XIV CONGRESSO NACIONAL DE
ESTUDANTES DE ENGENHARIA MECÂNICA
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
DETERMINAÇÃO DO ARRASTO DE CILINDROS CIRCULARES
UTILIZANDO O BALANÇO DE MOMENTUM
Luiz Henrique Milan da Silva
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Campus de Ilha Solteira – Avenida Brasil
Centro, 56 – 15385-000 – Ilha Solteira – SP
[email protected]
Edson Del Rio Vieira
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Campus de Ilha Solteira – Avenida Brasil
Centro, 56 – 15385-000 – Ilha Solteira – SP
[email protected]
Resumo: Encontra-se na literatura um grande número de publicações referentes ao
coeficiente de arrasto em um cilindro circular num escoamento. Porém, ao analisarmos
os dados apresentados em tais estudos e confrontá-los com os encontrados em
experimentos realizados em túneis de vento de pequeno porte, uma discrepância
aparecia. Os ensaios foram realizados em um túnel aerodinâmico (200x200x500 mm de
seção de testes) construído em acrílico que possibilitava a visualização do escoamento.
O coeficiente de arrasto pôde ser obtido fazendo-se o balanço da quantidade de
movimento para um volume de controle inercial, através do campo de velocidade na
esteira do cilindro. Diferentes coeficientes de arrasto foram obtidos quando analisados
os campos de velocidade a diferentes distâncias da geometria. Foram então estudadas
as condições do ensaio e verificada a causa desta discrepância.
Palavras-chave: Cilindro, túnel aerodinâmico, quantidade de movimento, arrasto.
1.INTRODUÇÃO
Em 1744 Jean Lê Rond d’Alembert enunciou um paradoxo que desafiava os
pesquisadores da época. Teoricamente acreditava-se que os campos de pressão nas
regiões frontal e posterior de um modelo inserido em um escoamento eram iguais,
concluindo-se então, que não havia arrasto durante o escoamento. Quando comparados
os resultados esperados pela teoria com os encontrados em ensaios experimentais, era
claro que aparecia um arrasto no modelo. Este paradoxo ficou conhecido na mecânica
dos fluidos como o paradoxo de d’Alembert, este paradoxo é mostrado em Anderson
(1991).
Analisando um modelo inserido em um escoamento a primeira idéia que se tem
para o arrasto causado é que este se deve ao atrito aerodinâmico. Refletindo um pouco
melhor sobre o assunto, concluímos que esta é uma idéia equivocada, já que o ar possui
uma baixa viscosidade e, assim, o arrasto seria devido principalmente ao aumento da
pressão do ar na região frontal do modelo e uma diminuição da mesma na região
posterior, Fox, McDonald & Pritchard (2006). Esta diferença de pressão acaba gerando
uma esteira, situada na região onde a camada limite se descola do corpo colocado no
escoamento, como mostrado na Figura 1.a e 1.b.
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
Figura 1: Esteira em um cilindro inserido em um escoamento.
Sabemos que quanto maior for o número de Reynolds, maior será a esteira
produzida pelo modelo no escoamento, como mostrado por Fox, McDonald &
Pritchard, 2006. A dimensão da esteira produzida está diretamente ligada ao arrasto
presente no escoamento. A Figura 2 ilustra o escoamento ao redor de um cilindro
circular para diferentes Reynolds, aumentando da Figura 2.a para a 2.d.
Figura 2: Escoamento ao redor de um cilindro para diferentes Reynolds.
O valor do arrasto causado por um corpo imerso em um escoamento pode ser
obtido através do balanço da quantidade de movimento para um dado volume de
controle do escoamento. A dedução desta equação é encontrada em vários títulos de
diferentes autores da literatura, sendo todas elas equivalentes, a mostrada neste texto foi
retirada de Anderson (1991). As forças atuantes sobre uma superfície de controle será
dada pela Equação 1,
Forças de Superfície = − ∫ pdS − R'
SC
(1)
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
onde SC indica a superfície de controle onde será feita a integração, p é a pressão
exercida pelo escoamento, dS o elemento diferencial de área e R’ é a reação do corpode-prova à força aerodinâmica causada pelo escoamento.
