Fórmula Mágica
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Apresentar e comparar expressões de volume
de alguns sólidos;
2. Rever área da circunferência e do volume do
paralelepípedo;
3. Evidenciar a importância da aplicação da
fórmula do volume do cilindro em situações
cotidianas diversas.
Fórmula Mágica
Série
Matemática na Escola
Conteúdos
Volume do Cilindro.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar e comparar volume de
sólidos;
2. Revisão de conteúdos: área da
circunferência e volume do
paralelepípedo.
3. Evidenciar a importância da
aplicação da fórmula do volume
do cilindro em situações
cotidianas diversas.
Sinopse
Uma jovem fazendeira procura
orientação para saber se suas
terras estão produzindo árvores
de forma ecologicamente correta.
Para tanto, entra em contato com
um Engenheiro Florestal e ambos
debatem sobre algumas
metodologias para o cálculo de
volumes.
Material relacionado
Experimento:
Cilindro=Cone+Esfera/2, Qual
cone de maior volume?, Caixa de
papel;
Software: Forma e Volume de
Sólidos de Revolução, Qual o cone
de maior volume?
Vídeo: 3 2 1 mistério.
Introdução
Sobre a série
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do
Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os
programas desta série usualmente são informativos e podem ser
introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou
fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor.
Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte
ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários
trazem informações interdisciplinares.
Sobre o programa
A jovem Helena que reside em Manaus herda de seu pai uma fazenda
que produz madeira. Diante da preocupação com o meio ambiente, a
nova madeireira entra em contato com um engenheiro florestal, que
fornece informações a ela no intuito de fazer com que a fazenda só
produza madeira de forma ecologicamente correta.
VÍDEO
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Helena comenta com o engenheiro que nos registros antigos da
fazenda está descrito um método para se calcular o volume das
árvores. No entanto, ela não sabe se o método é correto e eficaz para
se medir a produção, apesar de ser muito empregado.
A jovem fazendeira expõe que, para se calcular o volume individual
de cada planta, valendo-se do método, faz-se o seguinte
procedimento:
a- Mede-se o “rodo da árvore”, isto é, o valor da circunferência da
árvore na altura do peito de um homem (por volta de 1,30 m);
b- Mede-se a altura da árvore com o auxílio de uma vara de 4
metros de comprimento, ou seja, avalia-se quantas vezes a vara
cabe na árvore.
Daí, o volume do tronco, em metros cúbicos, é obtido pela fórmula:
Ela também reforça que, para o cálculo de uma tora já deitada, fazse o seguinte procedimento:
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a- Mede-se a circunferência no meio da tora;
b- Mede-se o comprimento da tora.
Daí, o volume da tora deitada, em metros cúbicos, é obtido pela
fórmula:
A partir disso, o programa menciona este método mais tradicional
para estimar o volume da produção: formalmente conhecido como
método da cubagem da madeira. O programa apresenta também os
principais passos de como deduzir essas fórmulas contando com
algumas aproximações.
Assim, o vídeo reforça que o cálculo da tora em pé se relaciona
com o volume do cilindro ou do tronco de cone, e o cálculo da tora
deitada se relaciona com o volume de um paralelepípedo.
Concomitantemente, enfatiza-se o fato de que os objetos da natureza e
do nosso cotidiano não são formas geométricas regulares e, assim, há
algumas imprecisões nas fórmulas apresentadas. Apesar disso, essas
fórmulas facilitam as contas e dão estimativas razoáveis para os devidos
propósitos.
O Olha o curta do
vídeo comenta sobre o
número irracional mais
famoso da história: o
No
número Pi (π).
programa, o número Pi é
apresentado como sendo a
razão constante entre o
perímetro
de
qualquer
circunferência e o seu
diâmetro.
Também
é
explicitado
que
esse
VÍDEO
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número irracional pode ser expresso por um decimal infinito não
periódico 3,141592653589793..., que muitas vezes é aproximada para
3,14 para facilitar os cálculos em determinadas situações.
A jovem madeireira lembra então do tempo em que seu pai tinha
gado na fazenda. Ela comenta que, na época da vacina, para medir o
peso do animal, usava-se um método que também levava em conta o
volume de um cilindro. Helena também diz que, pelo fato de eles não
terem uma balança na fazenda, este método era muito útil e proveitoso.
Essa fórmula pode ser expressa da seguinte forma:
Figura 1 A explicação para a fórmula do peso do boi. Onde está centímetro deve ser
decímetro também.
