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m
m
Nome:
N.º: ______ Turma: ______
9.º Ano
Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI)
Tema: Circunferência e Polígonos . Rotações
1. Na figura está representado um decágono regular
[ ABCDEFGHIJ ] ,
inscrito numa circunferência de centro O.
Os segmentos de recta
[ ID ] e [ HC ] são diâmetros desta circunferência.
1.1. Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma
posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que
ponto se trata?
1.2. Ao observar a figura, a Rita afirmou:
«A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.»
Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá
ter chegado a esta conclusão?
Justifica a tua resposta.
a
t
r
/p o
h
t
a
lm
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
1.3. Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na
circunferência desenhada ao lado, um triângulo
equilátero. O ponto que está marcado no interior da
circunferência é o seu centro.
/
:
p
h tt
Não apagues as linhas auxiliares que traçares para
construíres o triângulo.
(EN 2005 – 1.ª Chamada)
2. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos
perpendiculares), um triângulo
O segmento de reta
Sabe-se que
[ ABC ] .
[ BC ] é perpendicular ao eixo dos
xx .
AB = 20 , AC = 5 e BC = 5 .
r
o
.w
2.1. Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do
perímetro do triângulo
[ ABC ] , a menos de 0,1.
h
t
a
lm
Valor aproximado por defeito ___________
a
t
r
/p o
valor aproximado por excesso ___________
2.2. A imagem do segmento de recta
/
:
p
tt
s
e
r
dp
[ BC ] obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90° é um
segmento de reta ...
(A) paralelo ao eixo dos
h
xx
m
o
s .c
(B) paralelo ao eixo dos
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
yy
(C) perpendicular a
[ AB ]
(D) perpendicular a
[ AC ]
(EN 2005 – 2.ª Chamada)
1/7
m
m
m
3. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
• A, B e C são pontos da circunferência;
• o segmento de reta AC é um diâmetro;
•
? = 30º .
OAB
3.1. Qual é a amplitude do arco AB (em graus)?
r
o
.w
s
e
r
dp
3.2. Considera uma reta tangente à circunferência no ponto A.
Seja D um ponto pertencente a essa reta.
Sabendo que o ângulo BAD é agudo, determina a sua amplitude (em graus).
Justifica a tua resposta.
a
t
r
/p o
h
t
a
lm
4. Na figura, está representado um octógono regular
/
:
p
h tt
m
o
s .c
(EN 2005 – 2.ª Chamada)
[ ABCDEFGH ] ,
inscrito numa circunferência de centro O.
Ao observar a figura, e sem efectuar medições, a Ana afirmou:
«O quadrilátero
[ BDFH ] é um quadrado.»
Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão?
Justifica a tua resposta.
(EN 2005 – 2.ª Chamada)
s
e
r
dp
m
o
s .c
5. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a
localização dos lavabos.
As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo.
Em cada uma delas, está desenhada uma reta r .
Em qual delas a reta r é um eixo de simetria?
(A)
(B)
(C)
(D)
h
/
:
p
tt
a
t
r
/p o
h
t
a
lm
r
o
.w
(EN 2006 – 1.ª Chamada)
6. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos.
Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos.
Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no
ponto O, de amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
a
lm
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
(EN 2006 – 2.ª Chamada)
7. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
• A, B, C e D são pontos da circunferência;
a
t
r
/p o
? = 50º ;
DAB
? = 60º .
• DOC
•
/
:
p
h tt
Qual é, em graus, a amplitude do arco CB ?
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
(EN 2006 – 2.ª Chamada)
2/7
m
m
m
8. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
• A, B, C e D são pontos da circunferência;
• o segmento de reta
[ BD ] é um diâmetro;
• E é o ponto de interseção das retas BD e AC;
• o triângulo
•
[ ADE ] é retângulo em E ;
? = 30º .
CAD
h
t
a
lm
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
8.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a traço mais grosso)?
8.2. Sabendo que AD = 5 , determina ED .
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
a
t
r
/p o
8.3. Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.
h
/
:
p
tt
«Os triângulos
[ ADE ] e [CDE ]
são geometricamente iguais.»
(EN 2007 – 1.ª Chamada)
9. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco AB tem 180° de amplitude.
Justifica a seguinte afirmação:
«O triângulo
[ ABC ]
não é equilátero.»
