∆z, t ± ∆t, …)
Ao expressar o resultado de f, obtido indiretamente a partir de cálculos, é importante
apresentar qual é o desvio associado, ou seja, qual é o resultado da propagação dos erros.
Considere a seguinte situação física: um corpo se desloca em linha reta com aceleração
constante, de tal forma que a distância percorrida X (em metros) varia com o tempo t (em
segundos) de acordo com a equação
X = 5t 2
(eq. 3)
Coloca-se a seguinte questão: após um tempo medido de t = (7,5 ± 0,4) s, qual a
distância percorrida pelo corpo? A resposta trivial para a questão é X = 281,25 m. Entretanto, do
ponto de vista de tratamento de medidas, esta resposta está incompleta e incorreta. Considerando
que a medida de tempo tem um erro de ±0,4 s, fica a pergunta: como este erro afeta o valor
calculado da distância? Ou seja, qual desvio ∆X deverá ser atribuído à distância calculada X?
Para responder a esta questão, será dada aqui uma visão rápida do que se chama propagação de
erros. Existem várias maneiras de acompanhar a propagação dos erros em medidas indiretas;
aqui serão ilustrados dois métodos.
II.2.2a- Método baseado no cálculo diferencial
distância X (m)
A maneira formal utilizada no cálculo de propagação de erros é baseada no cálculo
diferencial. Para ilustrar este método, apelaremos para um processo mais ou menos intuitivo,
deixando o rigor e o detalhamento matemático para o estudo de diferenciais e derivadas parciais
abordado em disciplinas de Cálculo Matemático. A figura 1 mostra o gráfico da distância
percorrida X em função do tempo t .
3000
2000
∆X
1000
∆t
0
0
5
10
15
20
25
tempo t (s)
Fig. 1 Gráfico da distância X em função do tempo t para X = 5t2
Considere que as medidas de tempo foram todas tomadas com o mesmo desvio
∆t = ±0,4 s. Então, tempos diferentes, por exemplo t1 = 7,5 s e t2 = 20,0 s, com o mesmo erro ∆t,
resultam em erros bastante diferentes nos valores correspondentes de distâncias, conforme se vê
na figura 1. Quanto maior a inclinação da curva (que é a sua derivada), mais significativa é a
5
conseqüência do erro da variável tempo para a função distância. A associação da derivada de
uma função com a propagação de erro permite uma analogia útil no cálculo do erro no caso de
uma grandeza que é função de outras.
A derivada f'(X) de uma função de várias variáveis pode ser escrita como o quociente
entre os diferenciais da função e da variável:
f'(X) =
d f( X )
⇒
dX
d f(X) = f ’(X) . d X
É razoável usar a aproximação de que a diferencial (acréscimo infinitesimal) de uma grandeza
pode ser tomada como um erro (acréscimo mensurável) nesta grandeza e pode-se escrever:
∆f (X) ≅ f'(X) ∆X
ou melhor
∆f(X) ≅ |f'(X)| ∆X
(eq. 4)
onde o valor absoluto |f'(X)| é tomado para garantir sempre um valor positivo para o erro ∆f, que
determinará a faixa de valores possíveis de f.
A partir dessas considerações, pode-se aplicar a equação 4 no cálculo da propagação do
erro para o presente exemplo, ou seja, encontrar o erro ∆X a partir do erro
∆t = 0,4s. Teremos, então:
∆X ≅ |X'(t)| ∆t = 10t ∆t já que a derivada de X = 5 t 2 em relação a t é 10t
e, assim,
∆X = (10 x 7,5 x 0,4)m = 30m = (3 x 10) m para t1
{
∆X = (10 x 20,0 x 0,4)m = 80m = (8 x 10) m para t2 .
