Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 11.1 – Ângulos Trigonométricos
Amintas Paiva Afonso
ÂNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORÁRIO
• OBTEMOS O ÂNGULO
TRIGONOMÉTRICO
GIRANDO UM RAIO
AO REDOR DE SUA
ORIGEM.
B
O

) POSITIVO
SENTIDO DE GIRO HORÁRIO
)
A
OA : LADO INICIAL
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
 ) NEGATIVO
SISTEMAS DE MEDIÇÃO
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÊS)
GRADO:
1
o
MINUTO:
1
'
SEGUNDO:
1
"
EQUIVALÊNCIAS
1  60 1  60 1  3600
o
'
'
1 volta =
"
o
360
o
"
No sistema sexagesimal os ângulos podem ser
expressos em graus, minutose segundos
A B ' C ''  A  B ' C ''
o
o
Los números
Bdey graus
C deben
ser menores
de3600
60
Para converter
a segundos
se multiplica por
Para convertir deDE
grados
a minutos se multiplica por 60
RELACIONES
CONVERSIÓN
Para converter de minutos
a segundos se multiplica por 60
x 3600
x 60
60
Para converter dexsegundos
a graus se divide por 3600
GRAUS
SEGUNDOS
MINUTOS
: 60
: 60
Para converter de minutos a graus se divide por 60
Para converter
de segundos a minutos se divide por 60
: 3600
EXEMPLO:   20 36 ' 45 ''
o
EXPRESSAR
o

EM GRAUS SEXAGESIMAIS
'
''
  20  36  45
o
o
36
45
3
1
o
  20 

 20o 

60
3600
5
80
o
o
Ao número 36 se divide por
60 e
o
1649
Ao número 45 se divide
por 3600

CONCLUSIÓN:
80
RELACÃO ENTRE OS NÚMEROS DE GRAUS, MINUTOS E
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRAUS SEXAGESIMAIS
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMAIS
= S
( m ) = 60 S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMAIS ( p ) = 3600 S
EXEMPLO
Calcular a medida de um ângulo no sistema sexagesimal,
sabendo que seu número de minutos sexagesimais mais o
dobro de seu número de grados sexagesimais é igual a 155.
SOLUÇÃO
Seja S = número de graus sexagesimais
Então o número de minutos sexagesimais = 60 S
Dado : 60S  2S  155
62S  155
5
S
2
5º 4º 60 '
O ângulo mede:

 2º 30 '
2
2
155 5(31)
S

62 2(31)
ESTÃO ENTENDENDO?
NÃO REPITA POR
FAVOR
SISTEMAS DE MEDIÇÃO
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÊS)
GRAU:
1
g
MINUTO:
1
m
SEGUNDO:
1
s
EQUIVALÊNCIAS
1  100 1  100 1  10000
g
m
m
1volta =
s
400
g
g
s
No sistema centesimal os ângulos podem
expressar em graus ,minutos e segundos
A B C  A B
g
m
s
g
m
C
s
Los números
B de
y graus
C deben
ser menores
100
Para converter
a segundos
se multiplica de
por 10000
Para
convertir
de DE
grados
a minutos
se multiplica
por 100
Para
converter
de minutos
a segundos
se multiplica
por 100
RELACIONES
CONVERSIÓN
x 10 000
Para converter dexsegundos
100 a graus se divide entre 10000
x 100
GRAUS
SEGUNDOS
MINUTOS
: 100
: 100
Para converter de minutos a graus se divide entre 100
Para converter
segundos a minutos se divide entre 100
: 10 de
000
RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS DE GRAUS, MINUTOS E
SEGUNDOS
SABES QUE : gSABES QUE :g
NÚMERO DE GRAUS
CENTESIMAIS
 200= g C
SABEMOS
QUE 180º
9º
 10
9º  10
g
g 100C
SIMPLIFICANDO
OBTIENE
NÚMERO
DE MINUTOS
n) =
9(1º ) CENTESIMALES
 SE
10(1
)9(1º ) (10(1
)
g
''
S
' 9º 
m
10
NÚMERO DE SEGUNDOS
CENTESIMAIS
(
q
)
=
10
9(3600
)

10(10000
)000C
9(60 )  10(100 )
''
s
81

250
27OS SISTEMAS
50
RELAÇÃO ENTRE
SEXAGESIMAL E
'
m
CENTESIMAL
9 O  10 g 27 '  50 m 81"  250 s
GRAUS
MINUTOS
SEGUNDOS
S
C