(EN 2007 – 2.ª Chamada)
10. Na figura está desenhado um pentágono regular
[ ABCDE ] .
Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do
pentágono
[ ABCDE ]
amplitude 180°?
(A)
(B)
/
:
p
h tt
s
e
r
dp
obtida por meio de uma rotação de centro no ponto
a
t
r
/p o
r
o
.w
(C)
h
t
a
lm
[ PQRST ] .
(D)
(TI 9Ano – Maio 2008)
11. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro
que está inscrito um pentágono regular
A e
O, em
11.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ ?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
11.2. Sabe-se que:
• a circunferência tem raio 5;
• o triângulo
[ SOR ] tem área 12.
r
o
.w
s
e
r
dp
Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura.
Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas.
h
t
a
lm
m
o
s .c
m
o
s .c
(TI 9Ano – Maio 2008)
12. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e
diâmetro [AB].
O ponto C pertence à circunferência.
Determina a amplitude, em graus, do ângulo α .
Apresenta os cálculos que efetuares.
h
/
:
p
tt
a
t
r
/p o
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
(EN 2008 – 2.ª Chamada)
3/7
m
m
m
13. Na figura 3 está representada uma circunferência.
Sabe-se que:
• [AC] é um diâmetro de comprimento 15.
• B é um ponto da circunferência.
•
AB = 12 .
13.1. Justifica que o triângulo [ABC] é retângulo em
B.
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
Fig.3
13.2. Calcula a área da região sombreada da figura 3.
Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.
h
t
a
m
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
l
a
t
or
(TI 9Ano – Maio 2009)
14. A figura 4 apresenta um pormenor arquitectónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra.
?
Na figura 5, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitetónico e o vetor v .
h
p
/
/
:
ttp
s
e
r
dp
m
o
s .c
Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 5 e a imagem dessa figura através da translação
?
associada ao vector v ?
(A)
(B)
/
:
p
tt
a
t
r
/p o
15. A figura ao lado
h
r
o
.w
(C)
h
t
a
lm
(D)
(TI 9Ano – Maio 2009)
[ABCDEFGH] é um octógono regular inscrito na
circunferência de centro O.
Qual é a imagem do triângulo
[AOB] obtida por meio da rotação de centro no
ponto O e de amplitude 135º, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio?
(A)
[COD]
(B)
[EOD]
(C)
[HOG]
(D)
[GOF]
(EN 2009 – 1.ª Chamada)
16. Na figura ao lado, sabe-se que:
• O é o centro da circunferência;
• [AB] e [BC] são cordas geometricamente iguais;
h
t
a
lm
r
o
.w
• D é o ponto de interseção do diâmetro [EB] com a corda [AC].
a
t
r
/p o
Nota: A figura não está construída à escala.
16.1. Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que
/
:
p
h tt
s
e
r
dp
m
o
s .c
ˆ = 28º ?
ABC
16.2. Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que
AO = 6,8 cm e AC = 6, 4 cm .
Apresenta os cálculos que efetuares.
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
(EN 2009 – 1.ª Chamada)
4/7
m
m
m
17. Na figura ao lado, sabe-se que:
• o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC];
• [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais;
• o ponto O é o centro do círculo;
•
OC = 2 m .
17.1. Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB.
h
t
a
lm
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
17.2. De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não
completa corretamente a afirmação que se segue.
a
t
r
/p o
O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma:
(A) rotação de centro no ponto O e amplitude 180º.
(C) simetria axial de eixo AC.
/
:
p
h tt
(B) rotação de centro no ponto O e amplitude – 180º.
(D) simetria axial de eixo DB.
17.3. Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG].
Apresenta os cálculos que efetuares.
18. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual
está inscrito um hexágono regular [ABCDEF].
18.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC ?
18.2. Relativamente à figura, sabe-se ainda que:
• a circunferência tem raio 4;
• o triângulo [DOC] tem área
4 3.
h
t
a
lm
r
o
.w
EN 2009 – 2.ª Chamada)
s
e
r
dp
m
o
s .c
Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades.
Apresenta os cálculos que efetuaste.
a
t
r
/p o
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.
/
:
p
h tt
18.3. Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 240º (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).
(TI 9Ano - Maio 2010)
Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação?
19. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na
qual está inscrito um retângulo [ABCD].
A figura não está desenhada à escala.
Sabe-se que:
ˆ = 70º
• BDA
•
AB = 4,35 cm .
19.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB?
h
t
a
lm
r
o
.w
19.2. Quantos eixos de simetria tem o retângulo [ABCD]?
s
e
r
dp
m
o
s .c
19.3. Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência?
a
t
r
/p o
Apresenta os cálculos que efetuaste.
Escreve o resultado arredondado às centésimas.
/
:
p
h tt
Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
(EN 2010 – 1.ª Chamada)
5/7
m
m
m
20. Relativamente à figura, sabe-se que:
• [ACEG] é um quadrado de lado 4 e centro O;
• os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados do
quadrado [ACEG];
• os vértices do quadrado [ACEG] são os centros das
circunferências representadas na figura;
• o raio de cada uma das circunferências é 2 ;
h
t
a
lm
r
o
.w
• o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto A;
• o ponto A pertence ao segmento de reta [IO].
a
t
r
/p o
s
e
r
dp
m
o
s .c
20.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH ?
20.2. Determina a área da região sombreada.
Apresenta os cálculos que efetuaste.
Escreve o resultado arredondado às décimas.
/
:
p
h tt
Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
20.3. Determina o comprimento de [IO].
Apresenta os cálculos que efetuaste.
Escreve o resultado arredondado às décimas.
Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
(EN 2010 – 2.ª Chamada)
s
e
r
dp
21. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O.
Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência.
Sabe-se que:
• a circunferência tem raio 8
• BA = BC
h
t
a
lm
• [PR] é um diâmetro da circunferência;
a
t
r
/p o
r
o
.w
m
o
s .c
• o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [BA] e [PR]
• o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [BC] e [PR]
/
:
p
h tt
ˆ = 36°
• ABO
21.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB ?
21.2. Determina a área da região representada a sombreado.
Apresenta o resultado arredondado às unidades.
Apresenta os cálculos que efetuares.
Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.
(TI 9Ano - Maio 2011)
22. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na
qual está inscrito um quadrado [ABCD].
A figura não está desenhada à escala.
22.1. Quantos eixos de simetria tem o quadrado [ABCD] ?
Transcreve a letra da opção correta.
(B) 6
(A) 8
(C) 4
(D) 0
22.2. Admite que AB = 6 .
Determina o perímetro da circunferência.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.
(TI 9Ano - Maio 2011)
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
6/7
m
23. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O.
Sabe-se que:
? os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência;
? [AD] é um diâmetro da circunferência;
? o ponto P é o ponto de interseção dos segmentos de reta [AC] e [BD].
ˆ = 40° .
? CAD
A figura não está desenhada à escala.
23.1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Transcreve a letra da opção correta.
(A) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AP]
a
t
r
/p o
(B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC]
(C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [BC]
/
:
p
h tt
(D) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [AP]
23.2. Qual é a amplitude, em graus, do arco AC ?
Mostra como chegaste à tua resposta.
23.3. Relativamente ao triângulo [AED], admite que:
?
AE = 6,8 cm
? DE = 3, 2 cm
Determina o perímetro da circunferência representada na figura.
Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.
Apresenta os cálculos que efetuares.
m
m
h
t
a
lm
r
o
.w
s
e
r
dp
m
o
s .c
re s
m
o
s .c
Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.
24. Na figura ao lado, está representada uma circunferência.
A figura não está representada à escala.
Sabe-se que:
.
h
t
ma
? os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência;
p
d
r
wo
(EN 2011 – 1.ª Chamada)
P é o ponto de interseção das cordas [AC] e [BD];
? a amplitude do arco BC é 80º;
? a amplitude do ângulo DPC é 85º.
? o ponto
p
/
/
:
ttp
l
a
t
or
24.1. Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA.
Apresenta os cálculos que efetuares.
h
24.2. Os triângulos [ABP] e [DCP] são semelhantes.
Admite que:
?
DP = 2 AP ;
[ABP] é 6 cm2.
2
Qual é a área, em cm , do triângulo [DCP]? Transcreve a letra da opção correta.
? a área do triângulo
(A) 12
(B) 18
(C) 24
(D) 30
(EN 2011 – 2.ª Chamada)
Bom trabalho!