Os valores para as distâncias serão:
X1 = 5 t12 = 5 x 56,25 = 281,25 m
{
X2 = 5 t22 = 5 x 400 = 2000 m.
e os resultados corretos, lembrando-se de usar apenas um algarismo significativo para o erro,
deverão ser escrito como:
X1 = (2,8 ± 0,3) x 102 m
X2 = (2,00 ± 0,08) x 103 m
Foi necessário usar potência de dez para expressar o resultado corretamente pois os
números 30 e 80 têm dois algarismos significativos. Na forma de erros relativos, os resultados
acima seriam X1 = 2,8 x 102 m com um erro de 11%, e X2 = 2,00 x 103 m com um erro de 4%.
Observe que o número de algarismos significativos do valor da grandeza tem que respeitar a
precisão dada pelo erro absoluto calculado a partir do erro percentual.; por exemplo, não é
correto escrever X1 = (2,81 x 102 m ± 11%).
Esse processo pode ser estendido aos casos onde a grandeza a ser determinada depende
de várias variáveis, ou seja, depende da medida de várias outras grandezas com seus respectivos
erros. Seja a função f dependente de x, y, z, etc. Estas variáveis são grandezas medidas e assim, a
cada uma delas tem um erro experimental ∆x, ∆y, ∆z, etc. Assim:
f = f (x ± ∆x, y ± ∆y, z ± ∆z, t ± ∆t, …)
6
Para encontrar o erro ∆f de f, basta generalizar o resultado obtido para uma variável,
equação 4, para essa situação de várias variáveis. Assim, pode-se escrever:
∆f =
∂f
∂f
∂f
∂f
∆x +
∆y +
∆z +
∆t + …
∂x
∂y
∂z
∂t
(eq. 5)
∂f
representa a derivada parcial de f com relação a x. A derivada parcial de uma função
∂x
com relação a uma de suas variáveis é calculada como uma derivada normal, considerando todas
as outras como constantes.
onde
Como um exemplo de aplicação de propagação de erros em uma grandeza calculada
através de outras duas ou mais grandezas, considere a situação em que foram medidas a massa m
e a velocidade v de um carro e deseja-se calcular qual é sua energia cinética E. Sejam
m = (1,2 ± 0,1) x 103 Kg, e v = (20,0 ± 0,5) m/s
A energia cinética E é dada pela fórmula E = ½ m v 2. Usando a eq. 5, o desvio em E será:
∂E
∂E
∆E =
∆m +
∆v
∂m
∂v
⇒
v2
∆E =
∆m + mv∆v
2
Efetuando-se os cálculos com os valores das medidas tem-se 2 x 104 J para o erro e 24 x
10 J para o valor da energia cinética. Assim, o resultado escrito corretamente é
4
E = (24 ± 2) x 104 J = (2,4 ± 0,2) x 105 J
Como exemplo de aplicação da eq. 5 em outros casos, fica aqui, como exercício, a
demonstração das seguintes afirmações:
• Se f é a soma ou subtração de grandezas x, y, z, … então
∆f = ∆x + ∆y + ∆z + … (o desvio absoluto em f é a soma dos desvios absolutos das grandezas
x, y, z,…).
• Se f é a multiplicação de uma grandeza x por uma constante k então
∆f = k ∆x (o desvio absoluto em f é k vezes o desvio absoluto da grandeza x).
• Se f é a divisão de uma grandeza x por uma constante k então
∆f = ∆x / k (o desvio absoluto em f é o desvio absoluto da grandeza x dividido por k).
• Se f é a multiplicação ou divisão de grandezas x, y, z,… então
∆f/f = ∆x/x + ∆y/y + ∆z/z + …(o desvio relativo em f é a soma dos desvios relativos das
grandezas x, y, z,…).
• Se f é a potência n de uma grandeza x, então
∆f/f = n ∆x/x (o desvio relativo em f é n vezes o desvio relativo da grandeza x).
7
II.2.2b - Método dos valores limites
Uma outra maneira de se estimar o desvio de uma grandeza f obtida indiretamente é
calculando-se os valores limites que f pode assumir a partir dos valores máximos
(x + ∆x, y + ∆y, …) e mínimos (x − ∆x, y − ∆y, …) das grandezas x, y, z, … Considere, como
exemplo, um experimento de movimento retilíneo com aceleração constante a, onde uma
partícula percorre uma distância d, em um tempo t. Foram medidos valores para a distância e o
tempo, com desvios ∆d e ∆t respectivamente, ou seja, (d ± ∆d) e (t ± ∆t), encontrando-se
(12,0 ± 0,4) m, e (4,0 ± 0,2) s.
