O BIG-BANG
1a parte
BB= modelo padrão dos instantes iniciais do universo
Antes:
Modelos com p ~ 0  aplicados a era da matéria
aproximação nas equações de Friedmann p <<  c2
p = prad + pmatéria
movimentos peculiares
das galáxias exercem
pressão no fluído cosmológico
Para os estágios iniciais de formação do universo
prad vai ser + importante
Nas equações de Friedmann:
=matéria+energia
A radiação: rad
já que E=mc2
densidade de energia
 rad
mc2

  rad c 2
V
Um campo de radiação num meio isotrópico
(um gás de fótons num meio isotrópico)
1
1
prad   rad   rad c 2
3
3
logo na equação de Friedmann p << c2
Derivação da evolução da densidade de radiação
com o fator de escala

8G
kc2
R( t )2 
 (t ) 


2
2
3
R( t )
R( t )
3
 R3 e d/dt:


 3
 

8G d ( R 3 )
2
2
 kc R R  2 R R R R R
3
dt


8G
kc
R( t )
R( t )
p( t )  

2

2
2
2
c
R( t )
R( t )
R( t )
2
2
 dR3/dt :


e


 
1 8G dR3
2
3
  2 p
 kc R R  2 R R R R 2 R
3 c
dt

8G d ( R 3 )
8G dR3
 2 p
3
dt
3c
dt
d ( R ) p dR
= rad+ materia
 2
 0 p=p +p
rad
materia
dt
c dt
3
3
Se houve uma fase em que rad >> materia
 prad >> pmateria
d ( R 3 ) p dR3
 2
0
dt
c dt
com
prad 
1
 rad c 2
3
d rad 4
dR
R
  rad
0
dt
3
dt
3
3

d rad
 rad
c.c. se rad = rad0  R=R0
4 dR3
  3
3 R
 rad
 R04 
  rad 0  4 
R 
 rad
 R04 
  rad 0  4 
R 
Comparando : materia varia com R-3
rad varia com R-4
A medida que o universo se expande
a densidade de fótons e matéria diminui com R-3
radiação tb diminui em energia devido ao z cosmológico
R0
 e R0
R0
1
1 z 
com R  z  1 

 Ee  E0
R
0 R
R
log
• t < trad  era dominada pela
radiação rad > materia
trad
• t > trad  era dominada pela
matéria rad < materia
logR • t = trad  era da equipartição
RADIAÇÃO : maior parte na forma da radiação
cósmica de fundo em microondas (MBR)
campo de radiação a baixa T (2.7 K) que enche todo
o espaço
radiação pouco intensa, mas contém mais energia
do que a que é emitida por todas as galáxias
ocupam uma pequena
fração do espaço
a média de energia das galáxias sobre todo o volume do
universo inteiro ~ 10  menor do que a MBR
CARACTERÍSTICAS DA ERA RADIATIVA
A temperatura e o espectro da radiação
CMB → T~2.7 K → radiação original do BB
que sofreu um redshift
Supondo que na época radiativa : matéria e radiação
estavam em ET  espectro de corpo negro ou de Planck
densidade de energia do campo de radiação
é dada pela distribuição de Bose-Einstein
8h 3
d
 d 
c 3 e h / kT  1
h =cte. de Planck
k=cte. de Boltzmann
Densidade total integrada:
 rad

8h
 3d
 3  h / kT
 aT 4
c 0e
1
8 5 k 4
15
 3 4
a  cte da radiação

7
.
56

10
erg
cm
k
3 3
15h c
A densidade de energia depende apenas da
temperatura rad=aT4
Como rad = radc2 e rad= rad0(R0/R)4
De rad=aT4 vêm
 R0 
T  Trad 0  
 R
a medida que o universo se expande, ele
se resfria
Nota BB: R→0 quando t→0 : T são arbitrariamente
elevadas no ínicio
Considerando o espectro da radição (Planck), pode-se
calcular o no de fótons nas freq.  e +d no volume
V no tempo t :
8h 3
d
 d 
c 3 e h / kT  1
Energia de um fóton : E=h 
Densidade numérica de energia= número  energia
Volume
número 
  V
E
8h 3
d
V (t )


3
h / kT
c
e
 1 h
número 
  V
E
8h 3
d
V (t )


3
h / kT
c
e
 1 h
8V ( t )  2d
dN ( t ) 
3
h / kT
c
[e
 1]
k=1.3810-16 erg/K
Se em t’>t o universo se expande, então:
, 3
R
(
t
)
(1) V ( t , )  V ( t )
R( t )3
(3)
R( t )
T (t )  T (t )
R( t , )
,
R( t )
(2)   
R( t , )
,
Nota: pode ter uma pequena variação
devido à interação dos fótons com a
matéria, mas no fótons >> no de bárions
(fator ~1010)
Se o número de fótons se conserva:
Substituindo (1), (2) e (3):
dN ( t )  dN ( t , )
,2
,2
,3
R
R
R
,2
8 2   2  3 d ,
R
R
R
prova :
3
hR , , / R / kR ,T , / R
c [e
 1]
8V
 d
dN ( t )  3
h , / kT ,
c [e
 1]
,
,
,2
,
O espectro de Planck
se mantém mesmo com
a expansão e o resfriamento
A RADIAÇÃO CÓSMICA DE FUNDO
Densidade de energia atual:
rad0=aTrad04=410-13 erg/cm3
Densidade de massa associada:
rad0=rad0/c2 ~ 4.510-34 g/cm3
Como c0=210-29 h2g/cm3
A contribuição da radiação para total é pequena
rad0=rad0/ c0 ~ 10-5 h2
O no de fótons-relíquea por cm3 vale:

