Lista 06 – Cálculo 1 – Professor Daniel Henrique Silva
Departamento de matemática – UFSCar
Turmas F e G
Esta lista trata das primeiras aplicações de derivadas. Lembre-se que modelar o problema é tão importante (ou até
mesmo mais, em alguns tópicos) do que resolver o problema propriamente dito. Não perca tempo com contas bobas e
simplificações (por exemplo, frações como √8.
54
3
3
4 2 . √125
são respostas aceitáveis, mesmo não estando em sua forma
mais simples.
1) Explique geometricamente porque uma derivada de uma função em um ponto indica a inclinação da reta tangente
ao gráfico dessa função no ponto.
2) Dadas as funções descritas, e os pontos dados, determinar a reta tangente ao gráfico da função pelo ponto pedido.
𝜋
𝑥+2
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥0 = 2
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4, 𝑥0 = 5
c) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥),
𝑥0 =
d) 𝑓(𝑥) =
, 𝑥0 = 0
6
𝑥−2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒 𝑥 , 𝑥0 = 1
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1, 𝑥0 = 0
g) 𝑓(𝑥) = log 2 (3𝑥 + 2), 𝑥0 = 2
1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
h) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑥0 =
i) 𝑓(𝑥) = cosh(3𝑥), 𝑥0 = 0
j) 𝑓(𝑥) = (𝑥.
), 𝑥0 = 0
2
cos(3𝑥)
3) Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) que seja paralela
2𝑥
3
à reta 𝑦 = −
5
7
4) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Determine se essa parábola possui algum ponto no
qual a reta tangente à função passa pela origem. No caso de esse ponto existir, determine a reta tangente com essa
propriedade. Esboce o ocorrido.
5) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 𝑥 + 2. Determine se essa parábola possui algum ponto no
qual a reta tangente à função passa pela origem. No caso de esse ponto existir, determine a reta tangente com essa
propriedade. Esboce o ocorrido.
6) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Determine condições sobre as constantes 𝑎; 𝑏; 𝑐 que
determinem se essa parábola possui alguma reta tangente que passa pela origem.
7) Demonstre que, dada uma reta r qualquer, e uma função de segundo grau, então sempre existirá uma reta paralela
a r que é tangente um (e somente a um) ponto do gráfico dessa função.
8) Considere a função 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 + 15𝑥 − 2. Determine (caso existam) pontos onde a reta tangente ao gráfico
da função é horizontal. Determine também essas retas.
9) Defina reta normal.
10) Dê a equação que descreve a reta normal ao gráfico de uma função por um ponto dado.
11) Para as funções e pontos do exercício 2, determinar a equação da reta normal ao gráfico da função pelo ponto
dado.
12) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Determine se essa parábola possui algum ponto no
qual a reta normal à função passa pela origem. No caso de esse ponto existir, determine a reta normal com essa
propriedade. Esboce o ocorrido.
13) Determinar o ponto onde as retas normais às duas raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 se cruzam.
14) Se uma função é diferenciável em um intervalo [𝑎; 𝑏], então a reta normal ao gráfico dessa função nunca é
horizontal. Justifique esse fato geometricamente.
15) Defina função implícita.
16) Em todas os itens abaixo, temos a representação de uma função implícita, onde a variável y depende da variável
𝑑𝑦
x. Determinar em casa caso, a derivada implícita ( ).
𝑑𝑥
a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
b) 𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 0
c) 𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 = 1
d) 𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 3 = 1
e) √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
j)
𝑥
𝑦
𝑦
cos( )
𝑥
𝑠𝑒𝑛( )
=2
f)
𝑥𝑦
𝑥 2 +𝑦 2
=1
k) log 𝑥 (𝑦 + √𝑥) =
17) Considere a elipse de equação
a) (0; 4)
b) (0; −4)
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
1
3
𝑥2
9
i) 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑥 = 0
h) √𝑥𝑦 − √𝑥 2 − 3𝑦 2 = 0
g) − = 𝑦
+
c) (2; −
𝑦2
16
4√5
3
= 1. Determine a reta tangente e a reta normal a essa elipse nos pontos:
)
d) (
3√7
4
e) (−3; 0)
; −3)
18) Para cada um dos itens do exercício anterior, faça uma análise sobre a inclinação da reta, e o que isso significa
geometricamente, e veja se há coerência com os resultados obtidos.
