NOTAS DE AULA - GEOMETRIA ANALÍTICA
CÔNICAS E POLARES
ERON E ISABEL
SALVADOR – BA
2007
Conteúdo destas notas
Cônicas
Translação dos eixos coordenados
Rotação dos eixos coordenados
Parábola
Elipse
Hipérbole
Equação geral das cônicas
Lista de Exercícios
Coordenadas Polares
Equações polares equivalentes
Equação polar versus equação cartesiana
Reta e circunferência
Gráficos de curvas em coordenadas polares
Lista de exercícios
Referências bibliográficas
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL
2
y′
y
TRANSLAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS. Translação é a
operação de mover os eixos coordenados no plano
coordenado para uma posição diferente, de forma que os
novos eixos sejam paralelos aos antigos e semelhantemente
orientados.
k
Veja um exemplo na figura ao lado, exibindo um círculo
com centro transladado (deslocado) para o ponto O′ .
x′
O′
h
O
x
Podemos obter uma relação entre os eixos coordenados xOy e x′O′y′ . Observando a figura, vemos
que, para um dado ponto P ( x, y ) (em coordenadas x e y ) podemos escrever
y
 x = x′ + h
 x′ = x − h
⇒ 

 y = y′ + k
 y′ = y − k
y′
P( x, y)
O′
x′
y
k
chamadas equações de translação.
h
O
x
x
Exemplos:
1 – Por meio de translação, escreva as coordenadas do
ponto P(−2,5) em relação à nova origem O′(3, −1) .
6
P
5
4
3
e P(−2, 5) ⇒ x = −2 e y = 5 .
 x = x′ + h
Utilizando as equações de translação 
.
 y = y′ + k
 −2 = x ′ + 3
 x′ = −5
Temos 
⇒ 
.
5 = y′ − 1
 y′ = 6
Portanto, P(−5, 6) são as coordenadas do ponto P em
relação ao sistema x′O′y′ .
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
y′
7 y
Solução. Queremos escrever as coordenadas do ponto
P em relação a um novo sistema de coordenadas
x′O′y′ . Como
O′(h, k ) = O′(3, −1) ⇒ h = 3 e k = −1
2
1
−4
−3
−2
−1
O
−1
−2
x
1
2
3
4
O′
5
x′
−3
−4
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3
2 – Por meio de uma translação dos eixos
x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 para a nova origem O′(−1, 3) .
coordenados,
transforme
y′
Solução. Utilizando as equações de translação
 x = x′ + h
 x = x′ − 1
. Temos 
. Substituindo na equação

 y = y′ + k
 y = y′ + 3
da curva, teremos
6
a
equação
y
5
4
( x′ − 1)2 + ( y′ + 3)2 + 2 ( x′ − 1) − 6 ( y′ + 3) + 6 = 0
2
2
Assim, ( x′ ) + ( y′ ) = 4 , circunferência de raio 2 e centro
O′
3
x′
2
1
na origem O’.
x
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
−1
−2
3 – Calcule as coordenadas da nova origem O’(h,k) à qual se deve transladar os eixos para que na
equação da circunferência x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 desapareçam os termos do 1º grau.
 x = x′ + h
Solução. Substituindo as equações de translação 
na equação dada, temos:
 y = y′ + k
( x '+ h) 2 + ( y '+ k )2 − 4( x '+ h) + 2( y '+ k ) − 4 = 0
( x ')2 + ( y ')2 + ( 2h − 4 ) x '+ ( 2k + 2 ) y '+ h 2 + k 2 − 4h + 2k − 4 = 0
2h − 4 = 0 h = 2
Desejamos que 
⇒
, de modo que O’(2, – 1) é a nova origem à qual os eixos
2k + 2 = 0 k = −1
serão transladados. Substituindo os valores de h e k, temos a nova equação:
( x ')2 + ( y ')2 + 22 + (−1)2 − 4 ⋅ 2 + 2(−1) − 4 = 0
⇒ ( x ' ) + ( y ' ) = 9 , circunferência de raio 3 e centro
2
2
no ponto O’(2, – 1)
Outro método prático de se obter esta equação e a nova origem é “completar os quadrados” da
equação dada, como segue:
(
) (
)
(
)
(
)
x2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 ⇒ x2 − 4 x + y2 + 2 y − 4 = 0 ⇒ x2 − 4 x + 4 − 4 + y2 + 2 y + 1 − 1 − 4 = 0
( x − 2 )2 + ( y + 1)2 − 9 = 0 ⇒ ( x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 9
 x ' = x − 2 h = 2
2
2
Neste caso, 
⇒
e assim, ( x ') + ( y ') = 9 .
 y ' = y + 1 k = −1
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4
y
ROTAÇÃO
DOS
EIXOS
COORDENADOS.
Considere o sistema xOy e suponha que
queremos “girar” de um ângulo θ .
P
y
A partir da figura ao lado, temos as seguintes
relações
x′

cos β = r
 x′ = r cos β
⇒ 

 y′ = rsenβ
senβ = y′

r
r
y′
(I )
θ
( II )
x

cos(θ + β ) = r
 x = r cos(θ + β )
⇒ 

 y = rsen(θ + β )
sen(θ +β ) = y

r
x′
β
O′ ≡ O
x
x
( III )
( IV )
Lembrando que: cos(θ + β ) = cos θ cos β − senθ senβ
sen(θ + β ) = senθ cos β + senβ cos θ
Da equação (III) temos que: x = x′ cos θ − y′senθ
Da equação (IV) temos que: y = x′senθ + y′ cos θ
Assim, após uma rotação de um ângulo θ (positivo, a partir do eixo x no sentido anti-horário)
temos as equações que relacionam qualquer ponto P ( x, y ) de coordenadas no sistema xOy com
suas coordenadas no sistema x′O′y′ . Chamadas equações de rotação:
 x = x′ cos θ − y′senθ

 y = x′senθ + y′ cos θ
 x′ = x cos θ + ysenθ
ou, equivalentemente, 
 y′ = − xsenθ + y cos θ
Podemos escrever estas equações na forma matricial.
Exemplos
1 – Determinar as coordenadas do ponto P′(0, 3) em relação ao sistema de coordenadas xOy
rotacionado de um ângulo de 60º.
y
Solução. Observe que P′(0, 3) tem coordenadas x′ = 0
e y′ = 3 . Assim,
 x = x′ cos θ − y′senθ

 y = x′senθ + y′ cos θ
 x = 0 cos(60o ) − 3sen(60o )
⇒ 
o
o
 y = 0sen(60 ) + 3cos(60 )
−3 3
3
e y=
são as coordenadas do
2
2
ponto P′ em relação ao sistema xOy .
Portanto, x =
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x′
y′
P′
3
2
60o
−3 3
2
O′ ≡ O
ERON E ISABEL
x
5
2 – Transforme a equação dada em outra por meio uma rotação do ângulo indicado:
2 x + 5 y − 3 = 0


5 .
θ = arctg  2 
 

5
5
5
Solução. θ = arctg   ⇒ tgθ = . Assim, senθ = cos θ . Como sen 2θ + cos 2 θ = 1 , temos que
2
2
2
2
5
cos θ =
e, portanto, senθ =
. Logo,
29
29
y
2
5

x = x′
− y′
 x = x′ cos θ − y′senθ
29
29

x′
⇒ 

′
′
θ
θ
sen
cos
5
2
y
=
x
+
y

 y = x′
+ y′

29
29
y′
Substituindo na equação dada nos dá:
29 x′ = 3
(reta vertical paralela ao eixo y′ ).
2 x + 5 y − 3 = 0 (em xOy ) equivale a
x
29 x′ = 3 (em x′O′y′)
3 – Transforme a equação dada em outra desprovida do termo misto x′y′ : x 2 − 2 xy + y 2 − 4 = 0 .
 x = x′ cos θ − y′senθ
Solução. Sabemos que 
, substituindo na equação dada temos
 y = x′senθ + y′ cos θ
xy = ( x′ cos θ − y′senθ )( x′senθ + y′ cos θ ) , o que implica em
(
)
xy = ( x′)2 cos θ senθ + x′y′ cos 2 θ − sen 2θ − ( y′) 2 cos θ sen 2θ
Para que o termo misto x′y′ seja eliminado é necessário que
cos 2 θ = sen 2θ ⇒ cos θ = senθ ⇒ θ =

x =


y =

2
x′ −
2
2
x′ +
2
2
y′
2
2
y′
2
π
4
. Daí,
y
y′ = 2
x′
y′
y′ = − 2
que, por sua vez, nos fornece x − y = − 2 y′ (1) .
Como x 2 − 2 xy + y 2 − 4 = 0 ⇒
( x − y )2 = 4
(
substituindo (1) em (2), temos − 2 y′
)
2
45o
x
(2),
= 4 e então
y′ = ± 2 , o que representa duas retas paralelas ao eixo
x′ (eixo x rotacionado de 45º).
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6
Eliminação, por meio de uma rotação, do termo misto de 2º. grau. Vejamos como transformar a
equação
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(*)
em outra equação desprovida de termo misto x ' y ' . Isto consiste em determinar o ângulo de rotação
tal que a equação (*) seja transformada, após uma rotação, em uma equação do tipo
A '( x ')2 + C '( y ') 2 + D ' x '+ E ' y '+ F ' = 0 .
 x = x′ cos θ − y′senθ
Para vermos isto, considere a rotação 
aplicada sobre (*), teremos então uma
 y = x′senθ + y′ cos θ
equação do tipo A '( x ')2 + B ' x ' y '+ C '( y ')2 + D ' x '+ E ' y '+ F ' = 0 , onde
B
A ' = A cos 2 θ + sen(2θ ) + Csen 2θ
B ' = (C − A)sen(2θ ) + B cos(2θ )
2
B
C ' = A sen 2 θ − sen(2θ ) + C cos 2 θ
D ' = D cos θ + E sen θ
2
E ' = E cos θ − D sen θ
F'= F
Como o objetivo é eliminar o termo x ' y ' , devemos ter B ' = 0 , ou seja,
(C − A)sen(2θ ) + B cos(2θ ) = 0
B
tg(2θ ) =
(condição para obter θ ).
A−C
Observações:
1) Note que se B = 0 então tg(2θ ) = 0 , daí, 2θ = 0 + k
 π
θ ∈ 0,  , teremos θ = 0 e não haverá rotação.
 2
π
2
. Como estamos considerando
2) Se A = C e B ≠ 0 temos que tg(2θ ) não está definida. Assim, 2θ =
nos dá θ =
π
π
2
+k
π
2
, k ∈ , o que
.
4
3) A rotação não afeta o valor do termo independente da equação.
Exemplo – Dada a equação 17 x 2 + 12 xy + 8 y 2 − 100 = 0 , determine cos θ e sen θ para que x ' y '
não exista.
B
12
4
Solução. Observe que A = 17 , B = 12 , C = 8 . Logo, tg(2θ ) =
⇒ tg(2θ ) =
= .
A−C
17 − 8 3
4
Portanto, podemos escrever: sen(2θ ) = cos(2θ ) (1). Substituindo (1) na relação fundamental da
3
4
3
trigonometria: sen 2 (2θ ) + cos 2 (2θ ) = 1 , temos sen(2θ ) =
e cos(2θ ) = . Sabemos que
5
5
2 5
5
cos(2θ ) = cos 2 θ − sen 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 . Assim, cos θ =
. E, por sua vez, sen θ =
.
5
5
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7
CÔNICAS. Uma seção cônica, ou simplesmente, uma cônica é uma curva obtida interceptando-se um
cone (de duas folhas) por um plano que não passa pelo vértice, chamado plano secante.
•
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola.
•
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a
cônica é uma elipse.
•
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é
uma hipérbole.
Parábola
Elipse
Hipérbole
P
PARÁBOLA. Seja F um ponto fixo e d uma reta fixa em
um mesmo plano α com F ∉ d . Ao conjunto de todos os
pontos eqüidistantes de F e d dá-se o nome de parábola.
F (foco)
Podemos escrever do seguinte modo,
P = {P ∈ α ; d ( P, F ) = d ( P, d )} .
d
(reta diretriz)
Elementos principais da parábola
•
Foco ( F ): ponto fixo
•
Reta diretriz ( d ): reta fixa
•
Eixo focal ( e. f . ): reta perpendicular à reta diretriz passando pelo foco.
•
Vértice ( V ): intersecção do eixo focal com a parábola (ponto médio entre F e d ).
•
Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da parábola.
•
Corda focal: corda que passa pelo foco.
•
Raio focal: segmento de reta ligando um ponto da parábola com o foco.
•
Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal.
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Lactus Rectum
← corda focal
eixo focal
V
vértice
F foco
corda
d reta diretriz
Equações da parábola
1) Considere uma parábola com vértice em V (0, 0) ; eixo
focal coincidindo com o eixo y e concavidade voltada
para cima. Seja P ( x, y ) um ponto qualquer desta parábola
e considere d ( F , d ) = 2 p . Temos então que:
y
Equação da parábola P : x 2 = 4 py
Coordenadas do foco F (0, p )
Equação do eixo focal e. f .: x = 0
Equação da diretriz: d : y = − p
p
p>0
LR
F


V
p

x
d
Medida do lactus rectum: LR = 4 p
Observação. Nas mesmas hipóteses de 1), se p < 0 , a concavidade estará voltada para baixo.
Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar.
y
2) Uma parábola com vértice em V (0, 0) ; eixo focal
coincidindo com o eixo x e concavidade voltada para
direita. Teremos:
Equação da parábola P : y 2 = 4 px
Coordenadas do foco F ( p, 0)
Equação do eixo focal e. f .: y = 0
Equação da diretriz: d : x = − p
p>0
LR
p
p
678
678
V
F
d
x
Medida do lactus rectum: LR = 4 p
Observação. Nas mesmas hipóteses de 2), se p < 0 , a concavidade estará voltada para esquerda.
Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar.
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9
3) Se V ( x0 , y0 ) (translação de eixos), eixo focal
y
y′
paralelo ao eixo y e a concavidade está voltada
para cima ou para baixo. Mostra-se que a parábola
tem equação dada por
p>0
P : ( x − x0 )2 = 4 p ( y − y0 )
As coordenadas e os elementos são determinados
via equações de translação. Teremos então
 x − x0 = x′
 x = x′ + x0
,
⇒ 

 y − y0 = y′
 y = y′ + y0
F
LR

p

 V
p
 x0
y0
x′
x
d
obtendo
( x′ )2 = 4 py′ .
4) Se V ( x0 , y0 ) , eixo focal paralelo ao eixo x e a concavidade está voltada para direita ou
esquerda. Mostra-se que a parábola tem equação dada P : ( y − y0 ) = 4 p ( x − x0 ) . O comentário do
item 3) vale para este item, observando as modificações necessárias.
2
Exemplos
1 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco F (3, 4) e diretriz d : x − 1 = 0 .
y
Solução. Dos elementos dados: foco F (3, 4) e diretriz
d : x = 1 , podemos produzir o seguinte esboço inicial (veja
figura ao lado).
6
5
4
Da qual inferimos que 2 p = 2 ⇒ p = 1 ,
o eixo focal tem equação e. f .: y = 4 (paralelo ao eixo
coordenado x ),
as coordenadas do vértice são V (2, 4)
e a parábola só pode ter concavidade voltada para a direita.
Assim, a equação desta parábola é do tipo
( y − y0 )2 = 4 p ( x − x0 ) .
F
3
2
1
−3
−2
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1
d : x =1
−2
−3
9 y
Portanto, a equação desta parábola é dada por
( y − 4)
2
= 4 ( x − 2) .
8
7
6
5
O gráfico “final” está mostrado ao lado.
4
F
V
3
2
1
−3 −2 −1
−1
−2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
d : x =1
−3
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9
2 – Obtenha a expressão canônica da parábola 4 x 2 + x − y = 1 e determine as coordenadas do
vértice.
Solução. Neste caso temos uma parábola transladada para um sistema de eixos cuja origem coincide
com o vértice da parábola. Apliquemos o método prático de “completar os quadrados”.
1 
1
1
1 


