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UNIVERSIDADE E STADUAL P AULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE I LHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESTUDO EXPERIMENTAL DO ESCOAMENTO EM
TORNO DE CILINDROS CIRCULARES EM
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
GUSTAVO B IFARONI DE C ARVALHO
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
da Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", como
parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. Dr. Sérgio Said Mansur
Co-orientador: Prof. Dr. Edson Del Rio Vieira
Ilha Solteira, Agosto de 2003
a Deus
à minha família
aos meus professores
aos meus amigos
à minha namorada
Agradecimentos
Durante a realização desse trabalho, pude contar com a colaboração de várias pessoas e
instituições, às quais gostaria de expressar os meus sinceros agradecimentos.
- Aos Profs. Sérgio Said Mansur e Edson Del Rio, pela orientação e pelos ensinamentos, os quais
me ajudaram amadurecer profissionalmente.
- Aos professores André Luiz Seixlack e Marcos Pinotti Barbosa, membros da banca examinadora
encarregada de julgar a presente dissertação.
- Aos técnicos do Departamento de Engenharia Mecânica, Marino, Edivaldo, Carlos, Darci,
Ronaldo, pelo auxilio prestado, e, em especial, ao técnico Reginaldo, meu braço direito durante
toda a montagem da instalação experimental e, acima de tudo, pelos ensinamentos profissionais
e a amizade.
- Ao técnico de informática Elias, por manter em funcionamento todos os computadores do
Departamento de Engenharia Mecânica;
- Aos funcionários da secretaria do Departamento de Engenharia Mecânica, Elaine, Sandra e
Alex, que sempre estiveram prontos a me ajudar.
- Ao corpo docente do Departamento de Engenharia Mecânica e aos demais professores que
colaboraram na minha formação.
- Aos meus amigos e amigas do curso de pós-graduação, em especial ao Odacir e ao Carlão, pela
inestimável colaboração durante o desenvolvimento deste trabalho.
- Aos meus pais e familiares, que sempre me incentivaram e apoiaram.
- À minha namorada e seus familiares, pelo companheirismo e compreensão.
- À CAPES, pelo suporte financeiro que viabilizou a realização deste trabalho, concedido na
forma de uma bolsa de estudos.
- À PROPP, pelo auxílio à minha participação em eventos científicos.
Sumário
Capítulo 1 - Introdução......................................................................................1
1.1 O escoamento em torno de cilindros....................................................................1
1.2 Trabalhos precedentes..........................................................................................7
1.3 Objetivos e escopo do trabalho...........................................................................11
Capítulo 2 - Introdução....................................................................................13
2.1 Cilindros estacionários.......................................................................................13
2.1.1 Escoamento invíscido e escoamento viscoso.....................................13
2.1.2 Mecanismo físico da formação e desprendimento de vórtices...........16
2.1.3 Regimes de escoamento.....................................................................18
a) Escoamento laminar, L..................................................................18
b) Regime de transição......................................................................20
c) Escoamento completamente turbulento........................................23
2.1.4 Variação das forças fluidodinâmicas..................................................24
2.2 Cilindros em rotação..........................................................................................26
Capítulo 3 - Instalação e procedimentos experimentais...................................31
3.1 Instalação experimental......................................................................................31
3.1.1 Descrição do túnel hidrodinâmico......................................................31
3.1.2 Operação do túnel...............................................................................34
3.1.3 Acionamento do corpo de prova.........................................................35
3.2 Técnicas experimentais......................................................................................36
3.2.1 Visualização de escoamentos.............................................................36
a) Geração de bolhas de hidrogênio...................................................36
b) Injeção de corantes líquidos..........................................................39
3.2.2 Determinação da freqüência de emissão de vórtices..........................40
a) Anemometria de fio quente...........................................................40
b) Contagem de fotogramas...............................................................43
Capítulo 4 - Resultados e discussão.................................................................47
4.1 Introdução............................................................................................................47
4.2 Visualizações de escoamentos.............................................................................47
4.2.1 Visualização por injeção de corante líquido.........................................47
4.2.2 Visualizações por bolhas de hidrogênio...............................................54
4.3 Determinação da freqüência de emissão de vórtices...........................................60
Capítulo 5 - Conclusão e recomendações para futuros trabalhos...................71
Referências bibliográficas..............................................................................73
Apêndice A - Lei de King...............................................................................77
Apêndice B - Análise de incertezas................................................................81
B.1 Introdução...........................................................................................................81
B.2 Análise de Incerteza para Amostragem Simples................................................81
B.2.1 Fundamentos Matemáticos.................................................................82
B.3 Análise de Incerteza das Variáveis de Interesse................................................84
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Configuração do escoamento ao redor de um cilindro em função do número de
Reynolds, segundo Gersten (1983)...................................................................................16
Tabela 2.2 – Regimes de escoamento em torno do cilindro circular estacionário................23
Tabela 4.1 – Número de Strouhal em função do parâmetro α, para Re ≈ 60. Comparação
entre resultados experimentais do presente trabalho e dados da literatura.......................61
Tabela B.1 − Correlações para o cálculo da viscosidade cinemática da água......................86
Tabela B.2 − Valores típicos da incerteza da velocidade da corrente livre..........................89
Tabela B.3 − Valores típicos da incerteza do número de Reynolds.....................................89
Tabela B.4 – Valores típicos da incerteza do número de Strouhal.......................................90
Tabela B.5 – Valores típicos da incerteza da rotação específica..........................................91
Lista de Figuras
Figura 1.1 − Escoamento ao redor de um cilindro de base quadrada....................................................2
Figura 1.2 – Esteira de Von Kármán formada em torno das Ilhas Canárias.........................................2
Figura 1.3 – Arrasto e sustentação sobre um corpo sólido posicionado perpendicularmente ao
escoamento.......................................................................................................................................3
Figura 1.4 – Representação esquemática de um cilindro rotativo posicionado perpendicularmente ao
escoamento principal........................................................................................................................4
Figura
1.5
–
Aeromodelo
munido
de
cilindros
rotativos
em
substituição
às
asas
convencionais...................................................................................................................................4
Figura 1.6 – Utilização de cilindros rotativos no cont role da camada limite sobre aerofólios - Modi
et al.(1981) e Modi et al.(1990).......................................................................................................6
Figura 1.7 – Diferentes disposições de cilindros rotativos no controle ativo da camada limite sobre
estruturas com alturas elevadas Kubo et.al.(1993)...........................................................................6
Figura 1.8 – Fotografia de embarcações que utilizam cilindros rotativos.............................................7
Figura 2.1 – Escoamento invíscido e incompressível ao redor de um cilindro circular
estacionário.....................................................................................................................................13
Figura 2.2 – Escoamento
viscoso
e
incompressível
em
torno
de
um
cilindro
circular
estacionário.....................................................................................................................................13
Figura 2.3 – Regiões de perturbação do escoamento, segundo Zdravkovich (1997)..........................14
Figura 2.4 - Modelo do processo de geração e desprendimento de vórtices na esteira de cilindros,
segundo Gerrard (1966)..................................................................................................................17
Figura 2.5 – Escoamento muito lento, Re = 1, (Zdravkovich, 1997)..................................................18
Figura 2.6 – Esteira próxima, Re = 40 (Campos et.al.,1998)..............................................................18
Figura 2.7 – Esteira periódica laminar: (a) Re = 54; (b) Re = 65; (c) Re = 102 (Zdravkovich,
1997)...............................................................................................................................................19
Figura 2.8 – Transição em regiões perturbadas (Zdravkiovich 1997)................................................19
Figura 2.9 – Transição na esteira (Zdravkovich, 1997)......................................................................20
Figura 2.10 – Transição na camada cisalhante livre: (a) Re = 2 103 , (b) Re = 8 103 , Corke; (c)
Re = 110 103 (Zdravkovich, 1997).................................................................................................21
Figura 2.11 – Variação dos coeficientes de força para um escoamento livre de perturbação,
Zdravkiovich (1997).......................................................................................................................23
Figura 2.12 – Cilindro em rotação imerso em um campo de escoamento..........................................25
Figura 2.13 – Escoamento ao redor de um cilindro estacionário e em movimento de
rotação............................................................................................................................................26
Figura 2.14 - Perfis de velocidade a montante e a jusante de um cilindro em rotação - adaptada de
Aldoss & Abou-Arab (1990)..........................................................................................................27
Figura 2.15 – Características do escoamento na camada limite de um cilindro circular em rotação,
(Aldoss & Abou-Arab, 1990).........................................................................................................28
Figura 3.1 – Ilustração esquemática do túnel hidrodinâmico vertical.................................................30
Figura 3.2 – Janelas intercambiáveis da seção de testes do túnel.......................................................32
Figura 3.3 – Peças utilizadas para proporcionar rotação ao corpo de prova.......................................34
Figura 3.4 – Motor, polia, suporte do motor e inversor de frequência...............................................34
Figura 3.5- Sistema genérico para a implementação da técnica de geração de bolhas de
hidrogênio.......................................................................................................................................35
Figura 3.6 − Montagem experimental para a realização de ensaios de visualização de escoamentos
por bolhas de hidrogênio................................................................................................................36
Figura 3.7 − Dispositivo de injeção de corantes líquidos....................................................................38
Figura 3.8 – Diferentes tipos de sondas anemométricas de fio e de filme quente..............................39
Figura 3.9 – Elementos básicos de um anemômetro de temperatura constante..................................40
Figura 3.10 – Anemômetro de temperatura constante Dantec StreamLine 90N10.............................40
Figura 3.11 – Sinal típico obtido na determinação da freqüência de Strouhal por meio da
anemometria de fio quente e sua respectiva distribuição espectral de potência.............................41
Figura 3.12 - Sistema de captura e tratamento de imagens animadas de escoamentos, para a
implementação do sistema de contagem de fotogramas.................................................................42
Figura 4.1 - Representação do sistema de acionamento do corpo de prova (fora de
escala).…........................................................................................................................................45
Figura 4.2 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 200 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................46
Figura 4.3 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 300 e diferentes valores de
α......................................................................................................................................................47
Figura 4.4 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 800 e diferentes valores de
α......................................................................................................................................................48
Figura 4.5 - Diferentes configurações da esteira do cilindro rotativo, Re e α constantes, para
diferentes posições da agulha injetora de corante..........................................................................49
Figura 4.6 − Arranjo experimental para a determinação da influência da agulha de injeção de
corantes sobre a corrente livre no interior da seção de testes, Lindquist (2000)............................49
Figura 4.7 − Perfis experimentais de velocidade a jusante de uma agulha de injeção, Lindquist
(2000)..............................................................................................................................................50
Figura 4.8 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 200 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................52
Figura 4.9 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 300 e diferentes valores de
α......................................................................................................................................................53
Figura 4.10 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 300 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................54
Figura 4.11 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 400 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................55
Figura 4.12 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 500 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................55
Figura 4.13 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 600 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................55
Figura 4.14 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 700 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................56
Figura 4.15 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 900 e diferentes valores
de α.................................................................................................................................................56
Figura 4.16 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 1000 e diferentes
valores de α....................................................................................................................................56
Figura 4.17 - Comparação de resultados de números de St usando a técnica de contagem de
fotograma e anemometria de fio quente.........................................................................................61
Figura 4.18 - Número de Strouhal em função da rotação específica α, para Re ≈ 60. Comparação
entre resultados experimentais do presente trabalho e dados da literatura.....................................62
Figura 4.19 - Transição do regime de escoamento na esteira de cilindros rotativos...........................63
Figura 4.20 - Regimes de escoamento na esteira de cilindros rotativos..............................................64
Figura 4.21 - Comportamento do número de Strouhal em função da rotação específica α, para
diferentes valores do número de Reynolds.....................................................................................65
Figura 4.22 - Comportamento do número de Strouhal em função do número de Reynolds, para
diferentes valores da rotação específica α......................................................................................66
Figura 4.23 - Sinais anemométricos (em volts) e configurações do escoamento na esteira de um
cilindro rotativo, para Re = 100 e diferentes valores de α..............................................................67
Figura 4.24 - Sinais anemométricos (em volts) na esteira de um cilindro rotativo, para Re = 200 e
diferentes valores de α....................................................................................................................68
Figura 4.25 - Sinais anemométricos (em volts) na esteira de um cilindro rotativo, para Re = 500 e
diferentes valores de α....................................................................................................................68
Figura 4.26 – Sinal temporal anemométrico (em volts), com sua respectiva distribuição espectral de
potência, Re = 200 e α = 1,1...........................................................................................................69
Figura 4.27 - Comparação entre os resultados obtidos pela contagem de fotogramas e por
anemometria de fio quente, para diferentes números de Reynolds................................................69
Figura A.1 − Transferência de calor em uma seção elementar de fio quente.....................................79
Lista de Símbolos
A
Af
Ast
CD
CDp
CDf
C'D
CL
C'L
d
D
E
F
FD
FL
I
I0
In
It
L
n
N
Q
S
T
Tf
U
Vl
Vt
Xi
α
área projetada [m2 ]
área da seção transversal [m2 ]
área transversal da seção de teste [m2 ]
coeficiente de arrasto
coeficiente de arrasto devido a pressão
coeficiente de atrito viscoso
flutuação do coeficiente de arrasto
coeficiente de sustentação
flutuação do coeficiente de sustentação
diâmetro do corpo [m]
dimensão característica do cilindro [m]
tensão elétrica [V]
freqüência de aquisição ou taxa de amostragem dos dados [s-1]
força de arrasto [N]
força de sustentação [N]
corrente elétrica [A]
primeiro turbilhão
último turbilhão
intensidade turbulenta
comprimento útil do cilindro [m]
freqüência de emissão dos vórtices de um lado do cilindro [s-1]
número de amostras adquiridas
vazão volumétrica [m3 .s-1]
desvio padrão da amostra
temperatura do fluido [°C]
