Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina
Coordenadoria de Informática
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Prof. Leandro Melo de Sá
2006/2
Unidade 4 – ESTIMAÇÃO
Nessa unidade usaremos os dados amostrais para fazer inferências (ou generalizações) sobre uma população,
tais como: (1) estimar o valor de um parâmetro populacional e (2) formular uma conclusão sobre uma
população. Deve-se, contudo, salientar que os métodos utilizados na inferência estatística exigem processos de
amostragem bem fundamentados.
→ Conceitos básicos
* Estimador: É uma estatística amostral utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional.
* Estimativa: É um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para aproximar um parâmetro
populacional.
* Estimativa pontual: É um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.
→ Estimativa de uma média populacional dispondo de grandes amostras
A média amostral x é a melhor estimativa pontual da média populacional µ, pois apresenta maior consistência e
é um estimador não- tendencioso. Portanto: µ = x
* Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar): É um intervalo (ou amplitude) de valores que tem
probabilidade de conter o verdadeiro valor da população.
* Grau de confiança: É a probabilidade 1 – α (comumente expressa como o valor percentual equivalente) de o
intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional (o grau de confiança é também
chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança). Escolhas comuns para o grau de confiança são:
90% (com α = 0,10), 95% (com α = 0,05) e 99% ( com α = 0,01).
Ex. 1. Com base nas temperaturas do corpo de 106 adultos sadios, observou-se que (1) a distribuição dos dados
tem aproximadamente a forma de um sino; (2) a média amostral é x = 36,78º C; (3) o desvio-padrão amostral é
s = 0,34º C. Desta forma, pode-se afirmar que:
(a) a média populacional pode ser estimada através de x , e é igual a µ = 36,78º C.
(b) o intervalo de confiança, com grau de confiança de 95% (ou 0,95) da média populacional µ, é 36,71º C < µ <
36,84º C, com α = 0,05.
(c) o resultado do item (b) indica que existe uma probabilidade de 95% desse intervalo conter a verdadeira
média populacional, i.e., se fôssemos selecionar muitas amostras diferentes de tamanho n = 106 da população de
todos os cidadãos sadios, e construíssemos um intervalo de 95% de confiança análogo para cada amostra, a
longo prazo, 95% desses intervalos conteriam efetivamente a média populacional µ.
* Valor crítico: É o número na fronteira que separa os valores das
estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem, dos valores que
tem pouca chance de ocorrer. O número zα/2 é um valor crítico
que é um escore z com propriedade de separar uma área de α/2
na cauda da direita da distribuição normal padronizada. (Há uma
área de 1 – α entre as fronteiras verticais em - zα/2 e zα/2 – ver
figura ao lado).
Ex.. 2. Complete a Tabela abaixo, encontrando os valores críticos zα/2 correspondente aos graus de confiança
dados. (Use a Tabela A-2).
Grau de confiança
α
Valor crítico zα/2
90%
0,10
95%
0,05
99%
0,01
1
Resolução:
α/2
0,05
0,025
0,005
0,5 - α/2
0,45
0,475
0,495
Valor crítico zα/2
1,645
1,96
2,575
* Margem de erro (erro máximo da estimativa): É a diferença máxima provável (com probabilidade 1 – α ) entre
a média amostral observada x e a verdadeira média populacional µ. A margem de erro (E) pode ser obtida
multiplicando-se o valor crítico pelo desvio-padrão das médias amostrais, conforme a expressão:
E = zα 2
σ
. Entretanto, como observado na expressão, o cálculo da margem de erro E exige o
n
conhecimento do desvio-padrão populacional σ, que na realidade, é raro conhecermos σ quando a média
populacional µ não é conhecida. Dessa forma devemos adotar o seguinte método:
(1) se n > 30, substituímos σ pelo desvio-padrão amostral s.
(2) se n ≤ 30, a população deve ter distribuição normal, e devemos conhecer o valor de σ para aplicar a
expressão.
