8
fgv – 04/12/2011
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
16. Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial
3x4 + 2x3 + mx2 – 4x = 0, na incógnita x, que possui uma
4
1
raiz racional entre - e - . Nessas condições, a menor
5
2
raiz irracional da equação é igual a
a)–
3
b)–
2
c)
2
2
d)2
Resolução:
Notamos que uma raiz racional é zero. Utilizando o Teorema das
Raízes Racionais e o enunciado que indica a outra raiz racional entre
2
4
1
- e - , concluímos que a outra raiz racional é - .
3
5
2
N
A
x2 = 2
x=±
2
Portanto, a menor raiz irracional é –
2.
Alternativa B
CPV
FGV111FDEZECO
D
5
N
A
5
D
5
M
10
5
B
3x2 – 6 = 0
10
B
2
- 30m- 2 m – 4 = 0 Þ m = – 6
3
3
Daí: C
M
3
2m
–4
0
0
3 2 m –4 0
No tetraedro ABCD, planificamos duas faces:
C
Do dispositivo de Briott-Ruffini, temos:
a)10 3
b)15
c)10 2
d10
e)5 3
Resolução:
e)3
17. Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm
ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um
tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de
uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta
à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho
mais curto possível, então o inseto percorreu a distância,
em centímetros, igual a
Como MN une os pontos médios de dois lados opostos do losango
ABCD, deduzimos que:
MN = AC = BD = 10 cm.
Alternativa D
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
18. O polígono do plano cartesiano determinado pela relação
| 3x | + | 4y | = 12 tem área igual a
a)6.
b)12.
c)16.
d)24.
e)25.
19. Dois números distintos m e n são retirados aleatoriamente
do conjunto {2, 22, 23, ..., 210}. A probabilidade de que
logm n seja um número inteiro é:
17
b)
90
1
c)
5
Temos, para cada quadrante:
1o quadrante:
2o quadrante:
3o quadrante:
4o quadrante:
19
d)
90
3x + 4y = 12
– 3x + 4y = 12
– 3x – 4y = 12
3x – 4y = 12
2
e)
9
Com o que formamos o gráfico do losango:
Resolução:
y
Temos que existem 10 . 9 = 90 pares ordenados (m; n) em que
m e n são elementos distintos do conjunto {21, 22, 23, ..., 210}.
Se m = 21, há 9 pares ordenados (m; n) em que logm n é um
número inteiro, a saber:
3
–4
4
x
{(21; 22), (21; 23), (21, 24), ... , (21; 210)}.
–3
cuja área é:
9
8
a)45
Resolução:
Fgv – 04/12/2011
8.6
= 24
2
Analogamente, se m = 22, há 4 pares ordenados (m; n) em que
logm n é um número inteiro, a saber:
{(22; 24), (22; 26), (22, 28), (22; 210)}.
Alternativa D
Da mesma forma, nas condições necessárias:
se m = 23 há 2 pares (m; n);
se m = 24 há 1 par (m; n) e
se m = 25, há 1 par (m; n).
Assim, a probabilidade pedida é
9 + 4 + 2 + 1 + 1 17
=
.
90
90
Alternativa B
FGV111FDEZECO
CPV
10
fgv – 04/12/2011
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
20. Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B,
AC2 = 48, BP2 = 9, sendo que BP é a altura de ABC com
relação ao vértice B. Nessas condições, a medida do ângulo
^
ACB é:
a) 15º ou 75º.
b) 20º ou 70º.
c) 22,5º ou 67,5º.
d) 30º ou 60º.
e)45º.
21. Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de
raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é ralado na base
do cone e fica acumulado em seu interior (figura 1). Desejase retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro
circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por
dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da
base do queijo e formando um ângulo α (figura 2), de forma
que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do
volume do ralador.
Resolução:
^
Observe a figura a seguir, em que α = m (ACB).
B
3
4
3–x
α
x
A
P
C
Aplicando as relações métricas ao triângulo retângulo ABC, temos:
(BP)2 = AP . PC Þ 9 = (4 3 – x) . x Þ
x2 – 4 3 x + 9 = 0 Þ x =
Assim, no ΔBPC, resulta que:
tg α =
CPV
3 ou x = 3 3
3
3
Þ tg α =
=
x
3
Nas condições do problema, α é igual a
a)45º.
b)50º.
c)55º.
d)60º.
e)65º.
Resolução:
3 ou tg α =
Portanto, α = 60º ou α = 30º
FGV111FDEZECO
3
3 3
=
3
3
Alternativa D
Como o volume do cilindro deve ser 90% do volume do cone,
temos:
90
V
= Vcilindro
100 cone
a
9 1
. π (8)2 . 6
. π (4)2 . 10 =
360º
10 3
α = 45º
Alternativa A
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
22. O termo independente de x do desenvolvimento de
12

 x + 1 


x 3 
a)26.
b)169.
c)220.
d)280.
e)310.
é:
12

1 
Os termos do desenvolvimento de  x + 3  são dados por:

x 
12 p  1 12 − p
Tp+1 =   . x .  3 
 x 
p
Como se pede o termo independente de x, temos:
a) 5 minutos.
4
b)5 11
5
c)5 11
6
d)5 11
8
e)5 11
minutos.
minutos.
minutos.
minutos.
Resolução:
Observe a figura a seguir que mostra o horário do encontro.
 1 12 − p
xp .  3 
= x0 Þ x4p – 36 = x0
 x 
β
12
Assim: 4p – 36 = 0
1
p = 9
30º
Dessa forma:
12
12 !