temperatura do fio [°C]
velocidade da corrente livre [m.s-1]
velocidade local [m.s-1]
velocidade tangencial [m.s-1]
variável genérica, medida pelo sistema de medição
rotação específica
Γ
δ
µ
µo
ν
ρ
σ
σ
w
circulação
incerteza associada à medição de uma variável
viscosidade dinâmica ou absoluta do fluido [kg.m-1.s-1]
viscosidade da água a 273 K [kg.m-1.s-1]
viscosidade cinemática do fluido [m2 .s-1]
densidade ou massa específica do fluido [kg.m-3]
desvio padrão da população
constante de stefam boltzmann
velocidade angular do corpo de prova [rpm]
Números Adimensionais
α
Re
St
Nu
rotação específica
número de Reynolds
número de Strouhal
número de Nusselt
Operadores Matemáticos
∂
derivada parcial
média temporal
Resumo
O presente trabalho traz uma investigação experimental do escoamento em torno de um
cilindro rotativo posicionado perpendicularmente à direção principal do escoamento, para números
de Reynolds inferiores a 103 . Os experimentos foram conduzidos em um túnel hidrodinâmico
vertical, com seção de teste 146x146x500 mm e intensidade turbulenta da corrente livre inferior a
0,5%. O diâmetro do corpo de prova foi fixado em 6 mm, proporcionando um bloqueio sólido no
interior da seção de testes pouco superior a 4%. A influência do número de Reynolds e da rotação
específica do corpo de prova sobre a configuração do escoamento foi bastante estudada.
A
freqüência de emissão dos vórtices, necessária ao cálculo do número de Strouhal, foi determinada a
partir da obtenção do sinal de velocidades, adquirido com o auxílio de um anemômetro de filme
quente, ou através da técnica de contagem de fotogramas. Técnicas de visualização de escoamento
foram, também,
empregadas, em diferentes circunstâncias, tanto na análise qualitativa do
escoamento, como para auxiliar o correto posicionamento das sondas de filme quente. Em vários
ensaios, a visualização do escoamento por injeção de corante líquido a montante do corpo de prova
foi utilizada, mostrando-se bastante eficiente, sobretudo no que concerne à qualidade das imagens
obtidas. No entanto, esta técnica só possibilita a visualização de uma região bastante restrita do
escoamento e, dependendo do posicionamento da agulha de injeção, diferentes configurações do
escoamento podem ser observadas, dificultando a interpretação dos resultados. Para contornar
esta situação, utilizou-se, também, a técnica de geração de bolhas de hidrogênio, que permite uma
visão mais abrangente do campo de escoamento. De maneira geral, os resultados foram bastante
satisfatórios quando comparados com a literatura, mostrando que a configuração da esteira é
fortemente afetada pelo movimento de rotação do cilindro, a tal ponto que a emissão de vórtices
pode ser totalmente inibida, para valores de α superiores a 2, em toda a faixa de Reynolds
analisada.
Abstract
This work presents an experimental investigation on the flow around a rotating cylinder
positioned perpendicularly to the free stream, for Reynolds numbers up to 103 . The experiments
have been carried out inside a 146x146x500 mm test section of a vertical water tunnel, using a 6mm
diameter cylinder, which has provided a lower than 4% blockage ratio inside the test section, under
a less than 0.5% maximum free-stream turbulence intensity. The influence of both diameter-based
Reynolds number and specific rotation of the cylinder on the flow configuration has been analyzed.
The vortex shedding frequency, parameter necessary to evaluate the Strouhal number, has been
determined from the velocity signal from hot film anemometer as well as directly through a framecounting technique. Two different methods of flow visualization, liquid dye and hydrogen bubble
generation, has been also used under distinct circumstances, in order to provide a qualitative
analysis of the flow, as well to obtain the correct location of the hot-film probes. In some
experiments, flow patterns have been visualized by liquid dye injection upstream the test cylinder,
propitiating a good image quality. Dye injection, however, allows for the visualization of a quite
restricted area of the flow, in such a way that, depending on the needle location, several distinct
flow configurations appear, making it very difficult the interpretation of the results. In order to
mitigate those drawbacks, the technique of hydrogen bubble generation has also been employed,
reaching for a far wider vision of the flow field. The achieved results have showed that the wake
structure is strongly affected by the cylinder rotation, in such a way that the vortices generation can
be totally inhibited for α values upper than 2, in the all range of the Reynolds number.
Capítulo 1
Introdução
1.1
O ESCOAMENTO EM TORNO DE CILINDROS
Pela grande freqüência com que ocorrem na natureza e em diferentes aplicações tecnológicas,
o escoamento ao redor de corpos sólidos tem sido objeto de inúmeros estudos teóricos, numéricos e
experimentais, há mais de um século. É fácil identificar situações práticas nas quais este tipo de
escoamento acontece, como, por exemplo, as águas de um rio contornando pequenas ilhas, pilares de
pontes ou embarcações ancoradas, ou, ainda, o movimento dos ventos em torno de postes,
edificações, árvores e montanhas. O esquema da Figura 1.1 esboça o movimento do fluido em torno
de um cilindro de base quadrada, que tanto pode representar um prédio, um obelisco ou uma
chaminé. Em situações desta natureza, a desaceleração do escoamento, provocada pelo contato do
fluido com o obstáculo sólido, dá origem a uma série de fenômenos complexos, ocasionando, sob
certas circunstâncias, a formação de uma esteira turbilhonar, com desprendimento de vórtices
alternados. A imagem da Figura 1.2 mostra a chamada esteira de von Kármán, formada a jusante das
ilhas Canárias, visível do espaço graças à presença de nuvens que, neste caso, atuam como um
excelente traçador. Em escoamentos que apresentam este tipo de configuração, a freqüência de
emissão de vórtices (n) pode ser relacionada à dimensão característica do corpo sólido (d ) e à
velocidade da corrente livre (U) por intermédio do número de Strouhal (St), dado por:
St =
nd
U
(1.1)
Do ponto de vista fenomenológico, quando um corpo se desloca dentro de um fluido em
repouso ou, equivalentemente, quando um fluido escoa em torno de um corpo sólido, surge sobre o
corpo uma força. Como mostrado na Figura 1.3, a projeção desta força na direção normal ao
escoamento é chamada de sustentação (FL) e é dada por:
FL = CL
1
ρ U 2A
2
Figura 1.1 − Escoamento ao redor de um cilindro de base quadrada.
(1.2)
http://visibleearth.nasa.gov
Figura 1.2 - Esteira de Von Kármán formada em torno das Ilhas Canárias.
Figura 1.3 - Arrasto e sustentação sobre um corpo sólido posicionado
perpendicularmente ao escoamento.
enquanto sua componente paralela à corrente livre é denominada arrasto (FD), podendo ser calculada
pela expressão:
FD = CD
1
ρ U 2A
2
(1.3)
nas quais ρ é a densidade do fluido, A a área projetada, CD o coeficiente de arrasto e CL o coeficiente
de sustentação. A força de arrasto tem sempre a mesma direção do escoamento, dificultando a
penetração do corpo no seio do fluido.
Na dinâmica dos fluidos, os corpos podem ser classificados, quanto à sua forma geométrica,
como rombudos e aerodinâmicos. Os corpos rombudos produzem um alto coeficiente de arrasto, que
se deve, sobretudo, ao descolamento prematuro da camada limite, acarretando a formação de uma
esteira relativamente larga. As formas aerodinâmicas, ao contrário, retardam o descolamento da
camada limite, minimizando o coeficiente de arrasto e, muitas vezes, produzindo um alto valor do
coeficiente de sustentação, como ocorre sobre as asas de uma aeronave.
Uma outra forma de se conseguir elevados coeficientes de sustentação, consiste no emprego
de cilindros rotativos, posicionados perpendicularmente ao escoamento principal, como mostrado na
Figura 1.4. Neste tipo de problema, as configurações do escoamento são governadas por dois
parâmetros adimensionais, o número de Reynolds e a rotação específica, dados, respectivamente,
por:
(1.4)
ρ Ud
Re =
µ
wd
α=
(1.5)
2U
nas quais ρ é a densidade do fluido, µ a viscosidade, U é a velocidade, d é o diâmetro do corpo e w é
a velocidade angular do cilindro.
Estudos nesta área passaram a ser desenvolvidos a partir da descoberta do chamado efeito
Magnus, em 1853, pelo professor alemão Heirnrich Magnus, da Universidade de Berlim. Uma
possível aplicação para este conceito consiste na substituição de asas convencionais por cilindros
rotativos, em aeronaves. A Figura 1.5 ilustra esta concepção, mostrando um pequeno aeromodelo
equipado com dois cilindros de 50 cm de comprimento e 8 cm de diâmetro, resultando numa razão
de aspecto de aproximadamente 6:1. Neste caso, especificamente, o acionamento dos cilindros foi
projetado para propiciar uma rotação máxima de até 70 rpm.
U∝
(a) Vista em perspectiva
(b) Vista frontal
Figura 1.4 - Representação esquemática de um cilindro rotativo posicionado
perpendicularmente ao escoamento principal.
http://wwwetu.utc.fr/~nouendez/moulin.htm
(a) Vista lateral
(b) Vista frontal
Figura 1.5 – Aeromodelo munido de cilindros rotativos em substituição às asas convencionais.
Algumas tentativas de utilização de cilindros rotativos em aeronaves tripuladas foram
realizadas no passado, mas, rapidamente abandonadas, apesar dos altos níveis de sustentação
obtidos. Aliás, a aplicação prática do efeito Magnus, em campos que tradicionalmente se empregam
perfis de asa, sempre foi bastante restrita. Diante disso, surgem naturalmente duas questões, que
motivaram o trabalho de Vieira (1961), quais sejam: (a) por que, na prática, não são utilizados
cilindros rotativos, em substituição aos perfis de asa, em aviões, hélices, bombas, ventiladores e
turbinas? (b) o que deveria ser feito para tornar os cilindros rotativos utilizáveis nesses tipos de
aplicações práticas? Segundo o autor, embora vários pesquisadores apontassem as dificuldades de
acionamento como o maior obstáculo à utilização dos cilindros rotativos, existiriam outros motivos
ainda mais importantes. Os dados experimentais obtidos nos ensaios de uma turbina eólica de
cilindros rotativos levaram o autor a concluir que o baixo rendimento da máquina devia-se,
principalmente, aos altos valores do coeficiente de arrasto encontrados. Então, para tornar os
cilindros rotativos utilizáveis nas aplicações práticas, seria necessário efetuar o controle conveniente
da camada limite ao seu redor, de maneira a tornar mais favorável a relação entre o arrasto e a
sustentação.
Ainda no campo das aplicações aeronáuticas, Modi et. al.(1981) estudaram a adaptação de um
cilindro rotativo no bordo de ataque de um perfil bidimensional NACA 63-218 (modificado),
utilizado na aeronave Canadair CL-84, como forma de efetuar o controle ativo da camada limite em
torno do perfil − Figura 1.6(a). Tal como ilustra a Figura 1.6(b), uma segunda configuração, usando
um cilindro rotativo entre o flap e a asa propriamente dita, foi, também, testada. Os resultados
obtidos mostraram um significativo efeito sobre a sustentação, sobre as condições de stall e sobre a
relação arrasto/sustentação. Num trabalho posterior, envolvendo medidas e visualizações de
escoamento, Modi et al.(1990) avaliaram o desempenho de outras duas configurações de aerofólios
equipados com cilindros rotativos, Figura 1.6(c) e (d), considerando, agora, também a possibilidade
de instalação de um cilindro no bordo de fuga. Nesse segundo estudo, os autores também
observaram expressivos aumentos no coeficiente de sustentação, que chegaram a mais de 300%.
Kubo et al.(1993) investigaram a utilização de cilindros rotativos no controle ativo da camada
limite em torno de prédios de altura elevada, para minimizar ou suprimir vibrações induzidas pelo
escoamento. Os autores consideraram quatro possibilidades de posicionamento dos cilindros, como
mostrado na Figura 1.7. Uma análise comparativa entre estas diferentes configurações mostrou que,
no arranjo do Tipo I, um aumento na rotação dos cilindros melhora as características aerodinâmicas
da estrutura. Entretanto, foi o arranjo do Tipo II o considerado mais eficiente no controle de
vibrações. Os ensaios envolvendo o arranjo do Tipo III e IV mostraram que a presença dos cilindros
rotativos não modifica significativamente o comportamento oscilatório da edificação.
(a) Configuração 1
(b) Configuração 2
(c) Configuração 3
(d) Configuração 4
Figura 1.6 - Utilização de cilindros rotativos no controle da camada limite sobre aerofólios Modi et al.(1981) e Modi et al.(1990).
A utilização de cilindros rotativos como substitutos de velas, na propulsão de embarcações, foi
proposta pelo engenheiro alemão Anton Flettner, em 1920, e constitui uma das mais destacadas
aplicações práticas do efeito Magnus. A Figura 1.8(a) mostra uma fotografia do navio projetado por
Flettner, originalmente batizado como Bruckau. A embarcação, equipada com dois mastros de 13
metros de altura e 2,7 metros de diâmetro, acionados por motores de corrente contínua com rotação
variando entre 0 e 125 rpm, tinha a capacidade de deslocar até 960 toneladas. Depois de vários testes
na Europa, o navio de Flettner, rebatizado com o nome de Baden-Baden, fez uma viagem pelo
Atlântico e chegou em Nova York no dia 9 de maio de 1926, onde foi calorosamente recebido por
um grande número de curiosos. Em 1931, o navio foi destruído em uma tempestade no Caribe.
Figura 1.7 - Diferentes disposições de cilindros rotativos no controle ativo da camada
limite sobre estruturas com alturas elevadas Kubo et.al.(1993).
Décadas mais tarde, este conceito ganhou novamente repercussão, quando foi utilizado pelo
famoso comandante francês Jacques-Yves Cousteau, que, em 1982, mandou construir o Calipso II,
uma embarcação de pesquisa oceanográfica, semelhante àquela projetada por Flettner. O navio de
Cousteau, também munido de dois cilindros verticais, como mostra a Figura 1.8(b), possuía 22
metros de comprimento e acomodações para 36 passageiros e 15 tripulantes, além de laboratórios e
vários dispositivos de exploração marinha.
http://www.efluids.com/efluids/gallery/flettner_rotorship.htm
(a) Bruckau, depois Banden-Banden
http://www.cousteausociety.org/tcs_news_alcyone_intrepid.htm
(b) Calypso II
Figura 1.8 - Fotografia de embarcações que utilizam cilindros rotativos.
1.2
TRABALHOS PRECEDENTES
Existe na literatura uma vasta quantidade de artigos sobre o escoamento em torno de cilindros,
abordando os mais variados aspectos do tema, com nítida predominância de trabalhos envolvendo o
escoamento em torno cilindros estacionários. Os primeiros trabalhos envolvendo cilindros em
rotação foram desenvolvidos para pequenas rotações específicas (α) e baixos números de Reynolds
(Re) – Prandtl & Tietjens (1957), Matsui (1967), Steele & Harding (1970). Na década de 80, estudos
experimentais para valores mais elevados de α e de Re passaram a ser realizados – Coutanceau &
Menard (1985), Badr & Dennis (1985) e Badr et al.(1990). A partir dos anos 90, com o aumento
notável na capacidade e na velocidade dos computadores, trabalhos numéricos nesta área tornaramse mais freqüentes, como, por exemplo, Badr et al.(1990), Chang & Chern (1991), Chen et al.(1993)
e Ou (1995). Ainda assim, vários aspectos referentes a este tipo de escoamento permanecem
obscuros e muitos dos resultados disponíveis na literatura são conflitantes entre si.
Sabe-se que variações na circulação (Γ ) em torno de um cilindro fixo podem produzir
modificações profundas no padrão de escoamento. Um aumento de circulação, produzido por uma
rotação do cilindro, pode inibir a separação do escoamento em um dos lados do corpo. Este
fenômeno foi abordado nos estudos de Prandtl do início do século XX, cujos resultados são
reapresentados em Prandtl & Tietjens (1957).
Como registrado por Goldstein (1938), outros autores deram continuidade aos trabalhos de
Prandtl, comprovando, com o auxílio da visualização de escoamentos, que um cilindro em rotação
tende a retardar a separação da camada limite em um de seus lados, deslocando a esteira para o lado
oposto. Dependendo da rotação imposta ao cilindro, para uma dada condição do escoamento, a
emissão alternada de vórtices pode ser totalmente suprimida.
Estudos teóricos baseados nas equações da camada limite em regime permanente foram
realizados por Moore (1957), Glauert (1957a,b) e Wood (1957). Esses trabalhos indicaram que, para
altos valores de α, é possível obter escoamento em regime permanente, sem desprendimento de
vórtices, para uma ampla faixa de valores do número de Reynolds, o que concorda com as
observações experimentais descritas em Prandtl & Tietjens (1957) e Goldstein (1938).
Glauert (1957a,b) estudou numericamente o cilindro circular em movimento de rotação,
imerso em um escoamento bidimensional uniforme. Para elevados valores da velocidade específica
(α), o autor observou a ausência de separação no escoamento, enquanto que, para valores menores,
uma larga região de separação à jusante do corpo de prova foi notada. Os resultados apresentados
revelam que a região de separação desaparece quando a velocidade tangencial do cilindro ultrapassa
duas vezes a velocidade da corrente livre. Estes mesmos resultados mostraram, ainda, que a
circulação (Γ ) aumenta indefinidamente com o aumento da rotação específica, contradizendo os
estudos teóricos de Prandtl utilizando escoamento potencial, para o qual a circulação atinge um
valor máximo, independentemente do aumento da velocidade específica.
Num trabalho experimental realizado em túnel aerodinâmico, Aldoss & Abou-Arab (1990)
estudaram o escoamento em torno de um cilindro circular, posicionado transversalmente a um fluxo
de ar, para valores da rotação específica (α ) compreendidos entre 0 e 1,25. O movimento do
cilindro, de diâmetro 47,4 mm e comprimento de 500 mm, foi proporcionado por um motor elétrico
acoplado a um sistema de polias e correia. As paredes do túnel e a superfície do modelo foram
convenientemente polidas, para propiciar um baixo nível de rugosidade. O perfil de velocidades a
montante e a jusante do cilindro, o coeficiente de atrito superficial e os pontos de separação e de
estagnação foram obtidos, em função do parâmetro α. Os autores compararam o escoamento em
torno de cilindros estáticos e rotativos, observando que a posição do ponto de estagnação varia
fortemente com o valor de α, enquanto os pontos de separação são pouco dependentes desse
parâmetro. Esse trabalho, mostrou, ainda, que o escoamento a montante do cilindro é pouco
influenciado pelo movimento de rotação do corpo sólido. Porém, sua esteira é fortemente afetada,
tornando-se totalmente assimétrica. Isso acontece em razão de um desvio das linhas de corrente
ocasionado pela rotação, que produz, também, uma diminuição no comprimento e na largura da
esteira. Esses resultados mostraram boa concordância com dados teóricos e experimentais da
literatura.
Mittal (2001) realizou um estudo numérico, utilizando o método de elementos-finitos, para
calcular os esforços que atuam sobre cilindros rotativos, obtendo resultados que apresentam boa
concordância com dados experimentais da literatura. O autor observou que a rotação produz um
escoamento essencialmente bidimensional, com alto coeficiente de sustentação. Entretanto, por meio
de simulações tridimensionais, usando as equações de Navier-Stokes, foi observado que o efeito de
borda e a instabilidade centrífuga ao longo do cilindro levam a uma perda de sustentação,
aumentando consideravelmente o arrasto. O coeficiente de sustentação obtido, igual a 19,1,
ultrapassa o valor limite de 12,6, fixado por Goldstein (1938) com base nos argumentos de Prandtl.
Esse assunto foi, durante longo tempo, objeto de forte discussão, uma vez que vários outros autores
não concordavam com a existência desse limite máximo.