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
7/7
SOLUÇÕES
9.º Ano
Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI)
Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações
1.1. Ponto G; 1.2. Porque os dois ângulos estão inscritos no mesmo arco
de circunferência.
1.3. ver construção geométrica ao lado.
2.1. valor aproximado por defeito: 14,4;
valor aproximado por excesso: 14,5;
2.2. (A);
3.1. A amplitude do arco AB é 120 graus;
3.2. A amplitude do ângulo BAD é 60 graus. Na justificação deve estar implícito o conhecimento de que uma recta
tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.
4. Os quatro lados do quadrilátero são iguais, porque a arcos iguais correspondem cordas iguais e cada um dos
seus ângulos é recto, pois cada um destes ângulos está inscrito num arco de circunferência cuja amplitude é 180
graus.
5. (B); 6. (B); 7. A amplitude do arco CB é 40 graus;
8.1. 60º (a amplitude do arco é o dobro da amplitude do ângulo inscrito);
8.2.
ED = 2,5 . Nota: sen 30º =
ED
⇔ ED = 5sen 30º ⇔ ED = 2, 5
5
8.3. A recta BD é um eixo de simetria. O ângulo AED tem de amplitude 90º . A imagem do ponto A é o ponto C e
os pontos E e D são imagens de si próprios. Uma simetria em relação a uma recta transforma uma figura noutra
geometricamente igual, logo os triângulos
[ ADE ] e [CDE ]
são geometricamente iguais.
9. O ângulo ACB está inscrito no arco AB, logo é um ângulo inscrito numa semicircunferência e como tal tem 90º
de amplitude. O triângulo ABC não pode ser equilátero, pois todos os ângulos internos de qualquer triângulo
equilátero têm uma amplitude de 60º . Nota: Um triângulo rectângulo nunca pode ser equilátero, a hipotenusa é
sempre o lado maior do triângulo.
10. (C)
11.1. Aplicando a fórmula que nos dá a amplitude de um polígono regular com n lados podemos concluir que
180 × 3
ˆ = 108º . OU Tendo em conta que o ângulo TPQ é um ângulo inscrito no arco maior
= 108º , logo TPQ
5
TQ, cuja amplitude é 216º, porque 360º ÷5 = 72º e 72º ×3 = 216º , a sua amplitude será metade deste valor, ou
ˆ = 108º .
seja, TPQ
11.2.
Asombreada = A⊙ − Apentágono = A⊙ − 5 × A∆ = 25π − 60 ≃ 18, 5
Cálculo Auxiliares:
A⊙ = π × 52 = 25π
e
Apentágono = 5 × A△ = 5 × 12 = 60
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
1/3
ˆ = 180º −60º = 120º ; 180º −120º = 60º = OAC
ˆ + OCA
ˆ , como o triângulo [AOC] é
α = 30º . Nota: AOC
? = 60º , uma vez que se
ˆ = OAC
ˆ = 60º ÷2 = 30º , ou seja, α = 30º . OU Tendo em conta que CB
isósceles ACO
12.
trata do arco correspondente ao ângulo ao centro COB, podemos concluir que o ângulo inscrito BAC vai ter uma
amplitude de 30º (metade de 60º). Dado que o triângulo [AOC] é isósceles, a lados iguais opõem-se ângulos
ˆ = ACO
ˆ = α = 30º .
BAC
iguais, ou seja,
13.1. Trata-se de um ângulo inscrito numa semicircunferência.
13.2.
Asombreada = A⊙ − A∆ = 56, 25π − 54 ≃ 123
Cálculo Auxiliares:
A⊙ = π × 7, 52 = 56, 25π
Para determinar a base do triângulo,
Pitágoras: AB
2
2
A△ =
e
9 × 12
= 54
2
BC , usamos o Teorema de
2
2
2
2
+ BC = AC ⇔ 122 + BC = 152 ⇔ BC = 225 − 144 ⇔ BC = 81 ⇔ BC = ± 81 ⇔ BC = ±9
, como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo
14. (A);
15. (D);
circunferência) e
?
AC = 56º ;
16.1.
BC = 9 .
DE = 0,8 . Nota: DE = OE − OD ; OE = AO = 6,8 (raio da
16.2.