N (t ) 8
 d
 3  h / kT
V
c 0 [e
 1]
2
~ 20Trad03 ~ 400 cm-3
Qual o z da época radiativa?
Na época da equipartição (trad) : rad ~ materia
R0  mat 0
 R0 
 R0 
 rad 0     mat 0   

R  rad 0
 R
 R
4
3
Considerando mat0=0c0
R0
 mat 0  0  c 0
 1 z 

R
 rad 0
 rad 0
1 z 
0 c 0
 rad 0
2  1029 h2
4 2



4
.
4

10
h 0
0
 34
4.5  10
redshift associado ao fim
da era radiativa
T da radiação nesta época :
Trad  Trad 0 
R0
 2.7(1  z )  1.2  105 h2 0 K
R
1  z  4.4  10 h 0
4
2
Trad  1.2  10 h 0 K
5
2
Por exemplo: se o=0.025 (universo de Friedmann
com k=-1)
e considerando h=1
z ~1000 e Trad ~ 3000 K
NOTA
Na era radiativa interação dos fótons com elétrons
(ou prótons) através de espalhamento Compton :
h
è ou p
h’
h’ < h
universo se expande
matéria opaca aos
fótons
gás de fótons se resfria
h < potencial de ionização do H
começa a haver reações de recombinação dos è livres
p+è=H
ÉPOCA DA RECOMBINAÇÃO
Se Trad ~ 4000 K
todo o H será neutro
Para o exemplo dado anteriormente:
se o=0.025 (universo de Friedmann com k=-1)
e considerando h=1 z ~1000 e Trad ~ 3000 K
época da equipartição coincide ± com a época da
recombinação
Após a época da recombinação: matéria neutra
universo transparente aos fótons
DINÂMICA DO UNIVERSO PRIMITIVO
Aproximações mais simples para as equações de
Friedmann para a era radiativa
Usando uma das equações:
 2
 8G
R   kc  
  R
3
 3
 2
2
No começo do universo   R-4
o termo em  domina os outros (R pequeno  grande)
8G
R   kc 
R 2
3
 2
2
p/ t << trad
Substituindo
 rad
 R0 
  rad 0  
 R
R
t
0
0
 RdR  
4
e resolvendo e EDO:
8G
 rad 0 R04 dt
3
 32G
4
R(t )  
 rad 0 R0  t 1 / 2 (1)
 3

1/ 4
Logo no começo da vida do universo, a densidade varia
4
com t como:
R
  Subst. (1)
 (t )   rad (t )   rad 0  0 
 R
3
 (t ) 
32Gt 2
E a temperatura:
Lembrete:
Trad= Trad0(R0/R)
rad = rad  c2 =aT4
 3c 

Trad ( t )  
 32Ga 
2
1/ 4
1
t
rad  c2 = aT4rad0
NOTA: expressões válidas apenas para t << trad
p/ t ~ trad  outros termos da equação começam a
Ficar mais importantes
p/ t >> trad  modelos a p ~ 0 como antes
Veremos + tarde : este modelo padrão do começo
da formação do universo é diferente do modelo
inflacionário
 domina o universo num intervalo
de tempo inicial
Transição de fase entre o vácuo e a radiação = inflação
 vácuo domina um certo t
Estimando a duração da época radiativa
Usando Trad ~ t-1/2 (com um certo erro)
Calculou-se antes
na época da
Trad  1.2  105 h20 K
Equipartição trad
subst. Trad ~ t-1/2:
Trad  1.5  1010 t 1/ 2
Fica:
4
G=6.672  10-8 cm3/gs2
a=7.56  10-15 erg/cm3K4
C=3 1010 cm/s2
2
0
trad  500h  anos
Ex. 0=0.025 (k=-1)
trad ~ 800.000 anos
SINGULARIDADE
As equações de Friedmann nas viz. de t=0
indicam que : R→0 e T→∞
singularidade!
A natureza da singularidade depende de k :
• k=+1  universo finito e fechado que → 0 quando
t→0  no BB o universo era um “ponto”
• k=0 ou k=-1  universo infinito (volume próprio ∞)
mesmo quando t→0 singularidade
em “todos os lugares”
A TRG (macroscópica) não se aplica nas viz. de t=0
Efeitos quânticos tornam-se importantes
Teria que ser elaborada uma teoria quântica da gravitação!!
Escala característica da TRG : raio de Schwarzchild
rS=2Gm/c2
define o horizonte de eventos
nas viz. de um buraco negro
se um corpo de massa m colapsa e seu
Raio fica < rS  velocidade de escape > c
rS defini o horizonte de eventos p/ observadores
externos  nenhum sinal emitido de dentro deste
raio pode ser observado

rS
Se considera-se o comprimento de onda Compton,
que na mecânica quântica é a incerteza na posição
de uma partícula de massa m: rc=h/mc
Fazendo rS=rc : h/mc=2Gm/c2
obtêm-se:
• a massa de Planck: mpl=5.4610-5 g
• o comprimento de Planck: rpl=h/mplc ~ 4.0510-33cm
• o tempo de Planck: tpl=rpl/c=1.3510-43 s
limite de validade da TRG
=mpl/(4/3)rpl3 ~ 2  1092 g/cm3
T ~ 1.51010 tpl-1/2 ~ 4  1031 K
Condições muito
extremas p/ aplicacão
das leis conhecidas
Não dá para usar as equações da TRG para t < tpl,
pois a gravitação não dá para ser mais tratada somente
pela TRG