19) Ainda sobre a elipse da questão 17, sabe-se que os focos da elipse encontram-se nos pontos (±√7; 0). Determine
quais retas normais ao gráfico da função passam pelo foco. Utilizando um software, faça um desenho do encontrado.
OBS: Não é necessário encontrar os focos, nem sequer saber o que é o “foco de uma elipse” ainda. Você verá (ou
viu e esqueceu) isso em geometria analítica. Foque na parte de cálculo.
20) Demonstre que qualquer reta normal à circunferência 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 passa pelo centro.
21) Demonstre que qualquer reta normal à qualquer circunferência passa pelo centro da mesma.
22) A equação 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 1 representa uma elipse. Determine o ponto mais alto, mais baixo, mais à esquerda
e mais à direita dessa elipse. Utilize isso para fazer um esboço dessa elipse.
23) Considere a função dada implicitamente pela expressão 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 1 + 𝑥 2 .
a) Calcule a derivada implícita dessa função.
b) Demonstre que essa função pode ser explicitada como 𝑦 =
−𝑥+√𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥
𝑥
ou 𝑦 =
−𝑥−√𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥
𝑥
c) Utilizando a função explícita, confirme a validade da derivada implícita da função. Ou seja, derive explicitamente,
e verifique se os resultados obtidos são compatíveis com a derivada implícita.
24) Descreva a regra de L’Hôspital.
0
25) Pelo teorema, a regra de L’Hôspital pode ser utilizada apenas em limites que recaiam sobre as formas
0
ou
±∞
.
±∞
Descreva quais mudanças podem ser aplicadas para que possamos calcular limites da forma:
a) 0 ∙ ∞
b) 00
c) 1∞
26) Calcule os limites a seguir:
a) lim
𝑥 2 −5𝑥+4
𝑥→∞
f) lim
3𝑥+4𝑥 2
k) lim
g) lim
u)
y)
𝑥−1
𝑥→1− ln(𝑥)
𝑥
1+𝑥 2
lim (
𝑥→∞
𝑥2
1 𝑥
lim− (𝑥)
𝑥→0
@)
c) lim+ 𝑥. ln(𝑥)
h) lim
3
l)
q)
lim
𝑥→0
3𝑥+7
m)
𝑥→∞ 3−7𝑥
lim x. ln(𝑥)
r)
𝑥→0+
z)
lim (√𝑥 2 + 1)
𝑥→∞
lim 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − (ln(𝑥))3
1
𝑥
𝑥→
𝑥2
1− 2 −cos(𝑥)
𝑥4
lim
𝑥→∞
𝑡𝑔(𝑥 2 )
e) lim (
2
i) lim(1 − 𝑡𝑔(𝑥))
n)
lim 𝑒 𝑥 . 𝑥 −2
s)
w)
lim
𝑥
𝑥→∞
𝑥+𝑒 𝑥
𝑥→∞ 𝑒 𝑥
ln(𝑥 2 )
𝑥→0+ (ln(𝑥))2
1 𝑥
lim (cos (𝑥))
𝑥→∞
lim (√𝑥 2 + 1 − 𝑥)
𝑥→∞
lim
𝑥
)
j) lim 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥)
𝑥→0
4𝑥 2 −6𝑥+8
𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑥 2 +1)
𝑥→0
(𝑡𝑔(𝑥))
1
𝑥
𝑥→∞
ç)
2
𝑥 3 −5𝑥 2 +3𝑥−7
v) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+ (1 − 𝑥)ln(𝑥)
)
d) lim
𝜋−
𝑥→0
3
√1−𝑥+√2−𝑥
lim
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥→0 𝑥−𝑥
𝑥
𝑥→−∞ √3−𝑥+√4−𝑥
p)
√𝑥 2 +1
𝑥→∞ 7𝑥−3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥→0
b) lim
$)
o)
t)
x)
1
lim+
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
𝑡𝑔(3𝑥)
lim √𝑥 . 𝑒 −𝑥
𝑥→ ∞
2𝑥
1
lim (1 + 𝑡𝑔(4𝑥))
𝑥→∞
1
lim (𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑡𝑔(𝑥))
𝑥→0
𝑥→∞
27) Interprete fisicamente o significado de uma derivada.