4 x2 + x − y = 1 ⇒ 4  x2 + x  − y = 1 ⇒ 4  x2 + x + −  − y = 1
4 
4
64 64 




2
2
 2 1
1
1 
1
1
1
1
17 


4 x + x +
−  − y = 1 ⇒ 4 x +  − = 1+ y ⇒  x +  =  y +  .
64
8  16
8
4
16 


 14
44244
3 64 
quadrado
perfeito


y′y
2
1
17 

 1 
Daí, temos  x +  = 4   y +  .
8
16 

 16 
−1
8
1

 x′ = x + 8
,
Neste caso, 
 y′ = y + 17

16
 1 17 
2
1
onde V  − , −  e ( x′ ) = 4   y′ .
 8 16 
 16 
x
x′
−17
16
3 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco F (−1,1) e vértice V (0, 0) .
Solução. Dos elementos dados: foco F (−1,1) e vértice
V (0, 0) , temos a seguinte figura ao lado.
y
3
2
Sabemos que d ( F , V ) = p , então uma primeira informação
F
que podemos obter é que p 2 = 12 + 12 = 2 ⇒ p = 2 .
Para uma parábola, quando o vértice está situado na origem, o
foco deve estar situado sobre um dos eixos coordenados,
então, a partir da informação dada podemos dizer que houve
uma rotação do sistema xOy de um ângulo que devemos
determinar.
1
x
−3
−2
−1
V
1
2
3
−1 eixo focal
−2
Em x′Oy′ temos a concavidade voltada para cima e eixo focal coincidente com o eixo Oy′ . Assim,
a equação (reduzida) desta parábola é do tipo ( x′)2 = 4 py′ . Assim, ( x′)2 = 4 2 y′
(*) .
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Como o eixo focal coincide com Oy′ (eixo Oy
rotacionado) podemos utilizar as coordenadas do
foco para obter o ângulo θ de rotação.
2
.
Logo, cos θ = sen θ =
2
4 y
y′
x′
3
2
1
F
θ
Utilizando as equações (“de volta”) da rotação:
 x′ = x cos θ + ysenθ

 y′ = − xsenθ + y cos θ

2
2
+y
 x′ = x

2
2
Substituindo seno e cosseno : 
 y′ = − x 2 + y 2

2
2
x
θ
−5
−4
−3
−2
−1
1
V
2
3
−1 eixo focal
−2
que, por sua vez, substituídos na equação (*)
2
 2

2 
2
2 
x+
y  = 4 2  −
x+
y  . Daí, a equação desta parábola no sistema xOy é
nos dá 
2
2
2
2




dada por x 2 + 2 xy + y 2 − 8 y + 8 x = 0 .
y′
4 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem
foco F (0, 2) e vértice V (1,1) .
4
y
x′
3
Solução. A partir dos elementos dados, podemos deduzir
que houve uma translação e uma rotação (ou vice-versa)
do sistema xOy .
Como d ( F , V ) = p , podemos “ver” que
(1 − 0) 2 + (1 − 2)2 = p . Logo, p = 2 .
2
F
1
V
x
θ
−3
−2
−1
1
2
3
−1
No sistema x′O′y′ temos a concavidade voltada para cima e eixo focal coincidente com o eixo
O′y′ . Assim, a equação (reduzida) desta parábola é do tipo
( x′)2 = 4 2 y′
( x′)2 = 4 py′ . Assim,
(*) .
2
.
2

2
2
x+
y
 x′ =

2
2
⇒ 
. Desenvolvendo os cálculos teremos a equação
2
2
 y′ = −
x+
y

2
2
Rotação: observe que cos θ = sen θ =
 x′ = x cos θ + ysenθ

 y′ = − xsenθ + y cos θ
no sistema xOy dada por x 2 + 2 xy + y 2 − 8 y + 8 x = 0 (*).
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x = x −1
Translação: Como o vértice está em V (1,1) , as equações de translação são dadas por 
.
 y = y −1
Desta forma, substituindo essas equações em (*) temos a equação da parábola no sistema xOy :
( x − 1)2 + 2 ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1)2 − 8 ( y − 1) + 8 ( x − 1) = 0 , ou melhor,
x 2 + 2 xy + y 2 − 12 y + 4 x + 4 = 0
y′
4
y
x′
3
2
F
1
V
x
θ
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1
ELIPSE. Definimos como elipse ao lugar geométrico de um ponto que se move em um plano de
maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, no referido plano, é sempre igual a uma
constante maior do que a distância entre os dois pontos fixos.
Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo:
Dados dois pontos fixos F1, F2 ∈ α , temos que a elipse
é o conjunto
E = {P ∈ α ; d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a > d ( F1, F2 ) = 2c}
P
14
42 4 4
3
2c
F1
F2
Elementos principais da elipse
•
Focos ( F1 e F2 ): pontos fixos.
•
Eixo focal ( e. f . ): reta que passa pelos focos.
•
Segmento focal: segmento de reta F1F2 .
•
Eixo normal ( e.n. ): reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro.
•
Vértices ( V1 , V2 , B1 e B2 ): intersecções dos eixos focal e normal com a elipse.
•
Centro ( C ): ponto médio do segmento focal.
•
Eixo maior ( EM ): segmento de reta V1V2 .
•
Eixo menor ( e.m. ): segmento de reta B1B2 .
•
Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da elipse.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 13
•
Corda focal: corda que passa por um dos focos.
•
Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos.
e.n.
B1
LR
LR
e.m.
e. f .
EM
V1
C
F1
F2
V2
B2
Equações da elipse
1) Considere uma elipse com centro em C (0, 0) e eixo focal coincidindo com o eixo x . Seja
P( x, y ) um ponto qualquer desta elipse e seja d ( F1, F2 ) = 2c .
y
A equação da elipse é dada por
E:
x2
a2
+
y2
b2
B1

b
=1
a
a
64447444
8
644
47444
8
14
42 44
314
42 44
3
V2
V1
c
c
F1
F2
C
b
onde a = b + c .
2
2
P( x, y)
2
e. f .
x

B2
Temos, ainda:
•
Coordenadas dos focos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0) .
•
•
Coordenadas dos vértices V1 (− a, 0), V2 (a, 0) , B1 (0, b) e B2 (0, −b) , consequentemente, a
medida do eixo maior é igual a 2a e a medida do eixo menor é 2b .
Equação do eixo focal e. f .: x = 0 .
•
Medida do lactus rectum: LR =
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2b 2
.
a
ERON E ISABEL 14
y
2) Considere uma elipse com centro em C (0, 0) e eixo focal
coincidindo com o eixo y .
e. f .
V2

 F2

a
P( x, y)


1 42 43
B1 1 42b 43
C
 b


a
 F1

Então a equação da elipse é dada por
y2
E:
a2
+
x2
b2
=1
onde a = b + c .
2
2
2
B2
x
V1
2
2
x − x0 )
y − y0 )
(
(
E:
+
2
2
a
b
y′
y
3) Se uma elipse tem centro C ( x0 , y0 )
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo x ,
sua equação é dada por:
B2
F1
=1
V1
F2
y0
x0
B1
onde a = b + c .
2
2
e. f .
V2
C
2
x′
x
Assim como na parábola transladada, uma das formas de determinar as coordenadas e os elementos
é utilizar as equações de translação. Teremos então
 x − x0 = x′
 x = x′ + x0
⇒ 

 y − y0 = y′
 y = y′ + y0
Obtendo então
E:
( x′) 2
a2
+
( y′)2
b2
= 1.
2
2
y − y0 )
x − x0 )
(
(
E:
+
2
2
a
b
onde a 2 = b 2 + c 2 .
y
y′
4) Se uma elipse tem centro C ( x0 , y0 ) (translação) e o
eixo focal é paralelo ao eixo y , sua equação é dada por:
V2
F2
=1
B1
y0
C
B2
x′
F1
x0
x
V1
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 15
c
. Note que, como c < a temos 0 < e < 1 .
a
Se a = b temos que a elipse se reduz a uma circunferência e, portanto, e = 0 .
Se a = c temos que a elipse se reduz ao segmento retilíneo F1 F2 e, portanto, e = 1.
Excentricidade. É a razão entre c e a , ou seja, e =
Exemplos
1 – Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos F1 (3,8) e F2 (3, 2) e medida do eixo
maior igual a 10.
Solução. Como 2a = med( EM ) = 10 , temos que a = 5 .
d ( F1, F2 ) = 2c , temos 2c = 6 e, portanto, c = 3 . Sabemos que,
y′
12 y
11
V1
10
para a elipse, a 2 = b 2 + c 2 , daí 52 = b 2 + 32 ⇒ b = 4 .
9
8
O centro é o ponto médio do segmento F1F2 , logo, C (3,5) e
como o eixo focal é paralelo ao eixo y , a equação desta elipse
7
( y − y0 )
é do tipo E :
2
4
2
a
( x − x0 )
+
y −5
E: ( 2 )
2
5
6
5
2
= 1 . Assim,
b2
F1
3
2
( x − 3)
+
4
x′
C
F2
1
x
2
2
−4 −3 −2 −1
−1
=1.
1
2 V23
4 5
6
7
8
−2
−3
2 – Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos F1 (−2, 4) e F2 (−6, 4) e medida do
lactus rectum igual a 6.
2b 2
= med( LR ) = 6 , temos que b 2 = 3a (I). d ( F1, F2 ) = 2c , temos 2c = 4 e,
a
portanto, c = 2 (II). De a 2 = b 2 + c 2 e de (I) e (II): a 2 = 3a + 4 ⇒ a 2 − 3a − 4 = 0 , que implica
Solução. Como
a = 4 . Substituindo em (I) temos b 2 = 12 .
y′
O centro tem coordenadas C (−4, 4) e como o eixo
focal é paralelo ao eixo x , a equação desta elipse é
do tipo
E:
( x − x0 )
a2
2
+
( y − y0 )
7
6
= 1 . Assim,
5
V2
x + 4)
E: (
16
+
( y − 4)
12
2
= 1.
y
8
2
b2
2
9
F2
C
F1
4
3
x′
V1
2
1
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
x
1
2
3
−2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 16
9
3 – Considere a cônica de equação
e esboce o gráfico desta cônica.
C:
Solução. Observe que na equação de
31x 2 + 10 3xy + 21y 2 = 144 . Determine todos os elementos
C
está presente o termo misto xy , tentaremos eliminá-lo
através de rotação. Comparando a equação de
C
com Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 temos
B
10 3
, logo, tg(2θ ) =
= 3 . Isto implica
A−C
10
π
1
3
3 , ou seja, θ = . O que nos dá: sen θ = e cos θ =
. Então, temos que
6
2
2
A = 31 , B = 10 3 e C = 21 . Sabemos que tg(2θ ) =
que 2θ = arctg
( )