Utilizando a primeira lei de Newton para o balanço da quantidade de movimento
no volume de controle temos,
∂
ρVdV + ∫ ( ρV .dS )V = − ∫ pdS − R'
SC
SC
∂t ∫VC
(2)
onde ρ é a densidade do escoamento, V é a velocidade do escoamento e dV é o
elemento diferencial do volume de controle.
No caso estudado, o escoamento não muda suas propriedades com o tempo,
então podemos eliminar o primeiro elemento do lado esquerdo da Equação 2.
Rearranjando os termos, teremos agora o seguinte resultado,
R' = − ∫ ( ρV .dS )V − ∫ pdS
SC
SC
(3)
A Equação 3 é uma equação vetorial. Para que possamos desenvolver esta
relação, consideremos o volume de controle indicado na Figura 3.
Figura 3: Volume de controle adotado nos cálculos.
Analisando a componente x da Equação 3, notamos que as velocidades de
entrada e saída u1 e u2 estão nesta direção, e a componente x de R’ é o arrasto
aerodinâmico por extensão de unidade D’. Chegamos então à seguinte relação.
D ' = − ∫ ( ρV .dS )u − ∫
SC
abhi
( pdS ) x
(4)
onde u é a componente da velocidade na direção x. Para um volume de controle com
pressão constante em toda a sua extensão.
−∫
abhi
( pdS) x =0
Temos então, que o arrasto será dado por.
(5)
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
D ' = − ∫ ( ρV .dS )u
(6)
SC
As únicas contribuições no cálculo da Equação 6 serão as provenientes das
seções ai e bh do volume de controle indicado. Estas seções são orientadas na direção y
do escoamento, teremos então que dS=dy(1), o que nos leva a esta nova relação.
a
∫
SC
b
( ρV .dS )u = − ∫ ρ1u1 dy + ∫ ρ 2 u 2 dy
2
i
2
h
(7)
Considerando a fórmula integral para a continuidade de um escoamento
constante, e, aplicando-a para o volume de controle aqui estudado temos.
a
b
− ∫ ρ1u1 dy + ∫ ρ 2 u 2 dy = 0
i
h
ou
∫
a
i
b
ρ1u1 dy = ∫ ρ 2 u 2 dy
(8)
h
Multiplicando a equação 8 por u1 , que é uma constante temos.
∫
a
i
b
ρ1u1 2 dy = ∫ ρ 2 u 2 2 dy
(9)
h
Substituindo a Equação 9 na Equação 7
∫
SC
b
b
h
h
( ρV .dS )u = − ∫ ρ 2 u 2 u1 dy + ∫ ρ 2 u 2 dy
2
ou
∫
SC
b
( ρV .dS )u = − ∫ ρ 2 u 2 (u1 − u 2 ) dy
h
(10)
Substituindo a Equação 10 na Equação 6, finalmente chegamos à expressão para
o arrasto no escoamento.
b
D ' = ∫ ρ 2 u 2 (u1 − u 2 )dy
h
(11)
A Equação 11 é bastante recomendada e utilizada em escoamentos de grande
porte, como por exemplo, grandes túneis de vento, sem que haja comprometimento dos
resultados. O problema é quando se trata de um escoamento em uma seção não muito
grande, como o pequeno túnel de vento onde foram feitos os ensaios deste trabalho.
Quando um corpo de prova é ensaiado em um dispositivo como o utilizado, já
era de conhecimento que o valor do arrasto encontrado para diferentes distâncias do
corpo de prova não seriam iguais, se utilizada a Equação 11 neste cálculo. Sabendo
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
disso, foi levantado o campo de velocidades no escoamento e, então, estudada a causa
desta discrepância entre o apresentado na literatura e o encontrado na prática.