Segundo Vieira (1961), embora um cilindro em rotação, imerso em um escoamento, seja capaz
de gerar altos coeficientes de sustentação, por intermédio do efeito Magnus, como todo corpo
rombudo, ele também apresenta elevados coeficientes de arrasto. Este problema já havia sido
diagnosticado nos estudos pioneiros de Prandtl, que propôs a sucção da camada limite como forma
de atrasar o seu descolamento e, conseqüentemente, reduzir a espessura da esteira, minimizando o
arrasto aerodinâmico.
Modi et al.(1991a,b), Modi et al.(1992) e Munshi et al.(1997 a,b) aproveitaram o fato do
cilindro rotativo retardar o descolamento da camada limite, para propor novas possíveis aplicações
deste conceito em aerofólios.
Badr & Dennis (1985) obtiveram resultados numéricos do escoamento, em regime permanente
e transiente, ao redor de um cilindro circular rotativo com velocidade angular constante, transladado
com uma velocidade linear também constante, para valores do número de Reynolds compreendidos
entre 5 e 20. O escoamento foi considerado bidimensional, incompressível e governado pelas
equações de Navier-Stokes. Para o regime transiente, o cilindro foi colocado em movimento
partindo do repouso e, para baixos números de Reynolds, os autores observaram que o escoamento
só atinge o regime permanente, após decorrido um longo período de tempo. Com o propósito de
comparação, o problema foi novamente resolvido apenas para o escoamento em regime permanente.
Os valores dos coeficientes de arrasto, sustentação e momento, calculados através do escoamento
em regime permanente e transiente, foram comparados entre si e mostraram uma boa concordância.
Entretanto, foram notadas discrepâncias entre esses resultados e soluções numéricas recentes das
equações de Navier-Stokes, considerando o regime permanente, obtidas por outros autores. Alguns
resultados adicionais em regime transiente foram, também, apresentados para valores mais elevados
de Reynolds, 60, 100 e 200, quando o regime permanente implica num padrão periódico de emissão
de vórtices.
Badr et al.(1990) realizaram, um estudo numérico e experimental do escoamento transiente
sobre um cilindro circular, que inicia seu movimento de translação e de rotação partindo do repouso.
A faixa do número de Reynolds analisada nesse estudo foi de 103 a 104 , com α variando entre 0,5 e
3. O estudo numérico foi baseado na solução das equações de Navier-Stokes bidimensionais
transientes, enquanto que a investigação experimental fundamentou-se na visualização do
escoamento utilizando partículas em suspensão. O objetivo do estudo foi examinar o efeito do
aumento da rotação na estrutura do escoamento. Os resultados numéricos e experimentais obtidos
nesse trabalho apresentam uma excelente concordância com aqueles encontrados na literatura,
sobretudo para baixos valores de α.
Barnes (2000) estudou experimentalmente o escoamento em torno de um cilindro em
movimento de rotação, para número de Reynolds 60. Medidas suplementares, para números de
Reynolds compreendidos entre 50 e 65, também foram efetuadas, com o objetivo de determinar os
valores de α para os quais o desprendimento de vórtices é totalmente suprimido. Nesse estudo, o
autor observou que o número de Strouhal é pouco dependente do valor de α, concordando com os
dados obtidos por Kang et al.(1999), mas discordando totalmente dos resultados de Hu et al.(1996).
Kimura et al.(1992) realizaram um estudo experimental e numérico do escoamento ao redor de
um cilindro circular em movimento de rotação, para números de Reynolds na faixa de 2.102 até 105
e α variando entre 0 e 2,1. Os experimentos foram conduzidos em tanque de água, usando dois
cilindros distintos, com diâmetros de 1 e 3 cm e comprimentos, respectivamente, de 10 e 12 cm. O
método da geração de bolhas de hidrogênio foi empregado na visualização do escoamento na esteira
do cilindro e a técnica de anemometria de filme quente foi utilizada na realização de medidas de
velocidade na esteira. Na etapa numérica do trabalho, os autores empregaram o método dos vórtices
discretos, com o objetivo de determinar a rotação específica crítica, para a qual o desprendimento de
vórtices é suprimido.
A maioria dos trabalhos numéricos impõe um perfil de velocidades uniforme na entrada do
domínio de cálculo. Entretanto, esta situação nem sempre é encontrada na prática. Com o objetivo
de investigar numericamente a influência das condições de contorno a montante de um cilindro
rotativo, Ta (1975) e Ingham (1983) realizaram uma série de simulações, concluindo que as
principais propriedades do escoamento são bastante dependentes das condições impostas na entrada,
notadamente o coeficiente de sustentação.
Apesar do grande interesse científico e tecnológico que o movimento do fluido em torno de
cilindros rotativos tem despertado entre cientistas e engenheiros, há mais de um século, vários de
seus aspectos fenomenológicos permanecem, ainda hoje, pouco compreendidos. Os resultados
conflitantes encontrados na literatura apenas refletem o alto grau de complexidade inerente a este
tipo de escoamento. Por outro lado, a revisão bibliográfica acima apresentada mostra que poucas
pesquisas preocuparam-se, até o momento, em investigar a configuração da esteira e o
comportamento do número de Strouhal (St) em função do número de Reynolds (Re) e da rotação
específica (α). Informações desta natureza, contudo, podem contribuir sobremaneira no estudo de
métodos de controle da camada limite e redução do arrasto, constituindo, portanto, uma lacuna a ser
preenchida.
1.3
OBJETIVOS E ESCOPO DO TRABALHO
Nas seções anteriores, procurou-se enfatizar o grande potencial de utilização que podem ter os
cilindros rotativos, sobretudo nas aplicações navais e aeronáuticas, como dispositivos capazes de
oferecer elevados coeficientes de sustentação ou, ainda, no controle ativo da camada limite sobre
superfícies sólidas. Contudo, por motivos de natureza econômica ou dificuldades de ordem
tecnológica, a utilização de cilindros rotativos na prática da engenharia é, ainda hoje, bastante
limitada. Um melhor conhecimento dos fenômenos associados a este tipo de escoamento poderia
contribuir para alterar este cenário, indicando, talvez, novos campos de aplicação tecnológica para
este conceito. É justamente no estudo de tais fenômenos que se situa a ênfase maior do presente
trabalho.
De maneira mais específica, o presente trabalho propõe uma investigação experimental do
escoamento ao redor de cilindros circulares animados de rotação, posicionados perpendicularmente
ao fluxo principal, avaliando-se a influência da velocidade angular sobre a freqüência de emissão de
vórtices e a estrutura da esteira. Os ensaios são conduzidos em meio líquido, para números de
Reynolds inferiores a 1000 e rotação específica (α) abaixo de 4. Diferentes configurações da esteira
são identificadas e analisadas, com base em visualizações de escoamento e em medições de
velocidade, realizadas com o auxílio de um anemômetro de filme quente.
Capítulo 2
Aspectos fenomenológicos do
escoamento em torno de
cilindros
Quando um escoamento contorna um corpo sólido, fenômenos de grande complexidade
podem ocorrer, em razão da interação entre diferentes tipos de camadas cisalhantes. Nas aplicações
da engenharia, corpos de diferentes formas são usualmente empregados. Em alguns deles, o
escoamento mantém-se colado à superfície durante a maior parte de seu percurso. Nessa categoria,
encontram-se as asas e os aerofólios. Nos chamados corpos rombudos, ao contrário, a separação
ocorre mais próximo do bordo de ataque e o escoamento mantém-se descolado até ultrapassar o
corpo sólido. Os corpos rombudos podem possuir arestas afiadas, tal como cilindros de seção
triangular ou retangular, ou superfícies contínuas, como acontece com os cilindros circulares e
elípticos. De maneira geral, o ponto de separação depende, dentre outros fatores, do número de
Reynolds e da forma geométrica do corpo.
Na apresentação que se segue, estuda-se, primeiramente, a fenomenologia do escoamento em
torno de cilindros circulares estacionários, com a finalidade de auxiliar a compreensão dos
mecanismos que caracterizam o escoamento em torno de cilindros rotativos, abordados na
seqüência.
2.1 CILINDROS ESTACIONÁRIOS
2.1.1 Escoamento invíscido e escoamento viscoso
A Figura 2.1 ilustra as linhas de corrente para o escoamento incompressível e sem viscosidade,
ao redor de um cilindro circular estacionário. A velocidade do fluido cresce do ponto A para o ponto
D e em seguida, decresce na mesma proporção, entre os pontos D e E. Nesse caso, as tensões de
cisalhamento são inexistentes e os campos de pressão e de velocidade são ambos simétricos, tanto
em relação ao eixo x quanto ao eixo y. Resulta daí, que nenhuma força líquida atua sobre o cilindro,
implicando na ausência de arrasto e de sustentação. Este tipo de escoamento constitui,
evidentemente, uma idealização e se afasta bastante das situações verificadas na prática.
Figura 2.1 – Escoamento invíscido e incompressível ao redor de um cilindro circular estacionário.
Em escoamentos reais, tanto as forças de pressão quanto as de viscosidade são importantes, e
as linhas de corrente assumem uma configuração mais parecida com aquela representada na
Figura 2.2. Se, por um lado, os campos de pressão e de velocidade a montante do cilindro são muito
parecidos com aqueles encontrados no escoamento invíscido da Figura 2.1, o mesmo não acontece
na região posterior ao obstáculo. A separação da camada limite acarreta a formação de uma esteira
atrás do corpo, caracterizada por um déficit de quantidade de movimento e pela presença de pressões
relativamente baixas, gerando uma força paralela ao eixo x, que se opõe ao movimento do fluido,
conhecida como arrasto de pressão.
Figura 2.2 – Escoamento viscoso e incompressível em torno de um cilindro
circular estacionário.
Uma análise global do campo de escoamento real em torno de um cilindro circular é apresentada
por Zdravkovich (1997). Como mostrado na Figura 2.3, a velocidade média local do fluido pode ser
maior, igual, ou menor à velocidade da corrente livre, dividindo o escoamento em quatro regiões
distintas:
(i) uma estreita região de fluxo retardado;
(ii) duas camadas limite na superfície do cilindro;
(iii) duas zonas de descolamento e aceleração do escoamento;
(iv) uma larga região de separação do escoamento, chamada esteira.
Figura 2.3 – Regiões de perturbação do escoamento, segundo Zdravkovich (1997).
A região do escoamento retardado (i), localizada a montante do cilindro, tem atraído poucas
pesquisas, apesar das inesperadas flutuações de velocidade que ali ocorrem, e que podem afetar
significativamente o coeficiente de transferência de calor local, no caso de tubos de trocadores de
calor e outros equipamentos térmicos. As camadas limite do cilindro (ii) estão sujeitas a um
gradiente de pressão favorável, seguido por uma pequena região de gradiente de pressão adverso,
antes da separação. A separação da camada limite continua se desenvolvendo a jusante, com linhas
cisalhantes livres, inicialmente perto da esteira. A região do descolamento e aceleração (iii) é ainda
menos explorada. A extensão dessa região pode ser fortemente afetada pela limitação da parede
como efeito de bloqueio e o escoamento perturbado é vigorosamente influenciado pela baixa pressão
na esteira. A maioria das pesquisas envolvendo o escoamento ao redor de cilindros, enfoca a região
da esteira (iv), na qual fenômenos bastante interessantes são observados. Em linhas gerais, as duas
camadas cisalhantes, que se formam de ambos os lados do corpo sólido, se prolongam na direção do
escoamento, confinando a região da esteira. Uma vez que a zona mais interna das camadas
cisalhantes, em contato com a esteira, se move mais lentamente do que a sua parte externa, em
contato com a corrente livre, estas camadas tendem a se enrolar em torno de si mesmas, formando
vórtices discretos, cujo comportamento dinâmico dá origem a diferentes padrões de escoamento
como mostrado no trabalho de Lindquist (2000).
Diversos fatores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros circulares,
dentre os quais destaca-se o número de Reynolds. Com base neste parâmetro, Gersten (1983)
identifica sete diferentes padrões de escoamento na esteira de um cilindro circular estacionário,
conforme observa-se na Tabela 2.1. Para baixos números de Reynolds, as linhas de corrente
contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento apreciável da camada limite, tal como
ocorre no escoamento invíscido. Em regimes mais severos, entretanto, grandes estruturas
turbilhonares podem se desprender periodicamente de ambos os lados do obstáculo, originando a
chamada esteira turbilhonar de von Kármán. Nessas condições, as forças que atuam sobre o cilindro
passam a apresentar natureza cíclica. A formação e a extinção dos vórtices coerentes na esteira de
cilindros dependem do regime de escoamento, que pode ser laminar, transitório ou turbulento.
2.1.2 Mecanismo físico da formação e desprendimento de vórtices
Gerrard (1966), analisou os mecanismos físicos envolvidos no fenômeno de formação de
vórtices no escoamento ao redor de um cilindro, concluindo que a interação mútua entre as duas
camadas cisalhantes, formadas em razão da separação da camada limite, constitui um elemento
decisivo no processo de formação dos vórtices da esteira. Para auxiliar na compreensão do modelo
de Gerrard (1966), a Figura 2.4 mostra um esboço das linhas de emissão instantâneas em torno de
um cilindro circular. Segundo o autor, um vórtice cresce ganhando circulação da camada cisalhante
à qual se encontra conectado, atraindo, a partir de um dado instante, partículas de fluido da camada
cisalhante do lado oposto. Ao caminharem na direção do vórtice maior, as partículas podem seguir
três direções distintas: (a) elas podem se unir ao vórtice em formação, no lado oposto da esteira; (b)
elas podem mover-se em direção da camada cisalhante oposta, que possui vorticidade de sinal
inverso e; (c) elas podem caminhar em direção ao cilindro, na direção da região da esteira próxima.
A parcela do escoamento que segue o caminho (a) mistura-se com o fluido que está formando
um vórtice na região superior da esteira. Uma vez que essa parcela possui vorticidade contrária
àquela do fluido que está constituindo o vórtice, ela colabora para uma diminuição da circulação
total desse último. Aquela parcela que segue em direção à camada cisalhante oposta (b) tem um
papel muito importante no que se refere à estabilidade do escoamento. Havendo uma diminuição da
pressão, a camada cisalhante que está se separando do corpo torna-se mais intensa, por conseguinte
o vórtice também se torna mais intenso. Com isto, uma parcela maior da camada cisalhante oposta
atravessará a linha de centro da esteira e uma porção maior de fluido com vorticidade de sinal
contrário chocar-se-á com esta camada, fazendo com que haja uma
Tabela 2.1 - Configuração do escoamento ao redor de um cilindro em função do número de Reynolds, segundo Gersten (1983).
Re
Regime
Características
Strouhal
Regime permanente,
Re → 0
Re muito baixo
ausência de esteira, simetria
?
longitudinal
Regime permanente,
3→4 < Re < 30→40
Vórtice duplo
separação e bolha de
?
recirculação.
30
80
< Re <
40
90
80
150
< Re <
90
300
Estágio incipiente da esteira
Esteira laminar e instável e
de vórtices de Von Kármán
presença de recirculação.
Esteira de vórtices de Von
Esteira de vórtices
Kármán plenamente
de Von Kármán
Sr < 0,14
0,14 < Sr < 0,21
desenvolvida
Esteira de vórtices instável e
5
150
1,0x10
escoamento laminar nas
Regime sub-crítico
< Re <
proximidades da esteira
Sr = 0,21
5
300
1,3x10
Separação laminar,
recolamento turbulento,
5
6
1,3x10 < Re < 3,5x10
Regime crítico e pós-crítico
separação turbulenta final,
Sem periodicidade
esteira turbulenta
dominante
Transição para a camada
3,5x106 < Re
Regime super-crítico
limite turbulenta, separação
turbulenta
0,25 < Sr < 0,30
Escoamento
diminuição da intensidade do vórtice que está crescendo. Isso, em última instância, causa a
interrupção da alimentação de circulação para este vórtice. Após esta interrupção, o vórtice
adquire sua circulação final e desprende-se da camada cisalhante que lhe deu origem.
Finalmente, a parcela de fluido que segue o caminho indicado pela seta (c), colabora para a
formação de um novo vórtice, agora, na parte inferior da esteira, fechando o ciclo de geração e
desprendimento de vórtices. O balanço da massa de partículas que segue cada um destes
caminhos controla o campo de vorticidade na esteira, a pressão na região posterior do corpo
(pressão na base) e, evidentemente, a freqüência de geração e desprendimento de vórtices
coerentes.
a
b
c
Figura 2.4 - Modelo do processo de geração e desprendimento de vórtices na
esteira de cilindros, segundo Gerrard (1966).
Uma vez que o fenômeno de geração e desprendimento de vórtices envolve a mistura de
regiões de fluido com vorticidade de sinais opostos, é interessante observar que a intensidade de
um vórtice individual da esteira será menor que a circulação total que emanou da separação em
um dos lados do corpo rombudo durante um ciclo de geração.
2.1.3 Regimes de escoamento
Estudos numéricos e observações experimentais têm revelado diferentes padrões de
escoamento em torno de cilindros circulares. Os limites entre um regime e outro são
estabelecidos por valores do número de Reynolds. Perturbações presentes no escoamento,
entretanto, podem alterar significativamente a faixa de Re dentro da qual cada padrão de
escoamento ocorre. Em linhas gerais, os padrões de escoamento podem ser divididos em: (a)
totalmente laminar, L; (b) regime de transição; (c) regime completamente turbulento, T.
a) Escoamento laminar, L
O escoamento laminar pode ser subdividido em três diferentes regimes, quais sejam:
18
L1 : escoamento muito lento ou regime de não-separação; 0 < Re < 4-5;
L2 : estado de separação; 4-5 < Re < 32-48;
L3 : regime laminar periódico; 32-48 < Re < 180-200.
No escoamento muito lento (L1), como visto na Figura 2.5, o fluido mantém-se
perfeitamente colado à superfície do cilindro, em toda a sua circunferência. O escoamento é
permanente e as linhas de corrente são perfeitamente simétricas, em relação aos eixos transversal
e longitudinal do cilindro.
Eixo transversal
Eixo
longitudinal
Figura 2.5 – Escoamento muito lento, Re = 1, (Zdravkovich, 1997).
No regime L2, o escoamento sofre descolamento na superfície do cilindro e perde sua
simetria em relação ao eixo transversal, mantendo-se, contudo, simétrico em relação ao eixo
longitudinal, como mostrado na Figura 2.6. Duas bolhas de recirculação contra-rotativas
permanecem, então, estacionárias junto à base do cilindro. As camadas cisalhantes livres que se
desenvolvem de ambos os lados do corpo sólido se reencontram a jusante das bolhas de
recirculação, no chamado ponto de estagnação.
Ponto de estagnação
Camada cisalhante
Camada cisalhante
Figura 2.6 – Esteira próxima, Re = 40 (Campos et.al.,1998).
19
No regime L3, a região da esteira próxima torna-se instável para Re > 32-48 e uma
oscilação senoidal na camada cisalhante se inicia no ponto de estagnação, como pode ser visto na
Figura 2.7(a). A oscilação espontânea é sensível às perturbações e depende das características
particulares do arranjo experimental. A amplitude da oscilação aumenta quando o número de
Reynolds se eleva acima de 45-65. A camada cisalhante começa, então, a se enrolar em torno de
si mesma, assumindo uma forma roliça, como mostrado na Figura 2.7(b). Quando o número de
Reynolds aproxima-se de 180-200, a esteira passa a se caracterizar pela emissão alternada de
vórtices, com pode ser visto na Figura 2.7(c).
Figura 2.7 – Esteira periódica laminar: (a) Re = 54; (b) Re = 65; (c) Re = 102 (Zdravkovich,
1997).
b) Regime de transição