→ Processo de construção de um intervalo de confiança para µ dispondo de grandes amostras (n > 30)
Passo 1: Determinar o valor crítico zα/2 correspondente ao grau de confiança desejado.
σ
. Caso o desvio-padrão populacional σ não seja conhecido,
n
utilizar o desvio-padrão amostral s, desde que n > 30.
Passo 3: Calcular o valor da média amostral x , e calcular os valores x - E e x + E. Representar o intervalo de
confiança através de uma das seguintes formas: x - E < µ < x + E; ou µ = x ± E; ou ( x - E, x + E).
Passo 2: Calcular a margem de erro E = zα
2
Ex. 3. Com base nas temperaturas do corpo humano de 106 adultos sadios, temos n = 106, x = 36,78º C e s =
0,34º C. Para um grau de confiança de 0,95, determine: (a) a margem de erro E; (b) o intervalo de confiança
para µ.
(a) α = 1 – 0,95 = 0,05. Da Tabela A-2, zα/2 = 1,96. Como n > 30, σ = s = 0,34. Então:
0,34
σ
E = zα 2
= 1,96
= 0,0647 ≅ 0,06
n
106
(b) x = 36,78º C e E = 0,06º C. Logo:
( x - E, x + E)
x-E<µ< x+E
µ= x±E
(36,78 - 0,06, 36,78 + 0,06)
36,78 – 0,06 < µ < 36,78 + 0,06
µ = 36,78 ± 0,06
(36,72, 36,84)
36,72 < µ < 36,84
µ = 36,78 ± 0,06
A idéia básica na construção de intervalo de confiança está alicerçada no Teorema do Limite Central, que indica
que, com grandes (n > 30) amostras, a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal com média
µ e desvio-padrão σ n . O formato do intervalo de confiança é, na realidade, uma variação da equação
σ
x−µ
. Resolvendo essa equação em relação a µ, obtemos µ = x − z
. Com os valores positivos e
z=
n
σ n
negativos de z obtemos os limites do intervalo de confiança, i.e., µ = x ± z
σ
n
.
2
→ Determinação do tamanho da amostra
Partindo da expressão da margem de erro E ( E = zα
σ
2
n
) e resolvendo em relação ao tamanho n da amostra,
2
z σ 
obtemos: n =  α 2  , onde o resultado deve ser arredondado para cima (se necessário) a fim de se obter um
 E 
número inteiro. O tamanho da amostra não depende do tamanho da população e sim do grau de confiança
desejado, da margem de erro pretendida e do valor do desvio-padrão σ. Se o valor de σ não for conhecido,
amplitude
estimá-lo usando a seguinte regra empírica: σ ≈
.
4
Ex. 4. Deseja-se estimar o preço médio de venda de um livro-texto para uma faculdade. Quantos exemplares
devemos selecionar, para termos 95% de confiança de que a média amostral esteja a menos de R$ 2,00 da
verdadeira média populacional µ.
α = 0,05. Da Tabela A-2, zα/2 = 1,96. Do enunciado do problema, E = 2,00. σ pode ser estimado admitindo que
os preços dos livros típicos de faculdade variam de R$ 40,00 a R$ 90,00. Dessa forma a amplitude é de R$
amplitude 90 − 40 50
50,00. Logo σ ≈
=
=
= 12,5 . Portanto, o tamanho da amostra deve ser
4
4
4
2
 z α 2σ 
1,96 × 12,5 
n=
 =
 = 150,06 ≅ 151 livros.
2
,
00
E




2
→ Estimativa de uma média populacional dispondo de pequenas amostras
Para construir um intervalo de confiança para a média populacional µ dispondo-se de pequenas amostras (n ≤
30) e desconhecendo o valor do desvio-padrão populacional σ, deve-se usar a distribuição t de Student,
desenvolvida por William Gosset (1876-1937).
