Começar com o TI-Nspire™
7. Geometria: Segmentos em Círculos
Segmentos em Círculos
ID: 8107
Tempo necessário
45 minutos
Descrição Geral da Actividade
Nesta actividade, os estudantes explorarão as relações entre segmentos especiais em círculos.
Entre os segmentos especiais estão incluídos segmentos de tangentes, segmentos criados
por duas cordas cruzadas e segmentos de secantes. Os estudantes irão guardar dados em
variáveis e utilizar as funções de recolha de dados automática e manual numa folha de cálculo,
escrevendo as fórmulas nas folhas de cálculo para confirmarem as relações entre os
segmentos.
Conceitos
• Tangentes e secantes
• Segmentos de tangentes e segmentos de secantes
• Cordas
Preparação do Professor
Esta actividade foi concebida para ser utilizada numa aula de geometria do ensino secundário.
• Os estudantes já deverão estar familiarizados com as partes de um círculo, incluindo
tangentes e secantes. Se necessário, introduza os termos seguintes: segmento de
tangente, segmento de secante, segmento de secante interno e segmento do secante
externo.
• Relembre os estudantes que as secantes e as tangentes são rectas e como as rectas
são infinitas, estas não podem ser medidas. Os segmentos são porções finitas de
rectas e as distâncias entre os seus extremos podem ser medidas.
• Esta actividade exige um conhecimento básico do TI-Nspire, como desenhar formas e
calcular o comprimento de segmentos.
• Devido à quantidade de memória utilizada para a recolha automática de dados, é
recomendado que os estudantes optem por não guardar este ficheiro quando
terminarem ou que limpem os dados da folha de cálculo antes de o guardar (premindo
duas vezes ENTER nas células das fórmulas nas colunas com os dados).
• Nas figuras das páginas 32-37 são apresentados os resultados esperados dos
estudantes. Consulte as figuras da página 38 para uma visualização prévia do ficheiro
.tns dos estudantes.
Orientação da Turma
• Pretende-se que esta actividade seja essencialmente orientada pelo professor, com
intervalos para um trabalho individual de cada estudante. Utilize as páginas seguintes
para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os estudantes devem
seguir com os seus computadores de mão.
• A ficha de trabalho permite orientar os estudantes através da actividade e que os
estudantes registem as suas respostas.
• A informação para uma extensão da actividade é fornecida no final desta actividade,
tanto na ficha de trabalho dos estudantes como no ficheiro .tns. Se não pretender que
os estudantes realizem essa extensão, pode apagá-la no ficheiro .tns e peça aos
estudantes para ignorarem essa parte na ficha de trabalho.
Aplicações do TI-Nspire™
Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes
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7. Geometria: Segmentos em Círculos
Esta actividade permite aos estudantes descobrir, confirmar e explorar de forma interactiva os
teoremas que descrevem as relações com diferentes segmentos em círculos. Pode ser
necessário ajudar os estudantes a utilizar as diferentes ferramentas do computador de mão;
as instruções são fornecidas neste documento aquando da primeira utilização.
Problema 1 – Cordas e tangentes
Passo 1: Peça aos estudantes para utilizarem a ferramenta
Circle ( ) do menu Shapes, para desenhar um
círculo na página 1.2. A seguir, devem desenhar
duas tangentes (MENU > Points & Lines >
Tangent) à circunferência e alongarem as linhas
até estas se cruzarem. Agora, peça-lhes para
utilizarem a ferramenta Intersection Point(s) ( )
do menu Points & Lines, de forma a marcar o
ponto de intersecção.
Passo 2: Os estudantes devem utilizar a ferramenta
Length ( ) para medirem a distância entre
este ponto de intersecção e os dois pontos de
tangência. (Após seleccionarem a ferramenta,
devem clicar em cada extremidade de um
segmento para calcular o seu comprimento). A
seguir, devem segurar a circunferência e
deslocar o cursor para alterar o seu tamanho.