Professor! Esta versão do vídeo tem um erro de unidades: onde se lê
“centímetro”, deve ser “decímetro”. Isso vai ficar claro ao relacionar um
decímetro cúbico com um quilograma, ao usar a densidade de massa
do boi como próximo ao da água líquida.
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O engenheiro explica rapidamente essa
fórmula e Helena consegue perceber a
conexão dela com a fórmula da densidade
do boi, pois ambas possuem uma relação
entre uma medida de peso (em
quilogramas) e uma medida de
comprimento ao cubo. Depois disso, partese da fórmula do cilindro bovino e, com o auxílio do valor do
comprimento da circunferência (b=2πr), conclui-se que a “fórmula
mágica” utilizada para o cálculo do volume do cilindro bovino nada mais
é do que a fórmula do volume de um cilindro.
O vídeo também analisa a fórmula do volume da madeira. Através
de simplificações algébricas com valores de antemão conhecidos (tal
como rodo = (2πr)), mostra que há uma diferença entre a “fórmula
mágica” para o volume da madeira e a fórmula do volume de um cilindro.
Dessa forma, o programa esclarece que a referida diferença existe para
compensar o erro que se emprega ao se considerar um tronco de cone
como um cilindro cujo raio é medido na metade da altura do tronco de
cone. Veja:
Comparando o Volume da Madeira com o Volume de um Cilindro,
percebemos:
VÍDEO
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Desta forma, ao se utilizar de tais compensações (no método de se
considerar um tronco de cone como um cilindro), as diferenças
existentes podem ser demonstradas da seguinte forma para vários
valores de r e R:
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É possível, então, mostrar explicitamente a diferença existente para
compensação dos cálculos. Cabe ressaltar que não há significativa
diferença tanto nos cálculos numéricos anteriores, como na
demonstração genérica. Assim, pode-se concluir que o volume calculado
pela fórmula do cilindro é razoável para o tronco de cone. Isso é possível
também em outros métodos de metragem ou cálculos de volumes,
explicando assim o título “fórmula mágica”.
Essas e outras fórmulas utilizadas cotidianamente, tais como a
fórmula do volume da madeira e a do peso do boi, têm alguma
justificativa matemática que as validam com alguma margem de erro
aceitável.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Fazemos aqui sugestões de conteúdos que possam ser abordados
antes da execução do vídeo: área de figuras geométricas planas
(destaque para a área de polígonos regulares e a área da
circunferência, pois facilitarão a introdução do volume do cilindro),
volume de poliedros, volume do cilindro, volume do cone etc.
Abaixo, seguem alguns exemplos de exercícios que poderiam ser
propostos para revisar os conceitos relacionados à área da
circunferência:
1- A medida do raio de uma circunferência, em centímetros,
corresponde ao valor da raiz positiva da equação x2 – 10x – 24 = 0.
Calcule a área desta circunferência.
2- Calcule a área da região limitada por duas circunferências
concêntricas, conforme a figura abaixo.
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3- Um jardim de formato circular com 6m de raio tem a metade de
sua área removida para reduzir despesas. Para isto, foi cortada uma
borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta
borda?
Aqui, pode-se também enfatizar o momento do vídeo em que se faz
menção ao método da cubagem da madeira (pelo cálculo da tora
deitada), pois este se relaciona com o volume de um paralelepípedo.
Depois disso, pode-se mencionar, a título de curiosidade, que esse
método é utilizado por madeireiros e engenheiros florestais, e é
chamado por eles de “método popular”. É importante fazer com que os
alunos reparem que nesse modelo a tora é aproximada a um
paralelepípedo.
Depois da execução
Fazer a exposição das fórmulas de forma comparativa, como é
descrito no final do vídeo.
• Atividade da Circunferência:
Usando várias latinhas de diâmetros diferentes, deve-se propor aos
alunos que meçam os diâmetros (D) de cada uma delas e, valendo-se
de um barbante, meçam o tamanho (C) do barbante utilizado para dar
a volta em torno da latinha. Isso deve ser feito para várias latinhas e
então os alunos devem dividir C por D com a ajuda de uma
calculadora.
Problemas
a) Uma roda-gigante tem 16m de diâmetro.
Quanto percorrerá uma pessoa nesta roda
gigante, após seis voltas?
b) Se os perímetros de duas circunferências
são proporcionais à razão 2:3, qual a razão
entre as áreas dessas circunferências?