* Distribuição t de Student: Se a distribuição de uma população é essencialmente normal (com a forma
aproximadamente de um sino), então a distribuição de t =
x−µ
s
n
é essencialmente uma distribuição t de
Student para todas as amostras de tamanho n. A distribuição t de Student, geralmente conhecida como
distribuição t, é utilizada na determinação de valores críticos denotados por tα/2, obtidos na Tabela A-3
localizando o número adequado de graus de liberdade na coluna à esquerda e percorrendo a linha até atingir o
número diretamente abaixo do valor aplicável (bilateral) de α. (Melhorar Figura)
Propriedades da distribuição t de Student
1- É diferente conforme o tamanho da amostra
2- Tem a forma de sino (simétrica), porém com maior variabilidade.
3- Tem média t = 0, mas o desvio-padrão varia conforme o tamanho
da amostra, e é superior a 1.
4- Na medida que o tamanho da amostra n aumenta, a distribuição t
de Student tende a distribuição normal padronizada.
* Graus de liberdade: É o número de valores que podem variar após terem sido impostos certas restrições a
todos os valores de um conjunto de dados. Nessa unidade, o número de graus de liberdade é simplesmente o
tamanho da amostra menos 1, ou sega, graus de liberdade = n – 1.
→ Condições para a utilização da Distribuição t de Student
1- O tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30);
2- σ é desconhecido;
3- A população original tem distribuição essencialmente normal.
→ Margem de erro para a estimativa de µ
s
, onde tα/2 tem n – 1 graus de liberdade.
E = tα 2
n
→ Processo de construção de um intervalo de confiança para µ dispondo de pequenas amostras (n ≤ 30)
Passo 1: Determinar o valor crítico tα/2 correspondente ao grau de confiança desejado.
3
Passo 2: Calcular a margem de erro E = tα
s
2
n
, onde tα/2 tem n – 1 graus de liberdade.
Passo 3: Calcular o valor da média amostral x e calcular os valores x - E e x + E. Representar o intervalo de
confiança através de uma das seguintes formas: x - E < µ < x + E; ou µ = x ± E; ou ( x - E, x + E).
Ex. 5. O monitoramento da concentração de gás sulfídrico (H2S) numa unidade de tratamento de águas
residuárias indicou uma concentração média de 0,51 mg/L, com desvio-padrão de 0,21 mg/L. Sabendo que
foram realizadas 16 campanhas do monitoramento, determine, para um grau de confiança de 0,95: (a) a margem
de erro E; (b) o intervalo de confiança para µ.
(a) α = 1 – 0,95 = 0,05. Da Tabela A-3, tα/2 = 2,132, pois n = 16 e o número de graus de liberdade é n – 1 = 16 –
s
0,21
1 = 15. s = 0,21. Então: E = tα 2
= 2,132
= 0,11
n
16
(b) x = 0,51 mg/L e E = 0,11 mg/L. Logo:
( x - E, x + E)
x-E<µ< x+E
µ= x±E
(0,51
- 0,11, 0,51 + 0,11)
0,51 – 0,11 < µ < 0,51 + 0,11
µ = 0,51 ± 0,11
(0,40, 0,62)
0,40 < µ < 0,62
µ = 0,51 ± 0,11
→ Usando o programa MINITAB
No MINITAB os intervalos de confiança podem ser obtidos usando-se os seguintes comandos:
Digite o valor da variável x na coluna C1. Em seguida acesse o menu:
Stat
Basic Statistics
1–sample Z (Intervalo de confiança para a média com desvio-padrão conhecido) – Figura (a)
1–sample t (Intervalo de confiança para a média com desvio-padrão desconhecido) – Figura (b)
Digite na janela a coluna da variável e selecione o nível de confiança desejado. Para a opção 1-sample Z é
necessário fornecer o valor de σ - Figura (a). Em seguida pressione o ícone OK.
