Probabilidade
1. (Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles
serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão,
formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco
não sejam insetos?
49
a)
144
14
b)
33
7
c)
22
5
d)
22
15
e)
144
2. (Uerj 2014) Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores
diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é
denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos.
Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito.
Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um
armazenamento perfeito equivale a:
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
5040
120
945
252
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3. (Uerj 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os
quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.
Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B.
Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B.
A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a:
a) 0,64
b) 0,57
c) 0,52
d) 0,42
4. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer
intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas
para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas
pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é
a) 1/5
b) 1/15
c) 1/45
d) 3/10
e) 3/7
5. (Pucrj 2013) Considere um polígono regular P inscrito em um círculo.
a) Assuma que P tenha 6 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero.
Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo?
b) Assuma que P tenha 1000 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um
quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo?
c) Assuma que P tenha 1001 lados. Escolhem-se três vértices de P, formando um triângulo.
Qual é a probabilidade de o triângulo ter um ângulo obtuso?
6. (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes,
de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos
em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal.
a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo
tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?
b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1
a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade
expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média
aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10?
7. (Upe 2013) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um dos seus versos,
foram embaralhados e postos um sobre o outro de forma que as faces numeradas ficaram para
baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e
ímpares é de
1
1
1
2
3
a)
b)
c)
d)
e)
126
140
154
135
136
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8. (Espcex (Aman) 2013) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao
acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é
2
1
3
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
5
5
2
4
4
9. (Fgv 2013) Um jogo de fichas funciona de acordo com as seguintes regras:
1. Em cada jogada, o jogador com maior número de fichas dará uma de suas fichas para cada
um dos demais jogadores, e uma de suas fichas para a banca.
2. Em caso de empate entre dois ou mais jogadores com o maior número de fichas, sorteia-se,
aleatoriamente, um jogador dentre os que estão empatados para fazer a jogada de descarte
de fichas, conforme descrito em 1.
3. Vence o jogador que descartar primeiro todas as fichas.
a) Álvaro, Breno e Catarina disputam esse jogo começando com 15, 14 e 13 fichas cada um,
respectivamente. Quem vencerá o jogo, e em quantas rodadas?
b) Em uma nova rodada do jogo, Álvaro começa com x fichas, Breno começa com 4 fichas, e
Catarina também começa com 4 fichas. Sendo x um inteiro maior que zero e menor que 9,
determine quais são as probabilidades de vitória de cada um dos três jogadores em todas as
possibilidades de x.
10. (Pucrj 2013) Jogamos uma moeda comum e um dado comum.
A probabilidade de sair um número par e a face coroa é:
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,25
d) 0,33
e) 0,5
11. (Unicamp 2013) O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três
cursos de uma escola. O valor da mensalidade de cada curso é de R$ 600,00, mas a escola
oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o
valor total da mensalidade, são de 20% para quem faz dois cursos e de 30% para os
matriculados em três cursos.
a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de
desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total da
mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo
curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso
para aqueles que fazem três cursos.
b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em
pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar
matriculado em apenas um curso?
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12. (Ibmecrj 2013) Uma prova de Matemática contém oito questões, das quais quatro são
consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é
correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção em cada uma das questões difíceis,
é correto afirmar que
a) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior do que a probabilidade de acertar
pelo menos uma questão difícil.
b) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior que 0,5.
c) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,4 e 0,5.
d) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,3 e 0,4.
e) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor do que 0,3.
13. (Ufpa 2013) Uma comissão é formada por 4 participantes de cada um dos municípios,
Abaetetuba, Igarapé-Miri, Cametá, Barcarena e Moju, totalizando 20 pessoas. Escolhendo-se
aleatoriamente 5 pessoas deste grupo, a probabilidade de que exista um representante de
cada município é:
a) 64/969
b) 8/14535
c) 1/2075
d) 5/15504
e) 1/15504
14. (Ufrgs 2013) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas,
e seis, brancas. Essas bolas serão distribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas
cada uma.
Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que
essa caixa contenha apenas bolas pretas é
1
.
a)
33
1
.
b)
23
2
.
c)
33
1
d)
.
11
1
e) .
3
15. (Pucrj 2013) Se a = 2n + 1 com n 1, 2, 3, 4, então a probabilidade de o número a ser
par é
a) 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
16. (Ita 2013) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.
Pode-se afirmar que
a) dos três resultados, I é o mais provável.
b) dos três resultados, II é o mais provável.
c) dos três resultados, III é o mais provável.
d) os resultados I e II são igualmente prováveis.
e) os resultados II e III são igualmente prováveis.
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17. (Ufrn 2013) Uma escola do ensino médio possui 7 servidores administrativos e 15
professores. Destes, 6 são da área de ciências naturais, 2 são de matemática, 2 são de língua
portuguesa e 3 são da área de ciências humanas. Para organizar a Feira do Conhecimento
dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e 1 servidor administrativo.
Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que
nela haja exatamente um professor de matemática é de, aproximadamente,
a) 26,7%.
b) 53,3%.
c) 38,7%.
d) 41,9%.
18. (Ufrgs 2013) Observe a figura abaixo.
Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está
circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o
desenho.
A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é
a) 32,5%.
b) 40%.
c) 62,5%.
d) 75%.
e) 82,5%.
19. (G1 - ifsp 2013) Uma academia de ginástica realizou uma pesquisa sobre o índice de
massa corporal (IMC) de seus alunos, obtendo-se o seguinte resultado:
Categoria
abaixo do peso
peso ideal
sobrepeso
obeso
Número de alunos
50
110
60
30
Escolhendo-se um aluno, ao acaso, a probabilidade de que este esteja com peso ideal é
a) 42%.
b) 44%.
c) 46%.
d) 48%.
e) 50%.
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20. (Ufpr 2013) Para verificar a redução de efeitos colaterais de um novo tratamento,
pesquisadores ministraram a dois grupos distintos de voluntários o tratamento convencional e o
novo tratamento. Os resultados obtidos estão descritos na tabela a seguir:
Tratamento Convencional
Novo Tratamento
Apresentou Efeitos Colaterais
SIM
NÃO
54
41
51
34
a) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhido aleatoriamente dentre os participantes
dessa pesquisa, ter apresentado efeitos colaterais?
b) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido submetido ao novo tratamento, dado que ele
apresentou efeitos colaterais?
21. (Fgv 2013) Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um único número entre
os quatro seguintes: 1, 2, 3 e 4. Nenhuma fica sabendo da escolha da outra.
A probabilidade de que escolham quatro números iguais é
1
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
128
64
16
256
32
22. (Pucrj 2013) Em uma caixa, existem 10 bolas vermelhas numeradas de 1 a 10 e também
10 bolas verdes numeradas de 1 a 10.
a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma de
número 3?
b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabilidade de ele obter 2 bolas com o mesmo
número?
c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma verde
com um número par?
23. (Ufmg 2013) Uma pesquisa em um segmento populacional registrou o número de filhos por
mulher. Em uma comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 1200 mulheres,
revelando uma distribuição conforme mostra o gráfico abaixo.
Observe que o gráfico informa o número de filhos por mulher e a porcentagem correspondente
de mulheres com esse número de filhos, exceto na faixa correspondente a 5 filhos.
Com essas informações,
a) DETERMINE o número de mulheres entrevistadas com 5 filhos.
b) CALCULE a média de filhos por mulher.
c) CALCULE a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais.
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24. (Uepg 2013) Assinale o que for correto.
01) A probabilidade de sair uma bola verde de uma urna com 6 bolas verdes e 5 pretas é
superior a 50%.
02) Jogando dois dados, a probabilidade de saírem números iguais nas faces voltadas para
cima é maior que 20%.
04) A probabilidade de sortear um múltiplo de 5 entre 30 cartões numerados de 1 a 30 é 20%.
08) A probabilidade de ganhar um prêmio num sorteio de 50 números tendo comprado dois
deles é 4%.