9 10
m
n

27
50
p
q

81 250
SISTEMAS DE MEDIÇÃO
ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
NESTE SISTEMA A
UNIDADE DE MEDIDA
É OL RADIANO.
UM RADIANO É A
MEDIDA DO
ÂNGULO CENTRAL
QUE SUBTENDE
EM QUALQUER
CIRCUNFERÊNCIA
UM ARCO DE
LONGITUDE IGUAL
AO RAIO.
R
..
R
)1rad
R
1vuelta  2rad
1rad  57 17 45
o
'
''
RELAÇÃO ENTRE OS TRÊS SISTEMAS
180  200  rad
0
g
ESTA RELAÇÃO SE USA PARA CONVERTER DE UM
SISTEMA A OUTRO.
EXEMPLOS
EM CADA UM DOS SIGUINTES CASOS CONVERTER A RADIANOS
A)  540
SABES QUE
ÂNGULO
DE
UMA

rad
O O
3


54  : o  
rad
g
VOLTA MEDE
360º
10  2rad
 180
  400
B)  125
SIMPLIFICANDO SE OBTÉM:
g
rad 

125 
g 
 200 
g

5
rad
8
EM CADA UMO DOS SIGUINTES CASOS CONVERTER AO SISTEMA
SEXAGESIMAL
2
A)
rad
3
2(180o )
...........
3
 120
9

B)70 ................. 70 
g 
 10 
g
g
o
o
 63
o
EM CADA UM DOS SIGUINTES CASOS CONVERTEIR AO SISTEMA
CENTESIMAL
3
3(200 g )
g
A)
rad ...........
150

4
4
g
o  10 
o
B)27 ................ 27  o   30g
 9 
FACTORES DE CONVERSÃO
DE GRAUS SEXAGESIMAIS A
RADIANOS
rad
o
180
DE GRAUS SEXAGESIMAIS A
CENTESIMAIS
10 g
o
9
DE GRAUS CENTESIMAIS A
RADIANOS
DE GRAUS CENTESIMAIS
SEXAGESIMAIS
A
rad
g
200
o
9
g
10
DE RADIANOS A GRAUS
SEXAGESIMAIS
rad  180
DE RADIANOES A GRAUS
CENTESIMAIS
rad  200
o
g
ESTÃO ENTENDENDO?
NÃO REPITA POR
FAVOR
FÓRMULA DE CONVERSÃO
R
S
C



180
200
S : NÚMERO DE GRAUS SEXAGESIMAIS
C : NÚMERO DE GRAUS CENTESIMAIS
R : NÚMERO DE RADIANES
EXEMPLO
CALCULAR O NÚMERO DE RADIANOS DE UM ÂNGULO, SE:
8R
3S  2C 
 37

SOLUÇÃO
NESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEVE USAR A FÓRMULA DE CONVERSÃO
S
C
R


 K
180 200 
S  180k
C  200k
R  k
SE SUBSTITUI NO DADO DO PROBLEMA
8(k)
3(180k)  2(200k) 
 37 , SIMPLIFICANDO OBTEMOS

1
148k  37
k 
4
FINALMENTE O NÚMERO DE RADIANOS É:
 1 
R    
4 4
NOTA: A FÓRMULA DE CONVERSÃO, EM ALGUNS CASOS, CONVÉM
EXPRESSA-LA DA SEGUINTE MANEIRA
20R
S
C



9 10
S  9k
C  10k
k
R 
20
OUTRAS RELAÇÕES IMPORTANTES
* ÂNGULOS COMPLEMENTARES SOMAM:
* ÂNGULOS SUPLEMENTARES SOMAM:
SISTEMA
90o  100g 

rad
2
180O  200g  rad
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL
S
90 - S
180 - S
CENTESIMAL
C
200 - C
RADIAL
R
100 - C

 R
2
R
* EQUIVALÊNCIAS USUAIS:


o
rad  60
rad  45 o
3
4

rad  30 o
6
EXERCÍCIOS
1. CALCULAR :

45º 
rad
12
E
g
50  33º
SOLUÇÃO
Para resolver este exercício a idéia é converter cada um
dos valores dados a um só sistema, escolhemos o
SISTEMA SEXAGESIMAL
9º

180º
g
rad 
 15º ; 50 ( g )  45º
10
12
12
Substituindo em E
60º
45º 15º
 5
E

12º
45º 33º
2. O número de graus sexagesimais de um ângulo mais
o triplo de seu número de graus centesimais é 78,
calcular seu número de radianos
SOLUÇÃO
Seja S = número de graus sexagesimais
C = número de graus centesimais
Sabes que:
S
C

=K
9 10
Dado: S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78
O número de radianos é:
k
R
20

2
R

20 10
S = 9K y C = 10K
39K = 78
K=2
3. Determinar se é verdadeiro ou falso
A ) rad  180
B ) O complemento de 30g é 70g
C ) 24º
2º
 g
g
36
3
D ) Os ângulos interiores de um triângulo
somam rad
E )   180º
F)
1º  1
g
G ) O número de graus sexagesimais de um ângulo é
igual a 90% de seu número de graus centesimais