Figura (a) - 1-sample Z
Figura (b) - 1-sample t
→ Estimativa de uma proporção populacional
* Proporção: É a forma ou modo de representar um dado ou resultado. Ex. A proporção de residências
sintonizadas num determinado programam de TV; a proporção de motoristas embriagados num feriadão.
x
= proporção amostral de x sucessos em uma amostra de
* Notação: p = proporção populacional; pˆ =
n
tamanho n; qˆ = 1 − pˆ = proporção amostral de x insucessos em uma amostra de tamanho n.
* Estimativa pontual para um proporção populacional: A proporção amostral p̂ é a melhor estimativa pontual
da proporção populacional p, pois é o estimador que apresenta maior consistência e é não tendencioso.
pˆ .qˆ
* Margem de erro da estimativa de p e intervalo de confiança para a proporção populacional p: E = zα 2
.
n
Dessa forma, o intervalo de confiança para a proporção populacional p é representado através de uma das
seguintes formas: p̂ - E < p < p̂ + E; ou p = p̂ ± E; ou ( p̂ - E, p̂ + E).
4
Ex. 6. Em uma pesquisa junto a 1068 americanos, 673 informaram ter secretária eletrônica. Com esses
resultados amostrais, determine: (a) a estimativa pontual da proporção populacional de todos os americanos que
têm secretária eletrônica; (b) a estimativa do intervalo de confiança de 95% da proporção populacional de todos
os americanos que têm secretária eletrônica.
x 673
(a) pˆ = =
= 0,630 .
n 1068
pˆ .qˆ
0,630 × 0,370
(b) zα/2 = 1,96 (Tabela A-2). qˆ = 1 − pˆ = 0,370 . E = zα 2
= 1,96
= 0,0290 .
n
1068
Assim, p̂ - E < p < p̂ + E ⇒ 0,630 – 0,0290 < p < 0,630 + 0,0290 ⇒ 0,601 < p < 0,659.
Para a porcentagem populacional, o resultado seria: 60,1% < p < 65,9%.
→ Determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção p
[z ]
p̂ : Resolver a expressão da margem de erro E para n: n =
2
1- Quando se conhece uma estimativa
α 2
[z ] (0,25)
E
pˆ .qˆ
2
2
2- Quando não se conhece uma estimativa p̂ : Substituir p̂ por 0,5 e q̂ por 0,5: n =
α 2
E2
Ex. 7. Desejamos estimar com uma margem de erro de 3 pontos percentuais, a percentagem de motoristas que
falam ao celular enquanto dirigem, com nível de confiança de 95%. Quantos motoristas devem ser pesquisados?
(a) Sabe-se, de um estudo prévio, que 18% dos motoristas falam ao celular; (b) não se conhece qualquer
informação que possa sugerir um valor de p̂ .
(a) p̂ = 0,18; qˆ = 1 − pˆ = 0,82 . Se deseja 95%, então α = 0,05; zα/2 = 1,96 (Tabela A-2) e E = 0,03 (3 pontos
percentuais).
2
zα 2 pˆ .qˆ [1,96]2 .(0,18)(
. 0,82 )
n=
=
= 630,0224 ≅ 631 motoristas.
2
2
E
(0,03)
[ ]
(b) p̂ = 0,5; q̂ = 0,5. Se deseja 95%, α = 0,05; zα/2 = 1,96 (Tabela A-2) e E = 0,03 (3 pontos percentuais).
[z ] (0,25) = [1,96] .(0,25) = 1067,1111 ≅ 1068 motoristas.
n=
2
α 2
E2
2
(0,03)2
→ Usando o programa MINITAB
No MINITAB o intervalo de confiança para uma proporção pode ser obtido usando-se os seguintes comandos:
Acesse o menu:
Stat
Basic Statistics
1 proportion
Selecione na janela a opção Summarized data e digite nas lacunas os valores de n e x, respectivamente Figura (a). Pressione o ícone Options. Digite o nível de confiança desejado, selecione a opção Use test and
interval.... - Figura (b), e pressione o ícone OK.
