Taxa de Variação
1. Um ponto move-se sobre a semicircunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha
dx
dt
> 0. Determine o ponto
da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x.
2. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do
pé da parede a uma velocidade constante de 2 (m/s), com que velocidade a extremidade superior estará
descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?
3. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1 m3/s. O
vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está
subindo no instante em que h = 5 m.
4. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume
V. Num determinado instante h = 3 cm e r = 1 cm e, neste instante, a altura está variando à uma taxa de
0,2 cm/s. A que estará variando o raio neste instante?
5. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2 m/s e 0,1 m/s
respectivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x = 1 m e y = 2 m?
6. A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 0,1 m/s e
0,3 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando o volume do cone no instante em que h = 0,5 m e r =
0,2 m?
7. O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxa constantes de 0,1 π m3/s
e 0,2 m/s respectivamente.
8. (EN) Expresse
dh
dt
em termos de r e h, onde h é a altura do cone.Considere o triângulo ABC dado
abaixo, onde M1,M2 e M3 são os pontos médios dos lados AC, BC e AB, respectivamente e k a razão da
1
2
área do triângulo AIB para a área do triângulo IM1M2 e f(x)=( x3 + x2 – 2x – 11) 2 . Se um cubo se
expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5dm e aumenta à razão de
f (k) dm min então podemos afirmar que a taxa de variação da área total da superfície deste sólido, neste
instante, vale em dm 2 min
(A) 240 2
(B)330 2
(C) 420 2
(D)940 2
(E)1740 2
9. (EN-Adaptada) Um míssil, lançado verticalmente de uma Fragata, é rastreado por uma estação de
radar localizada a 3 milhas do ponto de lançamento. Sabendo-se que em um certo instante a distância
do míssil à estação radar é de 5 milhas e que esta distância está aumentando à taxa de 5 mi/h, podemos
afirmar que a velocidades vertical do míssil neste instante é de:
(A) 4,100 mi/h
(B) 5,250 mi/h
(C) 5,750 mi/h
(D) 6,100 mi/h
(E) 6,250 mi/h.
10. (EN) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 km. A velocidade do
primeiro é 40 km/h e a do segundo 60 km/h, no mesmo sentido que o primeiro. O passageiro A do
trem mais lento observa o passageiro B do trem mais rápido. A velocidade com que muda a distância
entre eles quando A está a 1/8 km à frente de B é, em km/h.
(A)
20
5
(B) 5
(C) 0
(D) – 5
(E)
−20
5
.
Gabarito
1. ( −2,1)
2. −
3.
4.
6
m/s
55
9
m/s
1000π
1
. − cm / s
30
5. 0,5 m2/s
6.
0, 064π 3
m /s
3
7.
0,3 − 0,4rh
r2
8. E
9. E
10. E