Apresentação
Apresentação
A idéia de organizar e divulgar um Banco de Questões com problemas propostos
em provas de olimpı́adas surgiu em 2005, por solicitação de alunos e professores
que participavam da OBMEP e sentiram falta desse tipo de material. A excelente
acolhida que teve o Banco de Questões-2006, por esses participantes, e também por
estudantes de cursos de licenciatura em Matemática, nos motivou a continuar esse
trabalho.
Boa parte dos problemas aqui apresentados foram extraı́dos de olimpı́adas de
Matemática nacionais e internacionais. Nessa edição, introduzimos alguns problemas com solução mais complexa, que não constaram do Banco Questões-2006. O
mais importante é tentar resolvê-los, não importando o tempo gasto para isso e a
diﬁculdade encontrada. Igualmente importante, é entender a solução que apresentamos. Não conseguir resolvê-los não deve ser motivo de desânimo. Entendemos que
resolver, ou tentar resolver, problemas desaﬁadores, é uma das mais interessantes e
eﬁcientes formas de aprender Matemática.
Os problemas estão separados em três nı́veis, de acordo com a classiﬁcação feita
pela OBMEP, mas muitos deles podem (e devem) ser resolvidos por todos os alunos.
Assim sendo, recomendamos que os alunos “passeiem” por todos os problemas e
selecionem alguns, de outros nı́veis, para resolver.
Desejamos que esse Banco de Questões propricie a todos um bom trabalho e um
divertimento interessante.
Direção Acadêmica da OBMEP
OBMEP 2007
i
Lista 1
Nı́vel 1
Nı́vel 1
Lista 1
1. Múltiplos de 9
(a) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os
algarismos 0 e 1?
(b) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os
algarismos 1 e 2?
2. A florista - Uma ﬂorista colheu 49kg de ﬂores do campo que podem ser
vendidas imediatamente por R$1, 25 o quilo. A ﬂorista pode também vendêlas desidratadas por 2 reais a mais no quilo. O processo de desidratação faz as
ﬂores perderem 5/7 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para
a ﬂorista?
3. Divisores - Seja N o menor número que tem 378 divisores e é da forma
2a × 3b × 5c × 7d . Quanto vale cada um desses expoentes?
4. O produto dos algarismos - Denotemos por P (n) o produto dos algarismos
do número n. Por exemplo: P (58) = 5 × 8 = 40 e P (319) = 3 × 1 × 9 = 27.
(a) Quais os números naturais menores que 1000 cujo produto de seus algarismos é 12, ou seja: os números naturais n < 1 000 tais que P (n) = 12?
(b) Quantos números naturais menores que 199 satisfazem P (n) = 0? Ou
seja: têm o produto de seus algarismos igual a 0?
OBMEP 2007
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Nı́vel 1
Lista 1
(c) Quais números naturais menores que 200 satisfazem a desigualdade 37 <
P (n) < 45?
(d) Dentre os números de 1 a 250, qual o número cujo produto de seus algarismos é o maior?
5. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco
de laranja por R$2, 80 e uma caixa com seis dessas garrafas por R$15, 00.
Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no
mı́nimo?
6. A casa da Rosa - A ﬁgura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e
o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha?
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Quarto
Sala
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2
2
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16m
24m
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Cozinha
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2
4m
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7. O passeio do Matias - Matias passeia em volta de 4 quarteirões perto de
sua casa. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possı́vel de bicicleta, respeitando as seguintes condições:
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OBMEP 2007
Lista 1
Nı́vel 1
ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das
ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez
pela mesma quadra. Quando ele não pode mais
respeitar essas condições, ele tem que saltar da bicicleta e voltar a pé. Ele parte de P e deve voltar
a P . Os quatro quarteirões são quadrados com
100 metros de lado em cada quadra. Qual o maior
percurso que ele pode fazer? A largura das ruas é
desprezı́vel.
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s
P
8. O adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar
um adesivo em todos os carros oﬁciais. O adesivo terá a forma retangular com
6 quadrados dispostos em 2x3 e com 3 cores: 1 quadrado azul, 2 quadrados
amarelos e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o
prefeito terá que escolher?
OBMEP 2007
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Nı́vel 1
Soluções da Lista 1
Soluções da Lista 1
1. Múltiplos de 9
(a) Um número é divisı́vel por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo
de 9. Logo, o número deve ter 9 algarismos iguais a 1. Assim, o menor
número é: 111 111 111.
(b) Devemos usar o maior número possı́vel de algarismos iguais a 2, que
devem ﬁcar nas casas mais à direita. Assim, o menor número é: 12 222.
2. A florista - Se a ﬂorista vender as ﬂores sem desidratá-las, ela vai apurar
49 × 1, 25 = 61, 25 reais.
O peso das ﬂores após a desidratação é
2
7
× 49 = 14 kg. Logo, vendendo as
ﬂores desidratadas, ela apura 14 × 3, 25 = 45, 50. Portanto, a ﬂorista ganha
mais no processo sem a desidratação.
3. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, para que 2a × 3b × 5c × 7d tenha
378 divisores, devemos ter:
(a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1) = 378.
Decompondo 378 em fatores primos, encontramos 378 = 2 × 33 × 7. Logo,
(a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1) = 2 × 33 × 7.
Por outro lado, como N é mı́nimo então os expoentes estão ordenados do maior
para o menor, isto é, a ≥ b ≥ c ≥ d.
Aﬁrmamos que d > 0, pois se d = 0 então a + 1, b + 1 ou c + 1 tem dois fatores
maiores do que 1. Se a + 1 = mn com m ≥ n > 1 temos que
2a = 2mn−1 = 2m−1 2mn−m = 2m−1 (2m )n−1 ≥ 2m−1 8n−1 > 2m−1 7n−1 ,
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OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 1
onde na penúltima desigualdade usamos o fato que m ≥ 3. Assim, temos
que 2a 3b 5c 7d > 2m−1 3b 5c 7n−1 , logo encontramos um número com a mesma
quantidade de divisores, mas menor. A prova é igual no caso em que b + 1 tem
dois fatores ou c + 1 tem dois fatores. Assim, d ≥ 1 e temos unicamente as
seguintes possibilidades
a
b
c
d
(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 378
20
2
2
1
21 × 3 × 3 × 2
13
2
2
2
14 × 3 × 3 × 3
8
6
2
1
9×7×3×2
6
5
2
2
7×6×3×3
Por último, como
27
220 · 32 · 52 · 71
> 1,
=
213 · 32 · 52 · 72
7
213 · 32 · 52 · 72
25 · 7
=
>1
28 · 36 · 51 · 71
34
e
28 · 36 · 52 · 71
22 · 3
> 1,
=
26 · 35 · 52 · 72
7
temos que o valor de N é 26 · 35 · 52 · 72 . Portanto, a = 6, b = 5, c = 2 e d = 2.
4. O produto dos algarismos
(a) Como 12 = 2 × 6 = 4 × 3 = 2 × 2 × 3, devemos utilizar os algarismos
1 , 2 , 3 , 4 e 6 cujos produtos sejam 12. Assim temos:
• números com 2 algarismos: 26, 62, 34, 43
• números com 3 algarismos:
– com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612, 621
OBMEP 2007
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Nı́vel 1
Soluções da Lista 1
– com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413, 431
– com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232, 322.
(b) Se P (n) = 0, então o produto de seus algarismos é igual a zero, logo pelo
menos um dos algarismos do número n é zero. Temos 19 números com zero
só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100,
totalizando 29 números:
0 , 10 , 20 , . . . , 90 , 110, . . . , 190 , 101, 102, . . . , 109 .
0 só nas unidades
0 só nas dezenas
(c) Queremos encontrar os números menores do que 200, cujo produto de seus
algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um
desses números porque 5 × 8 = 40.
Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto de seus algarismos sejam 38, 39, 41, 43 e 44 porque esses números não podem ser escritos
como produto de dois ou três algarismos. Restam, então: 40 e 42. Vejamos as
possibilidades:
• números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 40: 58, 85,
158 e 185
• números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 42: 67, 76,
167 e 176
(d) O número é 249 = 2 × 4 × 9 = 72.
5. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele vai
gastar 6 × 2, 80 = 16, 80 reais, que é mais caro do que comprar uma caixa com
seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possı́vel de caixas. Para
ter pelo menos 22 garrafas, ele pode comprar 4 caixas e gastará 60 reais, ou
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OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 1
comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará 3 × 15 +
4 × 2, 80 = 56, 20 reais, que é o mı́nimo possı́vel.
6. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado e tem 16m2 de área, então
suas dimensões são 4 m por 4 m. Da mesma forma, as dimensões do quintal
são 2 m por 2 m.
Agora, a sala tem 24 m2 e uma das
dimensões é a mesma que a dimensão
do quarto, isto é 4 m, logo a outra dimensão da sala é 6 m. Assim, as dimensões totais da casa são 10 m por
6 m e a área total da casa é 60 metros
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4
6
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Quarto
Sala
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.... Quintal
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Cozinha
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2
quadrados. Logo, a área da cozinha é
60 − 16 − 24 − 4 = 16 m2 .
7. Passeio do Matias - Primeiro observamos que temos 12 quadras de 100
metros entre os 4 quarteirões. Além disso, entre os quatro quarteirões temos 4
esquinas nas quais chegam 3 quadras e que estão marcadas com no desenho.
Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair,
logo usamos 2 das quadras em cada passada e, no momento que chegamos de
novo, temos que parar.
Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo caminho que tracemos tem pelo menos duas esquinas em que não usamos todas as quadras que chegam
à esquina mencionada. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 quadras. Na
ﬁgura desenhamos um dos trajetos máximos.
OBMEP 2007
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6
6
?
r
-
P
7
Nı́vel 1
Soluções da Lista 1
8. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em
qualquer lugar, então temos 6 possı́veis formas de escolher a posição desse
quadrado. Entre os 5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo,
o que podemos fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são
pintados de verde. Portanto, o prefeito tem 6 × 10 = 60 formas diferentes de
escolher o adesivo.
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OBMEP 2007
Lista 2
Nı́vel 1
Lista 2
1. Adição de números - Qual é o algarismo a em
a000 + a998 + a999 = 22997 ?
2. Cubo perfeito e divisibilidade - Quais os cubos perfeitos que dividem 94 ?
3. Localizando pontos - Qual é o ponto indicado no diagrama?
↓
18
19
20
4. Calculando porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta
58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos?
5. Comparando algarismos - Um número se chama ascendente se cada um
de seus algarismos é maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por
exemplo, 2568 é ascendente e 175 não. Quantos números ascendentes existem
entre 400 e 600?
6. Muro colorido - O muro da ﬁgura é construı́do com 14 tijolos nas cores
amarelo, azul e vermelho e tal que dois tijolos que se tocam são de cores
diferentes. Os preços dos tijolos são dados na tabela. Qual o menor preço que
se gastará na compra dos tijolos para construir esse muro?
OBMEP 2007
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Nı́vel 1
tijolo
R$
amarelo
6
azul
7
vermelho
8
Lista 2
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7. Divisores e fatoração - Decompor 96 em dois fatores cuja soma dos quadrados seja 208.
8. Brincando com áreas - Luı́s desenhou um retângulo de 6cm por 10cm e
quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente,
8cm2 , 12cm2 , 16cm2 , 24cm2 . Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
10
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 1
Soluções da Lista 2
1. Adição de números - Efetuando a adição
a1 000
a 998
+
a 999
................................................................
997
encontramos 997 = 22997, onde = a + a + a + 1.
Logo, 22 = a + a + a + 1. Assim, a = 7.
2. Cubo perfeito e divisibilidade - Um cubo perfeito é um número da forma
a3 , onde a é um natural. Como 94 = (32 )4 = 38 , os cubos perfeitos que dividem
38 são: 33 e (32 )3 = 36 .
3. Localizando pontos - O ponto indicado está 4 marcas à direita de 19. Entre
18 e 19 e entre 19 e 20 são feitas subdivisões em 10 partes iguais, logo cada
marca equivale a 0, 1 nessa escala. Assim, o ponto indicado é 19, 4.
↓
18
19
20
4. Calculando porcentagem - Temos 58 acertos em 84 questões, logo a razão
de acertos é
58
.
84
Dividindo 58 por 84 encontramos 0, 69047 com aproximação.
Logo, o percentual é aproximadamente 69, 047%.
OBMEP 2007
11
Nı́vel 1
Soluções da Lista 2
5. Comparando algarismos - Os números que estamos procurando são maiores do que 400 e menores do que 600, logo o algarismo das centenas é 4 ou 5.
Como são números ascendentes, o algarismo das dezenas tem que ser menor
do que o algarismo das unidades. Vejamos como escolher os algarismos das
dezenas e das centenas.



56




 57
4


58




 59
;



67


4
68



 69



67


5
;
68



 69
;