Devem registar as suas observações na folha
de cálculo. (Os estudantes devem verificar que
os comprimentos dos segmentos das tangentes
permanecem iguais).
Passo 3: Na página 1.3, são desenhadas duas cordas
num círculo. Os seus comprimentos já foram
medidos e guardados como variáveis conforme
indicado.
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7. Geometria: Segmentos em Círculos
Passo 4: Peça aos estudantes para avançarem até à
página 1.4 e configurarem a folha de cálculo
para recolher automaticamente cada
comprimento. Na célula a cinzento da fórmula
da Coluna A, devem seleccionar MENU >
Data > Data Capture > Automated Data Capture
e inserir w como a variável a ser recolhida. (O
“1” após cada variável indica que os dados
estão a ser recolhidos automaticamente, em
vez da forma manual).
Quando solicitado, peça-lhes para seleccionarem
variable reference (em vez de column reference)
para recolherem os valores da variável. Caso
contrário, o dispositivo procurará os valores na
Coluna W.
Repita a recolha para as Colunas B, C e D e
para as variáveis x, y e z, respectivamente.
Os estudantes podem, se assim o pretenderem,
designar cada uma das listas na parte superior
da coluna, como wlist, xlist, etc.
Passo 5: Peça aos estudantes para introduzirem as
fórmulas nas células a cinzento das Colunas
E e F, de forma a calcular o produto dos
comprimentos dos segmentos de cada corda,
ou seja, w · x e y · z. Para calcular o produto do
conteúdo da Coluna A com o valor correspondente na Coluna B, devem inserir =a[]*b[].
(Nota: Se os estudantes designaram as listas,
podem utilizar os nomes das colunas. Por
exemplo, podem escrever =wlist*xlist.)
Insira os parênteses rectos ao premir / + (
(o parêntese esquerdo). O parêntese direito
surgirá automaticamente quando o botão é
premido.
Os estudantes podem alargar uma coluna em
particular ao seleccionar MENU > Actions >
Resize.
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Passo 6: Peça aos estudantes para regressarem à
página 1.3 e alterarem lentamente o tamanho
da circunferência. Os novos comprimentos são
“recolhidos” e registados na folha de cálculo à
medida que isto é efectuado. Devem regressar
à folha de cálculo e observar os dados das
Colunas E e F para efectuarem uma interpretação. (Quando duas cordas se cruzam, os
produtos dos comprimentos dos segmentos de
cada corda são iguais).
Problema 2 – Intersecção de secantes e tangentes
Passo 1: Peça aos estudantes para desenharem um
círculo na página 2.1. A seguir, devem utilizar a
ferramenta Line e ( ) e a ferramenta Tangent
( ) para desenharem uma secante e uma
tangente que se cruzem no exterior do círculo.
Novamente, os estudantes devem traçar o
ponto de intersecção, utilizando a ferramenta
Intersection Point(s). (Todas estas três
ferramentas estão disponíveis no menu
Points & Lines).
Passo 2: Peça aos estudantes para utilizarem novamente
a ferramenta Length para medirem o
comprimento do segmento da tangente e os
segmentos interno e externo da secante.
Devem guardar cada valor como uma variável
(utilizar t para o segmento da tangente, se para
o segmento externo da secante e si para o
segmento interno da secante), efectuando o
seguinte: clicar uma vez num valor para
seleccioná-lo, premir / + h, introduzir o
nome da variável e premir ·. Lembre os
estudantes que devem premir d para retirar a
selecção de cada valor antes de tentarem
guardar qualquer outro.
Peça-lhes para interpretarem a relação entre os
diferentes comprimentos dos segmentos antes
de avançar.
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Passo 3: Peça aos estudantes para configurarem a folha
de cálculo da página 2.2 para recolher manualmente cada comprimento. Para a Coluna A,
devem seleccionar MENU > Data > Data
Capture > Manual Data Capture e inserir t
como a variável a ser recolhida. (Agora surge
um “0” após cada variável, indicando que os
dados serão recolhidos manualmente).
