Aceleração Constante
Aceleração Constante
Objetivos desta Aula
Entender o conceito de aceleração média no movimento retilíneo;
Entender o conceito de aceleração instantânea no movimento retilíneo
e entender a sua relação com a derivada;
Ser capaz de deduzir as equações do movimento relativas ao MRUV.
Pré-Requisitos
Ter estudado a Aula 2 - Velocidade Instantânea..
Aula 3
cinemática
Aceleração Constante
A
aceleração descreve quão rapidamente varia a velocidade durante o
movimento. De certo modo, percebemos acelerações com mais facilidade do
que velocidades. Imagine que você esteja de olhos fechados viajando em um
automóvel de janelas fechadas, que percorre uma estrada horizontal e reta
(suponha, além disso, que a estrada esteja em bom estado e que o carro seja
bom), as acelerações são facilmente percebidas. Se o carro acelera, você sente
o banco do carro pressionando as suas costas. Se a aceleração é negativa, isto
é, se o carro desacelera, você sente agora o cinto de segurança pressionando
o seu peito para trás (sendo uma pessoa inteligente, você certamente usará
cinto de segurança).
Já estamos habituados ao uso coloquial do conceito de aceleração. Todos nós
entendemos o que significa dizer que o automóvel está acelerando; significa que
a velocidade do automóvel está aumentando. Se dissermos que a aceleração
é grande, entende-se que a velocidade está variando rapidamente, ou seja, em
um certo intervalo de tempo, a velocidade varia de uma quantidade considerada
grande. Se um automóvel é freado, sua velocidade também varia, só que a
valores menores. Nesse caso diz-se que o automóvel foi desacelerado.
Em linguagem coloquial, variações positivas de velocidade são chamadas de
acelerações, e variações negativas são chamadas de desacelerações. Em
Física, o conceito de aceleração num movimento retilíneo é de uma grandeza
que pode ser positiva, negativa ou nula. É positiva se descreve um aumento
de velocidade e negativa se descreve uma diminuição. Desse modo, o que
usualmente se chama de desaceleração, é chamado em Física de uma
aceleração negativa. Por aceleração nula entende-se, é claro, a ausência de
aceleração. Nesse caso, a velocidade é constante.
Antes de ler esta seção você deve estudar a seção anterior .
Aceleração média e instantânea
Considere um intervalo de tempo [t1, t2], com t2 > t1. Se v(t1) é a velocidade
da partícula no instante t1 e v(t2) é a velocidade da partícula no instante t2 , a
variação da velocidade no intervalo de t2 a t1 é
∆v = v (t2 ) − v (t1 )
(1.4.1)
∆t = t2 − t1 .
(1.4.2)
e a duração deste intervalo é
A razão entre a variação da velocidade no intervalo de t1 a t2 e a duração deste
intervalo é chamada de aceleração média da partícula no intervalo [t1,t2], ou
seja,
at → t =
1
2
v (t2 ) − v (t1 )
t2 − t1
≡
∆v
.
∆t
(1.4.3)
Uma variação de velocidade é expressa, naturalmente, em unidades de
velocidade, isto é, em unidades de comprimento dividida por unidade de
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tempo. Sendo a aceleração média a razão entre a variação de velocidade e a
duração de um intervalo de tempo, a sua unidade será a de velocidade dividida
pelo tempo. No SI a unidade de aceleração média é o metro por segundo por
segundo, ou simplesmente m/s2.
Sendo a duração do intervalo t2 - t1 uma grandeza positiva, concluímos que a
aceleração média é positiva somente se a variação da partícula no intervalo de
t1 a t2 é positiva, isto é, se a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo.
A aceleração média é negativa somente se a velocidade diminui no intervalo.
Finalmente, o caso da aceleração média nula corresponde à situação em que
a velocidade da partícula em t2 é igual à sua velocidade em t1. Porém, isso
não significa que necessariamente durante esse intervalo a velocidade da
partícula tenha permanecido constante. Isso pode ou não ter acontecido, mas
conhecendo-se apenas a velocidade média nesse intervalo, nada podemos
afirmar. A aceleração média dá apenas uma idéia global de como varia a
velocidade em um intervalo.
Por exemplo, a velocidade média nula em um intervalo não significa
necessariamente que a velocidade tenha permanecido constante neste
intervalo, ela pode ter variado de modo a voltar, no final do intervalo, ao valor
que tinha no início.
Para ter uma informação mais detalhada sobre a rapidez da variação da
velocidade, devemos considerar o conceito de velocidade instantânea, que nos
fornece a rapidez com que a velocidade varia num instante em particular.
A aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite da razão entre ∆v
e ∆t, quando a duração do intervalo tende a zero, ou seja,
(
) ()
 v t + ∆t − v t 
.
a(t ) = lim 
∆t → 0
∆t


(1.4.4)
Esse limite (lim) define a derivada da velocidade com relação ao tempo,
ou seja, a aceleração instantânea num dado instante é a derivada com
relação ao tempo da função que descreve a velocidade da partícula neste
dado instante.
Logo, a aceleração instantânea num dado instante t0 é expressa por
a(t0 ) =
dv (t )
.
dt t = t
(1.4.5)
0
dv(t )
(A expressão
é a derivada da função velocidade, denotada por v(t), com
dt
relação
ao tempo, que denotamos por t.)
Agora você poderia dizer com convicção:
- Mas a função velocidade já não é a derivada com relação ao tempo da
função posição? Logo, posso concluir então que devo derivar com relação ao
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tempo duas vezes a função posição para obter a função aceleração!
- Isso mesmo, a expressão matemática da sua afirmação nos mostra como
calcular a função aceleração a partir da função posição:
dv (t ) d  dx (t )  d 2 x (t )
a(t ) =
= 
≡
.
dt
dt  dt 
dt 2
(1.4.6)
d2
(A expressão
indica que estamos derivando duas vezes a função posição
dt 2
com
relação ao tempo. O índice “2” não significa que estamos “elevando ao
quadrado”!)
Como vimos no final da seção anterior, você poderia nos perguntar agora:
- Se você conhecesse a aceleração de uma partícula em todos os instantes
do movimento e a sua velocidade num instante em particular, seria possível
determinar a sua função velocidade?
- A resposta é sim! Se conhecemos a função aceleração e uma dada velocidade
instantânea v0 , podemos encontrar a função velocidade. A função velocidade
é obtida por meio do conceito matemático de integral. Assim,
t
v (t ) = v0 + ∫ a(t ') dt '.
t
(1.4.7)
t0
(A expressão a(t ') dt ' é a integral, do instante t0 ao instante t, da função
aceleração, t0
denotada por a(t), e t’ é a variável de integração.)
∫
Como já dissemos, o cálculo de derivadas e integrais está fora do objetivo
deste curso e não serão cobrados nas avaliações, mas eles são necessários
para deduzirmos as equações do movimento retilíneo com aceleração constante
a seguir.
Aceleração constante ou Movimento
Uniformemente Variado (MRUV)
Retilíneo
Suponha que uma partícula se mova com aceleração constante durante
um determinado intervalo de tempo. Como vimos acima, se você souber a
velocidade instantânea no instante inicial deste intervalo, você pode conhecer
a velocidade em qualquer instante deste intervalo.
Vamos representar a aceleração da partícula por a e vamos chamar de v0
a velocidade no instante inicial t0 = 0. Pela Eq. (1.4.7), podemos resolver a
integral para obter a função velocidade em qualquer instante t pertencente a
este intervalo,
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t
v (t ) = v0 + ∫ a dt '
(1.4.8)
0
= v0 + at .
Agora, se conhecermos também a posição da partícula no instante inicial,
podemos obter a sua posição em qualquer instante deste intervalo, como já
vimos na seção anterior .
Assim, se representarmos x0 como a posição inicial da partícula, podemos
substituir o resultado da Eq. (1.4.8) na Eq. (1.3.2) para obter
t
x (t ) = x0 + ∫ v (t ') dt '
0
t
(
)
= x0 + ∫ v0 + at ' dt '
0
= x0 + v0 t +
(1.4.9)
1 2
at ,
2
que é a conhecida expressão para a lei horária do movimento no MRUV,
que é estudada no ensino médio!
Finalmente, vamos terminar esta seção com o seguinte exercício: combine os
resultados obtidos pelas Eqs. (1.4.8) e (1.4.9) e encontre que, num instante
qualquer do intervalo, a seguinte relação é válida:
(
)
v 2 = v0 2 + 2 a x − x0 .
(1.4.10)
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CRÉDITOS
Texto adaptado por Lizardo H. C. M. Nunes da apostila Física 1A, de Carlos
Farina de Souza, Marcus Venicius C. Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho.
Revisão
Mônica dos Santos Dahmouche
Equipe do Portal da Educação
Programação Visual
André Nogueira
Ilustração
Fabiana Rocha
Fabio Muniz
André Nogueira