 78
4
 79

 78
5
 79
;
4
89
;
5
89
Logo, temos 10 números ascendentes com 4 como algarismo das centenas e 6
números ascendentes com 5 como algarismo das centenas; no total temos 16
números ascendentes.
6. Muro colorido - Observamos que no momento que ﬁxamos a cor de dois
tijolos vizinhos, então a cor de todos os tijolos ﬁca ﬁxa. Assim, os tijolos
marcados por A, B ou C na ﬁgura têm que ter a mesma cor.
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B
A
A
C
B
A
C
B
A
C
A
C
B
A
Como a maior quantidade de tijolos está marcada com A, 6 no total, então
tais tijolos são amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos
12
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 1
B e C, 4 de cada tipo, logo temos que pintar 4 tijolos de azul e 4 de vermelho.
Assim, o menor preço na compra dos tijolos é
6 × 6 + 4 × 7 + 4 × 8 = 96 reais.
7. Divisores e fatoração - Como o produto dos dois números é 96, eles são
divisores de 96. Decompondo 96 em fatores primos, encontramos 96 = 25 × 3,
logo seus divisores são:
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 32 , 48 , 96.
Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 não servem pois seus quadrados já são maiores
do que 208. Sobram
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12
cujos quadrados são:
1 , 4 , 9 , 16 , 36 , 64 , 144.
Agora vemos que a única possibilidade é 64 + 144 = 208. Como 8 × 12 = 96,
os números são 8 e 12.
8. Brincando com áreas - Faremos a divisão com retângulos. Observamos
que 24 = 6 × 4 e 12 = 6 × 2, logo ele pode fazer um primeiro corte a 4 cm
no lado de 10cm e outro corte a 2 cm do corte anterior. Depois de tais cortes,
ﬁcamos uma cartolina de tamanho 6 × 4. Por último, como 16 = 4 × 4, basta
fazer um último corte a 4 cm no lado de 6 cm. Os cortes estão ilustrados na
seguinte ﬁgura.
4
6
24
2
4
16
4
8
2
12
OBMEP 2007
13
Nı́vel 1
Lista 3
Lista 3
1. Comparação de números - Escreva em ordem crescente os números:
√
√
3
729 e 4 38416.
√
121,
2. As moedas - Uma brincadeira começa com 7 moedas alinhadas em cima de
uma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeira
é preciso virar algumas moedas de modo que no ﬁnal duas moedas vizinhas
estejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeira
é: em cada jogada tem-se que virar duas moedas vizinhas. Quantas jogadas,
no mı́nimo, são necessárias para ganhar a brincadeira?
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coroa coroa coroa coroa coroa coroa coroa
3. O preço do frango - O preço do quilo de frango era R$1, 00 em janeiro de
2000 e começou a triplicar a cada 6 meses. Quando ele atingirá R$81, 00?
(a) 1 ano
(b) 2 anos
(c) 2 1/2 anos
(d) 13 anos
(e) 13 1/2 anos
4. Excursões a Foz do Iguaçu - Em 2005, uma agência de turismo programou
uma excursão para a Foz do Iguaçu, distribuindo as pessoas em ônibus de 27
lugares, tendo sido necessário formar um ônibus incompleto com 19 lugares.
Em 2006, aumentou em 53 o número de participantes e continuou a utilizar
ônibus de 27 de lugares. Quantos ônibus a mais foram necessários e quantas
pessoas ﬁcaram no ônibus incompleto em 2006?
14
OBMEP 2007
Lista 3
Nı́vel 1
5. As frações de Laura -
Laura desenhou 5
cı́rculos dentro dos quais ela quer colocar números.
m
+
Ela coloca os cı́rculos aﬁm de formar uma fração e
m
+
m
..............................................................................................................
m
= m
seu valor inteiro.
De quantas maneiras Laura colocou os números 2, 3 , 5 , 6 e 11 dentro dos
cı́rculos para que a igualdade seja verdadeira?
6. Cálculo da unidade - Qual é o algarismo da unidade do produto
(5 + 1)(53 + 1)(56 + 1)(512 + 1) ?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 5
(e) 6
7. Números cruzados - Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela 6 × 6 e
pintou de preto algumas casas, como nas palavras cruzadas. Ele fez uma lista
de todos os números que podem ser lidos horizontalmente ou verticalmente,
excluindo os números de um só algarismo. Veja a lista:
28
45
51
57
72
88
175
289
632
746
752
805
885
5647
5873 7592
8764
Preencha a tabela escrevendo os números dados. Um algarismo já foi colocado.
2
OBMEP 2007
15
Nı́vel 1
Lista 3
8. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o
mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu 10% e o da maçã
subiu 2%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10
maçãs?
(a) 2%
16
(b) 4%
(c) 10%
(d) 12%
OBMEP 2007
(e) 12, 2%
Soluções da Lista 3
Nı́vel 1
Soluções da Lista 3
1. Comparação de números - Fatorando os números e extraindo as raı́zes
temos:
√
121
=
112
= 11
√
√
3
3
729
=
93
= 9
√
√
4
38416 = 4 24 × 74 = 2 × 7 = 14.
√
Logo, em ordem crescente temos:
√
3
√
√
729, 121, 4 38416.
2. As moedas - Se damos o valor de 1 às coroas e −1 às caras e somamos
os resultados depois de cada jogada, inicialmente a brincadeira começa com 7
como soma e temos que chegar a cara e coroa alternadas, logo a brincadeira
termina em 1 ou -1. Observamos que em cada passo da brincadeira temos
as seguintes possibilidades: trocamos duas coroas por duas caras e o valor da
soma diminui em 4; trocamos uma cara e uma coroa por uma coroa e uma
cara e o valor da soma ﬁca inalterado ou trocamos duas caras por duas coroas
e o valor da soma aumenta em 4. Portanto, é impossı́vel de 7 como soma
inicial chegar a 1, mas é possı́vel chegar a −1, isto é, 4 caras e 3 coroas. Como
precisamos obter 4 caras não consecutivas, então precisamos de pelo menos 4
jogadas. As 4 jogadas se ilustram no seguinte desenho:
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.....coroa ....
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.....coroa ....
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.....coroa ....
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.....coroa ....
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.....coroa ....
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.... cara ....
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....coroa ....
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....coroa ....
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....coroa ....
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....coroa ....
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.... cara ...
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.... cara ...
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....coroa ...
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....coroa ...
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.... cara ...
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..... cara ....
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..... cara ....
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..... cara ....
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..... cara ....
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..... cara ....
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.... cara ....
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OBMEP 2007
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.... cara ...
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17
Nı́vel 1
Soluções da Lista 3
3. O preço do frango - Como 81 = 34 , então o valor do franco triplicou 4
vezes, o número de meses transcorridos foi 4 × 6 = 24 meses, isto é, 2 anos, ou
seja, em janeiro de 2002 o frango atingirá o preço proposto. A opção correta
é (b).
4. Excursões a Foz do Iguaçu - Temos um ônibus com 27 − 19 = 8 lugares
livres e ainda precisamos acomodar os 53 − 8 = 45 participantes em ônibus
de 27 lugares. É claro que um ônibus não é suﬁciente, logo precisamos de 2
ônibus e vamos ter 2 × 27 − 45 = 9 lugares livres no último ônibus. Ficaram
18 pessoas no ônibus incompleto.
5. As frações de Laura - Como a fração é igual a um número inteiro, o seu
numerador tem que ser um múltiplo do seu denominador. Vamos testar todas
as possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do problema:
3 + 11 + 6
5 + 11 + 6
3+5+6
= 7;
= 10 ;
= 11 −→ não satisfazem
2
2
2
2 + 5 + 11
= 6 −→
3
satisfaz
3 + 6 + 11
= 4 −→
5
não satisfaz
2 + 5 + 11
= 3 −→
6
satisfaz
2+3+6
= 1 −→
11
não satisfaz.
Assim temos duas respostas:
+ 11m
2m+ 5m
= 6m
3m
..............................................................................................................
18
OBMEP 2007
+ 11m
2m+ 5m
= 3m
6m
..............................................................................................................
Soluções da Lista 3
Nı́vel 1
6. Cálculo da unidade - O algarismo da unidade de qualquer potência de 5 é
5, segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto é 5+1 = 6. Mas,
6 × 6 = 36, ou seja, o produto de dois números terminados em 6 é também
um número que termina em 6. Logo, o algarismo da unidade desse produto é
6. A opção correta é (e).
7. Números cruzados 7 5
8
5 7
6 3
4
7 5
2
8 5
1
2
8 7
9 2
8 8
0
7 5
4
6 4
5
8. Ovos e maçãs - Suponhamos, inicialmente, que uma dúzia de ovos custava
R$ 1, 00. Assim, 10 maçãs também custavam R$ 1, 00. Como o preço dos ovos
subiu 10%, o novo valor dos ovos é R$ 1, 10. O preço das maçãs diminuiu 2%,
logo o novo preço das maçãs é R$ 0, 98.
Assim, antes gastava-se 2 reais na compra de 1 dúzia de ovos e 10 maçãs, agora
gasta-se 1, 10 + 0, 98 = 2, 08. Daı́ temos que o aumento foi de R$ 0, 08, que
corresponde ao percentual:
0, 08
4
= 0, 04 =
= 4%.
2
100
A opção correta é (b).
OBMEP 2007
19
Nı́vel 1
Lista 4
Lista 4
1. Divisão de números decimais - Sabendo que 144×177 = 25488 podemos
concluir que 254, 88 ÷ 0, 177 é igual a
(a) 1440
(b) 14, 4
(c) 1, 44
(d) 0, 144
(e) 144
2. Cálculo de porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84
das questões, então qual é o seu percentual de acertos?
3. Almoço dos amigos - Júlio e
Denise almoçaram num restaurante
que oferece três tipos de prato e
três tipos de vitamina, cujos preços
R$
prato simples
7
prato com carne
11
prato com peixe
14
vitamina de leite
6
vitamina de frutas
7
vitamina especial
9
estão na tabela ao lado. Cada um
escolheu um prato e uma vitamina.
Júlio gastou 6 reais a mais do que
Denise. Quanto Denise gastou?
4. Adição de inteiros positivos - Encontre quatro números inteiros distintos
e maiores do que 0 tais que somados de três em três dão 6, 7, 8 e 9.
5. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um
caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas doze árvores com 5 m de distância entre
duas consecutivas. Jorge brinca de tocar cada
árvore durante seu passeio.
P
u
u
u
u
u
.......................................................................................................................................................................................
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u
u
u
u
u
u
u
Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com P na ﬁgura, e percorre 32
metros num mesmo sentido; aı́ ele volta 18 metros e depois torna a andar para
frente mais 22 metros. Em quantas árvores ele tocou?
20
OBMEP 2007
Lista 4
Nı́vel 1
6. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99
foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649 . . .. Qual é
o algarismo que ocupa a 100a posição? (As posições são contadas da esquerda
para a direita: a 1a posição é o 1, a 2a é o 4, etc.)
7. OBMEP - Cada um dos 7 discos X, Z, O, B, M, E, P tem um peso diferente,
de 1 g a 7 g. Nas interseções dos discos indicamos a soma dos pesos desses dois
discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos O, B, M, E, P ?
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X
M
13
Z
O
6
B
9
P
6
E
8. Prédio misterioso - As ﬁguras mostram as plantas do 1o e 2o andares de
um prédio que guarda segredos muito perigosos. Os 9 elevadores estão representados por letras e em cada letra podemos pegar o elevador ou continuar.
Qual o caminho mais curto da entrada até a saı́da?
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
A B qqqq C qqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
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qq F qqq G qqqq H qqqq
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q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq J
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
entrada
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qq
A qqq B C qqqq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqq
qq
q
qq D
E qqqq
qq
qq
qq
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q
q
q
q
q
q
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q
q
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q
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q
q
qq F qq G q H qqq
qq
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq J
saı́da
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
OBMEP 2007
21
Nı́vel 1
Soluções da Lista 4
Soluções da Lista 4
1. Divisão de números decimais - Efetuando a divisão temos:
254880
144 × 177 × 10
254, 88
=
=
= 1440.
0, 177
177
177
2. Cálculo de porcentagem - A divisão de 58 por 84 é: 58 ÷ 84 = 0, 69047...
Multiplicando por 100 temos que o percentual de acertos é 0, 69047 × 100 =
69, 047%, que é aproximadamente 69%.
3. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são:
14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 20 , 21 , 23
13 , 7+6
7+7
7+9
11+6
11+7
11+9
14+6
14+7
14+9
Dentre esses, os que diferem de 6 são: 14 e 20 ou 17 e 23. Logo, temos duas
soluções: Denise pode gastar 7 + 7 = 14 e Júlio 14 + 6 = 11 + 9 = 20 ou Denise
gasta 11 + 6 = 17 e Júlio 14 + 9 = 23.
4. Adição de inteiros positivos Solução 1 - Inicialmente observe que se a maior soma de três desses números
é 9, então todos os números têm que ser menores do que 7, ou seja:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6.
Por outro lado, se a menor soma é 6, então eles têm que ser menores do que
5, logo restam:
1 , 2 , 3 , 4.
22
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 1
Veriﬁcamos que esses são os números:
1 + 2 + 3 = 6 , 1 + 2 + 4 = 7 , 1 + 3 + 4 = 8 , 2 + 3 + 4 = 9.
Solução 2 - Somando de três em três quatro números a, b, c e d temos os
números a + b + c, a + b + d, a + c + d e b + c + d. Logo,
6 + 7 + 8 + 9 = (a + b + c) + (a + b + d) + (a + c + d) + (b + c + d) = 3(a + b + c + d).
Donde, a + b + c + d =
10 − 6 = 4 ;
30
3
= 10. Portanto, os números procurados são
10 − 7 = 3 ;
10 − 8 = 2 ;
10 − 9 = 1.
5. O passeio do Jorge - As ﬁguras ilustram o percurso que Jorge fez:
• caminhando 32 m no inı́cio, ele toca em 7 árvores e pára a 2 m da última
que tocou;
• voltando 18 m, ele toca em 4 árvores e pára a 1 m da última que tocou;
• ao retornar os 22 m ele toca em 5 árvores e pára a 1 m da última que
tocou.
- ........- .......P
....s
..............................s
......................s
...............................s
.........................s
..
.
.
.....
....
....
....
...
....
...
....
....
....
....
....
....
...
....
...
................................................................................................................................
s
s
s
- ...........P
....s
..............................s
..............................s
...............................s
.....................s
..
s
s
⇑
.
.
.....
....
....
....
...
....
...
....
....
....
....
....
....
...
....
...
................................................................................................................................
s?
s
.......
P
....s
..............................s
..............................s
...............................s
.........................s
..
s ⇓ s?
s
s
s
6
s
6
s
s
-
.
.
.....
....
....
....
...
....
...
....
....
....
....
....
....
...
....
...
................................................................................................................................
s
s?
s
s ⇓s
s?
Assim, ele tocou em 7 + 4 + 5 = 16 árvores.
6. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm
1, 2 e 3 algarismos temos:
1 algarismo:
1, 2, 3
2 algarismos: 4, 5, 6, 7, 8, 9
3 algarismos: 10, 11, 12, . . . , 31
OBMEP 2007
23
Nı́vel 1
Soluções da Lista 4
Até 312 a seqüência tem 3 + 12 + 66 = 81 algarismos.
12 , 22 , 32 , 42 , . . . , 92 , 102 , . . . , 312
1×3 algs
2×6=12 algs
3×22=66 algs
Assim, faltam 100 − 81 = 19 algarismos para o 100o . Como 19 = 4 × 4 + 3,
teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são 322 , 332 , 342 e 352 ,
e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número: 362 = 1296.
9 6
12 , 22 , 32 , 42 , . . . , 92 , 102 , . . . , 312 , 322 , 332 , 342 , 352 , 12 o
1×3 algs
2×6=12 algs
3×22=66 algs
4×4=16 algs
100 alg
Logo, o número é 9.
7. OBMEP - Como
peso de X + peso de O = 13
e
peso de Z + peso de O = 9,
segue que
peso de X = peso de Z + 4.
Logo, as opções para os pesos de Z e de X são:
1e5 ,
2e6 ,
3 e 7.
Por outro lado, temos:
peso de M + peso de P = 6
e
peso de B + peso de E = 6 .
Logo, os pesos de M, P, B e E são todos menores do que 6, ou seja:
1 , 2 , 3 , 4 , 5.
Além disso, nenhum deles pode ter peso 3 g.
Concluı́mos que os pesos de Z e de X são 3 e 7, o que nos dá o peso de O
igual a 6. Assim, temos:
peso de O + peso de B + peso de E + peso de M + peso de P = 6 + 6 + 6 = 18.
24
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 1
8. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores A, C, D, E,
F e H conduzem a quartos fechados em algum dos dois andares e, portanto,
não levam à saı́da. Assim, desconsiderando os elevadores mencionados, nosso
desenho de elevadores úteis é o seguinte
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qq
qq
B qqqq
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq G qqq
qq
qq
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq J
q
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
entrada
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq B
qq
qq
q
qq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qq
qq
qq G qq
qq
qq
qq
qq
qq
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
qq
qq J
saı́da
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
Assim, o caminho adequado ﬁca evidente: primeiro pegar o elevador B, depois
o J e por último o G.
OBMEP 2007
25
Nı́vel 1
Lista 5
Lista 5
1. Soma de frações - Qual é o valor de
1
1
1
1
−
+
−
?
10 100 1000 10000
2. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ﬁcando
com
27
25
de livros. O número de livros antes da compra, é:
(a) 1750
(b) 2500
(c) 2780
(d) 2140
(e) 1140
3. Comparação de frações - Quantas frações menores do que 1 existem, tais
que o numerador e denominador são números naturais de um algarismo?
4. Divisão com resto - Quantos são os números que ao dividir 2007 deixam
resto 5?
5. Panelas - Uma panela pesa 645 g e outra 237 g. José divide 1 kg de carne
entre as duas panelas, de modo que as duas com seus conteúdos ﬁcam com o
mesmo peso. Quanto ele colocou de carne em cada panela?
6. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão
Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ﬁcou errada.
Troque a posição de dois dominós para que a multiplicação ﬁque correta novamente.
26
OBMEP 2007
Lista 5
Nı́vel 1
........................t..............................
.. t ...
...
.
... t ....
t ...
...
.. t
.
................................................
.................................t........t........t.....
..
...
...
.
... t ....
... t t t.....
..
................................................
......................................................
...
..
t ..
... t .... t ....
..
.
.
...................................................
.......t....................
.
..
.. t ...
.
t.
.................................t................t..... ........t................t.....
.
.
... t t ..
.. t .... ... t t...
...
.. t t .. t t.. .. t t..
..................................................... ...........................
3212
× 3
.............................................................
16456
7. Código secreto - Antônio tem que descobrir um código de 3 algarismos
diferentes A B C. Ele sabe que B é maior que A, que A é menor do que C e
ainda:
.....................................................
.
.
.
.....................................................
...
...
...
....
..
..
......................................................
.....................................................
.
.
.
.............................................................................
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
B B + ..............A
. A ... + .... C ..... C .... = ..... 2 .... 4 .... 2 ....
...........................................
..............................................
....................................................................
..............................
....
....
..
...
.........................
............................
.............................................................................
............................
.
.
.
.
.
.
.....
....
....
...
...
...
B ×.................A
0.......
.. ×.... C .... = .... 3 .... 6 ....
.......................................................................
........................
.................
Qual é o código que Antônio procura?
8. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a ﬁgura.
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro
desses pontos?
OBMEP 2007
27
Nı́vel 1
Soluções da Lista 5
Soluções da Lista 5
1. Soma de frações Solução 1: Transformando as frações em números decimais temos:
1
1
1
909
1
−
+
−
= 0, 1 − 0, 01 + 0, 001 − 0, 00001 = 0, 0909 =
.
10 100 1000 10000
10000
Solução 2: Efetuando temos:
1
1
1
1000 − 100 + 10 − 1
909
1
−
+
−
=
=
.
10 100 1000 10000
10000
10000
2. Biblioteca - Ao comprar 140 livros a biblioteca ﬁcou com
livros, logo 140 corresponde a
2
25
27
25
do número de
dos livros da biblioteca. Logo, temos:
2
−→ 140
25
1
−→ 140 ÷ 2 = 70
25
25
−→ 70 × 25 = 1750.
25
A opção correta é (a).
3. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1, o
numerador tem que ser menor do que o denominador. As frações são:
1
2
1
2
• com denominador 3:
e
3
3
2
3
1
,
e
• com denominador 4:
4
4
4
• com denominador 2:
1/2
28
OBMEP 2007
Soluções da Lista 5
Nı́vel 1
2
3
4
1
,
,
,
5
5
5
5
1
3
4
5
2
• com denominador 6:
,
,
,
,
6
6
6
6
6
• com denominador 5:
1/3
1/2
2/3
2
3
4
5
6
1
,
,
,
,
,
7
7
7
7
7
7
1
3
5
7
2
4
6
• com denominador 8:
,
,
,
,
,
,
8
8
8
8
8
8
8
• com denominador 7:
1/4
• com denominador 9:
1/2
3/4
1
4 5
7
2
3
6
8
,
,
,
,
,
,
,
9
9
9
9 9
9
9
9
1/3
2/3
Temos então 27 frações.
4. Divisão com resto - Se um número ao dividir 2007 deixa resto 5, então
esse número é um divisor de 2007 − 5 = 2002. Logo, temos que calcular os
divisores de 2002:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
1
2002 2 2
1001 7 7 , 14
143 11 11 , 22 , 77 , 154
13 13 13 , 26 , 91 , 182 , 143 , 286 , 1001 , 2002
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
Logo, os números que ao dividirem 2007 deixam resto 5 são:
1, 2, 7, 11, 13, 14, 22, 26, 77, 91, 143, 154, 182, 286, 1001, 2002
5. Panelas - Convertendo quilo para gramas temos que 1 kg = 1 000 g. As duas
panelas mais a carne pesam juntas
645 + 237 + 1 000 = 1 882 g.
OBMEP 2007
29
Nı́vel 1
Soluções da Lista 5
Logo, cada panela mais o seu conteúdo de carne deve pesar 1882 ÷ 2 = 941 g.
Logo, José colocou em cada panela, respectivamente,
941 − 645 = 296 g e 941 − 237 = 704 g
.
6. Dominós - Dado que 2 × 3 = 6, suporemos por enquanto que os dominós
q qq
.................................................
...
...
...
...
...
....
...
...
.
.................................................
e
q qqq
qq qqq
.................................................
...
...
...
...
...
....
...
...
.
.................................................
estão na posição certa. Caso isso seja verdade, dado que
1 × 3 = 3 temos que o algarismo na dezena do resultado é três, logo temos que
trocar o dominó
q q
.................................................
...
...
...
...
...
....
...
...
.
.................................................
qq
q