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c) Uma praça quadrangular tem um jardim central circular. Os lados
da praça medem 100m e o diâmetro do jardim mede 60m. Calcule a
área da calçada.
• Atividade do Paralelepípedo
Utilizando caixinhas de diferentes tamanhos, calcular seus volumes,
planificá-las e calcular sua área externa.
Pode-se também criar situações-problema envolvendo diferentes
medidas, tais como:
a) As dimensões a, b e c de um paralelepípedo são proporcionais
aos números 2, 4 e 7. Determine as suas dimensões, sabendo que a área
total desse paralelepípedo é de 900cm2..
b) Dispondo-se de uma folha de cartolina de 70cm de comprimento
por 50cm de largura, pode-se construir uma caixa, sem tampa,
cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada canto dela.
Determine o volume desta caixa.
c) Em um paralelepípedo retangular de 15cm de altura, o comprimento
da base é igual ao dobro da medida da largura. Sabendo-se que a área
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total desse sólido mede 424cm2, calcule as dimensões da base e da
largura deste paralelepípedo.
d) Uma caixa de fósforos tem a forma de um paralelepípedo
retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm. Na caixa há, em média,
40 palitos. Qual é aproximadamente o volume ocupado por um palito de
fósforos? Quantos cm2 de papel serão necessários para forrar as faces
internas da caixa?
• Atividade do Cilindro
Utilizando latinhas de diferentes tamanhos, propomos que o
professor, juntamente com seus alunos, compare os volumes de cada
uma entre elas.
O professor também pode propor situações-problema, tais como:
a) Um caminhão pipa carrega 9,42mil litros d'água. Para se encher
uma cisterna cilíndrica com 2m de diâmetro e 3 metros de altura, são
necessários, no mínimo, quantos caminhões?
b) O conteúdo de um barril em forma de cilindro circular reto com
5dm de raio é suficiente para encher completamente mil copos
cilíndricos que têm 3cm de raio e 12cm de altura. Qual é a medida da
altura do barril?
c) Ana comprou uma caixa com 4 velas, conforme a figura abaixo.
Cada vela tem a forma de um cilindro com 1,1cm de altura e 3,5cm de
diâmetro. Determine o volume aproximado da caixa de 4 velas que Ana
comprou.
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d) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira
de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas
regiões:
I.
Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
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II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu
comprimento é medido com fita métrica.
III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e
depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume
estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do
tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas
de madeira no processo de corte para comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de:
a)30%
b)22%
c)15%
d)12%
e)5%
ATIVIDADES DE ENSINO:
1) Variando-se os valores dos raios nas fórmulas do cálculo do volume
do cilindro e do tronco de cone, pode-se fazer com que os alunos
observem as diferenças. No entanto, acreditamos que seria
interessante mostrar a eles os valores em que há menor perda e os
valores em que há maior perda. Propomos que se utilize uma tabela
semelhante à abaixo para isso:
Altura
Raio
menor(r)
Raio
maior (R)
Volume
cilindro
Volume
tronco
de cone
Diferença
5
2
4
141,3
146,44
5,14
5
2
6
251,2
271,96
20,76
5
1
4
98,12
109,83
11,71
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2)
Utilizando a fórmula do volume do cilindro V = π.r2.h e
considerando r variável e h constante, obtemos uma equação do 2º
grau. Atribuindo diversos valores para r, obtemos dados que
colocados no gráfico formam uma parábola. A partir disto, o aluno
estará trabalhando com equações e análises de gráficos. Assim,
deixamos a tabela abaixo como modelo para se fazer tal exercício.
Raio (m)
0,24
0,26
0,28
0,50
1,0
1,7
2,0
Volume
1,09
1,23
1,48
4,71
18,8
54,5
75,3
Sugestões de leitura
LIMA, E.L. CARVALHO, P.C.P. WAGNER,E. MORGADO, A.C. . A
Matemática do Ensino Médio vol I e II. Coleção professor de
Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.Rio de Janeiro.. 2002.
COUTO, H.T. BATISTA, J.L.F RODRIGUES, L.C.E Mensuração e
Gerenciamento de Pequenas Florestas, Documentos Florestais Nº 5,
Novembro, 1989 (Arquivo PDF - 6.642kb).
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy.
Matemática Completa – Ensino Médio. São Paulo: Editora FTD. 2002.
Ficha técnica
Autores do Guia Antonio Marcos Gabetta Junior, Gislaine Maria R. de
Almeida, Ligiane Aline Roque, Lislene Heloisa Alves.
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
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Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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