O fenômeno da transição é muito sensível a perturbações de vários tipos, podendo se
manifestar de diferentes formas e em diferentes regiões do escoamento em torno de um cilindro
estacionário. Pequenas perturbações externas podem desestabilizar o escoamento, antecipando o
início da transição. Na Figura 2.8 mostram-se os diferentes tipos de transição que podem ocorrer
no escoamento em torno de um cilindro estacionário: transição na esteira (TrW), na camada
cisalhante (TrSL) e na camada limite (TrBL).
(a) TrW
(b) TrSL
(c) TrBL
Figura 2.8 – Transição em regiões perturbadas (Zdravkiovich 1997).
BL = Camada limite, L = Laminar, T = Turbulento, Tr = Transição, S = Separação.
20
Transição na esteira, TrW
A transição do escoamento laminar periódico para o turbulento manifesta-se, inicialmente,
pela desorganização da esteira em regiões afastadas do cilindro, estado TrW1, conforme se
observa na Figura 2.9(a). Com o aumento do número de Reynolds, as instabilidades que dão
origem a este processo aproximam-se cada vez mais do cilindro, fazendo oscilar até mesmo os
vórtices que se desprendem próximos à sua base, estado TrW2, como mostrado na Figura 2.9(b).
Essa mudança do estado TrW1 para TrW2 afeta diretamente a freqüência de emissão de vórtices
e, portanto, o número de Strouhal do escoamento.
(a) TrW1 - Transição do vórtice laminar na esteira (180 – 200) < Re < (220 – 250)
(b) TrW2 - Transição do vórtice irregular durante sua formação; (220 50) < Re < (350 - 400)
Figura 2.9 – Transição na esteira (Zdravkovich, 1997).
Transição na camada cisalhante livre, TrSl, ou estado subcrítico
A segunda forma de transição ocorre na camada cisalhante livre, enquanto a camada limite
permanece totalmente laminar. Nesse caso, também, podem ser identificados três diferentes fases
de transição:
TrSL1: transição de ondas, 350-400 < Re < 103 -2.103
TrSL2: transição dos vórtices, ( 103 – 2 103 ) < Re < (20 103 – 40 103 )
TrSL3: degeneração em turbulência, (20 103 – 40 103 ) < Re < (100 103 – 200 103 ).
A transição de ondas aparece primeiramente como ondulações na camada cisalhante livre,
como ilustrado na Figura 2.10(a). Com o aumento de Re, as ondas que delimitam a camada
cisalhante transformam-se em vórtices discretos, como mostrado na Figura 2.10(b). Um aumento
ainda maior do número de Reynolds conduz o escoamento ao início do regime turbulento,
caracterizado pela presença de uma maior variedade de escalas de comprimento e tempo, como
pode ser identificado na Figura 2.10 (c).
21
(a)
(b)
(c)
Figura 2.10 – Transição na camada cisalhante livre: (a) Re = 2 103 , (b) Re = 8 103 ,
Corke; (c) Re = 110 103 (Zdravkovich, 1997).
22
Transição na camada limite, TrBl, ou estado crítico
A última forma de transição ocorre na camada limite e é subdividida em três fases, a saber:
TrBL0: regime pré-crítico; (100 103 – 200 103 ) < Re < (300 103 – 340 103 ).
TrBL1: regime de uma bolha; (300 103 – 340 103 ) < Re < (380 103 – 400 103 )
TrBL2: regime de duas bolhas; (380 103 – 400 103 ) < Re < (0.5 106 – 106 )
TrBL3: regime supercrítico; (0.5 106 – 106 ) < Re < (3.4 106 – 6 106 )
TrBL4: regime pós-crítico; (3.5 106 – 6 106 ) < Re < (não conhecido)
A região pré-crítica, TrBL0, é caracterizada pelo início da transição na camada cisalhante
ao longo da linha de separação e termina em um certo valor de Re, com a queda da
descontinuidade do coeficiente de arrasto e com um salto na freqüência de emissão de vórtices.
Nota-se uma assimetria da distribuição de pressão em um dos lados da camada cisalhante livre,
em razão de uma forte transição, que possibilita o recolamento sobre a superfície do cilindro.
A fina região de separação é denominada de bolha de separação e a separação turbulenta
subseqüente ocorre em TrBL1. O regime de uma bolha assimétrica, TrBL1, termina com um alto
valor de Re, baixo arrasto e um salto na freqüência de desprendimento de vórtice ocorre no outro
lado do cilindro, quando a segunda bolha é formada.
O regime de duas bolhas simétricas, TrBL2, representa uma combinação complicada da
separação laminar, transição, recolamento e separação turbulenta da camada limite em ambos os
lados do cilindro. TrBL1 e TrBL2 são regimes muito sensíveis a perturbações e podem ser
eliminados pela simples presença de uma superfície suficientemente rugosa ou uma corrente
livre turbulenta.
O aumento de Re traz a transição, primeiramente, para uma das linhas de separação e
posteriormente, para outra linha de separação de uma maneira irregular. Isso leva ao rompimento
e fragmentação da bolha de separação ao longo do cilindro. A fragmentação regular das linhas de
separação prevê o desprendimento periódico dos vórtices. Em seguida, o escoamento é levado ao
regime supercrítico, TrBL3.
O regime pós-crítico é caracterizado pela transição da camada limite, podendo ocorrer em
qualquer lugar situado entre o ponto de estagnação e o de separação. Com o aumento de Re, a
região de transição avança para o ponto de estagnação e então, o valor de Re para o fim da região
TrBL4 é difícil de ser definido.
c) Escoamento completamente turbulento, T
Este regime de escoamento é alcançado quando todas as regiões do escoamento em torno
do cilindro são turbulentas. Não se sabe o valor exato do número de Reynolds que marca o início
do regime completamente turbulento e, teoricamente, se estende até Re → ∞. Nestas condições,
espera-se que o arrasto e o desprendimento de vórtices sejam invariantes em torno do cilindro.
Entretanto, isso se torna quase impossível, porque os efeitos compressíveis no ar e a cavitação
em água não podem ser evitados para valores de Re muito elevados.
23
2.1.4 Variação das forças fluidodinâmicas
A estrutura do escoamento descrita e mostrada na seção anterior determina a magnitude, a
direção e a variação no tempo das forças fluidodinâmicas exercidas sobre o cilindro. Por
exemplo, o escoamento simétrico L1 e L2 em regime laminar, aumenta a ação viscosa, enquanto
o regime periódico laminar L3 gera sobre o cilindro uma força de natureza cíclica, com
componentes nas direções paralela e perpendicular ao escoamento – o arrasto e a sustentação.
Nos três estados de transição, uma pequena perturbação pode causar uma flutuação irregular e
aleatória das forças de arrasto e de sustentação.
As flutuações dos coeficientes de arrasto e de sustentação são denotadas, respectivamente,
por CD´ e CL´, enquanto os valores médios desses coeficientes são representados por CD e CL. A
força de arrasto é produzida pelo atrito viscoso na superfície, CDf, e por uma distribuição de
pressão assimétrica em torno do cilindro, CDP. Assim, pode−se escrever:
C D = C Df + CDP
(2.1)
A Figura 2.11 mostra a variação de todos os seis coeficientes discutidos até aqui - CD, CL,
CD´, CL´, Cf e Cp , - para uma ampla faixa de número de Reynolds em torno de um cilindro
circular estacionário. O atrito viscoso, denotado por CDf , é significativo no escoamento laminar
L, mas torna-se desprezível ao fim da região TrSL.
Figura 2.11 – Variação dos coeficientes de força para um escoamento livre de
perturbação, Zdravkiovich (1997).
A partir de TrSL2 o arrasto de pressão CDP é sobreposto a CD em razão do pequeno valor
24
de CDf. Os três valores mínimos de CDP, mostrados na Figura 2.11, correspondem a:
- Prolongamento, cisalhamento e esteira próxima no fim de L2 ;
- O maior comprimento da região de formação de vórtice entre TrSL1 e TrSL2;
- A separação das bolhas em ambos os lados do cilindro TrBL2.
A diminuição de CD e aparecimento da média de CL ocorre no início da região de única
bolha. Há um decaimento de CD e CL na região TrBL1 e início da região de duas bolhas TrBL2.
Existe uma variação local de CD ao longo do intervalo do regime supercrítico TrBL3. O mínimo da
curva de CD corresponde à parte do intervalo na qual as bolhas são preservadas e o ponto máximo
da curva de CD corresponde àquele em que ocorre a máxima fragmentação das bolhas. Os valores
de dois coeficientes de arrasto podem diferenciar entre si em mais de 50% ao longo do intervalo.
A flutuação da sustentação C´L é sempre maior que a flutuação do arrasto CD´. CD´ possui
duas componentes: C´DS, o qual é senoidal e C´Dt , que é fortuito e produz turbulência. CL
também possui duas componentes: C´LS e C´Lt (exceto no regime L3), C´LS é dominante em
TrW2 e TrSL3 e desaparece em TrBL3. No estado pós-critico, TrBL4, C´LS tem a mesma ordem
de grandeza de C´Lt . O primeiro C´Lmax mostrado na Figura 2.11 corresponde a menor distância
entre o vórtice laminar e o cilindro e o segundo C´Lmax está relacionado com à menor distância
entre o vórtice turbulento e o cilindro. Os dados experimentais contendo pequenas perturbações,
são representados na Figura 2.11 com barras verticais.
A Tabela 2.2 mostra uma síntese dos estados e regimes de escoamentos ilustrados nas
seções precedentes.
Tabela 2.2 – Regimes de escoamento em torno do cilindro circular estacionário.
Estado
L
Laminar
Regime
TrSL
Transição na
esteira
Transição na
camada
cisalhante
C
D
Esteira
4-5 a 3-4,8 10
1
2
1
2
3
2
Esteira periódica
2
3-4,8 10 a 1,8-2 10
2
D
C
2
2
Esteira distante
1,8-2 10 a 2,2-2,5 10
D
D
Esteira próxima
2
2,2-2,5 10 a 3,5-4 10
C
C
Abaixo
2
C
D
D
C
Mesmo
Mesmo
Intermediária
Acima
Pré-crítica
Bolha única
Dupla bolha
Super-crítica
Pós-crítica
Completamente
turbulento
D
2
3
T
Nenhum
0 a 4-5
1
TrBL
CD
Sem separação
0
Transição na
camada limite
Lw/Lf
1
3
TrW
Faixa de Re
1
Invariável
2
Último
3
3,5-4 10 a 1-2 10
3
4
4
5
1-2 10 a 2-4 10
2-4 10 a 1-2 10
5
5
1-2 10 a 3-3,4 10
C
D
5
5
(?)
MD
5
6
(?)
MD
Nenhum
C
(?)
Mesmo
(?)
Mesmo
(?)
(?)
3-3,4 10 a 3,8-4 10
3,8-4 10 a 0,5-1 10
6
6
0,5-1 10 a 3,5-6 10
6
3,5-6 10 a (?)
(?) a ∞
Lw - Comprimento da quase esteira (apenas para estado L2); Lf - Comprimento da região de formação dos
25
vórtices (do estado L3 a T2 ); C – Crescente; D – Decrescente; M – Muito; (?) - Desconhecido.
2.3
CILINDROS EM ROTAÇÃO
O escoamento em torno de cilindros animados de rotação possui uma dinâmica bastante
diferente daquela observada em torno de cilindros estacionários. Como ilustrado na Figura 2.12,
de um lado do corpo, as velocidades da parede sólida e do escoamento potencial possuem,
ambas, o mesmo sentido, enquanto que, do lado oposto, o escoamento principal e a parede
movimentam-se em sentidos contrários.
Figura 2.12 – Cilindro em rotação imerso em um campo de escoamento.
O movimento da parede pode inibir, total ou parcialmente, a separação num dos lados do
corpo, deslocando a esteira em relação à linha de centro geométrica do sistema, conforme
mostrado na Figura 2.13. Nessas circunstâncias, além do número de Reynolds, o escoamento é
também governado pela rotação específica do corpo (α ) – na literatura anglo-saxônica, spin
parameter – que é a relação entre a velocidade tangencial periférica do cilindro e a velocidade de
aproximação do fluido, U, conforme denota a expressão:
α=
ωD
2U
(2.2)
na qual ω é a velocidade angular do cilindro.
A Figura 2.14 mostra o efeito da rotação sobre o perfil de velocidade médio, a montante e
a jusante do cilindro, para diferentes posições longitudinais. Nota-se que a rotação do corpo
acelera o escoamento na parte superior do cilindro, onde U e VT possuem o mesmo sentido –
região de escoamento concorrente – enquanto uma desaceleração ocorre na parte inferior, onde
U e Vt possuem sentidos contrários – região de escoamento em contracorrente. Pode-se observar,
26
pelos perfis de velocidade, que o escoamento a montante do cilindro é pouco afetado pelo
movimento de rotação do corpo cilíndrico. Entretanto, o tamanho e o comprimento da esteira
atrás do cilindro são altamente afetados pela rotação. A rotação diminui o tamanho da por meio
do efeito de bombeamento. O fluido que se encontra na parte frontal do cilindro é bombeado e
preenche a parte superior da esteira localizada atrás do cilindro. Esse bombeamento também
resulta no preenchimento total da esteira, ocasionando também uma menor esteira. Em
contrapartida, apenas um leve efeito da rotação é observado no escoamento à montante do
cilindro. Este pequeno efeito é causado pelo fluxo que é succionado da parte inferior a montante
do cilindro para direção oposta ao fluxo principal, Figura 2.15 (Aldoss & Abou-Arab, 1990).
(a) Cilindro estacionário
(b) Cilindro rotativo
Figura 2.13 – Escoamento ao redor de um cilindro estacionário e em movimento de rotação.
De maneira geral, os pontos de estagnação e de separação de um escoamento são diferentes
para superfícies móveis e estacionárias. Os pontos de separação para paredes em movimento são
definidos por Fansler et al.(1975) e Inoue (1981) como aqueles nos quais tanto a velocidade
local do fluido quanto o gradiente de velocidade são nulos. Matematicamente, Ul e dU/dy = 0.
Esse critério, denominado MRS, foi adotado por Peller (1986) para determinar o ponto de
separação sobre a parede móvel de um cilindro rotativo, na região de escoamento concorrente. O
autor comenta, entretanto, a dificuldade de aplicação deste método na determinação do ponto de
separação na região contracorrente, recomendando, para essa situação, a observação simultânea
do perfil de velocidade, da flutuação de velocidade e da espessura da camada limite.
27
Re = 4,42.10 4 e α = 0,54
Sem rotação
Com rotação
u/U
Figura 2.14 - Perfis de velocidade a montante e a jusante de um cilindro em rotação adaptada de Aldoss & Abou-Arab (1990).
A Figura 2.15(a) mostra algumas características do campo de velocidades na camada limite
de um cilindro circular em rotação. O ponto de estagnação é definido como aquele onde a
velocidade local do fluido é zero (Ul = 0). No ponto 2, a velocidade da corrente livre U é igual à
velocidade tangencial do cilindro (Vt). Esse ponto é descrito na literatura como origem da
camada limite (Swanson, 1961). Mais adiante, na região concorrente, no ponto 3, o perfil de
velocidades encontra um gradiente de pressão favorável. Nessa posição, a tensão de
cisalhamento é positiva e a velocidade do fluido local, Ul, é maior que a velocidade de rotação
VT. Avançando-se um pouco mais na região concorrente, observa-se que o escoamento na parede
do cilindro começa a se desacelerar, em razão do gradiente de pressão adverso. O escoamento
continua se desacelerando na parede do cilindro e a tensão de cisalhamento, τ, se iguala a zero no
ponto 4, identificado por Aldoss & Abou-Arab (1990) como ponto de separação. Entretanto,
segundo o método MRS, a separação ocorre no ponto 5 e não no ponto 4. Avançando-se ainda
mais na região concorrente, observa-se um escoamento com o perfil de velocidade caracterizado
por um fluxo reverso - ponto 6.
Para a região de escoamento contracorrente, observa-se também diferentes
comportamentos do escoamento. Os pontos 7, 8 e 9 indicam que sempre existirá fluxo reverso,
em todos os pontos da região contracorrente, existindo, contudo, uma posição onde o valor
absoluto da tensão de cisalhamento na parede se torna zero, aqui representado pelo perfil do
ponto 8. Essa posição é considerada o ponto de separação da região contracorrente e, segundo
Aldoss & Abou-Arab (1990), Diaz et al. (1983) e Diaz et al.(1985) é caracterizada por um
aumento repentino na flutuação da velocidade do escoamento (valor RMS).
28
τ
θ
(a) Velocidades
(b) Tensão de cisalhamento
Figura 2.15 – Características do escoamento na camada limite de um cilindro circular em
rotação, (Aldoss & Abou-Arab, 1990).
Capítulo 3
Instalação e procedimentos
experimentais
3.1 INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL
3.1.1 Descrição do túnel hidrodinâmico
No presente trabalho, um túnel hidrodinâmico vertical foi utilizado para investigar
experimentalmente o escoamento ao redor de cilindros circulares com movimento de rotação. Os
ensaios conduzidos nessa instalação, empregando técnicas de visualização de escoamentos e de
anemometria de filme quente, permitiram a obtenção de resultados qualitativos e quantitativos
acerca do movimento do fluido em torno dessa geometria.
Além de sua simplicidade construtiva e operacional, um túnel hidrodinâmico utiliza um
líquido como fluido de trabalho, o que, por si só, já constitui grande vantagem, facilitando a
implementação de técnicas de visualização do escoamento. Vórtices, recirculações, jatos, esteiras e
descolamentos podem se tornar visíveis, com grande nitidez e clareza, com o emprego de partículas
sólidas dispersas, filetes de tinta injetados no escoamento ou pequenas bolhas gasosas em suspensão
na corrente livre. Além disso, escoamentos uniformes, com baixa intensidade turbulenta e números
de Reynolds modestos podem ser gerados muito mais facilmente neste tipo de instalação do que em
túneis aerodinâmicos.
A Figura 3.1 apresenta um desenho esquemático do aparato experimental, que se compõe de um
reservatório superior (RS) munido de telas e colméias (TC), uma contração (CT) e uma seção de testes
(ST), dispostos em série. Logo após, uma válvula controladora de vazão do tipo esfera (V1) e uma
válvula do tipo borboleta (V2) permitem o regular a velocidade do escoamento no interior da seção de
testes. A tubulação de descarga (TD) conduz a água utilizada nos ensaios novamente para o
reservatório inferior (RI). Completando a instalação, o sistema de abastecimento (SA) é composto por
uma bomba centrífuga, com uma válvula de retenção instalada na tubulação de sucção e uma válvula
do tipo borboleta (V3) para controle da vazão de alimentação do túnel. Na extremidade superior da
tubulação de recalque, foi instalado um difusor (DD), para amenizar as perturbações provocadas pela
descarga do fluido de trabalho no reservatório superior.
Figura 3.1 – Ilustração esquemática do túnel hidrodinâmico vertical.
A contração possui uma razão de contração de 16:1 e um comprimento de 0,6 m. Sua seção de
entrada tem formato octogonal regular, enquanto que a seção de saída possui um formato octogonal
irregular, mais precisamente, um quadrado com os cantos cortados.
A seção de ensaios, ou seção de testes, possui seção transversal quadrada de 146 × 146 mm e
500 mm de comprimento. Seus cantos internos são ocupados por um prisma de seção transversal
triangular, que se estende ao longo de todo o comprimento da seção, conferindo-lhe o formato
quadrado de cantos cortados. Esses prismas afunilam-se em direção à jusante, de tal forma que o
volume interno da seção de testes seja ligeiramente cônico divergente, a fim de atenuar os efeitos do
crescimento da camada limite sobre suas paredes. Desta forma, a área da seção transversal da seção
de testes varia entre 177,2 cm2 , na entrada, e 192,5 cm2 , na saída, sendo que na posição em que os
modelos de ensaio são afixados, seu valor é de 184,6 cm2 .
Cada uma das faces da seção de testes é munida de uma ampla janela de observação
intercambiável, confeccionada em acrílico transparente com 12 mm de espessura, o que a torna
particularmente adequada para a realização de ensaios de visualização de escoamentos. Orifícios
podem ser confeccionados sobre estas janelas, para a introdução de agulhas de injeção de corantes,
fios metálicos para a geração de bolhas de hidrogênio, sondas de filme quente ou, eventualmente,
outros dispositivos de medição. No presente trabalho, foram utilizados quatro diferentes tipos de
janelas, como mostrado na Figura 3.2.
A janela anterior - Figura 3.2(a) - possui a configuração mais simples, sendo constituída de
uma placa lisa, contendo apenas uma esfera metálica de 3,15 mm de diâmetro, que serve de suporte
para o cilindro rotativo, inibindo eventuais oscilações. As duas janelas laterais, por sua vez,
apresentam configurações diferentes. Umas delas possui oito orifícios eqüidistantes, identificados na
Figuras 3.2(b) por números de 1 a 8. A janela posterior, Figura 3.2(c) possui três orifícios,
localizados nas posições identificadas por números de 1 a 3. Todos orifícios são, vedados por bujões
metálicos, que podem ser cegos, servindo apenas para vedação, com um furo passante, para a
