Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
01
a) Ab = πr2 = π • 22 = 4π cm2
b) Aℓ = 2π • rh = 2π • 2 • 8 = 32π cm2
c) Atotal = 2Ab + Aℓ = 2 • 4π + 32π = 40π cm2
d) A área da secção meridiana será equivalente à área de um retângulo
de lados 4 cm e 8 cm.
Asecção = 4 • 8 = 32 cm2
e) V = Ab • h = 4π • 8 = 32π cm3
Respostas:
a) 4π cm2
b) 32π cm2
c) 40π cm2
d) 32 cm2
e) 32π cm3
1
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
02
a) Aℓ = 2π • rh = 2π • 3 • 6 (com h = 2r)
Aℓ = 36π cm2
b) Atotal = 2Ab + Aℓ = 2π • 32 + 36π = 54π cm2
c) V = Ab • h = π • 32 • 6 = 54π cm3
Respostas:
a) 36π cm2
b) 54π cm2
c) 54π cm3
2
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
03
Observe a figura:
• 2r • 2r = 64
4r2 = 64
r = 4 cm
• V = πr2 • h
V= π • 42 • 8
V = 128cm3
Resposta: C
3
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
04
Para comportarem a mesma quantidade de massa:
V1 = V2
L2 • h = πr2 • h
L= r π
Resposta: D
4
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
05
V = π • r2 • h = 3 • 122 • 50 = 21 600 cm3 ou 21,6 L
1 h 20 min = 60 min + 20 min = 80 min
Portanto, a vazão será:
Q=
21,6
= 0,27 L/min
80
Resposta: D
5
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
06
Sendo V o volume do vaso e V1 e V2 os volumes dos cilindros de raios 10
e 15 cm, respectivamente, temos:
V1 < V < V2
22
525
22
525
• 102 •
<V<
• 152 •
7
11
7
11
15 000 cm3 < V < 33 750 cm3
15 L < V < 33,75 L
Resposta: C
6
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
07
Observe a figura:
Valv = π • 0,72 • 10 – π • 0,52 • 10
Valv = 2,4π m3
Resposta: A
7
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
08
Como V = Ab • h, e Ab é constante, podemos assumir que a relação V × h
é linear.
Sendo V proporcional ao número x de bolas e h = y, também podemos
concluir que a relação y × x é linear.
Sendo y = ax + b, com a e b constantes reais, e substituindo nesta
equação os valores da tabela, temos:
6,35 = 5a + b
6,70 = 10a + b
Resolvendo o sistema, vem:
a = 0,07 e b = 6
Portanto:
y = 0,07x + 6
Resposta: E
8
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
09
Observe a figura:
Podemos considerar o volume do sólido B como metade do volume de um
cilindro obliquo de raio da base 0,1 m e altura 0,2 m.
Portanto, os volumes serão:
π ⋅ 0,12 ⋅ 0,2
= 10–3π m3
• VB =
2
• VA = π • 0,12 • 1 = 10–2π m3
• Vbloco = VA + VB = 0,001 + 0,01 = 0,011π m3 = 11 000π cm3
Resposta: A
9
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
10
Vista lateral:
Sabendo que a superfície do líquido é paralela ao solo, o triângulo ABC é
isósceles.
O volume do líquido derramado é equivalente à metade do volume de um
cilindro de raio da base 3,6 cm e altura 7,2 cm.
1
• π • 3,62 • 7,2
2
• Vcopo = π • 3,62 • 15
• Vderramado =
Portanto:
1
⋅ π ⋅ 3,62 ⋅ 7,2
Vderramado
= 2
= 0,24 ou 24%
Vcopo
π ⋅ 3,62 ⋅ 15
Resposta: D
10
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
11
V = π • r2 • h = 5π • r2
Como 5π é constante, o gráfico V × r2 será parte de uma parábola
crescente, com r > 0.