(a)
(b)
5
→ Estimativa de uma variância populacional
Para estabelecer estimativas de variâncias ou de desvios-padrão, devemos usar uma distribuição chamada quiquadrado.
* Distribuição qui-quadrado: Em uma população distribuída normalmente com variância σ2, escolhemos
aleatoriamente amostras independentes de tamanho n e calculamos a variância amostral s2 para cada amostra. A
(n − 1)s 2 tem uma distribuição chamada qui-quadrado, onde n é o tamanho da
estatística amostral χ 2 =
2
σ
amostra; s2 é a variância amostral; σ2 é a variância populacional. Os valores críticos da distribuição quiquadrado são dados pela Tabela A-4, onde o número de graus de liberdade é dado por n – 1.
* Propriedades da distribuição qui-quadrado: 1- Não é simétrica. Na medida em que o número de graus de
liberdade aumenta, a distribuição torna-se menos assimétrica. 2- Os valores de χ2 podem ser zero ou positiovs,
mas não negativos. 3- É diferente conforme o número de graus de liberdade. (Melhorar Figura)
Obs: Na Tabela A-4, cada valor crítico de χ2 corresponde a uma área dada
na linha superior da tabela, e essa área representa a região total localizada
à direita do valor crítico.
Ex. 8. Determine os valores críticos de χ2 que definem regiões críticas contendo uma área de 0,025 em cada
cauda. Suponha que o tamanho da amostra seja 10, de modo que o número de graus de liberdade é 10 – 1 = 9.
Área = α = 0,025; GL = 9. Da Tabela A-4 → χ2 = 19,023
Área = 1 - α = 1 - 0,025 = 0,975; GL = 9. Da Tabela A-4 → χ2 = 2,700
A estatística χ 2 = (n − 1)s 2 σ 2 tem uma probabilidade de 0,95 de estar entre os
valores críticos χ 12−α 2 = 2,700 e χ α2 2 = 19,023 .
* Estimativa pontual para a variância populacional: A variância amostral s2 é a melhor estimativa pontual para a
variância populacional σ2, pois é um estimador não-tendencioso. Logo. σ2 = s2.
* Intervalo de confiança para a variância populacional σ2: O intervalo de confiança para a variância
(n − 1)s 2 :
populacional σ2 pode ser obtido desenvolvendo a expressão χ 2 =
2
χ 12−α 2 <
(n − 1)s
σ2
2
< χ α2 2 ⇒
χ
2
1−α 2
<
1
χα 2
2
<
(n − 1)s 2 σ 2 (n − 1)s 2
⇒
(n − 1)s
χ α2 2
σ
2
<σ 2 <
(n − 1)s 2 .
χ 12−α 2
* Intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional σ: Extraindo a raiz quadrada da expressão anterior,
temos a seguinte expressão:
(n − 1)s 2 < σ < (n − 1)s 2
2
2
χα 2
χ 1−α 2
, que pode ser usada para determinar o intervalo de
confiança para o desvio-padrão populacional σ.
Ex. 9. Determinar o intervalo de confiança de 95% para σ2 e σ para uma amostra com n = 12, sendo µ = 3,50; σ
= 0,06; x = 3,504 e s = 0,109.
GL = 12 – 1 = 11
α = 1 – 0,95 = 0,05
α
= 0,025 ; GL = 11. Da Tabela A-4 ⇒ χ α2 2 = 21,920 .
2
1−α
Área =
= 0,975 ; GL = 11. Da Tabela A-4 ⇒ χ 12−α 2 = 3,816 .
2
Área =
6
(12 − 1)(0,109)2 < σ 2 < (12 − 1)(0,109)2
⇒ 0,006 < σ 2 < 0,034 ⇒
O intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional σ dado por:
0,006 < σ 2 < 0,034 ⇒
Assim,
(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2
2
2
χα 2
χ 1−α 2
⇒
21,920
3,816
(0,006; 0,034).
