GEOMETRIA BÁSICA 2011-2
GGM00161-TURMA M2
Dirce Uesu Pesco
Geometria Espacial
17/11/2011 – Cilindro e Cone
CILINDRO
Definição:
Considere α e β dois planos paralelos,
um círculo Г contido em α e uma
reta s que corta α e β.
CILINDRO
Definição:
Considere α e β dois planos paralelos,
um círculo Г contido em α e uma
reta s que corta α e β.
Para cada ponto X de Г, trace uma
reta paralela a s e seja X’ tal ponto
de interseção com β.
CILINDRO
Definição:
Considere α e β dois planos paralelos,
um círculo Г contido em α e uma
reta s que corta α e β.
Para cada ponto X de Г, trace uma
reta paralela a s e seja X’ tal ponto
de interseção com β.
Chama-se cilindro circular ou cilindro
a reunião de todos os segmentos XX’,
onde X pertence a Г(região circular).
CILINDRO
Elementos:
i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
CILINDRO
Elementos:
i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
ii) geratrizes:
segmentos com uma das extremidades
em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro
O’ e raio r.
CILINDRO
Elementos:
i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
ii) geratrizes:
segmentos com uma das extremidades
em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro
O’ e raio r.
iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das
bases.
CILINDRO
Elementos:
i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
ii) geratrizes:
segmentos com uma das extremidades
em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro
O’ e raio r.
iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das
bases.
- r é o raio da base.
CILINDRO
Elementos:
i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
ii) geratrizes:
segmentos com uma das extremidades
em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro
O’ e raio r.
iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das
bases.
- r é o raio da base.
- a altura de um cilindro é a distância h entre os planos das bases.
CILINDRO
Superfícies:
CILINDRO
Superfícies:
Superfície lateral:
Superfície total:
CILINDRO
Superfícies:
Superfície lateral:
é a reunião das geratrizes.
Superfície total:
CILINDRO
Superfícies:
Superfície lateral:
é a reunião das geratrizes.
Superfície total:
é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases.
CILINDRO
Classificação:
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo:
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos
das bases.
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos
das bases.
Cilindro circular reto:
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos
das bases.
Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos
planos das bases.
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos
das bases.
Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos
planos das bases.
Cilindro de revolução :
CILINDRO
Classificação:
Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos
das bases.
Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos
planos das bases.
Cilindro de revolução : é o cilindro circular reto e é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo, que contém um dos seus
lados.
CILINDRO
Seção Meridiana :
CILINDRO
Seção Meridiana :
É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’,
denominada pelos centros das bases.
CILINDRO
Seção Meridiana :
É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’,
denominada pelos centros das bases.
A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo.
(Faça um desenho que represente esta seção).
CILINDRO
Seção Meridiana :
É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’,
denominada pelos centros das bases.
A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo.
(Faça um desenho que represente esta seção).
CILINDRO
Seção Meridiana :
É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’,
denominada pelos centros das bases.
A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo.
(Faça um desenho que represente esta seção).
A seção meridiana de um cilindro
reto é um retângulo. Veja figura
ao lado .
CILINDRO
Cilindro equilátero:
CILINDRO
Cilindro equilátero:
É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado.
CILINDRO
Cilindro equilátero:
É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado.
Portanto
CILINDRO
Cilindro equilátero:
É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado.
Portanto
g = h =2r
CILINDRO
Área Lateral de um Cilindro circular reto
CILINDRO
Área Lateral de um Cilindro circular reto
A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução
é equivalente a um retângulo de dimensões 2  r (comprimento
da circunferência da base) e h (altura do cilindro)
CILINDRO
Área Lateral de um Cilindro circular reto
A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução
é equivalente a um retângulo de dimensões 2  r (comprimento
da circunferência da base) e h (altura do cilindro)
CILINDRO
Área Lateral de um Cilindro circular reto
A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução
é equivalente a um retângulo de dimensões 2  r (comprimento
da circunferência da base) e h (altura do cilindro)
Ou seja, a área lateral do cilindro circular reto é:
2  r  h
CILINDRO
Área Total de um Cilindro circular reto
CILINDRO
Área Total de um Cilindro circular reto
É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases
B    r2
CILINDRO
Área Total de um Cilindro circular reto
É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases
B    r2
CILINDRO
Área Total de um Cilindro circular reto
É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases
B    r2
A área total do cilindro circular reto é:
CILINDRO
Área Total de um Cilindro circular reto
É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases
B    r2
A área total do cilindro circular reto é:
At  2  r (h  r )
CILINDRO
Volume do Cilindro
CILINDRO
Volume do Cilindro
O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da
altura.
CILINDRO
Volume do Cilindro
O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da
altura.
Prova: Considere
- um cilindro S1 de altura h e área da base B1  B e um prisma S 2
de altura h e área da base B2  B .
CILINDRO
Volume do Cilindro
O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da
altura.
Prova: Considere
- um cilindro S1 de altura h e área da base B1  B e um prisma S 2
de altura h e área da base B2  B .
CILINDRO
Volume do Cilindro
-
Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e
estão num dos semi-espaços determinados por α.
CILINDRO
Volume do Cilindro
-
-
Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e
estão num dos semi-espaços determinados por α.
Qualquer plano β paralelo a α, que secciona o cilindro também
secciona o prisma e as seções têm áreas iguais.
CILINDRO
Volume do Cilindro
-
-
Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e
estão num dos semi-espaços determinados por α.
Qualquer plano β paralelo a α, que secciona o cilindro também
secciona o prisma e as seções têm áreas iguais.
B1'  B1 , B2'  B2 , B1  B2  B  B1'  B2'
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri,
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
Como VPrisma  B2  h  B  h
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
Como VPrisma  B2  h  B  h  VCilindro  B  h 
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
Como VPrisma  B2  h  B  h  VCilindro  B  h 
V  B h
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
Como VPrisma  B2  h  B  h  VCilindro  B  h 
Se B    r 2
V  B h
CILINDRO
Volume do Cilindro
Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes
iguais.
VCilindro  VPrisma
Como VPrisma  B2  h  B  h  VCilindro  B  h 
Se B    r 2
 VCilindro    r 2  h
V  B h
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e
altura 10 cm = 100 mm.
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e
altura 10 cm = 100 mm.
V   .12.100  100 mm3
O volume de tinta é:
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e
altura 10 cm = 100 mm.
V   .12.100  100 mm3
O volume de tinta é:
3
Em um dia gasto 2 mm de tinta, então:
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e
altura 10 cm = 100 mm.
V   .12.100  100 mm3
O volume de tinta é:
3
Em um dia gasto 2 mm de tinta, então:
1 dia x
2 mm 3
- 100 mm 3
CILINDRO
Volume do Cilindro
Exercício:
Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro
e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta
por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará
quantos dias?
Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e
altura 10 cm = 100 mm.
V   .12.100  100 mm3
O volume de tinta é:
3
Em um dia gasto 2 mm de tinta, então:
1 dia x
2 mm 3
- 100 mm 3
 x
1.100
 50 dias
2
CONE
Definição:
CONE
Definição:
CONE
Definição:
Considere um círculo Г contido no plano α e seja V um ponto fora do
plano α. Para cada ponto X pertencente a α, trace o segmento VX.
CONE
Definição:
Considere um círculo Г contido no plano α e seja V um ponto fora do
plano α. Para cada ponto X pertencente a α, trace o segmento VX.
Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos VX.
CONE
Elementos
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
vértice: o ponto V.
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
vértice: o ponto V.
geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base.
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
vértice: o ponto V.
geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base.
A altura de um cone é a distância entre o
Vértice e o plano da base.
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
vértice: o ponto V.
geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base.
A altura de um cone é a distância entre o
Vértice e o plano da base.
Superfície lateral: reunião das geratrizes.
CONE
Elementos
uma base : círculo de centro O e raio r,
vértice: o ponto V.
geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base.
A altura de um cone é a distância entre o
Vértice e o plano da base.
Superfície lateral: reunião das geratrizes.
Superfície total : reunião da superfície
lateral com o círculo da base.
CONE
Classificação
CONE
Classificação
Pela posição de VO em relação ao plano da base.
CONE
Classificação
Pela posição de VO em relação ao plano da base.
CONE
Classificação
Pela posição de VO em relação ao plano da base.
Cone circular obliquo – Se VO é obliqua ao plano da base.
CONE
Classificação
Pela posição de VO em relação ao plano da base.
Cone circular obliquo – Se VO é obliqua ao plano da base.
Cone circular reto ou cone de revolução - se VO é perpendicular ao
plano da base.
CONE
Seção meridiana
CONE
Seção meridiana
Interseção do cone com um plano que contém VO.
CONE
Seção meridiana
Interseção do cone com um plano que contém VO.
CONE
Seção meridiana
Interseção do cone com um plano que contém VO.
A seção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um
Triângulo isósceles.
CONE
Cone equilátero
CONE
Cone equilátero
CONE
Cone equilátero
Cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero.
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio
da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e
comprimento do arco 2  r.
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio
da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e
comprimento do arco 2  r.
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio
da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e
comprimento do arco 2  r.
Sendo θ o ângulo do setor, temos que :