pelo dominó
q q qqq
q q q q,
.................................................
...
...
...
...
...
....
...
...
.
.................................................
de tal forma que o 3 ﬁque na
dezena. Dado que temos um 2 na centena do resultado, então na centena do
primeiro número tem que ter um 4. Assim, o produto certo ﬁca da forma
............................................................
..
...
t ....
... t ....
...
... t
...
..
........................................................
.......t.......................
.
..
.. t ...
.
..
t...
..
.......................................................t...... .......t..................t.....
. .
... t
...
..
...
... t .... ... t
t..
...
. .
.
.
........................t..............t........................ ........t..................t......
........t..................t..................................
t ..
...
.. t
...
... t ....
.
.
... t
.. t
t ....
t
........................................................
.....................................t.........t.........t.....
...
...
.
..
.. t ....
...
.
...
..
.. t t t....
......................................................
5412
× 3
.....................................................................
16236
7. Código secreto - A única maneira de obter 360 como produto de três
números de um algarismos cada um é
360 = 9 × 8 × 5 .
Logo, a soma AA + BB + CC é igual a 55 + 88 + 99. Como A é menor do
que B e do que C , temos que A = 5. Logo, temos duas possibilidades para o
código: 589 ou 598.
30
OBMEP 2007
Soluções da Lista 5
Nı́vel 1
8. Os doze pontos - No total, temos 11 possı́veis quadrados como mostrado a
seguir.
5 quadrados
....s
......................s
...
...
...
...
...
...
.
.
s
s
....................................................s
......................s
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....s
.........................s
.........................s
......................s
....
....
...
...
...
.
..s
......................s
4 quadrados
s
s
s
s
s
s
s
s
....
.....
..... ..... ..... .....
..... ................. .........
.....
.....
.. ..
.....
.....
..... ..........
.
.
.
.
.
........
..... ................. ................. .........
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ........ ........ ........ ........ .........
.
.
.
.
..
........
....
........
..... ...........
.....
....
.... ....
.....
.....
..... ................. .........
..... ..... ..... .....
.......
.......
s
s
OBMEP 2007
s
s
2 quadrados
s
s
s
s
s
s
s
s
............................
... ..............................
...........
..........
........
.............
...............
... ...
......
....
....
.
..
. ..
.
.....
.
.. ........
..............
.
.
..........
.........
.
...........
.
.
.
.
... ..............................
............ .............
s
s
s
s
31
Nı́vel 1
Lista 6
Lista 6
1. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano)
e as horas (horas e minutos) como na ﬁgura. Que dia, mês e ano esses mesmos
10 algarismos da ﬁgura voltarão a aparecer juntos no relógio pela primeira
vez?
............................................................
...........
..............
..........
.........
.........
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
......
....
.
.
.
......
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....
...
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.............................................
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.
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...
...
.....
.....
....
....
...
...
...
....
....
...
...
..
....
....
...
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
...
.....
.....
.....
.....
...
...
....
..
....
..
....
...
................................................
.........................................
....
...
....
....
.
.
....
....
.....
...
......
......
.......
......
.......
.......
.
.
.
.
.........
.
.
.......
..........
.............
..........
.................................................................
28 05 94
14 h 00
2. Lápis - Em 13 caixas foram embalados 74 lápis. Se a capacidade máxima de
cada caixa é de 6 lápis, qual é o número mı́nimo de lápis que pode haver em
uma caixa?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 6
3. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas
de um livro, quantas páginas tem o livro?
4. Viagem a Recife - Em meu vôo para Recife, quando fui receber a medalha
de ouro que conquistei na OBMEP, as seguintes informações apareceram na
tela da cabine de passageiros:
32
OBMEP 2007
Lista 6
Nı́vel 1
Velocidade média:
Distância do local de partida:
Tempo de chegada a Recife:
864 km/h
1 222 km
1 h 20 min
Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é, aproximadamente, a
distância de Recife à cidade onde tomei esse vôo?
(a) 2 300 km (b) 2 400 km (c) 2 500 km (d) 2 600 km (e) 2 700 km
5. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça juntos, contando
as casas que ﬁcam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em
pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a
quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas tem em volta da
praça?
6. Seqüência de figuras - As ﬁguras , ♣, ♦, ♠, ♥, 2 são repetidas na seqüência
, ♣, ♦, ♠, ♥, 2, , ♣, ♦, ♠, ♥, 2, . . .
(a) Que ﬁgura aparecerá na 1000a posição da seqüência?
(b) Em qual posição aparece o milésimo ♦?
7. A brincadeira do quadrado - Um quadrado de 1 m de lado foi cortado, com
cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de 1 mm de lado. Colocandose lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de
1 mm de largura. Qual o comprimento desse retângulo?
OBMEP 2007
33
Nı́vel 1
Lista 6
8. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número que
é o código da Arca do Tesouro que está escondido na tabela.
5
9
4
9
4
1
6
3
7
3
4
8
8
2
4
2
5
5
7
4
5
7
5
2
2
7
6
1
2
8
5
2
3
6
7
1
Para descobrir o código ele tem que formar grupos de 3 algarismos que estão
em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, cuja soma é 14. Retirados
esses grupos, o código é a soma dos números que não aparecem nesses grupos.
Qual é esse código?
34
OBMEP 2007
Soluções da Lista 6
Nı́vel 1
Soluções da Lista 6
1. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 94. Já que
com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30
sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05. O seguinte mês
possı́vel é o 08. Como precisamos da data mais próxima possı́vel, observemos
que podemos formar o dia 01 sobrando os números 0, 2, 4 e 5 para formar
a hora. A menor hora possı́vel que podemos formar com esses algarismos é
02 : 45, logo a data procurada é 1 de agosto de 1994 às 2 horas e 45 minutos.
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28 05 94
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01 08 94
14 h 00
14 h 45
=⇒
2. Lápis - Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de
lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possı́vel, pois 13 × 6 = 78, que
é maior do que o número de lápis 74. Em 12 caixas terı́amos: 12 × 6 = 72.
Assim, sobraria uma caixa com 74 − 72 = 2 lápis. Logo, a opção correta é (b).
3. Contagem - A cada 10 páginas aparece 1 nas unidades e a cada 100 páginas
aparece 10 vezes o número 1 nas dezenas.
Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo
temos:
OBMEP 2007
35
Nı́vel 1
Soluções da Lista 6
• 20 páginas entre 1-99:
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91: 10 (1 na unidade)
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19: 10 (1 na dezena)
• 120 páginas entre 100 - 199:
101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191: 10 (1 na unidade)
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119: 10 (1 na dezena)
100, 101, 102, . . . , 199: 100 (1 na centena)
• 20 páginas entre 200-299:
201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 (1 na unidade)
210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 (1 na dezena)
Até a página 299 temos 20 + 120 + 20 vezes que aparece o número 1, faltando assim apenas 171 − 160 = 11 uns, que seriam os 2 primeiros que aparecem na unidade de 301, 311 e os 9 primeiros que aparecem nas dezenas de
310, 311 , 312 , 313 , 314 , 315 , 316 , 317 , 318. Logo, o livro tem 318 páginas.
4. Viagem a Recife - No momento em que a informação foi dada, o tempo que
faltava de vôo era de 1h 20 min, ou 4/3 h. Logo, nesse momento, a distância
a Recife era de 864 × 43 = 1 152 km. Desde que estávamos a 1 222 km da cidade
de partida, a distância entre essa cidade e Recife é de 1 152 + 1 222 = 2 374 km.
Dentre as opções, a mais próxima é 2 400 km, ou seja, a opção (b).
5. Praça - Como a 5a casa da Maria é a 12a casa do João, a diferença entre as
contagens é de 7 casas. Assim, a 1a casa da Maria é a 8a casa do João e a 5a
casa do João corresponde a duas casas antes da casa que a Maria começou a
contar. Mas, como a 5a casa do João é a 30a da Maria, então a praça tem 32
36
OBMEP 2007
Soluções da Lista 6
Nı́vel 1
casas: as 30 casas que Maria já contou mais as 2 casas que faltam para Maria
chegar ao ponto onde começou a contar.
6. Seqüência de figuras - As ﬁguras se repetem de 6 em 6. Dividindo 1000
por 6 temos: 1000 = 6 × 166 + 4.
1000o
996o
, ♣, ♦, ♠, ♥, 2, . . . , , ♣, ♦, ♠, ♥, 2 , , ♣, ♦, ♠ , ♥, 2, . . .
1o grupo de 6
166o grupo de 6
(a) A ﬁgura que ﬁca em 1000o lugar é ♠.
(b) O primeiro ♦ está na 3a posição, o segundo na posição de número 3 + 6,
o terceiro em 3 + 6 + 6, e assim por adiante, como indicado a seguir:
1o
−→
3+0×6
2o
−→
3+1×6
3o
−→
3+2×6
4o
..
.
−→
3+3×6
1000o −→ 3 + 999 × 6
Logo, o 1000o ♦ aparece na posição: 3 + 999 × 6 = 5997.
7. A brincadeira com o quadrado Solução 1 - Convertendo metros em milı́metros temos: 1 m = 1000 mm.
Assim, o quadrado ﬁcou dividido em 1000 × 1000 = 106 quadradinhos de lado
1 mm cada um. Colocando-se lado a lado os 106 quadradinhos, teremos um
retângulo de comprimento
1 + 1 +· · · + 1 = 106 × 1 = 106 mm
106 parcelas
OBMEP 2007
37
Nı́vel 1
Soluções da Lista 6
.
Solução 2 - O quadrado tem área igual 1 m2 = 106 mm2 . A área ∆ do
retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo é = 1 mm
temos que o comprimento c em milı́mitros é
c=
∆
106
=
= 106 mm.
1
8. O código da Arca do Tesouro - Nas seguintes duas tabelas mostramos
unicamente os números cuja soma é 14, horizontalmente e verticalmente, respectivamente.
7
8
2
9
4
3
4
9
4
7
7
1
6
5
2
1
6
7
1
1
3
4
8
2
5
5
7
5
7
5
2
6
1
2
5
3
6
7
Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que
sobrevivem são:
5
4
6
4
8
2
Portanto, a soma dos números que ﬁcam é 5 + 4 + 6 + 4 + 8 + 2 = 29.
38
OBMEP 2007
Lista 7
Nı́vel 1
Lista 7
(0, 2)3 + 1
1. Operações com decimais - Efetue
0, 2 + 1
2. Fatores inteiros - Decompor 96 em dois fatores inteiros cuja soma dos
quadrados seja 208.
3. Divisibilidade - No número 6a78b, a é o algarismo da unidade de milhar e
b é o algarismo da unidade. Se 6a78b é divisı́vel por 45, então o valor de a + b
é:
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8
(e) 9
4. Número simples - Um número inteiro positivo é denominado simples se
ele tem apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números simples
existem inferiores a um milhão?
5. O retângulo do Luı́s - Luı́s desenhou um retângulo de 6 cm por 10 cm, e
quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte tem área, respectivamente, 8 cm2 ,
12 cm2 , 16 cm2 , 24 cm2 . Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
6. Venda de TV - O gerente de uma loja foi veriﬁcar qual tinha sido o preço
de venda em 2006 de uma televisão da marca VejoTudo. Encontrou uma
fatura meio apagada, onde se lia: “lote de 72 TV’s da VejoTudo vendido
por R$ . . . 679 . . . reais”, onde os algarismos da unidade e da dezena de milhar
estavam ilegı́veis. Qual foi o preço de venda em 2006 de cada uma dessas
televisões?
OBMEP 2007
39
Nı́vel 1
Lista 7
7. Chocolate - Henrique comprou barras de chocolate por R$1, 35 cada uma.
Ele pagou com uma nota de R $10, 00 reais e recebeu de troco menos do que
R $1, 00. Quantas barras ele comprou?
40
OBMEP 2007
Soluções da Lista 7
Nı́vel 1
Soluções da Lista 7
1. Operações com decimais - Temos:
(0, 2)3 + 1
0, 008 + 1
1, 008
=
=
= 0, 84
0, 2 + 1
1, 2
1, 2
2. Fatores inteiros - No Exercı́cio 7 da Lista 2, encontramos os fatores positivos 8 e 12. As duas possibilidades são: 8 e 12 ou −8 e −12.
3. Divisibilidade - O número é divisı́vel por 5 e 9.
Todo número divisı́vel por 5 termina em 0 ou 5. Assim, b = 0 ou b = 5.
Todo número divisı́vel por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número
múltiplo de 9.
Logo, temos que 6 + a + 7 + 8 + 0 = 21 + a ou 6 + a + 7 + 8 + 5 = 26 + a
são múltiplos de 9. Donde, a = 6 ou a = 1, respectivamente. Daı́ temos:
a + b = 6 + 0 = 6 ou a + b = 1 + 5 = 6.
4. Número simples - Se o número é menor do que um milhão, então ele tem 6
algarismos. Para cada posição deste número temos duas possibilidades: 1 ou
2. Como são 6 posições temos 26 = 64 números simples.
5. O retângulo do Luı́s - Como 24 = 4 × 6, então ele construiu o primeiro
retângulo, tirando 4 cm do lado de 10 cm, sobrando um quadrado de lado
6 cm. Sendo 16 = 4 × 4, ele construiu um quadrado de lado 4 cm sobrando
dois retângulos de áreas (6 − 4) × 4 = 8 cm2 e (6 − 4) × 6 = 12 cm2 , como, por
exemplo, a divisão mostrada na ﬁgura ao lado.
OBMEP 2007
41
Nı́vel 1
4
4
2
Soluções da Lista 7
2
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4
6
6
4
6. Venda de TV - Sejam a o algarismo da dezena de milhar e b o da unidade.
Como o número é divisı́vel por 72 = 8 × 9 temos que 79b é um número par
divisı́vel por 8. Testando os valores de b = 0, 2, 4, 6 e 8, vemos que b = 2.
Um número é divisı́vel por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de
9. Então, a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 é um múltiplo de 9. Logo, a = 3. Assim,
cada TV custou: 36792 ÷ 72 = 511 reais.
7. Chocolate - Como 8 × 1, 35 = 10, 8 é maior do que 10, então ele comprou
7 barras de chocolate e recebeu de troco: 10 − 7 × 1, 35 = 0, 55 reais ou 55
centavos.
42
OBMEP 2007
Lista 8
Nı́vel 1
Lista 8
1. O quadradinho - Qual o valor de em
6 400 000
= 1, 6 × ?
400
2. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada um é
1728. Se e o máximo divisor comum (mdc) deles é 12, quais são esses números?
3. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, 13 de março
de 2007, uma 3a -feira, Carlos disse a seu irmão: “A contar de hoje, faltam
2000 dias para você completar 15 anos”. Em que dia da semana vai cair o
aniversário do irmão de Carlos?. Quantos anos terá Carlos nesse dia?
4. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento,
areia e terra na razão 1 : 3 : 5 por quilo. Quantos quilos dessa mistura pode
ser feita com 5 quilos de cimento?
(a) 13 13
(b) 15
(c) 25
(d) 40
(e) 45
5. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto P na escala abaixo?
12, 44
P
12, 62
6. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras,
laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco ﬁlas paralelas, cada
uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira:
OBMEP 2007
43
Nı́vel 1
Lista 8
• as laranjeiras estão do lado dos limoeiros;
• as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros;
• as macieiras estão do lado das pereiras, mas não dos limoeiros, nem das
laranjeiras.
Em que ﬁla estão as tangerineiras?
(a) 1a
(b) 2a
(c) 3a
(d) 4a
(e) 5a
7. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais, com 3 cm2 de área cada um,
estão superpostos formando a ﬁgura abaixo. Qual é a área dessa ﬁgura?
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8. O fio de arame - Com um ﬁo de arame Ernesto formou a ﬁgura abaixo.
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..................
... .....................
...................
....................
..... ......................
.........
q
q
Qual das ﬁguras abaixo ele pode formar com o mesmo ﬁo de arame, cortando
ou não o ﬁo?
............
(a) ..q..................................................................................................q
44
(b)
............................
...
.
......
....
.
..........................
............
............
............
(c) ..q.................... .......................... .......................... ..........................q (d)
OBMEP 2007
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..........................
...
...
..........................
.....................
.................
(e)
................
............................
.......... ..........
......................
.....................
.................
Lista 8
Nı́vel 1
9. Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da seqüência,
cujos três primeiros termos são mostrados abaixo?
rr r r
r
r
................................
... .........
...
..
.... ...........
. ....
....
....................................
(a) 21
(b) 24
(c) 27
rr rr r r
r
r r
.......................................................
... .........
...
...
..
...
.... ...........
. ....
....
..
............................................................
rr rr rr r r p p p
r
r r r
...............................................................................
...
..
..
.. ......
...
....
....
.... ..............
..
..
..
.. .......
...............................................................................
(d) 30
OBMEP 2007
(e) 34
45
Nı́vel 1
Soluções da Lista 8
Soluções da Lista 8
1. O quadradinho - Por simpliﬁcação
6 400 000
= 1, 6 × 400
6 400 000
= 16 000, logo:
400
=⇒
16 000 = 1, 6 × .
Segue que = 10000.
2. Dois números - Como 12 é o maior divisor comum dos dois números, ambos
são múltiplos de 12, logo estão dentre os números
12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 , 120 , 132 , 144 , . . .
Da lista acima, temos três únicas possibili-
12 = 22 × 3, 144 = 24 × 32
dades:
mdc(12 , 144) = 22 × 3
12 × 144 = 1728 e mdc (12 , 144) = 12
24 × 72 = 1728 e
mdc (24 , 72) = 24
36 × 48 = 1728 e
mdc (36 , 48) = 12
72 é múltiplo de 24,
⇒ mdc(24 , 72) = 24
36 = 22 ×32 e 48 = 24 ×3,
Logo, temos duas soluções: 12 e 144, ou 36
⇒ mdc(36 , 48) = 22 × 3
e 48.
3. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 obtemos 2000 = 7 × 285 + 5.
Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas mais 5 dias. Como o dia 13 de março
de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o
aniversário do seu irmão cairá em um domingo.
Agora, dividindo 2000 por 365 obtemos 2000 = 365 × 5 + 175. Logo, 2000 é,
aproximadamente, igual a cinco anos e meio, portanto Carlos terá 12 anos de
idade.
46
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Nı́vel 1
4. A mistura de concreto - De acordo com os dados do problema temos :
cimento
1 kg
areia
←→
3 kg
terra
←→
5 kg
Logo, com 5 kg de cimento temos:
cimento
areia
terra
1 kg × 5 ←→ 3 kg × 5 ←→ 5 kg × 5
Assim, com 5 quilos de cimento essa mistura tem 5 + 15 + 25 = 45 kg.
5. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e ﬁnal é de: 12, 62 −
12, 44 = 0, 18. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada
um deles é de 0, 18 ÷ 18 = 0, 01.
P
12, 44
12, 62
O número P está na 6a posição à direita de 12, 44. Assim, o ponto P vale:
12, 44 + 0, 01 × 6 = 12, 50.
6. O pomar de Francisco - Podemos observar que temos os dois pares de
árvores:
• laranjeiras e limoeiros,
• macieiras e pereiras,
que não são vizinhos. Como 5 = 2 + 1 + 2, temos que as tangerineiras estão
na 3a ﬁla.
OBMEP 2007
47
Nı́vel 1
Soluções da Lista 8
7. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é 3 cm2 e cada um deles
está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é
3
16
cm2 .
Como os 4 quadrados se superpõem em 6 quadradinhos, temos que a área da
ﬁgura é:
4×3−6×
3
9
= 12 − = 10, 875 cm2 .
16
8
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8. O fio de arame - A ﬁgura é composta de 3 semicı́rculos, o que exclui as
opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta. A opção (a) só tem 3 segmentos,
logo a opção correta é (d).
Observação: Esse exercı́cio usa uma certa “informalidade”, pois para decidirmos entre as opções (a) e (d), estamos admitindo que cada segmento de reta
na ﬁgura tem o comprimento do diâmetro dos cı́rculos.
9. Observe que o número de fósforos da seqüência é formado da seguinte maneira:
1o termo =
3+3=2×3
2o termo =
3+3+3=3×3
3o termo =
3+3+3+3=4×3
Logo, o 8o termo da seqüência é: (8 + 1) × 3 = 27.
rr r r
r
r
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48
rr rr r r
r
r r
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OBMEP 2007
rr rr rr r r p p p
r
r r r
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Lista 1
Nı́vel 2
Nı́vel 2
Lista 1
1. Potências de 10 - O valor de
(a) 10−1
(b) 10−2
0, 00001 × (0, 01)2 × 1000
é:
0, 001
(c) 10−3
(d) 10−4
(e) 1
2. Diferença de quadrados - Se (x + y)2 − (x − y)2 = 20, então xy é igual a:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 5
(e) 10
3. Um quadrilátero - O quadrilátero ABCD da ﬁgura é um paralelogramo?
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o
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........................
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........................
45
45
B
C
115
D
65
A
4. Sexta-feira 13 -
Qual o número máximo de sexta-feiras 13 que podem
ocorrer num ano não bissexto? Neste caso, qual é o 10o dia do ano?
5. Triângulos com lados inteiros - Quantos triângulos existem cujos lados
são números inteiros e o perı́metro é 12?
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
OBMEP 2007
(e) 9
49
Nı́vel 2
Lista 1
6. Festa de aniversário - Para comemorar seu aniversário, Ana vai preparar
tortas de pera e tortas de maçã. No mercado, uma maçã pesa 300g e uma
pera 200g. A sacola de Ana aguenta um peso máximo de 7k. Qual é o numero
máximo de frutas que ela pode comprar para poder fazer tortas das duas
frutas?
7. Os
dois
quadrados
-
As medidas em
centı́metros dos lados de cada um dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado
tivesse 2001 cm2 a mais de área, os dois quadrados
seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior
quadrado?
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8. A multiplicação - Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos
números. Ele tem que calcular o produto 85 × 135. Para isso, ele desenha
um retângulo de 85 mm por 135 mm e traça nesse retângulo o maior quadrado
possı́vel; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa
maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a ﬁgura feita por Júlio e escreva
85 × 135 como a soma de oito quadrados: 85 × 135 = 852 + . . .
50
OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 2
Soluções da Lista 1
1. Potências de 10 - Temos:
10−5 × (10−2 )2 × 103
0, 00001 × (0, 01)2 × 1000
10−5 × 10−4 × 103
=
=
=
0, 001
10−3
10−3
=
10−6
10−5+(−4)+3
=
= 10−6−(−3) = 10−3 .
−3
−3
10
10
A opção correta é (c).
2. Diferença de quadrados - Como (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 e (x − y)2 =
x2 − 2xy + y 2 , temos:
(x + y)2 − (x − y)2 = x2 + 2xy + y 2 − x2 + 2xy − y 2 = 4xy = 20,
segue-se que xy = 5. A opção correta é (d).
3. Um quadrilátero - Para que ABCD seja um paralelogramo, seus lados
devem ser dois a dois paralelos, isto é: AB//CD e AD//BC.
Como
+ ABC
= 180◦ ,
DAB
então as retas AD e BC são paralelas. Além disso, temos dois ângulos alternos
internos de 45◦ entre as retas AB e DC, segue-se que elas são paralelas. Logo
ABCD é um paralelogramo.
4. Sexta-feira 13 - Dado que os dias da semana se repetem a cada 7 dias,
então a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir por 7 o
número de dias transcorridos.
Na tabela seguinte temos:
OBMEP 2007
51
Nı́vel 2
Soluções da Lista 1
• na primeira linha o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13
do mês seguinte;
• na segunda linha o resto quando dividimos esse numero por 7;
• na terceira linha o resto quando dividimos por 7 o número de dias entre