0,077 < σ < 0,185 ⇒ (0,077; 0,185).
→ Usando o programa MINITAB
No MINITAB o intervalo de confiança para o desvio-padrão pode ser obtido usando-se os seguintes comandos:
Acesse o menu:
Stat
Basic Statistics
Display Descriptive Statistics
Clicando em Graphs aparece a janela abaixo - Figura (a). Clicando a opção Graphical summary e selecionando
o nível de confiança desejado, obtemos a saída abaixo – Figura (b), que indica o intervalo de confiança para σ
(sigma):
(a)
(b)
→ Exercícios
1. Às idades de 42 presidentes dos EUA na ocasião da posse tem média 54,9 anos e desvio-padrão 6,3 anos.
Determine: (a) uma estimativa pontual para a idade média populacional de todos os presidentes dos EUA na
ocasião da posse; (b) uma estimativa intervalar para a idade média populacional com 96% de confiança; (c) uma
estimativa intervalar para a idade média populacional com 98% de confiança. (54,9); (52,8; 56,9); (52,6; 57,1)
2. As precipitações anuais (em cm) em Baixo Guandu (ES) durante um período de 39 anos, de 1942 a 1980, tem
média 89,67 cm e desvio-padrão 21,83 cm. Determine: (a) uma estimativa pontual para a precipitação média
anual populacional em Baixo Guandu; (b) uma estimativa intervalar para a precipitação média anual
populacional com 96% de confiança; (c) uma estimativa intervalar para a precipitação média anual populacional
com 98% de confiança. (89,67), (82,49; 96,85), (81,53; 97,80)
3. As distâncias (em km) entre a residência e o local de trabalho dos funcionários de uma certa empresa tem
média 2,025 km e desvio-padrão 2,430 km. Determine: (a) uma estimativa pontual para a distância média entre
a residência e o local de trabalho dos funcionários; (b) uma estimativa intervalar para a distância média
populacional com 96% de confiança; (c) uma estimativa intervalar para a distância média populacional com
98% de confiança. (2,025), (1,332;2,718), (1,240;2,810)) (Tamanho da amostra?)
4. Uma psicóloga elaborou um novo teste de percepção espacial e deseja estimar o escore médio alcançado por
pilotos do sexo masculino. Quantas pessoas ela deve testar para que o erro da média amostral não exceda 2,0
pontos, com 95% de confiança? Estudo anterior sugere σ = 21,2. (432)
5. Um instituto de pesquisa deseja estimar o tempo médio (em horas) que os estudantes universitários de tempo
integral passam vendo TV em cada dia da semana. Determine o tamanho da amostra necessário para estimar
7
essa média com uma margem de erro de 0,25 h (ou 15 minutos). Suponha que se exija um grau de 96% de
confiança. Suponha também que um estudo piloto tenha indicado que o desvio-padrão é estimado em 1,87
horas. (236)
6. Um analista de sistemas deseja avaliar o desempenho de um novo programa de análise numérica através do
tempo médio de processamento. Qual deve ser o tamanho da amostra necessária para garantir um erro amostral
máximo de 0,5 ms (milissegundos), na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de
96%. Suponha que um estudo semelhante tenha indicado que o desvio-padrão é estimado 2,1 ms. (75)
7. Uma amostra com 11 tempos (em segundos) decorridos entre a formulação do pedido e a entrega do prato em
uma lanchonete fast food tem média 124,4 s e desvio-padrão 48,6 s e parece ter distribuição em forma de sino.