25. (Uel 2013) Em uma determinada competição esportiva, uma comissão será formada para
acompanhar o exame antidoping. Essa comissão será constituída, obrigatoriamente, por 3
preparadores físicos e 2 médicos escolhidos, respectivamente, dentre 12 preparadores físicos
e 10 médicos previamente selecionados do total de preparadores físicos e médicos das
equipes participantes.
a) De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
b) Considere que, dos 12 preparadores físicos, 4 sejam mulheres e, dos 10 médicos, 3 sejam
mulheres. Qual é a probabilidade de uma comissão, para acompanhar o exame antidoping,
conter uma única mulher, sendo esta uma preparadora física?
26. (Ufg 2013) A delegação esportiva de um certo país participou de uma festa e,
involuntariamente, quatro jogadores do time de basquetebol, cinco do time de voleibol e nove
do time de futebol ingeriram uma substância proibida pelo comitê antidoping. Um jogador de
cada time será sorteado para passar por um exame desse comitê. Considerando-se que o time
de basquetebol tem 10 jogadores, o de voleibol, 12 e o de futebol, 22 e ordenando-se os times
pela ordem crescente da probabilidade de ser “pego” um jogador que tenha ingerido a
substância proibida, tem-se
a) basquetebol, futebol, voleibol.
b) basquetebol, voleibol, futebol.
c) futebol, voleibol, basquetebol.
d) futebol, basquetebol, voleibol.
e) voleibol, futebol, basquetebol.
27. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de
uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais
marcaram uma das quatro opções ao acaso.
Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que
exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25
28. (Unifesp 2013) Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de
500 animais jovens, todos com x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa
população, a probabilidade de que ele seja de genótipo AA é de 32%, e de que seja de
genótipo Aa é de 46%.
Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y>x), o gene
a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa
permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem.
a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 500 animais
de x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito
com probabilidade de 50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo?
b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 500 animais quando a idade
de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a
probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo?
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29. (Fgv 2013) Tânia e Geraldo têm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna
contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas
são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor. Tânia transfere, ao acaso, uma bola da
sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da sua urna
para a de Tânia. Ao final das transferências, a probabilidade de que as duas urnas tenham sua
configuração inicial é
1
a)
2
1
b)
3
1
c)
5
1
d)
6
1
e)
10
30. (Ufpe 2013) Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser
de rock ou de música sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o
comprador do jornal não sabe qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos
jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD de música sertaneja. A probabilidade de
um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de 80%. Se um
comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele gostar do CD
encartado em seu jornal?
31. (Uem 2013) Em determinado concurso vestibular de uma Universidade há 25.000 inscritos,
concorrendo a 2.000 vagas. Chamando os cursos mais concorridos de A, B e C, temos as
seguintes concorrências:
— A: 200 candidatos/vaga;
— B: 70 candidatos/vaga;
— C: 40 candidatos/vaga.
Sabendo que o número de vagas para o curso A é 20 e para os cursos B e C é 40, para cada
um, e que um candidato só pode concorrer à vaga em um único curso, assinale o que for
correto.
01) Escolhido, ao acaso, um dos inscritos, a probabilidade de ele não estar concorrendo a uma
das vagas dos cursos A, B e C é maior do que 0,6.
02) A probabilidade de um candidato, concorrendo ao curso A, passar é de 0,005.
04) A probabilidade de escolher, ao acaso, entre os inscritos, um candidato aos cursos A ou C
é de 0,2.
08) Escolhido, ao acaso, um dos inscritos, a probabilidade de ele estar concorrendo a uma
vaga para o curso B é de 0,1.