3
1
x′ − y ′
x =

2
2
⇒ 
 y = 1 x′ + 3 y ′

2
2
Substituindo estas expressões na equação de C , temos
 x = x′ cos θ − y′senθ

 y = x′senθ + y′ cos θ
2
2
 3
 3
1
1 
1  1
3 
3 
31
x′ − y′  + 10 3 
x′ − y′   x′ +
y′  + 21 x′ +
y′  = 144
2
2
2
2
2
2
2
2







Depois de alguns cálculos, vemos que
x′Oy′ .
2
2
y′)
x′ )
(
(
C:
+
9
4
= 1 é a equação de uma elipse no sistema
5 y′
Deste modo: a = 3 , b = 2 , c = 5 e eixo focal coincide com
Oy′ , seja, e. f .: x′ = 0 . Daí, em relação a x′Oy′ , temos:
Centro: C ′ ( 0, 0 )
(
4
3
2
)
(
Focos: F1′ 0, 5 e F2′ 0, − 5
2
2
y′
x′
C: ( ) + ( ) =1
9
4
V1
F1
1
)
Vértices: V1′ ( 0,3) , V2′ ( 0, −3) , B1′ ( −2, 0 ) e B2′ ( 2, 0 )
−4
−3
B1
−2
−1 C
−1
1
B2
2
x′
3
4
−2 F
2
−3
V2
−4
−5
Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema xOy , as coordenadas de
cada elemento determinado em x′Oy′ .

3
1
x′ − y ′
x =

2
2
(*) 
 y = 1 x′ + 3 y ′

2
2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 17

3
1
x=
⋅0 − ⋅0

′
x
=
0

x = 0

(*)
2
2
Por exemplo, C ′ ( 0, 0 ) indica 
, ou seja, C ( 0, 0 ) .
→ 
=
y
=
0
1
3
 y′ = 0

y = ⋅0 +
⋅0

2
2

1

3
1
⋅ 0 − y′  x = − y′
x =
x
1
2


2
2
Eixo focal e. f .: x′ = 0 , implica em (*) 
de modo que = −
, ou
=
y
3
 y = 1 ⋅ 0 + 3 y′  y = 3 y′


2
2
2
seja, y = − 3 x é a equação do eixo focal no sistema xOy .
Com este procedimento, determinamos todos os outros elementos em relação ao sistema xOy .
Assim,
Equação de
C:
31x 2 + 10 3xy + 21y 2 = 144 .
e. f : y = − 3x
3
V1
Parâmetros: a = 3 , b = 2 , c = 5 .
y4
F1
Centro: C ( 0, 0 )
2
Eixo focal: y = − 3 x
 − 5 15 
 5
15 
Focos: F1 
,
,−
 e F2 

2 
2 
 2
 2
 −3 3 3 
3 3 3
Vértices: V1  ,
 , V2  , −
 , B1 − 3, −1
2 
 2 2 
2
(
B2
(
)
3,1
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
B2
1
)
−4
−3
−2
B1
−1
C
30o
1
2
3 x
−1
−2
e
−3
F2
V2
−4
ERON E ISABEL 18
HIPÉRBOLE. Definimos como hipérbole ao lugar geométrico de um ponto que se move em um
plano de maneira que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos, no
referido plano, é sempre igual a uma constante positiva menor do que a distância entre os dois
pontos fixos.
Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo: Dados
dois pontos fixos F1, F2 ∈ α , temos que a hipérbole é o
conjunto
H = {P ∈ α ;
P( x, y)
d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) = 2a < d ( F1, F2 ) = 2c}
1 4 44 2 4 4 43
F1
2c
F2
Elementos principais da hipérbole
•
Focos ( F1 e F2 ): pontos fixos.
•
Eixo focal ( e. f . ): reta que passa pelos focos.
•
Vértices ( V1 e V2 ): intersecções do eixo focal com a hipérbole.
•
Centro ( C ): ponto médio do segmento de reta F1F2 .
•
Eixo normal ( e.n. ): reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro.
•
Eixo transverso ( ET ): segmento de reta V1V2 .
•
Eixo conjugado ( e.c. ): segmento de reta B1B2 .
•
Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da hipérbole.
•
Corda focal: corda que passa por um dos focos.
•
Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos.
e.n.
B2
e.c.
e. f .
ET
F1
V1
C
V2
F2
B1
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 19
Equações da hipérbole
1) Considere uma hipérbole com centro em C (0, 0) e eixo focal coincidindo com o eixo x . Seja
P ( x, y ) um ponto qualquer desta hipérbole e seja d ( F1, F2 ) = 2c .
y
A equação da hipérbole é dada por
H
:
x2
a
2
−
y2
b
2
s1
s2

=1
b
c
c
644
47444
8644
47444
8
F1 V1
14 2 43
14 2 4
3
a
onde c = a + b .
2
2
B2
2

b
a
e. f .
V2 F2
x

B1
Temos, ainda:
• Coordenadas dos focos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0) .
•
•
Coordenadas dos vértices V1 (− a, 0) e V2 (a, 0) , consequentemente, a medida do eixo
transverso é igual a 2a .
Embora não haja intersecção com o eixo y os dois pontos B1 (0, −b) e B2 (0, b) são
extremos do eixo conjugado, consequentemente, a medida do eixo conjugado é igual a 2b .
Equação do eixo focal e. f .: x = 0 .
•
Medida do lactus rectum: LR =
•
A excentricidade da hipérbole é dada por e =
•
•
2b 2
.
a
c
, como c > a , temos que e > 1 .
a
b
b
As retas assíntotas tem equações s1 : y = x e s2 : y = − x .
a
a
y
2) Considere uma hipérbole com centro em C (0, 0) e eixo
focal coincidindo com o eixo y .
e. f .
s2
s1
F2
V2
Então a equação da hipérbole é dada por

H
:
y
2
a
2
−
x
2
b2
a
=1
B1
1 2 3
b
onde c = a + b .
2
2
2
B2
x
V1
F1
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 20
y′
3) Se uma hipérbole tem centro C ( x0 , y0 )
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo x ,
sua equação é dada por:
H
( x − x0 )2 − ( y − y0 )2
:
a2
b2
y
x0
=1
x
x′
y0
C
onde c 2 = a 2 + b 2 .
Assim como na parábola e elipse transladadas, uma das formas de determinar as coordenadas e os
elementos é utilizar as equações de translação. Teremos então
 x − x0 = x′
 x = x′ + x0
⇒ 