Determine: (a) a melhor estimativa pontual para µ, o tempo médio decorrido entre a formulação dos pedidos e a
entrega de todos dos pratos em uma lanchonete fast food; (b) o intervalo de confiança de 95% para o tempo
médio populacional; (c) o intervalo de confiança de 99% para o tempo médio populacional. (124,4); (91,7;
157,0); (77,9; 170,9)
8. Uma amostra com 10 precipitações pluviométricas mensais ocorridas em Carapina, Serra (ES), no ano de
2001 tem média 135,4 mm e desvio-padrão 91,1 mm e parece ter distribuição em forma de sino. Determine: (a)
a melhor estimativa pontual para µ, a precipitação média mensal populacional ocorrida em Carapina; (b) o
intervalo de confiança de 95% para a precipitação média mensal populacional; (c) o intervalo de confiança de
99% para a precipitação média mensal populacional. (135,4), (70,2; 200,6), (41,7; 229,1)
9. Uma amostra com 10 tempos (em segundos) de resposta de uma consulta a um certo banco de dados tem
média 35,90 s e desvio-padrão 10,88 s e parece ter distribuição em forma de sino. Determine: (a) a melhor
estimativa pontual para µ, o tempo de resposta médio populacional de consulta a um banco de dados; (b) o
intervalo de confiança de 95% para o tempo médio populacional; (c) o intervalo de confiança de 99% para o
tempo médio populacional. (35,90), (28,12; 43,68)), (24,72;47,08)
10. Numa pesquisa feita em um supermercado, verificaram-se 1234 itens, constatando-se 20 deles com preço
excessivo. (a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de todos os
artigos que acusam preço excessivo; (b) utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho
da amostra necessário para estimar a proporção de itens que acusam preço excessivo. Admita um nível de
confiança de 99% em que a estimativa não apresente erro superior a 0,005. (0,00916; 0,02326); (4229)
11. Um estudo de saúde envolve 1000 mortes selecionadas aleatoriamente, dentre as quais 331 causadas por
doenças cardíacas. (a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de
todas as mortes causadas por doenças cardíacas. (b) Refaça o item anterior usando o MINITAB. (c) Utilizando
os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de
todas as mortes causadas por doenças cardíacas. Admita um nível de confiança de 98%, em que o erro da
estimativa não supere 0,01. (0,292670; 0,369330), (0,292670; 0,369330), (12022)
12. Em uma amostra aleatória simples com 200 edifícios com cinco anos, em certa cidade, 110 apresentaram
problemas estéticos relevantes após a entrega da obra. (a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de
confiança de 99% para a proporção de todos os edifícios da cidade que apresentaram problemas estéticos
relevantes nos cinco primeiros anos. (b) Refaça o item anterior usando o MINITAB. (c) Utilizando os dados
amostrais como estudo piloto, determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de todos os
edifícios da cidade que apresentaram problemas estéticos relevantes nos cinco primeiros anos. Admita um nível
de confiança de 98%, em que o erro da estimativa não supere 0,01. (0,45942; 0,64058), (0,459387; 0,640613),
(13437)
13. Um levantamento da vazão máxima anual (em m3/s) no rio Colorado durante 19 anos revelou média de 3199
m3/s e desvio-padrão de 1282 m3/s. Determine: (a) a melhor estimativa pontual para a variância populacional da
vazão média anual no rio Colorado; (b) o intervalo com 90% de confiança para a variância populacional da
vazão média anual no rio Colorado; (c) o intervalo com 99% de confiança para o desvio-padrão populacional da
vazão média anual no rio Colorado. (1643077); (1024747; 3149525); (892; 2173)
14. Um levantamento da vazão máxima anual (em m3/s) no rio Tevere durante 21 anos revelou média de 1406
m3/s e desvio-padrão de 453 m3/s. Determine: (a) a melhor estimativa pontual para a variância populacional da
vazão média anual no rio Tevere; (b) o intervalo com 90% de confiança para a variância populacional da vazão
8