Repita a recolha para as Colunas B, e C e para
as variáveis se e si, respectivamente. Tenha em
atenção que os valores actuais ainda não foram
preenchidos. Estes terão de ser recolhidos
manualmente.
Passo 4: Nas Colunas D e E, peça aos estudantes para
introduzirem as fórmulas para calcular o
quadrado do segmento da tangente e o produto
de todo o segmento da secante pelo segmento
externo da secante. Novamente, os estudantes
podem pretender clicar em Resize para
redimensionarem estas duas colunas.
Passo 5: Ao regressarem à página 2.1, os estudantes
devem premir / + ^ cada vez que
pretenderem recolher valores de dados
específicos. Peça-lhes para premirem uma vez
/ + ^ e observarem a folha de cálculo, de
forma a verificarem se os valores foram
recolhidos. A seguir, devem alterar o tamanho
da circunferência (recolhendo pelo menos cinco
valores diferentes dos dados), consultar os
cálculos utilizando os dados recolhidos
(registados nas Colunas D e E) e registar as
observações na folha de cálculo. Pergunte
porque é que este teorema é muitas vezes
designado por “quadrado exterior = exterior ×
todo.”
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7. Geometria: Segmentos em Círculos
Passo 6: A página 2.3 apresenta um diagrama que mostra
a relação dos comprimentos dos segmentos
com os lados dos rectângulos. Se o tempo o
permitir, peça aos estudantes para observarem
a imagem e arrastarem o círculo, de forma a
discutirem como o teorema está relacionado
com as áreas dos rectângulos.
Ao seleccionar Hide/Show no menu Tools, o
método de criação dos rectângulos será
apresentado, permitindo assim aos estudantes
observarem que a largura do rectângulo inferior
é igual ao comprimento do segmento externo
da secante, enquanto que o rectângulo superior
é na verdade um quadrado. Também podem
deslocar o círculo e observar que a área do
rectângulo é sempre igual à do quadrado.
Passo 7: Na página 2.4, peça aos estudantes para
desenharem um círculo, duas secantes que se
cruzem no exterior do círculo e o seu ponto de
intersecção. Devem clicar em Length para
medirem cada um dos quatro segmentos e
clicar em Store para guardá-los como variáveis.
(Tenha em atenção que não podem utilizar as
variáveis se ou si porque estas já foram utilizadas
no Problema 2. Sugira aos estudantes que
utilizem w, x, y e z.). Preste assistência se
necessário.
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7. Geometria: Segmentos em Círculos
Passo 8: Peça aos estudantes para utilizarem a folha de
cálculo da página 2.5, para provarem que o
produto dos comprimentos do segmento de
secante e do respectivo segmento externo é
igual ao produto dos comprimentos do outro
segmento de secante e do seu segmento
externo. Os estudantes devem recolher (de
forma automática ou manual) os valores de w–z
nas Colunas A–D, respectivamente e
configurarem as fórmulas nas Coluna E e F,
conforme indicado. Preste assistência se
necessário. Indique que este teorema é muitas
vezes referido como “exterior × todo = exterior ×
todo”.
Passo 9: No problema em cima, os estudantes puderam seleccionar os comprimentos a
medir. Em vez do que foi aqui indicado, podem ter calculado os comprimentos dos
dois segmentos externos da secante e os comprimentos dos segmentos maiores.
Conforme no problema anterior, os rectângulos com as dimensões de todo o
segmento da secante pelo segmento externo da secante possuem as mesmas
áreas. Os estudantes que terminarem mais cedo podem tentar desenhar estes
rectângulos.
Problema 3 – Extensão
Na página 3.2, é pedido aos estudantes para desenharem
um círculo, um raio e uma tangente à circunferência, de
forma a que o ponto de tangência seja a intersecção do
raio e da circunferência. Peça-lhes para medirem o
ângulo formado, seleccionando MENU > Measurement >
Angle (pode ser necessário alterar as definições para o
modo Degree (graus): / + c > File > Document
Settings). Os estudantes devem segurar o ponto de
tangência e deslocá-lo na circunferência. Devem observar
que o ângulo permanece sempre um ângulo recto.