Resposta: C
11
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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A figura formada será um cilindro de raio 3 cm e altura 4 cm.
a) Atotal = 2Ab + Aℓ = 2 • 3,14 • 32 + 2 • 3,14 • 3 • 4 = 131,88 cm2
b) V = Ab • h = 3,14 • 32 • 4 = 113,04 cm3
Respostas:
a) 131,88 cm2
b) 113,04 cm3
12
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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• Em torno da reta r, será formado um sólido cujo volume é a soma de
dois cilindros, ambos de altura 1 e de raios 1 e 2, respectivamente:
Vr = π • 22 • 1 + π • 12 • 1 = 5π
• Em torno da reta s, será formado um sólido cujo volume corresponde à
diferença entre o volume de um cilindro de raio 2 e altura 2 e de um
cilindro de raio 1 e altura 1.
Vs = π • 22 • 2 – π • 12 • 1 = 7π
Resposta: C
13
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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a) Área total de A
AA = 2Ab + Aℓ = 2π • 52 + 2π • 5 • 20 = 250π cm2
Área total de B:
Ab = 2Ab + Aℓ = 2π • 102 + 2π • 10 • 10 = 400π cm2
Portanto, gasta-se menos material com a embalagem A.
b) Volume de A:
VA = π • r2 • h = π • 52 • 20 = 500π cm3
VA
500π 125π cm3
=
=
R$
preço A
4
Volume de B:
VB = π . r2 . h = π . 102 . 10 = 1000πcm3
VB
1 000π 142,8π cm3
=
=
R$
preço B
7
Portanto, a embalagem B é mais vantajosa.
Respostas:
a) Embalagem A.
b) Embalagem B.
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Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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• Barril A:
2π • rA = 2a
a
rA =
π
2
a
VA = π • rA2 • hA = π •   • a
π
3
a
VA =
π
• Barril B:
2π . rB = a
a
rB =
2π
2
 a 
VB = π • rB2 • hB = π • 
 • 2a
 2π 
a3
VB =
2π
Portanto:
a3
VA
= π3 = 2
a
VB
2π
Resposta: A
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Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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a) h(3) = 33 – 5 • 32 + 8 • 3 ⇒ h(3) = 6 dm
V = Ab • h = 42 • 6 = 96 dm3
b) Vcilindro = 16π dm3
π • 22 • h(x) = 16π ⇒ h(x) = 4
x3 – 5x2 + 8x – 4 = 0
Resolvendo a equação por Briot-Ruffini, e sabendo que x = 1 é raiz:
1
1
1
–5
–4
8
4
–4
0
As outras raízes serão raízes da equação x2 – 4x + 4 = 0, ou seja:
x1 = x2 = 2
Portanto, o outro valor de x para o qual o volume do cilindro é igual a
16π dm3 é 2 dm.
Respostas:
a) 96 dm3
b) 2 dm
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Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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Podemos dividir o tanque em três cilindros, como mostra a figura a seguir,
atribuindo para eles os índices 1, 2 e 3 a partir do cilindro mais acima.
Calculando o volume dos três cilindros, temos:
• V1 = π • 22 • 1,2 = 4,8π m3 ou 4 800π L
• V2 = π • 22 • 0,6 = 2,4π m3 ou 2 400π L
• V3 = 2 400π L
Sabendo que a vazão é a razão entre o volume e o tempo, os tempos
para esvaziar os cilindros são:
4 800π
(3 torneiras trabalham)
• t1 =
3 ⋅ 20π
t1 = 80 min ou 1 h 20 min
2 400π
• t2 =
(2 torneiras trabalham)
2 ⋅ 20π
t2 = 60 min ou 1 h
2 400π
• t3 =
(1 torneira trabalha)
1⋅ 20π
t3 = 120 min ou 2 h
Portanto, o tempo total é 4 h 20 min.
Resposta: D
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Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 10 - Cilindro circular reto
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Observe a figura:
A área total da figura formada será a soma das áreas laterais dos cilindros
de base (x + 1) cm e altura 1 cm, e do cilindro de base x cm e altura 1 cm,
com a área das coroas circulares de raios (x + 1) cm e x cm. Assim:
S = 2π • x • 1 + 2π • (x + 1) • 1 + 2 • [π • (x + 1)2 – π • x2]
S = 4πx + 2π + 4πx + 2π
S = 8πx + 4π
S(0) = 4π e S(1) = 12π
Resposta: E
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