O valor da aceleração é dado por a =
amáx =
amín =
2(d + ∆d )
(t − ∆t )
2
2(d − ∆d )
(t + ∆t )
2
2d
. Então, os seus valores limite serão:
t2
= 2 x (12,4 m) / (3,8 s)2 = 1,7175 m/s2
(eq. 6)
= 2 x (11,6 m) / (4,2 s)2 = 1,3152 m/s2
(eq. 7)
O valor médio da aceleração (ainda sem considerar o número correto de algarismos
significativos) será
a=
a máx + a mín
2
= (1,7175 + 1,3152) / 2 = 1,5163 m/s2
(eq. 8)
e o desvio em a sendo dado (com um algarismo significativo) por
∆a =
a máx − a mín
.
2
= (1,7175 - 1,3152) / 2 = 0,2 m/s2
(eq. 9)
O valor para a aceleração deverá ser expresso corretamente como:
a = (1,5 ± 0,2) m/s2
ou
a = 1,5 m/s2 com 13% de desvio.
Através do cálculo do erro propagado, tem-se uma idéia de quão sensível é o
resultado à medida de cada uma das variáveis. No exemplo anterior, o erro no valor
da aceleração é mais sensível ao erro na medida de tempo (dependência com o
quadrado) do que o erro na medida de distância (dependência linear).
Os cálculos de desvios, muitas vezes, são feitos com a ajuda de calculadoras e
programas de computador. Entretanto, é de grande importância que o “experimentador” tenha
uma boa noção dos processos empregados nesses cálculos e ainda saiba, usando o bom senso,
estimar a precisão de um resultado.
II.3- Precisão e confiabilidade de uma medida
Os conceitos de precisão e de confiabilidade são, freqüentemente, confundidos. Uma
medida pode ser muito precisa e não ser confiável, por exemplo, quando for feita usando um
instrumento de alta precisão, porém descalibrado. O contrário também pode acontecer, ou seja,
uma medida ser pouco precisa mas ser confiável. É importante, portanto, distinguir os dois
conceitos:
medida confiável é aquela onde os erros sistemáticos são muito pequenos;
medida precisa é aquela onde os erros aleatórios são muito pequenos.
8
III- Apresentação de resultados experimentais: Tabelas e Gráficos
III.1- Tabelas
O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um
experimento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de obtenção
de dados. Embora em cada experimento se deva decidir pela forma de tabela mais conveniente, é
mostrado a seguir um padrão de tabela que se adapta à maioria dos experimentos que serão feitos
nas disciplinas experimentais de Física.
Considere um experimento onde se aplica tensão elétrica V entre 10 e 50 V em um
resistor e mede-se a corrente I gerada. A tabela 1 mostra uma forma conveniente de apresentar os
valores obtidos:
Tab. 1- Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente.
Tensão (V ± 1%)
Corrente (10−3 A)
11,3
22,5 ± 0,2
15,8
31,8 ± 0,3
19,5
40,0 ± 0,4
22,7
44,4 ± 0,4
29,1
59,2 ± 0,6
38,4
76,1 ± 0,8
42,3
83,8 ± 0,8
50,0
99,3 ± 0,9
Deve-se observar que:
• toda tabela deve ter uma legenda;
• no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que foram medidas
com suas unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou relativos, a elas associados; se
cada medida apresentar um erro diferente, deve-se especificá-lo após cada uma;
• o número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os erros
especificados.
III.2- Gráficos
A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento é
bastante interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência existente
entre as grandezas estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se adequando melhor às
grandezas medidas e ao tipo de relações que se deseja fazer entre elas. Uma forma de gráfico
bastante comum em experimentos de física é aquele relacionando duas grandezas onde cada
valor de uma está associado a um valor correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a
relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anterior, ilustra uma forma
comumente utilizada.