o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente, ou seja, é obtida somando
os resultados obtidos na linha anterior desde janeiro até o mês correspondente e depois calculando o resto ao dividir por 7.
J-F
F-M
M-A
A-M
M-J
J-J
J-A
A-S
S-O
O-N
N-D
31
28
31
30
31
30
31
31
30
31
30
3
0
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
Os valores iguais na última linha, signiﬁcam que nestes meses o dia 13 caiu
no mesmo dia da semana. Em particular esta última linha nos diz que 13
de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da
semana. Logo, temos no máximo três sexta-feiras treze.
Nesse caso temos que 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é
terça-feira e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, no sábado.
Observação: Note que a 6a -feira 13 ocorre apenas quando o 1o dia do mês é
um domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o
problema é determinar o número máximo de vezes em que o 1o dia do mês é
um domingo num ano não bissexto.
5. Triângulos com lados inteiros - Para que três números a, b, c sejam os
comprimentos dos lados do triângulo, cada um deles deve ser maior que a
diferença e menor que a soma dos outros dois.
Sejam a ≤ b ≤ c os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, c < a + b.
52
OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 2
Agora, somando c a ambos os membros temos que: 2c < a + b + c = 12, ou
seja, 2c < 12, logo c < 6.
Além disso, como 3c ≥ a + b + c = 12 temos que: c ≥ 4. Logo, 4 ≤ c < 6.
No caso de c = 5, temos que a + b = 7. Os possı́veis valores de a e b são:
a = 2 e b = 5 ou a = 3 e b = 4
No caso de c = 4, temos que a + b = 8, e portanto temos somente a solução
a = b = 4.
assim temos 3 possı́veis triângulos. A opção correta é (b).
6. Festa de aniversário - Denotemos por m o número de maças e p o número
de peras que Ana comprou, assim o peso que ela leva na sacola é 300m + 200p
gramas. Como a sacola aguenta no máximo 7000 gramas, temos que
300m + 200p ≤ 7000, que é equivalente a 3m + 2p ≤ 70.
Como as peras pesam menos, Ana tem que levar a máxima quantidade de
peras, e portanto, a mı́nima quantidade de maçãs. Assim, se ela levar 1 maçã,
temos:
2p ≤ 70 − 3 = 67 =⇒ p ≤ 33, 5.
Logo, levando 1 maçã, ela pode levar 33 peras. Então, o numero máximo de
frutas é 34.
Na tabela abaixo vemos que Ana pode também levar 2 maçãs e 32 peras.
p
m
300m + 200p
p+m
34
0
6800
34
33
1
6900
34
32
2
7000
34
31
2
6800
33
OBMEP 2007
53
Nı́vel 2
Soluções da Lista 1
7. Os dois quadrados - Se a é a medida do lado do quadrado maior e b a
medida do lado do quadrado menor, então pelo enunciado temos
a2 = b2 + 2001 .
Logo:
2001 = a2 − b2 = (a + b)(a − b).
Como a e b são números inteiros, temos que a + b e a − b são divisores de 2001.
Mas, 2001 = 3 × 23 × 29, segue que
(a + b)(a − b) = 2001 × 1 = 667 × 3 = 87 × 23 = 69 × 29.
Consequentemente, temos 4 possı́veis formas de fatorar 2001 em dois fatores:
• se a + b = 2001 e a − b = 1 =⇒ a =
(a+b)+(a−b)
2
= 1001;
• se a + b = 667 e a − b = 3 =⇒ a =
667+3
2
= 335;
• se a + b = 87 e a − b = 23 =⇒ a =
87+23
2
= 55;
• se a + b = 69 e a − b = 29 =⇒ a =
69+29
2
= 49.
Assim as possibilidades para o lado maior são: 1001 , 335 , 55 e 49.
8. A multiplicação - O maior quadrado no retângulo de 85 × 135 é aquele de
85 × 85. Sobra então um retângulo de 50 × 85, onde o maior quadrado é de
50 × 50. Continuando assim, obtemos:
85 × 135 = 852 + 502 + 352 + 152 + 152 + 52 + 52 + 52 .
54
OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 2
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... 2.. 2.. 2..
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5 5 5
352
152
152
852
502
OBMEP 2007
55
Nı́vel 2
Lista 2
Lista 2
x−y
x
= 2, então
é igual a:
y
x
1
(c)
(d) 1
(e) 2
2
1. Expressão fracionária - Se
(a)
−1
−
(b)
1
2
2. Potências de 2 - Calcule:
a) 16782 − 16772
b) 10012 + 10002
c) 199992
d) 20012 + 20022 + 20032
3. Um queijo triangular - Osvaldo comprou um queijo em forma de um
triângulo equilátero. Ele quer dividir o queijo igualmente entre ele e seus
quatro primos. Faça um desenho indicando como ele deve fazer essa divisão.
4. Notas de Matemática - João e Cláudia receberam suas notas numa prova
de matemática. A nota de João foi e a de Cláudia . Juntos eles
obtiveram . Além disso, Cláudia obteve 13 pontos a mais que João.
Qual a nota de cada um?
5. Operação com raiz quadrada - O número
√
√
√ √
A = ( 6 + 2)( 3 − 2)
3+2
é igual a:
√
(a) − 3
(b)
−
√
2
(c)
−2
(d) 1
(d) 2
6. O caminho da escola - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário
e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a 20km/h, ela chega em
56
OBMEP 2007
Lista 2
Nı́vel 2
casa às 4 : 30 horas da tarde. Se ela pedalar a 10km/h, ela chega em casa às
5 : 15 horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa
às 5 : 00 horas da tarde?
7. Distância na reta - Cinco pontos estão sobre uma mesma reta. Quando
listamos as dez distâncias entre dois desses pontos, da menor para a maior,
encontramos 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17, 19. Qual o valor de k?
8. Número ı́mpar - Se n é um número inteiro qualquer, qual das seguintes
opções é um número ı́mpar?
(a) n2 − n + 2 (b) n2 + n + 2 (c) n2 + n + 5
(d) n2 + 5
(e) n3 + 5
OBMEP 2007
57
Nı́vel 2
Soluções da Lista 2
Soluções da Lista 2
1. Expressão fracionária Solução 1: Temos:
Como
x y
y
x−y
= − =1− .
x
x x
x
x
y
1
= 2 temos que = , assim
y
x
2
x y
1
1
x−y
= − =1− = .
x
x x
2
2
A opção correta é (c).
Solução 2: Se
x
= 2, então x = 2y. Logo
y
x−y
2y − y
y
1
=
=
= .
x
2y
2y
2
2. Potências de 2 - Fatorando temos:
16782 − 16772 = (1678 + 1677)(1678 − 1677) = 3355.
(b) Como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , temos:
10012 + 10002 = (1000 + 1)2 + 10002 = 10002 + 2000 + 1 + 10002 =
= 2 × 10002 + 2001 = 2002001.
(c) Como (a − b)2 = a2 − 2ab − b2 , temos:
199992 = (20000 − 1)2 = (2 × 104 )2 − 4 × 104 + 1 =
= 4 × 108 − 4 × 104 + 1 = 399 960 001.
(d) Colocando em função de 2000 temos:
20012 + 20022 + 20032 = (2000 + 1)2 + (2000 + 2)2 + (2000 + 3)2 =
= 3 × 20002 + 12 × 2000 + 14
= 12 024 014.
58
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 2
3. Um queijo triangular - Para dividir o queijo em 5 partes iguais, é suﬁciente
dividi-lo em 5k partes iguais e dar k partes a cada um. Uma forma de fazer
essa partição, é mostrada na ﬁgura, onde o queijo foi partido em 25 = 5 × 5
triângulos.
T
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
TT
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
TT
T
T T T T T
T
T
T
T
T
4. Notas de Matemática - Temos que encontrar os valores dos sı́mbolos na
soma + .
As duas notas são números de dois algarismos e a soma tem três algarismos,
logo a soma tem que ser maior do que 100 e menor do que 200, assim temos
que = 1.
Mas, Cláudia obteve 13 pontos mais do que João, assim
+13 .
1
Agora como a soma de e 3 tem que terminar em 1, temos que = 8, e
portanto = 6. Assim as notas de Cláudia e João são, respectivamente, 81 e
68.
OBMEP 2007
59
Nı́vel 2
Soluções da Lista 2
5. Operação com raiz quadrada - (c) Como
√
2
√
√ √
2
3+2
A = ( 6 + 2)( 3 − 2)
2
√
√
√ 2 √
2
= ( 6 + 2) ( 3 − 2)
3+2
√
√
√
√
= ( 6 + 2)2 ( 3 − 2)2 ( 3 + 2)
√
√
√
√
√
= ( 6 + 2)2 ( 3 − 2)[( 3 − 2)( 3 + 2)]
√
√
√
= (6 + 2 12 + 2)( 3 − 2)(( 3)2 − 22 )
√
√
= (6 + 2 12 + 2)( 3 − 2)(−1)
√
√
= (8 + 4 3)(2 − 3)
√
√
= 4(2 + 3)(2 − 3)
√
= 4(22 − ( 3)2 ) = 4 × 1 = 4
Assim A2 = 4 e logo, A pode ser 2 ou −2. Como
√
3 − 2 é negativo, temos
que A tem que ser negativo, e portanto A = −2.
6. O caminho da escola - Seja t o tempo que ela gasta pedalando a 20km/h.
Pedalando a 10 km/h, ela faz o percurso no dôbro do tempo que pedalando a
20km/h, isto é 2t. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos:
2t − t = 45 =⇒ t = 45min.
Logo, diariamente ela sai da escola às 4 : 30 h − 45 min = 3 : 15 h, e o percurso
até em casa é de 45min × 20km/h =
3
4
× 20 = 15km. Para percorrer 15km
em 5 : 00 h − 3 : 15 h = 1 : 45 h = 54 h, ela deve manter uma velocidade de
15km
= 12km/h.
5
h
4
7. Distância na reta Solução 1: - Essa solução é um pouco difı́cil de escrever porque é feita na base
60
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 2
de“tentativa e erro”. Começamos desenhando uma reta numérica e colocando
os pontos 0 e 19. Como a primeira distância é 2, marcamos nossos primeiros
três pontos:
0..........................................2.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19
.......
p1
p2
p3
Como temos que ter uma distância 7, colocamos o ponto 7 na reta. Isso nos
dá distâncias que não são incompatı́veis com o problema:
0..........................................2.......................................................................................................7.......................................................................................................................................................................................................................................................19
.......
p1
p2
p4
p3
As distâncias entre esses 4 pontos são: 2, 7, 19, 5, 17 e 12. Finalmente,
colocando o ponto 15 na reta obtemos o seguinte:
0..........................................2.......................................................................................................7................................................................................................................................................15
19
..............................................................................................................
p1
p2
p4
p5
p3
Com esses pontos as distâncias são: 2, 7, 15, 19, 5, 13 , 17, 8, 12, 4, que são
compatı́veis com os dados do problema. Logo, k = 12.
Note que temos também uma outra distribuição dos números, a saber:
0..................................................................................4...................................................................................................................................................................12
14
19
..........................................................................................................................................................
p1
p3
Nessa distribuição também obtemos k = 12.
Solução 2: Como a maior distância é 19 podemos, supor que um ponto é o 0
e outro é 19.
Se a é um outro ponto, então na lista das distâncias temos os números: a−0 =
a e 19 − a. De fato, na lista aparecem os pares 2 e 17, assim podemos supor
que o número 2 é outro ponto sobre a reta.
OBMEP 2007
61
Nı́vel 2
Soluções da Lista 2
Da mesma forma, como 4 e 15 estão na lista das distâncias, temos que 4 ou 15
é outro ponto na reta. Mas, 4 não pode ser um dos pontos porque a distância
2 não apareceu duas vezes. Logo, 15 é outro ponto na reta.
Por último o quinto ponto tem que estar a uma distância 5 de um dos pontos
e a 7 de outro, logo o ponto que falta é o ponto 7 e a distância desconhecida
é k = 19 − 7 = 12.
8. Número ı́mpar - Lembremos que:
• n e n2 têm a mesma paridade: (par)2 =par e (ı́mpar)2 =ı́mpar;
• a soma ou diferença de números de mesma paridade é um número par:
(par± par=par e ı́mpar ±ı́mpar=par).
Solução 1: Observemos que n2 + n e n2 − n são soma e diferença de dois
números que sempre têm a mesma paridade, logo estes números sempre serão
pares. Portanto n2 + n + 5 = (n2 + n) + 5 é soma de um par e um ı́mpar, logo
sempre será ı́mpar para todo valor inteiro de n. A opção correta é (c).
Solução 2: Observemos que n2 +n = n(n+1) e n2 −n = n(n−1) são produtos
de dois números consecutivos, logo estes números são pares. Portanto, n2 +
n + 5 = (n2 + n) + 5 é a soma de um par com um ı́mpar, assim este numero é
ı́mpar para todo valor inteiro de n.
Observemos que (a) e (b) são sempre números pares para qualquer valor de n,
enquanto que (d) e (e) podem ser pares ou ı́mpares, dependendo se n é ı́mpar
ou par.
62
OBMEP 2007
Lista 3
Nı́vel 2
Lista 3
1. Quatro números inteiros - Se quatro inteiros positivos distintos m, n, p e
q satisfazem a equação
(7 − m)(7 − n)(7 − p)(7 − q) = 4 ,
então a soma m + n + p + q é igual a:
(a) 10
(b) 21
(c) 24
(d) 26
(e) 28
2. As páginas do dicionário - Para numerar as páginas de um dicionário,
imprimiu-se 1988 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem esse dicionário?
3. Soma de potências de 2 - Determine um valor de n para o qual o numero
28 + 211 + 2n seja um quadrado perfeito.
4. Reverso de um número - O reverso de um número inteiro de dois algarismos é o número que se obtém invertendo a ordem de seus algarismos. Por
exemplo, 34 é o reverso de 43. Quantos números existem que somados ao seu
reverso dão um quadrado perfeito?
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160◦
5. Ângulos
externos
de
um
triângulo - Dados os ângulos de
150◦ e 160◦ , indicados na ﬁgura,
calcule
x, y e z.
os
valores
dos
ângulos
y
150◦
150◦
160◦
z
x
6. Uma brincadeira - É feita uma brincadeira com quatro números inteiros
da seguinte maneira: some três desses números, divida essa soma por 3 e o
OBMEP 2007
63
Nı́vel 2
Lista 3
resultado some com o quarto número. Existem quatro formas de fazer esta
brincadeira, obtendo os seguintes resultados: 17, 21, 23 e 29. Qual é o maior
dos quatro números?
7. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o
mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu 2% e o da maçã
subiu 10%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10
maças?
(a) 2%
(b) 4%
(c) 10%
(d) 12%
(e) 12, 2%
8. Dividir um cubo - Se dividirmos um cubo de 1 m de aresta em cubinhos de
1 mm de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos,
dispostos sucessivamente um em cima do outro?
(a) 1m
64
(b) 1km
(c) 10km
(d) 100km
OBMEP 2007
(e) 1000km
Soluções da Lista 3
Nı́vel 2
Soluções da Lista 3
1. Quatro números inteiros - Como m, n, p e q são inteiros, então 7 − m,
7 − n, 7 − p e 7 − q também são inteiros. Agora,
4 = (−1) × (−2) × 1 × 2
é a única decomposição de 4 em um produto de números inteiros distintos.
Segue que
(7 − m) + (7 − n) + (7 − p) + (7 − q) = (−1) + (−2) + 1 + 2 ,
e daı́ obtemos m + n + p + q = 28. A opção correta é (e).
2. As páginas do dicionário - Observemos que:
• a cada 10 números imprime-se 1 vez o 1 nas unidades,
• a cada 100 números imprime-se 10 vezes o 1 nas dezenas,
• a cada 1000 números imprime-se 100 vezes o 1 nas centenas.
Assim, de 1 até 999 imprime-se o número 1:
100 vezes nas unidades + 100 nas dezenas + 100 nas centenas = 300.
De 1000 até 1999, imprime-se o numero 1 outras 300 vezes entre as unidades,
dezenas e centenas, e 1000 vezes na posição dos milhares, portanto entre 1 e
1999 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: 300 + 300 + 1000 = 1600.
Agora entre 2000 e 2999 imprime-se o 1 mais 300 vezes, completando 1600 +
300 = 1900.
De 3000 a 3099 temos 20 algarismos 1, de 3100 a 3119, temos 40 algarismos 1 e
de 3120 a 3139 temos 22 algarismos, portanto até 3139 o numero de vezes que
imprime-se o 1 é: 1900 + 20 + 40 + 22 = 1982 vezes. Como faltam 6 algarismos
1, o número de páginas do livro é 3144.
OBMEP 2007
65
Nı́vel 2
Soluções da Lista 3
3. Soma de potências de 2 - Observe que
n
28 + 211 + 2n = (24 )2 + 2 × 24 × 26 + (2 2 )2 .
Logo, se n = 12, temos
28 + 211 + 212 = (24 + 26 )2
Logo n = 12 é uma solução.
Solução Geral: Se 28 + 211 + 2n = k 2 , então:
28 + 23 × 28 + 2n = k 2
9 × 28 + 2n = k 2
2n = k 2 − (3 × 24 )2
2n = (k − 3 × 24 )(k + 3 × 24 )
Logo, (k − 3 × 24 ) e (k + 3 × 24 ) são potências de 2, ou seja:
k + 3 × 24 = 2a , k − 3 × 24 = 2b e a + b = n
Temos:
2a − 2b = (k + 3 × 24 ) − (k − 3 × 24 ) = 3 × 25 = 96.
Examinemos a lista das potências de 2:
1 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , · · ·
Constatamos que 128 − 32 = 96. Logo, a = 7, b = 5 e n = 12.
66
OBMEP 2007
Soluções da Lista 3
Nı́vel 2
4. Reverso de um número - Denotemos por ab e
ba o número e seu reverso. Temos que
Lembrete:
números de
dois algarismos onde a é
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11(a + b).
o algarismos das dezenas
Por outro lado, a ≤ 9 e b ≤ 9, logo, a + b ≤ 18.
e b o das unidades são da
Como 11 é um número primo e a + b ≤ 18, para que
forma
11(a + b) seja um quadrado perfeito, só podemos ter
10 × a + b.
a + b = 11.
Assim, temos 8 números satisfazendo a condição do
Ex: 47 = 4 × 10 + 7
problema: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92.
5. Ângulos externos de um triângulo - Observemos que os ângulos y, 150◦
e 160◦ são ângulos externos de um triângulo, logo
y + 150◦ + 160◦ = 360◦ .
Assim y = 50◦ . Pela mesma razão concluı́mos que z = 50◦ . Como x, y e z são
ângulos internos de um triângulo então x + y + z = 180◦ , portanto x = 80◦ .
6. Uma brincadeira - Sejam a, b, c e d os números procurados. São dados os
números
a+b+c
a+b+d
a+c+d
b+c+d
+d ,
+c ,
+b e
+a
3
3
3
3
mas não sabemos a ordem deles. Como
a+b+c
3
+d+
a+b+d
3
+c+
a+c+d
3
+b+
b+c+d
3
+ a = 2(a + b + c + d)
= 17 + 21 + 23 + 29
Logo,
2(a + b + c + d) = 90 =⇒ a + b + c + d = 45.
OBMEP 2007
67
Nı́vel 2
Soluções da Lista 3
Agora, seja d o maior dentre os números a. b, c e d. Assim,
d = 29 −
a+b+c
45 − d
= 29 −
=⇒ d = 21 .
3
3
7. Ovos e maçãs - Podemos supor que o preço inicial de uma dúzia de ovos
é R$ 1, 00, assim 10 maças também custa R$ 1, 00. Como o preço do ovo caiu
2%, então o novo valor de uma dúzia de ovos é R$ 0, 98. O preço das maças
subiu 10%, logo o novo preço das 10 maças é R$ 1, 10. Assim antes gastava-se
R$ 2, 00 na compra dos ovos e das maças e agora gasta-se 0, 98 + 1, 10 = 2, 08
0, 08
× 100% = 4%.
reais. Logo, o aumento foi de R$ 0, 08, que corresponde a
2
A opção correta é (b).
8. Dividir um cubo -
Convertendo metros em milı́metros temos: 1 m =
1000 mm. Assim, o cubo ﬁcou dividido em 1000 × 1000 = 106 cubinhos de
lado 1 mm cada um. Colocando-se lado a lado os 106 cubinhos, teremos uma
coluna de comprimento
1000 × 1000 = 106 mm = 106 × 10−3 m = 103 m = 1 km .
68
OBMEP 2007
Lista 4
Nı́vel 2
Lista 4
1. Uma expressão - A expressão
a3
(a)
2
2
(b) 3
a
2. Uma igualdade -
a−2
4a
× −1 −3 onde a = 0, é igual a:
5
a
(2 a)
a5
(d)
2
1
(c) 3
2a
(e)
2
a5
Os números a e b são inteiros positivos e satisfazem
96a2 = b3 . Qual é o menor valor de a?
3. O retângulo do Luı́s - Luı́s desenhou um retângulo de 6cm por 10cm, e
quer dividı́-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente,
8cm2 , 12cm2 , 16cm2 , 24cm2 . Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
4. Somas de 3 em 3 - Encontre quatro números inteiros que somados de três
em três dão 6, 7, 8 e 9.
5. Uma fábrica de blusas - Uma fábrica produz blusas a um custo de R$ 2, 00
por unidade além de uma parte ﬁxa de R$ 500, 00. Se cada unidade produzida
é comercializada a R$ 2, 50 , a partir de quantas unidades produzidas a fábrica
obtém lucro?
(a) 250
(b) 500
(c) 1000
(d) 1200
(e) 1500
6. Existência de triângulos - Qual dos seguintes triângulos não pode existir?
(a) triângulo agudo isósceles
(b) triângulo retângulo isósceles
OBMEP 2007
69
Nı́vel 2
Lista 4
(c) triângulo retângulo obtusângulo
(d) triângulo retângulo escaleno
(e) triângulo escaleno obtusângulo
7. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa
folha de papel quadriculada, conforme mostra a ﬁgura.
Qual o número máximo de quadrados que podem ser
formados unindo quatro desses pontos?
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
8. O colar - Um colar é composto de pérolas grandes e pérolas pequenas, num
total de menos do que 500 pérolas.
i - Se substituirmos 70% das pérolas grandes por pequenas, o peso do colar
diminui de 60%.
ii - Se substituirmos 60% das pérolas pequenas por grandes, o peso do colar
aumenta de 70%.
Quantas pérolas tem o colar?
70
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 2
Soluções da Lista 4
1. Uma expressão - Temos:
4a
22 a
a−2
−2−5
×
=
a
×
a5
(2−1 a)−3
23 a−3
= a−7 ×
a1−(−3)
2
= a−7 ×
a4
2
=
a−3
1
a−7+4
=
= 3
2
2
2a
A opção correta é (c)
2. Uma igualdade - Fatorando 96 temos: 25 ×3×a2 = b3 . Para que 25 ×3×a2
seja um cubo, o numero a deve ser da forma: a = 2n × 3m . Assim,
25 × 3 × a2 = 25 × 3 × (2n × 3m )2 = 25+2n × 31+2m = b3
Logo, 5 + 2n e 1 + 2m são múltiplos de 3. Os menores valores de n e m são:
n = 2 e m = 1. Portanto, a = 22 × 3 = 12.
3. O retângulo do Luı́s - Como 24 = 4 × 6,
então ele construiu o primeiro retângulo, tirando 4 cm do lado de 10 cm, sobrando um
quadrado de lado 6 cm. Sendo 16 = 4 × 4, ele
construiu um quadrado de lado 4 cm sobrando
dois retângulos de áreas (6 − 4) × 4 = 8 cm2
e (6 − 4) × 6 = 12 cm2 , como, por exemplo, a
divisão mostrada na ﬁgura ao lado.
4
4
2
2
............................................................................................................................................................
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.........................................................................................................................................................
4
6
6
4
A seguinte conﬁguração também é uma solução para o problema.
OBMEP 2007
71
Nı́vel 2
6
4
2
24
12
Soluções da Lista 4
4
16
4
8
2
4. Somas de 3 em 3 - Sejam a, b, c e d os números procurados. São dados os
números
a+b+c , a+b+d , a+c+d e b+c+d
logo
6 + 7 + 8 + 9 = (a +b +c)+(a +b +d)+(a +c +d)+(b +c +d) = 3(a+b +c +d) .
Assim,
a+b+c+d=
30
= 10 .
3
Note que cada numero é igual à diferença entre a soma dos quatro números e
a soma dos outros três. Por exemplo: c = (a + b + c + d) − (a + b + d). Logo,
os números procurados são
10 − 6 = 4 ,
10 − 7 = 3 ,
10 − 8 = 2 e 10 − 9 = 1 .
5. Uma fábrica de blusas - Denotemos por x o número de unidades produzidas. Assim o custo de produção é 500 + 2x reais. Pela venda o fabricante
está recebendo 2, 5x. Assim, ele terá lucro quando
2, 5x > 500 + 2x .
isto é, 0, 5x > 500. Portanto x > 1000. Logo, a opção correta é (c).
72
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 2
6. Existência de triângulos -
A soma dos três ângulos internos de um
triângulo é 180o . Logo, se um deles mede 90o , a soma dos outros dois é 90o , e
por isso não podem ser maiores do que 90o . Portanto, não existem triângulos
retângulos obtusângulos. Os seguintes exemplos de comprimentos de lados
mostram que os outros casos podem ocorrer:
(a) 2, 3, 3 ;
(b) 1, 1,
√
2 ;
(d) 3, 4, 5,
;
(e) 3, 4, 6.
7. Os doze pontos - No total, temos 11 possı́veis quadrados como mostrado
a seguir.
5 quadrados
s
s
s
s
s
s
s
s
4 quadrados
..........................
...
...
...
...
...
...
............................................................................
...
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...
...
...
...
...
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...
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s
s
s
s
s
s
2 quadrados
s
s
s
s
s
s
s
s
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................
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............... ................
... ..................... ...
......... .........
s
s
s
s
8. O colar - Sejam n o número de pérolas grandes, p o número de pérolas
pequenas, a o peso de uma pérola grande e b o de uma pérola pequena. Com
essa notação temos:
• número total de pérolas no colar = p + n. Logo: n + p < 500
• peso das pérolas grandes = n × a
• peso das pérolas pequenas = p × b
• peso total do colar = pb + na
Para equacionar o problema, vamos equacionar antes as duas hipóteses:
i - Ao substituirmos 70% das pérolas grandes pelas pequenas, o colar ﬁca
composto como
OBMEP 2007
73
Nı́vel 2
Soluções da Lista 4
30%
× n = 0, 3n + (p + 0, 7n)
× n + p + 70%
pequenas
grandes
e seu peso ﬁca sendo
0, 3n × a
+
peso das grandes
(p + 0, 7n) × b = 0, 4(na + pb)
peso das pequenas
40%
do peso inicial
ii - Analogamente, temos que ao substituirmos 60% das pérolas pequenas
pelas grandes, o colar ﬁca composto como
n + 60% × p + 40% × p = (n + 0, 6p) + 0, 4p
pequenas
grandes
e seu peso ﬁca sendo
(n + 0, 6p) × a +
peso das grandes
0, 4p × b
peso das pequenas
=
1, 7(na + pb)
170%
.
do peso inicial
Temos, então, o sistema:





 0, 3 n a + 0, 7n b + p b = 0, 4(n a + p b)




 n a + 0, 6p a + 0, 4p b = 1, 7(n a + p b) .
Para resolvê-lo, começamos eliminando as incógnitas a e b, escrevendo o sistema na seguinte forma:



a
7n + 6p


=
n
b

 −13p
a


= .
7n − 6p
b
Segue que
−13p
7n + 6p
=
=⇒ 36p2 − 13pn − 49n2 = 0 .
n
7n − 6p
74
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 2
Para fatorar essa expressão, escrevemos
−13p n = 36p n − 49p n ,
e temos:
36p2 − 13p n − 49n2 = 36p2 + 36p n − 49p n − 49n2
= p (36p − 49n) + n (36p − 49n)
= (36p − 49n)(p + n) .
Finalmente:
(36p − 49n)(p + n) = 0 .
Obtemos 36p = 49n, e como p e n são inteiros positivos, segue que n é múltiplo
de 36 e p de 49. Assim temos: n = 36k e p = 49k , onde k e k são inteiros
maiores do que 1. Logo,
36 × 49k = 49 × 36k =⇒ k = k .
Portanto, n = 36k e p = 49k. Deduzimos que n + p = 85k. Como n + p < 500,
o colar só pode ter: 85 , 170 , 255 , 340 ou 425 pérolas.
OBMEP 2007
75
Nı́vel 2
Lista 5
Lista 5
1. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco
de laranja por R$2, 80 e uma caixa com seis dessas garrafas por R$15, 00.
Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no
mı́nimo?
2. Mulheres votantes - Numa cidade, 40% de todas as mulheres são votantes
e 52% da população é de mulheres. Qual o percentual da população formado
de mulheres votantes?
(a) 18, 1%
(b) 20, 8%
(c) 26, 4%
(d) 40%
(d) 52%
3. Amigos do século XX - Dois amigos nasceram no século XX, com uma
semana de intervalo e no mesmo mês e ano. Escrevendo da esquerda para a
direita a data na forma o (ou os) algarismo(s) do dia, (ou os) algarismo(s) do
mês, e os dois últimos algarismos do ano, obtemos dois números sendo um o
sêxtuplo do outro. Não colocamos 0 na frente dos 9 primeiros meses. Qual é
a data de nascimento do amigo mais velho?
4. Operação em uma fração - Que número se deve somar aos dois termos
de uma fração para se obter o inverso dessa mesma fração?
5. O número 119 - O número 119 tem a seguinte propriedade:
• a divisão por 2 deixa resto 1;
• a divisão por 3 deixa resto 2;
• a divisão por 4 deixa resto 3;
76
OBMEP 2007
Lista 5
Nı́vel 2
• a divisão por 5 deixa resto 4;
• a divisão por 6 deixa resto 5.
Quantos inteiros positivos menores que 2007 satisfazem essa propriedade?
6. Fonte com 3 torneiras - Sı́lvia vai a uma fonte que tem três torneiras,
encher os seus dez garrafões. Um dos garrafões demora um minuto para encher, outro dois minutos, outro três minutos e assim por diante. Como Sı́lvia
deverá distribuir os garrafões pelas torneiras de modo a gastar o menor tempo
possı́vel? Qual é esse tempo?
7. A seqüência xyz - Na seqüência
1 5 3 7
, , , , x , y , z , . . . . os valores de
2 8 4 8
x , y e z são...
8. A mesa circular - Uma mesa circular tem 60 cadeiras em sua volta. Existem N pessoas sentadas nessas cadeiras de tal modo que a próxima pessoa a se
sentar vai ter que se sentar ao lado de alguém. Qual é o menor valor possı́vel
para N ?
OBMEP 2007
77
Nı́vel 2
Soluções da Lista 5
Soluções da Lista 5
1. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele gastará
6 × 2, 80 = 16, 80 reais
que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto ele deve comprar
a maior quantidade possı́vel de caixas. Nesse caso, ele deve comprar 3 caixas
e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará
3 × 15 + 4 × 2, 80 = 56, 20 reais ,
que é o mı́nimo possı́vel.
2. Mulheres votantes - A fração de mulheres na população é
fração que é votante é
40
.
100
52
,
100
e delas, a
Logo, a fração de mulheres volantes é:
52
40
104
104
×
=
=
× 100% = 20, 8%.
100 100
5 × 100
5 × 100
A opção correta é (b).
3. Amigos do século XX - Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no
mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, assim um nasceu no dia d/m/a e o
outro no dia (d + 7)/m/a. Com esta datas formamos os números (d)(m)(a) e
(d + 7)(m)(a). Sabemos que:
(d + 7)(m)(a) = (d)(m)(a) + 7 × 10k .
Assim,
(d + 7)(m)(a) = 6 × (d)(m)(a),
78
=⇒
OBMEP 2007
7 × 10k = 5(d)(m)(a).
Soluções da Lista 5
Nı́vel 2
Logo, k = 3 se o mês tem 1 algarismo e k = 4 se o mês tem 2 algarismos.
No primeiro caso, quando k = 3, temos que
7000
5
= 1400, isto é, 1 de abril de
1900. Logo, seu amigo nasceu em 8 de abril de 1900. No segundo caso, quando
k = 1,
70000
5
= 14000 não é uma data válida.
4. Operação em uma fração - Seja
tal
a+c
b+c
a
b
a fração procurada e seja c um número
= ab . Esta igualdade é equivalente a (a + c)a = (b + c)b. Assim temos:
(a + c)a = (b + c)b =⇒ a2 + ac − b2 − bc = 0 =⇒ (a2 − b2 ) + c(a − b) = 0.
Donde
0 = (a2 − b2 ) + c(a − b) = (a − b)(a + b) + c(a − b) = (a − b)(a + b + c).
Portanto (a − b)(a + b + c) = 0. Temos dois casos:
1o ) a − b = 0 =⇒ a = b. Nesse caso a fração é igual a 1 =
a
a
e podemos somar
qualquer número.
2o ) a + b + c = 0 =⇒ c = −(a + b). Nesse caso temos que somar −a − b.
5. O número 119 - Inicialmente note que se N dividido por d deixa resto r,
então somando a N um múltiplo de d, o resto não se altera, isto é:
(N + múltiplo de d)
também deixa resto r.
d
Por exemplo: 38 dividido por 3 deixa resto 2, logo o resto da divisão de
(38 + 5 × 3) também é 2.
Assim, se somamos a 119 um número que seja múltiplo simultaneamente de 2,
3, 4, 5 e 6, esse número deixa os mesmos restos que 119 quando dividido por
OBMEP 2007
79
Nı́vel 2
Soluções da Lista 5
2, 3, 4, 5 e 6. O menor múltiplo comum de 2, 3, 4, 5 e 6 é 60, logo todo número
da forma
119 + (múltiplo de 60)
satisfaz as cinco condições do enunciado.
Da divisão de 2007 por 60 temos:
2007 = 33 × 60 + 27 = 32 × 60 + 87 = 31 × 60 + 147.
Como 119 está entre 87 e 147, temos que os números
59, 119, 179, . . . , 31 × 60 + 119
cumprem a mesma propriedade que 119. Logo, temos 33 possı́veis números.
6. Fonte com 3 torneiras Solução 1: Para simpliﬁcar, numeramos os garrafões de acordo com os respectivos tempos que gastam para ﬁcar cheios. A idéia , é utilizar o “tempo que
sobra”de um garrafão para encher outro garrafão, enchendo simultaneamente
outros. As ﬁguras ilustram a solução.
FIGURA I → 10 min
...
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10
FIGURA II → 9 min
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....................................
9
1
8
7
2
2
6
3
5
4
Na ﬁgura I as 3 torneiras gastam 10 minutos para encher os garrafões 10, 9, 8,
1 e 2. Na ﬁgura II as 3 torneiras gastam 9 minutos para encher os garrafões
7, 6, 5, 2, 3 e 4. Logo, o tempo total gasto é de 19 minutos.
Solução 2: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10
garrafões é 1 + 2 + · · · + 9 + 10 = 55 minutos. Como 55 = 18 × 3 + 1, se temos
80
OBMEP 2007
Soluções da Lista 5
Nı́vel 2
3 torneira devemos gastar pelo menos 19 minutos. A seguinte tabela mostra
a forma de fazer o trabalho em 19 minutos.
Torneira 1
10
9
Torneira 2
8
7
3
Torneira 3
5
4
2
1
7. A seqüência xyz - Igualando os denominadores, veriﬁcamos que a seqüência
dada é a mesma que a seqüência
4 5 6 7
,
,
,
, x , y , z , ...
8 8 8 8
Assim, o denominador é 8 e os numeradores são números consecutivos. Logo
8
9
10
5
x = = 1, y = e z =
= .
8
8
8
4
8. A mesa circular - Se a próxima pessoa a se
sentar vai ter que se sentar ao lado de uma cadeira
ocupada, isso signiﬁca que existem no máximo 2
cadeiras desocupadas consecutivas. Veja na ﬁgura:
as cadeiras ocupadas estão representadas por quadradinhos brancos e as desocupadas por quadradi-
.............................................................
.........
............
........
.........
.......
.......
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.......
...........
........
..................
...........
......................................
nhos pretos. Podemos então pensar nas cadeiras
em grupos de 3 e a terceira está ocupada. Logo, o
menor valor de N é 60 ÷ 3 = 20.
OBMEP 2007
81
Nı́vel 2
Lista 6
Lista 6
1. Números proporcionais - Se
2
(a) x9
(b) x3 z
(c) 3x2
3
x
= , então 9y 2 é igual a:
y
z
(e) 19 x2 z 2
(d) x2 z 2
2. Esportistas de uma escola - Em um grupo de 40 estudantes, 20 jogam futebol, 19 jogam vôlei e 15 jogam exatamente uns destes dois esportes. Quantos
estudantes não praticam futebol e vôlei?
(a) 7
(b) 5
(c) 13
(d) 9
(e) 10
3. Vamos ao teatro - Na campanha “Vamos ao teatro”, 5 ingressos podem ser
adquiridos pelo preço usual de 3 ingressos. Mário comprou 5 ingressos nessa
campanha. A economia que Mário fez representa que percentual sobre o preço
usual dos ingressos?
(a) 20%
(b) 33 13 %
(c) 40%
(d) 60%
4. Uma desigualdade - Os valores de x que satisfazem
(a) x < 2
(b) x > 1
(c) 1 < x < 2
(d) x < 1
(e) 66 23 %
1
> 1 são:
x−1
(e) x > 2
5. A sala do Newton- Professor Newton dividiu seus alunos em grupos de 4 e
sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ﬁcou de fora.
Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de
alunos homens é:
(a) 7
82
(b) 8
(c) 9
(d) 10
OBMEP 2007
(e) 11
Lista 6
Nı́vel 2
6. Um jardim retangular -
O retângulo
ABCD representa um terreno retangular cuja
largura é 3/5 do comprimento. O retângulo
ABEF representa um jardim retangular cuja
largura é também 3/5 do comprimento. Qual
D...............................................................................................................................F
...................................................................... A
..
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...
...
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...
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....
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
....
................................................................................................................................................................................................
C
E
B
a razão entre a área do jardim e a área total
do terreno?
(a) 30%
(b) 36%
(c) 40%
(d) 45%
(e) 50%
7. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos
bombons. Elas misturarm os bombons e agora não sabem mais qual o número
de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir os números
sabendo que:
• juntas ganharam 200 bombons;
• cada número é múltiplo de 8;
• Marta se lembra que ganhou menos de 100 bombons, mas mais do que
4/5 do que ganhou Carmem.
OBMEP 2007
83
Nı́vel 2
Soluções da Lista 6
Soluções da Lista 6
1. Números proporcionais - Como
x
y
=
3
,
z
então xz = 3y. Elevando ao
quadrado ambos os membros dessa igualdade obtemos x2 z 2 = 9y 2 . A opção
correta é (d).
2. Esportistas de uma escola - Denotemos por x o número de estudantes
que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, temos que o número de
estudantes que pratica somente futebol é 20 − x e o que pratica somente vôlei
é 19 − x. Portanto os estudantes que praticam exatamente um esporte são
(20 − x) + (19 − x) = 15.
Segue-se que x = 12 e teremos que os estudantes que praticam algum esporte
são
20 + (19 − x) = 27 .
Portanto, os que não praticam esporte são 13. A opção correta é (c).
3. Vamos ao teatro - Mário pagou 3 e levou 5, logo ele pagou apenas
preço usual e portanto, economizou 25 . Como
2
5
=
40
,
100
3
5
do
a economia foi de 40%.
A opção correta é (c).
4. Uma desigualdade - Note que o inverso de um número b só é maior do que
1 quando b for positivo e menor do que 1. Portanto,
1
> 1 ⇐⇒ 0 < x − 1 < 1 ⇐⇒ 1 < x < 2 .
x−1
A opção correta é (c).
84
OBMEP 2007
Soluções da Lista 6
Nı́vel 2
5. A sala do Newton Solução 1:
Como o número de alunos homens é menor do que 15 e das
mulheres é 15, temos
15 < alunos homens + alunas mulheres < 15 + 15 = 30
ou seja: o número de alunos está entre 15 e 30.
Por outro lado quando dividimos por 4 sobram 2 alunos, então o número de
alunos é par. Quando dividimos por 5 sobra um, então o último algarismo do
número é 1 ou 6, mas sendo par só pode ser 6. Assim só temos dois possı́veis
valores: 16 e 26. Descartamos 16 porque é divisı́vel por 4. Logo, a resposta é
26.
Solução 2: Como acima, o número de alunos está entre 15 e 30. Observemos
que o número 6 dividido por 4 deixa resto 2 e dividido por 5 deixa resto 1. Logo
se somamos a 6 um múltiplo comum de 4 e 5, o número obtido também terá
esta propriedade. O menor múltiplo comum de 4 e 5 é 20, assim os possı́veis
valores para o número de alunos é 6, 26, 46, 66, . . . . Dado que o número de
alunos está entre 15 e 30 então a solução é 26.
6. Um jardim retangular - Pelos dados do problema sabemos que
5
AD = AB
3
5
e AB = AF .
3
Logo,
5
25
AD = ( )2 AF = AF .
3
9
A área do terreno é AB × AD e a área do jardim é AB × AF , portanto a razão
entre as áreas é
AB × AF
AF
AF
9
=
= 5 2
= 36%.
=
AB × AD
AD
25
( 3 ) AF
A opção correta é (b).
OBMEP 2007
85
Nı́vel 2
Soluções da Lista 6
7. Números decrescentes - Escreva os números abaixo em ordem decrescente
√
5
−2/3
3,
3
,
−2
3
,
3
1
,
3
Solução: Sabemos que
• 3−2/3 =
−2
• 3
=
1
32/3
1
32
−1
1
.
3
Se a, b e c são não nulos e
< 1,
a>b>c
< 1,
então
• ( 13 )3 = 313 < 1,
√
• 1 < 5 3 < 3.
1
1
1
< < .
a
b
c
Como 33 > 32 > 32/3 temos então :
√
1
1
1
5
<
<
<
1
<
3 < 3.
3
2
2/3
3
3
3
Portanto,
3
−1
√
1
1
5
−2
−2/3
<3 <3
< 3<
.
3
3
8. Os bombons misturados -
Sejam x o número de bombons que Marta
ganhou e y o que Carmem ganhou. Temos x + y = 200. Como x < 100 então
y ≥ 100. Por outro lado, x > 45 y e y ≥ 100, concluı́mos que x >
4
5
× 100 = 80.
Logo, x é um inteiro compreendido entre 80 e 100 e múltiplo de 8, logo, só
pode ser 88 ou 96. Vamos decidir:
• Se x = 88, então y = 200 − 88 = 112. Logo: x >
4
5
× 112 = 89, 5 , o que
não é possı́vel.
• Se x = 96, então y = 200 − 96 = 104 e x >
possı́vel.
Logo Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104.
86
OBMEP 2007
4
5
× 104 = 83, 2, o que é
Lista 7
Nı́vel 2
Lista 7
1. Jantar aos sábado - Três casais jantam todo sábado no mesmo restaurante,
numa mesma mesa redonda. A polı́tica do restaurante é :
(a) jamais colocar juntos à mesa como vizinhos marido e mulher;
(b) a disposição dos seis à mesa é diferente a cada sábado.
Durante quantos sábados os casais poderão ir ao restaurante sem repetir as
disposições à mesa?
√ 4
1 + 1 + 1 é:
2. Expressão com radicais - O valor de
√
√
√
√
√ 1
(a) 2 + 3 (b) 7 + 3 5 (c) 1 + 2 3 (d) 3 (e) 3 + 2 2
2
√
3
3. Uma diferença - O valor de
(a)
− 3, 3
(b)
− 4, 7
(c)
√
√
√
−0, 001 × 400
0, 036 − 0, 4
√
√
−
é:
0, 25
0, 4
− 4, 9
(d)
− 3, 8
(e)
− 7, 5
4. A Terra - A superfı́cie do globo terrestre consiste de água (70%) e de terra
(30%). Dois quintos da terra são desertos ou cobertos por gelo e, um terço
é pastagem, ﬂoresta ou montanha; o resto é cultivado. Que percentual da
superfı́cie total do globo terrestre é cultivada?
OBMEP 2007
87
Nı́vel 2
5. Uma fração - Determine
Lista 7
A
......
... ....
.. .....
... ...
....
...
.
.
M...............................N
....
..
....
...
....
...
................................................
B
C
AN
.
AC
6. Cáculo de ângulo - Na ﬁgura P Q é paralelo a RS e T U = T V . Se o
QU V mede:
ângulo T
W S = 110◦ , o ângulo (a) 135◦
(b) 130◦
(c) 125◦
(d) 115◦
(e) 110◦
Q
..
...
...
.
..
.
...
...
...
..
..
.
.
...
...
...
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...
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.
.
...
...
...
...
...
...
..
..
.
.
.
...
...
..
S
U
110o
T
P
V
W
R
7. Uma loja de brinquedos - Uma loja estava vendendo um brinquedo por
R$ 13, 00 a unidade. Para conseguir vender todo o seu estoque que não era
superior a 100 unidades, resolveu abaixar o preço de um número inteiro de
reais. Com isso, conseguiu vender todo o estoque por R$ 781, 00. Qual foi a
redução do preço, por unidade?
88
OBMEP 2007
Soluções da Lista 7
Nı́vel 2
Soluções da Lista 7
1. Jantar aos sábado - Para simpliﬁcar, vamos denotar cada casal por um
par de números: (1, 2), (3, 4), (5, 6), onde em cada par, um número representa
o marido e o outro a mulher. Três pares não podem ser vizinhos (1, 2), (3, 4),