T10 =   = 3! 9 ! = 220
9
 
11
23. Duas pessoas combinaram de se encontrar entre 13h e 14h,
no exato instante em que a posição do ponteiro dos minutos
do relógio coincidisse com a posição do ponteiro das horas.
Dessa forma, o encontro foi marcado para as 13 horas e
Resolução:
Fgv – 04/12/2011
α
2
3
Alternativa C
Consideremos que o horário do encontro seja às 13h e x min.
Devemos, agora, aplicar uma regra de três para determinar o ângulo
α que o ponteiro das horas se deslocou em x minutos.
ponteiro das horas (graus)
ponteiro dos minutos (minutos)
3060
αx
xº
2
Logo: α =
Como cada minuto representa um deslocamento de
no ponteiro dos minutos, o ângulo β da figura é 6xº.
Desta forma:
β = 30º + α Þ 6xº = 30º +
360º
= 6º
60
xº
5
Þ x=5
min.
11
2
Alternativa C
FGV111FDEZECO
CPV
12
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
fgv – 04/12/2011
24. As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no
ponto P, sendo que AP = 6, PB = 4 e CP = 2.
25. O valor de y no sistema de equações
1

sen 10º x − cos 10º y = − sen 50º

é:

1
sen 50º x + cos 50º y = −
sen 10º

4 3
a) 3
b)3
c)3
O raio desse círculo mede
a)5.
b)6.
c)3 3.
d)4 2.
e)5 2.
3
d)3
3
e)4
Resolução:
Resolução:
Observe a figura a seguir:
R
Por Cramer, temos:
D=
= sen 10º . cos 50º + sen 50º . cos 10º = sen (10º + 50º) = sen 60º
D=
6
2
Dy =
4
A partir da potência do ponto P, obtemos:
PA . PB = PC . PD Þ 6 . 4 = 2 . PD
PD = 12
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras aos triângulos ACP e APD,
obtemos:
AC =
2 2 + 62 = 2
10
AD =
62 + 122 = 6
5
CPV
A partir da Lei dos Senos no ΔACD, obtemos:
2 10
AC
= 2R Þ PA = 2R

sen ( ADC )
AD
R=5
2
FGV111FDEZECO
sen 10º - cos 10º
=
sen 50º
cos 50º
3
2
sen 10º −
O
3
Alternativa E
sen 50º
1
sen 50º
sen 10º
sen 50º
=
+
sen
10
º
sen 50º = 2
1
sen 10º
Dy
4
4 3
2
=
=
Portanto, y = D =
3
3
3
2
Alternativa A
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
26.O número complexo z = a + bi, com a e b reais,
satisfaz z + | z | = 2 + 8i, com | a + bi | = a2 + b2. Nessas
condições, | z |2 é igual a
Fgv – 04/12/2011
13
27. Um total de N famílias (N ≠ 0) foram questionadas sobre
quantos aparelhos eletrônicos possuem na cozinha da sua
residência. Todas as famílias responderam corretamente à
pergunta. Os dados tabulados são:
a)68.
b)100.
c)169.
d)208.
e)289.
Resolução:
a 2 + b2 = 2 + 8i
Devemos ter: a + bi +