fixação de modelos de ensaio, ou com um retentor de borracha, para a introdução de fios ou sondas
no interior da seção de testes.
Por último, a janela posterior possui um furo passante, para a introdução do modelo na seção
de testes, um rebaixo, onde se aloja o retentor, e um suporte em acrílico, para fixação do mancal
sobre o qual apóia-se o cilindro rotativo, conforme ilustrado nas Figuras 3.2(d) e (e). Essa janela foi
utilizada em todos os ensaios realizados neste trabalho.
O corpo de prova, constituído de um cilindro circular de aço inox com 226 mm de
comprimento, é introduzido na seção de teste através da janela posterior, como mostra a
Figura 3.2(d). Os primeiros 146 mm, constituem o modelo de ensaio propriamente dito, com 6 mm
de diâmetro. Os 80 mm restantes, com 8 mm de diâmetro, ficam fora da seção de testes e fazem
parte do sistema de acionamento do cilindro rotativo.
Logo abaixo da seção de testes do túnel, encontra-se instalado um medidor de vazão
magnético, marca Yokogawa, modelo ADMAG AE208MG. Este equipamento permite monitorar o
valor instantâneo da vazão volumétrica do túnel. A velocidade da corrente livre no interior da seção
de testes é, então, calculada, assumindo-se um perfil de velocidade uniforme em seu interior.
Assim, pode-se escrever:
U=
Q
Ast
(3.1)
na qual Q é a vazão volumétrica do túnel e Ast é a área transversal da seção de testes, imediatamente
a montante da posição em que o cilindro encontra-se instalado.
Vista frontal
(a) Janela frontal (b) Janela lateral
esquerda
(c) Janela lateral
direita
Vista lateral
(d) Janela posterior
Figura 3.2 – Janelas intercambiáveis da seção de testes do túnel.
3.1.2 Operação do Túnel
O túnel pode funcionar segundo dois modos de operação: o modo contínuo e o modo
intermitente (blow-down). No modo contínuo, o reservatório superior do túnel é permanentemente
abastecido durante a realização dos ensaios, com as válvulas V3 e V2 ajustadas de forma a manter o
nível de água constante. Já no modo intermitente, após o enchimento do reservatório superior, o
sistema de abastecimento é desligado e aguarda-se, no mínimo, duas horas, até que a água
armazenada fique completamente estagnada. Após esse período de repouso, dá-se início ao ensaio,
que transcorre à medida que o reservatório superior é esvaziado. O modo de operação contínuo é
mais indicado para a realização de ensaios nos quais se deseja que as condições permaneçam
constantes ao longo do tempo. Nesse modo de operação, podem ser realizados ensaios com duração
virtualmente ilimitada, mantendo-se a velocidade média do escoamento no interior da seção de
testes praticamente constante no decorrer do ensaio. Já no modo de operação intermitente, a duração
dos ensaios é limitada pela capacidade de armazenamento do reservatório superior e a velocidade
média do escoamento decresce continuamente com o passar do tempo, à medida que o nível de água
diminui. Em contrapartida, a intensidade turbulenta da corrente livre é significativamente menor que
nos ensaios em regime contínuo.
Numa etapa precedente, esse equipamento foi submetido a um cuidadoso processo de
caracterização, envolvendo uma grande variedade de ensaios, como descrito no trabalho de
Lindquist (2000). Dentre outras coisas, foram levantados perfis de velocidade e de intensidade
turbulenta para diferentes condições de funcionamento e em várias posições da seção de testes. Os
resultados obtidos mostram que o perfil de velocidades alia boa uniformidade e baixa intensidade
turbulenta. Em regime de operação contínua, o nível de turbulência máximo é inferior a 0,5%,
enquanto que em regime intermitente de funcionamento este valor cai abaixo de 0,2%.
3.1.3 Acionamento do corpo de prova
Para imprimir movimento de rotação ao corpo de prova, foi projetado e construído o sistema
de acionamento mostrado na Figura 3.3(a). Esse sistema é constituído, basicamente, de um mancal
(1) e uma polia (3), com arruela de fixação (2) para impedir o movimento axial do corpo de prova.
Na janela frontal (5), assim como na ponta do corpo de prova, foram feitos pequenos rebaixos, para
a fixação de uma esfera de 3,15 mm, que tem por finalidade minimizar os efeitos de excentricidade
na rotação do cilindro. A esfera foi colada no rebaixo da janela frontal e apenas encaixada na ponta
do corpo de prova. As peças foram montadas na janela posterior (6), que abriga um retentor de
18 mm de diâmetro externo, 8 mm de diâmetro interno e 4 mm de espessura, sobre um suporte
também construído em acrílico (7). Na Figura 3.3 (b), pode-se observar todo o sistema montado na
janela posterior.
O acionamento do cilindro se dá por meio de um conjunto de polias, com diferentes diâmetros,
movimentadas por um motor elétrico trifásico, marca WEG, 1/4 CV de potência, rotação nominal
1800 rpm, 220V, acoplado a um inversor de freqüência, também da marca WEG, modelo CFW 07,
que proporciona uma faixa de rotação de 30 a 10000 rpm, Figura 3.4. O acoplamento entre as polias
do motor e do cilindro é feito por intermédio de uma fina correia de borracha de seção transversal
circular, com 1 mm de diâmetro.
(1) macal; (2) arruela de fixação; (3) polia;
(4) corpo de prova; (5) janela frontal; (6) janela
posterior, (7) suporte do mancal.
(a) Conjunto desmontado
(b) Conjunto
Figura 3.3 – Peças utilizadas para proporcionar rotação ao corpo de prova.
Figura 3.4 – Motor, polia, suporte do motor e inversor de frequência.
3.2
TÉCNICAS EXPERIMENTAIS
3.2.1 Visualização de escoamentos
(a) Geração de bolhas de hidrogênio
Aparentemente, a utilização de bolhas de hidrogênio como traçadores para a visualização de
campos de escoamento foi proposta por Geller (1955), embora haja relatos de trabalhos anteriores
realizados por outros autores, relativos à aplicação da técnica no estudo do escoamento no interior
de tubos. Sua disseminação, entretanto, só se deu anos mais tarde, após a publicação do artigo de
Clutter e Smith (1961), que apresenta uma descrição detalhada dos equipamentos empregados pelos
autores em seus experimentos e despertou o interesse de muitos experimentalistas, abrindo muitas
possibilidades de aplicação da técnica ao estudo do movimento dos fluidos.
Em linhas gerais, o método envolve a introdução de um fio metálico fino no interior do
escoamento, ligado a uma fonte de corrente contínua, usado como cátodo (eletrodo negativo). O
ânodo (eletrodo positivo), por sua vez, é constituído por um outro objeto metálico, que também deve
ser posicionado no interior do escoamento, nas proximidades do cátodo e a jusante do modelo
ensaiado. Se a voltagem aplicada for suficientemente elevada, ocorrerá a hidrólise da água, com a
liberação de hidrogênio no cátodo e de oxigênio no ânodo. Ainda que, em princípio, a visualização
do escoamento pudesse ser realizada com qualquer um dos dois tipos de bolhas, quase todos os
trabalhos da literatura empregam bolhas de hidrogênio, por serem menores e em maior número,
melhorando substancialmente a qualidade das visualizações. A Figura 3.5 apresenta o esquema da
montagem experimental para a implementação da técnica.
Figura 3.5- Sistema genérico para a implementação da técnica de geração de
bolhas de hidrogênio.
Segundo Merzkirch (1987), o tamanho das bolhas geradas é da ordem de grandeza do
diâmetro do fio utilizado, mas depende, também, da condutividade elétrica do fluido e da velocidade
do escoamento, bem como da voltagem e da corrente elétrica empregada. Geralmente, os fios são
feitos em platina ou em aço inoxidável, com diâmetros da ordem de 0,01 a 0,02 mm, o que não
causa grandes perturbações ao escoamento. Usando fios de tungstênio de 5 a 10 µm de diâmetro,
pulsos elétricos espaçados de 1 a 4 µs e voltagens de 100 a 600V, Matsui et.al. (1979) produziram
bolhas de dimensões bem menores do que o diâmetro do fio e que não se dissolveram na água após
sua formação. Schraub et.al. (1965) observaram as linhas de emissão em uma seção contraída,
utilizando 1 fios de platina de 0,0254 mm ou 0,0508 mm de diâmetro e 152,4 mm de comprimento.
Em um arranjo convencional, água da rede urbana pode ser usada como fluido eletrolítico1 .
Para uniformizar a produção de bolhas ao longo do fio, deve-se evitar, ao máximo, oscilações na
tensão de alimentação do circuito. Tem-se observado que a qualidade e a uniformidade das bolhas
modificam-se substancialmente após alguns minutos de operação contínua do sistema, como
resultado da deposição de materiais contaminantes no cátodo. Isto pode ser corrigido revertendo-se a
polaridade do circuito elétrico durante alguns minutos. Na prática, porém, a existência de impurezas
na água provoca eletroerosão no cátodo e a inversão de polaridade somente acentua este processo,
resultando muitas vezes, no rompimento do fio de cátodo.
No presente trabalho, os ensaios de visualização por geração de bolhas de hidrogênio foram
realizados utilizando-se a montagem experimental ilustrada na Figura 3.6.
Figura 3.6 − Montagem experimental para a realização de ensaios de visualização de
escoamentos por bolhas de hidrogênio.
O cátodo (FI), neste caso, um fio de tungstênio com 0,025 mm de diâmetro, atravessa a seção
de testes, a jusante do modelo, através de suas janelas laterais. A tensão elétrica é fornecida pela
fonte estabilizadora (FE), que permite regular a tensão ou a corrente elétrica que percorre o fio. O
pólo positivo do circuito é conectado ao ânodo (AN), que consiste de uma simples placa de cobre,
mergulhada no escoamento, num ponto suficientemente distante do modelo, para não perturbar o
escoamento na região de interesse.
Filmagens e fotografias digitais foram empregadas para o registro das imagens dos
escoamentos obtidas com essa técnica de visualização.
1
Se necessário, sulfato de sódio, na proporção de 0,15 g/litro de Na 2 SO4 , pode ser adicionado à água, para aumentar sua
condutividade elétrica.
(b) Injeção de corantes líquidos
A injeção de traçadores líquidos tem sido exaustivamente utilizada no estudo de diversos tipos
de escoamento, em razão, sobretudo, da facilidade de implementação e do baixo custo operacional
que caracterizam esta técnica. O processo de injeção pode ser efetuado através de orifícios existentes
na superfície do modelo ou, ainda, com o auxílio de agulhas posicionadas no interior do
escoamento. Em ambos os casos, a injeção do filete de corante deve ocorrer de forma a introduzir a
menor perturbação possível no escoamento. Assim, a velocidade e a pressão de injeção devem ser
controladas e mantidas em valores próximos àqueles encontrados no escoamento, a fim de que o
filamento de tinta se mantenha nítido e estável.
Segundo Werlé (1973) várias substâncias têm sido empregadas como traçadores líquidos em
ensaios de visualização de escoamentos. Embora existam tintas fabricadas especialmente para esta
finalidade, os traçadores mais freqüentemente utilizados são os corantes alimentícios e os corantes
para pintura, solúveis em água, embora a utilização de leite, anilina, nanquim o permanganato de
potássio, também não seja rara. O emprego de produtos especiais, como tintas fluorescentes
excitadas pela luz, pela ação de componentes químicos ou através de campos elétricos, é
freqüentemente relatado na literatura - Friedman (1956), Howland et al.(1966), Dobrodzicki (1982).
Existem, ainda, as chamadas soluções fotocromáticas, que alteram sua coloração na presença
de radiações eletromagnéticas, conforme descrito por Popovich & Hummel (1967). No entanto, a
utilização de alguns destes traçadores exigem cuidados especiais, sobretudo os de origem orgânica,
que favorecem a proliferação de microorganismos no fluido de trabalho. Outros, aderem-se às
janelas de observação, dificultando as visualizações do escoamento no decorrer dos ensaios.
No presente trabalho, utilizou-se como traçador uma solução aquosa de pigmento à base de
PVA, que possui grande poder de tingimento e baixo custo, podendo ser facilmente encontrado no
mercado.
O dispositivo de injeção, ilustrado na Figura 3.7, é constituído por um reservatório
pressurizado ligado por intermédio de uma mangueira flexível a uma agulha dobrada em forma de
cotovelo. Uma válvula do tipo agulha, operada manualmente, faz o controle da vazão de corante
para dentro do escoamento principal. A agulha de injeção é introduzida no interior da seção de testes
a montante do modelo, através de uma das janelas de observação do túnel.
Figura 3.7 − Dispositivo de injeção de corantes líquidos.
Nos ensaios desse tipo, a iluminação foi realizada a contraluz, com o auxílio de dois conjuntos
com 5 lâmpadas incandescentes de 150 W cada, que aliam baixo custo a uma boa temperatura de
cor. Entre a fonte luminosa e a janela traseira da seção de testes, foi colocada uma película
translúcida, com o objetivo de produzir uma iluminação difusa e homogênea.
3.2.2 Determinação da freqüência de emissão de vórtices
(a) Anemometria de fio quente
Dentre os principais instrumentos utilizados na medição de velocidade em fluidos destacam-se
os anemômetros de fio quente. Particularmente adequados para aplicação em laboratório, este tipo
de equipamento realiza medidas com alta resolução espacial e temporal, podendo ser utilizado no
escoamento de líquidos e gases, com níveis de turbulência baixo e moderado – geralmente inferior a
25%.
O termo anemometria de fio quente será empregado aqui de maneira bastante genérica, para
designar a técnica em questão. Para aplicação em meio líquido, entretanto, as sondas utilizadas são
constituídas, na verdade, por filmes – e não fios – metálicos protegidos por uma fina camada de
quartzo, o que lhes confere maior robustez e durabilidade.
Seu princípio de funcionamento é simples e baseia-se na transferência de calor por convecção
entre um pequeno elemento metálico aquecido eletricamente e o fluido circundante. Assim, não
apenas a velocidade local instantânea do escoamento pode ser medida, mas qualquer propriedade
capaz de alterar as condições de transferência de calor entre o elemento sensor e o fluido pode ser
potencialmente quantificada. Em vista disto, a anemometria de fio quente tem sido empregada,
também, para detectar mudanças na temperatura do fluido ou na concentração de misturas de gases,
bem como na determinação da fração de vazio em escoamentos bifásicos (Bruun, 1995).
De maneira geral, todos os anemômetros de fio quente são compostos por duas partes
fundamentais, quais sejam: uma sonda, com seu respectivo suporte e cabo de ligação, e um circuito
eletrônico, que incorpora uma ponte de resistores. A sonda é constituída por um elemento sensor –
em geral um fio ou filme de tungstênio, níquel ou platina, com cerca de 1 mm de comprimento e
alguns poucos microns de diâmetro ou espessura – montado sobre uma haste de dimensões
reduzidas, confeccionada em resina epoxi ou material cerâmico, como mostrado na Figura 3.8. A
escolha entre os vários tipos de sonda existentes depende fortemente da aplicação à que se
destinam.
Figura 3.8 – Diferentes tipos de sondas anemométricas de fio e de filme quente.
Em sua versão mais usual, conhecida como Anemômetro de Temperatura Constante, o
elemento sensor representa um dos resistores da ponte, tal como ilustra a Figura 3.9. Quando
exposto ao movimento do fluido, esse elemento tende a se resfriar, provocando alterações em sua
resistência elétrica. Nessas condições, o controlador do circuito é imediatamente acionado,
ajustando automaticamente o valor da corrente elétrica para restabelecer a temperatura do sensor e,
consequentemente, o equilíbrio da ponte. Assim, a velocidade local instantânea do escoamento pode
ser determinada, medindo-se a diferença de tensão na saída do circuito que alimenta a sonda e
realizando-se, em seguida, a conversão deste sinal elétrico em velocidade, com o auxílio de uma
correlação conhecida como Lei de King, dada por:
E 2 = A + BU n
(3.2)
cuja dedução encontra-se no Apêndice A. Nessa expressão, E representa a tensão elétrica, U a
velocidade relativa entre a sonda e o fluido, e A, B e n são constantes empíricas a serem
determinadas mediante a calibração da sonda.
Figura 3.9 – Elementos básicos de um anemômetro de temperatura constante.
A Figura 3.10 mostra, especificamente, o anemômetro utilizado no presente trabalho, que se
baseia na plataforma StreamLine 90N10, produzida pela Dantec Measurement Technology. Esse
anemômetro possui três módulos CTA 90C10, que permitem a medição simultânea de até três
componentes da velocidade local e instantânea. Na imagem apresentada, retirada do catálogo do
fabricante, observa-se, também, um calibrador de sondas de fio quente.
Figura 3.10 – Anemômetro de temperatura constante Dantec StreamLine 90N10.
O anemômetro fornece um sinal elétrico analógico de saída, proporcional à tensão medida no
elemento sensor da sonda de filme quente. Para que esse sinal possa ser registrado e analisado
posteriormente é conveniente que ele seja adquirido em formato digital. No presente trabalho, o
registro do sinal de saída do anemômetro foi realizado com o auxílio de um sistema de aquisição
digital National AT-MIO-16E-1, baseado num computador Pentium II.
Dependendo da natureza dos resultados que se deseja obter, a aquisição e o tratamento do sinal
podem apresentar características diferentes. No presente trabalho, a anemometria de fio quente foi
utilizada na obtenção da freqüência de Strouhal, que caracteriza o fenômeno de emissão alternada de
vórtices. Para essa situação, o condicionador do anemômetro foi utilizado com sua configuração
padrão, ou seja, o sinal não foi submetido a nenhum processo de filtragem, ajuste de ganho ou de
deslocamento. A taxa de amostragem do sinal (F) e o número de amostras adquiridas (N) foram
ajustados de forma a permitir a passagem de um número suficientemente grande de turbilhões pela
sonda anemométrica, tipicamente superior a 60 vórtices. Em cada ensaio, o sinal foi adquirido e
armazenado em cinco blocos, com N pontos cada. Em seguida, a freqüência de emissão dos vórtices
foi determinada, através da aplicação da transformada rápida de Fourier (FFT) ao sinal digital
adquirido. A título de ilustração, a Figura 3.11 apresenta um sinal temporal obtido para um cilindro
circular estático, com seu respectivo espectro de freqüência.
4,20
Ponto
Máximo
Potência Espectral (V2)
Tensão (V)
4,15
4,10
4,05
4,00
Pico
Centro
Geométrico
3,95
0
2
4
6
Tempo (s)
(a) No domínio do tempo
8
10
1,5
2,5
f
Freqüência (Hz)
2,0
3,0
(b) No domínio da freqüência
Figura 3.11 – Sinal típico obtido na determinação da freqüência de Strouhal por meio da
anemometria de fio quente e sua respectiva distribuição espectral de potência.
(b) Contagem de fotogramas
Para a obtenção da freqüência de emissão de vórtices, necessária ao cálculo do número de
Strouhal, empregou-se, também, o método de contagem de fotogramas, que se baseia
exclusivamente na interpretação de imagens dinâmicas do escoamento, previamente registradas em
fita magnética. Para sua implementação, utilizou-se a montagem mostrada na Figura 3.12.
Figura 3.12 - Sistema de captura e tratamento de imagens animadas de escoamentos, para a
implementação do sistema de contagem de fotogramas.
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Em sua essência, o procedimento é executado de acordo com as seguintes etapas:
Captação das imagens em fita magnética, à razão de F fotogramas por segundo, o que implica na
aquisição de um fotograma a cada 1/F de segundo – o valor de F depende, naturalmente, da
filmadora utilizada;
Identificação e numeração de fotogramas quadro a quadro;
Contagem de um número (N) preestabelecido de turbilhões emitidos de um mesmo lado do
corpo, a partir da visualização das imagens gravadas do escoamento, reproduzidas em slow
motion;
Anotação do número atribuído ao fotograma inicial (I0 ) – primeiro turbilhão – e ao fotograma
final (IN) – último turbilhão da seqüência;
Cálculo da freqüência de emissão de turbilhões (f), por meio da equação:

F

f = 
.N
 [I N − I 0 ]
(3.3)
A identificação e a enumeração dos fotogramas pode também ser efetuada, mediante a
utilização de uma filmadora munida de placa TC (Time Code). Os equipamentos que dispõe de leitor
e gravador de TC geram, antes do registro da imagem em fita, um código magnético paralelo, que
permite a identificação precisa de cada um dos fotogramas, dispensando o uso de qualquer
dispositivo adicional de controle.
Neste trabalho, as imagens dinâmicas foram capturadas por intermédio de uma câmara JVC,
modelo KY27CU, com 3 CCD (Charge-Coupled Devices/Solid State Disccretarray Sensors) de 2/3
polegada e 410.000 pixels, capaz de adquirir imagens com 800 linhas de resolução horizontal e 63
db de SNR (Signal Noise Ratio). Foi utilizado, também, um vídeo editor JVC, modelo BR-5822U,
equipado com placas TC, TBC (Time Base Corrector) e DNR (Digital Noise Reduction).
Capítulo 4
RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 INTRODUÇÃO
Todos os resultados aqui apresentados foram gerados no túnel hidrodinâmico vertical descrito
no capítulo anterior, para a faixa do número de Reynods compreendida entre 50 e 1000, utilizando
um cilindro circular de diâmetro d = 6 mm e velocidade específica α variando de 0 a 4. Esses
resultados são apresentados em duas etapas. Na primeira, são apresentadas imagens qualitativas do
escoamento ao redor do cilindro rotativo, obtidas por meio das técnicas de injeção de corante líquido
e da geração de bolhas de hidrogênio, permitindo identificar diferentes configurações para esse tipo
de escoamento. Na segunda etapa, são apresentados resultados quantitativos, oriundos de medições
da freqüência de emissão de vórtices na esteira do cilindro rotativo, obtidas por anemometria de
filme quente e pela técnica de contagem de fotogramas. A análise de incertezas dos resultados é
apresentada no Apêndice B.
4.2 VISUALIZAÇÕES DE ESCOAMENTOS
Para melhor compreensão das imagens dos escoamentos discutidas nesta seção, a Figura 4.1
mostra a montagem experimental utilizada para imprimir rotação ao modelo cilíndrico. Na
Figura 4.1(a) observa-se a presença de um círculo negro em torno do corpo de prova, que
corresponde ao mancal e ao retentor utilizados no aparato, posicionados fora da seção de testes do
túnel, como mostra a Figura 4.1(b). Portanto, apenas o corpo de prova fica imerso no escoamento,
como seria de se esperar.
4.2.1 Visualização por injeção de corante líquido
Os ensaios de visualização mediante a injeção de corante líquido foram realizados com o túnel
operando em modo contínuo. A Figura 4.2 apresenta fotografias do escoamento obtidas para
Re ≈ 200 e diferentes valores de α. As Figuras 4.2(a) a (e) mostram claramente a presença de vórtices
alternados na esteira turbilhonar do cilindro. É possível observar que, neste caso, os vórtices são
deslocados do eixo de simetria vertical, em razão do movimento de rotação do cilindro no sentido
horário. Com o aumento do parâmetro α, Figuras 4.2(f) e (g), o fenômeno de emissão de vórtices é
significantemente inibido. Observou-se entretanto, um regime incipiente de geração de vórtices, que
se manifesta por uma oscilação da esteira com uma freqüência bem definida. Aumentando-se ainda
mais o valor do parâmetro α, Figuras 4.2(h), (i) e (j), é possível observar que as oscilações são
totalmente suprimidas da esteira, gerando um escoamento em regime permanente. A mesma
tendência é observada para diferentes valores de Reynolds, conforme mostrado nas Figuras 4.3 e
4.4, respectivamente, para Re = 300 e 800.
(a) Vista Frontal
(b) Vista Lateral
Figura 4.1 - Representação do sistema de acionamento do corpo de prova (fora de escala).
A visualização por injeção de corante líquido mostrou-se bastante eficiente em relação à
qualidade das imagens obtidas, sobretudo pelo alto contraste que pode proporcionar. No entanto,
esta técnica só possibilita a visualização de uma região bastante restrita do escoamento,
correspondente ao conjunto de linhas de emissão geradas pelo corante que deixa a agulha de injeção.
Além disso, dependendo do posicionamento da agulha, diferentes configurações do escoamento
podem ser observadas. Para investigar adequadamente esse fato, foram realizados ensaios
mantendo-se Re e α constantes e variando-se a posição horizontal da agulha de injeção, em relação à
linha de centro da seção de testes. As imagens obtidas para Re = 500 e α = 8,6 são mostradas na
Figura 4.5, permitindo observar importantes modificações na esteira dos cilindros.
(a) Re=200; α = 0
(b) Re=200; α = 0,3 (c) Re=200; α = 0,5 (d) Re=200; α = 1,1 (e) Re=200; α = 1,9
(f) Re =200; α = 2,0 (g) Re =200; α = 2,05 (h) Re=200; α = 2,1 (i) Re =200; α = 2,2 (j) Re =200; α = 4,0
Figura 4.2 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 200 e diferentes
valores de α.
Para verificar se as diferenças observadas no filete de corante são de origem física ou
simplesmente devidas à montagem experimental, seria interessante a realização de observações que
permitissem uma visão mais ampla do escoamento. Uma possível alternativa para isso é a realização
de múltiplas injeções de corante, por meio de um pente de agulhas. Contudo, a introdução de uma
única agulha, de alguns poucos milímetros de diâmetro, a montante do cilindro, já é capaz de
produzir perturbações consideráveis no escoamento. Evidentemente, a inserção de um pente de
agulhas iria agravar ainda mais esse problema.
(a) Re≈300; α = 0
(b) Re≈300; α = 0,7 (c) Re≈300; α = 1,4 (d) Re≈300; α = 1,8 (e) Re≈300; α = 1,9
(f) Re≈300; α = 2,0
(g) Re≈300; α = 2,2 (h) Re≈300; α = 2,2 (i) Re≈300; α = 2,4
(j) Re≈300; α = 4,3
Figura 4.3 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 300 e diferentes
valores de α.
De fato, um estudo anemométrico das perturbações produzidas por uma única agulha de
0,7 mm de diâmetro externo sobre o perfil de velocidades no interior da seção de testes foi efetuado
por Lindquist (2000). O arranjo experimental empregado nesses ensaios é ilustrado na Figura 4.6.
Nesse caso, a agulha foi introduzida através de um orifício localizado na janela posterior da seção de
testes e os ensaios foram conduzidos sem a injeção de corante. O suporte da sonda de filme quente,
por sua vez, foi posicionado em três diferentes estações a jusante da agulha, de forma a avaliar a
extensão de sua influência sobre o perfil de velocidade da corrente livre. Em cada uma dessas
posições, foram realizados ensaios com o túnel operando em regime contínuo, para três diferentes
valores da velocidade da corrente livre. Os resultados obtidos são apresentados na Figura 4.7 e
mostram que um déficit de velocidade de até 10% pode ser produzido na esteira da agulha de
injeção.
(a) Re≈800; α = 0
(a) Re≈800;α = 0,5
(a) Re≈800; α = 0,8 (a) Re≈800; α = 1,1 (a) Re≈800; α = 1,3
(a) Re≈800; α = 1,6 (a) Re≈800; α = 2,2 (a) Re≈800; α = 2,7 (a) Re≈800; α = 3,2 (a) Re≈800; α = 3,8
Figura 4.4 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 800 e diferentes
valores de α.
Como forma de atenuar a influência da agulha de injeção sobre as condições do escoamento
optou-se, nas visualizações efetuadas neste trabalho, pela utilização de uma agulha retrátil, que pode
ser recolhida para junto da parede da seção de testes, logo depois de efetuada a injeção de corante
sobre o modelo cilíndrico. Assim, poucos instantes após a injeção do corante, a perturbação causada
pela presença da agulha é convectada pelo escoamento, possibilitando observar com nitidez alguns
fenômenos que ocorrem no modelo e em sua esteira.
2,5 d
2,0 d
1,5 d
1,0 d
0,5 d
0d
(a) Posição 1 (b) Posição 2 (c) Posição 3 (d) Posição 4 (e) Posição 5 (f) Posição 6
Figura 4.5 - Diferentes configurações da esteira do cilindro rotativo, Re e α constantes,
para diferentes posições da agulha injetora de corante.
Figura 4.6 − Arranjo experimental para a determinação da influência da agulha de injeção de
corantes sobre a corrente livre no interior da seção de testes, Lindquist (2000).
1,00
Estação 3
0,98
0,96
V∞= 0,03 m/s
V∞ = 0,15 m/s
V∞= 0,30 m/s
0,94
0,92
V(x) / V∞
1,00
Estação 4
0,98
0,96
1,00
Estação 5
0,98
0,96
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
x (mm)
Figura 4.7 − Perfis experimentais de velocidade a jusante de uma agulha de
injeção, Lindquist (2000).
20
4.2.2 VISUALIZAÇÃO POR BOLHAS DE HIDROGÊNIO
Ainda que o emprego de um sistema de injeção retrátil tenha resolvido o problema das
perturbações indesejáveis introduzidas no escoamento pela presença da agulha a montante do
modelo, o problema de oferecer apenas uma visão restrita do escoamento ainda não foi solucionado.
Para contornar esta situação, a técnica de geração de bolhas de hidrôgenio foi implementada e os
resultados obtidos são apresentados a seguir, para números de Reynolds acima de 200. Em
condições de escoamento a baixas velocidades, o emprego desta técnica revelou-se inadequado, pois
observou-se que as bolhas de hidrogênio têm sua trajetória modificada, por influência do empuxo de
Arquimedes.
A Figura 4.8 apresenta imagens do escoamento em torno do corpo de prova, para Re ≈ 200 e
diferentes rotações específicas.
Nas Figuras 4.8(a)-(h) identifica-se que a presença
de vórtices alternados na esteira estende-se até valores de α menores que 1,9. Para α em torno de 2,0
a presença de vórtices é substituída, inicialmente, por uma esteira oscilante, que torna-se
rapidamente livre de oscilações, à medida que α aumenta. Estes resultados encontram-se em perfeito
acordo com o observado na Figura 4.2, que corresponde ao ensaio realizado nestas mesmas
condições, mas empregando-se a técnica de injeção de corantes líquidos.
A mesma tendência da Figura 4.8 pode ser observada nos resultados das Figuras 4.9- 4.16,
que representam os ensaios efetuados para números de Reynolds abaixo de 1000 e diversos valores
de α. Em todos estes casos, pode-se observar que a rotação do cilindro inibe fortemente a emissão
de vórtices.
(a) Re=200; α = 0
(b) Re=200; α = 0,5
(c) Re=200; α = 1,1
(d) Re=200; α = 1,3
(e) Re=200; α = 1,5
(f) Re=200; α = 1,6
(g) Re =200; α = 1,8
(h) Re=200; α = 1,9
(i) Re =200; α = 2,0
(j) Re =200; α = 2,1
(k) Re =200; α = 2,2
(l) Re=200; α = 2,3
(m) Re=200; α = 2,5
(n) Re=200; α = 3,0
(o) Re=200; α = 3,5
Figura 4.8 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 200 e diferentes
valores de α.
(a) Re =300; α = 0
(b) Re=300; α = 0,5
(c) Re=300; α = 1,0
(d) Re=300; α = 1,5
(e) Re=300; α = 1,8
(f) Re =300; α = 1,9
(g) Re =300; α = 2,0 (h) Re=300; α = 2,1
(i) Re =300; α = 2,2
(j) Re =300; α = 2,3
(k) Re =300; α = 2,4
(l) Re=300; α = 2,5
(m) Re =300; α = 3,0 (n) Re =300; α = 3,5
(o) Re =300; α = 4,0
Figura 4.9 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 300 e diferentes
valores de α.
(a) Re =800; α = 0
(b) Re=800; α = 0,5 (c) Re=800; α =1,0 (d) Re=800; α = 1,5 (e) Re =800; α = 1,8
(f) Re =800; α = 1,9 (g) Re=800; α = 2,0 (h) Re=800; α = 2,1 (i) Re=800; α = 2,2
(j) Re =800; α = 2,3
(a) Re=800; α = 2,4 (a) Re =800; α = 2,5 (a) Re =800; α = 3,0 (a) Re =800; α = 3,5 (a) Re =800; α = 4,0
Figura 4.10 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 300 e diferentes
valores de α.
(a) Re =400; α = 0
(b) Re=400; α = 1,9 (c) Re =400; α = 2,0 (d) Re=400; α = 2,1 (e) Re =400; α = 3,5
Figura 4.11 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 400 e
diferentes valores de α.
(a) Re =500; α = 0
(b) Re=500; α = 1,9 (c) Re =500; α = 2,0 (d) Re=500; α = 2,1 (e) Re =500; α = 3,5
Figura 4.12 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 500 e
diferentes valores de α.
(a) Re =600; α = 0
(b) Re=600; α = 1,9 (c) Re =600; α = 2,0 (d) Re=600; α = 2,1 (e) Re=600; α = 3,5
Figura 4.13 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 600 e
diferentes valores de α.
(a) Re =700; α = 0
(b) Re=700; α = 1,9 (c) Re =700; α = 2,0 (d) Re=700; α = 2,1 (e) Re =700; α = 3,5
Figura 4.14 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re ≈ 700 e
diferentes valores de α.
(a) Re =900; α = 0
(b) Re=900; α = 1,9 (c) Re =900; α = 2,0 (d) Re=900; α = 2,1 (e) Re =900; α = 3,5
Figura 4.15 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 900 e
diferentes valores de α.
(a) Re =1000; α = 0
(b) Re =000;α = 1,9 (c) Re=1000; α = 2,0 (d) Re =1000; α = 2,1 (e) Re =1000; α = 3,5
Figura 4.16 - Visualização do escoamento em torno do corpo de prova, Re = 1000 e
diferentes valores de α.
'4.3 DETERMINAÇÃO DA FREQÜÊNCIA DE EMISSÃO DE VÓRTICES
Na seção anterior foram apresentados resultados de visualização do escoamento utilizando a
técnica de injeção de corantes líquidos e a geração de bolhas de hidrogênio, o que possibilitou
observar qualitativamente a supressão dos vórtices na esteira do cilindro rotativo, que ocorre com o
aumento do parâmetro α. Nesta seção, serão apresentados resultados quantitativos, obtidos para
números de Reynolds na faixa de 60 a 1000 e diferentes valores de α, relacionados com o fenômeno
de emissão de vórtices na esteira. Num primeiro momento, são realizadas comparações entre os
resultados obtidos no presente trabalho com dados disponíveis na literatura. Em seguida, são
apresentados os resultados obtidos por intermédio da técnica de contagem de fotogramas e
anemometria de fio quente.
Com o propósito inicial de validar a técnica de contagem de fotogramas, na Figura 4.17 são
comparadas as curvas St × Re obtidas neste trabalho, para um cilindro estacionário (α = 0), com
aquelas coletadas com o auxílio da anemometria de fio quente. A excelente concordância dos
resultados confirma a adaptabilidade da técnica.
Na Tabela 4.1 apresenta-se o comportamento do número de Strouhal em função do
parâmetro α, para Re = 60, comparando-se os resultados obtidos neste trabalho pelo método da
contagem de fotogramas, com os dados experimentais de Barnes (2000), resultados numéricos de
Kang et al. (1999) e resultados teóricos de Hu et al. (1996). Para melhor visualização, estes mesmos
resultados são reapresentados na forma gráfica na Figura 4.18, reafirmando a excelente
concordância dos pontos experimentais do presente trabalho com os dados de Kang et al. (1999) e
de Barnes (2000).
0.35
Anemômetro
Contagem de Fotograma
0.30
St
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
100
200
300
400
500
600
Re
Figura 4.17 - Comparação de resultados de números de St usando a técnica de contagem de
fotograma e anemometria de fio quente.
Tabela 4.1 – Número de Strouhal em função do parâmetro α, para Re ≈ 60. Comparação entre
resultados experimentais do presente trabalho e dados da literatura.
Parâmetro
α
Número de Strouhal
Presente trabalho
Barnes (2000)
Kang et.al. (1999)
Hu et.al. (1996).
0,0
0,2
0.133
0.137
0,136
0,135
0,136
0,136
0,153
0,152
0,4
0,5
0,6
0.136
0.133
0.135
0,136
0,136
0,137
0,8
1,0
1,1
0.136
0,137
0,137
0,138
0,138
0,138
0,138
0,138
1,2
0,149
0,136
0,143
0,136
0,127
0.18
Barnes (2000) - experimental
Kang & Choi et.al (1999) - numérico
Hu et.al (1996) - teórico
Presente trabalho - experimental
St
0.16
0.14
0.12
0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
α
Figura 4.18 - Número de Strouhal em função da rotação específica α, para Re ≈ 60. Comparação
entre resultados experimentais do presente trabalho e dados da literatura.
Na Figura 4.19 mostra-se a variação do parâmetro α em função do número de Reynolds, na
região onde a esteira passa do regime de emissão alternada de vórtices para a condição de esteira
livre de oscilações periódicas. Em relação aos dados obtidos no presente trabalho, a identificação da
presença ou não de vórtices na esteira do cilindro foi feita exclusivamente através da visualização de
escoamentos. Para altos valores de α, observa-se que os vórtices são suprimidos, independentemente
do número de Reynolds, Figura 4.20. Para valores moderados de α, entretanto, a ausência de
vórtices na esteira depende fortemente da magnitude do número de Reynolds. É interessante
observar, ainda, que os resultados experimentais deste trabalho, obtidos na faixa de Reynolds
compreendida entre 60 e 1000, parecem se ajustar perfeitamente aos dados de Barnes (2000), Kang
et al. (1999) e Hu (1996), complementando-os.
2.2
2.0
1.8 Esteira sem vórtices (sv)
1.6
1.4
Esteira com vórtices (cv)
α
1.2
1.0
Hu (1996) teórico
Kang & Choi (1999) numérico - CV
Kang & Choi (1999) numérico - SV
Barnes (2000) experimental - CV
Barnes (2000) experimental- SV
Presente trabalho experimental- CV
Presente trabalho experimental- SV
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
50
60
70
80
90
100
Re
Figura 4.19 - Transição do regime de escoamento na esteira de cilindros rotativos.
Com base em resultados desse tipo, obtidos para uma faixa ampliada de números de
Reynolds, foi possível estabelecer o mapa de regimes de escoamento na esteira de cilindros
rotativos, apresentado na Figura 4.20. A região mais escura representa a zona de transição do
escoamento, dentro da qual a configuração da esteira passa de periódica, com a emissão de vórtices,
a permanente, sem emissão de vórtices. Como se observa, a supressão dos vórtices na esteira
depende fortemente do parâmetro α, para valores de Reynolds menores que 100. Para números de
Reynolds superiores a este, no entanto, esta variação diminui sensivelmente, permanecendo na faixa
de 1,9 a 2,2.
Figura 4.20 - Regimes de escoamento na esteira de cilindros rotativos.
A Figura 4.21 mostra o comportamento do número de Strouhal em função da rotação
específica α, para diferentes valores do número de Reynolds. Nas Figuras 4.21(a) e (b), observa-se
que o número de Strouhal mantém-se praticamente constante, independentemente dos valores
assumidos pelo parâmetro α. As Figuras 4.21(c), (d), (e) e (f), por sua vez, mostram que o número
de Strouhal tem um comportamento praticamente constante para valores de α até 1,5. A partir deste
ponto, ocorre um crescimento moderado de Strouhal com o aumento de α.
0.35
0.35
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
St
St
0.30
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0
2.0
0.5
1.5
2.0
1.5
2.0
1.5
2.0
α
α
(a) Re = 200
(b) Re = 300
0.35
0.35
0.30
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
St
St
1.0
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0
2.0
0.5
1.0
α
α
(c) Re = 400
(d) Re = 450
0.35
0.35
0.30
0.30
0.25
0.20
St
St
0.25
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.0