2.MATERIAIS E MÉTODOS
O campo de velocidades na esteira de um cilindro de 10 mm de diâmetro
fabricado em alumínio foi determinado para diferentes números de Reynolds, baseado
no diâmetro do cilindro. Os ensaios foram realizados em um pequeno túnel
aerodinâmico do tipo soprador com uma seção de testes de 200x200x500 mm,
construído pela equipe do Laboratório de Visualização de Escoamentos da Unesp de
Ilha Solteira.
Um manômetro de tubo inclinado contendo água destilada em seu reservatório,
construído de forma a se obter resultados bastante precisos foi utilizado para se obter a
pressão diferencial nas diferentes partes do escoamento.
As medições das velocidades da esteira do cilindro foram obtidas utilizando-se
um tubo de Pitot, construído segundo as recomendações de Prandtl, em aço inox com 3
mm de diâmetro externo. E, utilizando-se a equação de Bernoulli para uma linha de
corrente reescrita, de forma adequada à resolução do problema, como indicado abaixo.
v=
2 pd
ρl
(12)
Onde p d é a pressão dinâmica e ρ l é a densidade do fluido.
O cilindro foi posicionado na seção de testes utilizando-se um parafuso preso
internamente a ele por meio de uma rosca, e conectado a um suporte de acrílico na parte
superior da seção. O tubo de Pitot foi posicionado na esteira produzida pelo cilindro.
Um mecanismo posicionador de sondas permite o deslocamento do tubo no interior da
seção de testes. Este mecanismo consiste em um parafuso micrométrico acoplado em
um paquímetro de 300 mm que permite o deslocamento do Pitot no interior da seção de
testes. A sonda de velocidade foi posicionada a jusante do corpo de testes, em diferentes
posições na esteira, relativo ao diâmetro do cilindro.
Medidas da pressão estática na seção de testes também foram feitas para
diferentes posições do escoamento, utilizando a mesma metodologia acima descrita.
Com os resultados dos perfis de velocidades obtidos foi possível analisar o coeficiente
de arrasto que o cilindro era submetido para diferentes Reynolds.
O método matemático utilizado nos cálculos baseia-se no balanço da quantidade
de movimento para um volume de controle inercial fixo no espaço. Este método foi
amplamente utilizada pela antiga NACA, National Advisory Committee for Aeronautics,
atual NASA, nas décadas de 30 e 40. A figura 3 ilustra o volume de controle adotado,
no escoamento ao redor do cilindro, na aplicação do balanço da quantidade de
movimento.
Da Equação 6 sabemos que a força atuante para um volume de controle inercial
é dada por
D ' = − ∫ ( ρV .dS )u
SC
Na resolução da Equação 6, seria necessário realizar uma transformada de
coordenadas cilíndricas, mas o cálculo ficaria demasiado complexo. Por esta
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
dificuldade, os cálculos aqui realizados utilizarão apenas coordenadas cartesianas,
facilitando então, a obtenção da força de arrasto.
Comparando os gráficos dos perfis de velocidade de entrada e saída do volume
de controle verifica-se um “déficit” de velocidade na saída. Portanto, é possível
relacionar o volume do sólido de revolução gerado por esse “déficit” com a força de
arrasto atuante no cilindro. Isto se deve ao fato de o escoamento se desenvolver em
regime permanente, o fluxo de massa na entrada do volume de controle deve ser igual
ao fluxo de massa na saída deste.
Neste sentido, uma integração numérica da Equação 11 foi realizada para a
situação descrita, e os coeficientes de arrasto foram assim obtidos.
3.RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Os resultados obtidos para os perfis de velocidade na esteira do cilindro são
apresentados nas figuras de 6 a 8.
Velocidade Relativa V/Vo
1,2
1
0,8
2D
5,5D
9D
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
Posição Relativa
15
20
2*x/D
Figura 6: Perfil de velocidade relativa para diferentes posições do tubo de Pitot.
