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Colégio
PARA QUEM CURSA A 2 a. SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2014
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(MACKENZIE) – Numa função f tal que f(x + 2) = 3f(x) para todo x real, sabe-se que
f(2) + f(4) = 60. Então f(0) vale:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
RESOLUÇÃO
1) f(0 + 2) = 3 . f(0)  f(2) = 3 . f(0)
2) f(2 + 2) = 3 . f(2)  f(4) = 3 . 3 . f(0) = 9 . f(0)
3) f(2) + f(4) = 60  3f(0) + 9 f(0) = 60  12 . f(0) = 60  f(0) = 5
Resposta: C
QUESTÃO 17
(ESPM) – Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima
a) x = 2,5 e y = 7,5.
b) x = 3 e y = 9.
c) x = 4,5 e y = 10,5.
d) x = 5 e y = 15.
e) x = 3 e y = 10.
15m
y
x
5m
OBJETIVO
MAT-0003425-bpb
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
1) Os triângulos ABC a AMN são semelhantes e portanto:
x
15 – y
–– = ––––––  y = 15 – 3x
5
15
A
15 - y
2) Se S for a área da casa então:
S = x . y  S = x . (15 – 3x)
M
N
15m
y
3) O gráfico de S = x . (15 – 3x) é do tipo:
B
V
S
x
C
5m
0
x
5
MAT-003426-bpb
0+5
MAT-0003427-apb
4) A área
será máxima para x = –––––– = 2,5.
2
5) Se x = 2,5 e y = 15 – 3x então y = 7,5.
Resposta: A
QUESTÃO 18
(UNAERP) – Se x2 – 5x + 6 < 0 e P = x2 + 5x + 6, então:
a) P pode apresentar qualquer valor real.
b) 20 < P < 30
c) 0 < P < 20
d) P < 0
e) P > 30
RESOLUÇÃO
1) x2 – 5x + 6 < 0  2 < x < 3
2) O gráfico de P = x2 + 5x + 6, para 2 < x < 3, é:
P
30
20
2
3
x
Resposta: B
MAT-0003428-bpb
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 19
Uma função real f do 1º grau é tal que f(0) = 1 + f(1) e f(–1) = 2 – f(0). Então f(3) é igual
a:
a) – 3
5
b) – –––
2
c) – 1
d) 0
7
e) – –––
2
RESOLUÇÃO
Se f for definida por f(x) = ax + b, então:
1) f(0) = 1 + f(1)  b = 1 + a + b
2) f(–1) = 2 – f(0)  –a + b = 2 – b
冦
a = –1
冦
b=1+a+b

3)
–a + b = 2 – b
1
 f(x) = –x + –––
2
1
b = –––
2
1
5
4) f(3) = –3 + ––– = – –––
2
2
Resposta: B
QUESTÃO 20
(MACKENZIE) – A solução real da equação 4x + 6x = 2 . 9x está no intervalo:
a) – 1 x 1
b) 2 x 3
c) 3 x 4
d) – 4 x – 3
e) 20 x 30
RESOLUÇÃO
4x + 6x = 2 . 9x 
冢 冣
4
––
9
冤 冢 ––23 冣 冥 + 冢 ––23 冣
2 x

Substituindo
冢 ––23 冣
x
+
冢 冣
x
6
––
9
x
=2
冤 冢 ––23 冣 冥 + 冢 ––23 冣
x 2
=2
x
–2=0
x
por y temos:
y2 + y – 2 = 0  y = –2 ou y = 1  y = 1 , pois y > 0.
Se y =
冢 冣
2
––
3
x
= 1 então x = 0.
Resposta: A
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 21
冢 冣
1
(GV) – Dada a expressão ––
2
a) o
b) o
c) o
d) o
e) o
4x – x2
, então:
maior valor da expressão é 1.
menor valor da expressão é 1.
menor valor da expressão é 1/16.
maior valor da expressão é 1/4.
menor valor da expressão é 1/4.