OBS: Para as questões de interpretação física, nem todos os significados físicos tem nome, embora todos tenham
uma interpretação, mesmo que como taxa.
28) Seja 𝑆(𝑡) uma função que determina o espaço S em função do tempo t. O que significa fisicamente
𝑑𝑆
𝑑𝑡
?
29) Seja 𝑉(𝑡) uma função que determina a velocidade V em função do tempo t. O que significa fisicamente
30) Seja 𝑎(𝑡) uma função que determina a aceleração a em função do tempo t. O que significa fisicamente
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑎
𝑑𝑡
?
?
31) Seja 𝑄(𝑡) uma função que determina a quantidade de movimento de um corpo em função do tempo t. O que
𝑑𝑄
significa fisicamente
?
𝑑𝑡
32) Seja 𝑉(𝑃) uma função que determina o volume V de um gás perfeito em função da pressão P aplicada sobre ele.
𝑑𝑉
O que significa fisicamente ?
𝑑𝑃
33) Seja 𝐵(𝐼) uma função que descreva o campo magnético B gerado por uma corrente induzida I. O que significa
𝑑𝐵
fisicamente
?
𝑑𝐼
34) Seja 𝑉(𝑅) uma função que determina o volume de uma esfera V em função do raio R. O que significa fisicamente
?
𝑑𝑉
𝑑𝑅
35) Dê um exemplo de grandeza física que pode ser expressa como taxa de variação, e que não seja um dos
exercícios anteriores.
36) Quando um objeto realiza um movimento com velocidade positiva, dizemos que esse movimento é progressivo,
e quando a sua velocidade é negativa, dizemos que o movimento é retrógrado. Quando a aceleração tem o mesmo
sinal que a velocidade, dizemos que o movimento é acelerado, e quando a aceleração e a velocidade possuem sinais
opostos, dizemos que o movimento é retardado. Para cada um dos itens a seguir, classifique o movimento dos corpos
no tempo pedido.
a) 𝑆(𝑡) = 5𝑡 2 − 3𝑡 + 8, t1 = 2s; t2 = 5s
b) 𝑆(𝑡) = −𝑡 2 + 8𝑡 − 2, t1 = 0s; t2 = 20s
c) 𝑆(𝑡) = 𝑒 −𝑡 , t = 1s
𝜋𝑡
d) 𝑆(𝑡) = cos ( ), t1 = 0s; t2 = 1s
4
e) 𝑆(𝑡) = 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 3𝑡 − 4; t1 = 0s; t2 = 2s; t3 = 4s
37) Interprete a fórmula de incrementos e diferenciais Δ𝑓 ≈ 𝑓 ′ (𝑥). Δ𝑥 através de retas tangentes, e interprete
geometricamente o ocorrido.
38) Explique geometricamente porque a aproximação por incrementos é melhor quando utilizamos valores menores
para Δ𝑥.
39) Utilizando incrementos, estime o valor de √15…
a) …utilizando como ponto inicial 𝑥0 = 16
b) …utilizando como ponto inicial 𝑥0 = 100
c) Qual deles obteve a melhor aproximação? Mostre geometricamente o que acontece.