16) Escolhido, ao acaso, um dos inscritos, a probabilidade de ele ser um dos aprovados para o
curso C é de 0,0016.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Para estimular sua equipe comercial, uma empresa define metas de negócios de acordo com a
região que cada vendedor atende. Na tabela estão apresentadas as metas mensais dos
vendedores de três regiões e, respectivamente, o valor que falta para cada um vender na
última semana de um determinado mês para atingir a meta.
vendedor
Edu
Fred
Gil
meta mensal
R$ 12.000,00
R$ 20.000,00
R$ 15.000,00
valor que falta para atingir a meta
R$ 3.000,00
R$ 2.000,00
R$ 6.000,00
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32. (Insper 2013) Cada vendedor tem uma última proposta pendente que, caso seja aceita
pelo cliente, irá fechar a meta do mês. Para estimarem as chances de fecharem esses
negócios, os vendedores analisaram o histórico desses clientes e montaram a tabela abaixo.
cliente de
Edu
Fred
Gil
frequência com que fecha negócio
3 a cada 5 propostas apresentadas
3 a cada 10 propostas apresentadas
3 a cada 4 propostas apresentadas
Com base nessas informações, a probabilidade de que nenhum dos vendedores consiga
fechar a meta é
a) 5%.
b) 7%.
c) 9%.
d) 11%.
e) 13%.
33. (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil.
De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e
D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas
por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre
Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade
de um menino ganhar de uma menina é 3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer
o torneio.
34. (Fgvrj 2012) Uma urna tem duas bolas vermelhas e três brancas; outra urna tem uma bola
vermelha e outra branca. Uma das duas urnas é escolhida ao acaso e dela é escolhida, ao
acaso, uma bola. A probabilidade de que a bola seja vermelha é:
3
a)
8
17
b)
40
9
c)
20
2
d)
5
3
e)
10
35. (G1 - ifsp 2012) Em uma empresa, são oferecidos três notebooks para premiar as
primeiras pessoas que atingirem a meta de produtividade. Se houver empate, os notebooks
deverão ser sorteados entre os vencedores. Considerando que cinco pessoas atingiram a meta
e que Pedro é um deles, a probabilidade de ele ser um dos premiados é de
1
a)
7
1
b)
6
3
c)
7
3
d)
5
7
e)
10
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Resposta de Biologia: São artrópodes da classe inseto: besouro, barata, formiga, abelha e
gafanhoto. Portanto, 5 animais. São artrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e
ácaro (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).
Resposta de Matemática: Escolhendo dois animais aleatoriamente, temos o espaço amostral
do experimento:
12!
C12,2
66
2!.10!
7!
21
Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos C7,2
2!.5!
21
7
Portanto, a probabilidade pedida será: P = P
.
66 22
Resposta da questão 2:
[B]
Um armazenamento perfeito pode ser feito de P5 5! modos. Além disso, os halteres podem
(2, 2, 2, 2, 2)
ser armazenados de P10
10!
maneiras. Portanto, a probabilidade pedida
2! 2! 2! 2! 2!
é dada por
5!
22222
1
.
10!
10 9 8 7 6 945
2! 2! 2! 2! 2!
Resposta da questão 3:
[B]
Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápis retirado de B não ter ponta:
3 5
15
10 10 100
Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápis retirado de B não ter ponta:
7 6
42
10 10 100
Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter ponta será dada por:
P
15
42
57
0,57.
100 100 100
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Resposta da questão 4:
[B]
3
Existem 3 modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer
2
10 10!
intercâmbio no Chile, e
maneiras de escolher duas pessoas quaisquer.
2 2! 8! 45
Logo, a probabilidade pedida é
3
1
.
45 15
Resposta da questão 5:
a) Os retângulos obtidos a partir dos vértices de P são determinados por duas diagonais de
P que passam pelo centro do círculo circunscrito. Logo, como o número de diagonais de P
3
6
que passam pelo centro do círculo é igual a 3, segue que podem ser formados
2
2
retângulos com os vértices de P.
6
Por outro lado, podem ser formados quadriláteros quaisquer tomando-se 4 vértices de
4
P.
Portanto, a probabilidade pedida é igual a
3
2 3 1.
6!
5
6
4! 2!
4
1000
500 diagonais passando pelo centro do círculo circunscrito, segue que
2
500
podem ser formados
retângulos.
2
1000
Por outro lado, podemos formar
quadriláteros tomando-se 4 vértices de P.
4
Portanto, a probabilidade pedida é igual a
b) Como P tem
500
500!
1
2 2! 498!
.
1000!
332001
1000
4! 996!