RESOLUÇÃO
1
1) A função exponencial base ––– é estritamente decrescente.
2
2) Quanto maior o expoente menor será o valor da potência.
3) O expoente f(x) = 4x – x2, cujo gráfico é
y
4
0
2
4
x
assume o máximo valor possível 4 (quando x = 2).
MAT-0003429-apb
4
冢 冣
1
4) O menor valor da expressão é –––
2
1
= –––– .
16
Resposta: C
QUESTÃO 22
A soma das soluções da equação 16 . xlog2x = x5 é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 18
RESOLUÇÃO
16 . x
log2x
log2x
]
= x5  log2 [16 . x
= log2 [x5]  log216 + log2x . log2x = 5 . log2x 
 (log2x)2 – 5 . log2x + 4 = 0  log2x = 1 ou log2x = 4  x = 2 ou x = 16.
A soma das soluções da equação é, pois, 2 + 16 = 18.
Resposta: E
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 23
(FGV) – Certo capital C aumentou em R$ 1 200,00 e, em seguida, esse montante decresceu 11%, resultando em R$ 32,00 a menos do que C. Sendo assim, o valor de C, em
R$, é
a) 9 600,00.
b) 9 800,00.
c) 9 900,00.
d) 10 000,00.
e) 11 900,00.
RESOLUÇÃO
De acordo com o enunciado, devemos ter, em reais,
11
(c + 1 200) . 1 – –––– = c – 32 
100
冢
冣
 (c + 1 200) . 0,89 = c – 32  0,89c + 1 068 = c – 32  1 100 = 0,11c  c = 10 000
Resposta: D
QUESTÃO 24
(FGV) – A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das
unidades igual a 1 é
a) 4 566.
b) 4 877.
c) 5 208.
d) 5 539.
e) 5 880.
RESOLUÇÃO
A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual
a 1, é:
S = 51 + 61 + 71 + ... + 341
A sequência (an) = (51, 61, 71, ..., 341) é uma progressão aritmética em que a1 = 51,
r = 10 e an = 341.
Como an = a1 + (n – 1) . t, temos que:
341 = 51 + (n – 1) . 10  n = 30
Assim sendo, a soma S é:
392
(51 + 341)
(a1 + an)
. n = ––––––––– . 30 = –––– . 30 = 5 880
S = ––––––––
2
2
2
Resposta: E
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 25
–––
No triângulo ABC, AB=8, BC=7, AC=6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura,
até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.
P
C
7
6
A
8
B
–––
O comprimento do segmento PC é
MAT-0003430-bpb
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
RESOLUÇÃO
Como os triângulos PAB e PCA são semelhantes, temos:
PA
AB
PB
PA
8
PC + 7
––– = ––– = –––  ––– = –– = ––––––– 
PC
AC
PA
PC
6
PA

冦
PA
4
–––– = ––
PC
3
PC + 7
4
––––––– = ––
PA
3

冦
PC
3
–––– = ––
PA
4
PC
7
4
––– + ––– = ––
PA PA 3
3
7
4
Assim: –– + ––– = ––  PA = 12
4
PA
3
PC
PC
3
3
Como ––– = –– , temos: ––– = ––  PC = 9
4
4
12
PA
Resposta: C
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 26
Uma floricultura possui uma quantidade de rosas superior a 35 e inferior a 65. Querendo
formar arranjos com o mesmo número de rosas em cada um, percebeu que se cada
arranjo tivessem duas rosas, sobraria uma; se tivessem três rosas, também sobraria
uma; se tivessem cinco rosas, ainda assim sobraria uma.
A menor quantidade de rosas que a floricultura deve adquirir para formar arranjos com
sete rosas em cada um, sem sobrar nem faltar rosas, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Se tirarmos esta rosa que está sobrando, ao fazermos arranjos com duas, três ou cinco
rosas não sobraria rosa alguma. Dessa forma a quantidade n de rosas é tal que:
1) (n – 1) é múltiplo de 2, 3 e 5 e, portanto, é múltiplo de 2 . 3 . 5 = 30.
