AULA 13 – CILINDROS
CILINDRO
ÁREA TOTAL
Um cilindro pode ser classificado conforme a inclinação da
geratriz em relação aos planos das bases.
O cilindro é oblíquo quando a geratriz é oblíqua às
bases.
A T = A L + 2A B
A T = 2π r ( r + H )
VOLUME
V = π r².H
O cilindro é reto ou de revolução quando a geratriz é
perpendicular às bases.
CILINDRO EQUILÁTERO
Um cilindro reto cuja seção meridiana é um quadrado
denomina-se cilindro eqüilátero.
Áreas da superfície do cilindro reto
Planificando a superfície do cilindro da figura:
Em todo cilindro eqüilátero
ELEMENTOS CILINDRO EQUILÁTERO
ÁREA DA BASE
Área lateral: A L = 4π r²
Área total: A T = 6π r²
AB = π r 2
Volume: V = 2π r³
ÁREA LATERAL
A L = 2π r.H
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g = H = 2r
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11. Calcule a área lateral de um cilindro reto, sendo 12π m
EXERCÍCIOS
sua área total e o raio,
1. O diâmetro da base de um cilindro reto é 12 cm e a
altura é 5 cm. Calcule sua área total.
2
1
da altura.
5
12. Um retângulo de 1m e 2m de dimensões gira em torno
do seu menor lado. Determine o volume do sólido gerado.
2. Quant os litros comportam, aproximadamente, uma caixa13. Qual é o volume de um cilindro de revoluç ão de raio da
d’água cilíndrica com 2m de diâmetro e 70 cm de altura?
base r = 4,0 dm e altura 7, 5 dm?
3. Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro
14. Sabendo que a seção meridiana de um cilindro é um
reto com 16m de altura e 8m de diâmetro da base. Qual a
2
quadrado de 36 cm de área, calcule a área lateral do
capacidade, em litros, do reservat ório?
cilindro e o volume.
4. Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de
15. Se a área da seção meridiana de um cilindro equilátero
aresta 2 cm.
2
3
é 100 cm , qual é o volume, em cm , deste sólido?
16. Qual a capacidade, em mililitros, de uma lata em forma
de cilindro reto, com 10 cm de diâmetro da base e 20 cm
de altura?
2cm
1cm
2cm
17. A altura de um cilindro é 5/3 do raio da base.
2
Determine a área da base desse cilindro, sendo 64π cm
sua área lateral.
5. Deseja-se construir uma caixa-d’água em forma de
cilindro reto, de 1,6m de raio e cuja capacidade seja de
20000 litros. Qual deve ser aproximadamente a altura
dessa caixa-d’água?
18. Determine a área total de um cilindro, sabendo que a
2
área lateral é igual a 80 cm e a sua seção meridiana é
um quadrado.
6. Calcule a área lateral e a área total de um cilindro
equilátero de 20m de raio.
3
7. Um cilindro eqüilátero tem 54π cm de volume. Calcule a
sua área lateral.
8. Calcule o volume da parte colorida do sólido.
19. Um cilindro circular reto tem raio igual a 3 cm e altura
3cm. Determine o volume.
20. Qual a altura do cilindro, sendo r = 150m e 900 πm
sua área lateral?
2
21. Determine o raio de um círculo cuja área é igual à
área lateral de um cilindro equilátero de raio r.
22) A área lat eral de um cilindro de revolução de 10 cm
de raio é igual a área da bas e. Calcule a altura do cilindro.
6 cm
10 cm
9. O tonel representado abaixo está ocupado em 60% de
sua capacidade. Qual a quantidade de água nele contida,
em litros?
23. O raio da base de um cilindro circular reto mede 3 cm
e a altura 3 cm. Determine a área lateral desse cilindro.
24. Um cilindro tem 2,7 cm de altura e 0,4 cm de raio da
base. Calcule a diferenç a entre a área lateral e a área da
base.
25. Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de
altura e 2m de diâmetro. Determinar a superfície total do
depósito.
60
π
cm
50 cm
10. Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 6 cm
de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos ml de cerveja
cabem nessa lata?
26. Calcular a medida do raio da base de um cilindro
2
sabendo que sua área lateral mede 300π cm e a geratriz
40 cm.
27. Determinar a medida da geratriz de um cilindro s endo
2
250π cm a medida de sua área lateral e 10 cm o raio de
sua base.