(5, 6)
Veja duas disposições possı́veis; no sentido horário começando em 1: 1-3-2-54-6 e 1-6-4-5-2-3.
1
....................................
.......
....
....
...
...
..
..
...
.
..
..
...
..
.
...
..
...
.
..
....
.
.
.......
..
....................................
1
....................................
.......
....
....
...
...
..
..
...
.
..
..
...
..
.
...
..
...
.
..
....
.
.
.......
..
....................................
6............
3
3............
6
4
2
2
4
5
132546
5
164523
Fixando a posição do 1 na mesa e lendo os números formados no sentido
horário, o problema se resume em encontrar todos os números de 6 algarismos
distintos que podem ser escritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, onde:
• os números todos começam com o algarismo 1;
• não podem aparecer juntos 1 e 2, 3 e 4, 5 e 6.
Encontramos os 16 números que estão na tabela.
132546
132645
135246
135264
135426
136245
136254
136425
142536
142635
145236
145326
146235
146325
153246
154236
Logo, a resposta é 16 sábados.
2. Expressão com radicais 4
√
√ 2
√
√
1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2.
OBMEP 2007
89
Nı́vel 2
Soluções da Lista 7
A opção correta é (e).
3. Possı́veis triângulos - Os lados de um triângulo têm comprimentos: a, a+2
e a + 5, onde a > 0. Determine os possı́veis valores de a.
Solução: Como a soma dos comprimentos dos lados menores deve ser maior
que o comprimento do lado maior, então temos que a + (a + 2) > a + 5, assim
a > 3.
4. Uma diferença - (a) Temos:
√
√
0, 4 ( 0, 09 − 1)
−0, 1 × 20
20
√
−
= − − (0, 3 − 1) = −4 − 0, 3 + 1 = −3, 3.
0, 5
5
0, 4
5. A Terra - A fração da terra que é cultivada é
1−
Como a terra é
isto é o
2
25
3
10
2 1
15 − 6 − 5
4
− =
=
.
5 3
15
15
do globo, temos que área cultivada é
4
15
3
× 10
=
2
25
do globo,
× 100% = 8% do globo terrestre.
6. Uma fração - A ﬁgura mostra que M N é paralelo a BC, logo os triângulos
ABC e AM N são semelhantes, e por isso seus lados são proporcionais. Usando
o lado dos quadradinhos da grade da ﬁgura, temos:
AM
AB
= 47 . Logo,
AN
AM
4
=
= .
AC
AB
7
7. Cáculo de ângulo - Como as retas P Q e RS são paralelas, então os ângulos
T
W S e QT
W são complementares. Assim temos que
QT
W = 180◦ − 110◦ = 70◦ .
90
OBMEP 2007
Soluções da Lista 7
Nı́vel 2
Por outro lado, sabemos que o triângulo U T V é isósceles, logo os ângulos
em U e em V são iguais. Usando que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180◦ temos que
2T
U V = 180◦ − 70◦ = 110◦ .
Portanto
T
U V = 55◦
e QU V = 180◦ − 55◦ = 125◦ .
A opção correta é (c).
8. Uma loja de brinquedos - Se x é o desconto em reais e y é o número de
peças, então
(13 − x) × y = 781 e y < 100.
Assim, (13 − x) e y são divisores de 781. Como 781 = 11 × 71, a única solução
é y = 71 e 13 − x = 11. Logo, a redução foi de R$2, 00.
Observação: x = 12 e y = 781 é solução da equação (13 − x) × y = 781, mas
não do problema porque devemos ter y < 100.
OBMEP 2007
91
Nı́vel 2
Lista 8
Lista 8
1
1. Fração de fração - Qual o valor de 1 +
?
1
1+
1+
1
2
2. Potências de 3 - Se 3n = 2 então quanto vale 272n ?
3. Aumento de preço - Se o preço de um produto subiu de R$ 5, 00 para
R$ 5, 55, qual foi a taxa percentual de aumento?
4. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim, com a condição
de plantá-las em 6 ﬁlas de 5 roseiras cada uma. Isso é possı́vel? Em caso
aﬁrmativo faça um desenho indicando para Jorge como plantar as roseiras.
5. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original
que efetua duas operações:
• a adição usual +
• a operação Sabemos que para todo número natural a tem-se:
(i) a a = a e (ii) a 0 = 2a
e, para quaisquer quatro naturais a, b , c e d
(iii) (a b) + (c d) = (a + c) (b + d) .
Quais são os resultados das operações (2 + 3) (0 + 3) e 1024 48 ?
92
OBMEP 2007
Lista 8
Nı́vel 2
..................................................................................................................................................................
... ......
.... ..
..... ..
.... .............
..... ....
... ... ........
.....
...
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.... .... .... .......
...
.
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..... ....
..... ...
... ......
..... ..
...........
.
.
.........................................................................................................................................................
6. Dois quadrados - Na ﬁgura ao lado, a área do
quadrado maior é 10 cm2 e do menor é 4 cm2 . As
diagonais do quadrado maior contém as diagonais
do quadrado menor. Quanto mede a área da região
tracejada?
7. ParalelismoFN × FU
.
FR × FL
Sendo IL paralela à EU e RE paralela à N I, determine
............
............
............
............
.. . ........
.... ... ..............
.... .... ..................................
............
...
... ... ...
.
.
.
............
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......
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................
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.
.
.
.
.
.
.
.
.......................................
.
...
.
.
.
.
.
.
.........
............................
..........................
E
R
N
I
U L
F
8. Um subconjunto - O conjunto {1, 2, 3, . . . , 3000} contém um subconjunto
de 2000 elementos tal que nenhum elemento é o dobro do outro?
s
8
9. Triângulos retângulos - Dada a ﬁgura
com as marcas, determine v, w, x, y e z.
......
... ...
... ....
... .....
....w
.....
................ ......
.... ... .....
9
z
..
... ..
...............................................................................................................................................................................
... ..
....
......
. .
....
......
v
..................
....
......
...
....
......
.
.
.
.
.
.
.
....
.
......
..... x
....
......
...
......
y ........
......
....
....
...... 20
.
.
.
.
.
.
.
.... ...
...
.... ........... ...........
....... .... ..............
............
.
sr
s
sr
s
10. Uma desigualdade especial- Quais valores de x satisfazem x2 < |x| + 2?
(a) x < −1 ou x > 1 (b) x > 1 (c) − 2 < x < 2 (d) x < −2 (e) x < 0
OBMEP 2007
93
Nı́vel 2
Soluções da Lista 8
Soluções da Lista 8
1. Fração de fração - Temos:
1
1+
1+
1
1+
=1+
1
1+
1
2
1
1
=1+
1+
3
2
2
3
=1+
1
5
3
=1+
3
8
= .
5
5
2. Potências de 3 - Temos: 272n = (33 )2n = 36n = (3n )6 = 26 = 64.
3. Aumento de preço - O aumento em reais foi 5, 55 − 5 = 0, 55; então o
percentual de aumento foi
0, 55 × 20
11
0, 55
=
=
= 11%.
5
5 × 20
100
4. Roseiras em fila - É possı́vel plantar as roseiras em 6 ﬁlas de 5 roseiras
cada uma, conforme mostra o desenho a seguir .
s
......
.. .....
.. .....
.. .....
.. .....
.....
..
..
........
..
.. .... ..........
.. ..
.....
.. ..
.....
.. ..
.....
.. ..
.....
.....
.. ..
.....
....
.....
...
.....
....
.
.....
....
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.....
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......... ...
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.....
... .......................... ............
.....
.. .
..
.....
...
.. ................................
.....
..
.
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.............
.....
.. .........
..
.
.....
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............. .....
.. ............ ....
.
..................
..
.. ..........
.
.............
..
...........
..................
.
.
..
..... ............
....
..
.
.....
...........
..
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.
..... ........................
.
.
.
.
..
.....
..... ...
.
.
.
...................
.
.
.
..
... ..
...............................................
.
.
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.
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.
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.
.
.
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.
.. ......................................................
.......
..
.....................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
..
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
5. Calculadora diferente - Para calcular (2 + 3) (0 + 3) utilizaremos a
propriedade (iii), e temos:
94
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Nı́vel 2
(2 + 3) (0 + 3) = (2 0) + (3 3)
Agora, por (i) temos 2 0 = 2 × 2 = 4, e por (ii) temos 3 3 = 3. Portanto,
(2 + 3) (0 + 3) = 4 + 3 = 7
Agora, para calcular 1024 48 vamos usar a mesma estratégia que acima.
Para isso, note que 1024 = 976 + 48 e 48 = 0 + 48.
1024 48 = (976 + 48) (0 + 48)
= (976 0) + (48 48)
= 2 × 976 + 48
= 1952 + 48 = 2000.
6. Dois quadrados - Observemos que a área do quadrado maior menos a área
do quadrado menor é igual a 4 vezes a área procurada. Logo a área tracejada
é
102 − 42
100 − 16
=
= 25 − 4 = 21.
4
4
7. Paralelismo- Dado que IL e EU são paralelas então
mente, como RE é paralela a N I temos que
FN
FR
=
FI
.
FE
FU
FL
=
FE
.
FI
Analoga-
Logo,
FE
FI
FN × FU
=
×
= 1.
FR × FL
FI
FE
8. Um subconjunto -
Vamos construir o subconjunto pedido da seguinte
forma:
OBMEP 2007
95
Nı́vel 2
Soluções da Lista 8
• ele contém todos os números ı́mpares: 1, 3, 5, . . . , 2999. Aqui já temos
uma lista com 1500 números.
• o conjunto não pode conter os números que são da forma 2×(número ı́mpar),
• o conjunto pode conter os números que são da forma 4 × (número ı́mpar),
isto é,
× 3 , 4 × 5 , . . . , 4 ×749
4 × 1 , 4 4
12
20
2996
essa lista tem 749 números e nenhum é o dôbro do outro. Além disso,
nenhum deles é o dôbro de um número ı́mpar.
Logo, o nosso conjunto já possui 1500 + 749 = 2249 elemento; assim qualquer
subconjunto dele com 2000 elementos satisfaz as condições pedidas.
9. Triângulos retângulos - Observemos que os quatro triângulos que aparecem na ﬁgura são triângulos retângulos semelhantes, e portanto seus lados são
proporcionais. Em particular
v
9
y
= = .
8
x
20
Além disso, pelo teorema de Pitágoras temos que y 2 = x2 + 92 e portanto
x2 + 81
y2
81
=
,
=
x2
400
400
assim x4 + 81x2 − 81 × 400 = 0 e
√
√
2
81 + 81 + 4 × 81 × 400
9 + 81 + 1600
9 + 41
=3
=3
= 15,
x=
2
2
2
√
√
√
√
9
donde y = 152 + 92 = 3 34, z = 202 − x2 = 5 7, v = 8 15
= 24
e
5
√
√
ﬁnalmente w = 82 + v 2 = 85 34.
96
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Nı́vel 2
10. Uma desigualdade especial- Observemos que se um número a satisfaz
a desigualdade, então −a também satisfaz a desigualdade, logo os valores
que satisfazem a desigualdade formam um conjunto simétrico, portanto basta
considerar o caso em que x é positivo. Mas, (2 − x)(1 + x) = x + 3 − x2 > 0 é
positivo se 2 − x é positivo, portanto x < 2. Como a solução é simétrica temos
que −2 < x < 2 é a solução da equação inicial. A opção correta é (c).
OBMEP 2007
97
Lista 1
Nı́vel 3
Nı́vel 3
Lista 1
1. Equação cúbica - Sobre a equação 2007x3 + 2006x2 + 2005x = 0 é certo
aﬁrmar:
(a) Não possui raı́zes
(b) Tem 3 raı́zes reais distintas
(c) Tem 2 raı́zes iguais
(d) Tem apenas uma raiz real
(e) Tem 3 raı́zes positivas
2. O perfume de Rosa - Rosa ganhou um vidro de perfume no formato de um
cilindro de 7 cm de raio da base e 10 cm de altura. Depois de duas semanas
usando o perfume restou 0, 45 l no vidro. Qual a fração que representa o
volume que Rosa já usou?
3. Igualdade com inteiros - Quais números naturais m e n satisfazem a
2n + 1 = m2 ?
4. O caminho da pulga - Para percorrer um caminho reto de 10 metros de
comprimento, uma pulga usa a seguinte estratégia: a cada dia ela percorre a
metade do caminho que faltava no dia anterior. Portanto, no primeiro dia ela
percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (o tamanho da
pulga é desprezı́vel).
(a) Quantos metros ela terá percorrido ao ﬁnal do sétimo dia? E do décimo?
(b) A partir de qual dia a pulga estará a menos de 0, 001m do ﬁnal do caminho?
OBMEP 2007
99
Nı́vel 3
Lista 1
5. Uma soma alternada - Se Sn = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . + (−1)n+1 n,
onde n é um inteiro positivo, então S1992 + S1993 é:
(a)
−2
(b)
−1
(c) 0
(d) 1
(e) 2
6. O raio da circunferência - Um arco de circunferência mede 300◦ e o seu
comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio
em metros?
(a) 157
(b) 284
(c) 382
(d) 628
(e) 764
7. Quatro passageiros - Em um táxi podem se sentar um passageiro na frente
e três atrás. De quantas maneiras podem se sentar os quatro passageiros se
um deles quer ﬁcar na janela?
8. Os cinco cı́rculos - Cinco discos
de mesmo raio estão dispostos como
mostra a ﬁgura. Quatro centros são
os vértices de um quadrado e três
estão alinhados. Trace uma reta que
divida a ﬁgura formada pelos 5 discos
em duas partes de mesma área.
100
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OBMEP 2007
s
s
s
s
s
Soluções da Lista 1
Nı́vel 3
Soluções da Lista 1
1. Equação cúbica - Observemos que x = 0 é uma solução, logo as possibilidades (a) e (e) ﬁcam descartadas. Agora só precisamos estudar as soluções de
2007x2 + 2006x + 2005 = 0, que é uma equação do 2o grau com discriminante
∆ = 20062 − 4 × 2007 × 2005 = 20062 − 4(2006 + 1)(2006 − 1)
= 20062 − 4(20062 − 1) = −3 × 20062 + 4 < 0,
logo não possui raı́zes reais. Portanto, a equação inicial tem uma única raiz
real, e a opção correta é (d).
Observação: Uma outra maneira (e mais simples) de mostrar que ∆ < 0 é:
como 2006 < 2007 e 2006 < 4 × 2005, então
2006 × 2006 < 4 × 2005 × 2007 =⇒ 20062 − 4 × 2005 × 2007 < 0.
2. O perfume de Rosa - O volume de um cilindro é o produto da área da
base pela altura. Como o raio da base é 7 cm, a área da base é: π × 72 , e então
o volume do vidro é
π × 72 × 10 cm3 = 490π cm3 =
490π
dm3 = 0, 49 π litros,
1000
lembrando que 1000 cm3 = 1 dm3 = 1 litro.
Depois de duas semanas, restaram 0, 45 litros de perfume, então ela gastou
(0, 49 π − 0, 45) litros. Portanto, a fração que representa o volume gasto é:
0, 49 π − 0, 45
49 π − 45
volume gasto
=
=
.
volume total
0, 49 π
49 π
3. Igualdade com inteiros - Como
2n = m2 − 1 = (m + 1)(m − 1),
OBMEP 2007
101
Nı́vel 3
Soluções da Lista 1
temos que m − 1 e m + 1 são potências de 2 cuja diferença é 2. Logo, a
única solução possı́vel é m − 1 = 2 e m + 1 = 22 , donde m = 3. Segue que
2n + 1 = 32 , e obtemos n = 3.
4. O caminho da pulga - No 1o pulo a pulga percorre 10 × 12 , no 2o , 10 × 212 ,
e assim por diante.
Os pulos da pulga
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I
r
r
1, 25
↑1
10 ·
r
2, 5
↑1
10 ·
8
r
5
10
↑1
10 ·
4
2
Depois de 7 dias a pulga terá percorrido
10
1
2
10
1
2
10 ×
+ 10
+
1 2
2
1 2
2
+
+ 10
1 3
2
1 3
+
2
+ 10
1 4
2
+
1 4
2
1 5
2
+
+ 10
1 5
1 6
+
2
2
+ 10
1 7 2
1 6
2
+ 10
1 7
2
=
=
26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1
127
≈ 9, 9.
= 10 ×
7
2
128
Logo em 7 dias ela percorreu, aproximadamente 9, 9 m. Em geral, depois de n
dias a pulga terá percorrido
1
1
10
+ ··· + n
2
2
1
Para calcular a soma acima, note que 2 + · · · +
1
2n
é a soma dos n termos
de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a1 = 1/2 e a razão é
q = 1/2. A fórmula para essa soma é:
Sn =
102
1/2(1 − 1/2n )
1
a1 (1 − q n )
=
= 1 − n.
1−q
1 − 1/2
2
OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Logo, 10
Nı́vel 3
1
1
+ ··· + n
2
2
1
= 10 1 − n
2
.
Portanto, ao ﬁnal do décimo dia a pulga terá percorrido 10(1 −
1
)m.
210
A pulga estará a menos de 0, 001m do ﬁnal do caminho, quando ela já tiver
percorrido pelo menos 10 − 0, 001 = 9, 999, ou seja quando
1
10 1 − n ≥ 9, 999.
2
Vamos determinar o menor valor de n que satisfaz a desigualdade acima.
1
10 1 − n
2
=⇒ 0, 001 ≥
≥ 9, 999 =⇒ 10 −
10
10
≥
9,
999
=⇒
10
−
9,
999
≥
2n
2n
10
2n
10
0, 001
=⇒ 2n ≥
=⇒ 2n ≥ 10000.
Agora,
210 = 25 × 25 = 32 × 32 = 1024 ,
segue que
213 = 210 × 23 = 1024 × 8 = 8192
Logo, devemos ter n = 14.
5. Uma soma alternada Solução 1: Lembre que