0.5
1.0
α
(e) Re = 500
1.5
2.0
0.05
0.0
0.5
1.0
α
(f) Re = 550
Figura 4.21 - Comportamento do número de Strouhal em função da rotação específica α, para
diferentes valores do número de Reynolds.
Esses resultados, obtidos com a técnica de contagem de fotogramas, podem ainda ser
colocados num gráfico St x Re, para vários valores de α, como mostrado na Figura 4.22. Neste caso,
pode-se observar que, para números de Reynolds inferiores a 400, os valores de Strouhal são pouco
dependentes da rotação específica α. Acima deste limite, os pontos experimentais apresentam
tendências diferentes, em função do parâmetro α.
0.35
α=0,0
α=0,5
α=1,0
0.30
α=1,5
α=1,8
α=2,0
St
0.25
0.20
0.15
0.10
0
100
200
300
400
500
600
700
Re
Figura 4.22 - Comportamento do número de Strouhal em função do número de Reynolds, para
diferentes valores da rotação específica α.
Medições anemométricas, efetuadas com a sonda de filme quente posicionada a 1 d da linha
de centro da seção de testes e a 2,5 d abaixo do centro do corpo de prova, foram, também,
realizadas, para a determinação do número de Strouhal, que caracteriza os regimes periódicos da
esteira turbilhonar. É interessante ressaltar que sondas de filme quente são extremamente sensíveis e
se degradam rapidamente com o uso, exigindo calibração freqüente, sobretudo quando operando em
baixa velocidade e com água da rede urbana, como discutido por Eguti et al. (2002). No presente
caso, entretanto, a demorada e trabalhosa operação de calibração é totalmente dispensável, pois não
se deseja, aqui, a determinação da magnitude das velocidades na esteira, mas apenas as freqüências
de passagem dos turbilhões periódicos.
Na Figura 4.23 apresentam-se três diferentes sinais anemométricos, acompanhados das
correspondentes configurações do escoamento observadas na esteira, obtidos para Re = 100 e
diferentes valores de α. Os sinais foram adquiridos em pouco menos de 35 s e encontram-se
4.6
4.6
4.4
4.4
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
Saída do Anemometro (v)
4.6
Saída do Anemometro (V)
Saída do Anemometro (v)
expressos em volts. Nota-se na Figura 4.23(a), as variações periódicas no sinal, devidas à emissão
alternada de vórtices, bem identificada na imagem que acompanha o gráfico. Com o aumento do
parâmetro α, verifica-se uma menor variação do sinal anemométrico, que ocorre em função de uma
pequena degeneração dos vórtices na esteira, que já pode ser identificada na imagem mostrada na
Figura 4.23(b). Aumentando-se ainda mais o valor de α, Figura 4.23(c), nota-se que essas variações
no sinal anemométrico são fortemente amortecidas, ao mesmo tempo em que os vórtices são
suprimidos na esteira, o que é totalmente coerente.
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
0
5
10
15
20
Tempo(s)
(a) α =1,0
25
30
35
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
3.0
0
5
10
15
20
Tempo(s)
(b) α =1,7
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
35
Tempo (s)
(c) α =2,0
Figura 4.23 - Sinais anemométricos (em volts) e configurações do escoamento na esteira de um
cilindro rotativo, para Re = 100 e diferentes valores de α.
Com base nesses resultados observa-se que o crescimento do parâmetro α, para um dado
número de Reynolds, provoca uma diminuição sensível das oscilações na esteira, podendo inibir
totalmente a emissão de vórtices de cilindros rotativos, resultados análogos aos anteriores, são
apresentados nas Figuras 4.24 e 4.25, respectivamente, para Re = 200 e 500
4.6
4.4
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
Saída do Anemometro (V)
4.6
4.4
Saída do Anemometro (V)
Saída do Anemometro (V)
4.6
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.2
3.0
3.0
0
5
10
15
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
0
20
5
10
15
20
0
5
10
Tempo(s)
Tempo (s)
(a) α =2,0
15
20
Tempo(s)
(b) α =2,06
(c) α =2,15
4.6
4.6
4.4
4.4
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
Saída do Anemometro (V)
4.6
Saída do Anemometro (V)
Saída do Anemometro (V)
Figura 4.24 - Sinais anemométricos (em volts) na esteira de um cilindro rotativo, para Re = 200 e
diferentes valores de α.
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
2
4
6
Tempo(s)
(a) α = 1,3
8
10
12
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
0
4.2
3.0
0
2
4
6
Tempo(s)
(b) α = 2,0
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
Tempo(s)
(c) α = 3,0
Figura 4.25 - Sinais anemométricos (em volts) na esteira de um cilindro rotativo, para Re = 500 e
diferentes valores de α.
A aplicação de uma transformada rápida de Fourier (FFT) ao sinal anemométrico digital
adquirido na esteira do cilindro permite a obtenção da freqüência de emissão, necessária ao cálculo
de número de Strouhal. No presente trabalho, esta operação foi feita com base na média de cinco
medições consecutivas e independentes, para cada condição de ensaio. A Figura 4.26 apresenta um
sinal temporal obtido, com seu respectivo espectro de freqüência para Re = 200 e α = 1,1.
Para dar maior confiabilidade aos resultados apresentados anteriormente comparam-se na
Figura 4.27 as curvas de St × α do presente trabalho, coletados por contagem de fotogramas e por
anemometria de fio quente, para Re igual a 200, 300, 400 e 500. Em todos os casos avaliados, a
diferença média entre os resultados permanece abaixo de 4%.
Potência Espectral (V2)
Tensão (V)
2s
0
Tempo (s)
1
2
3
4
5
Freqüência (Hz)
(a) Domínio do tempo
(b) Domínio da freqüência
Figura 4.26 – Sinal temporal anemométrico (em volts), com sua respectiva distribuição espectral de
potência, Re = 200 e α = 1,1.
0.35
0.35
Contagem de Fotogramas
Anemômetro
Contagem de Fotogramas
Anemômetro
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
St
St
0.30
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.0
0.5
1.0
1.5
0.05
2.0
0.0
α
1.0
1.5
2.0
α
(a) Re = 200
(b) Re = 300
0.35
0.35
Contagem de Fotogramas
Anemômetro
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
Contagem de Fotogramas
Anemômetro
0.30
St
St
0.5
0.05
0.0
0.5
1.0
α
(c) Re = 400
1.5
2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
α
(d) Re = 500
Figura 4.27 - Comparação entre os resultados obtidos pela contagem de fotogramas e por
anemometria de fio quente, para diferentes números de Reynolds.
Capítulo 5
Conclusões e recomendações para
trabalhos futuros
Os cilindros circulares em movimento de rotação possuem um grande potencial de aplicação
em projetos navais e aeronáuticos, ainda não suficientemente explorado, como dispositivos capazes
de oferecer elevados coeficientes de sustentação ou, ainda, no controle ativo da camada limite de
escoamentos. Assim, a literatura que trata do assunto é razoavelmente escassa e a maioria dos
trabalhos publicados apresentam resultados relacionados com os coeficientes de arrasto e
sustentação. Poucos trabalhos investigam a configuração da esteira e o comportamento do número
de Strouhal (St) em função do número de Reynolds (Re) e da rotação específica (α). Um melhor
conhecimento das características do escoamento em torno deste tipo de obstáculo poderá contribuir
na identificação de aplicações práticas para cilindros rotativos.
Com o objetivo principal de preencher esta lacuna, desenvolveu-se, no presente trabalho, uma
investigação experimental do escoamento ao redor de cilindros circulares animados de rotação,
posicionados perpendicularmente ao fluxo principal, avaliando-se a influência da rotação sobre a
freqüência de emissão de vórtices e a configuração da esteira, para escoamentos com números de
Reynolds inferiores a 1000. Ensaios de visualização foram realizados, através da injeção de corantes
líquidos a montante do modelo, gerando imagens de boa qualidade. Entretanto, uma vez que
possibilita apenas a visualização de uma região bastante restrita do escoamento, a técnica não se
mostrou satisfatória para a identificação precisa do instante em que os vórtices deixam de ser
emitidos na esteira, em razão do aumento da rotação específica α.
Em vista disso, uma nova campanha de ensaios foi conduzida, empregando-se, desta vez, a
técnica de geração de bolhas de hidrogênio, que permite uma visão mais ampla do campo de
escoamento. As imagens assim obtidas permitiram observar que, para números de Reynolds abaixo
de 130, a supressão de vórtices na esteira é fortemente influenciada pela rotação do cilindro. Acima
deste ponto, ao contrário, a transição do regime com vórtices para o regime sem vórtices na esteira
se dá para valores de α compreendidos entre 2 e 2,1, independente do valor de Re.
Ensaios complementares foram, também, realizados com o auxílio da anemometria de fio
quente, possibilitando observar o amortecimento no sinal de velocidades na esteira do cilindro
rotativo, em função do parâmetro α. Corroborando os resultados anteriormente obtidos com a
visualização de escoamentos, o uso da técnica possibilitou observar que a magnitude das oscilações
de velocidade na esteira diminui com o aumento do parâmetro α, tendendo a zero quando a rotação
específica aproxima-se de 2.
Durante a realização deste trabalho, surgiram várias idéias para futuras investigações, que
poderiam ser implementadas como uma extensão dos estudos aqui desenvolvidos. As mais
pertinentes são apresentadas a seguir:
• estudo do escoamento em torno do cilindro circular em movimento de rotação alternada (vai-evem), para diferentes freqüências e amplitudes de oscilação;
• estudo mais detalhado da esteira, incluindo medições das flutuações turbulentas de velocidade e
observações do escoamento nas proximidades do cilindro, para valores de α superiores a 2;
• determinação dos perfis de velocidade na esteira de cilindros rotativos, para investigar o
deslocamento de seu eixo, em função do aumento de α;
• estudo do escoamento através de arranjos de cilindros rotativos, posicionados em linha (tandem),
lado a lado (side-by-side) ou em quincôncio (staggered), imprimindo-se aos corpos diferentes
sentidos de rotação.
• investigar o escoamento em torno de cilindros rotativos nas proximidades de paredes.
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Zdravkovich, M. M., Flow Around Circular Cylinders, Oxford University Press, v.1, New York,
1997.
Apêndice A
Lei de King
A lei que rege o comportamento térmico do fio quente imerso no escoamento de um fluido
pode ser determinada avaliando-se a taxa de transferência de calor através de uma seção elementar
do fio, como ilustra a Figura A.1. O balanço térmico num elemento do fio pode ser descrito pela
seguinte equação:
dQ& e = dQ& cf − dQ& c + dQ& r + dQ& a
I 2χ
na qual dQ& e =
dx
Af
(taxa de geração de calor pelo efeito Joule)
dQ& cf = πdh(T f − Ta )dx
(taxa de transferência de calor por convecção forçada)
δ 2Tf
&
dQc = kAf
dx
δx 2
(taxa líquida de transferência de calor por condução)
dQ& r = πσε(T f4 − Ta4 ) dx
(taxa de transferência de calor por radiação)
δT
dQ& a = ρcAf f
δt
(taxa de acumulação de calor)
(A.1)
Nessas expressões, I representa a corrente elétrica que percorre o fio, χ a resistividade do fio,
Af a área da seção transversal do fio, d o diâmetro do fio, h é o coeficiente de transferência de calor
por convecção, Tf a temperatura do fio, Ta a temperatura do escoamento, k a condutividade térmica
do fio à temperatura Tf, σ a constante de Stefan-Boltzmann, ε a emissividade do fio e ρ a sua massa
específica.
dx
x
çã o
co n dual or
c
de
ão e
ge raç lação
u
acu m a lo r
de c
ção
co nd ua lo r
de c
Af
ár ea
ção
rad ia
cção
con vea da
fo rç
Figura A.1 − Transferência de calor em uma seção elementar de fio quente.
Em aplicações nas quais o fluido de trabalho apresenta temperatura relativamente baixa, o
termo relativo à transferência de calor por radiação é muito pequeno e pode ser desprezado, sem que
se incorra em erros significativos. Nestas condições, o equilíbrio térmico do fio pode ser
representado como:
δ 2T f
δT f
I 2χ
dx − πdh(T f − Ta )dx + kAf
dx − ρcA f
=0
2
Af
δx
δt
(A.2)
Com base na Equação (A.2), em regime permanente (δTf /δt = 0), Bruun (1995) mostra que é
possível determinar a distribuição de temperatura ao longo do comprimento do fio e pela solução
obtida, conclui-se que o comprimento do fio deve ser o mais longo possível e que a sua
condutividade térmica deve ser baixa.
A resistência Rf de um fio de comprimento L à temperatura uniforme é dada por:
Rf =
χL
Af
(A.3)
Como o material do fio é termo-resistivo, a sua resistência segue uma lei da forma:
R f = Ra + R20α 20 (T f − Ta )
(A.4)
na qual Ra e R20 representam o valor da resistência do fio à temperatura ambiente (do fluido) e a
20°C, respectivamente, e α 20 o coeficiente de temperatura do material à 20°C.
Para um fio infinitamente longo e em regime permanente, a Equação (A.2) reduz-se a:
I 2 R f = πdLh (T f − Ta )
(A.5)
A transferência de calor convectiva de um fio infinitamente longo pode ser expressa de forma
adimensional, em função dos números de Nusselt e de Reynolds, através de uma correlação do tipo:
Nu = A + B Re 1 / 2
(A.6)
na qual A e B são constantes empíricas (King, 1914). Segundo Kramers (1946), uma expressão
válida para uma larga faixa de números de Reynolds e de Prandtl (10-1 < Re < 104 e 0,71 < Pr < 103 )
pode ser escrita como:
Nu = 0, 42Pr 0, 2 + 0,57 Pr 0, 33Re 0 ,5
(A.7)
Rescrevendo-se a Equação (A.5) e utilizando-se a definição do número de Nusselt,
(Nu = hd/k), vem:
I 2 R f = kπL (T f − Ta ) Nu
(A.8)
ou, utilizando-se as Equações (A.4) e (A.7):
I 2 R20 = πLk
T f − Ta
1 − α 20 (T f − T20 )
(0,42 Pr 0, 2 + 0,57 Pr 0,33 Re 0, 5 )
(A.9)
Multiplicando-se ambos os lados da Equação (A.9) por R20 , obtém-se, finalmente:
E 2 = A + BU 0. 5
na qual:
A = 0,42kπL
e
B = 0,57 kπL
R20 (T f − Ta )
1 − α 20 (T f − T20 )
R20 (T f − Ta )
1 − α 20 (T f − T20 )
(A.10)
Pr 0, 2
Pr 0, 33 (ρd µ )
0, 5
que fornece a relação entre a diferença de potencial elétrico nas extremidades de um fio infinitamente longo
e a velocidade do escoamento incidente.
Para um fio de dimensões finitas, entretanto, as perdas por condução de calor em suas
extremidades devem ser levadas em consideração. Na prática, utiliza-se um expoente n na
Equação (A.10), que é rescrita na forma:
E 2 = A + BU n
(A.11)
Nessa equação, conhecida como Lei de King, as constantes A, B e n devem ser determinadas
experimentalmente, através do processo de calibração da sonda. Ainda que a Equação (A.11) tenha
sido deduzida para um elemento infinitesimal de um fio quente, uma relação similar pode ser obtida
para sondas de filme quente, modificando-se as correlações utilizadas para avaliar os mecanismos de
transferência de calor entre a sonda e o meio fluido, em função da geometria apresentada pelo
elemento sensor.
Apêndice B
Análise de Incertezas
B.1 INTRODUÇÃO
A técnica de predizer o intervalo de incerteza associado a um resultado experimental, baseando-se
em observações da dispersão dos dados utilizados no cálculo deste resultado, é chamada de Análise
de Incerteza.
B.2 A NÁLISE DE INCERTEZA PARA AMOSTRAGEM SIMPLES
Experimentos de amostragem simples são aqueles em que cada ponto experimental é testado
somente uma vez, ou no máximo algumas poucas vezes. Experimentos de pesquisa em mecânica
dos fluidos e transferência de calor são geralmente experimentos de amostragem simples,
caracterizados por dados distribuídos ao longo de uma ampla faixa do parâmetro em estudo (Moffat,
1988).
A análise de incerteza por amostragem simples pode ser encontrada na literatura nos trabalhos de
Kline & McClintock (1953) e Moffat (1982, 1985 e 1988). Além de sua utilidade mais visível, a
descrição da incerteza de um resultado numa publicação científica, a análise de incerteza produz
informações adicionais sobre o experimento, geralmente muito úteis como ferramentas de
diagnóstico, tanto na fase de planejamento como de execução de um experimento.
B.2.1 F UNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Considere uma variável X i que possui uma incerteza conhecida δ X i . A maneira de representar a
variável e sua incerteza é
X i = X i (medido) ± δX i
(20 : 1)
(B.1)
Esta definição deve ser interpretada no seguinte sentido:
§ A melhor estimativa de X i é X i (medido)
§ Existe uma incerteza em X i que pode ser tão grande quanto ± δ X i
§ As chances da incerteza de X i ser maior do que ± δ X i são de 20 para 1 (5%)
O valor de X i (medido) representa a leitura realizada, enquanto que δ X i representa 2σ, em que σ é
o desvio padrão da população de possíveis medidas das quais a única amostra X i foi tirada (Moffat,
1988). A Eq. (B.1) segue da hipótese de que se um número infinito de observações fosse feito, a
média seria o valor verdadeiro (assumindo que não existem erros sistemáticos ou fixos) e os erros
aleatórios seriam normalmente distribuídos ao seu redor, com desvio padrão igual a σ. Uma vez que
95% de todos os elementos de uma população situam-se dentro do intervalo ±2σ em torno da média,
podemos dizer com 95% de confiança que o valor médio deve estar contido no intervalo de ±2σ do
valor medido.
Para o caso de experimentos com amostragem simples, a determinação de σ exige a realização de
um experimento auxiliar para estimar a componente aleatória da incerteza. Este experimento auxiliar
geralmente consiste na obtenção de um conjunto de observações independentes do processo numa
condição de ensaio representativa, geralmente um conjunto de 30 observações. O desvio padrão da
população (σ) pode então ser calculado a partir do desvio padrão da amostra (S) obtido do
experimento auxiliar, utilizando-se a distribuição de Student.
O resultado R do experimento, calculado a partir de um conjunto de medições, é representado por
R = R( X 1 , X 2 , X 3 ,..., X N )
(B.2)
Kline & McClintock (1953) mostraram que a incerteza de um resultado calculado pode ser estimada
com boa precisão utilizando uma combinação dos efeitos das incertezas individuais de cada variável
sobre o resultado. O efeito da incerteza de uma única variável sobre o resultado calculado, se
somente esta variável possui uma incerteza associada, é dada por
δR X i =
∂R
δX i
∂X i
(B.3)
A derivada parcial de R em relação a X i é conhecida como o coeficiente de sensibilidade do
resultado R em relação à variável X i . Quando diversas variáveis independentes são utilizadas no
cálculo do resultado, os termos individuais são combinados da seguinte forma:
2
 N  ∂R
 