A seguir, peça aos estudantes para desenharem uma perpendicular ao raio, utilizando a
ferramenta Perpendicular ( ) do menu Construction. Devem traçar os pontos de intersecção
desta recta com a circunferência e, em seguida, medir os comprimentos de cada segmento da
corda formada. Os estudantes devem verificar que os comprimentos são iguais, mesmo se a
recta perpendicular for deslocada ao longo do comprimento do raio!
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7. Geometria: Segmentos em Círculos
Segmentos em Círculos – ID: 8107
(Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Geometria – Segmentos em Círculos.tns
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Segmentos em Círculos
ID: 8107
Nome
Turma
Nesta actividade, poderá explorar:
•
as relações entre os segmentos de cordas
cruzadas e os segmentos de tangentes
desenhados a partir do mesmo ponto exterior
•
as relações entre segmentos de secantes e
segmentos de tangentes
Abra o ficheiro Geometria – Segmentos em
Círculos.tns no TI-Nspire e siga as instruções do
professor através da actividade. Utilize este documento
como referência e para registar as suas respostas.
Problema 1 – Cordas e Tangentes
Abra a página 1.2 e desenhe um círculo utilizando a ferramenta Circle do menu Shapes. Siga
as instruções do professor para desenhar duas tangentes à circunferência que se cruzem no
exterior da mesma, traçar o ponto de intersecção e medir o comprimento de cada segmento
das tangentes. Segure e arraste a circunferência para alterar o seu tamanho e observe o que
acontece ao comprimento das tangentes.
•
Interprete os comprimentos dos dois segmentos das tangentes a uma circunferência com
o mesmo ponto exterior.
Ouça o professor para saber como utilizar as células das fórmulas a cinzento na folha de
cálculo, de forma a recolher os dados automaticamente e escrever/calcular as fórmulas.
•
Discuta a relação após recolher os dados.
Problema 2 – Cruzar Secantes e Tangentes
Desenhe um círculo na página 2.1. A seguir, desenhe
uma secante e uma tangente à circunferência de forma
a cruzarem-se no exterior do círculo. Calcule o
comprimento do seguinte:
•
segmento da tangente ________
•
segmento externo da secante ________
•
segmento interno da secante ________
•
Discuta a relação entre estes segmentos.
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•
Complete a frase seguinte:
Quando uma tangente e uma secante se cruzam no exterior do círculo, _____________
______________________________________________________________________.
•
Porque é que acha que este teorema é muitas vezes designado por “quadrado exterior =
exterior × todo”?
Na página 2.4, desenhe um círculo e duas secantes que se cruzem no exterior do círculo.
Meça o comprimento de cada um dos quatros segmentos das secantes. Siga as instruções do
professor para guardar os comprimentos como variáveis, recolher os dados e escrever/calcular
fórmulas.
•
Complete a frase seguinte:
Quando duas secantes se cruzam no exterior do círculo, _________________________
_______________________________________________________________________.
•
Porque é que acha que este teorema é muitas vezes designado por “exterior × todo =
exterior × todo”?
Problema 3 – Extensão
Trace um círculo, o raio e uma tangente à circunferência, de forma a que o ponto de tangência
seja a intersecção do raio e da circunferência. Calcule a medida do ângulo formado. (Deve
alterar as definições para o modo Degree (graus). Se necessário, peça assistência ao professor).
•
Segure o ponto de tangência e desloque-o na circunferência. O que observa?
Agora, desenhe uma perpendicular ao raio. Trace os pontos de intersecção desta recta com a
circunferência. Meça os comprimentos de cada segmento da corda.
•
Segure e arraste a perpendicular ao longo do comprimento do raio. O que observa?
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