4
c) Seja o ângulo obtuso de um dos triângulos que podemos obter unindo-se 3 vértices de P.
Como é ângulo inscrito, é fácil ver que
1
360
k
90 k 501,
2
1001
com k sendo o número de arcos congruentes, definidos pelos vértices de P, compreendidos
entre os lados de .
Desse modo, se os vértices de P são V1, V2, , V1001, fixamos V1 e escolhemos dois vértices
em {V2, V3, , V501} para determinarmos o número de triângulos que possuem um ângulo
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obtuso. Procedendo da mesma forma para os outros 1000 vértices de P, segue que o
500
número de triângulos obtusângulos que podem ser formados é dado por 1001
2 .
1001
Finalmente, como podemos formar
triângulos com os vértices de P, segue que a
3
probabilidade pedida é igual a
500
500!
1001
1001
2
2! 498!
1001!
1001
3! 998!
3
499
.
666
Resposta da questão 6:
a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de
escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes
podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo
PFC, segue que o resultado é 2 2 5! 4! 4 120 24 11.520.
b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: 2
(média aritmética de 2 e 2), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5
(média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7).
Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é
6
100% 60%.
10
Resposta da questão 7:
[A]
Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares e quatro números pares, segue
que o primeiro e o último cartão devem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem
5! modos de dispor os cartões ímpares e 4! modos de dispor os cartões pares.
Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os nove cartões aleatoriamente, a
probabilidade pedida é
5! 4!
5! 4 3 2
1
.
9!
9 8 7 6 5! 126
Resposta da questão 8:
[B]
As permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 que terminam em 2 ou 4 são divisíveis por 2.
Logo, existem 2 P4 2 4! permutações nessas condições.
Por outro lado, existem P5 5! permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.
Desse modo, a probabilidade pedida é dada por
2 4! 2 4! 2
.
5!
5 4! 5
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Resposta da questão 9:
a) Considere a tabela abaixo.
Jogada
1
2
3
4
5
6
7
Antônio
15
12
13
14
11
12
13
Breno
14
15
12
13
14
11
12
Catarina
13
14
15
12
13
14
11
Banca
0
1
2
3
4
5
6
As jogadas de número 3k 2, com k 1 e k , de Antônio, Breno e Catarina constituem
progressões aritméticas de razão igual a 1.
Vencerá o jogo quem tiver exatamente 3 fichas na última jogada, e os outros dois jogadores
tiverem menos do que 3 fichas. Logo, é fácil ver que Antônio será o vencedor.
Para determinarmos a jogada em que Antônio vence, basta calcularmos o valor de k para o
qual a quantidade de fichas de Antônio se torna igual a 3, ou seja,
3 15 (k 1) (1) k 13.
Portanto, Antônio vencerá na jogada de número 3 13 2 37.
b) Para x 1, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada.
Jogada
1
2
3
Antônio
1
2
3
Breno
4
1
2
Catarina
4
5
2
Banca
0
1
2
Antônio vence na 3ª jogada, com probabilidade de 100%, independentemente de quem
vencer o sorteio na 1ª jogada. Breno e Catarina, portanto, tem probabilidade de vitória igual
a 0%.
Para x 2, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada.
Jogada
1
2
3
4
Antônio
2
3
4
1
Breno
4
1
2
3
Catarina
4
5
2
3
Banca
0
1
2
3
Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%,
independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade
de vitória igual a 0%.
Para x 3, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada.
Jogada
1
2
3
4
Antônio
3
4
5
2
Breno
4
1
2
3
Catarina
4
5
2
3
Banca
0
1
2
3
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Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%,
independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade
de vitória igual a 0%.
Para x 4, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 1 e 2, teremos
todos empatados na 4ª jogada. Portanto, Cada um vence com probabilidade de,
aproximadamente, 33,33%.
Jogada
1
2
3
4
Antônio
4
5
6
3
Breno
4
1
2
3
Catarina
4
5
2
3
Banca
0
1
2
3
Para x 5, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Antônio
vencerá com probabilidade de 100%. Portanto, a probabilidade de Breno e de Catarina
vencerem é 0%.