 2
2
2
2
 a + a + b = 2 ⇒  a + 8 = 2 − a ⇒  a = −15
 b = 8
 b = 8
 b = 8


Logo: | z |2 = 82 + (–15)2 = 289
Alternativa E
De acordo com os dados, o menor valor possível de N é:
a)2.
b)5.
c)8.
d)16.
e)25.
Resolução:
A tabela dada corresponde a:
Total de aparelhos
eletrônicos na cozinha
0
1
2
3
4
Frequência
12,5% =
1
8
0
50% =
1
2
25% =
1
4
12,5% =
1
8
MMC (2, 8, 4) = 8
Então N é múltiplo de 8, dentre os quais o menor valor é 8.
Alternativa C
FGV111FDEZECO
CPV
14
fgv – 04/12/2011
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
28. O país fictício Trol possui moeda denominada tol, cuja
abreviação é TL$. As casas de câmbio no Brasil compram
TL$ 1,00 por R$ 2,00 e vendem esse mesmo TL$ 1,00 por
R$ 2,40. Já as casas de câmbio em Trol compram R$ 1,00
por TL$ 0,42 e vendem R$ 1,00 por TL$ 0,52.
Desconsiderando taxas e impostos, e admitindo ser possível
o câmbio de qualquer fração de dinheiro, para um turista
brasileiro que pretende trocar reais por tols na ida da viagem
(operação A), e tols por reais na volta (operação B), será
mais vantajoso fazer
a)
b)
c)
d)
e)
A no Brasil e B em Trol.
A em Trol e B no Brasil.
A e B no Brasil.
A e B em Trol.
A no Brasil e B indiferentemente em Trol ou no Brasil.
Resolução:
Operação A:
Brasil: R$ 2,40 ® TL$ 1,00
Trol:
R$ 1,00 ® TL$ 0,42 Þ
Þ R$ 2,40 ® TL$ 0,42 . 2,40 = TL$ 1,008
Portanto, a operação A em Trol é mais vantajosa, pois com a
mesma quantidade de reais adquire-se mais tols.
Operação B:
Brasil: TL$ 1,00 ® R$ 2,00 Þ
Þ TL$ 0,52 ® R$ 2,00 . 0,52 = R$ 1,04
Trol:
TL$ 0,52 ® R$ 1,00
Portanto, a operação B é mais vantajosa no Brasil, pois com a
mesma quantidade de tols adquire-se mais reais.
Alternativa B
29. Acredita-se que na Copa do Mundo de Futebol em 2014,
no Brasil, a proporção média de pagantes, nos jogos do
Brasil, entre brasileiros e estrangeiros, será de 6 para 4,
respectivamente. Nos jogos da Copa em que o Brasil não
irá jogar, a proporção média entre brasileiros e estrangeiros
esperada é de 7 para 5, respectivamente. Admita que o público
médio nos jogos do Brasil seja de 60 mil pagantes, e nos
demais jogos de 48 mil. Se ao final da Copa o Brasil tiver
participado de 7 jogos, de um total de 64 jogos do torneio,
a proporção média de pagantes brasileiros em relação aos
estrangeiros no total de jogos da Copa será, respectivamente,
de 154 para
a)126.
b)121.
c)118.
d)112.
e)109.
Resolução:
n º ( Br )
6
=
Em jogos do Brasil:
n º ( Est ) 4
no (Br) = 6k 
 6k + 4k = 60.000 Þ k = 6.000
no (Est) = 4k 
Logo, no (Br) = 36.000 e no (Est) = 24.000
n º ( Br )
7
Nos demais jogos:
=
(
)
5
n º Est
o
n (Br) = 7k 
 7k + 5k = 48.000 Þ k = 4.000
no (Est) = 5k 
Logo, no (Br) = 28.000 e no (Est) = 20.000
7 com Brasil
64 jogos
57 sem Brasil
M (Br) =
M (Est) =
7 . 36 000 + 57 . 28 000 1 848 000
=
64
64
7 . 24 000 + 57 . 20 000 1 308 000
=
64
64
1 848 000
M ( Br )
154
64
razão:
=
=
109
M ( Est ) 1 308 000
64
Alternativa E
CPV
FGV111FDEZECO
CPV o cursinho que mais aprova na fGV
Fgv – 04/12/2011
15
30.A função polinomial P (x) = x3 + ax2 + bx + c tem a
propriedade de que a média aritmética dos seus zeros, o
produto dos seus zeros e a soma dos seus coeficientes são
todos iguais. Se o intercepto do gráfico de y = P (x) com
o eixo y ocorre no ponto de coordenadas (0; 2), b é igual a
COMENTÁRIO DA PROVA
Mesmo com a incidência de algumas questões de resolução mais
imediata, acreditamos que muitos candidatos bem preparados
tiveram dificuldade em mostrar seu potencial, ainda mais com
problemas na administração do tempo.
a)5.
b)1.
c)–9.
d)–10.
e)–11.
Resolução:
Sejam x1, x2 e x3 os zeros da função mencionada.
Por Girard:
x1 + x2 + x3 = – a e x1 . x2 . x3 = – c
A prova de Matemática do processo seletivo da FGV Economia
(Dez/2011) mostrou-se, como de costume, uma prova difícil e
cansativa.
Estes fatores poderão, eventualmente, favorecer o candidato
menos preparado, ocasionando distorções na eficiência do
processo seletivo.
Torcemos para que a banca examinadora consiga contornar
estes possíveis problemas na 2a fase e, com isso, alcançar seus
objetivos.
a

 1 + a + b + c = - 3
Devemos ter:
Þ a = 3c,


 1 + a + b + c = – c
sendo c = 2, pois P(0) = c
Logo: a = 6; c = 2 e b = –11
Alternativa E
FGV111FDEZECO
CPV