OD pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, uma vez que o triângulo [AOD] é
2
2
2
2
rectângulo. Sendo assim OD + AD = AO ⇔ OD + 3, 2 = 6,8 ⇔ (...) ⇔ OD = ±6 , como se trata de um
comprimento não pode ser negativo logo
17.1.
2
2
OD = 6 . Deste modo DE = OE − OD = 6,8 − 6 = 0,8 .
ˆ = 45º (ângulo inscrito num quarto de circunferência). 17.2. (D); 17.3.
ACB
Pitágora podes concluir que
2
2
2
OG + GB = OB ⇔ x 2 + x 2 = 2 2 ⇔ 2 x 2 = 4 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2 , como se
trata de um comprimento não pode ser negativo logo
ˆ = 60º ; 18.2.
18.1. DOC
Cálculo Auxiliares:
18.3. F;
19.1.
x = OG = 2 .
Asombreada = A⊙ − Ahexágono = 16π − 24 3 ≃ 9
A⊙ = π × 42 = 16π
?
AB = 140º ;
e
Ahexágono = 6 × A△ = 6 × 4 3 = 24 3
19.3. sen 70° =
19.2. 2 ;
4,35
4, 35
⇔ BD =
⇔ BD ≃ 4, 63cm
sen 70º
BD
20.1.
ˆ = 45º (ângulo inscrito num quarto de circunferência).
BIH
20.2.
ASombreada = A□ − 4 × A1 = A□ − A⊙ = 16 − 4π ≃ 3, 4
4
Cálculo Auxiliares:
2 . Nota: Pelo Teorema de
⊙
A□ = 4 × 4 = 16 e A⊙ = π × 22 = 4π .
20.2. IO = IA + AO ⇔ IO = 2 + 8 ⇔ IO ≃ 4,8 . Nota: Usando o Teorema de Pitágoras podes concluir
que AO = 8 , uma vez que
[ AO ]
é a hipotenusa do triângulo
[ AHO ]
e AH = HO = 2 (raio da
circunferência).
21.1.
21.2.
108º . Nota: ?
AB = 180º −72º = 108º .
ASombreada = ASemicírculo − A△[QBS ] = 32π − 64 tan 36º ≃ 54 . Nota: A⊙ = π × 82 = 64π , logo ASemicírculo = 32π ;
tan 36º =
8 tan 36º ×8
OQ
OQ × OB
⇔ OQ = 8 tan 36º ; A△[QBS ] = 2 × A△[QOB ] = 2 ×
= 2×
= 64 tan 36º ;
8
2
2
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
2/3
P⊙ = 2π r = 2 × π ×
22.1. (C); 22.2.
72
= 72 π ≃ 26, 7 . Nota: pelo Teorema de Pitágoras podemos
2
2
2
2
como se trata de um comprimento, não pode ser negativo logo
circunferência é
23.1. (B); 23.2.
23.3.
2
2
AC = AB + BC ⇔ AC = 62 + 62 ⇔ AC = 72 ⇔ AC = ± 72 ,
determinar o diâmetro da circunferência.
AC = 72 , ou seja, o valor exato do raio desta
72
.
2
100º . Nota: ?
AC = 180º −80º = 100º .
P⊙ = 2π r = π × d = π × AD = π × 7,52 ≃ 23, 6 cm . Nota: O triângulo [AED] é retângulo em E porque o
ângulo AED é um ângulo inscrito numa semicircunferência. O valor de
2
AD pode ser determinado pelo Teorema
2
de Pitágoras. AD = 6,82 + 3, 2 2 ⇔ AD = 56, 48 ⇔ AD = ± 56, 48 ⇔ AD ≃ ±7, 52 , como se trata de um
comprimento AD ≃ 7, 52 .
ˆ = 55° . Nota:
24.1. DBA
amplitude igual a 80º).
ˆ = 40° (ângulo inscrito num arco de
ˆ = 85° (ângulos verticalmente opostos) e CAB
DPB
24.2. (C). Nota: a razão de semelhança desta ampliação é 2, como a razão entre as áreas de figuras semelhantes
é igual à razão de semelhança ao quadrado temos
A△[ DCP ]
A△[ DCP ]
Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações
= r2 ⇔
A△[ DCP ]
6
= 22 ⇔ A△[ DCP ] = 24 .
3/3