40) Em cada item deste exercício, sem calculadoras, estime um valor aproximado para o valor pedido, utilizando
incrementos e diferenciais. Depois, com uma calculadora, verifique qual o valor exato, e calcule o erro cometido.
3
3
a) √82
b) √67
c) √14,5
d) √120
e) √500
f) 6√1,2
g) sen(31º)
h) cos(42º)
i) tg(47º)
j) sec(28º)
k) sen(123º)
l) arcos(0,45)
m) arcsen(0,7)
n) arctg(2)
o) log29
p) log245
r)
1
25,1
s) (3,07)2
t) (0,98)3
53 −2
13
u) ( )
v)
3
3
√7,5
(0.9)3
w) (1.1)2
(1−𝑥)3
OBS: As funções trigonométricas devem ser calculadas em radianos. Para o item w), utilize a função 𝑓(𝑥) = (1+𝑥)2
41) Imagine um triângulo equilátero, de aresta igual a 8cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em
seu perímetro, e em sua área, quando as suas arestas são diminuídas de 0,4cm.
42) Seja dado um hexágono regular, de aresta igual a 5cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em
seu perímetro e em sua área, quando as suas arestas são aumentadas de 0,25cm.
43) Seja um quadrado de aresta igual a 10cm. Estime através de incrementos, em quanto devemos variar a sua
aresta, de modo que a sua área aumente em 3cm 2.
44) É dado um círculo de 4cm de raio. Deseja-se diminuir a sua área em
𝜋
8
cm2. Estime, utilizando incrementos, de
quanto deverá ser a variação em seu raio, de modo que isso seja possível.
45) Imagine um quadrado de aresta x. Estime através de incrementos, em quanto devemos aumentar o tamanho de
sua aresta, de modo que a sua área seja aumentada em 5%.
46) Seja um hexágono regular de aresta x. Estime através de incrementos, em quanto devemos diminuir o tamanho
de sua aresta, de modo que a sua área seja diminuida em 3%.
47) Imagine um cubo de aresta 5cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume,
quando as arestas são aumentadas em 0,25cm.
48) Imagine uma esfera, de raio 4cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume,
quando o raio é diminuído de 0,1cm.
49) Um cilindro equilátero de altura 12cm tem o raio de sua base diminuída em 0,1cm, mas mantendo a sua forma.
Determine através de incrementos, a variação na área e no volume desse cilindro (OBS: Um cilindro equilátero possui
a altura igual ao diâmetro da base).
50) É dado um cone, de altura igual a 20cm, e raio da base igual a 6cm. Através de incrementos, determine qual será
a variação do no volume desse cone se:
a) A sua altura for aumentada em 2cm.
b) O raio de sua base for aumentado em 1cm.
51) Uma esfera teve seu volume medido experimentalmente, e foi obtido que o seu volume é igual a 5m³, com uma
margem de erro de Δ𝑉 = ±0.2𝑚3 . Utilizando diferenciais, estime:
a) O erro cometido no cálculo do raio da esfera.
b) O erro cometido no cálculo da área da esfera.
52) Deseja-se construir uma antena de altura prevista para 20m. Além disso, ao final da construção da torre, serão
colocados quatro cabos (de lados diferentes da antena) de aço ligados ao topo da antena, e esticados até o chão,
presos a uma distância de 15m da base da antena cada um. Devido a imprevisibilidades, a antena pode ter uma
variação de altura de até 10cm, para mais, ou para menos. Utilizando diferenciais, estime qual a variação de cabo de
aço que é acarretada por essa imprevisibilidade na altura da torre.
53) Uma escada de 10m de comprimento está escorada em uma parede vertical, a uma distância horizontal de 6m
dessa parede, como ilustra a figura, assim sendo, determine:
a) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela escorregue 20cm
para trás.
b) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela seja empurrada
15cm para a frente.
c) Qual o incremento no ângulo entre a escada e o chão, nos itens anteriores.
