Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um
ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone
circular o conjunto de todos os segmentos .
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Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado
( altura igual ao diâmetro da base) é chamado
cilindro eqüilátero.
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eixo
g’
R
a
V
g
h
V é vértice
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
A Fig. mostra um
Cone Oblíquo.
*O
a
90º
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Cone Circular Reto
ou Cone de Revolução
V
1) O eixo é perpendicular ao
plano da base.
2) No DVOA :
g
h
B
O*
R
g2 = h2 + R2
A
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Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
C
B
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C
A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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A
B
C
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Seção Meridiana
O DVBA é a seção meridiana do cone.
V
Seção
Meridiana
g
B
2R
*O
A
Se o triângulo
VBA é
eqüilátero, o
cone é um
Cone
Eqüilátero.
g=2R
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Planificação do Cone Reto
g
Clique
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
R
x
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g
h
x
R
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g
h
x
R
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
h
R
x
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g
Angulo q
q
g
h
R
x
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pR
2
R
2pR
q= g
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Áreas e Volume
Área Base
( Ab )
Ab = p R2
Área Lateral
( AL )
AL = p R g
Área Total
( At )
Volume
( V)
At = AL+ Ab
1
V=
3
p
2
R
h
Ex. 1:
Desenvolvendo a superfície lateral de um
cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um
setor circular cujo ângulo central mede:
a) 216º
b) 240º
c) 270º
d) 288º
e) Nenhuma das respostas
anteriores.
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(EPUSP-SP)
Ex. 2:
O volume do sólido gerado pela revolução
de um triângulo euilátero de lado a em
torno de um de seus lados é:
a) 1
4
pa3
c) 1
2
pa3
b) 1
3
pa3
d) 3
4
pa3
e) 4
3
pa3
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(UF-RS)
Ex. 3:
O volume de um cone eqüilátero,
circunscrito a uma esfera de raio R, é:
a) pR3
b) 3pR3
c) 2pR3
d) 4pR3
e) 5pR3
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(PUC-SP)
Elementos do cone circular
• altura: distância h do vértice V ao plano
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no
ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do
círculo e pelo vértice do cone
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Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à
base é chamado cone reto, também denominado
cone de revolução. Ele pode ser gerado pela
rotação completa de um triângulo retângulo em
torno de um de seus catetos.
2
2
2
g =h +R
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Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por
um plano que contém o eixo de rotação é
chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o
cone também será eqüilátero.
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Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone
circular reto, obtemos um setor circular de raio g e
C  2pR
comprimento
:
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a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área
da base
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Volume
Para determinar o volume do cone aplicamos a
relação:
1
V  pR h
3
2
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Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e
uma pirâmide equivalentes possuem volumes
iguais:
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Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir,
temos:
•as bases maior e menor são paralelas;
•a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.
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Áreas
a) área lateral
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b) área total
At  Al  AB  Ab
At  p ( R  r ) g  pR 2  pr 2

At  p R  r ) g  R 2  r 2

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Volume
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Sendo V o volume do cone e V' o volume do
cone obtido pela secção são válidas as relações:
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Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto
de pontos do espaço cuja distância ao centro é
menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo
em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado
por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma
superfície esférica e formada por todos os pontos
pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
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Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
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Partes da esfera
• Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto
de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é
igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma
semicircunferência em torno de seu diâmetro, a
superfície esférica é o resultado dessa rotação.
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A área da superfície esférica é dada por
AS  4pR
2
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Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica
que se obtém ao girar uma semi-circunferência de
um ângulo α
em torno de seu eixo:
0  a  2p 
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A área do fuso esférico pode ser
obtida por uma regra de três simples
AS  2p rad
AF  a
4pR  2p rad
AF  a
2
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Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo
em torno de seu eixo de um ângulo a
0  a  2p 
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O volume da cunha pode ser obtido por
uma regra de três simples:
VE  2p rad
VC  a
4 3
pR  2p rad
3
VC  a
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