média anual no rio Tevere; (c) o intervalo com 99% de confiança para o desvio-padrão populacional da vazão
média anual no rio Tevere. (204920), (130480; 377709), (320; 743)
15. Um levantamento da vazão máxima anual (em m3/s) no rio Po durante 21 anos revelou média de 5062 m3/s e
desvio-padrão de 1986 m3/s. Determine: (a) a melhor estimativa pontual para a variância populacional da vazão
média anual no rio Po; (b) o intervalo com 90% de confiança para a variância populacional da vazão média
anual no rio Po; (c) o intervalo com 99% de confiança para o desvio-padrão populacional da vazão média anual
no rio Po. (3944196), (2512542; 7273216), (1405; 3258)
16. Os dados a seguir representam a vazão máxima anual (em m3/s) no rio Colorado, durante um período de 52
anos, de 1878 a 1929. Determine através do programa MINITAB: (a) um sumário estatístico; (b) uma estimativa
pontual para a vazão média anual populacional; (c) uma estimativa intervalar para vazão média anual
populacional com 90% de confiança; (d) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com
95% de confiança; (e) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 99% de confiança;
(f) uma estimativa pontual para a variância populacional da vazão média anual; (g) um sumário gráfico com
nível de confiança de 95%; (h) uma estimativa intervalar para o desvio-padrão populacional da vazão média
anual com 95% de confiança. (2838); (2538; 3138); (2481; 3195); (2369; 3307); (1726831); (1101; 1630)
1980
1980
2120
2410
1130
2120
2550
3310
3120
2410
4250
3230
2120 1700 2550 8500 3260 3960 2270 1700 1570 2830 2120 2410 2550
2410 1420 1980 2690 3260 1840 2410 1840 3120 3290 3170 1980 4960
1980 4670 1700 2410 4550 2690 2270 5660 5950 3400 3120 2070 1470
3090
17. Os dados a seguir representam a vazão máxima anual (em m3/s) no rio Tevere, medida na estação de
monitoramento de Roma, na região central da Itália, durante um período de 54 anos, de 1921 a 1974. Determine
através do programa MINITAB: (a) um sumário estatístico; (b) uma estimativa pontual para a vazão média
anual populacional; (c) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 90% de confiança;
(d) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 95% de confiança; (e) uma estimativa
intervalar para vazão média anual populacional com 99% de confiança; (f) um sumário gráfico com nível de
confiança de 95%; (g) uma estimativa pontual para a variância populacional da vazão média anual; (h) uma
estimativa intervalar para o desvio-padrão populacional da vazão média anual com 95% de confiança. (1149),
(1040; 1258), (1020; 1279), (979; 1320), (237060), (409; 601)
1092 1099 1440 1083 1621 1132 935 1540 1966 775 1166 843 1508 1876 1696 1690 2730 1440
985 1346 1553 1370 743 1340 896 1600 2190 1600 714 794 1460 1240 1230 1270 861 1355
612 822 1370 1380 510 810 735 259 1290 1325 528 622 355 468 472 664 717 950
18. Os dados a seguir representam a vazão máxima anual (em m3/s) no rio Po, medida na estação de
monitoramento de Pontelagoscuro, na região norte da Itália, durante um período de 56 anos, de 1918 a 1973.
Determine através do programa MINITAB: (a) um sumário estatístico; (b) uma estimativa pontual para a vazão
média anual populacional; (c) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 90% de
confiança; (d) uma estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 95% de confiança; (e) uma
estimativa intervalar para vazão média anual populacional com 99% de confiança; (f) um sumário gráfico com
nível de confiança de 95%; (g) uma estimativa pontual para a variância populacional da vazão média anual; (h)
uma estimativa intervalar para o desvio-padrão populacional da vazão média anual com 95% de confiança.
(5314), (4927; 5700), (4853; 5775), (4708; 5919), (3097600), (1484; 2164)
5390
4150
5130
6510
4240
4690
5460
4880
7220
6810
6630
4540
3000
6620
7220
6430
2590
6620
3260
5630
2980
7700
8940
6110
3920
4380
4200
7240
3460
3900
7400
2470
8850
5420
4450
7830
3760
6870
2400
6080
8600
4600
5090
3170
2220
3270
6990
5270
5400
3660
5680
5940
3700
6830
7730
4030
9