 y − y0 = y′
 y = y′ + y0
( x′) 2
( y′)2
− 2 =1.
a2
b
4) Se uma hipérbole tem centro C ( x0 , y0 )
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo y ,
sua equação é dada por:
Obtendo
H
:
H
( y − y0 )2 − ( x − x0 )2
:
a
2
b
2
=1
y′
C
x0
y
y0
x′
x
onde c = a + b .
2
2
2
Observações
1) Dizemos que uma hipérbole é eqüilátera ou retangular se o eixo transverso e conjugado tem
o mesmo comprimento, isto é, se a = b .
2) Dizemos que duas hipérboles são conjugadas se o eixo transverso de uma delas coincide
com o eixo conjugado da outra.
Exemplos
1 – O centro de uma hipérbole está na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo x e uma de
2
suas assíntotas tem equação y = x . Determine a equação e o gráfico dessa hipérbole sabendo que
5
o ponto P (6, 2) pertence à mesma.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 21
Solução. Como o centro é C (0, 0) e seu eixo focal coincide com o eixo x a equação dessa
hipérbole é do tipo
H
:
x2
a
2
−
y2
b
2
P (6, 2) ∈H , isto quer dizer que
= 1 . Como y =
62
a
2
−
12
b
2
2
b 2
2
x é assíntota, temos = , isto é, b = a (I).
5
a 5
5
= 1 . Daí, 36b 2 − 4a 2 = b 2 a 2 (II).
2
2
2 
2 
Substituindo (I) em (II): 36  a  − 4a 2 =  a  a 2 ⇒
5 
5 
equação procurada é dada por
a 2 = 11 . Logo, b 2 =
44
. Portanto, a
25
y
4
H
3
x2 y2
:
−
=1
11 44
25
2
1
−7 −6
−5 −4
−3 −2
−1
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
−4
2 – Considere a cônica de equação
esboce o gráfico desta cônica.
C:
24 xy − 7 y 2 + 36 = 0 . Determine todos os elementos e
Solução. Mais uma vez, queremos eliminar o termo misto xy através de rotação. Comparando a
equação de C com Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 temos A = 0 , B = 24 e C = −7 . Daí,
B
24
24
tg(2θ ) =
⇒ tg(2θ ) =
. Então, sen(2θ ) =
cos(2θ ) (I). Substituindo (I) em
A−C
7
7
24
7
sen 2 (2θ ) + cos 2 (2θ ) = 1 ,
temos
sen(2θ ) =
e
cos(2θ ) =
.
Sabemos
que
25
25
4
3
cos(2θ ) = cos 2 θ − sen 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 . Assim, cos θ = e sen θ = .
5
5
4
3

x = x′ − y ′

 x = x′ cos θ − y′senθ

5
5
⇒ 
substituindo estas expressões na equação de C .

 y = x′senθ + y′ cos θ
 y = 3 x′ + 4 y ′

5
5
Temos,
2
3  3
4  3
4 
4
24  x′ − y′  x′ + y′  − 7  x′ + y′  + 36 = 0
5  5
5  5
5 
5
Depois de alguns cálculos, vemos que
2
2
y′
x′
C : ( ) 2 − ( 2)
2
(3 / 2)
C : 9 ( x′ )2 − 16 ( y′ )2 + 36 = 0 , o que nos dá
= 1 é a equação de uma hipérbole no sistema x′Oy′ .
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 22
Deste modo: a = 1,5 , b = 2 , c = 2,5 e eixo focal coincide
com Oy′ , ou seja, e. f .: x′ = 0 . Daí, em relação a x′Oy′ ,
temos:
y′ e. f .
4
3
2
Centro: C ′ ( 0, 0 )
1
5
 5

Focos: F1′  0,  e F2′  0, − 
2
 2

3
 3

Vértices: V1′  0,  e V2′  0, − 
2
 2

Extremos do eixo conjugado: B1′ ( −2, 0 ) e B2′ ( 2, 0 )
Assíntotas: s1′ : y′ =
F1
V2
x′
−4
−3
−2
−1
1
C
2
3
4
−1
−2
−3
3
3
x′ e s2′ : y′ = − x′
4
4
V1
F2
−4
Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema xOy , as coordenadas de
cada elemento determinado em x′Oy′ .
4
3

 x = 5 x′ − 5 y′
(*) 
 y = 3 x′ + 4 y ′

5
5
4
3

x = 0− 0

 x′ = 0
x = 0

5
5
(*)
Por exemplo, C ′ ( 0, 0 ) indica 
→ (*) 
=
, ou seja, C ( 0, 0 ) .
3
4
y
=
0
 y′ = 0

y = 0 + 0

5
5
4
3
3


 x = 5 ⋅ 0 − 5 y′  x = − 5 y′
4
Eixo focal e. f .: x′ = 0 , implica em (*) (*) 
=
de modo que, y = − x é a
3
 y = 3 ⋅ 0 + 4 y′  y = 4 y′
5
5
5


equação do eixo focal no sistema xOy . Desse modo, temos
Equação de
C:
24 xy − 7 y 2 + 36 = 0 .
y′
Parâmetros: a = 1,5 , b = 2 , c = 2,5 .
5
4
Centro: C ( 0, 0 )
−4
Eixo focal: y =
x
3
 −3 
3

Focos: F1  , 2  e F2  , −2 
 2 
2

 −9 6 
 9 −6 
Vértices: V1  ,  e V2  , 
 10 5 
 10 5 
 −8 −6 
8 6
Extremos do eixo conjugado: B1  ,  e B2  , 
 5 5 
5 5
24
x e s2 : y = 0
Assíntotas: s1 : y =
7
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
y
3
x′
2
1
−6
−5 −4
−3
−2 −1
−1
x
1
2
3
4
5
−2
−3
−4
−5
ERON E ISABEL 23
Equação geral das cônicas
Dado em um plano α um sistema ortogonal de coordenadas e dada a equação
G ( x, y ) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(*)
Com A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 , chama-se cônica ao conjunto dos pontos P( x, y ) de α tais que (*) se
verifica.
Exemplos de cônicas
a) Um conjunto vazio: G ( x, y ) = x 2 + y 2 + 1 = 0
b) Um ponto: G ( x, y ) = x 2 + y 2 = 0
c) Uma reta: G ( x, y ) = x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y ) = 0
2
d) Reunião de duas retas paralelas: G ( x, y ) = ( x + y )( x + y + 1) = x 2 + 2 xy + y 2 + x + y = 0
e) Reunião de duas retas concorrentes: G ( x, y ) = ( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2 = 0
f) Elipse: G ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − 1 = 0
g) Hipérbole: G ( x, y ) = x 2 − y 2 − 1 = 0
h) Parábola: G ( x, y ) = x − y 2 = 0
i) Circunferência: G ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
Estes casos esgotam todas as possibilidades da equação (*). Nem sempre é fácil reconhecer uma
cônica (principalmente elipse, hipérbole e parábola) e esboçar seu gráfico. Podemos seguir o
roteiro.
i) Procure eliminar por meio de uma translação os termos de 1º. grau.
ii) Procure eliminar o termo misto através de uma rotação.
Ademais, temos o seguinte:
I) Se B 2 − 4 AC < 0 , a cônica pode ser: conjunto vazio, ponto, circunferência ou elipse.
II) Se B 2 − 4 AC = 0 , a cônica pode ser: conjunto vazio, reta, reunião de duas retas paralelas ou
parábola.
III) Se B 2 − 4 AC > 0 , a cônica pode ser: reunião de duas retas concorrentes ou hipérbole.
A expressão ∆ = B 2 − 4 AC é chamada de discriminante e, a depender de seu sinal, dizemos que a
equação em (*) é do tipo elíptica, parabólica ou hiperbólica.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 24
Lista de exercícios – Cônicas
1. Por meio de uma translação conveniente dos eixos, transforme as equações que seguem em
equações do 2º grau, sem os termos do 1º grau:
2
2
a. 2 x + y + 16 x − 4 y + 32 = 0
Resp.: 2 x'2 + y '2 −4 = 0
b. 3 x 2 + 2 y 2 + 18 x − 8 y + 29 = 0
c. xy − x + 2 y − 10 = 0
Resp.: 3x'2 +2 y '2 −6 = 0
d. 2 xy − x − y + 3 = 0
Resp.: 4 x' y '+5 = 0
Resp.: x' y '−8 = 0
2. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova
origem indicada:
Resp.: x'2 + y '2 −4 = 0
a. x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0; O ' = (−1,3)
b. 4 x 2 − y 2 − 8 x − 10 y − 25 = 0; O' = (1,−5)
Resp.: 4 x'2 − y '2 −4 = 0
c. xy − 3 x + 4 y − 13 = 0; O ' = ( − 4, 3)
Resp.: x' y '−1 = 0
3. Mediante uma rotação de eixos, elimine o termo xy nas equações:
a. x 2 + 4 xy + y 2 − 2 = 0
Resp.: 3x'2 − y '2 −2 = 0
b. 5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 − 1 = 0
Resp.: 6 x'2 + y '2 −1 = 0
c.
x 2 + 2 3 xy + 3 y 2 + 3 x − y + 3 = 0
Resp.: 4 x '2 − 2 y '+ 3 = 0
2
2
2
2
4. Reduza a equação 5 x + 5 y + 6 xy − 4 x + 4 y − 1 = 0 à forma Ax' ' +Cy ' ' + F = 0 .
Resp: 8 x' '2 +2 y ' '2 −5 = 0
5. Determine a equação da parábola:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
com foco em F(-2,0) e com diretriz em x = 2;
de concavidade voltada para cima que passa pelo ponto A(1,2) e cujo vértice é V(0,0);
de vértice na origem, que passa pelo ponto (-3,2) e cujo eixo de simetria é o eixo dos x;
com foco em F(2,4) e vértice em V(2,-2);
com foco em F(1,3) e diretriz de equação y = – 1;
com eixo de simetria paralelo ao eixo 0y, vértice V (1,3) e que passa pelo ponto (2,4);
de eixo vertical cujo foco é F (-1, 3) e que passa pelo ponto (3,6);
que tem o foco na origem e diretriz a reta r : 2 x + 3 y + 5 = 0 ;
cujo foco é F (0,1) e cuja diretriz é a reta r: 2x – y = 0;
cujo foco é F(1,2) e o vértice coincide com a origem.
Resp. a. y 2 = −8 x ; b. 2 x 2 − y = 0 ; c. 3 y 2 + 4 x = 0 ; d. (x − 2)2 = 24( y + 2) ; e. (x − 1)2 = 8( y − 1)
f. x 2 − 2 x − y + 4 = 0 ; g. (x + 1)2 = 4( y − 2) e (x + 1)2 = −16( y − 7 ) ;
h. 9 x 2 + 4 y 2 − 12 xy − 20 x − 30 y − 25 = 0 ; i. x 2 + 4 y 2 + 4 xy − 10 y + 5 = 0
j. 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 20 x − 40 y = 0
6. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola (x − 2 ) = −4( y − 8).
2
Resp: V(2,8), F (2,7), d: y – 9 = 0
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 25
7. Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é:
a. y² – 6y – 12x – 15 = 0
Resp.: V (-2,3), F(1,3)
b. x² – 8x – 6y + 14 = 0
1
7
Resp.: V  4, −  , F  4, 
3