9
Tensão elétrica V (V)
Relação entre tensão
e corrente em um resistor
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Corrente elétrica I (mA)
Fig. 2 Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor.
Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter:
• título e/ou legenda;
• nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade;
• dimensionamento correto da escala.
Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear entre
as duas grandezas analisadas.
IV- Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear
O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear entre a
tensão elétrica aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-se uma relação
matemática que associe a corrente I no resistor sujeito a uma tensão V, deve-se encontrar a
equação de uma reta, ou seja, uma equação do tipo:
y = A + Bx
(eq. 10)
onde a constante B representa a inclinação da reta e a constante A o valor da grandeza y quando
x = 0. Para o caso do resistor podemos escrever especificamente
V = A + BI
É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos
medidos e, então, determinar os valores de A e B (faça isso). Entretanto, existem processos
matemáticos objetivos que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos medidos. O
processo mais utilizado com esse intuito é chamado regressão linear.
Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, a obtenção das constantes A e
B que definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No entanto é interessante que se
tenha conhecimento da origem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvido.
10
IV.1- Regressão Linear:
Pode-se dizer que regressão linear é a:
“determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de
medidas relacionando grandezas linearmente dependentes.”
Considere a série de pontos experimentais genéricos (xi, yi) colocados na tabela 2 e no
gráfico da figura 3.
Tab. 2- Resultados experimentais de
duas grandezas hipotéticas x e y
x (u.a.)
y1
x1
y2
x2
.
.
.
.
.
.
yn
xn
y (u.a.)
y (u.a.)
20
18
A + Bxi
16
14
yi
12
} δi
10
8
6
4
xi
2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
x (u.a.)
Fig. 3 Pontos experimentais definindo uma reta; δi.é a
diferença entre a ordenada yi medida para xi e o
correspondente valor calculado pela equação da reta.
Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua
equação na forma y = A + B x ,onde A é o ponto onde a reta corta o eixo vertical, em x = 0, e B a
inclinação da reta escolhida.
Observando o gráfico da figura 3 notamos que para o ponto xi, o valor experimental
corresponde é yi , mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a xi será A + B xi . Desta
forma, para cada ponto xi existe uma diferença δi, ou resíduo, entre o valor experimental medido
e o valor de y calculado pela reta:
δ i = yi − (A + Bxi ) .
Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão de “quão
boa” é a reta calculada, seria:
D = ∑ (δ i ) = ∑ [ y i − (A + Bxi )]
2
2
(eq. 11)
a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos.
A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza D,
ou seja, deve-se achar os valores de A e B tais que D seja mínimo.
Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter:
∂D
=0
∂A
e
∂D
=0
∂B
Derivando a equação 11 tem-se:
∂D
= - 2∑ [ yi − A − Bxi ]
∂A
e
∂D
= − 2∑ [ yi − A − Bxi ]xi
∂B
11
Assim, para que D seja mínimo, devemos ter:
∑ [ yi
∑ [ yi
- A - Bxi ] = 0
(eq. 12a)
- A - Bxi ] xi = 0
(eq. 12b)
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a melhor reta y =
A + Bx, que passa pelos pontos experimentais (xi, yi).
A solução de 12 é simples e dá como resultado os seguintes valores para A e B:
B=
N ∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i
N ∑ xi − ( ∑ x i ) 2
2
1
A = [∑ yi − B∑ xi ] =
N
=
〈 xy〉 − 〈 x〉 〈 y〉
(eq. 13)
〈 x 2 〉 − 〈 x〉 2
∑x ∑y −∑x ∑x y
N ∑ x − (∑ x )
2
i
i
2
i
i
i
i
(eq. 14)
2
i
Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até N, onde N é o número de pares de
valores experimentais (xi, yi).
Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar
estatisticamente os desvios (incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. Aqui serão
dados apenas os resultados dos cálculos destes desvios:
∆B =
D
(N - 2) N ∑ xi − (∑ xi )
2
e
2
D
∆A =
(N - 2)
∑ xi
2
N ∑ xi − (∑ xi ) 2
2
Obs. 1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite
avaliar a qualidade do ajuste. Para os propósitos das atividades aqui propostas esse
parâmetro tem pouca relevância e, portanto, não será tratado.
Obs. 2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. Em
alguns casos, condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais importância que
outros (muitas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela origem). Neste caso, você pode
entrar com os correspondentes pares de valores várias vezes para aumentar sua importância
nos cálculos. A reta tenderá a passar mais próxima deste ponto.
IV.2- Considerações gerais
O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de pontos
experimentais não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é linear. Sempre que
existir algum modelo ou previsão teórica para a relação matemática entre as grandezas, é
possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados
experimentais. O método matemático genérico que permite esse tipo de ajuste é chamado de
“Método de Mínimos Quadrados” pois, como foi exemplificado no caso particular do ajuste da
reta, são procurados os parâmetros que minimizem o quadrado das diferenças δi (eq.11) entre o
valor medido e o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de tratamento de
dados permitem se fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo
usuário.
Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através da
linearização de um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção IV.1.
12
V- Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos
É muito freqüente em física se lidar com fenômenos onde duas grandezas x e y se
relacionam linearmente, ou seja, y = A + Bx. Nesses casos, a partir da regressão linear dos pares
de resultados obtidos (x, y), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se ajusta
aos pontos experimentais, conforme descrito na seção anterior. Usando os valores dessas
constantes é possível tirar informações importantes relativas ao experimento.
Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é
linear, o que significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma equação de reta.
Em situações como esta, a obtenção de informações relevantes ao experimento pode ser feita de
mais de uma maneira. Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a Lei de
Coulomb com exemplo.
V.1- Linearização
Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas positivamente
com cargas q1 e q2 estão separadas de uma distância r; existe uma repulsão elétrica mútua entre
elas com forças iguais e opostas F1 e F2, como indicado na figura abaixo.
+
q1
q2
+
F2
r
Fig. 4 - Duas cargas positivas q1 e q2 separadas por uma distância r, se repelem com forças F1 e F2
F1
Tabela 3- Valores da força F em função
da distância r entre duas cargas q1 e q2
F (± 0,004 N) r (± 0,1 x 10−2 m)
2,913
2,489
1,412
0,957
0,783
0,513
0,357
0,199
0,128
0,089
0,065
0,050
0,039
0,032
1,0
1,2
1,5
1,8
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
F (N)
Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, onde se
variou a distância r entre as cargas e mediu-se o valor do módulo F da força de repulsão.Os
resultados encontram-se na tabela 1 e um gráfico de F versus r é mostrado na figura 5.
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
2
4
6
8
-2 10
r (x10 m)
Fig. 5 – Módulo da força F de repulsão elétrica entre duas
pequenas esferas carregadas em função da distância r de
separação entre elas.
Uma abordagem formal desse problema de força elétrica entre duas cargas pontuais
mostra que a relação matemática entre F, q1, q2 e r é:
F =K
q1 q 2
r
2
onde K é uma constante que vale 9,0 x 109 N.m2/C.
(eq. 15)
Esta relação é conhecida como Lei de Coulomb.
13
Considerando-se que as cargas q1 e q2 nas esferas não variam, deve-se esperar que a
força entre elas varie com o inverso do quadrado da distância. Pode-se colocar, então, a
seguinte questão:
como verificar se os dados experimentais concordam com a previsão teórica?
Esta questão já foi respondida anteriormente em situações onde a relação entre as
grandezas estudadas é linear e o método de regressão linear pôde ser usado para se achar a
equação da reta que melhor se ajusta aos dados obtidos. No presente caso, a relação entre F e r
não é linear e não se pode aplicar este método diretamente. Existem maneiras de se ajustar
qualquer tipo de equação a dados experimentais; entretanto aqui será mostrado um método que
aproveita os conhecimentos já empregados no uso da regressão linear. Primeiramente tem-se que
passar o gráfico obtido por um processo de linearização. Tal procedimento consiste em se
encontrarem novas grandezas, que sejam funções das originais, e que tenham entre si uma
relação linear.