Jogada
1
2
3
4
5
6
7
Antônio
5
2
3
4
1
2
3
Breno
4
5
6
3
4
1
2
Catarina
4
5
2
3
4
5
2
Banca
0
1
2
3
4
5
6
Para x 6, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e
Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de,
aproximadamente, 33,33%.
Jogada
1
2
3
4
5
6
7
8
Antônio
6
3
4
5
2
3
4
1
Breno
4
5
2
3
4
1
2
3
Catarina
4
5
6
3
4
5
2
3
Banca
0
1
2
3
4
5
6
7
Para x 7, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e
Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de
50%. Portanto, a probabilidade de Antônio vencer é 0%.
Jogada
1
2
3
4
5
6
7
8
Antônio
7
4
5
6
3
4
5
2
Breno
4
5
2
3
4
1
2
3
Catarina
4
5
6
3
4
5
2
3
Banca
0
1
2
3
4
5
6
7
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Finalmente, para x 8, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2, 3, 5
e 6, os três terminarão empatados na 8ª jogada. Assim, cada um vence com probabilidade
de, aproximadamente, 33,33%.
Jogada
1
2
3
4
5
6
7
8
Antônio
8
5
2
3
4
1
2
3
Breno
4
5
6
3
4
5
2
3
Catarina
4
5
6
7
4
5
6
3
Banca
0
1
2
3
4
5
6
7
Resposta da questão 10:
[C]
3 1
1
e a probabilidade de sair face coroa é .
6 2
2
Portanto, como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é dada por
A probabilidade de sair um número par é
1 1 1
0,25.
2 2 4
Resposta da questão 11:
a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de:
20
1200 240,00.
100
Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria
240
0,4 40%.
600
Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de:
30
1800 540,00.
100
Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de:
540
0,9 90%.
600
b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: 7 + 4 + 3 + 2 = 16.
Total de alunos: 9 + 8 + 6 + 16 = 39.
Alunos que se matricularam em apenas um curso: 9 + 8 + 6 = 23.
Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 23/39.
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Resposta da questão 12:
[D]
4
81
3
0,31.
A probabilidade de errar todas as questões difíceis é dada por
256
4
Resposta da questão 13:
[A]
Existem 4 maneiras de escolher um representante de cada um dos municípios. Logo, existem
4 4 4 4 4 45 modos de formar um grupo de 5 pessoas com um representante de cada
município.
20
Por outro lado, existem modos de escolher 5 pessoas quaisquer dentre os munícipes.
5
Portanto, a probabilidade pedida é dada por
45
20
5
45
20!
5! 15!
45
20 19 18 17 16
5342
64
.
969
Resposta da questão 14:
[A]
O número de modos que podemos distribuir as bolas, de modo que uma caixa contenha
apenas bolas pretas, é igual a
6 8 4
6!
8!
4
4
4
4!
2!
4!
4!
52 7.
3!
3!
Por outro lado, o número total de maneiras de distribuir as bolas é
12 8 4
12!
8!
4
4
4
4! 8! 4! 4! 11 7 52 3.
3!
3!
Portanto, a probabilidade pedida é igual a
7 52
2
11 7 5 3
1
.
33
Resposta da questão 15:
[E]
Dado que n {1, 2, 3, 4}, segue que a é ímpar para todo n. Portanto, como “ a par” é um
evento impossível, segue que a probabilidade de a ser par é zero.
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Resposta da questão 16:
[D]
Calculando as probabilidades, obtemos
P(I)
1 1 1
8
,
2 2 4 32
3
4 1 1
1
8
P(II) 4
16 32
3 2 2
e
5
8 1 1
P(III)
5 2 2
876 1 1
3 2 32 8
7
.
32
3
Portanto, P(I) P(II) P(III).
Resposta da questão 17:
[D]
Podemos escolher um professor de matemática de 2 modos e 3 professores das outras
13
13!
disciplinas de
2 13 11 maneiras. Além disso, como podemos escolher 4
3 3! 10!
15
15!
professores quaisquer de
15 13 7 maneiras, segue que a probabilidade pedida
4!
