ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
Se n é um número natural, define-se fatorial
de n (símbolo: n!) da seguinte forma:
2. Considere a equação (n – 3)! = 6 (n – 4)!.
a) Encontre o domínio da variável n.
b) Resolva a equação.
Portanto, para n ≥ 2, n! é o produto de todos
os naturais de 1 até n.
3. Resolva as equações
Exemplos
 3! = 3 . 2 . 1 = 6
 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040
3!
3.2.1

3

0 ! 1! 1  1
Se n é natural positivo, vale a seguinte
propriedade:
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE
CONTAGEM
Essa propriedade é muito útil na simplificação
de expressões ou na resolução de equações
envolvendo fatorial.
Os elementos de um conjunto finito podem
ser agrupados de várias formas, de acordo
com os critérios utilizados na formação dos
agrupamentos.
O objetivo do cálculo combinatório é
determinar de quantas maneiras diferentes
podem ser formados os vários tipos de
agrupamentos. Os processos de contagem se
baseiam em dois princípios fundamentais,
que passaremos a estudar agora.
Exemplos
PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM
Exemplos
8!
12!
e
1) Simplificar as expressões
6! 11! 10!
2) Resolver a equação n! = 72 (n – 2)!
QUESTÕES PROPOSTAS
1. Simplifique as expressões
Suponhamos que, para se deslocar de
casa até o trabalho, uma pessoa tenha as
seguintes alternativas:
 um de seus dois automóveis (A1 e A2);
 uma das três linhas de ônibus que fazem
o trajeto (O1 , O2 ou O3);
 o metrô (M).
De quantas formas diferentes ela poderia
escolher seu transporte?
Temos três hipóteses quanto ao tipo de
transporte. Para cada uma delas, há um certo
número de opções. Veja:
1
Portanto, a pessoa pode ir de casa até o
trabalho de 2 + 3 + 1 = 6 formas diferentes (A1,
A2, O1, O2, O3, M).
O problema anterior ilustra o princípio
aditivo de contagem.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DE CONTAGEM
Suponhamos que um estudante pretenda
escolher um conjunto tênis-calça-camiseta para ir
à escola e que ele tenha, como alternativas,
 dois pares de tênis (T1 e T2);
 quatro calças jeans (J1 , J2 , J3 e J4);
 três camisetas (C1 , C2 e C3).
De quantas formas diferentes ele pode fazer
sua escolha?
Nesse caso, a escolha se compõe de três
etapas. Para cada uma delas, há um certo
número de opções, como mostra o esquema
abaixo.
Há uma diferença importante entre esse
problema e o anterior.
No primeiro, tínhamos três hipóteses, que se
excluíam mutuamente. Ao escolher o metrô, por
exemplo, ficavam excluídas as demais hipóteses
(automóvel ou ônibus).
No último problema, a escolha envolve três
etapas: escolha do tênis, escolha do jeans e
escolha da camiseta.
Para cada tênis que o estudante possa vir a
escolher, ele tem quatro opções para escolha do
jeans; para cada conjunto tênis-jeans que tenha
escolhido, ele tem três opções para a escolha da
camiseta.
O esquema abaixo, chamado árvore das
possibilidades, mostra todos os resultados
possíveis para o último problema.
Obtivemos um total de 24 possíveis
resultados, ou seja, há 24 maneiras diferentes
de o estudante escolher um conjunto tênisjeans-camiseta.
Note que esse resultado é justamente o
produto obtido multiplicando-se, entre si, os
valores relativos ao número de opções em
cada uma das três etapas:
2 . 4 . 3 = 24
Esse princípio é válido, também, para
casos em que o evento contenha três ou mais
etapas.
Analisando comparativamente os dois
problemas, podemos notar um detalhe muito
simples que pode nos ajudar a diferenciar o
princípio aditivo do multiplicativo.
 A conjunção ou liga duas hipóteses e
está associada à operação adição.
 A conjunção e liga duas etapas e está
associada à operação multiplicação.
Muitos problemas práticos podem ser
resolvidos utilizando-se esses dois princípios.
2
Exemplos
1) A cantina do meu colégio vende 4 tipos de
salgados e 5 marcas de refrigerantes. De
quantas formas distintas posso escolher meu
lanche (um salgado e um refrigerante)?
2) A diretoria de uma empresa é constituída de 6
homens e 4 mulheres. Entre seus membros,
pretende-se escolher um presidente e um vicepresidente, com a condição de que um deles
deva ser necessariamente homem. De quantas
formas diferentes essa escolha pode ser feita?
3) No atual sistema, as placas de automóveis
são constituídas de 3 letras, escolhidas entre 26,
e 4 algarismos, escolhidos entre 10. Uma cidade
brasileira convencionou que as placas de seus
veículos deveriam obedecer às seguintes
condições:
 todas começariam por vogal;
 não haveria letra repetida;
 o primeiro algarismo deveria ser maior que 4.
Nessas condições, quantos veículos podem ser
emplacados nessa cidade?
QUESTÕES PROPOSTAS
4. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis,
com 5 opções de cores. Cada um deles está
disponível em 2 versões: duas portas e quatro
portas. Quantas opções diferentes têm um
comprador para adquirir um automóvel, levando
em conta essas três variáveis?
5. Normalmente, o uniforme de um clube de
futebol é constituído por uma camisa, um calção
e uma meia. Um determinado clube possui 3
opções de camisa, 2 opções de calção e 2
opções de meia. Quantas partidas ele pode jogar
sem repetir o uniforme?
6. Uma lanchonete vende 5 tipos de salgados, 3
qualidades de sanduíches, 2 tipos de sucos e 4
marcas de refrigerante. De quantas formas
diferentes um cliente da lanchonete pode
escolher
a) um comestível?
b) uma bebida?
c) um salgado e um refrigerante?
d) um sanduíche e uma bebida?
e) um comestível e uma bebida?
7. No atual sistema brasileiro de emplacamento
de veículos usam-se letras e números. Um
exemplo é a placa:
Observe que cada placa é formada por 3
letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto,
seguidas de 4 algarismos, escolhidos entre os
10 disponíveis. Supondo que haja placas com
quatro zeros (0000), pergunta-se:
a) Quantas placas diferentes podem ser
obtidas?
b) Quantas têm as 3 letras diferentes e os 4
algarismos diferentes?
c) Quantas só apresentam vogais e
algarismos
pares?
d) Quantas contêm 3 vogais diferentes e o
primeiro e o último algarismos iguais?
8. Uma igreja tem 4 portas de entrada. De
quantas formas diferentes um fiel pode entrar
e sair da igreja, usando portas diferentes?
9. Uma prova é constituída de 6 questões de
múltipla escolha, com 4 opções cada uma. De
quantas formas diferentes pode ser montado o
gabarito dessa prova?
10. Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 6
e 8, formam-se todos os números de 4
algarismos.
a) Qual o total de números obtidos?
b) Quantos não têm algarismo repetido?
c) Quantos são pares?
d) Quantos são maiores que 6 000 e não têm
algarismo repetido?
AGRUPAMENTOS ORDENADOS E
AGRUPAMENTOS NÃO-ORDENADOS
Quando agrupamos, segundo certos
critérios, os elementos de um conjunto finito,
pode ser importante ou não a ordem em que
eles são agrupados.
Agrupamentos em que é importante a
ordem em que os elementos são dispostos
são chamados agrupamentos ordenados (
arranjos ou Permutação).
Agrupamentos em que não é importante
a ordem em que os elementos são
dispostos são chamados agrupamentos
não-ordenados (c0mbinações simples)
PERMUTAÇÕES SIMPLES
Suponhamos que A seja um conjunto finito
com n elementos distintos.
Chama-se permutação simples dos n
elementos cada um dos agrupamentos
3
ordenados que podem ser formados contendo,
sem repetição, os n elementos de A.
Podemos afirmar, de forma equivalente, que
as permutações simples de n elementos
distintos são todas as possíveis ordenações
desses n elementos.
O número de permutações simples de n
elementos é representado por Pn
CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES
SIMPLES
A formação de todas as permutações simples
de n elementos envolve n etapas, que
representaremos e interpretaremos assim:
Do princípio multiplicativo de contagem,
concluímos que
Pn = n(n – 1)(n – 2) . ... . 3 . 2 . 1 ou
Exemplos
1) Resolver a equação Pn+1 = 8 . Pn
2) Suponha que 7 pessoas sejam dispostas em
fila, de todas as formas possíveis.
a) De quantas formas distintas isso pode ser
feito?
b) Em quantas dessas disposições os indivíduos
A e B aparecem nas extremidades?
3) Chama-se anagrama de uma palavra toda
ordenação possível de suas letras, ainda que a
“palavra”
obtida
não
tenha
sentido.
Considerando-se todos os anagramas da palavra
VESTIBULAR, perguntase:
a) Qual o total desses anagramas?
b) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem
juntas, nesta ordem?
c) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem
juntas, em qualquer ordem?
QUESTÕES PROPOSTAS
11. Um automóvel tem 5 lugares, incluindo o
do motorista. De quantas formas diferentes 5
pessoas podem ocupar os lugares do
automóvel,
a) se todas sabem dirigir?
b) se apenas uma sabe dirigir?
c) se apenas três sabem dirigir?
12. De quantas maneiras podemos dispor em
uma prateleira, lado a lado, 5 livros de
Matemática e 4 livros de Biologia, de modo
que
a) livros de mesma matéria fiquem juntos?
b) livros de mesma matéria nunca fiquem
juntos?
c) o primeiro livro seja de Matemática e o
último, de Biologia?
d) os dois livros das extremidades sejam de
matérias diferentes?
13. Considere todos os anagramas da palavra
ALBERTO.
a) Quantos são os anagramas?
b) Quantos começam por B?
c) Quantos terminam em consoante?
d) Quantos começam por B, E e T, nesta
ordem?
e) Quantos terminam com as letras B, E e L,
em qualquer ordem?
f) Quantos têm as letras R e T juntas, em
qualquer ordem?
14. Considere todos os números naturais
obtidos
permutando-se,
entre
si,
os
algarismos do número 235 149.
a) Qual é o total de números obtidos?
b) Quantos são pares?
c) Em quantos os algarismos 2 e 4 aparecem
juntos?
d) Em quantos os algarismos 2 e 4 não
aparecem juntos?
e) Quantos são maiores que 500 000?
f) Qual será a posição de 439 521, se todos os
números forem colocados em ordem
crescente?
ARRANJOS SIMPLES
Suponhamos que A seja um conjunto finito
com n elementos distintos. Chama-se arranjo
simples dos n elementos, tomados p a p
(p ≤ n), cada um dos agrupamentos
4
ordenados que podem ser formados contendo,
sem repetição, p elementos de A. A formação
de cada arranjo simples dos n elementos de A,
tomados p a p, se compõe de duas etapas:
 escolher p entre os n elementos de A;
 ordenar os p elementos escolhidos.
Essa relação pode ser útil, principalmente
na resolução de equações em que a incógnita
é a variável p.
Exemplo
O número de arranjos simples de n elementos,
tomados p a p, é representado por An, p.
1) Resolver a equação A7, m + 1 = 21 . A6, m – 1
QUESTÕES PROPOSTAS
15. Calcule os seguintes números.
CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS
SIMPLES
A formação de todos os arranjos simples de n
elementos, tomados p a p, envolve p etapas, que
representaremos assim:
16. Resolva as equações abaixo.
Pelo princípio multiplicativo de contagem,
concluímos:
No cálculo de An, p, é importante perceber,
concretamente, os significados de n e p.
Observe:
Exemplos
1) Utilizando-se apenas os algarismos 1, 3, 4, 6,
7 e 9, formam-se todos os números possíveis de
4 algarismos distintos.
17. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 5,
7 e 8, sem repetição, quantos números
diferentes podemos formar
a) de 3 algarismos?
b) de 6 algarismos?
c) de 4 algarismos, sem que apareça o
algarismo 7?
d)
de
4
algarismos,
aparecendo,
obrigatoriamente, o algarismo 8?
e) de 3 algarismos, maiores que 400?
f) de 4 algarismos, sendo os dois extremos
algarismos pares?
g) menores que 700?
a) Qual o total desses números?
b) Quantos são ímpares?
c) Quantos são menores que 6 740?
18. Considere todos os números de 4
algarismos distintos que podem ser formados,
utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, 7
e 9.
O FATORIAL E O NÚMERO DE ARRANJOS
SIMPLES
O número de arranjos simples pode ser
obtido utilizando- se o conceito de fatorial.
Observe:
a) Qual é o total desses números?
b) Quantos não contêm o zero?
c) Quantos contêm o zero?
d) Quantos são múltiplos de 5?
De maneira geral,
19. Um concurso tem 8 candidatos. De
quantas formas diferentes podem-se definir os
3 primeiros colocados?
20. Uma empresa tem 8 diretores. Entre eles,
devem ser escolhidos um presidente, um
5
diretor-administrativo e um diretor-financeiro. De
quantas formas diferentes podem ser definidos
esses cargos, sabendo-se que um deles deve
ser ocupado pelo Dr. Fernando?
21. Considere todos os números de 3 algarismos
(distintos ou não) que podem ser formados,
utilizando apenas os algarismos 2, 3, 5, 6 e 8.
a) Qual é o total desses números?
b) Quantos não têm nenhum algarismo repetido?
c) Quantos têm pelo menos um algarismo
repetido?
22. Utilizando apenas os algarismos 1 e 2,
a) quantos números de 5 algarismos podemos
formar?
b) quantos números pares de 4 algarismos
podemos formar?
COMBINAÇÕES SIMPLES
Suponhamos que A seja um conjunto finito
com n elementos distintos.
Chama-se combinação simples dos n
elementos, tomados p a p (p ≤ n), cada um dos
agrupamentos nãoordenados (subconjuntos)
que podem ser formados contendo, sem
repetição, p elementos de A.
Para obter uma combinação simples de n
elementos de A, tomados p a p, basta escolher
p entre os n elementos de A.
O número de combinações simples de n
elementos, tomados p a p, é representado por
Cn, p.
CÁLCULO DO NÚMERO DE
COMBINAÇÕES SIMPLES
O cálculo do número de combinações
simples está relacionado ao cálculo do
número de arranjos simples e de permutações
simples.
Exemplos:
1) A partir de um grupo de 6 deputados e 4
senadores, de quantas formas distintas podese formar uma comissão
a) de 4 pessoas?
b) de 5 pessoas, sendo 3 deputados e 2
senadores?
c) de 4 pessoas, com pelo menos um
senador?
d) de 3 pessoas, sendo um presidente, um
vice-presidente e um relator?
2) Na figura, temos 7 pontos sobre uma reta r
e 4 pontos sobre outra reta s, paralela a r.
Quantos triângulos podem ser construídos
com vértices nesses pontos?
3) De quantas formas diferentes 10 pessoas
podem ser divididas em dois grupos, sendo
um de 4 pessoas e o outro de 6 pessoas?
Exemplos
1) As combinações simples dos 5 elementos do
conjunto A = {a, b, c, d, e}, tomados 2 a 2, são os
seguintes subconjuntos de A:
{a, b} {a, c} {a, d} {a, e}
{b, c} {b, d} {b, e}
{c, d} {c, e}
{d, e}
É importante insistir no fato de que, na
formação
de
combinações
simples
(subconjuntos), o que importa é apenas quais
foram os elementos escolhidos e não em que
ordem foi feita a escolha.
Observe que, escolhidas 4 pessoas entre as
10 disponíveis (combinações simples), ficam
formados os dois grupos: um com as 4
pessoas escolhidas e o outro com as 6
pessoas que sobraram. Portanto, o número
de maneiras distintas como os dois grupos
podem ser formados é 210
É
interessante
observar
que,
se
formássemos primeiro o grupo de 6
pessoas, o resultado final seria o mesmo. O
número de maneiras distintas seria, no caso,
6
O último exemplo ilustra uma importante
propriedade relativa às combinações simples. Se
um conjunto possui n elementos, ao se formar
uma combinação com p desses elementos, fica
automaticamente formada uma combinação com
os n – p elementos restantes. Como
conseqüência,
Pode-se utilizar, também, outro critério
interessante. Ao formar um agrupamento
simples, costumam-se executar, basicamente,
dois tipos de ações: escolher e ordenar.
Temos, no caso, a seguinte lei geral:
Exemplos
 C12, 4 = C12, 12 – 4 = C12, 8
 C12,4  C12,8


4 + 8 = 12
O
FATORIAL
E
O
COMBINAÇÕES SIMPLES
Sabemos
Cn,p 
que
An,p 
NÚMERO
n!
(n  p)!
e
DE
que
An,p
p!
Podemos concluir que
Essa relação é útil, principalmente na
resolução de equações em que a incógnita é a
variável p.
Exemplo
1) Resolver a equação 7C6, p = 5C7, p + 1.
COMO DISTINGUIR PERMUTAÇÕES,
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
A identificação do tipo de agrupamento
simples é um dos aspectos importantes na
resolução de problemas de cálculo combinatório.
A partir das definições vistas neste capítulo,
podemos estabelecer uma regra geral que facilita
essa identificação.
Suponhamos um conjunto A com n
elementos distintos, a partir do qual se formam
agrupamentos com p elementos (p ≤ n). Veja o
esquema.
QUESTÕES PROPOSTAS
23. De um grupo de 8 pessoas, de quantas
formas diferentes pode-se formar uma
comissão
a) de 3 pessoas?
b) de 4 pessoas, de forma que o indivíduo A
seja um dos escolhidos?
c) de 5 pessoas, de forma que não seja
escolhido o indivíduo A?
24. Um hospital tem 4 médicos e 6
enfermeiros. De quantas formas pode-se
formar uma comissão
a) de 8 pessoas?
b) de 5 pessoas, sendo 3 médicos?
c) de 4 pessoas, com pelo menos 1 médico?
d) de 5 pessoas, com no máximo 2 médicos?
25. Sobre uma circunferência, marcam-se oito
pontos distintos. Usando esses pontos como
vértices, determine
a) o número de triângulos que podem ser
construídos.
b) o número de quadriláteros convexos que
podem ser construídos.
26. Numa festa, há 15 pessoas. Se cada uma
delas cumprimentar todas as demais, qual
será o número total de cumprimentos?
7
27. Uma pessoa doou 6 brinquedos para uma
creche, que acolhe 10 crianças. De quantas
formas distintas podem ser distribuídos todos
esses brinquedos (no máximo um para cada
criança),
a) se eles forem todos iguais?
b) se eles forem todos diferentes?
28. Um partido político em formação tem apenas
12 filiados. A partir desse grupo, pretende-se
constituir um diretório formado por 5 pessoas,
das quais devem ser escolhidos um presidente e
um vice-presidente. De quantas formas
diferentes isso pode ser feito?
29. Quantos são os subconjuntos do conjunto
A = {a, b, c, d, e}?
30. Qual é o número de diagonais de um
polígono convexo de 8 lados?
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS
REPETIDOS
Suponhamos o seguinte problema: quantos
são os anagramas da palavra ITATIAIA?
Observe que a palavra tem 8 letras. Se elas
fossem diferentes, haveria, no total,
P8 = 8!
= 40 320 anagramas.
O fato de algumas letras serem repetidas
reduzirá, é claro, o número de anagramas,
porque a troca de posição de duas letras iguais
não produz um novo anagrama.
Para resolver o problema, podemos imaginar
que temos 8 posições que devem ser ocupadas
pelas 8 letras.
Acompanhe uma possível seqüência de
passos para se formar um anagrama da palavra
ITATIAIA. Um dos anagramas é formado como
exemplo.
 Escolher, entre as 8 posições disponíveis, 3
posições para as 3 letras I.
Isso pode ser feito de C8, 3 = 56 modos
 Escolher, entre as 5 posições restantes, 2
posições para as 2 letras T.
Isso pode ser feito de C5, 2 = 10 modos
Observe que, agora, existe apenas uma
opção para as 3 letras A: as três posições que
sobraram.
Portanto, de acordo com o princípio
multiplicativo, o número total de anagramas da
palavra ITATIAIA é
A palavra ITATIAIA tem 8 letras, sendo que
 a letra I aparece 3 vezes;
 a letra T aparece 2 vezes;
 a letra A aparece 3 vezes.
O número de anagramas é, no caso, o
total de permutações de 8 elementos, sendo
que um deles aparece 3 vezes, outro 2 vezes
e o último, 3 vezes. Simbolicamente, o
número de permutações é, no caso,
representado por P83,2,3 .
Na resolução do problema, concluímos
que o número de anagramas da palavra
ITATIAIA é
8!
P83,2,3 
3!2!3!
Esse resultado ilustra uma regra geral
para o cálculo do número de permutações
com elementos repetidos.
Observe que, no numerador, temos o
fatorial do número total de elementos a serem
permutados.
No denominador, temos, multiplicados, os
fatoriais dos números que indicam quantas
vezes cada elemento aparece.
De maneira geral,
Exemplo
1) Quantos são os anagramas da palavra
MATEMÁTICA?
2) Permutando-se, entre si, os algarismos do
número 323.352.553, quantos números pares
são obtidos?
QUESTÕES COMPLEMENTARES
31. (UFBA) Numa eleição para a diretoria de
um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2
a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a
8
tesoureiro. Qual é o número de resultados
possíveis da eleição?
32. (Fuvest-SP) Num programa transmitido
diariamente, uma emissora de rádio toca sempre
as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma
ordem. Para esgotar todas as possíveis
seqüências dessas músicas, serão necessários
aproximadamente
a) 100 dias.
c) 100 anos.
e) 100 séculos.
b) 10 anos.
d) 10 séculos.
33. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B,
existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C,
existem 6 caminhos e de C a um quarto ponto D,
existem também 6 caminhos. Quantos caminhos
existem para se ir do ponto A ao ponto D,
passando por B e C?
34. (FGV-SP) Antes de 1990, as placas de
automóveis eram constituídas de duas letras
seguidas de quatro algarismos. Quantas placas
diferentes podiam ser formadas, naquela época,
com as vogais do alfabeto e algarismos pares?
35.
(UFCE)
Quantos
números
inteiros
compreendidos entre 30 000 e 65 000 podemos
formar, se utilizarmos somente os algarismos 2,
3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos
repetidos?
36. (UFSC) Quantos números pares de cinco
algarismos podemos escrever apenas com os
dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições
apresentadas?
37. (FESP) Um vendedor de livros tem oito livros
de assuntos distintos para distribuir a três
professores A, B e C. De quantos modos poderá
fazer a distribuição, dando três livros ao
professor A, quatro livros ao professor B e um
livro ao professor C?
38. (UFGO) De um grupo de dez professores,
dos quais exatamente cinco são de Matemática,
deve ser escolhida uma comissão de quatro
professores para elaborarem uma determinada
prova de seleção. De quantas formas isso pode
ser feito, se na comissão deve haver pelo menos
um professor de Matemática?
39. (FCChagas-BA) Considerem-se todos os
anagramas da palavra MORENA. Quantos deles
têm as vogais juntas?
e B. Quantos são os diferentes percursos para
se fazer a viagem de ida e volta entre A e B,
utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente,
em qualquer ordem?
41.
(Cesesp-PE)
Num
acidente
automobilístico, após se ouvirem várias
testemunhas, concluiu-se que o motorista
culpado do acidente dirigia um veículo cuja
placa era constituída de duas vogais distintas
e quatro algarismos diferentes, sendo que o
algarismo das unidades era o dígito 2. Qual é
o número de veículos suspeitos?
42. (IMS-SP) Numa reunião de congregação,
em que cada professor cumprimentou todos
os seus colegas, registraram-se 210 apertos
de mão. Qual era o número de professores
presentes à reunião?
43. (VUNESP-SP) Considere, num plano, 10
pontos distintos entre si. Suponha que 4
desses pontos pertençam a uma mesma reta
e que dois quaisquer dos demais não estejam
alinhados com nenhum dos pontos restantes.
Calcule o número de retas determinadas por
esses 10 pontos.
44. (U.F. Pelotas-RS) Em um campeonato de
damas, houve disputa entre 11 jogadores.
Cada participante jogou com os demais 2
partidas, uma em cada turno do campeonato.
No final, 2 jogadores ficaram empatados.
Houve o jogo de desempate. Quantas partidas
foram disputadas?
45.
(UNIFOR-CE)
Uma
agência
de
publicidade necessita de 2 rapazes e 3
moças para fazer um comercial para TV.
Dispondo de 4 rapazes e 5 moças, quantas
opções tem a agência para formar o grupo
necessário?
46. (UNIFOR-CE) O segredo de um certo
cofre é constituído de 2 letras distintas
(escolhidas entre as 23 do alfabeto) e 3
algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9).
Sabe-se que a letra da esquerda é uma vogal
e que o algarismo da direita é divisível por 5.
Qual é o número máximo de tentativas que
podem ser feitas para abrir esse cofre?
47. (Osec-SP) Uma faculdade mantém 8
cursos diferentes. No vestibular, os candidatos
podem fazer
opção por
3 cursos,
determinando-os por ordem de preferência.
Qual o número possível de formas para optar?
40. (Sta. Casa-SP) Existem 4 estradas de
rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidade A
9
48. (UFMG) Numa cidade A, os números de
telefones têm 7 algarismos, sendo que os três
primeiros constituem o prefixo da cidade. Os
telefones que terminam em 10 são reservados
para as farmácias e os que têm os dois últimos
algarismos iguais, para os médicos e hospitais.
Qual é a quantidade dos demais telefones
disponíveis na cidade A?
Gabarito
1. a) 11
49. (UFBA) Num determinado país, todo
radioamador possui um prefixo formado por 5
símbolos assim dispostos: um par de letras, um
algarismo diferente de zero, outro par de letras;
por exemplo PY-6-CF. O primeiro par de letras é
sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode
ser constituído das 10 primeiras letras do
alfabeto, não havendo letras repetidas. Qual é o
número de prefixos disponíveis nesse país?
4. 30
50. (UNEB) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas
iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as
maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as
10 bolas da urna?
8. 12
51. (Consart) De quantas maneiras três casais
podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal
forma que as duas das extremidades sejam
ocupadas por homens?
d)(n + 1)n
b) 380
6n
e)
42
c)60
f) n + 1
2. a) n natural; n ≥ 4
3. a) 0 ou 4
b) n = 9
b) 5
c) 1
b) 6
e) 48
c) 20
5. 12
6. a) 8
d) 18
7. a) 175 760 000
c) 78 125
b) 78 624 000
d) 60 000
9. 4 096
10. a) 625
d) 48
b) 120
c) 500
11. a) 120
b) 24
c) 72
12. a) 5 760
d) 201 600
b) 2 880
c) 100 800
13. a) 5 040
d) 24
b) 720
e) 144
c) 2 880
f) 1 440
53. (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um
grupo de cinco será selecionado para uma
viagem. De quantas maneiras distintas esse
grupo poderá ser formado, sabendo que, entre
os doze alunos, dois são irmãos e só poderão
viajar se estiverem juntos?
14. a) 720
d) 480
b) 240
e) 240
c) 240
f) 432º
15. a) 210
b) 8
16. a) 8
b) 5
c) 4
54. (Fuvest-SP) Calcule quantos números
múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos,
podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.
17. a) 120
d) 240
g) 116
b) 720
e) 80
c) 120
f) 24
55. Determine o número de quadras ordenadas
(x, y, z, t) de números naturais que satisfazem a
equação x + y + z + t = 8.
18. a) 720
d) 220
b) 360
c) 360
21. a) 125
b) 60
c) 65
22. a) 32
23. a) 56
b) 8
b) 35
c) 21
24. a) 45
b) 60
c) 195
52. (FGV-SP) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4,
5 e 6. De quantos modos podemos permutá-los
de modo que os algarismos ímpares fiquem
sempre em ordem crescente?
56. (UnB) Seis pessoas – A, B, C, D, E e F –
ficam em pé, uma ao lado da outra, para uma
fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a
lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado
da outra, qual é o número de possibilidades
distintas para as 6 pessoas se disporem?
19. 336
20. 126
10
d) 186
25. a) 56
53. 372
b) 70
26. 105
27. a) 210
54. 72
55. 165
b) 151 200
56. 144
28. 15 840
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
29. 32
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
30. 20
Muitos experimentos, quando repetidos
várias vezes nas mesmas condições, podem
apresentar resultados diferentes, a princípio
imprevisíveis.
Eles são chamados experimentos
aleatórios.
31. 72
32. e
33. 180
Exemplos
34. 15 625
35. 66
36. 12
37. 280
38. 205
 O lançamento de uma moeda é um
experimento aleatório. Isso significa que, ao
se lançar uma moeda, não se pode prever,
antecipadamente, se o resultado será cara
ou coroa.
 O sorteio das seis dezenas da SENA
também é um experimento aleatório. De
fato, não se pode prever, a princípio, quais
serão as seis dezenas sorteadas.
39. 144
41. 10 080
A teoria das probabilidades desenvolve
formas de se estabelecer a possibilidade (ou
a chance) de ocorrência de possíveis
resultados de um experimento aleatório.
42. 21
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO
43. 40
47. 336
Num experimento aleatório, o conjunto de
todos os resultados possíveis é chamado de
espaço amostral.
No nosso estudo, o espaço amostral de
um experimento será representado por E.
Conforme veremos adiante, será importante,
no nosso estudo, o número de elementos do
espaço amostral, que representaremos por
n(E).
48. 8 900
Exemplos
40. 24
44. 111
45. 60
46. 15 840
49. 2 430
50. 210
51. 144
 No lançamento de uma moeda, o espaço
amostral é o conjunto E = {cara, coroa}, logo
n(E) = 2.
 No lançamento de um dado, o espaço
amostral é o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
logo n(E) = 6.
52. 120
11
Em muitos casos, a determinação do número
de elementos de um espaço amostral exigirá a
aplicação dos conceitos da análise combinatória.
 cara no 1o lançamento: X = {(Ca, Ca), (Ca,
Co)} e, portanto, n(X) = 2;
 resultados iguais nos dois lançamentos: Y
= {(Ca, Ca), (Co, Co)}, sendo n(Y) = 2
Exemplos
 No experimento “escolher 3 pessoas de um
conjunto de 8 pessoas” , o espaço amostral é o
número de combinações simples das 8
pessoas, tomadas 3 a 3, ou seja,
 No experimento “escrever uma seqüência de
três vogais” , o espaço amostral é o conjunto
de todas as formas de se formar tal sequência.
Podemos utilizar o princípio multiplicativo de
contagem. Como são cinco vogais, o número
de elementos do espaço amostral é
n(E) = 5 . 5 . 5 = 125
Ao analisarmos certo experimento aleatório,
podemos estar interessados em que ocorram
determinados resultados.
Ao conjunto dos resultados desejados em
um experimento aleatório damos o nome de
evento. Portanto, um evento é qualquer
subconjunto do espaço amostral do experimento.
Cada experimento aleatório tem um único
espaço amostral. Podem-se definir nele, no
entanto, vários eventos, dependendo dos
resultados
desejados.
Será
importante,
principalmente, o número de elementos que
compõem cada evento. Representaremos o
número de elementos de um evento A por n(A).
Exemplos
 No lançamento de um dado, sabemos que o
espaço amostral é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(E)
=6
Nele, podemos considerar, por exemplo, os
seguintes eventos:
 resultado par: A = {2, 4, 6} e, no caso, n(A) =
3;
 resultado maior que 4: B = {5, 6}, sendo n(B) =
2.
 No lançamento de uma moeda duas vezes, o
espaço amostral é o conjunto de pares
ordenados E = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca),
(Co, Co)}, em que Ca simboliza cara e Co
indica coroa.
Veja alguns possíveis eventos contidos nesse
espaço amostral:
 De um conjunto com 5 pessoas, considere o
experimento “formar uma comissão de 3
pessoas” e o evento “uma das três pessoas
escolhidas ser o indivíduo A”. Encontrar o
número de elementos do espaço amostral e
do evento.
 O número de elementos do espaço
amostral é o total de combinações
simples das 5 pessoas, tomadas três a
três. Portanto,
 O número de elementos do evento
considerado é o total de combinações
simples das outras 4 pessoas, tomadas
duas a duas, levando-se em conta que
o indivíduo A já teria sido escolhido.
Logo, chamando esse evento de A,
QUESTÕES PROPOSTAS
1. Identifique, entre os experimentos abaixo,
os que são aleatórios.
a) Sorteio de um número em uma rifa.
b) Resultado da adição de dois números
dados.
c) Retirada de três cartas de um baralho, com
os olhos vendados.
d) Retirada de 20 bolas num Bingo.
e) Escolha dos três alunos mais altos em sua
classe.
2. Considere o experimento aleatório “sortear
ao acaso um número natural de 1 a 15”.
Determine o número de elementos do
a) espaço amostral;
b) evento “obter resultado ímpar”;
c) evento “obter resultado primo”;
d) evento “obter resultado múltiplo de 3”;
e) evento “obter resultado menor que 20”;
f) evento “obter resultado maior que 20”.
3. Considere o experimento aleatório “lançar
um dado duas vezes”. Determine o número de
elementos do
a) espaço amostral;
b) evento “obter 4 no primeiro lançamento”;
c) evento “obter números iguais nos dois
lançamentos”;
12
d) evento “obter, nos dois lançamentos, números
cujo produto é 6”;
e) evento “obter, nos dois lançamentos, números
cuja soma é menor que 13”;
f) evento “obter, nos dois lançamentos, números
cuja diferença é 6”.
4. Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, considere o
experimento aleatório “formar, ao acaso, um
número de 5 algarismos distintos”. Determine o
número de elementos do
a) espaço amostral;
b) evento “formar um número par”;
c) evento “formar um número começando por 4 e
terminando em 5”;
d) evento “formar um número divisível por 3”;
e) evento “formar um número maior que
80
000”.
5. São dados 5 pontos não-alinhados 3 a 3 e
situados num mesmo plano, como na figura.
Considere o experimento aleatório “traçar uma
reta ligando dois desses pontos”. Determine o
número de elementos do
a) espaço amostral;
b) evento “a reta passar por B”;
c) evento “a reta não passar nem por A nem por
E”;
d) evento “a reta passar por três desses pontos”.
6. Cinco atletas A, B, C, D e E, igualmente
competentes, vão disputar a prova dos cem
metros rasos. Considere o experimento “apostar
quem serão, ordenadamente, o primeiro, o
segundo e o terceiro colocado na prova”.
Determine o número de elementos do
a) espaço amostral;
b) evento “apostar em C como primeiro
colocado”;
c) evento “apostar que as três primeiras posições
serão ocupadas por B, C e D, não
necessariamente nesta ordem”.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Vamos nos ocupar, nesse nosso estudo, de
experimentos
cujo
espaço
amostral
é
equiprovável. Dizemos que o espaço amostral
de um experimento aleatório é equiprovável
quando todos os seus elementos (resultados
possíveis) têm a mesma chance de ocorrer.
Em um espaço amostral equiprovável, a
probabilidade de ocorrer um evento é, por
definição, a razão entre o número de
elementos do evento e o número de
elementos
do
espaço
amostral.
A
probabilidade de ocorrer um evento A é
indicada por p(A).
Portanto, se E é o espaço amostral de um
experimento aleatório e A é um evento contido
em E, a probabilidade de ocorrer A é dada por
A probabilidade pode ser expressa por
uma fração ou por uma taxa percentual.
Exemplos
1) No lançamento de um dado, determinar a
probabilidade de se obter um número ímpar.
2) (UFSC – Adaptação) Uma urna tem 10
bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se
retirarmos uma bola da urna, qual é a
probabilidade de não obtermos a bola número
7?
3) No lançamento de um dado, determinar a
probabilidade de se obter
a) o número 3;
b) um número primo;
c) um número menor que 7;
d) um número maior que 8.
OBSERVAÇÃO
 Quando um evento é igual ao espaço
amostral, como nesse caso (item c),
dizemos que ele é um evento certo. A
probabilidade de ocorrer um evento certo é
sempre igual a 1 ou 100%.
 Quando um evento é vazio, como nesse
último caso (item d), dizemos que ele é um
evento impossível. A probabilidade de
ocorrer um evento impossível é sempre
igual a 0.
4) Escrevem-se todos os números de seis
algarismos
distintos,
utilizando-se
os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 9. Escolhendo-se um
desses números ao acaso, determinar a
probabilidade de ele ser
13
Exemplo
a) menor que 2 000;
b) ímpar;
c) múltiplo de 3.
INTERVALO DE VARIAÇÃO DA
PROBABILIDADE
Pode-se observar, a partir da definição, que a
probabilidade de ocorrer um evento varia de um
mínimo igual a zero (evento impossível) até um
máximo igual a 1 (evento certo).
Portanto, qualquer que seja o evento A
contido num espaço amostral E,
EVENTO COMPLEMENTAR
Se A é um evento contido num espaço
amostral E, chama-se evento complementar de
A, e se indica por A , o evento definido por A .
A=E–
A
 Se a probabilidade de ocorrer um evento A
é 35%, então a probabilidade de não ocorrer
o evento A é 100% – 35% = 65%.
QUESTÕES PROPOSTAS
7. Numa rifa, foram vendidos bilhetes
numerados de 1 a 50. Qual é a probabilidade
de o número sorteado ser
a) par?
c) maior que 30?
b) múltiplo de 6?
8. Retirando-se aleatoriamente uma carta de
um baralho com 52 cartas, qual é a
probabilidade de a carta retirada ser
a) de espadas?
c) uma dama de ouros?
b) um rei?
9. Retirou-se uma carta de um baralho de 52
cartas e obteve-se uma dama. Tirando-se em
seguida uma segunda carta, qual é a
probabilidade de ela
a) ser outra dama?
b) não ser outra dama?
Relacione os resultados dos itens a e b.
Na figura 1, o retângulo representa o espaço
amostral E e o círculo, um evento A, contido em
E. A região sombreada representa A , o evento
complementar de A.
Exemplo
 No lançamento de um dado, E = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. O evento “obter resultado par” é A = {2, 4,
6}. O evento complementar é “obter resultado
ímpar”: A = E – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6}
= {1, 3, 5} É fácil observar que o evento A é a
negação do evento A.
No nosso exemplo, o evento A é “obter
resultado par” e o evento A é “não obter
resultado” par.
A soma das probabilidades de um evento A e
do evento A complementar é igual a 1.
Em símbolos:
p(A) + p( A ) = 1= 100% ou p( A ) = 1 – p(A)
10. Lança-se um dado honesto duas vezes.
Qual é a probabilidade de a soma dos pontos
obtidos nos dois lançamentos ser menor que
6?
11. Numa brincadeira, seu colega vai jogar um
dado não-viciado duas vezes e quer que você
acerte a soma dos pontos nos dois
lançamentos. Qual é o melhor palpite?
13. Num cassino, uma roleta tem apenas os
números naturais de 0 a 7. Quando a roleta
cai no zero, a aposta é da casa. O proprietário
do cassino criou um mecanismo que faz com
que o zero tenha três vezes mais chances de
ser sorteado que cada um dos demais
números. Ao se girar a roleta, qual é a
probabilidade de se obter zero?
14. Considere todos os números de 5
algarismos distintos que podem ser formados,
utilizando-se os algarismos 1, 2, 4, 5 e 9.
Sorteando-se aleatoriamente um desses
números, qual é a probabilidade de ele ser
a) par?
c) múltiplo de 5?
b) múltiplo de 3?
d) múltiplo de 9?
14
15. De um grupo de 3 professores de
matemática, 2 de física e 4 de química,
escolhem-se aleatoriamente 5 para participarem
de uma reunião. Qual é a probabilidade de, entre
os professores escolhidos,
a) menor que 3 ou maior que 4?
b) ímpar ou primo?
16. Suponha que 5 pessoas de alturas diferentes
se coloquem aleatoriamente em fila. Qual é a
probabilidade de
a) a mais alta ser a primeira e a mais baixa ser a
última da fila?
b) a mais alta e a mais baixa ficarem juntas?
c) as pessoas ficarem em ordem crescente ou
decrescente de altura?
DA
UNIÃO
QUESTÕES PROPOSTAS
17. No lançamento de um dado, qual é a
probabilidade de se obter resultado
a) não haver nenhum de física?
b) figurarem todos os de matemática?
c) todos serem da mesma matéria?
PROBABILIDADE
EVENTOS
2) Sorteia-se, ao acaso, um número natural de
1 a 25. Qual é a probabilidade de o número
sorteado terminar em 8 ou ser maior que 20?
DE
DOIS
Da teoria de conjuntos, sabemos que, quanto
ao número de elementos dos conjuntos A, B, A 
B e A ∩ B, vale a seguinte relação:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Considerando-se que A e B sejam dois
eventos contidos num espaço amostral E, vamos
dividir cada termo daquela igualdade por n(E).
Obtemos
18. Retirando-se, ao acaso, uma carta de um
baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade
de que ela seja:
a) uma carta de paus?
b) um ás?
c) uma carta de paus ou um ás?
d) uma carta de ouros ou de copas?
19. Sorteia-se, ao acaso, um número natural
de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o número
sorteado:
a) ser maior que 10?
b) ser primo?
c) não ser primo?
d) ser primo ou maior que 10?
e) ser maior que 15 ou múltiplo de 7?
20. Numa caixa, há 40 bolas. Algumas são
brancas; as outras pretas. Algumas são leves;
as outras pesadas. Esses atributos obedecem
ao quadro abaixo:
Podemos concluir, então, que
Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa
caixa, qual é a probabilidade de ela ser:
OBSERVAÇÂO: Se dois eventos A e B não têm
nenhum elemento comum, ou seja,
A∩B
= , dizemos que eles são eventos mutuamente
exclusivos.
No caso, é claro que:
Exemplos
1) Jogando-se um dado, qual é a probabilidade
de se obter número par ou número maior que 2?
a) branca?
b) pesada?
c) branca e pesada?
d) preta ou leve?
21. Numa festa, há 10 homens e 15 mulheres.
Dos 13 fumantes que estão na festa, 8 são
homens. Escolhendo-se aleatoriamente uma
das pessoas da festa para fazer um discurso,
qual é a probabilidade de ela ser:
a) fumante?
b) não-fumante?
c) mulher?
d) homem fumante?
e) mulher ou fumante?
15
22. Formam-se todos os anagramas da palavra
ALUNO. Escolhendo-se um deles ao acaso, qual
é a probabilidade de o anagrama escolhido:
a) começar por vogal?
b) terminar em consoante?
c) começar por vogal e terminar em consoante?
d) começar por vogal ou terminar em consoante?
23. De um grupo de 5 corintianos, 4
flamenguistas e 3 gremistas, forma-se ao acaso
uma comissão de 4 pessoas. Qual é a
probabilidade de haver, na comissão formada,
a) exatamente 2 corintianos?
b) exatamente 2 flamenguistas?
c) exatamente 2 corintianos e 2 flamenguistas?
d) exatamente 2 corintianos ou 2 flamenguistas?
PROBABILIDADE DE EVENTOS SUCESSIVOS
Muitas vezes, estamos interessados em
analisar
a
probabilidade de ocorrerem,
sucessivamente, dois ou mais eventos.
Se os possíveis resultados de um deles têm
influência sobre os possíveis resultados dos
demais, dizemos que eles são eventos
dependentes. Se essa influência não ocorre,
dizemos que eles são eventos independentes.
Se dois eventos A e B são independentes, a
probabilidade
de
que
eles
ocorram
sucessivamente é o produto das probabilidades
de cada um.
PROBABILIDADE CONDICIONAL:
Antes da realização de um experimento, é
necessário que já tenha alguma informação
sobre o evento que se deseja observar. Nesse
caso, o espaço amostral se modifica e o
evento tem a sua probabilidade de ocorrência
alterada.
Chama-se “probabilidade condicional de
um evento B” a probabilidade de esse evento
ocorrer considerando-se que já ocorreu o
evento A. Que indicaremos como:
P (B/A)  Lê-se: probabilidade de B dado que
ocorreu A
Exemplos
1) No lançamento de dois dados, sabe-se que
obteve nas faces voltadas para cima a soma
dos pontos igual a 6. Qual a probabilidade de
que essas faces apresentem o mesmo
número de pontos?
2) No lançamento de dois dados, sabe-se que
o produto dos números de pontos obtidos nas
faces voltadas para cima é ímpar. Qual a
probabilidade de que pelo menos um desses
números seja o 5?
Note que o fato de sabermos que
ocorreu um “número par” faz com que o
espaço amostral fique reduzido a esse
evento, ou seja: ocorrer um número par.
Assim podemos definir a probabilidade
condicional como:
n(B)
 A   n(A)
P B
Exemplos
1) Joga-se um dado e lança-se uma moeda. Qual
é a probabilidade de se obter número par no
dado e coroa na moeda?
2) Uma urna contém 3 bolas pretas e 9 bolas
brancas. Retira-se da urna, aleatoriamente, uma
bola e anota-se sua cor. Recoloca-se essa bola
na urna e, em seguida, retira-se novamente uma
bola e anota-se sua cor. Qual é a probabilidade
de a primeira bola ser preta e a segunda ser
branca?
3) Numa urna, há 3 bolas pretas, 2 bolas brancas
e 5 bolas vermelhas. Retiram-se da urna,
sucessivamente, duas bolas, sem reposição.
Qual é a probabilidade de que a primeira seja
preta e a segunda vermelha?
 B)
 A   P(AP(A)
ou P B
RESUMINDO: “A probabilidade de ocorrer o
evento B, sabendo que já ocorreu o evento A
é a razão entre o que queremos que aconteça
pelo que já aconteceu”.
QUESTÕES PROPOSTAS
24. Um concurso consiste em sortear-se uma
letra e, em seguida, um algarismo de 0 a 9.
Sabendo-se que o alfabeto tem 23 letras, qual
é a probabilidade de serem sorteados uma
vogal e um algarismo par?
25.
(Mauá
–
SP)
Lançando-se
simultaneamente um dado e uma moeda,
determine a probabilidade de se obter 3 ou 5
no dado e cara na moeda.
16
26. Dez indivíduos, formando cinco casais,
participam de um sorteio de dois prêmios. O
primeiro prêmio é sorteado entre os homens; o
segundo, entre as mulheres. Qual é a
probabilidade de os dois contemplados serem o
casal André e Marina?
27. Estatísticas mostram que um determinado
jogador tem 70% de probabilidade de marcar gol,
ao bater um pênalti. Se ele bater três pênaltis
seguidos, qual é a probabilidade de ele marcar
gol em todos eles?
28. Sabe-se que a probabilidade de que um filho
de um determinado casal nasça com olhos
verdes é 1/3. Suponha que o casal tenha dois
filhos. Qual é a probabilidade de
a) os dois terem olhos verdes?
b) nenhum deles ter olhos verdes?
34. (Mauá – SP) Uma urna contém 10 bolas
brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais
e indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma
bola ao acaso, qual é a probabilidade de ela
não ser preta?
35. (Fuvest – SP) Escolhem-se ao acaso dois
números distintos de 1 a 20. Qual é a
probabilidade de que o produto dos números
escolhidos seja ímpar?
a) 9/38
c) 9/20
e) 8/2
b) 1/2
d) 1/4
36. Você faz parte de um grupo de 10
pessoas, sendo que 3 dessas pessoas
receberão um mesmo prêmio. Calcule a
probabilidade de que você seja um dos
premiados.
29. Um baralho incompleto tem 20 cartas, das
quais 4 são ases. Retira-se uma carta do
baralho. Em seguida, essa carta é reposta e
retira-se novamente uma carta. Qual é a
probabilidade de
37. (Faap – SP) Qual é a probabilidade de se
obter um número divisível por 5, na escolha
ao acaso de uma das permutações dos
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
a) ambas as cartas serem ases?
b) apenas a primeira carta ser um ás?
c) nenhuma das duas cartas ser um ás?
a) 5
c) 1
e) ¼
30. Resolva o problema anterior, supondo que a
primeira carta retirada não seja reposta, antes da
retirada da segunda.
31. São sorteados três números naturais distintos
de 1 a 10. Qual é a probabilidade de o primeiro
ser par, o segundo ímpar e o terceiro ímpar?
32. Um teste de múltipla escolha tem quatro
alternativas,
sendo
apenas
uma
delas
verdadeira. O professor pergunta ao aluno qual é
ela. Como ele não sabe, começa a responder ao
acaso, até descobrir a correta. Qual é a
probabilidade de que o aluno acerte
a) na primeira tentativa?
b) na segunda tentativa?
c) na terceira tentativa?
b) 1/5
d) 4
38. (Cesgranrio) A probabilidade de um
número inteiro n, 1 ≤ n ≤ 999, ser um múltiplo
de 9 é
a) 1/999
c) 2/9
e) 1/9
b) 1/10
d) 1/3
39. (Osec – SP) Se certo casal tem três filhos,
então a probabilidade de os três filhos serem
do mesmo sexo, dado que o primeiro é
homem, vale
a) 1/3
c) 1/5
e) 1/6
b) 1/2
d) 1/4
QUESTÕES COMPLEMENTARES
33. (UEL – PR) No lançamento simultâneo de
dois dados distintos e não-viciados, qual é a
probabilidade de se obter a soma de pontos igual
a 7?
a) 1/6
c) 1/12
e) 1/36
b) 5/36
d) 1/18
40. (Fasp – SP) Com os dígitos 1, 4, 7, 8, 9,
são formados números de três algarismos
distintos. Um deles é escolhido ao acaso.
Qual é a probabilidade de ele ser ímpar?
a) 2/5
c) 10/6
e) n. d. a.
b) 1/2
d) 3/5
17
41. (Fasp – SP) Um colégio tem 400 alunos.
Destes,100 estudam matemática, 80 estudam
física, 100 estudam química, 20 estudam
matemática, física e química, 30 estudam
matemática e física, 30 estudam química e física
e 50 estudam somente química. A probabilidade
de um aluno escolhido ao acaso estudar
matemática e química é
a) 1/10
c) 2/5
b) 1/8
d) 5/3
42. (Sta. Casa – SP) Num grupo de 60 pessoas,
10 são torcedoras do São Paulo, 5 são
torcedoras do Palmeiras e as demais são
torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso
um elemento do grupo, a probabilidade de ele
ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é
a) 0,4
c) 0,5
e) n.d.a.
b) 0,25
d) 0,3
43. (UFMS) Atendendo a um anúncio, algumas
pessoas candidataram-se a uma única vaga para
um emprego. Sabendo que, dessas pessoas, 25
são mulheres, 17 usam óculos e, ainda, há 14
homens que não usam óculos e 4 mulheres que
usam óculos, a probabilidade de ser escolhido
um homem que usa óculos é
a) ½
c) ¼
e) 1/6
b) 1/3
d) 1/5
47. (Fuvest – SP) Uma urna contém três
bolas: uma verde, uma azul e uma branca.
Tira-se uma bola ao acaso, registra-se sua cor
e coloca-se a bola de novo na urna. Repetese essa experiência mais duas vezes. Qual é
a probabilidade de serem registradas três
cores distintas?
48. Suponha que você vai retirar 4 cartas
consecutivas de um baralho de 52 cartas.
Qual é a probabilidade de que todas sejam de
copas?
49. (FGV – SP) Um grupo de 6 amigos, A, B,
C, D, E e F, pretende realizar um passeio em
um barco onde só há três lugares. É feito,
então, um sorteio, para serem escolhidos os
três amigos que ocuparão o barco. Qual é a
probabilidade de que A seja escolhido e B não
o seja?
44.
Sorteiam-se,
consecutivamente,
dois
números distintos de 1 a 15. Qual é a
probabilidade de:
50. (PUCC – SP) Três crianças do sexo
masculino e três do sexo feminino são
chamadas ao acaso para submeterem-se a
um exame biométrico. Qual é a probabilidade
de
serem
chamadas,
alternadamente,
crianças de sexos diferentes?
51. (Unicamp – SP - Adaptação) Uma moeda
é viciada, de modo que a probabilidade de
ocorrer cara numa jogada é 30% a mais do
que a de ocorrer coroa. Se essa moeda for
jogada duas vezes, consecutivamente, a
probabilidade de ocorrência de cara nas duas
jogadas é
a) o primeiro número sorteado ser ímpar ou
múltiplo de 3?
b) os dois números sorteados serem ímpares?
a) 49%
c) 64%
e) 15%
45. (Unesp-SP) Numa gaiola, estão 9
camundongos
rotulados
1,
2,
3,...,9.
Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos
ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem
escolhidos), a probabilidade de que a seleção de
ambos os camundongos tenha rótulo ímpar é
Gabarito
Questões de múltipla escolha
a) 33, 35, 41
b) 37, 42, 43, 51
c) 46
d) 39, 40, 45
e) 38
a) 1/13
c) 13/51
e) ¾
a) 0,337777...
c) 0,17
e) 0,1333...
b) 1/4
d) 1/2
b) 0,47
d) 0,2777...
46. (Fuvest – SP) Escolhido ao acaso um
elemento do conjunto de divisores positivos de
60, a probabilidade de que ele seja primo é
b) 42,25%
d) 64,25%
Questões discursivas
1. a, c, d
2. a) 15 b) 8 c) 7 d) 5 e) 15 f) 0
3. a) 36 b) 6 c) 6 d) 4 e) 36 g) 0
18
4. a) 120 b) 48 c) 6 d) 120 e) 0
32. a) 1/4 b) 1/4 c) 1/4
5. a) 10 b) 6 c) 3 d) 0
34. 75%
6. a) 60 b) 12 c) 10
36. 30%
7. a) 1/2 ou 50% b) 4/25 ou 16% c) 2/5 ou 40%
44. a) 2/3 b) 4/15
8. a) 1/4 b) 1/13 c) 1/52
47. 2/9
9.
a)
1/17
b)
complementares)
16/17
(São
eventos
48. 11/4165
49. 30%
10. 5/18
50. 10%
11. 7
12. a) 25% b) 75%
13. 30%
14. a) 40% b) 100% c) 20% d) 0
15. a) 16,67% b) 11,9% c) 0
16. a) 5% b) 40% c) 1,67%
17. a) 2/3 b) 2/3
18. a) 1/4 b) 1/13 c) 4/13 d) 1/2
19. a) 50% b) 40% c) 60% d) 70% e) 35%
20. a) 50% b) 75% c) 42,5% d) 57,5%
21. a) 13/25 b) 12/25 c) 3/5
d) 8/25 e) 23/25
22. a) 3/5 b) 2/5 c) 3/10 d) 7/10
23. a) 14/33 b) 56/165 c) 4/33 d) 106/165
24. 5/46
25. 1/6
26. 4%
27. 34,3%
28. a) 1/9 b) 4/9
29. a) 1/25 b) 4/25 c) 16/25
30. a) 3/95 b) 16/95 c) 12/19
31. 5/36
19
20