δR = ∑ 
δX i  
 i=1  ∂X i
 
12
(B.4)
Essa é a equação básica da análise de incertezas. Cada termo representa a contribuição feita pela
incerteza de uma variável (δ X i ) para a incerteza global do resultado (δ R ). Todos os termos
possuem a mesma forma: a derivada parcial de R em relação a X i , multiplicada pela incerteza desta
variável. A Eq. (B.4) é válida quando as seguintes condições são observadas:
§
Cada uma das medições é independente das demais;
§
Se fossem realizadas medições repetidas de cada variável, sua dispersão apresentaria
dispersão Gaussiana;
§
A incerteza de cada variável é expressa com a mesma probabilidade.
Na maioria das situações, a incerteza global de um resultado é dominada por apenas alguns de seus
termos. Os termos na Eq. (B.4) que são menores do que o maior termo por um fator de 3 ou mais,
geralmente podem ser ignorados.
Em muitas aplicações, deseja-se que a incerteza de um resultado seja expressa como uma fração
desse. Em particular, quando a expressão do resultado pode ser escrita na forma de um produto, tal
como na Eq. (B.5), a incerteza relativa pode ser encontrada diretamente. Isto é, se
R = X 1a X 2b X 3c ...X Mm
(B.5)
então
2
2
 δX
δR  δX 1   δX 2 
 +  b
 + ... +  m M
=  a
R  X 1   X 2 
 XM




2



12
(B.6)
Essa é uma forma natural e conveniente de calcular a incerteza relativa do resultado, quando se
conhece a incerteza relativa das variáveis envolvidas. Nesse caso, os expoentes de X i são
coeficientes de sensibilidade dos termos da Eq. (B.6).
B.3 A NÁLISE DE INCERTEZA DAS VARIÁVEIS DE INTERESSE
Comprimento
As dimensões características do modelo cilíndrico foram medidas com o auxílio de um paquímetro
digital Mitutoyo Digimatic 0.01-150 mm. A incerteza associada a essas medições foi determinada
através de um experimento auxiliar, que consiste em realizar 30 medições independentes das
dimensões de um modelo cilíndrico. Cada medição iniciou com a verificação do zero no mostrador
digital do paquímetro, em seguida o corpo de prova foi tomado numa das mãos e o paquímetro na
outra, e então foi realizada a medição. Observa-se nesse experimento auxiliar que o desvio padrão
da amostra não depende significativamente da dimensão do modelo utilizado. A partir do desvio
padrão da amostra (S = 6×10-3 mm), pode-se calcular a incerteza associada à medição das dimensões
dos modelos cilíndricos, dada por
δD = ±t 95%
S
(B.7)
N
na qual δD é a incerteza de medição de uma dada dimensão do cilindro, t 95% é o coeficiente de
Student para uma confiança de 95%, S é o desvio padrão da amostra e N é o número de pontos da
amostra. Assim, a incerteza das dimensões do cilindro circular pode ser estimada como δd = 2×103
mm.
Temperatura
A temperatura da água é um parâmetro que exerce uma grande influência sobre as suas
propriedades, tais como a viscosidade e a densidade. A temperatura foi medida de duas maneiras
distintas, dependendo do tipo de ensaio realizado. Nos ensaios de visualização do escoamento, a
temperatura da água foi medida com o auxílio de um termômetro de coluna de mercúrio marca TWG
modelo Labortherm-N, com escala de 15-30°C e incerteza de ±0,1°C. Já nos ensaios de
anemometria, a temperatura foi medida utilizando-se a sonda de temperatura do anemômetro. Esta
sonda é do tipo termistor e mede temperaturas na faixa de 0-150°C, com incerteza de ±0,1°C.
Viscosidade Cinemática
A viscosidade cinemática da água é uma propriedade física que possui forte dependência com a
temperatura, e pode ser escrita como
ν (T ) =
µ (T )
ρ (T )
(B.8)
Existem na literatura várias correlações bem estabelecidas para a viscosidade absoluta e a densidade
da água em função da temperatura. Para o cálculo da viscosidade cinemática da água, foram
utilizadas as correlações listadas na Tabela B.1.
Tabela B.1 − Correlações para o cálculo da viscosidade cinemática da água.
Propriedade
µ(T)
[kg.m-1.s-1]
ρ(T)
[kg.m-3]
Correlação
Fonte
Incerteza
 µ 
ln   = −1,704 − 5,306 Z + 7,003Z 2
 µo 
onde Z = 273 T ( K ) e µ o = 1,788 × 10 −3
White
(1986)
±0,2%
ρ = 1000 − 0,0178 T ( oC ) − 4
1, 7
A incerteza associada ao cálculo da viscosidade cinemática pode ser então estimada como sendo
2
 δµ  2  µ
 
δν =   +  − 2 δρ  
 ρ   ρ
 
12
(B.9)
ou, em termos relativos,
2
2
 δρ  
δν  δµ 




=   +  −
 
ν
 µ 
 ρ  
12
(B.10)
Para a faixa de temperatura na qual foram realizados os ensaios, entre 20 e 30°C, a incerteza relativa
da viscosidade cinemática da água é de ±0,3%.
Freqüência
A freqüência de emissão dos vórtices, ou freqüência de Strouhal, foi determinada aplicando-se a
transformada discreta de Fourier ao sinal temporal da velocidade, adquirido num determinado ponto
da esteira turbilhonária. O valor da freqüência de Strouhal é então tomado como sendo igual à
freqüência correspondente ao centro geométrico do pico da distribuição de potência espectral
resultante. A incerteza da determinação da freqüência de Strouhal pode ser estimada pelo valor da
resolução da freqüência, dado por
δf =
F -1
[s ]
N
(B.11)
na qual F é a freqüência de amostragem e N é a quantidade de amostras do sinal adquirido. Nos
ensaios de anemometria conduzidos para a determinação da freqüência de emissão dos vórtices, o
sinal de velocidade foi adquirido num bloco com 4096 pontos, a uma taxa de 100 Hz. Assim, sua
incerteza pode ser estimada como δf = 0,02 s-1
A incerteza associada à freqüência de desprendimento de vórtice é própria da incerteza na
identificação do frame o qual se localiza o vórtice (o primeiro e o último vórtice) os quais
atravessam a linha de referência. Essa incerteza é da ordem de um frame, que corresponde aqui
1/30s. Assim,
f ± ∆f =
N .F
[I N − I 0 ]
(B.12)
na qual, (N) é número de turbilhões, (I0 ) primeiro turbilhão, (IN ) último turbilhão da seqüência, (f)
freqüência de emissão de turbilhões e ( ∆f ) é a variação da freqüência de emissão de turbilhões.
Vazão
A vazão do escoamento que flui através da seção de testes é medida com o auxílio de um medidor
de vazão eletromagnético. Segundo a especificação do fabricante, este instrumento possui uma
precisão de ±1% do valor de leitura, para vazões maiores do que 50% do fundo de escala. Já para
vazões menores do que 50% do fundo de escala, sua incerteza é de ±0,5% do valor do fundo de
escala. Por se tratar de um equipamento eletrônico, o fundo de escala pode ser ajustado de acordo
com a faixa de valores da vazão dos ensaios programados. Ao longo do presente trabalho, o fundo
de escala do medidor de vazão foi ajustado em 5 l/s. Assim, a incerteza da vazão pode ser estimada
como δQ = 0,015 l/s, para vazões inferiores a 1,5 l/s, e δQ = 0,075Q [l/s], para vazões superiores a
1,5 l/s.
Velocidade
A velocidade da corrente livre no interior da seção de testes é calculada com base na leitura de
vazão do medidor de vazão eletromagnético, assumindo um perfil de velocidade uniforme. Assim,
V∞ =
Q
A
(B.13)
na qual Q é a vazão volumétrica indicada pelo medidor de vazão e A é a área transversal da seção de
testes na posição em que o cilindro encontra-se instalado. Assim, a incerteza associada ao cálculo da
velocidade da corrente livre pode ser estimada por
2
 δQ  2  Q
 
δV ∞ = 
 +  − 2 δA  
 
 A   A
12
(B.14)
Na Tabela B.2 apresentam-se os valores típicos da incerteza da velocidade da corrente livre,
calculados um escoamento com temperatura ambiente, na qual uma cilindro circular encontra-se
imerso.
Tabela B.2 − Valores típicos da incerteza da velocidade da corrente livre.
Re
Q (l/s)
V∞ (m/s)
δV∞ (m/s)
δV∞ / V∞
100
0,3
0,014
0,0007
5%
500
1,35
0,07
0,0035
4%
1000
2,7
0,14
0,007
4%
Número de Reynolds
O número de Reynolds do escoamento ao redor de um corpo cilíndrico é definido pela seguinte
expressão:
Re =
V∞ d
ν
(B.15)
na qual ν é a viscosidade cinemática do fluido.
A incerteza do número de Reynolds pode ser calculada como
2
2
2
 d
  V∞   V∞ d  
δRe =  δV∞  +  δd  +  − 2 δν  
 ν
  ν
 
 ν
12
(B.16)
Calculando a incerteza do número de Reynolds para o mesmo caso apresentado no cálculo da
velocidade, obtém-se os resultados apresentados na Tabela B.3.
Tabela B.3 − Valores típicos da incerteza do número de Reynolds.
Re
δRe
δRe / Re
100
5
5%
500
5
1%
1000
11
1%
Comparando os termos da Eq.(B.16) entre si, observa-se que o primeiro termo, devido à incerteza da
velocidade, é muito maior do que a soma dos demais.
Número de Strouhal
O número de Strouhal representa a freqüência adimensional de emissão dos vórtices de um dos
lados do corpo e pode ser escrito como
St =
f B
V∞
(B.17)
na qual f é a freqüência de emissão dos vórtices na esteira de von Kármán. De maneira semelhante, a
incerteza associada ao cálculo do número de Strouhal pode então ser estimada por,
2
2
2
 B
  f
  fB
 
δSt =  δf  +  δB  +  − 2 δV∞  
 V∞   V∞
  V∞
 
12
(B.18)
Para o mesmo caso apresentado anteriormente, são apresentados valores típicos da incerteza do
número de Strouhal, resumidos na Tabela B.4.
Tabela B.4 - Valores típicos da incerteza do número de Strouhal.
Re
f (Hz)
δSt
δSt / St
100
1,45
0,008
5%
500
6,51
0,002
1%
1000
12,03
0,001
1%
Velocidade angular de rotação do cilindro
A velocidade angular de rotação do cilindro (w) foi medida com o auxílio de um tacômetro óptico
marca Woltest modelo DT - 2234 com incerteza de ±1°rpm.
Rotação específica
O escoamento em torno de cilindros rotativos é caracterizado pelo parâmetro adimensional rotação
específica (α) e pode ser escrito como,
wd
(B.19)
2U
na qual ρ é a densidade do fluido, µ é a viscosidade, U é a velocidade, d é o diâmetro do corpo e w é
α=
a velocidade angular de rotação do cilindro. De maneira semelhante, a incerteza associada ao
cálculo da rotação específica pode então ser estimada por,
2
2
2
 w
 wd
 
d




δα = 
δd  + 
δw  +  −
δU  
2

 
 2U   2U
2
U
 
 

12
(B.20)
Para o mesmo caso apresentado anteriormente, são apresentados valores típicos da incerteza da
rotação específica, resumidos na Tabela B.5.
Tabela B.5 - Valores típicos da incerteza da rotação específica.
α
δα
δα / α
0,5
0,031
6%
1,5
0,075
5%
3
0,15
5%