2) O único múltiplo de 30 superior a 35 e inferior a 65 é 60.
Assim, n – 1 = 60 
n = 61
Se a floricultura possui 61 rosas, a menor quantidade de rosas que a floricultura deve
adquirir, para formar arranjos de 7 rosas cada, é 2, pois 61 + 2 = 63 e 63 é múltiplo de 7.
Resposta: B
QUESTÃO 27
Qual é a maior raíz da equação
(0,2x – 0,6)2 – 5 . (0,2x – 0,6) + 6 = 0?
a) 18
b) 17
c) 15
d) 13
e) 10
RESOLUÇÃO
Fazendo 0,2x – 0,6 = y a equação se transforma em y2 – 5y + 6 = 0 cujas raízes são 2 e 3.
Para y = 2, temos:
0,2x – 0,6 = 2  0,2x = 2,6  2x = 26  x = 13
Para y = 3, temos:
0,2x – 0,6 = 3  0,2x = 3,6  2x = 36  x = 18
A maior raíz é 18.
Resposta: A
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 28
Um explorador pretende atravessar um deserto com a ajuda de carregadores. Tanto ele
quanto cada um dos carregadores podem transportar alimentos capazes de alimentar
um homem por quatro dias. No entanto, a travessia do deserto leva seis dias. Se algum
carregador ficar sem alimento no deserto ele morre. O número mínimo de carregadores
que o explorador precisa levar, para que ninguém morra e ele complete a travessia, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d)4
e)5
RESOLUÇÃO
O explorador necessitará de apenas dois carregadores. Os três partem juntos levando
cada um alimentos para os quatro dias. Ao final do primeiro dia um deles volta trazendo
consigo alimentos apenas para o dia de volta, deixando os outros dois dias de seus alimentos ao outro carregador e ao explorador.
No início do segundo dia, ambos estão com alimentos para quatro dias. Ao final do segundo dia cada um tem três dias de alimento. O segundo carregador deixa um dia de
alimento com o explorador e volta trazendo alimentos apenas para os dois dias de volta.
No início do terceiro dia o explorador está com quatro dias de alimento, suficientes para
completar a travessia do deserto.
Resposta: B
QUESTÃO 29
P
A
B
O
C
D
Q
O quadrado ABCD da figura tem lados que medem
6cm e centro no ponto O. Os lados do quadrado OPQR
medem 10cm. A área da região sombreada, comum
aos dois quadrados, é de:
a) 16cm2
b) 14cm2
c) 9cm2
d) 6cm2
e) 5cm2
R
RESOLUÇÃO
–––
P
A
MAT-0003423-bpb
L
B
M
K
D
O
N
C
Q
–––
Prolongando-se os lados OR e OP do quadrado OPQR
–––
–––
obtêm-se os pontos L e K sobre os lados AB e AD. Os
quatro quadriláteros OMCN, ONDK, OKAL e OLBM
1
são congruentes e têm área igual a ––– da área do
4
6 cm . 6 cm
quadrado ABCD, ou seja –––––––––––– = 9 cm2.
4
R
Resposta: C
MAT-0003424-bpb
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 30
Sejam:
A = 1 + 2 + 3 + … + 447 + 448 + 449 + 450 + 449 + 448 + 447 + … + 3 + 2 + 1
A
O valor de ––––––– é igual a:
4502
a) 4500
b) 4501
c) 4502
d) 4503
e) 4504
RESOLUÇÃO
A soma A pode ser escrita da forma
A = (1 + 449) + (2 + 448) + (3 + 447) + … + (448 + 2) + (449 + 1) + (450 + 0) 
 A = 450 + 450 + 450 + … + 450, com 450 parcelas.
Assim, A = 450 . 450 =
4502
A
4502
e ––––– = ––––– = 1 = 4500.
4502
4502
Resposta: A
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE