Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio
Comentários sobre os Temas e seus Descritores
Exemplos de Itens
T EMA I – ESPAÇO E FORMA
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática
porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe
permite compreender, descrever e representar, de forma organizada e concisa, o mundo
em que vive.
Na 3ª série do Ensino Médio, o estudante deve ficar mais familiarizado com o
raciocínio abstrato; deve ser capaz de reconhecer as figuras geométricas planas não
somente pelas suas definições, mas também por meio de suas propriedades e,
sobretudo, conseguir fazer inferências de novas propriedades; além disso, deve
reconhecer as figuras espaciais e todas as suas propriedades. As noções de geometria
analítica são consideravelmente ampliadas, permitindo ao aluno relacionar retas e
circunferências com suas equações. As funções e relações trigonométricas são
apresentadas no círculo (ou ciclo) trigonométrico e não somente no triângulo retângulo.
A verificação da habilidade em cada descritor desse tema deve ser feita por meio
de problemas curtos, contextualizados, e que contemplem situações simples do cotidiano
do aluno.
As habilidades relacionadas aos descritores do tema ESPAÇO E
comentadas a seguir, considerando-se o que é avaliado nos testes do Saeb.
D1 –
FORMA
são
Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de
proporcionalidade.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer a semelhança
entre figuras geométricas a partir de um fator de proporcionalidade dado, ou então obter
o fator de proporcionalidade a partir de figuras que sejam semelhantes.
Exemplo de item do descritor D1:
Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de
raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira
lata, possui um volume
(A)
duas vezes maior.
(B)
três vezes maior.
(C)
quatro vezes maior.
(D)
sete vezes maior.
(E)
oito vezes maior.
D2 –
Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um
problema que envolva figuras planas ou espaciais.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer, em um problema
envolvendo figuras planas e espaciais, situações nas quais devem ser usadas as
relações métricas de um triângulo retângulo, especialmente quando se tratar do Teorema
de Pitágoras. Observe que neste descritor está especificado que deve haver um contexto,
um problema. Por exemplo, no caso do cálculo da altura de um trapézio isósceles quando
são conhecidas as bases e o lado, fazemos uso direto do Teorema de Pitágoras. Uma
situação-problema pode ser criada lembrando que o trapézio isósceles é uma forma
bastante comum dos tampos das mesas dos laboratórios de ensino de Matemática.
Exemplo de item do descritor D2:
Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções ortogonais. Uma
pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra, 5 metros para o leste. Qual a distância
que separa essas duas pessoas ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
7m
13m
17m
60m
119m
D3 –
Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações
ou vistas.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer as planificações
dos poliedros tais como prismas, pirâmides, troncos, cilindros e cones. Tanto faz propor
um problema em que o aluno identifique a planificação de uma dada figura espacial ou,
dada uma planificação, identificar a figura espacial correspondente.
Exemplo de item do descritor D3:
Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular, qual é
a planificação do molde desse copo?
(A)
2
(B)
(C)
(D)
(E)
D4 –
Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de
poliedros expressa em um problema.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno compreender a relação de
Euler para poliedros. Essa relação estabelece que, se subtrairmos o número de arestas,
A, do número de vértices, V, somando o número de faces, F, obteremos a constante 2,
ou seja, V – A + F = 2.
Exemplo de item do descritor D4:
Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro, somente uma
vez, um deficiente visual percebe que passou por 8 vértices e 12 arestas. O número de
faces desse poliedro é, então, igual a
(A)
20.
(B)
12.
(C)
8.
3
(D)
6.
(E)
4.
D5 –
Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo
retângulo (seno, co-seno, tangente).
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno aplicar as razões
trigonométricas no triângulo retângulo em problemas que permitam reconhecer que o
aluno sabe as definições de seno, co-seno e tangente sem confundir uma com a outra.
Exemplo de item do descritor D5:
Para se deslocar de sua casa até a sua escola, Pedro percorre o trajeto representado na
figura abaixo.
casa
30°
4 km
60°
escola
Sabendo que tg (60°) = 3 , a distância total, em km, que Pedro percorre no seu trajeto
de casa para a escola é de
(A) 4 +
3
.
4
(B) 4 +
3.
(C) 4 +
4 3
.
3
(D) 4 3 .
(E)
4+4 3.
4
D6 – Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar a localização de
um ponto em um plano cartesiano, ou seja, o aluno deve reconhecer um elemento
(ponto) do sistema de eixos cartesiano ortogonal a partir de um par ordenado ou, com
base em um par ordenado, determinar o ponto do sistema cartesiano.
Exemplo de item do descritor D6:
Uma cidade tem quatro pontos turísticos. Considerando que os pontos são identificados
pelas coordenadas A(1,0), B(2,1), C(2,3) e D(3,1) no plano cartesiano, o gráfico que
melhor representa as localizações dos pontos de turismo é
3
3
(A)
(B)
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
3
0
1
2
3
0
1
2
3
3
(D)
(C)
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
0
1
2
3
3
(E)
2
1
0
5
D7 – Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer a inclinação de
uma reta e o ponto de sua interseção com o eixo das ordenadas, sendo dada a sua
equação. Nesse caso, a equação da reta é dada na forma y = mx + n. O aluno deve ser
capaz de entender que, quanto maior o valor positivo do coeficiente angular m, maior é a
inclinação da reta com respeito ao eixo das abscissas. Do mesmo modo, quanto maior o
valor negativo do coeficiente angular, menor é a inclinação da reta com respeito ao eixo
das abscissas.
Exemplo de item do descritor D7:
Os pesquisadores verificaram que numa determinada região quando a pressão de
um gás é de 6 atm, o volume é de 32 cm³, e quando a pressão é de 8 atm, o volume é de
20 cm³. A taxa média de redução do volume é representada pela declividade da reta que
passa por P1= (6, 32) e P2= (8, 20), ilustrada no gráfico abaixo. Nesse caso, a
declividade é igual a
Volume (cm 3 )
Pressão (atm)
Nesse caso, a declividade é igual a
(A)
-6.
(B)
6.
(C) 8.
(D) 20.
(E)
32.
6
D8 – Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados
ou de um ponto e sua inclinação.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno determinar e identificar a
equação de uma reta a partir de dois pontos dados ou de um ponto e seu coeficiente
angular. Além disso, o aluno deve saber relacionar o coeficiente angular de retas
paralelas e o coeficiente angular m de uma reta com o coeficiente angular −
1
de sua
m
perpendicular.
Exemplo de item do descritor D8:
Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro entre os pontos de coordenadas (2,3)
e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser retilínea. Qual é a equação da reta que
representa essa estrada de ferro?
(A)
y = 2x + 3
(B)
4x = 7 y
(C)
y = 2x −1
(D)
y=
x
+2
2
(E)
y=
x
+5
2
D9 –
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas
com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno fazer a correspondência
entre o ponto de interseção de duas retas concorrentes no sistema cartesiano ortogonal
com a solução de um sistema de duas equações lineares dadas pelas equações dessas
retas.
Por exemplo, considere o seguinte problema bem simples. Carlos e Renato
compraram lanche na cantina da escola. Carlos comprou um cachorro-quente e 2
refrescos, gastando R$ 2,20 e Renato comprou 2 cachorros-quentes e um refresco e
gastou R$ 2,90. Como determinar o preço do cachorro-quente e do refresco? O problema
deve ser montado para o aluno, ou seja, chamando x o valor do cachorro-quente e y o
valor do refresco teremos que x + 2y é o valor que Carlos gastou, e, portanto, x + 2y =
2,20. Do mesmo modo, 2x + y = 2,90 é o valor que foi gasto por Renato. As duas
equações formam um sistema, são equações de retas, e a solução do sistema é o ponto
que pertence às duas retas, ou seja, sua interseção. O valor de x, o cachorro-quente, é
R$ 1,20 e o valor de y, o refresco, é R$ 0,50.
7
Exemplo de item do descritor D9:
Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou
neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está
representada pelo gráfico abaixo.
Y
25
r1
18
r2
4
X
Sabendo que r1 representa a reta de equação x + y= 25 e r2 a reta de equação 20x +
50y= 980, onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de
cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par
ordenado
(A)
(8,17).
(B) (9,16).
(B)
(7,18).
(C)
(11,14).
(D)
(12,13).
D10 –
Reconhecer entre as equações de 2º grau com duas incógnitas, as que
representam circunferências.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer a equação de
uma circunferência em um conjunto de equações do segundo grau com duas variáveis, e
também verificar se o aluno é capaz de determinar o raio e o centro de uma
circunferência a partir de sua equação.
8
Exemplo de item do descritor D10:
Ao fazer uma planta de uma pista de atletismo, um engenheiro determinou que, no
sistema de coordenadas usado, tal pista deveria obedecer à equação:
x2 + y2 + 4x - 10y + 25 = 0
Desse modo, os encarregados de executar a obra começaram a construção e notaram
que se tratava de uma circunferência de
(A)
raio 4 e centro nos pontos de coordenadas ( −2 , 5 ) .
(B)
raio 4 e centro nos pontos de coordenadas ( 2 , −5) .
(C) raio 2 e centro nos pontos de coordenadas ( 2 , −5) .
(D)
raio 2 e centro nos pontos de coordenadas ( −2 , 5 ) .
(E)
raio 5 e centro nos pontos de coordenadas ( 4 , −10) .
9
Matriz de Referência de Matemática da 3 ª série do Ensino Médio
Comentários sobre os Temas e seus Descritores
Exemplos de Itens
T EMA II – G RANDEZAS E MEDIDAS
A manipulação das unidades de medidas convencionais é o principal objetivo
desse tema. Devem ser consolidados os conceitos de perímetro e área de figuras planas,
bem como área e volume dos prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.
As habilidades relacionadas aos descritores do tema G RANDEZAS E
comentadas a seguir, considerando-se o que é avaliado nos testes do Saeb.
MEDIDAS
são
D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno calcular o perímetro de
polígonos regulares e irregulares, circunferências e de figuras compostas por duas ou
mais das figuras planas anteriores.
Exemplo de item do descritor D11:
Um fazendeiro dividiu uma área circular de 100m de raio em setores iguais de ângulo
central 45°, conforme a figura abaixo.
45°
Sabendo que o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2 π r, onde
π = 3,14 , quantos metros de arame o fazendeiro vai precisar para circundar a figura
demarcada?
(A) 200,785 m
(B) 557 m
(C) 478,5 m
(D) 278,5 m
(E) 178,5 m
D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno calcular a área de figuras
planas explorando os polígonos regulares e irregulares em malhas quadriculadas. As
quadrículas da malha devem ser usadas como unidades de medida tanto para o cálculo
de perímetro quanto para o cálculo de área dos polígonos. Os problemas podem ser
apresentados por meio de textos ou desenhos fornecendo medidas lineares de triângulos,
quadriláteros e círculos que possibilitem o cálculo da figura desejada.
Exemplo de item do descritor D12:
Observe, abaixo, a figura F desenhada numa região quadriculada.
F
Considere
cada
quadradinho
como
uma
represente-a por u. Então, a área da região limitada pela figura F é
(A) 9 u.
(B) 11 u.
(C) 13 u.
unidade
de
área
e
(D) 15 u.
(E) 16 u.
D13 –
Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido
(prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno trabalhar problemas que
envolvam o cálculo de área total e do volume dos sólidos geométricos. Devem ser
explorados os poliedros tais como prismas e pirâmides regulares e irregulares, os sólidos
de revolução como cilindros, cones e esferas.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde o aluno por meio de fórmulas, teoremas, lemas , corolários e/ou por indução possa
realizar os devidos cálculos, a partir da visualização das figuras ou de maneira
interpretativa de um texto que descreva a referida figura.
Exemplo de item do descritor D13:
Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de
8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude, e o nível da água atingiu a
boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm 3, de todas as n bolas de gude
juntas?
(A) 32π
(B) 48π
(C) 64π
(D) 80π
(E) 96π
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Comentários sobre os Temas e seus Descritores
Exemplos de Itens
T EMA III – N ÚMEROS E OPERAÇÕES /ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Nesse tema abordam-se essencialmente os tópicos estudados em álgebra. Nessa
etapa em que finaliza o ensino básico, o aluno deverá ter o domínio completo sobre
representação geométrica dos números reais, proporcionalidade e porcentagem,
problemas de equações do 2º grau, funções lineares e quadráticas, função inversa,
função logarítmica e função exponencial, equações de primeiro e de segundo graus,
progressões, sistemas lineares com três ou mais equações, funções trigonométricas,
análise combinatória e probabilidades.
As habilidades relacionadas aos descritores do tema NÚMEROS E
O PERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES são comentadas a seguir, considerando-se o que é
avaliado nos testes do Saeb.
D14 – Identificar a localização de números reais na reta numérica.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno compreender que cada
número real corresponde a um ponto na reta numérica e que cada ponto na reta numérica
corresponde a um número real.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, que
envolvam números inteiros com quantidade variada de dígitos e zeros em posições
intercaladas, números racionais em sua forma fracionária ou na forma decimal e os
números irracionais. Problemas em que se questione a localização de um número da
forma
1
, com a ≠ 0 , considerando que a pode ser inteiro, racional ou irracional, positivo
a
ou negativo, costumam ser bastante esclarecedores.
Exemplo de item do descritor D14:
Imagine que o alojamento das equipes de vôlei masculino e feminino, nas Olimpíadas,
esteja em uma mes ma avenida. Como pessoas do mesmo sexo não podem ficar juntas,
elas foram separadas à esquerda e à direita do Centro de Apoio (CA), que está localizado
no meio da avenida, e que está representado pelo zero, conforme a figura abaixo. Os
meninos ficam à esquerda e a localização deles é representada pelo sinal – e as meninas
ficam à direita, com localização representada pelo sinal +.
Br
Br
0
CA
A
-30
-20
10
20
Qual é a localização das equipes do Brasil de vôlei masculino e feminino,
respectivamente, na avenida olímpica?
(A) 45 e 55
(B) – 45 e – 55
(C) 55 e – 45
(D) – 55 e 45
(D) 45 e –55
D15 –
Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou
inversas entre grandezas.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno trabalhar proporcionalidade
simples e composta de maneira direta e inversa.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, que
explorem a ocorrência da variação proporcional direta e inversa das grandezas, e também
explorem situações em que há variação das grandezas, mas essa variação não é
proporcional.
Os tradicionais problemas como, por exemplo: “Se dois operários demoram 20
dias para realizar uma obra, quantos dias demorarão cinco operários para realizar a
mesma obra?”, que tratam da proporcionalidade direta, e os problemas que tratam da
proporcionalidade inversa, como, por exemplo: “Se 18 operários demoram 30 dias para
realizar uma obra, trabalhando 8 horas por dia, quantos dias demorarão 15 operários para
realizar a mesma obra, trabalhando 9 horas por dia?”, não podem deixar de ser
apresentados. É importante que o aluno compreenda que se a quantidade de horas é
considerada então quanto mais operários disponíveis para o trabalho, menos dias serão
necessários para realizar a obra.
Exemplo de item do descritor D15:
Seis máquinas fabricam, em 48 dias, 2 000 metros de um tecido. Em quantos dias oito
máquinas, com a mesma capacidade de produção, vão fabricar 3 000 metros do mesmo
tecido?
(A) 16
(B) 24
(C) 36
(D) 54
(E) 64
D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno demonstrar o entendimento
de que porcentagem, quer seja apresentada na forma de uma fração, quer forma decimal
ou na forma porcentual, é também uma forma de proporcionalidade. É uma fração do todo
em que o denominador é sempre 100. Por exemplo, quando calculamos 10% de R$ 30,00
e obtemos R$ 3,00, deve ficar claro para o aluno que a proporção é
10
3
=
, ou seja,
100 30
três partes de 30 é igual a 10 partes de 100.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, que
proponham não somente a análise do texto do problema, mas também a análise de
gráficos.
Exemplo de item do descritor D16:
Uma pesquisa sobre o perfil dos fumantes mostrou que, num grupo de 1 000 pessoas,
70% fumam e, dentre os fumantes, 44% são mulheres. Qual a quantidade de homens que
são fumantes no grupo de 1 000 pessoas?
(A) 700
(B) 660
(C)
392
(C) 308
(D) 260
D17 – Resolver problema que envolva equação de segundo grau.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno obter resultado de uma
equação do segundo grau e saber manipulá-la.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas
quais o aluno calcule as raízes ou faça/reconheça o gráfico de uma equação do segundo
grau; e também saiba localizar seu vértice e perceber simetrias e saiba escrever a
equação como produto de suas raízes reais.
Exemplo de item do descritor D17:
Suponha que num dia de outono a temperatura f (t ) , em graus, era uma função do
tempo t, medido em horas, dada por f ( t ) = t 2 − 7t . A que horas desse dia a temperatura
era igual a 18°C?
(A) Às 5 horas
(B) Às 18 horas
(C) Às 7 horas
(D)
Às 9 horas
(E)
Às 2 horas
D18 –
Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de
uma tabela.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar a forma algébrica
de uma função, que na verdade é dada por uma equação do tipo
f(x) = “expressão
algébrica”, a partir de alguns pontos dados em uma tabela e que pertencem ao gráfico da
função.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde o aluno examina uma tabela de dados, que sejam interessantes e atualizados, e
identifica a função a cujo gráfico esses pontos pertencem. É importante que o professor
deixe claro para o aluno que nem sempre meia dúzia de pontos identifica uma função.
Tomando, por exemplo, as funções seno e co-seno sabemos que elas têm os mesmos
valores em uma infinidade de pontos, mas não são iguais, ou seja, se colocássemos em
uma tabela somente os pontos onde ambos coincidem não conseguiríamos identificá-las.
Precisaríamos de outras informações para decidir.
Exemplo de item do descritor D18:
Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa acrescida de uma taxa
que varia de acordo com o número de quilômetros rodados. A tabela abaixo mostra o
custo (C) do aluguel, em reais, em função do número de quilômetros rodados (q).
Quilômetros
rodados (q)
10
20
30
40
Custo (C)
55
60
65
70
Entre as equações abaixo, a que melhor representa a situação da tabela acima é
(A)
C = 5 q + 5.
(B)
C = 4 q + 15.
(C)
C = q + 45.
(D)
C=
(E)
C=
q
2
+ 50.
q
+ 55.
10
D19 – Resolver problema envolvendo uma função de primeiro grau.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno manipular funções cuja
expressão algébrica seja um polinômio do primeiro grau, dada a partir de gráficos,
tabelas, gravuras, etc.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas
quais o aluno usa uma função linear, ou seja, uma função cuja expressão algébrica seja
um polinômio do primeiro grau.
Um exemplo bastante simples do uso de uma função linear é: “Se uma caixa
d’água (não importa a forma) tem um volume de 500 litros ao meio-dia, mas às 6 horas da
tarde estava com apenas 350 litros, porque a água foi gasta e não está sendo reposta.
Nesse ritmo, quando a caixa terá metade da quantidade de água inicial?”. O problema é
modelado pela função V(t) = 500 -25t, onde t é o tempo e V o volume. Portanto, o volume
será 250 litros às 10 horas da noite.
Exemplo de item do descritor D19:
Marcelo trabalha em uma loja de brinquedos. Seu salário mensal é representado por uma
função do 1º grau, S= 0,02x + 50, onde x representa o total das vendas , em reais. Num
dado mês, Marcelo recebeu R$ 1 250,00. O valor das vendas efetuadas é de
(A) R$ 740,00.
(B) R$ 6 000,00.
(C) R$ 60 000,00.
(D) R$ 7 400,00.
(E) R$ 2 550,00.
D20 –
Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas
em gráficos.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno analisar o gráfico de funções
lineares e quadráticas. Faz parte dessa análise identificar se a função é crescente ou
decrescente, não crescente ou não decrescente, isto é, se há trechos onde a função
permanece constante. Também deve fazer parte dessa análise, a determinação dos zeros
das funções, ou seja, dos pontos onde o gráfico das funções intercepta o eixo das
abscissas no plano de coordenadas cartesianas.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, que
podem ser obtidas tomando-se gráficos em jornais, revistas, Internet, etc.
Exemplo de item do descritor D20:
O gráfico mostra a temperatura numa cidade da Região Sul, em um dia do mês de Julho.
Temperatura
Horas do dia
A temperatura aumenta no período de
(A) 8 às 16h.
(B) 16 às 24h.
(C) 4 às 12h.
(D) 12 às 16h.
(E) 4 às 16h.
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar o gráfico que
modela a situação descrita em um texto. Essa habilidade é avaliada por meio de
situações-problema contextualizadas obtidas de jornais, revistas, Internet etc.
Exemplo de item do descritor D21:
Uma dose de penicilina é injetada em um animal. Nesse instante, sua concentração no
sangue do animal é igual a 10 unidades/ml. Sabe-se que a concentração de penicilina no
sangue cai continuamente e, a cada hora, reduz-se à metade. Assinale o gráfico que
ilustra mais adequadamente a redução da concentração, C, de penicilina no sangue
desse animal, em função do tempo t.
(B)
C
5
(C)
C
10
(unidades / ml)
(unidades / ml)
10
5
t
1
2
3
C
(D)
(E)
5
1
2
3
t
(h)
2
3
t
(h)
5
1
C
10
(unida des / ml)
10
(unida des / ml)
1
(h)
C
10
(unidades / ml)
(A)
5
t
1
2
3
(h)
D22 – Resolver problema envolvendo PA/PG dada a fórmula do termo geral.
2
3
t
(h)
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar e trabalhar com
progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG), desde que seja dada a
fórmula do termo geral. É importante que o aluno realmente compreenda a definição de
uma PA e de uma PG, e não que decore fórmulas. Na maioria dos livros a fórmula do
termo geral de uma PA é an = a1 + (n – 1)r e a fórmula do termo geral de uma PG é an =
a1qn-1, mas pode haver variações como an = a0 + nr para a PA e an = a0qn para a PG. O
importante é que o aluno compreenda que no caso de uma PA, para avançar um termo
temos que somar a razão r, para avançar dois termos temos que somar 2r, e assim
sucessivamente, e no caso de uma PG temos que multiplicar por q para avançar um
termo, por q2 para avançar dois e assim sucessivamente.
Essas habilidades são avaliadas por meio de situações-problema
contextualizadas, sem identificar o tipo de progressão, de modo que o aluno decida qual
das fórmulas do termo geral ele deve aplicar. Problemas que requeiram, por exemplo,
subtrair do 52º termo o valor do 34º não têm correspondência no mundo real.
Progressões geométricas são seqüências que representam o aumento de um
capital em alguma aplicação financeira, ou seja, se aplicarmos, por exemplo, R$ 100,00 a
uma taxa de 2% ao mês obteremos, após 5 meses, o valor 100(1,02)5, porque basta
calcular o quinto termo de uma PG de razão 1,02.
Exemplo de item do descritor D22:
O termo que ocupa a posição n em uma progressão aritmética (PA) de razão r é dado
pela fórmula an = a1 + (n - 1)r. O décimo quarto termo de uma PA de razão 3, cujo primeiro
termo é igual a 20, é
(A) 39.
(B) 42.
(C) 59.
(D) 62.
(E) 70.
D23 – Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de primeiro grau por meio
de seus coeficientes.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar o gráfico de uma
função linear, ou seja, dada a equação da função, reconhecer o seu gráfico.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde é dada uma função, ou mais de uma, na forma f(x) = ax + b e o aluno interpreta
corretamente o significado do coeficiente angular a e o significado do coeficiente linear b.
Por exemplo, podemos pedir ao aluno que identifique o gráfico de uma função onde a = 2
e outra onde a = -3.
Exemplo de item do descritor D23:
Uma pedra é largada de uma certa altura e cai em queda livre. A velocidade da pedra
durante a queda pode ser expressa por v = gt, em que g = 10 m/s 2 é a aceleração da
gravidade e t o tempo transcorrido.
Qual é o gráfico que melhor ilustra a velocidade da pedra em função do tempo, até o
momento em que ela chega ao solo?
(A)
(B)
v(m/s)
(C)
v(m/s)
v(m/s)
t(s)
v(m/s)
t(s)
(D)
v(m/s)
t(s)
t(s)
(E)
t(s)
D24 – Reconhecer a representação algébrica de uma função do primeiro grau, dado
o seu gráfico.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno associar um dado gráfico de
uma função linear à equação que define a função. É importante destacar que, ao contrário
do descritor D23, aqui tem que ser dado o gráfico. A equação correspondente é
identificada na resposta do problema.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, de
modo que o aluno reconheça que uma expressão algébrica da forma y = ax + b é uma
reta. Por exemplo, no sistema de eixos de coordenadas cartesianas Oxy, se o gráfico
dado for uma reta paralela ao eixo Ox então o aluno deve saber que a equação se reduz
a y = b, no caso do gráfico ser uma reta que faz um ângulo menor do que 90º com o eixo
Ox, x > 0, então na equação temos a > 0, no caso do gráfico ser uma reta que faz um
ângulo maior do que 90º com o eixo Ox, x > 0, então na equação temos a < 0.
Exemplo de item do descritor D24:
O gráfico seguinte representa a altura (h) de uma planta, dada em centímetros, em função
do tempo (t), expresso em meses.
h(cm)
10
2
t(meses)
A expressão algébrica que representa a função esboçada é
(A)
h = 5t.
(B) h = t + 5.
(C) h = 2t + 10.
(D) h = 5t + 10.
(E) h = 10t + 2.
D25 –
Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no
gráfico de uma função polinomial do segundo grau.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer quando se trata
de um de ponto máximo e quando se trata de um ponto mínimo no gráfico de uma função
cuja expressão algébrica é um polinômio de segundo grau.
Essas habilidades são avaliadas por meio de situações-problema
contextualizadas, de modo que o aluno mostre que ele sabe determinar o vértice de uma
parábola e reconhece a propriedade de simetria.
Exemplo de item do descritor D25:
Uma bala é atirada de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola de equação y =
-5x2 + 90x, onde as variáveis x e y são medidas em metros.
y
0
18
x
Nessas condições, a altura máxima atingida pela bala é
(A) 30m.
(B) 40,5m.
(C) 81,5m.
(D) 405m.
(E)
810m.
D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do
primeiro grau.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer os valores que
são raízes de uma função polinomial de primeiro e de segundo graus dadas nas formas
f(x) = a(x – xo) e g(x) = a(x – xo)(x – x1), respectivamente. Polinômios de grau n podem ser
considerados, em particular para n = 3, mas a atenção especial deve ser dada aos casos
linear e quadrático.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas
quais o aluno saiba determinar as raízes de um polinômio analisando a sua expressão
algébrica dada por um produto de fatores lineares.
Exemplo de item do descritor D26:
Decompondo o polinômio P(x) = 5x 2 + 5x – 30 em fatores do 1º grau, obtém -se
(A)
5( x – 5) ( x – 3 ).
(B) 5( x – 2) ( x + 3 ).
(C) 5( x + 2 ) ( x – 3 ).
(D) 5( x – 2 ) ( x – 3 ).
(E)
5( x + 5) ( x + 3 ).
D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função
exponencial.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer uma função
exponencial dado o seu gráfico, bem como, dada a expressão algébrica de uma função
exponencial, reconhecer o seu gráfico.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas
quais o aluno demonstre reconhecer características da função exponencial tais como ter
forma f(x) = abx com a > 0, ser sempre crescente se b > 0, ser sempre decrescente se b <
0, ser côncava para cima, e ser sempre positiva, isto é, não tem valores menores ou
iguais a zero.
Exemplo de item do descritor D27:
Entre os seguintes gráficos, aquele que representa adequadamente a função y =
7x é
y
y
y
x
x
x
(A)
(B)
(C)
y
y
x
(D)
x
(E)
D28 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica
reconhecendo-a como inversa da função exponencial.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno relacionar uma função
exponencial quer seja dada por uma expressão algébrica, quer seja dada por um gráfico,
com a sua inversa. Por exemplo, dada a função exponencial f(x) = 2x , o aluno deve
reconhecer que sua inversa tem expressão algébrica dada por
g(x) = log2 (x) , e que
para o logaritmo temos somente x > 0, pois esses são todos os valores que obtemos ao
calcular a exponencial.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde a função exponencial é usada, seja na forma algébrica, seja na forma gráfica. São
variadas as situações de uso da função exponencial como no crescimento de populações
e desintegração radioativa, por exemplo.
Exemplo de item do descritor D28:
Em uma indústria de um determinado metal utilizado em computadores, a sua produção
segue a lei f(x) = 2x – 1, onde f(x) representa a produção do metal e x, o tempo gasto para
a sua produção. O diretor financeiro dessa indústria pediu que seu auxiliar técnico
montasse o gráfico da lei inversa da função acima, de modo que pudesse mostrar à
diretoria o tempo para determinadas produções. O novo gráfico corresponde à função
−1
(A)
f ( x) = log 2( x −1) .
(B)
f ( x )= 1− log 2( x −1) .
(C)
f ( x ) = 1− log2 (x) .
(D)
f ( x ) = 1+ log x (2) .
(E)
f ( x ) = 1+ log2 (x ).
−1
−1
−1
−1
D29 – Resolver problema que envolva função exponencial.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno manipular de forma algébrica
e/ou numérica a expressão de uma função exponencial. Note que nesse descritor não é
cobrado o relacionamento de uma função exponencial com a sua inversa, a função
logarítmica. Aqui trabalhamos somente com a função exponencial.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde o aluno calcule valores para a função exponencial, identifique interseções de seu
gráfico, etc. Os contextos são os mesmos mencionados no des critor anterior.
Exemplo de item do descritor D29:
Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população A de determinada bactéria
cresce segundo a expressão A(t) = 25.2t , onde t representa o tempo em horas. Para
atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de
(A) 2 horas.
(B) 6 horas.
(C) 4 horas.
(D) 8 horas.
(E) 16 horas.
D30 –
Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, co-seno, tangente)
reconhecendo suas propriedades.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno diferenciar os gráficos das
funções seno, co-seno e tangente. Deve ser claro para o aluno que o seno e o co-seno
têm o mesmo período, podem ser calculados para qualquer número real, mas têm valores
somente entre -1 e 1, crescem e decrescem, mas não são iguais. No caso da tangente, o
aluno deve reconhecer que esta também tem um período no qual seu gráfico se repete,
mas não está definida para qualquer número real, embora tenha como resultado qualquer
número real.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, que
exijam do aluno reconhecer o gráfico de uma dessas funções como, por exemplo,
identificar qual é o gráfico correspondente ao movimento de um objeto cuja trajetória é
dada pela equação d(x) = sen(?– x), a partir de x = 0.
Exemplo de item do descritor D30:
Observe o gráfico a seguir.
y
1
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 , 2π ] ?
(A)
y = − cos x
(B)
y = cos
(C)
y = sen( −x )
(D)
y = sen 2 x
(E)
y = 2 senx
x
2
D31 – Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno identificar a matriz
escalonada que corresponde à matriz aumentada do sistema dado, e, a partir de uma
matriz escalonada que represente um sistema, determinar os valores das incógnitas
(variáveis). O aluno também deve ser capaz de escrever as equações de um sistema
linear em três variáveis quando lhe for dada a matriz aumentada desse sistema, ou seja, o
aluno identifica o produto de matrizes envolvido na descrição de um sistema de três
equações e três incógnitas.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, mas
não se exige do aluno que ele saiba montar o sistema de equações a partir do problema.
O sistema é montado para o aluno.
Exemplo de item do descritor D31:
Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em
quantidades diferentes. Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas,
gastando um total de R$ 119,00. Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco
camisetas, gastando um total de R$ 202,00. Carla comprou duas sandálias, uma saia e
duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00. Para determinar os preços x, y e z da
sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por
 1 2 3 119 

3 5 202  .
2

 2 1 2 118 


O sistema associado a essa matriz é
(A)
x + 2y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e 3x + 5y + 2z = 118.
(B)
3x + 2y + z = 119; 5x + 3y + 2z = 202 e 2x + y + 2z = 118.
(C)
2x + 2y + z = 119;
(D)
3x + 5y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e
(E)
D32 –
x + 3y + 2z = 202 e 2x + 5y + 3z = 118.
x + 2y + 2z = 118.
x + 2y + 3z = 119; 2x + 3y + 5z = 202 e 2x + y + 2z = 118.
Resolver o problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou
noções de permutação simples e/ou combinação simples.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno resolver problemas simples
usando princípios de contagem.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
exigindo que o aluno saiba quando usar o princípio da multiplicação, saiba que esse
princípio se aplica à contagem de eventos sucessivos e que pode levar a uma
permutação simples ou a um arranjo, que é exatamente o caso da permutação de k
elementos em um universo de n elementos. Por exemplo, quando perguntamos: quantos
números com 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? São 10
× 9 × 8 × 7. Nesse caso a ordem importa. Os números 1.259 e 5.921 são distintos, assim
como todas as permutações desses algarismos. Mas, se quisermos os conjuntos, ou
agrupamentos, de 4 elementos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 5 e 9,
teremos apenas um, porque agora a ordem não importa. O conjunto {1, 2, 5, 9} é igual ao
conjunto {5, 9, 2, 1}. Agora temos uma combinação. Portanto, se pedirmos todos os
conjuntos de quatro algarismos que podemos formar com os algarismos de 0 a 9 teremos
10 × 9 × 8 × 7
10!
=
.
4!
4!(10 − 4)!
Exemplo de item do descritor D32:
Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher
uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de
tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada usando-se apenas as
6 cores de tinta que ele possui?
(A)
6
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 60
D33 – Calcular a probabilidade de um evento.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno determinar a probabilidade de
ocorrência de um evento associando-a com a freqüência.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
simples, como, por exemplo, lançar dois dados e observar a soma dos pontos obtidos,
comparar a probabilidade dessa soma ser 12, ou 9, ou 7.
Exemplo de item do descritor D33:
Em uma escola, há 400 estudantes do sexo masculino e 800 do sexo feminino.
Escolhendo-se ao acaso um estudante dessa escola, qual a probabilidade de ele ser do
sexo feminino?
(A)
1
4
(B)
1
3
(C)
2
5
(D)
1
2
(E)
2
3
Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio
Comentários sobre os Temas e seus Descritores
Exemplos de Itens
T EMA IV – T RATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Esse tema explicita a importância de ensinar ao aluno a usar os conhecimentos
adquiridos em sua vida escolar para interpretar informações que aparecem nos jornais e
revistas.
As habilidades relacionadas aos descritores deste tema T RATAMENTO DA
INFORMAÇÃO são comentadas a seguir, considerando-se o que é avaliado nos testes do
Saeb.
D34 –
Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou
gráficos.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno analisar tabelas ou gráficos.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, onde o
aluno responde a consultas com respeito à situação apresentada em um gráfico ou em
uma tabela. Podem ser usados nos problemas tabelas de preços, gráficos que mostram o
crescimento dos juros, ou o índice de escolaridade das pessoas do País, ou de uma
região. É importante que os dados sejam atualizados para que o aluno tenha uma
informação que é real.
Exemplo de item do descritor D34:
distância (m)
O gráfico abaixo mostra a distância, em metros, que um pequeno roedor está de sua toca,
no período de 17h até às 23h.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
17
18
19
20
horas
21
22
23
Os dados indicam que o animal
(A) está mais longe da toca às 23 horas.
(B) está 8 metros longe da toca às 20 horas.
(C) está sempre afastando-se da toca entre 18 e 20 horas.
(D) estava na toca uma única vez entre 17 e 23 horas.
(E) estava sempre a menos de 12 m da toca nesse, nesse período.
D35 –
Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos
gráficos que as representam e vice-versa.
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno relacionar informações de
tabelas aos seus gráficos.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas,
onde o aluno analisa as informações de tabelas, listas ou gráficos que as representam, ou
ao contrário, dado um gráfico saber montar tabelas ou listas com as informações
apresentadas no gráfico.
Exemplo de item do descritor D35:
A tabela abaixo mostra a distribuição dos gastos médios, per capita, com saúde, segundo
os grupos de idade.
Grupos de idade
Gastos
(em reais)
menos de 5 anos
9
de 5 a 9 anos
6,2
de 10 a 19 anos
8,2
de 20 a 39 anos
11,1
de 40 a 59 anos
14,8
mais de 60 anos
22,9
Fonte: IBGE – PPV – 1996/97.
Qual dos gráficos representa a distribuição dada pela tabela acima?
(A)
25
20
15
10
5
0
(B)
<5
5a9
10 a 19 20 a 39 40 a 59
25
20
15
10
5
0
60 +
<5
5a9
Grupos de idade
(C)
(D)
5a9
10 a 19 20 a 39 40 a 59
60 +
Grupos de idade
(E)
5a9
10 a 19 20 a 39 40 a 59
Grupos de idade
25
20
15
10
5
0
<5
5a9
10 a 19 20 a 39 40 a 59
Grupos de idade
25
20
15
10
5
0
<5
60 +
Grupos de idade
25
20
15
10
5
0
<5
10 a 19 20 a 39 40 a 59
60 +
60 +