28. Calcular a área t otal de um cilindro que tem 24 cm de
diâmetro da base e 38 cm de altura.
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20 cm
AULA 13 – CILINDROS
29. Determine a área lateral e o volume de um cilindro de 34. (UFP E) Um contêiner, na forma de um cilindro circular
3
2
altura 10 cm, sabendo que a área total excede de 50π cm reto, tem altura igual a 3 m e área total igual a 20πm .
Calcule, em metros, o raio da base deste cont êiner.
sua área lateral.
30. Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para
a construção de um poço que tem 10m de diâmetro e 15m
de profundidade?
_______________________________________________
35. (FGV-SP ) Um produto é embalado em recipientes com
formato de cilindros retos.
O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base de 5 cm.
O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base de 10 cm.
VESTIBULARES
a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos
material?
b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a
31. No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a unidade. P ara o
consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?
AE = BE = 10 . O volume desse sólido é:
36. (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos
de vela ornament al a partir de moldes feitos com cartões de
papel ret angulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as
figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do c artão, de
duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os
preenche completament e com parafina:
5π
2
4π
b)
3
a)
c) 4
d) 5
e) 3
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente
proporcional ao volume de parafina empregado, o custo
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II,
será:
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
37. (V UNESP) Um tanque subt errâneo, que tem a forma
de um cilindro circ ular reto na posição vertical, está
3
3
completamente cheio com 30 m de água e 42 m de
petróleo:
a) 2,5
b) 3,2
c) 4,8
d) 5,0
e) 10, 0
33. (UNESP) Se quadruplicarmos o raio da base de um
cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fic a Se a altura do tanque é 12 met ros, a altura, em metros,
da camada de petróleo é
multiplicado por :
a) 2 .
a) 16.
b) 7.
b) 12.
c) (7 )/3.
c) 8.
d) 8.
d) 4.
e) 8/3.
e) 4π.
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32. (ENEM) Uma cisterna cilíndrica comport a 18.000 litros
de água. Sabendo que a sua alt ura h é igual a 2,40 m, a
medida aproximada do diâmetro da cisterna, em met ros, é :
Adote π = 3
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38. (UFRJ) Carlos é um rapaz viciado em beber
refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou
em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme
reservat ório cilíndric o de 3 metros de altura com uma bas e
de 2 metros de diâmetro e pens ou... "Em quant o tempo eu
beberia aquele reservat ório inteiro, se ele estivesse cheio
de refrigerante diet?"
Considerando π = 3,14 e sabendo-s e que Carlos bebe 3
litros de refrigerant e diet por dia, pode-se afirmar que ele
consumirá todo o líquido do res ervatório em um período de
O raio da mancha, t minutos depois do início do
t
.
5
Adotando π = 3 , o volume, em m³, de óleo vazado, após 4
minutos do início do vaz ament o, é:
a) 0,014
b) 0,016
c) 0,08
d) 0,02
e) 0,012
vazamento, é dado, em metros, pela relação r(t) =
a) 86 dias.
b) 86 meses.
c) 86 anos.
d) 8,6 anos.
e) 860 meses.
39. Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma
embalagem, completamente cheia, no formato de um
cilindro circular reto de alt ura 12cm e raio da base 5cm ,
pelo preço de R$ 4,00. O fabricante alterou a embalagem,
aumentando em 2cm a altura e diminuindo em 1cm o raio
da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na
realidade, o preço do produto aumentou aproximadament e
de quantos por cento?
a)12%
b)25%
c)34%
d)44%
e) 51%
GABARITO
40. O cont eúdo de um barril em forma de cilindro circular
reto, com 5dm de raio, é suficiente para encher
completamente mil copos cilíndricos que têm 3cm de raio e
12cm de altura. Qual a medida da altura do barril, em
centímet ros?
a) 26, 4
b) 28
c) 31,8
d) 35, 5
e) 43, 2
41. UECE) O volume de um cilindro circular reto é
3
36 6π cm . Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm,
42. (MACK-SP) Um vaz ament o, em um navio tanque,
provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem a
forma circular e es pessura constante de 2,5 cm, como
mostra na figura.
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2
então a área total desse cilindro, em cm , é:
a) 72 π
b) 84 π
c) 92 π
d) 96 π
e) 60π