54) Seja x ∈ ℝ+ um número real positivo, e seja y ∈ ℤ+ o número inteiro mais próximo de x tal que admita raiz quadrada
exata. Mostre, através de incrementos, que uma boa aproximação para o valor de √𝑥 é dada por:
√𝑥 ≈ √𝑦 ±
|𝑥−𝑦|
2.√𝑦
, onde o sinal ± varia, se x > y ou y > x.
55) Seja x ∈ ℝ um número real, e seja y ∈ ℤ o número inteiro mais próximo de x tal que y admita raiz cúbica exata.
3
Mostre, através de incrementos, que uma boa aproximação para o valor de √𝑥 é dada por:
3
3
√𝑥 ≈ √𝑦 ±
|𝑥−𝑦|
3. 3√𝑦
, onde o sinal ± varia, se x > y ou y > x.
56) Seja x ∈ ℝ+ um número real positivo, e seja n ∈ ℕ um número natural, n ≥ 2, e seja ainda y ∈ ℤ+ o número inteiro
positivo mais próximo de x tal que y possua raiz n-ésima exata. Mostre, através de incrementos, que uma boa
𝑛
aproximação para o valor de √𝑥 é dada por:
𝑛
𝑛
√𝑥 ≈ √𝑦 ±
|𝑥−𝑦|
𝑛 𝑛√𝑦
, onde o sinal ± varia, se x > y ou y > x.
57) Considere a função f: ℝ  ℝ, f(x) = sen(x).
a) Mostre que f(x + ∆x) = sen(x).cos(∆x) + cos(x).sen(∆x)
b) Argumente matematicamente por que sen(∆x) ≈ ∆x, quando ∆x é um valor pequeno.
c) Utilizando as respostas dos itens a) e b), interprete algebricamente a fórmula de incremento da função seno, dada
por sen(x + ∆x) ≈ sen(x) + cos(x).∆x
58) Considere a função f: ℝ  ℝ, f(x) = cos(x).
a) Mostre que f(x + ∆x) = cos(x).cos(∆x) – sen(x).sen(∆x)
b) Utilizando o argumento de que, se ∆x é pequeno, então a aproximação sen(∆x) ≈ ∆x é válido, interprete
algebricamente a fórmula de incremento da função cosseno, dada por cos(x + ∆x) ≈ cos(x) – sen(x).∆x
59) Explique o conceito de taxas relacionadas, através da regra da cadeia.
60) Imagine uma circunferência de raio R, raio este que está variando a uma taxa constante igual a 𝛼. Determine, em
função dos parâmetros R e 𝛼:
a) A taxa de variação do perimetro da circunferência.
b) A taxa de variação da área dessa circunferência.
61) Uma esfera de raio 75cm tem o seu raio aumentado à velocidade de 1cm/s.
a) Determine a taxa de variação da área dessa esfera nesse momento.
b) Determine a taxa de variação do volume da esfera nesse momento.
62) Uma grande bola de sorvete de raio 8cm está derretendo à taxa de 2mℓ/s.
a) Determine a taxa de variação do raio dessa bola de sorvete no início do problema.
b) Determine a taxa de variação do raio dessa bola de sorvete quando o raio dessa bola for de 6cm, 4cm e 2cm.
c) Os resultados encontrados fazem sentido com o problema real? Justifique.
63) Um funil cônico de raio da base igual a 20cm e altura igual a 30cm está cheio de um líquido, que escoa à razão
de 12mℓ/s.
a) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui no início do problema.
b) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui quando a altura se reduz à um terço da altura inicial.
c) Determine a velocidade com que o raio da base varia no início do problema.