A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia com o
inverso do quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se
escrever a lei física que deve corresponder ao presente experimento na forma:
F =C
1
r2
C = K q1 q 2
onde
= constante.
Definindo-se uma outra variável X igual ao inverso do quadrado de r, tem-se uma
relação entre F e X que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza X= 1/ r 2, tem-se F = C X.
Assim, construindo-se o gráfico de F (ordenada) em função de X (abscissa), se encontrará uma
reta pois F varia linearmente como o inverso do quadrado de r. Sendo assim, pode-se fazer uma
regressão linear considerando as novas grandezas:
Y = F

 X = 1r 2
Y = A + BX onde 
A ≈ 0

B = C
Esses resultados são apresentados na figura 6.
F (N)
3,0
2,5
2,0
1,5
Y = A + BX => F = C X'
A = (-0,01± 0,04) N
-4
2
B = (3,1 ± 0,1) x 10 N.m
1,0
0,5
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
2
1,0
4
1,2
-2
X = 1/r (x 10 m )
Fig. 6 - A força F entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do quadrado da distância entre elas
X = 1/r2. Os parâmetros do ajuste por regressão linear estão incluídos no gráfico.
O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação pois as equações
envolvidas na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve feito para se
14
encontrarem novas variáveis, que serão funções das anteriores, de maneira que elas tenham
relação linear entre si. No caso aqui apresentado, o procedimento foi simplesmente representar a
força e o inverso do quadrado da distância.
V.1.1- O uso da função logaritmo.
Uma maneira muito comum de se procurarem relações que linearizem um gráfico é
aplicar a função logaritmo. Entretanto, deve-se ter o cuidado em utilizar esse expediente apenas
em situações em que pelo menos uma das variáveis envolvidas no experimento esteja no
expoente. Por exemplo, vários fenômenos físicos têm uma descrição formal entre as variáveis x e
y do tipo:
y = α 0 + α 1e α 2 x
ou
y = β 0 + β1
β2 / x
sendo αi e βi constantes quaisquer, os quais necessitam da função logaritmo para a linearização.
O uso do logaritmo na situação do exemplo anterior de força entre cargas elétricas pode
levar a um mascaramento do comportamento das grandezas. Por exemplo, tomando-se o
logaritmo de ambos os lados da eq. 15 tem-se uma nova relação matemática correspondente ao
experimento:
ln F = −2 ln r + ln C com C = K q1 q 2 .
A equação anterior tem a forma de equação de uma reta:
Y' = ln F
X' = ln r

Y' = A'+ B' X' onde, agora, 
B' ≈ −2
A' = ln C
Ao se fazer a regressão linear nos novos dados, o parâmetro B' será ajustado por
métodos de mínimos quadrados podendo ser encontrado um valor diferente de −2. Isto é feito
pois, ao buscar o mínimo da soma dos quadrados das diferenças δi (ver eq. 11), o método leva as
flutuações naturais a qualquer processo de coleta de dados, para os parâmetros ajustáveis A' e B'.
Entretanto, sabe-se muito bem que o expoente da distância entre as cargas pontuais na Lei de
Coulomb é 2 (exatamente!) e não tem sentido se querer ajustar esse valor, ou seja, esta não é uma
variável no problema.
É importante chamar a atenção de que o processo de linearização de um gráfico consiste
simplesmente em encontrar as ordenadas e abscissas adequadas de forma que a
relação entre elas seja linear. Em várias situações o uso da função logaritmo pode ser
o processo mais conveniente, mas não é sempre assim.
A escolha da maneira mais conveniente para se fazer a linearização de um gráfico deve
ser orientada no sentido de se obter, de forma mais simples, as constantes procuradas.
15