APOSTILA ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CILNDROS
CILINDROS
Na figura abaixo, temos:
- Dois planos paralelos α e β;
- Um círculo contido em α;
- Uma reta s que intercepta α e β, mas não intercepta C.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à
reta s, com uma extremidade num ponto do circulo C e a outra no plano β, denomina-se
cilindro circular.
Num cilindro, convém destacar os seguintes elementos:
Cilindro Circular Reto ou de Revolução: Quando as geratrizes são perpendiculares às
bases. Em um cilindro reto a geratriz e a altura têm a mesma medida. ( g = h )
Cilindro Circular Obliquo : Quando as geratrizes são obliquas às bases.
Cilindro Eqüilátero: É o cilindro reto onde h = 2r
Secção da meridiana de um cilindro: É a secção feita por um plano que contém o eixo
do cilindro.
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ÁREAS E VOLUME
Área da base (Ab) : Ab = π .r2
Área da lateral (Al) : Al = 2 π .r.h
Área total (AT) : AT = 2 π .r ( r + h )
Área da secção (As) = 2.r.h
Volume de um cilindro ( V ) : V = π .r2.h
Exemplos:
1) As dimensões de um retângulo são 4cm e 6cm. Calcule a área total e o volume do
sólido gerado pela rotação completa em torno do menor lado desse retângulo.
Resolução:
2) Calcule a o volume de um cilindro eqüilátero cuja a área é igual a 216 π cm2.
Resolução:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
l) Determine a área lateral e a área total de um cilindro reto de altura 18,5cm, e diâmetro da base
17cm.
resp: Al = 314,5π cm2 e At = 459π cm2
2) Achar a área total de um cilindro eqüilátero que tem 36π cm2 de área lateral. resp:54πcm2
3) Um cilindro reto está inscrito num cubo de aresta a. Determine sua área lateral e sua área
total.
resp: Al = πa2 At= 3πa2/2
4) A área da secção da meridiana de um cilindro reto de 5 cm de altura e 40 cm2. Determine sua
área total.
resp: At = 72π cm2
5) Num cilindro reto, a área total é 160π cm2 e a altura dele, 16 cm . Determine o raio da sua
base. resp: r = 4cm
6) Achar o volume de um cilindro reto que tem por raio da base 8 cm e altura 20 cm.
resp: V = 1280π cm3
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7) Um cilindro reto de 15 cm de raio é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e distante
12cm desse eixo. Achar o seu volume, sabendo que a área da secção obtida é corresponde a 4
vezes a área da sua base. resp: V = 11250π2 cm3
8) Dona Maria pretende esquentar numa leiteira cilíndrica uma quantidade de leite que dê
exatamente para encher uma garrafa térmica, também cilíndrica. O raio da leiteira mede 10 cm,
e o da garrafa, 4 cm. A altura da leiteira mede 18 cm e da garrafa, 35 cm. Determine até que
altura deve ser colocado o leite na leiteira para não sobrar nem faltar. resp: 5,6 cm
9) Numa fundição, a caçamba que transporta, o material quente e em forma líquida tem 0,4 m3
de volume, e esta cheia. Esse material vai ser derramado nas formas que produzirão
roletes cilíndricos de 2 cm de diâmetro e 5 cm de comprimento. Quantos desses roletes , no
máximo serão produzidos? (use π=3,14) resp: 25477
10) Determine o volume de um cilindro eqüilátero de área total 1536π dm2. resp: V= 8192π
dm3
11) Uma bobina de papel para fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa
bobina tem 102cm de diâmetro por 137cm de comprimento , qual a quantidade mínima (área) de
papel utilizada para embalar totalmente cada desses rolos cilíndricos ? (use π = 3,14) resp: 6,02
m2
12) Calcule a área total de um sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de
dimensões 4cm e 12cm em torno do menor lado. resp: 384π cm2
13) Quando uma quantidade de água é congelada, seu volume aumenta em aproximadamente
8%. Seja uma jarra cilíndrica, com raio medindo 5cm e altura 25cm. Qual a quantidade, em
litros de água, que deve ser colocada nessa jarra para que, após o congelamento, ela ocupe todo
o volume da jarra ? (use π=3,14) resp: 1,82 l
14) (Ufg) A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo
êmbolo tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é
usada para injetar doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine
quantos milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose. resp:
19,10mm
15) Cisterna é um tipo de reservatório d'-água cilíndrico, coberto e semi-enterrado, que permite
a captação e o armazenamento de águas das chuvas, aproveitadas a partir do seu escoamento nos
telhados das casas, através de calhas.
Uma cisterna cilíndrica comporta 18.000 litros de água.
Sabendo que a sua altura h é igual a 2,40 m, a medida
aproximada do diâmetro da cisterna, em metros, é :
a) 2,5
b) 3,2
Dado:
c) 4,8
Volume = πr2 h
d) 5,0
Adote π = 3
resp: b
e) 10,0
16) (Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes
feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as figuras
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abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em
seguida, os preenche completamente com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina
empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será
a) o triplo b) o dobro c) igual d) a metade e) a terça parte resp: b
17) Uma montadora produz dois tipos de caminhões. Um para carregar contêiner em forma de
paralelepípedo retângulo com 12 m de comprimento, 2 m de largura e 2,5 m de altura e outro
para transportar líquidos, com um tanque em forma de cilindro circular reto com 12 m de
comprimento e diâmetro da base 2 m, como mostra a figura. Considere π = 3,14.
Com base nesses dados, analise as afirmações:
I) O volume do contêiner é de 60 m3.
II) O volume do tanque é de 75,36 m3.
III) A área total do contêiner é de 118 m2 e do tanque é de 81,64 m.
Pode-se então afirmar que:
a) as afirmações I e II estão corretas.
b) as afirmações I e III estão corretas.
c) as afirmações II e III estão corretas.
d) as afirmações I, II e III estão corretas.
e) as afirmações I, II e III estão incorretas.
18) (Uel) Um fabricante de latas com formato de um cilindro possui chapas retangulares de
alumínio com as dimensões: 25 cm de largura por 9 cm de comprimento, conforme a figura que
segue. Ele deseja saber como utilizar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas
oriundas de tais chapas. Ele pensou em duas formas de confeccionar essas latas: unindo o lado
AD da chapa de alumínio no lado BC formando uma lata que tem o formato de um cilindro
circular reto C1 ou unindo o lado AB ao lado DC formando uma lata cujo formato é um cilindro
circular reto C2.
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Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir.
I. A área da superfície lateral do cilindro C1 é igual à área da superfície lateral do cilindro C2.
II. A capacidade do cilindro C1 é maior que a capacidade do cilindro C2.
III. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra.
IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a área da superfície lateral do cilindro C2
dobra.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e II.
b) I e III.
c) II e IV.
d) I, III e IV.
e) II, III e IV.
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Prof. Carlinhos
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