64) Imagine um cubo de aresta a cujo volume aumente à razão constante 𝛼. Determine, em função de a e 𝛼:
a) A taxa de variação do volume desse cubo.
b) A taxa de variação da área desse cubo.
c) A taxa de variação da medida da diagonal desse cubo.
65) Imagine um cone equilátero de raio da base R, cujo volume aumente à razão 𝛼, constante. Determine, em função
de R e 𝛼:
a) A taxa de variação do raio da base desse cone.
b) A taxa de variação da altura desse cone.
c) A taxa de variação da área da base desse cone.
66) Ar é injetado com razão constante de 60𝑚ℓ/𝑠 em um balão esférico, inicialmente vazio. Depois de um minuto,
determine:
a) O volume desse balão.
b) O raio desse balão.
c) A velocidade na qual o raio do balão aumenta (em 𝑐𝑚/𝑠)
d) A área do balão.
e) A velocidade na qual a área do balão aumenta (em 𝑐𝑚2 /𝑠)
67) Um cubo de aresta igual a 1m aumenta de tamanho devido à expansão térmica. Imagine que a sua aresta
aumente na razão de 5𝑚𝑚/°𝐶.
a) Determine a taxa na qual a área de uma de suas faces varia.
b) Determine a taxa na qual o seu volume varia.
c) Isso condiz com o que você aprendeu no ensino médio sobre dilatação térmica?
68) Uma escada de 15m de comprimento está apoiada em uma parede vertical, a uma distância de 9m do chão. O
ponto no qual a escada está apoiada no chão começa a escorregar, afastando-se da parede, com velocidade de 3cm/s.
a) Determine a expressão que calcule a velocidade com a qual o ponto de apoio da escada na parede desce, em
função da distância horizontal “x” entre a escada e a parede.
b) Determine a expressão que calcule o ângulo formado entre a escada e o chão em função da distância horizontal
“x” entre a escada e o chão.
c) Determine a expressão que calcule a velocidade com que esse ângulo varia em função da distância horizontal
“x” entre a escada e o chão.
d) Como seriam as respostas dos itens anteriores, caso o exercício pedisse que os cálculos fossem feitos em função
do tempo, ao invés da distância?
69) Um cubo tem arestas de tamanho que varia com o tempo, de acordo com a expressão 𝑎(𝑡) = 40 + 10𝑠𝑒𝑛 (
7𝜋𝑡
6
).
a) Determine a velocidade com a qual a aresta varia, em função do tempo t.
b) Determine a velocidade na qual o volume varia, quando t = 2s.
70) Um barril cilíndrico de diâmetro da base igual a 80cm contém 40ℓ de chopp, que é servido através de uma válvula,
cuja vazão é de 45mℓ/s.
a) Argumente fisicamente porque o raio não varia.
b) Mostre que a velocidade na qual a altura do chopp dentro do barril diminui é constante, e calcule o seu valor.
71) Um garoto feito no Paint empina uma pipa, também desenhada no Paint, sempre com altura constante de 20m,
como ilustra a figura. (Que está nitidamente fora de escala)
O garoto “dá linha” com velocidade de 5m/min, de modo que a pipa
mantenha a sua altura em relação ao chão, embora sua distância horizontal
em relação ao garoto varie com o tempo. Determine, para esse problema:
a) A velocidade na qual a pipa se afasta do garoto, em relação ao eixo
horizontal, no momento relatado.
b) A velocidade na qual o ângulo da linha em relação à horizontal varia,
também nesse exato momento.