2 r
360 r
rad ou  
graus
g
g
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio
da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e
comprimento do arco 2  r.
Sendo θ o ângulo do setor, temos que :

2 r
360 r
rad ou  
graus
g
g
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio
da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e
comprimento do arco 2  r.
2 r.g   g 2
Asetor 
Sendo θ o ângulo do setor, temos que :

2 r
360 r
rad ou  
graus
g
g
2

2
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área lateral do cone:
Comprimento do arco
2  g
2  r
área do setor
________
________
  g2
Al
Al   r g
2 r   g 2
 Al 
2 g
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área lateral do cone:
Comprimento do arco
2  g
2  r
área do setor
________
________
  g2
Al
Al   r g
2 r   g 2
 Al 
2 g
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área lateral do cone:
Comprimento do arco
2  g
2  r
área do setor
________
________
  g2
Al
Al   r g
Ou ainda, a área do setor circular é
Asetor 
2 r.g
  r g  Al
2
2 r   g 2
 Al 
2 g
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área total :
At  Al  B
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área total :
At  Al  B
onde a área da base é B   r
2
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área total :
At  Al  B
onde a área da base é B   r
Logo
At   r g   r 2
2
CONE
Áreas Lateral e Total de um cone circular reto
Área total :
At  Al  B
onde a área da base é B   r
Logo
At   r g   r 2
 At   r ( g  r )
2
CONE
O volume do Cone
CONE
O volume do Cone
O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida
da altura.
CONE
O volume do Cone
O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida
da altura.
2
B


r
, temos que V  1  r 2 h,
Se
3
CONE
O volume do Cone
O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida
da altura.
2
B


r
, temos que V  1  r 2 h,
Se
3
Exercício:
Use o Princípio de Cavalieri para demonstrar o resultado acima.
CONE
O volume do Cone
Exemplo: Na base de um cone, cujo volume é igual a 144 m , está
inscrito um hexágono regular de área 54 3 m2 . Determine a área
total desse cone.
Solução:
3
CILINDRO E CONE
Área e Volume
Exercícios:
Livro texto, capítulos: Cone e Cilindro.