 1
se n é ı́mpar
n+1
=
(−1)
 −1 se n é par
Observemos que associando duas a duas parcelas consecutivas,
(1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + · · ·
obtemos uma soma de n parcelas todas iguais a −1. Logo,
OBMEP 2007
103
Nı́vel 3
Soluções da Lista 1
S1992 = (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + · · · + (1991 − 1992) = (−1)×996 = −996.
1992÷2=996 parcelas
S1993 = (1−2)+(3−4)+(5−6)+· · ·+(1991−1992)+1993 = −996+1993 = 997.
Assim, S1992 + S1193 = −996 + 997 = 1. A opção correta é (d).
Solução 2: Note que
S2n = (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + · · · + [2n − (2n + 1)]
n parcelas iguais a −1
Obtemos que S2n = −n e S2n+1 = S2n + (2n + 1) = −n + 2n + 1 = n + 1.
Logo, S2n + S2n+1 = 1.
6. O raio da circunferência θ
r.
Solução 1: Se o raio é r então o comprimento de um arco de θ graus é 2π 360
Assim, no problema dado, temos que
2π
300
3
r = 2000 m =⇒ r = 2000 ×
382, 17 m.
360
5π
Logo, a opção correta é (c).
Solução 2: Como a circunferência tem 360◦ , um arco de 300◦ representa
circunferência, logo, seu comprimento é
5
6
da
do comprimento da circunferência,
isto é:
5
2 000 × 6
1 200
× 2 π r = 2 000 m =⇒ r =
=
≈ 382, 17 m.
6
10 π
π
104
5
6
OBMEP 2007
Soluções da Lista 1
Nı́vel 3
7. Quatro passageiros - O passageiro que quer ﬁcar na janela tem 3 possı́veis
lugares para se sentar, o seguinte pode-se sentar em qualquer lugar livre, logo
tem 3 possı́veis lugares, o seguinte dois possı́veis lugares, e o último não tem
escolha. Concluı́mos que o número de formas de se sentar é 3 × 3 × 2 = 18.
8. Os cinco cı́rculos - Observemos que qualquer linha que passe por O, o
centro do quadrado ABCD, divide a área formada pelos cı́rculos C1 , C2 , C3 e
C4 na metade. Por outro lado, qualquer linha reta que passe por F divide a
área do circulo C5 na metade. Assim, a reta procurada é a reta F O.
C2
C1 ......................................................................
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Ds
Cs
Os
C5
s
s
F
A
C4
OBMEP 2007
s
B
C3
105
Nı́vel 3
Lista 2
Lista 2
1. O triângulo e o quadrado - Na ﬁgura ABCD
B ............................................................................................................................... C
... ......
............ .....
.. ....
.............
s
s
é um quadrado cujo lado mede 1 cm, E é o ponto
médio da diagonal BD e F o ponto médio do segmento BE. Qual é a área do triângulo BCF ?
... ......
...
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.....
...
...
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............................
...
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F .......
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..... E
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.........................................................................................................................
A
D
2. Uma refeição - Um sanduı́che e um prato de refeição custam em média
R$ 5, 00 e R$ 7, 00, respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar
sanduı́ches e pratos de refei ção com R$ 90, 00, sem deixar troco?
y
6
3. Plano Cartesiano - O ponto
P = (a, b) está marcado na ﬁgura
ao lado. Marque os pontos:
2
P
r
1
0
(a) A = (a/2, b + 1)
1
2
x
(b) B = (a − 1, b/2)
(c) C = (−a, −b)
(d) D = (1 − a, b − 1)
4. Soma dos terminados em 9 - A soma Sn = 9 + 19 + 29 + 39 + · · · + an
denota a soma dos primeiros n números naturais terminados em 9. Qual é o
menor valor de n para que Sn seja maior do que 105 ?
5. Três cilindros - Três cilindros têm alturas e raios das bases iguais a 10cm
× 10cm , 10cm × 5cm e 20cm × 5 cm, e volumes V1 , V2 e V3 , respectivamente.
106
OBMEP 2007
Lista 2
Nı́vel 3
...................................................................
.
.......................................
.......................................... ....
...
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............................................................................ ...
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..........................................................
.........................
......................... ........................
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............................
......................
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...... .
.............
.............. ....................
........
(a) Escreva em ordem crescente os volumes V1 , V2 e V3 dos três cilindros.
(b) Dê as dimensões de um cilindro V4 cujo volume esteja entre V2 e V3 .
(c) Dê as dimensões de um cilindro V5 cujo volume esteja entre V1 e V3 .
6. Percentagem de mortalidade - Se 15% dos membros de uma população
afetados por uma doença 8% morreram, a percentagem da mortalidade em
relação à população inteira é:
(a) 1, 2%
(b) 1, 8%
(c) 8%
(d) 12%
(e) 23%
7. Agenda de aulas - Eliane quer escolher o seu horário para a natação. Ela
quer ir a duas aulas por semana, uma de manhã e a outra de tarde, não sendo
no mesmo dia nem em dias seguidos. De manhã, há aulas de natação de
segunda-feira a sábado, às 9 h, às 10 h e às 11 h e de tarde, de segunda-feira
a sexta-feira, às 17 h e às 18 h. De quantas maneiras distintas pode Eliane
escolher o seu horário?
8. Jogo de cartas - Um grupo de amigos disputa um jogo que consiste em
mover sucessivamente a carta superior de uma pilha e colocá-la sobre uma
OBMEP 2007
107
Nı́vel 3
Lista 2
outra pilha, até obter 4 novas pilhas que são da forma: na Pilha 1 só tem
Áses, na Pilha 2 só tem Valetes, na Pilha 3 só tem Damas e na Pilha 4 só
tem Reis. Ganha o jogo quem ﬁzer o menor número de movimentos. Qual é o
número de movimentos que será sempre o vencedor?
108
Pilha 1
Pilha 2
Pilha 3
Pilha 4
Rei de ♥
Dama de ♥
Rei de Valete de ♠
Dama de Ás de Valete de ♥
Rei de ♠
Valete de Ás de ♥
Dama de ♠
Ás de ♠
Ás de ♣
Valete de ♣
Dama de ♣
Rei de ♣
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 3
Soluções da Lista 2
B ................................................................................................................................ C
.. ...
... ......
.............
1. O triângulo e o quadrado -
As diagonais
s
s
do quadrado ABCD dividem o quadrado em 4
triângulos iguais, logo a área do triângulo BCE
é
... ......
...
.....
... ......
...
............
.............
.....
...
...
..... ........................
...
...
............
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...
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...
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F
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..... E
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...
..... ..
...
.................................................................................................................
A
D
1 ÷ 4 = 0, 25 cm2 .
Como o comprimento de BF é a metade de BE e a altura relativa aos lados
BF e BE é CE, então a área do triângulo CBF é a metade da área do
triângulo CBE. Assim, a área de dito triângulo é 0, 25 ÷ 2 = 0, 125 cm2 .
2. Uma refeição - Se S corresponde ao n úmero de sanduı́ches e P o número
de pratos de refeição, então 5S + 7P = 90. Precisamos encontrar soluções
inteiras P e Q para essa equação. Temos:
5S + 7P = 90 =⇒ P =
18 − S
90 − 5S
=5×
.
7
7
Como P é um número natural temos que 7 tem que dividir 18−S, assim S = 4,
11 ou 18, e em cada um destes casos P é igual a 10, 5 e 0, respectivamente.
Portanto, temos somente três formas de fazer a compra.
y
6
3. Plano Cartesiano - As coordenadas do ponto
2
P satisfazem:
rP
1
0<a<1
0
1
2
e
1 < b < 2.
Lembremos três propriedades de desigualdades:
OBMEP 2007
109
-
x
Nı́vel 3
Soluções da Lista 2
(i) Uma desigualdade não se altera se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo
número a ambos os seus membros: x < y =⇒ x + z < y + z.
(ii) Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos por um número positivo ambos os seus membros: x < y =⇒ xz < yz,
z > 0.
(iii) Uma desigualdade inverte o seu sentido se multiplicarmos por um número
negativo ambos os seus membros: x < y =⇒ xz > yz,
z < 0.
Assim temos:
(a) 0 < a/2 < 1/2 e 1 + 1 < b + 1 < 2 + 1;
(b) −1 < a − 1 < 0 e 1/2 < b/2 < 1;
(c) −1 < −a < 0 e
− 2 < −b < −1;
(d) 0 < 1 − a < 1 e 0 < b − 1 < 1.
A ﬁgura mostra os pontos no Plano Cartesiano.
y
6
rA
2
r
r
P
1
r
B
D
0
1
2
x
r
C
4. Soma dos terminados em 9 - Note que Sn é a soma dos n primeiros
termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 = 9 e a razão
110
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 3
é r = 10. Substituindo esses dados na fórmula an = a1 + (n − 1)r obtemos
an = 9 + 10(n − 1). Por outro lado, note que:
9
= 9 + 0 · 10
19
= 9 + 1 · 10
29
= 9 + 2 · 10
39
= 9 + 3 · 10
···
an
= 9 + (n − 1) · 10
Então temos:
Sn = 9 + 19 + 29 + · · · + an
= (9 + 0) + (9 + 10) + (9 + 2 · 10) + · · · + [9 + (n − 1) · 10]
= 9n + [1 · 10 + 2 · 10 + 3 · 10 + · · · + (n − 1) · 10]
= 9n + [1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)] · 10
n(n − 1)
· 10
= 9n +
2
= 9n + 5 · n(n − 1)
= 5n2 + 4n
Como queremos que Sn ≥ 105 então precisamos encontrar o menor valor inteiro
positivo n tal que 5n2 + 4n ≥ 105 , ou equivalentemente, 5n2 + 4n − 105 ≥ 0.
Resolvendo a equação 5x2 + 4x − 105 = 0 temos que
√
−4 ± 16 + 20 · 105
.
x=
10
√
−4 + 16 + 20 · 105
A raiz positiva é x1 =
141, 02.
10
Mas, 5x2 + 4x − 105 é positiva fora das raı́zes. Como estamos procurando o
menor número positivo e inteiro tal que 5x2 + 4x − 105 ≥ 0, então n = 142.
OBMEP 2007
111
Nı́vel 3
Soluções da Lista 2
5. Três cilindros (a) Dado que o volume de um cilindro de raio R e altura h é πR2 h temos que
os volumes V1 , V2 e V3 são:
V1 = π × 103 = 1000π , V2 = π × 52 × 10 = 250π , V3 = π × 52 × 20 = 500π
Assim, temos então que V1 > V3 > V2 .
(b) Como os dois cilindros têm o mesmo raio, basta manter o raio do cilindro
com 5 cm e a altura entre 10 cm e 20 cm, por exemplo: h = 15 cm. Neste caso,
o volume V4 é: π × 52 × 15 = 375π cm3 .
(c) Para construir um cilindro de volume V5 entre V1 e V3 , podemos diminuir
o raio do cilindro de volume V5 para 8 cm e tomar como altura 10 cm, a menor
das duas alturas, obtendo um cilindro de volume π × 82 × 10 = 640π cm3 .
6. Percentagem de mortalidade - A proporção de população que ﬁca doente
pela enfermidade é
8
.
100
15
100
e dos que ﬁcam doentes, a proporção que morre é
Logo, a proporção de população que morre pela doença é
15
100
×
8
,
100
que
corresponde a
12
1, 2
120
15 × 8
=
=
= 1, 2%.
=
1002
10000
1000
100
A opção correta é (a).
7. Agenda de aulas - Se a aula da manhã é segunda ou sexta (em qualquer
dos três horários), então o dia da aula de tarde pode ser escolhida de 3 formas
diferentes (em qualquer dos dois horários), assim temos 2 × 3 × 3 × 2 = 36
formas diferentes de escolher o horário. No caso em que a aula de manhã seja
sábado então o dia da aula da tarde pode ser qualquer dia de segunda a quinta,
assim temos 3 × 4 × 2 = 24 possı́veis formas. Por último, se a aula da manhã
112
OBMEP 2007
Soluções da Lista 2
Nı́vel 3
é terça, quarta ou quinta, então a aula da tarde só pode ser escolhida de duas
formas, assim temos 3 × 3 × 2 × 2 = 36 formas. Logo a Eliana pode escolher
seu horário de 36 + 24 + 36 = 96 formas distintas.
8. Jogo de Cartas - A estratégia abaixo permite realizar o jogo com 17 movimentos.
O primeiro número indica a pilha sobre a qual a carta é tomada e o segundo
a pilha onde a carta é colocada, por exemplo: Movimento 1= pegar a carta
superior na Pilha 4 e colocar na Pilha 2.
(1) 4 sobre 2
(2) 4 sobre 3
(3)4 sobre 2
(4) 3 sobre 4
(5) 3 sobre 4
(6) 1 sobre 4
(7) 3 sobre 4
(8)1 sobre3
(9) 1 sobre 4
(10) 2 sobre 1
(11) 2 sobre 4
(12) 2 sobre 3
(13)2 sobre1
(14) 2 sobre 1
(15) 4 sobre2
(16) 4 sobre 2
(17) 4 sobre 2
O movimento 2 poderia ser também 4 sobre 1, o movimento 4 poderia ser
1 sobre 4, o movimento 5 poderia ser 1 sobre 4, o movimento 6 poderia ser
3 sobre 4. Os movimentos 4, 5 e 6 poderiam ser permutados em qualquer
ordem. Terı́amos assim, pelo menos, seis maneiras de se realizar o jogo com
17 movimentos.
Esse jogo pode ser realizado com um número menor de movimentos?
OBMEP 2007
113
Nı́vel 3
Lista 3
Lista 3
1. Frações inteiras - Quantos números inteiros positivos n existem tais que
2n2 + 4n + 18
é um inteiro?
3n + 3
2. Quatro prefeitos e um cı́rculo - Quatro prefeitos decidem construir uma
rodovia circular que passe em suas cidades, entretanto, as quatro cidades não
estão sobre um mesmo cı́rculo. Eles contratam uma empresa para elaborar um
projeto para a construção da rodovia circular eqüidistante das quatro cidades.
Qual o maior número de projetos geograﬁcamente distintos que a empresa
elaborou?
3. Fatoriais - Se n é um número natural, denotamos por n! o produto de
todos os inteiros de 1 a n. Por exemplo: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 e 13! =
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × . . . × 12 × 13. Por convenção, 0! = 1. Encontre três números
inteiros diferentes a, b e c, entre 0 e 9 tais que o número de tr ês algarismos
a b c é igual a a! + b! + c!.
4. Para a escola de bicicleta - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo
horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a 20km/h, ela chega
em casa às 4 : 30 horas da tarde. Se ela pedalar a 10km/h, ela chega em casa
às 5 : 15 horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em
casa às 17 : 00 horas?
5. O Riquinho - Riquinho distribuiu R$ 1000, 00 reais entre os seus amigos:
Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real
114
OBMEP 2007
Lista 3
Nı́vel 3
ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais
ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu?
6. Retângulo com dimensões inteiras - As diagonais de um retângulo me√
dem 1993 cm. Quais são suas dimensões, sabendo que elas são números
inteiros?
7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Escreve-se em ordem crescente
cada múltiplo de 3 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito:
3 ;
15 ;
24 ;
48 ;
...
Qual é o múltiplo na posição 2006o ?
8. Cinco cartas - As cinco cartas abaixo estão sobre uma mesa, e cada uma
tem um número numa face e uma letra na outra. Simone deve decidir se a
seguinte frase é verdadeira: “Se uma carta tem uma vogal numa face, então
ela tem um número par na outra.” Qual o menor número de cartas que ela
precisa virar para decidir corretamente?
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......................
2
.........................
...
...
..
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...
...
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.......................
3
.........................
...
...
..
...
...
...
........................
M
OBMEP 2007
.........................
...
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..
...
...
...
........................
A
.........................
...
...
..
...
...
...
........................
E
115
Nı́vel 3
Soluções da Lista 3
Soluções da Lista 3
1. Frações inteiras - Como
2n2 + 4n + 18
2 (n2 + 2n + 1) + 8
1
=
=
3n + 3
3
n+1
3
16
2n + 2 +
n+1
,
segue que n + 1 tem que dividir 16. Assim, n tem que pertencer ao conjunto
{1, 3, 7, 15}. Em cada um destes casos temos
n
2n2 +4n+18
3n+3
1
4
3
4
7
6
15
11
Portanto para os quatro valores de n, 1, 3, 7 e 11, tem- se que
2n2 + 4n + 18
3n + 3
é um inteiro.
2. Os prefeitos e o cı́rculo - O número de rodovias é igual ao número de
pontos que podem ser centros da circunferência formada pelas rodovias.
Observemos por outra parte que podemos ter dois tipos de conﬁguração. Na
primeira conﬁguração a circunferência divide o conjunto das 4 cidades em dois
conjuntos: um conjunto com 3 cidades e outro com una cidade. Na segunda
conﬁguração a circunferência divide o conjunto das cidades, em dois conjuntos,
cada um deles com 2 cidades.
Nas ﬁguras abaixo está ilustrado um exemplo de cada um destas conﬁgurações
onde a circunferência contı́nua é a rodovia planejada.
116
OBMEP 2007
Soluções da Lista 3
Nı́vel 3
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q
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qs
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s
s
q
s
s
Na primeira conﬁguração temos que o centro da circunferência está na mesma
distância das três cidades que ﬁcam do mesmo lado da rodovia e assim o centro
desta rodovia é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo formado
pelas três cidades. Logo, o número de rodovias é igual ao número de triângulos
que podemos formar com as 4 cidades, isto é, 4 possı́veis rodovias.
Na segunda conﬁguração, temos que o centro da circunferência formada pela
rodovia esta sobre a mediatriz das duas cidades que ﬁcam na parte interna
da rodovia e também sobre a mediatriz das duas cidades que ﬁcam na parte
externa da rodovia. Assim, o número de rodovias é igual ao número de formas
de dividir o conjunto de 4 elementos em dois conjuntos com 2 elementos cada
um, isto é 3 formas.
Logo o número possı́vel de projetos é 4 + 3 = 7.
3. Fatoriais - Primeiramente observe que como o n úmero tem 3 algarismos,
então o maior dos algarismos tem que ser menor que ou igual a 6, já que
7! > 1000. Como o número tem que ter 3 algarismos e 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 12
então um dos algarismos tem que ser 5 ou 6, mas 6! = 720 implicaria que a
soma teria um algarismo maior ou igual a 7, logo o maior dos algarismos é 5.
Por outra parte, 5! = 120 e 5! + 4! + 3! = 120 + 24 + 6 = 150, assim a soma
dos fatoriais está entre 100 e 150, portanto o algarismo das centenas é 1. Por
último como 5! + 1! + 4! = 145, então 145 é solução.
OBMEP 2007
117
Nı́vel 3
Soluções da Lista 3
4. Para a escola de bicicleta - Seja t o tempo que ela gasta pedalando a
20km/h. Pedalando a 10 km/h, ela faz o percurso no dobro do tempo que
pedalando a 20km/h, isto é 2t. No entanto, como ela demora 45 minutos a
mais temos:
2t − t = 45 =⇒ t = 45min.
Logo, diariamente ela sai da escola às
4 : 30 h − 45 min = 3 : 45 h
e o percurso até em casa é de
45min × 20km/h =
3
× 20 = 15km .
4
Para percorrer 15km em 5 : 00 h − 3 : 45 h = 1 : 15 h = 54 h, ela deve manter
uma velocidade de
15km
= 12km/h.
5
h
4
5. O Riquinho - O dinheiro foi repartido em parcelas na forma
1 + 2 + 3 + · · · + n ≤ 1000.
Como 1 + 2 + 3 + · · · + n é a soma Sn dos n primeiros números naturais a
partir de a1 = 1 temos:
Sn =
(1 + n)n
(a1 + an )n
=
≤ 1000 =⇒ n2 + n − 2000 ≤ 0.
2
2
Temos que
n2 + n − 2000 < 0 para valores de n entre as raı́zes .
Como a solução positiva de n2 + n − 2000 = 0 é
√
−1 + 1 + 8000
44, 22 ,
n=
2
118
OBMEP 2007
Soluções da Lista 3
Nı́vel 3
então n ≤ 44. Assim Bernardo recebeu
2 + 5 + 8 + 11 + · · · + 44 =
(44 + 2) · 15
= 23 · 15 = 345.
2
6. Retângulo com dimensões inteiras - Se a ≥ b são os comprimentos dos
lados do retângulo, então pelo teorema de Pitágoras temos
a2 + b2 = 1993 .
Como a2 ≥ b2 , segue que
2a2 ≥ a2 + b2 = 1993 > a2 .
Logo,
√
1993 > a ≥
996, 5 .
Assim, 44 ≥ a ≥ 32. Usando o fato que a2 − (a − 1)2 = 2a − 1 podemos
completar a seguinte tabela, somando aos elementos da segunda coluna na
linha a − 1 o número 2a − 1 para obter o elemento da segunda coluna na
linha a.
a
b2 = 1993 − a2
44
57
43
144
42
..
.
229
..
.
Assim, temos que a = 43 e b = 12 é solução.
7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Chamemos a um número qualquer da lista, então sabemos que:
OBMEP 2007
119
Nı́vel 3
Soluções da Lista 3
• a é múltiplo de 3
• a + 1 é um quadrado: a + 1 = k 2 , sendo k um número natural.
Assim a = k 2 − 1, e logo
a = (k − 1)(k + 1)
Como a é divisı́vel por 3, então ou k + 1 ou k − 1 é divisı́vel por 3. Logo, k
não é divisı́vel por 3, portanto, k tem que ser da forma 3n + 1 ou 3n + 2, ou
seja para cada valor de n temos dois números que não são múltiplos de 3.
O número desta lista que está na posição 2006 é 2006 × 32 − 1 = 3008, e neste
caso a = 30082 − 1.
8. Cinco cartas .........................
...
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...
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......................
2
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3
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M
.........................
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.......................
A
.........................
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...
..
...
...
...
.........................
E
Ela não precisa virar a carta que tem o número 2, porque sendo vogal ou
consoante, ela cumpre a condição, de igual forma. Ela também não precisa
virar a carta com a letra M. A carta que tem o número 3 tem que ser virada,
para comprovar que na outra face tem uma consoante, e também as cartas
com a letra A e a letra E têm que ser viradas para veriﬁcar que os números
na outra face são pares. Assim, ela precisa virar somente 3 cartas.
120
OBMEP 2007
Lista 4
Nı́vel 3
Lista 4
1. Lucro de uma companhia - Uma companhia tem um lucro de 6% nos
primeiros R$ 1000, 00 reais de venda diária, e 5% em todas as vendas que
excedem R$ 1000, 00 reais, nesse mesmo dia. Qual é o lucro dessa companhia
num dia que as vendas alcançam R$ 6000, 00 reais?
(a) R$250
(b) R$300
(c) $310
(d) R$320
(e) R$360
2. Seqüência triangular - Qual é o 21o termo da seqüência
1 ; 2 + 3 ; 4 + 5 + 6 ; 7 + 8 + 9 + 10 ; 11 + 12 + 13 + 14 + 15 ; . . . ?
3. O jardim octogonal - A ﬁgura mostra a planta
de um jardim de uma cidade, feita num papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polı́gono
de oito lados com uma roseira quadrada no centro,
cercada de grama. A área total do jardim é de
700 m2 . Para colocar uma cerca em volta do jar-
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...... roseira ......
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.....
..................................
dim e da roseira, o prefeito dispõe de no máximo
R$650, 00. Qual o maior preço que ele poderá pagar pelo metro de cerca?
4. Número de caracteres - Numa folha de papel cabem 100 caracteres na
largura e 100 na altura. Nessa folha são escritos sucessivamente os números
1, 2, 3, . . . com um espaço entre cada um. Quando no ﬁnal de uma linha não
há espaço para escrever um número este é escrito na linha seguinte. Qual é o
ultimo número escrito na folha?
OBMEP 2007
121
Nı́vel 3
Lista 4
5. A árvore de Emı́lia - A árvore de Emı́lia cresce
r
r
r
r
r
..
...
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..
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...
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...
...
...
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de acordo com a seguinte regra: após 2 semanas
r
do aparecimento de um galho, esse mesmo galho
r
r
r
r
produz um novo galho a cada semana, e o galho
original continua a crescer. A árvore tem 5 galhos
r
depois de 5 semanas, como mostra a ﬁgura. Quan-
r
tos galhos, incluindo o galho principal a árvore terá
no ﬁnal de 8 semanas?
6. Um teste vocacional - Foi feito um teste vocacional em 1000 estudantes
de uma escola. A tabela a seguir apresenta os resultados por área de estudo e
sexo.
Exatas
Humanas
Biológicas
Masculino
232
116
207
Feminino
112
153
180
Se um aluno é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
(a) Ser da área de exatas.
(b) Ser da área de humanas, sendo do sexo masculino.
(c) Ser do sexo feminino, dado que é da área biológica.
7. Dois setores circular - A área do cı́rculo
= 60◦
da ﬁgura ao lado mede 20 cm2 . Se AOB
= 30◦ , quanto mede a área da região do
e COD
O
t
tC
tD
cı́rculo que está tracejada?
122
B
t
At
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OBMEP 2007
Lista 4
Nı́vel 3
8. Compra de televisores - Maria encomendou certo número de televisores a
R$ 1 994, 00 cada um. Ela reparou que no total a pagar, não tem nem 0, nem 7,
nem 8 e nem 9. Qual foi o menor número de televisores que ela encomendou?
OBMEP 2007
123
Nı́vel 3
Soluções da Lista 4
Soluções da Lista 4
1. Lucro de uma companhia - (c) Nos primeiros R$ 1000 reais a companhia
tem lucro de R$ 60 reais, e para os R$ 5000 reais restantes tem lucro de 5000 ×
5% = 250 reais. Logo o lucro da empresa nesse dia é R$ 310 reais.
2. Seqüência triangular - Observe que o 21o termo é a soma de 21 números