11!
4
2 2 13 11
é dada por
100% 41,9%.
15 13 7
Resposta da questão 18:
[C]
Seja r o raio do círculo.
Sabendo que o lado do triângulo equilátero inscrito mede r 3, e o lado do hexágono regular
circunscrito mede
2r 3
, segue que a probabilidade do dardo ter atingido a região triangular é
3
igual a
(r 3 )2 3
4
2
2r 3
3
3
3
2
3
.
8
Portanto, a probabilidade do dardo não ter atingido a região triangular é
1
3 5
100% 62,5%.
8 8
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Resposta da questão 19:
[B]
Total de alunos: 50 110 60 30 250.
A probabilidade de que este esteja com peso ideal é P
110
44%.
250
Resposta da questão 20:
a) Número de voluntários: 54 + 42 + 51 + 34 = 180.
Apresentaram efeitos colaterais: 54 + 51 = 105.
105
7
.
Probabilidade: P
180 12
b) Voluntários que apresentaram efeitos colaterais: 54 + 51 = 105.
Voluntários que apresentaram efeitos colaterais com o novo tratamento: 34.
Logo, P = 51/105 = 17/35.
Resposta da questão 21:
[C]
Os casos favoráveis são exatamente quatro: 1111, 2222, 3333 e 4444. Por outro lado, existem
4 4 4 4 44 casos possíveis. Desse modo, a probabilidade pedida é igual a
4
4
4
1
.
64
Resposta da questão 22:
a) Como existem duas bolas com o número 3, segue que a probabilidade pedida é igual a
2
1
.
20 10
b) 1ª Solução: Supondo que as retiradas são feitas sucessivamente e sem reposição, vem
que, após a retirada da primeira bola, a probabilidade de que a segunda tenha o mesmo
1
número da primeira é igual a
.
19
2ª Solução: Supondo que as bolas são retiradas simultaneamente da caixa, temos que
20
Marcos pode retirar 2 bolas de 190 maneiras. Além disso, como os casos favoráveis
2
10
1
.
são (1, 1), (2, 2), , (10, 10), segue que a probabilidade pedida é dada por
190 19
c) Sabendo que existem 5 bolas verdes com números pares, temos que a probabilidade de
5
1
.
retirar uma bola verde com um número par é igual a
20 4
Resposta da questão 23:
100 15 20 30 20 7
1200 8 12 96.
a)
100
b)
15 4 20 3 2 30 1 20 7 0 8 5
2,4.
100
c) 20% + 15% + 8 % = 43%.
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Resposta da questão 24:
01 + 04 + 08 = 13.
[01] Verdadeira, pois 6/11 > 50%.
[02] Falsa, pois 6/36 < 20%.
[04] Verdadeira, pois 6/30 = 20%.
[08] Verdadeira, pois 2/50 = 4%.
Resposta da questão 25:
a) Escolhendo três preparadores físicos dentre os doze. C 12,3 = 220
Escolhendo dois médicos dentre os dez: C10,2 = 45
Logo, o número de comissões possíveis será dado por: 220 45 9900 .
b) Escolhendo um preparador físico do sexo feminino: C 4,1 = 4
Escolhendo dois preparadores físicos do sexo masculino: C 8,2 = 28
Escolhendo dois médicos do sexo masculino: C7,2 = 21
Total de comissões: 4 28 21 2352
Portanto, a probabilidade será dada por: P
2352
9900
23,75% .
Resposta da questão 26:
[A]
P(basquetebol)
4
0,4
10
5
0,10
12
9
P(futebol)
0,41
22
P(voleibol)
Portanto, colocando os valores acima em ordem crescente, temos:
P(basquetebol) P(futebol) P(voleibol)
Resposta da questão 27:
[A]
A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é
1
1
, e a de errar é
4
1 3
.
4 4
Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos
favoráveis:
i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que
marcaram a resposta errada ao acaso;
ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles
acertado a questão e o outro errado.
Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é
0,2 0,8
3
3
0,8 0,2 0,24,
4
4
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enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é
0,8
1
3
3
1
0,8 0,8 0,8 0,24.