 6
8. Calcule a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8.
Resp.: 6
9. Calcule a excentricidade da elipse 25 x 2 + 16 y 2 = 400 .
Resp.:
3
5
2
2
10. Determine os pontos de interseção da elipse 9 x + 4 y = 25 com os eixos coordenados.
Resp.  5 ,0 ,  − 5 ,0 ,  0, 5 ,  0,− 5 
3   3  
2 
2
11. Determine a equação canônica da elipse:
a. com centro na origem, eixo focal sobre o eixo 0x, que passa pelo ponto A = (2 2 ,1) e de
excentricidade 1 ;
Resp.
2
x2 y 2
+
=1
10 5
b. com centro na origem, focos no eixo das abscissas, que passa pelo ponto A = ( 15 ,−1) e
seu semi-eixo menor é 2;
x2 y2
+
=1
20 4
(x − 2)2 + ( y − 3)2 = 1
Resp.
25
9
Resp.
c. com focos em (-2,3) e (6,3) e vértice em (-3,3) e (7,3);
d. cujos focos estão sobre a reta y + 6 = 0, o ponto B = (3,-11) é um dos extremos do eixo
menor e a excentricidade é igual a
1
2
(x − 3)
2
Resp.
50
2
2
e. de equação 5 x + 4 xy + 8 y − 9 = 0
Resp. x'2 +
2
2
f. de equação x + 3 xy + 2 y − 2 = 0
Resp.
( y + 6)
2
+
25
=1
y '2
=1
9
4
x '2
+ y '2 = 1
4
5
12. Determine a equação da hipérbole:
2
2
Resp. y − x = 1
36 28
b. de centro na origem, eixo focal sobre o eixo dos x, cuja excentricidade é 5 e cuja
2
2
distância focal é 4 5 ;
Resp. x − y = 1
4 16
a. com focos em F1(0, 8), F2 (0,–8) e vértices em (0,6), (0,–6);
c. de centro na origem, eixo real sobre o eixo das ordenadas, que passa pelos pontos
 6 5
P  0,
 e Q ( 4, 6 ) ;
5


Resp. 5y² – 9x² = 36
d. com centro O’ = (–2, –1), um dos focos F = (–2, 2) e cujo eixo real mede 4;
Resp. ( y + 1) − (x + 2) = 1
4
5
2
2
e. de eixos paralelos aos eixos coordenados, com focos em (1, 0) e (1, 4) e excentricidade
igual a 3;
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2
2
Resp. ( y − 2) − (x − 1) = 1
4
32
9
9
ERON E ISABEL 26
2
2
f. com assíntotas 4 x + y − 11 = 0 , 4 x − y − 13 = 0 e vértice (3, 1). Resp. ( y + 1) − ( x − 3) = 1
1
4
4
13. Uma hipérbole tem um dos seus vértices em A = (3,0) e as equações de suas assíntotas são
2 x − 3 y = 0 e 2 x + 3 y = 0 . Determine a equação da hipérbole.
Resp. 4x² – 9y² = 36
2.
14. Demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole eqüilátera é
(x − 1)
2
15. Determine as coordenadas do foco da hipérbole de equação
Resp. F1(–2, 2), F2(4, 2)
16. Determine as equações das assíntotas da hipérbole
Resp. 3 x − 4 y − 10 = 0 e 3x + 4 y − 2 = 0
7
−
( x − 2)2 − ( y + 1)2
16
9
( y − 2)2
2
=1.
=1.
17. Dada a hipérbole de equação 3 x 2 − 4 xy + 8 x − 1 = 0 , pede-se o centro, a equação canônica e o
2
Resp. O’(0, 2) e y ' ' − x' '2 = 1
1
gráfico.
4
18. Determine uma equação de elipse com excentricidade ε =
vértices da hipérbole H : 16 x 2 − 9 y 2 − 64 x − 18 y + 199 = 0 .
1
e cujos focos coincidem com os
3
Resp.
( x − 2)
2
128
( y + 1)
+
2
144
=1
19. Determine a equação da parábola P1 cujo vértice coincide com o vértice da parábola
P2 : y 2 − 4 x − 4 y + 16 = 0 e cuja diretriz coincide com o eixo focal da hipérbole
H:
( y + 2)2 − (x − 5)2
4
16
Resp. ( y − 2 ) = −8 ( x − 3)
= 1.
2
20. Determine a equação da parábola P cujo vértice coincide com o centro da hipérbole
2 x 2 − 7 y 2 − 4 x + 14 y − 19 = 0 e cuja diretriz coincide com o eixo focal da elipse
( x − 1)
E:
4
2
( y + 2)
+
1
2
Resp. ( x − 1) = 12 ( y − 1)
= 1.
2
3
e com eixo maior coincidindo
2
com o latus rectum da parábola de equação y 2 − 4 y − 8 x + 28 = 0 .
Resp.
21. Determine uma equação de elipse de excentricidade igual a
( y − 2)
16
2
+
( x − 5)
4
2
=1
22. Identifique as seguintes cônicas:
a. 2 x 2 + xy − y 2 + 7 x + y + 6 = 0
Resp. par de retas concorrentes
b. 3x − 10 xy + 3 y − 2 x − 14 y − 13 = 0
Resp. hipérbole
2
2
c. 16 x − 24 xy + 9 y − 68 x − 74 y + 41 = 0
Resp. parábola
d. x + y + 2 x + 10 y + 26 = 0
Resp. um ponto P(-1,-5)
e. 25 x − 14 xy + 25 y + x + 3 y − 3 = 0
Resp. elipse
2
2
2
2
2
2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 27
f.
4 x 2 + 4 xy + y 2 + 6 x + 3 y + 2 = 0
Resp. par de retas paralelas
g. 16 x + 16 y − 16 x + 8 y − 59 = 0
Resp. circunferência
h. 19 x + 6 xy + 11 y + 38 x + 6 y + 29 = 0
Resp. conjunto vazio
2
2
2
2
23. Uma ponte suspensa de 400 m de comprimento é
sustentada por um cabo principal parabólico (veja
a figura). O cabo principal está a 100 m acima da
ponte nos extremos e 4 m acima da ponte em seu
centro. Calcule o comprimento dos cabos de
sustentação que são colocados a intervalos de 50
m ao longo da ponte. (Sugestão: Utilize o sistema
de coordenadas retangulares em que a ponte é o
eixo x e a origem está no meio da ponte.)
Resp. Função altura: y = 3 x 2 + 4 .
1250
24. Exceto por pequenas perturbações, um satélite se move ao redor da Terra em uma órbita
elíptica, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu (o ponto da órbita
mais próximo do centro da Terra) o satélite está a 400 km da superfície da Terra e que no
apogeu (o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra) o satélite está a 600 km da
superfície da Terra. Calcule o eixo menor e o eixo maior da órbita elíptica deste satélite,
supondo que a Terra é uma esfera de 6371 km de raio.
Resp.: Eixo menor da órbita elíptica do satélite=13.740,54 km e eixo maior=13.742,00 km.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 28
COORDENADAS POLARES. Introduziremos um novo sistema de coordenadas planas que, para certas
curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas
retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais (em outra disciplina).
No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada através da
distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos coordenados. No sistema
de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma distância e da medida de
um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa.
Fixados um ponto O , denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse ponto,
denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se conhecermos a
sua distância ao pólo e o ângulo θ que o segmento OP faz com o semi-eixo polar.
P
r
O
θ
semi-eixo polar
pólo
As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P (r , θ ) no qual
• r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo.
• θ é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar ou argumento e corresponde ao ângulo de
rotação do semi-eixo polar até o segmento OP .
• θ > 0 se a rotação for no sentido anti-horário.
• θ < 0 se a rotação for no sentido horário.
• θ pode ser medido em graus ou radianos.
Denominamos
• eixo polar – a reta orientada que contém o semi-eixo polar.
• eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo polar.
 π
 −π
Exemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: P  3,  ; Q  2,
 4
 3
P

 ; R ( 4,90º ) e S ( 2, 0º ) .