72) Para cada uma das funções a seguir, determine os seus pontos críticos (caso existam), e verifique se esses
pontos serão máximos locais, mínimos locais, ou nenhum deles.
a) f(x) = x2 – 5x + 8
e) f(x) =
𝑥2
2
f) f(x) = 𝑒 𝑥 −5𝑥+6
1−𝑥
j) f(x) = 𝑥 √𝑥 +
b) f(x) = –3x2 + 7x – 12
1
√𝑥
c) f(x) = 2x3 – 3x2 – 72x + 12
g) f(x) = x6 – 6x2
k) f(x) = 𝑥. ln(𝑥 2 + 1)
l) f(x) =
h) f(x) = arctg(x2)
d) f(x) =
1
𝑥+4
i) f(x) = ln(𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4)
√𝑥− √𝑥
𝑥
73) Considere uma função de primeiro grau genérica, f: ℝ  ℝ, f(x) = ax + b, a ≠ 0. Demonstre que essa função não
possui nenhum ponto crítico.
74) Considere uma função de segundo grau genérica, f: ℝ  ℝ, f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.
a) Demonstre que essa função possuirá sempre um único ponto crítico, e determine que ponto será esse.
b) Defina, em função dos coeficientes a, b e c, se o ponto crítico será um ponto de máximo, um ponto de mínimo,
ou nenhum deles.
c) Determine o valor máximo (ou mínimo) para f(x). Compare esse resultado com a conhecida fórmula de vértice de
parábola, do ensino médio.
75) Mostre que as funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) possuem um número infinito de pontos críticos cada uma.
76) Mostre que uma função exponencial da forma f(x) = α x, com α > 0 e α ≠ 1 não possui nenhum ponto crítico.
77) Considere uma função de terceiro grau genérica f: ℝ  ℝ, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0. Para essa função:
a) Determine, em função dos parâmetros (a, b, c, d), a quantidade de pontos críticos que essa função possui.
b) Determine, ainda em função dos parâmetros, qual a condição para que essa função possua exatamente dois
pontos críticos distintos.
c) Mostre que, caso a função possua dois pontos críticos distintos, então obrigatoriamente um deles será ponto de
máximo, e o outro será ponto de mínimo.
78) Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 100, determine qual tem a área máxima.
79) Decomponha o número 36 como o produto de dois números, cuja soma é mínima.
80) Decomponha o número 36 como soma de dois números, cujo produto é mínimo.
81) Dê as medidas dos lados do triângulo retângulo de perímetro igual a 50m, tal que a sua área é a maior possível.
82) Seja x um número real positivo. Qual o valor de x, de modo que a soma de x com o seu inverso seja a menor
possível?
83) O senhor Silva deseja fazer um cercado com formato retangular para o seu querido cachorro de estimação, ao
lado de sua casa. Ele dispõe de 60m de tela para fazer o cercado, e, como o cercado está ao lado de sua casa, ele irá
utilizar o muro de sua própria casa como um dos lados da área para o cachorro, ou seja, ele precisará cercar apenas
os três lados com a tela. Determine as dimensões do cercado de modo que o cachorro tenha a maior área possível
para ficar confortável.
84) Um arame de 1,2m de comprimento será dividido em dois pedaços não necessariamente iguais. Um deles será
dobrado de modo a formar um triângulo equilátero, ao passo que o outro será dobrado para formar um hexágono
regular.
a) Determine como deverá ser feita essa divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a menor
possível.
b) Determine como deverá ser feita a divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a maior
possível.
85) Considere a figura a seguir:
Na figura a seguir está representado um grande quadrado de papel, de lado a.
Deste quadrado são recordados, das quatro bordas, quatro quadradinhos de lado x.
A folha restante (deixada em branco) é dobrada, de forma a se tornar uma caixa com
formato de paralelepípedo reto-retângulo sem tampa, de altura x.
Determine, em função de a, o valor de x de modo que o volume da caixa formada seja o
maior possível.
86) Na situação do exercício anterior, qual seria o valor de x se o recorte fosse feito numa folha retangular, cujos
lados consecutivos medem 𝑎 e
𝑎(1+√5)
2
(OBS: Estas são as proporções de uma folha sulfite, “A4”)
87) Qual dos pontos do gráfico da função f:ℝ  ℝ, f(x) = x2 – 5x – 14 é o mais próximo da origem?