Re=10250
Velocidade Relativa V/Vo
1,2
1
0,8
2D
0,6
5,5D
9D
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
Posição Relativa 2*x/D
Figura 7: Perfil de velocidade relativa para diferentes posições do tubo de Pitot
Re=12600
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
Velocidade Relativa V/Vo
1,2
1
0,8
2D
0,6
5,5D
9D
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
Posição Relativa 2*x/D
Figura 8: Perfil de velocidade relativa para diferentes posições do tubo de Pitot para
Re=15000
A Figura 9 mostra a variação da pressão estática na seção de testes onde o
cilindro foi posicionado durante os testes.
P/Po
1,016
Pressão relativa
1,018
1,012
1,014
1,01
1,008
1,006
1,004
1,002
0
100
200
300
400
500
600
Posição (mm)
Figura 9: Variação da pressão no túnel aerodinâmico.
As tabelas de 1 a 3 contendo os coeficientes de arrasto para diferentes Reynolds
e posições no escoamento são mostradas a seguir.
Tabela 1: Coeficientes de Arrasto para Reynolds 15000
Coeficientes de Arrasto para Reynolds 15000
Distância
Coeficiente de Arrasto
2D
18,68
5,5D
18,72
9D
17,59
Tabela 2: Coeficientes de Arrasto para Reynolds 12600
Coeficientes de Arrasto para Reynolds 12600
Distância
Coeficiente de Arrasto
2D
20,78
5,5D
20,25
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
9D
20,14
Tabela 3: Coeficientes de Arrasto para Reynolds 10500
Coeficientes de Arrasto para Reynolds 10250
Distância
Coeficiente de Arrasto
2D
20,87
5,5D
21,01
9D
19,99
4.CONCLUSÕES
Utilizando as equações apresentadas anteriormente percebemos que o
coeficiente de arrasto no cilindro para diferentes distâncias no escoamento deveria ser o
mesmo. Isso se deve ao fato de no perfil de velocidades haver uma compensação nas
curvas, fazendo com que a integral destes perfis possuam o mesmo valor.
Analisando esta diferença com mais calma e levando em consideração a curva
que representa a queda de pressão no túnel aerodinâmico, concluímos que em
experimentos deste tipo esta curva deve ser utilizada para ajustar o valor do coeficiente
de arrasto para as diferentes distâncias. Este ajuste é feito através da Equação 4, onde o
segundo termo do lado direito desta, representa a queda de pressão desconsiderada por
Anderson. Finalmente, o concluímos que o coeficiente de arrasto para um corpo,
estudado utilizando-se um túnel de vento de pequeno porte deve ser dado pela Equação
4.
5.REFERÊNCIAS
Anderson, J.D.,Jr., 1991, “Fundamentals of Aerodynamics”, McGraw-Hill, USA.
Fox, R.W., McDonald, A.T. e Pritchard, P,J, 2006, “Introdução à Mecânica dos
Fluidos”, LTC.
DETERMINATION OF THE DRAG FORCE
CYLINDERS USING THE MOMENTUM BALANCE
ON
CIRCULAR
Luiz Henrique Milan da Silva
São Paulo State University “Júlio de Mesquita Filho” Ilha Solteira – Brasil Centro Avenue, 56 – 15385000 – Ilha Solteira, SP
[email protected]
Edson Del Rio Vieira
São Paulo State University “Júlio de Mesquita Filho” Ilha Solteira – Brasil Centro Avenue, 56 – 15385000 – Ilha Solteira, SP
[email protected]
Abstract: A great number of referring publications to the drag coefficient in a circular
cylinder in a flow meets in literature. However, when analyzing the data presented in
such studies and collating them with joined in experiments carried through in small
aerodynamic tunnels, a discrepancy appeared. The tests have been carried through in a
aerodynamic tunnel (200x200x500 mm of section of tests) constructed in Plexiglas that
made possible the visualization of the flow. The drag coefficient could be gotten
14° CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-MG, 2007.
becoming the balance of momentum for an inertial control volume, across the field of
speed in the mat of the cylinder. Different coefficients of drag had been gotten when
analyzed the speed fields at different distances of the geometry. Then studied the
conditions of the tests and verified the cause of this discrepancy had been studied.
Keywords: Cylinder, wind tunnel, momentum, drag.