R
π/4
S
-π/3
Q
Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da seguinte
maneira:
• Se r < 0 giramos o semi-eixo polar de ângulo θ e na semi-reta oposta marcamos r
unidades, a partir do pólo.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 29
Exemplo: Marcar os pontos P ( −2, 45º ) ; Q ( −1, −30º ) ; R ( −2,180º ) .
Q
π/4
R
O
−30°
P
7π
 π

Exemplo: Representar P1 1,  ; P2  −1,
6
 6

P1
7π/6
π/6
−5π


 ; P3  −1,
6


P2

 −11π
 ; P4 1,
6


P3

.

−11π/6
P4
−5π/6
Observamos pelo exemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários pares de
coordenadas polares. De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto P (r , θ ) , r ∈ e
θ em radianos, P também pode ser representado por ( r ,θ + 2π n ) ou ( −r ,θ + 2π n + π ) que resulta
(
)
na única expressão (−1) n r , θ + nπ , n ∈ . A menos que P seja o pólo, esta expressão representa
todas as possíveis coordenadas polares de P .
Observações:
1. No caso de coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre pares e
pontos, como no caso das cartesianas. É justamente este fato que leva a resultados que, em
alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular.
2. Dados P1 ( r1, θ 1 ) e P2 ( r2 ,θ 2 ) então P1 = P2 ⇔ r1 = r2 = 0 ou ∃ n ∈
tal que r2 = (−1) n r1
e θ 2 = θ1 + nπ .
3. Se P é o pólo, então ( 0,θ ) representa P qualquer que seja θ .
4. Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo, existe um
único par com raio vetor r positivo e θ ∈ [ 0, 2π [ . A este par ( r0 ,θ0 ) tal que r0 > 0 e
0 ≤ θ0 < 2π denominamos par ou conjunto principal de coordenadas polares do ponto P .
5. Convencionamos que o par principal do pólo é P ( 0, 0 ) .
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 30
Exemplos:
1) Determine mais três pares de coordenadas para os seguintes pontos:
 π
a) P  3,  .
 4
−π

Solução. P1  −3,
4

5π


 ; P2  −3,
4



 −7π
 ; P3  3,
4


b) Q (1, π ) .
Solução. Q1 ( −1, 0 ) ; Q2 (1,3π ) ; Q3 ( −1, 2π ) .
(

.

)
2) Determine o par principal de coordenadas polares do ponto P 2, −870o .
Solução. O par principal P ( r0 ,θ0 ) deve ter r0 > 0 e 0 ≤ θ0 < 2π . Assim, −870o = −2360o − 150o e
(
)
−150o corresponde a 210o . Logo, as coordenadas principais do ponto são 2, 210o .
Equações polares equivalentes. Uma equação polar é uma equação dada em coordenadas polares,
isto é, que contém como variáveis os parâmetros que representam o raio e o ângulo vetorial do
sistema polar. Assim, uma equação polar é escrita na forma f (r , θ ) = 0 .
O lugar geométrico determinado por uma equação polar f (r , θ ) = 0 é formado por todos os pontos
e somente aqueles que tiverem pelo menos um par de coordenadas polares que satisfaça a equação.
Assim, é possível que um ponto P ( r0 ,θ0 ) esteja no lugar geométrico sem que suas coordenadas
satisfaçam a equação.
Exemplos:
1. A equação r = 2 corresponde à circunferência de centro no pólo e raio 2. O ponto
π

P  −2,  pertence à circunferência, mas não satisfaz a equação. Mas, este mesmo ponto
2

 3π 
tem coordenadas  2,  que satisfaz a equação. Por outro lado, a equação r = −2
 2 
representa a mesma circunferência. As equações r = 2 e r = −2 são ditas equivalentes.
2. A equação θ = 0 é a equação do eixo polar. As equações θ = nπ são equações equivalentes
do eixo polar.
Equação polar × Equação cartesiana. Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas
polares P (r , θ ) e coordenadas cartesianas P ( x, y ) temos as seguintes relações entre x, y, r e θ .
P(x,y)
r
θ
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
 x = r cos θ

 y = r sen θ
 2
2
2
x + y = r
e
y

 tg θ = x

r = ± x 2 + y 2

ERON E ISABEL 31
Exemplos:
(
)
1) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto P − 3,1 .
Solução. r =
(− 3)
2
+ 1 = 2 e tg θ =
 5π 
coordenadas é portanto  2,  .
 6 
1
− 3
=−
1
π π
⇒ θ = + . O conjunto principal de
2 3
3
3π 

2) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto P  2, −  .
4 



2
 −3π 
 x = r cos θ = 2 cos 
 = −1
 = 2  −
 4 

 2 
Solução. Temos que 

2

 −3π 
 y = r sen θ = 2 sen  4  = 2  − 2  = −1





O ponto P tem, portanto, coordenadas cartesianas P ( −1, −1) .
3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são
a) x 2 + y 2 = 1
Solução. x = r cos θ e y = r sen θ ⇒ ( r cos θ ) + ( r sen θ ) = 1 ⇒ r 2 = 1 . Portanto, r = 1 e
r = −1 são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e raio 1.
2
2
b) x 2 − y 2 = 16
Solução. x = r cos θ e y = r sen θ ⇒
( r cos θ )2 − ( r sen θ )2 = 16
(
)
⇒ r 2 cos 2 θ − sen 2 θ = 16
⇒ r 2 cos(2θ ) = 16 .
c) y = 3 x
Solução. r sen θ = 3r cos θ ⇒ tg θ = 3 ou θ = arctg(3) .
4) Encontre uma equação cartesiana das curvas cuja equação na forma polar é dada por:
a) r 2 = 2sen(2θ )
Solução. r 2 = x 2 + y 2 e sen(2θ ) = 2 sen θ cos θ implicam em
x
y
4 xy
4 x 2 + y 2 = 4sen θ cos θ = 4
= 2
⇒
2
2
2
2
2
x
+
y
x +y
x +y
b) r =
( x2 + y2 )
2
= 4 xy .
6
2 − 3sen θ
Solução. r =
6
⇒ 2r − 3r sen θ = 6 ⇒ ±2 x 2 + y 2 − 3 y = 6 ⇒ 4 x 2 − 5 y 2 − 36 y = 36 .
2 − 3sen θ
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ERON E ISABEL 32
Equação de algumas curvas em coordenadas polares
1. Reta
1.1 Reta que passa pelo pólo.
A equação θ = k representa uma reta que passa pelo pólo.
θ
O
1.2 Caso geral
Seja l uma reta e tracemos do pólo até l a normal ON , sendo N ( p, ω ) o ponto de intersecção de
l com a reta ON .
Se P(r , θ ) é um ponto sobre l então r cos(θ − ω ) = p é a equação polar da reta l .
P(r, θ)
N(p,w)
r
θ−w
p
w
O
Alguns Casos Particulares
Reta perpendicular ao eixo polar
r cos θ = p
r cos θ = − p
( p > 0) – Reta à direita do pólo
( p > 0) – Reta à esquerda do pólo
N
O
N
Reta perpendicular ao eixo a 90°
r sen θ = p
N
( p > 0) – Reta acima do eixo polar
r sen θ = − p ( p > 0) – Reta abaixo do eixo polar
O
N
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ERON E ISABEL 33
2
Circunferência
2.1 Circunferência com centro no pólo
A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r = a ou r = − a .
O
2.2 Circunferência com centro C ( r0 , θ0 ) e raio a .
P(r, θ)
a
C
r
ro
θ − θo
θo
Usando a lei dos cossenos temos a 2 = r 2 + r02 − 2rr0 cos(θ − θ0 ) (I) que é chamada equação padrão
da circunferência.
Casos particulares
Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eixo polar.
(
)
Neste caso C a, 0o , a > 0 . Substituindo em (I): r 2 = 2ra cos θ . Uma vez que, para r = 0 o ponto
é o pólo, que pertence à circunferência, podemos simplificar e obter r = 2a cos θ .
r = 2a cos θ
O
C
Centro à direita do pólo
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r = −2a cos θ
C
O
Centro à esquerda do pólo
ERON E ISABEL 34
Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eixo a 90°.
(
)
Neste caso C a,90o , a > 0 . Substituindo em (I) temos r 2 = 2ra sen θ . Uma vez que para r = 0 o
ponto é o pólo que pertence à circunferência podemos simplificar e obter r = 2a sen θ .
r = −2a sen θ
r = 2a sen θ
O
C
C
O
Centro acima do eixo polar
Centro abaixo do eixo polar
3. Algumas curvas clássicas em coordenadas polares
3.1) r = 2 + 2 cos θ (cardióide)
3.3) r 2 = 4 cos(2θ ) (lemniscata)
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3. 2) r = 3cos(2θ ) (rosácea)
3.4) r = θ (Espiral de Arquimedes)
ERON E ISABEL 35
Gráficos em coordenadas polares
Circunferências. Considerando a = 2 .
r=a
r = 2a cos θ
r = 2a sen θ
Limaçons. Considerando a = 3 e b = 2 (a > b) .
r = a + b cos θ
r = a − b cos θ
r = a + b sen θ
r = a − b sen θ
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ERON E ISABEL 36
Considerando a = 2 e b = 3 (a < b) .
r = a + b cos θ
r = a − b cos θ
r = a + b sen θ
r = a − b sen θ
Considerando a = 2 .
r = a (1 + cos θ )
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
r = a (1 − cos θ )
ERON E ISABEL 37
r = a (1 + sen θ )
r = a (1 − sen θ )
Rosáceas
Considerando a = 2 , n = 3 ( n ímpar).
r = a cos(nθ )
r = a sen(nθ )
Considerando a = 2 , n = 4 ( n par).
r = a cos(nθ )
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
r = a sen(nθ )
ERON E ISABEL 38
Espirais
Considerando a = 2 .
r=
a
θ
(θ > 0)
r=
a
θ
(θ < 0)
r = eaθ (a = 0,1)
r = aθ (a = 1)
r= θ
r=− θ
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ERON E ISABEL 39
Lista de Exercícios – Coordenadas polares
1. Utilizando um papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas
π
3π
3π
4π
 π
coordenadas polares: A  2,  , B(-3, ), C(-5,
), D(6,
), E(1,5, ), F(-2, 315º),
2
4
4
3
 3
π
π
G(4, - ), H(- 2 , - ), I(-3, 15º).
3
6
2. Dados os pontos P1(3, 5π/3), P2(-3, 330o), P3(-1, -π/3), P4(2, -315o), P5(0, 53o), P6(0, eπ) e
P7(1,3), determine:
2.1. a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar;
2.2. três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4;
2.3. as coordenadas retangulares dos pontos P1, P5 e P7;
2.4. quais desses pontos coincidem com o ponto P(3, 2310o);
3. 3.1)Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio
vetor permanece constante e igual a 4. Identifique o gráfico do lugar geométrico de P.
3.2) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo
vetorial permanece constante e igual a 45o. Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico
de P.
4. Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto A(4,0). Determinar as
coordenadas do outro vértice. (dois casos).
5. Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto A(3, 60º).
Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices.
6. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando:
6.1) P(-1, π/6) e C: r2 – 2cos2θ = 0
6.2) P(-1, π/2) e C: r(1 – 3senθ) = 4
6.4) P(0, π/11) e C: r – 3cosθ + rsenθ = 0
6.3) P(4, π/2) e C: r = 4sen3θ
7. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar.
7.1) 2x – y = 0
7.2) x2 + y2 – 2y = 0 7.3) xy = 2
7.4) x2 – 4y = 4
8. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana).
4
θ
8.1) r cosθ – 2 = 0 8.2) r =
8.3) r = 2 sec2
8.4) r2 = 4 cos2θ
1 + 2 cos θ
2
9. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4, 4π/3).
10. Determine a equação polar da reta r que passa pelo ponto P(3, 60o), sabendo que o segmento
OP é normal à reta r.
11. Determine a equação polar da reta r que passa ponto P(-2, 330o) e que:
11.1) é paralela ao eixo a 90o.
11.2) é perpendicular ao eixo polar.
11.3) é paralela à reta s: θ = π/6.
1
2
(cos φ + sen φ) .
11.4) é perpendicular à reta t : =
ρ
2
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ERON E ISABEL 40
11.5) passa pelo ponto Q(1, -30o).
11.6) passa pelo ponto R(4, 210o).
12. Determine uma equação polar do círculo concêntrico com
ρ 2 − 4 3ρ cos φ + 4ρ sen φ + 7 = 0 e cujo raio é o dobro do raio de C1.
13. Esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são:
b) r2 = -2sen2θ
a) r = 2 secθ
d) r = 4senθ
e) r2 = 8cos2θ
h) r = 4 + 2senθ
g) r = 2θ
o
círculo
C1:
c) r = 3 – 4cosθ
f) r = 2sen3θ
i) r = 4cos2θ
14. Determine as intersecções das curvas C1 e C2 analiticamente:
14.1) C1: r = 2 + 2cosθ e C2: θ = π/4 14.2) C1: r = 3 e C2: r = 6sen2θ
Respostas:
1)
D
F
A
E
H
I
B
G
C
2) 2.2) P3(1, 120º); P3(1, 480º); P3(-1, 300º); P4( 2 , 45º); P4(- 2 , -135º); P4(- 2 , 225º)
2.3) P1(3/2, -3 3 /2); P5(0,0); P7(cos3, sen3)
2.4) P2
3) 3.1) círculo: r = 4
3.2) reta: θ = 45º
4) (4, 60º) ou (4, -60º)
 5π   4 π 
 11π 
5) B  3,  , C  3,  , D  3,

 6   3 
 6 
6) 6.1) Sim 6.2) Não
6.3) Não
6.4) Não
2
7) a) θ = arctg2
b) r = 2senθ
c) r sen2θ = 4
d) r2cos2θ – 4rsenθ = 4
2
2
8) 8.1) x = 2
8.2)3x – y – 16x + 16 = 0
8.3) 8x + y2 – 16 = 0
8.4) x2 + y2 = 2 x 2 − y 2 ; x2 ≥ y2
9) A(-2 + 13 , 0) e B(-2 – 13 , 0)
10) 3 = r cos(θ - 60º)
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ERON E ISABEL 41
11) 11.1) r: 3 = r cos(θ – 180º)
11.2) r: 3 = r cos(θ – 180º)
11.3) r: 3 = r cos(θ – 120º)
11.4) r:
2+ 6
= r cos(θ – 135º)
2
11.5) r: θ = 150º
11.6) r:
3
1
1
= − cosθ + senθ
r
4
4
12) r2 – 4 3 r cosθ + 4r senθ - 20 = 0
13) a) reta
b) lemniscata
c) limaçon com laço
d) circunferência
e) lemniscata
f) rosácea de 3 pétalas
g) espiral de Arquimedes
h) limaçon
i) rosácea de 4 pétalas
14) 14.1) {(0, π/4), (2 + 2 , π/4), (2 – 2 , 5π/4)}
14.2) {(3, π/12), (3, 5π/12), (3, 13π/12), (3, 17π/12), (-3, 7π/12), (-3, 19π/12),
(-3, 11π/12), (-3, 23π/12)}
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ERON E ISABEL 42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica. 3ª ed. revisada e ampliada – São Paulo:
Prentice Hall, 2005.
2. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica, Makron Books.
3. CAROLI, A.; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M. O. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica,
Ed. Nobel, 1991.
4. VENTURINI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, 8ª edição (atualizada) disponível
no site www.geometriaanalítica.com.br .
5. SANTOS, R. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, disponível no site
www.mat.ufmg.br/~regi .
6. LEHMANN, C. H. Geometria Analítica, Editora Globo.
7. Professoras do Departamento de Matemática – UFBA. Apostilas Cálculo Vetorial, disponível
no site www.dmat.ufba.br .
8. THOMAS, G. B. Cálculo, vol I e II. Pearson Education, 2005.
9. LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, 1994.
10. MUNEM, M. Cálculo. vol. 2. Rio de janeiro. Guanabara Dois Editora, 1978.
11. http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html veja link “Um estudo das cônicas”.
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