4
4
4
4
Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 0,24 0,48.
Resposta da questão 28:
a) O número de indivíduos com genótipo aa na população de 500 animais é dado por
(1 0,32 0,46) 500 0,22 500
110.
Logo, se n é o número de indivíduos de genótipo aa que devemos acrescentar à população
de 500 animais, de modo que a probabilidade de sortear um indivíduo com esse mesmo
genótipo seja de 50%, então
n 110 1
2n 220 n 500
n 500 2
n 280.
b) Após y anos, estarão vivos apenas 500 110 390 indivíduos da população original. Desse
modo, como restarão apenas 0,46 500 230 indivíduos com o gene a, segue que a
230 23
.
probabilidade pedida é igual a
390 39
Resposta da questão 29:
[B]
Sem perda de generalidade, suponhamos que a bola branca seja retirada da urna de Tânia e
depositada na urna de Geraldo. Logo, a configuração inicial será restaurada se, e só se, uma
das duas bolas brancas da urna de Geraldo for transferida para a urna de Tânia. Portanto,
como temos 2 casos favoráveis dentre 6 possíveis, segue-se que a probabilidade pedida é
2
1
, ou seja, .
3
6
Resposta da questão 30:
Um comprador do jornal gostará do CD encartado em seu jornal, se o jornal contiver um CD de
rock e esse comprador gostar de rock, ou se o jornal contiver um CD de música sertaneja e
esse comprador gostar de música sertaneja. Assim, a probabilidade pedida é dada por
0,4 0,45 0,6 0,8 0,66 66%.
Resposta da questão 31:
01 + 02 + 16 = 19.
O curso A tem 200 20 4000 inscritos, o curso B 70 40 2800 e o curso C 40 40 1600.
Logo, o total de inscritos nos cursos A, B e C é 8400.
[01] Correto. A probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso, estar inscrito em um dos
8400
42
. Logo, a probabilidade de que ele não esteja inscrito em
cursos A, B ou C é
25000 125
42
83
75
0,6.
nenhum desses cursos é 1
125 125 125
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[02] Correto. A probabilidade de um candidato, concorrendo ao curso A, passar é de
20
0,005.
4000
[04] Incorreto. A probabilidade de escolher, ao acaso, entre os inscritos, um candidato aos
4000 1600
cursos A ou C é de
0,224 0,2.
25000
[08] Incorreto. Escolhido, ao acaso, um dos inscritos, a probabilidade de ele estar concorrendo
2800
a uma vaga para o curso B é de
0,112 0,1.
25000
[16] Correto. Escolhido, ao acaso, um dos inscritos, a probabilidade de ele ser um dos
40
aprovados para o curso C é de
0,0016.
25000
Resposta da questão 32:
[B]
Como os eventos são independentes, segue que a probabilidade de que nenhum dos
vendedores consiga fechar a meta é dada por
5 3 10 3 4 3 2 7 1
100%
5
10
4
5 10 4
7%.
Resposta da questão 33:
a) Observe:
Grupos : A (meninas) B (meninos)
C10,4 210
C6,4 15
C (meninas)
e D (meninos e meninas)
C6,4 15
C4,4 1
Total 210 15 15 1 47 250
2 2
20
1
.
5 5
125
2 3 2 12
Final Maria e José e uma Maria vencer:
.
5 5 5 125
2 3 2 12
Final marta e João e uma Marta vencer:
.
5 5 5 125
20
12
12
44
Probabilidade pedida
.
125 125 125 125
b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer:
Resposta da questão 34:
[C]
Urna 1 e bola branca ou urna 2 e bola vermelha =
1 2 1 1 1 1
9
2 5 2 2 5 4 20
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Resposta da questão 35:
[D]
Maneiras possíveis da escolha dos ganhadores: C5,3
5!
10.
3! (5 3)!
Maneiras possíveis de Pedro ser um dos ganhadores: C4,2
Probabilidade de Pedro ser um dos ganhadores: P
4!
6.
2! (4 2)!
6
3
.
10 5
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