88) Considere os gráficos das funções dadas: f: ℝ  ℝ, f(x) = x2 – 5x – 5 e g:ℝ  ℝ, g(x) = – 2x2 + 3x – 2.
a) Determine uma função que calcule a distância vertical entre as duas funções sobre um ponto x dado.
b) Determine a distância vertical mínima entre essas duas funções.
89) Dentre todos os pontos da circunferência de equação (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25, qual o ponto mais próximo do ponto
(2; 3)?
90) Determine as dimensões do cone de volume igual a 20ℓ que possui área total mínima.
91) Determine as dimensões do cilindro de volume igual a 30πℓ que possui área total mínima.
92) Determine as dimensões da pirâmide regular de base quadrada e volume igual a 100m 3 que possui área total
mínima.
93) Na figura a seguir, está representado um rio, de margens paralelas, e largura constante de 5Km.
De um dos lados da margem do rio está uma cidade produtora de
petróleo, P, e do outro lado do rio, a uma distância horizontal de 20Km,
está uma cidade receptora, R.
Para transportar petróleo entre as duas cidades, será construído um
oleoduto, que terá uma parte por terra, seguindo uma das margens do
rio, do ponto P ao ponto C. E uma segunda parte por baixo d’água, entre o ponto C e o ponto R.
A construção de cada quilômetro de oleoduto por terra é duas vezes mais barata do que a construção de um
quilômetro de oleoduto por baixo d’água.
Determine a distância entre P e C que minimize o custo total de produção do oleoduto entre as cidades P e R.
94) Faça um resumo/roteiro sobre como esboçar gráficos de funções reais.
95) Demonstre que, se f(x) é tal que seu gráfico apresenta uma assíntota horizontal à esquerda, então o gráfico de
f(x) não pode apresentar assíntota oblíqua à esquerda.
96) Interprete geometricamente as fórmulas para a obtenção de assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas)
97) Explique porque só podemos ter assíntotas verticais quando a função apresentar pontos fora do domínio.
98) Interprete geometricamente o significado da derivada segunda de uma função.
99) Dê um exemplo de função tal que 𝑓 ′ (𝑝) = 0, mas p não é ponto de máximo local, nem de mínimo local.
100) Dê um exemplo de função tal que 𝑓 ′′ (𝑝) = 0, mas p não é um ponto de inflexão.
101) Para cada uma das funções dadas abaixo, siga o roteiro, com a intenção de fazer o esboço gráfico no final da
questão. Se você julgar mais fácil inverter a ordem dos passos, fique a vontade. O roteiro é sugerido, mas não
obrigatório.
- Determine o domínio da função
- Calcule a derivada primeira da função
- Determine os pontos críticos da função
- Avalie a função quanto a crescimento e decrescimento, obtendo assim os pontos de máximo e mínimo locais
- Calcule a derivada segunda da função
- Determine os candidatos a ponto de inflexão
- Avalie a função quanto a concavidade, obtendo assim os pontos de inflexão da função
- Determine as assíntotas
- Esboce o gráfico
𝑥
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4
d) 𝑓(𝑥) =
e) 𝑓(𝑥) =
j) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥−1
𝑥
𝑥 2 +1
𝑥−1
o) 𝑓(𝑥) = 2
𝑥
t) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(𝑥)
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥
g) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥
𝑥3
𝑥3
k) 𝑓(𝑥) =
p) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +1
𝑥 2 −𝑥+1
𝑥2
l) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥 2 −1
4𝑥+3𝑥 2
q) 𝑓(𝑥) =
1+𝑥 2
h) 𝑓(𝑥) =
m) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
−
3𝑥 2
4
2
𝑥 3 −𝑥+1
𝑥+1
+ 2𝑥 + 1
𝑥2
r) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
3
i) 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − 𝑥
n) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 𝑒 3𝑥
s) 𝑓(𝑥) = cosh(𝑥)