consecutivos. Tomando a primeira parcela de cada termo, isto é, 1,2,4,7,11,
16, . . . , temos que
2 = 1+1
4 = 2+1+1
7 = 3+2+1+1
11 = 4 + 3 + 2 + 1 + 1
16 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1
..
.
Assim, a primeira parcela do 21o termo é
20 + 19 + · · · + 3 + 2 + 1 + 1 =
20 × 21
+ 1 = 211
2
e o 21o termo é
211 + 212 + · · · + 230 + 231 =
(211 + 231) × 21
= 221 × 21 = 4641.
2
3. O jardim octogonal - Observemos que a área
do jardim pode ser medida contando o número de
quadradinhos na folha. De fato, se contarmos o
número de quadrados obtemos em total
124
OBMEP 2007
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........ roseira
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Soluções da Lista 4
Nı́vel 3
24 quadradinhos + 8 meios quadradinhos = 28 quadradinhos
Como a área total é 700 m2 , a área de cada quadradinho corresponde a
700 ÷ 28 = 25 m2 .
Assim, o lado de cada quadradinho corresponde a 5 m. Pelo Teorema de
√
Pitágoras, a diagonal d de cada quadradinho corresponde a d = 52 + 52 =
√
5 2 m.
O contorno da roseira é formado por 4 diagonais e do jardim por 8 diagonais
e 8 lados, logo temos:
√
√
perı́metro da roseira = 4 × d = 4 × 5 2 = 20 2 m
√
perı́metro do jardim = 8 × 5 + 8 × d = 40 + 40 2
Logo, o comprimento total de cerca que será necessário é
√
√
√
20 2 + 40 + 40 2 = 40 + 60 2 m
Agora temos:
65
65
650
65
√ =
√ ≈
=
≈ 5, 21.
4 + 6 × 1, 414
12, 484
40 + 60 2
4+6 2
Assim, o preço máximo que o prefeito poderá pagar é R$5, 21.
4. Número de caracteres - Na 1a linha escrevemos os números de 1 a 9,
cada um seguido de um espaço, ocupando 18 espaços, e sobram 82 espaços.
Cada número de 2 algarismos mais um espaço ocupa 3 lugares na linha. Como
OBMEP 2007
125
Nı́vel 3
Soluções da Lista 4
82 = 27 × 3 + 1, completamos a 1a linha com 27 números de dois algarismos
a partir do 10. Logo o último número da primeira linha é 36. Representando
cada espaço por um traço, a 1a linha ﬁca como
· − 36−
1 − 2 − 3 − 4 − 5− 6 − 7 − 8 − 9− 10
− · ·
18
82
Como 100 = 33 × 3 + 1, em cada linha podemos colocar 33 números de 2
algarismos, cada um seguido de um espaço, e no ﬁnal da linha ainda sobra um
espaço:
2a linha : 37
− 38 −· · · − 69− −
99
Na 3a linha, colocamos de 70 a 99, ocupando 30 × 3 = 90 espaços. Os 10
espaços restantes ocupamos com dois números de 3 algarismos:
3a linha : 70
· · − 99− 100
− − ·
−101− −−
90
8
Agora, em cada linha podemos colocar 100 ÷ 4 = 25 números de 3 algarismos
com seus respectivos espaços. De 102 a 999 inclusive temos 999−102+1 = 198
números. Como 198 = 25×7+23, ocupamos da 4a a 10a linha com os números
de 3 algarismos e ainda sobram 23 espaços na 10a linha, que podemos ocupar
com 23 ÷ 5 = 4 números de 4 algarismos:
· − 999− 1000
− 1001
10a linha : −
− 1002− − − −
− · · 67
23
Em cada linha podemos colocar 100 ÷ 5 = 20 números de 4 algarismos e
seus respectivos espaços. Portanto, nas 90 linhas restantes podemos colocar
90 × 20 = 1800 números de 4 algarismos. Começando com 1003 chegaremos
até o número 2802.
126
OBMEP 2007
Soluções da Lista 4
Nı́vel 3
5. A árvore de Emı́lia - Denotemos por fn o número
de galhos da árvore depois de n semanas. Como depois de duas semanas aparece um galho então f2 = 1,
Na seguinte semana este galho produz um novo galho, logo f3 = 2. Pela regra, o número de galhos na
n + 1-ésima semana é igual ao número de galhos que
existiam na n-ésima semana, mais os galhos novos.
Mas, os galhos novos nascem dos galhos que têm pelo
menos duas semanas, isto é, nasce um galho novo por
r
r
r
r
r
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r
r
r
r
r
r
r
cada galho que existia na semana n − 1.
Assim, temos que fn+1 = fn + fn−1 . Logo:
f4 = 2 + 1 = 3
f5 = 3 + 2 = 5
f6 = 5 + 3 = 8
f7 = 8 + 5 = 13
f8 = 13 + 8 = 21
6. Um teste vocacional (a) De exatas temos 232 + 112 = 344 estudantes, logo a probabilidade de
escolher ao acaso um aluno de exatas é
344
1000
= 0, 344.
(b) Como o número de estudantes do sexo masculino é 555, temos que a
probabilidade de ser da área de humanas é
116
555
= 0, 209.
(c) O número de estudantes da área biológica é 387. Assim, a probabilidade
de escolher um do sexo feminino é
180
387
OBMEP 2007
= 0, 465.
127
Nı́vel 3
7. Dois setores circular - Como
Soluções da Lista 4
B
t
At
60◦ + 30◦ = 90◦ ,
segue que área tracejada representa um quarto da
área total del cı́rculo. Como a área do circulo é
20 cm2 então a área tracejada é 5 cm2 .
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O
t
tC
tD
8. Compra de televisores - Se Maria comprou n televisores, então ela gastou
1994n, que é um múltiplo de 1994 onde não aparecem os algarismos 0, 7, 8
e 9. Vamos tentar limitar o valor de n. Primeiro observe que
1994n = 2000n − 6n
e também que se
6n < 300
então o número 2000n − 6n tem 7 ou 8 ou 9 no algarismos das centenas (faça
alguns exemplos, lembre-se que 2000n termina com 3 zeros e depois convençase). Assim devemos ter
6n ≥ 300,
isto é n ≥ 50 .
Observemos que 50 não pode ser porque o valor terminaria em 0, logo n ≥ 51.
Dado que 1994 × 51 = 101694 temos que n não pode ser 51 e portanto n =
51 + m com m positivo. Agora como precisamos que o número não tenha 0,
assim 1994m tem que eliminar o 0 de 101694, portanto m ≥ 4, mas m = 4
não é solução porque 1994 × 55 termina em 0. Se testamos n = 56 temos que
1994 × 56 = 111664
é o número procurado.
128
OBMEP 2007
Lista 5
Nı́vel 3
Lista 5
1. Distância entre números - Considere os números reais a, b, c e d representados em uma reta, conforme mostra a ﬁgura. Determine quais das aﬁrmações
são verdadeiras ou falsas.
a
−4
b
s
−3
s
−2
−1
(a)
|a| < 4
(b) |b| < 2
(e)
|c| < |d|
(f)
(i)
|c − d| < 1 (j)
|a| < |d|
c
s
d
0
1
s
2
(c) |c| < 2
3
-
(d) |a| > |b|
(g) |a − b| < 4 (h) |a − b| ≥ 3
|b − c| < 2 (l)
|b − c| > 3
(m) |c − a| > 1
2. Cartões premiados - Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes.
Cada um dos cartões possui um número de 4 algarismos, entre 0001 e 9999.
Se a soma dos primeiros 2 algarismos for igual à soma dos 2 últimos, o cartão
é premiado. Por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Prove que a soma dos
números de todos os cartões premiados é divisı́vel por 101.
3. O preço da gasolina - Em 1972 encher o tanque de gasolina de um carro
pequeno custava R$29, 90, e em 1992, custava $149, 70 para encher o mesmo
tanque. Qual dos valores abaixo melhor aproxima o percentual de aumento
no preço da gasolina nesse perı́odo de 20 anos?
(a) 20%
(b) 125%
(d) 300%
(d) 400%
(e) 500%
4. O triângulo de latas - Um menino tentou alinhar 480 latas em forma de
um triângulo com uma lata na 1a linha, 2 latas na 2a e assim por diante. No
ﬁm sobraram 15 latas. Quantas linhas tem esse triângulo?
OBMEP 2007
129
Nı́vel 3
Lista 5
5. Circunferência e triângulo retângulo - Inscreve-se uma circunferência
num triângulo retângulo. O ponto de tangência divide a hipotenusa em dois
segmentos de comprimentos 6cm e 7cm. Calcule a área do triângulo.
1
1
1
+ 2 + · · · + n , qual é o menor número
2
2
2
inteiro positivo n tal que Sn > 0, 99?
6. Soma de razão
1
2
- Se Sn =
7. Soma de raı́zes quadradas √
r2 − 5
.
3, mostre que 6 =
2
√
√
(b) Se s = 215 + 300, mostre que s2 > 1015.
(a) Se r =
√
2+
√
8. Duas rodas - A roda A gira com 1200 voltas por minuto, e a roda B com
1500 voltas por minuto. Calcule os raios das duas rodas.
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A
130
B
9 cm
OBMEP 2007
W
-
Soluções da Lista 5
Nı́vel 3
Soluções da Lista 5
1. Distância entre números a
−4
b
s
−3
−2
c
s
−1
s
d
0
s
1
2
-
3
Como os números a, b e c são negativos e c é positivo, temos que
|a| = −a , |b| = −b , |c| = −c , |d| = d
Assim, |a|, |b| e |c| são simétricos de a , b e c em relação ao zero. No seguinte
gráﬁco se mostram os pontos |a|, |b|, |c| e |d|.
|c|
−4
−3
−2
−1
0
s
|b||d|
1
ss
|a|
2
3
s
-
4
Note que não podemos aﬁrmar qual entre os dois,|b| e |d|, é o maior, as unicas
comparações que podemos fazer são:
0 < |c| < 1 < |b| < 2 < |a| < 4 e 0 < |c| < 1 < |d| < 2 < |a| < 4
Portanto, (a), (b), (c), (d) e (e) são verdadeiros e (f) é falso.
Lembre que |x − y| = distância de x a y.
Como a e b estão entre −4 e −1, a distância entre eles é menor do que 3, isto
é: |a − b| < 3, logo (g) é verdadeira e (h) é falso. Analogamente, temos:
• 1 < |c − d| < 3 =⇒ (i) é falso
• 0 < |b − c| < 2 =⇒ (j) é verdadeiro e (l) é falso
• 2 < |a − c| =⇒ (m) é verdadeiro.
OBMEP 2007
131
Nı́vel 3
Soluções da Lista 5
2. Cartões premiados - Observe que se o cartão abcd é premiado então o
cartão cdab também é premiado, por exemplo: 2341 e 4123 são ambos premiados. Assim sempre que ab = cd temos dois cartões premiados cuja soma é
abcd + cdab = (ab × 100 + cd) + (cd × 100 + ab) = 101(ab + cd),
assim a soma desse dois cartões é divisı́vel por 101.
No caso que o cartão ser da forma
abab = ab × 100 + ab = 101 × ab
o número do cartão é divisı́vel por 101. Assim a soma de todos os cartões é
divisı́vel por 101 já que a soma pode ser feita agrupando cartões do tipo abcd
com cdab.
3. O preço da gasolina - O aumento do valor foi
149, 70 − 29, 90 = 119, 80 reais ,
que corresponde a:
119, 80
× 100% = 400, 66%.
29, 90
A opção correta é (d).
4. O triângulo de latas - Suponhamos que o triângulo está composto por n
linhas, logo foram usadas 1 + 2 + 3 + · · · + n latas, assim
480 − 15 = 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
=⇒ n2 + n − 930 = 0.
2
Resolvendo a equação n2 + n − 930 = 0, obtemos:
√
−1 ± 61
−1 ± 1 + 4 × 930
=
.
n=
2
2
132
OBMEP 2007
Soluções da Lista 5
Nı́vel 3
Assim, n = 30 que é única solução positiva desta equação. Logo o triângulo
tem 30 linhas.
5. Circunferência e triângulo retângulo - Seja r o raio da circunferência
inscrita. Usando o teorema de Pitágoras temos que
(6 + 7)2 = (r + 6)2 + (r + 7)2 = r2 + 12r + 36 + r2 + 14r + 49 = 2(r2 + 13r) + 85,
assim temos que r2 + 13r =
169−85
2
= 42.
Q
Q6
Q........
..........
......................Q
.......
........
....
......
Q
....
...
.
.
...
..
Q
.
...
....
.. Q
..
...
.
Q7
..
..
...
..
Q
...
..
.
.
...
.
.
Q
.
r ...................... .....................
Q
..............................
Q
6
Por outro lado, a área do triângulo é
r
(r + 6)(r + 7)
r2 + 13r + 42
42 + 42
=
=
= 42.
2
2
2
6. Soma de razão
1
2
7
- Como
Sn =
1
1 1 1
+ + + ··· + n
2 4 8
2
segue que
1
1
Sn = ×
2
2
1 1 1
1
+ + + ··· + n
2 4 8
2
=
1 1
1
+ + · · · + n+1 .
4 8
2
Logo,
1
1
1
1
Sn = Sn − Sn = − n+1 .
2
2
2 2
Assim
Sn = 1 −
1
.
2n
Como queremos Sn > 0, 99, isto é equivalente a encontrar o menor n tal que
1−
1
> 0, 99
2n
OBMEP 2007
133
Nı́vel 3
Soluções da Lista 5
e assim
2n > 100 .
Logo, devemos ter n ≥ 7 porque 128 = 27 > 100 > 26 = 64.
Observação: Outro modo de calcular Sn , é notar que é a soma de uma progressão geométrica com a1 = 1/2 e razão q = 1/2. Aplicando a fórmula,
temos:
1
2
− 21n 12
1
Sn =
= 1 − n.
1
2
1− 2
7. Soma de raı́zes quadradas (a) Como
√
√
√
√ √
√
√
√
r2 = ( 2 + 3)2 = ( 2)2 + 2( 2)( 3) + ( 3)2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6,
√
√
r2 − 5
.
portanto r2 − 5 = 2 6 =⇒ 6 =
2
(b) Pelo mesmo argumento temos que
√
√
√
s2 = ( 215 + 300)2 = 215 + 2 215 · 300 + 300
√
√
= 515 + 10 43 · 60 = 515 + 10 2580 >
√
> 515 + 10 2500 = 515 + 500 = 1015
8. Duas rodas - Dos dados do problema podemos
dizer que quando a roda A dá 12 voltas a roda B
dá 15 voltas, ou equivalentemente, quando a roda
A dá 4 voltas a roda B dá 5 voltas. Denotemos
por R o raio da roda A e por r o raio da roda B.
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A
B
W
-
9 cm
O comprimento da roda A é 2πR e o da roda B é 2πr. Logo, o comprimento
de 4 voltas da roda A é 4 × (2πR) e o comprimento de 5 voltas da roda B é
134
OBMEP 2007
Soluções da Lista 5
Nı́vel 3
5 × (2πr). Como esses dois comprimentos são iguais então temos que 4R = 5r.
Por outro lado, da ﬁgura temos que 2(r + R) = 9, assim
5
5
9
2r + 2
r = 2+
r = r = 9,
4
2
2
portanto r = 2 e R = 52 .
OBMEP 2007
135
Nı́vel 3
Lista 6
Lista 6
1. Dois divisores - O número 248 − 1 é divisı́vel por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números?
(a) 61 e 63 (b) 61 e 65 (c) 63 e 65 (d) 63 e 67 (e) 67 e 69
2. Rede de estações - Um serviço de vigilância vai ser instalado num parque
na forma de uma rede de estações. As estações devem ser conectadas por linhas
de telefone, de modo que qualquer uma das estações possa se comunicar com
todas as outras, seja por uma conexão direta seja através de no máximo uma
outra estação. Cada estação pode ser conectada diretamente por um cabo a
no máximo 3 outras estações.
O diagrama mostra um exemplo de uma rede desse
tipo conectando 7 estações. Qual é o maior número
de estações que podem ser conectadas dessa maneira?
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3. Bolas brancas e pretas - Uma caixa tem exatamente 100 bolas pretas e 100
bolas brancas. Repetidamente, 3 bolas são retiradas da caixa e substituı́das
por outras bolas que estão em um saco da seguinte maneira:
BOLINHAS REMOVIDAS
3 pretas
SUBSTITUÍDAS POR
=⇒ 1 preta
2 pretas e 1 branca
=⇒ 1 preta e 1 branca
1 preta e 2 brancas
=⇒ 2 brancas
3 brancas =⇒ 1 preta e 1 branca
Qual pode ser o conteúdo da caixa depois de seguidas aplicações desse procedimento?
(a) 2 pretas (b) 2 brancas (c) 1 preta (d) 1preta e 1 branca (e) 1 branca.
136
OBMEP 2007
Lista 6
Nı́vel 3
4. O cubo - Alice tem uma folha de cartolina de 60 cm por 25 cm. Ela quer
cortar a folha para montar um cubo. Qual o cubo de maior volume que ela
pode construir?
5. Um quadrado e um triângulo
X
- Na ﬁgura, ABCD é um quadrado cuja área é 7/32 da área do
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A
triângulo XY Z. Qual é a razão
entre XA e XY ?.
Y
B
D
C
Z
6. A urna - Uma urna tem 6 bolas numeradas de 1 a 6. Se duas bolas são
extraı́das, qual é a probabilidade da diferença entre os números dessas 2 bolas
ser 1?
7. Soma das raı́zes de um equação - Determine a soma das raı́zes distintas
da equação x2 + 3x + 2 = |x + 1|.
8. Produto de três números - No diagrama abaixo cada cı́rculo representa
um algarismo. Preencha o diagrama colocando em cada cı́rculo um dos algarismos de 0 a 9, utilizando cada algarismo uma única vez.
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×.................................................................... ×...................................................................................................... =........................................................................................................................................
OBMEP 2007
137
Nı́vel 3
Soluções da Lista 6
Soluções da Lista 6
1. Dois divisores - Lembre que
a4 − 1 = (a − 1)(a3 + a2 + a + 1) .
Logo, se a = 212 , temos:
248 − 1 = (212 )4 − 1 = (212 − 1)(236 + 224 + 212 + 1)
e 212 − 1 = (26 + 1)(26 − 1) = 65 × 63. A opção correta é (c).
2. Rede de estações - O exemplo mostra que podemos conectar pelo menos
7 estações dentro das condições propostas. Começamos com uma estação
particular, e vamos pensar nela como se fosse a base da rede. Ela pode ser
conectada a 1, 2 ou 3 estações conforme mostra o diagrama.
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A
Base
B
C
Agora, as estações A, B e C têm ainda duas linhas não utilizadas, logo podem
ser conectadas a duas outras estações como a seguir:
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A
Base
B
138
OBMEP 2007
C
Soluções da Lista 6
Nı́vel 3
Agora, é impossı́vel acrescentar mais estações porque qualquer outra a mais
não poderia ser conectada à base satisfazendo as condições do problema. Isso
mostra que não podemos ter mais do que 10 estações. Vamos agora veriﬁcar se
podemos montar a rede com essas 10 estações. Observe no diagrama acima que
apenas a Base é conectada a todas as outras estações (através de um cabo ou
de uma conexão via uma estação). As estações que estão nos extremos ainda
possuem duas linhas não utilizadas, e agora vamos usá-las para ”fechar”a rede;
veja o diagrama a seguir.
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A
Base
B
C
3. Bolas brancas e pretas - Inicialmente observe que depois de cada substituição o número de bolas brancas ou permance o mesmo ou decresce de 2.
Logo o número de bolas brancas permanece par. Por outro lado, cada grupo de
bolas removidas que contém pelo menos 1 bola branca é substituı́do por outro
que também contém 1 bola branca, o número de bolas brancas nunca é zero.
Agora observe que a opção (b) é a única incluindo pelo menos 2 bolas brancas,
logo ela é a opção correta. Um modo de obter esse resultado é remover 3 bolas
brancas 49 vezes até obter 149 pretas e 2 brancas, e depois, remover 1 preta e
2 brancas 149 vezes.
OBMEP 2007
139
Nı́vel 3
Soluções da Lista 6
4. O cubo - Seja a a aresta do cubo que queremos construir. Como a área
lateral do cubo é 6a2 , devemos ter 6a2 ≤ 25 × 60, isto é a2 ≤ 250 e assim
a < 16. Com a = 15 temos 4 = 60 ÷ 15 quadrados de lado 15 cm e sobra um
retângulo de 60 cm por 10 cm.
Podemos cortar um retângulo de 60 cm por 2, 5 cm e os pedaços marcados
com de dimensões 15cm por 7, 5cm. Assim na ﬁgura a linha pontilhada
indica dobradura e a linha continua indica corte e com os pedaços de cartolina
marcados com formamos a tampa.
5. Um quadrado e um triângulo -
7, 5
Sejam l o comprimento do lado do
quadrado, h a altura do triângulo XAB, H a altura do triângulo XY Z e
b o comprimento do lado Y Z.
A área do quadrado é l2 e a área do
tri ângulo XY Z é
bH
.
2
X
Como os
triângulos XY Z e ABC são semelhan-
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A
tes, temos
b
H
XY
=
=
.
l
h
XA
Portanto b =
Hl
h
=
(h+l)l
.
h
h
B
H
Y
D
C
(h + l)2 l
bH
=
e a razão
Assim a área do triângulo XY Z é:
2
2h
h
h
1
XA
=
=
=
.
XY
H
h+l
1 + hl
140
OBMEP 2007
XA
XY
é
Z
Soluções da Lista 6
Nı́vel 3
Logo, basta calcular hl .
32
,
7
Como a razão entre as área do triângulo XY Z e a área do quadrado é
então
(h+l)2 l
2h
l2
=
32
64
50
=⇒ (h + l)2 = hl =⇒ l2 − hl + h2 = 0.
7
7
7
Dividindo por h2 obtemos a equação quadrática ( hl )2 − 50
( l ) + 1 = 0, que tem
7 h
como soluções
l
=
h
Assim
1
,
8
l
h
50
7
± ( 50
)2 − 4
7
2
tem dois possı́veis valores
=
1
7
25 ±
√
25 ± 24
252 − 72
=
.
7
7
e 7, e em cada um destes casos
XA
XY
7
8
é
e
respectivamente.
6. A urna - Observemos que se extraı́mos a primeira bola com um número
entre 2 e 5, então dentre as 5 bolas que ﬁcam na urna temos duas possı́veis
bolas que cumprem a condição do problema, logo neste caso a probabilidade
que a segunda bola cumpra a condição é
2
5
e a probabilidade que a primeira
bola tenha um número entre 2 e 5 é 46 . Por outro lado, se a primeira bola
extraı́da é 1 ou 6, só temos uma bola na urna que cumpre a condição, logo
neste caso a probabilidade para a escolha da segunda bola é
1
5
e a probabilidade
da primeira bola ser 1 ou 6 é 26 . Portanto, a probabilidade das bolas serem
consecutivas é
4 2 2 1
1
× + × = .
6 5 6 5
3
7. Soma das raı́zes de um equação - Temos que considerar dois casos.
Caso 1: x ≥ −1.
Nesse caso, x2 + 3x + 2 = x + 1, e logo x2 + 2x + 1 = 0 que só possui a solução
x = −1.
OBMEP 2007
141
Nı́vel 3
Soluções da Lista 6
Caso 2: x < −1.
Nesse caso, x2 + 3x + 2 = −x − 1, logo x2 + 4x + 3 = 0 que tem, no intervalo,
apenas a solução x = −3.
Assim as únicas soluções distintas da equação são −1 e −3, cuja soma é −4.
8. Produto de três números - Sejam a, b, c, .... os números em cada cı́rculo
como indicado abaixo.
...................
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...
.....
...
...
.....................
................... ......................
....
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................... ...................... ......................
....
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................... ...................... ...................... ......................
....
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... ...
... ...
...
... ...
... ...
... ...
...
...
.. ...
.. ...
.. =.... g .... .... h .... .... i .... .... j ....
a ×...............b..................................c................... ×...............d
..... .... ..... .... ..... .... ..... ....
... ... e ... ... f ...
.............
.............
.............
.............
............ ................... ...................
Temos que a, c e f não podem ser zero, pois 0 × x = 0.
Mas, o produto dos três números é um número de 4 algarismos, assim, abd < 10
e portanto os números que aparecem em dito produto são 1, 2, 3 ou 1, 2, 4.
Observemos que a segunda é impossı́vel porque o mı́nimo produto que podemos
obter neste caso é
1 × 23 × 456 = 10488 ,
assim abd = 6 e o produto é maior do que 6000. Por outra parte a não pode
ser 2 ou 3 porque nesse caso o mı́nimo valor que tem o produto é
2 × 14 × 356 = 9968
e os outro produtos ﬁcam maiores do que 10000. Portanto a = 1.
Continuando essa análise, obtemos a solução:
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1 ×..............2................................6.................. ×..............3................................4................................5.................. =..............8................................9................................7................................0..................
142
OBMEP 2007
Lista 7
Nı́vel 3
Lista 7
1. Área do triângulo - Determine a área do
y
6
A..... = (1, 2)
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triângulo ABC mostrado na ﬁgura.
B = (8, 0)
x
C = (1, −6)
2. Duas tabelas - As duas tabelas abaixo foram formadas de acordo com uma
mesma regra, mas na segunda indicamos apenas três números. Qual o número
que deve ser colocado na casa com ?
5
8
11
14
17
12
15
18
21
24
19
22
25
28
31
26
29
32
35
38
33
36
39
42
45
39
87
56
3. A seqüência abc - A lei de formação da seqüência 10, a, 30, b, c, . . . é: cada
termo, começando com o 30, é o dobro da soma dos dois termos imediatamente
anteriores. Qual o valor de c?
4. Perı́metro e diagonal - O perı́metro de um retângulo ABCD á 20 m. O
menor comprimento, em metros, que a diagonal AC pode ter é:
√
√
√
(a) 0
(b)
50
(c) 10
(d)
200
(e) 20 5
5. As idades numa classe - Numa classe na escola, todos os alunos têm a
mesma idade, exceto sete que têm 1 ano a menos e dois que têm 2 anos a mais.
OBMEP 2007
143
Nı́vel 3
Lista 7
A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos alunos tem
essa classe?
6. A mesa redonda - Uma mesa
redonda tem 1, 40 m de diâmetro.
Para uma festa, a mesa é aumentada colocando-se três tábuas de
40 cm de largura cada uma, como
mostra a ﬁgura. Se cada pessoa
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mesa fechada
à mesa deve dispor de um espaço
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mesa aumentada
de 60 cm, quantos convidados poderão se sentar na mesa?
7. Brincadeira com 7 números - Sete números inteiros positivos estão escritos em ordem crescente numa mesma linha. Coloque entre esses números
cinco sinais de “+ e um só de “ = para obter uma igualdade.
8. Um terreno compartilhado - Três amigas compraram um terreno quadrado e querem reparti-lo como indicado na ﬁgura, por que em A se encontra uma
fonte de água. Elas querem também que as áreas das três partes sejam iguais.
Onde devem estar os pontos M (sobre BC) e N (sobre CD)?
B ..............................................................................................................................A
M
C
144
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N
OBMEP 2007
D
Soluções da Lista 7
Nı́vel 3
Soluções da Lista 7
1. Área do triângulo - Para determinar a á rea
y
6
A..... = (1, 2)
basta conhecer o comprimento de uma base e sua
H
respectiva altura. Se AC é uma base, então a altura corta AC no ponto H = (1, 0). Assim, a base
7×8
2
B = (8, 0)
x
C = (1, −6)
AC = 8 e a altura BH relativa a essa base é 7.
Logo, a área do triângulo é
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= 28.
2. Duas tabelas 5
8
11
14
17
12
15
18
21
24
19
22
25
28
31
26
29
32
35
38
33
36
39
42
45
39
87
56
Observemos que na primeira tabela cada linha é uma progressão aritmética de
razão 3 e cada coluna é uma progressão aritmética de razão 7. Suponhamos
que na segunda tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão a e
cada coluna é uma progressão aritmética de razão b. Assim temos que:
39−2a
39−a
39
39+a
39+2a
39−2a + b
39+2a + b
39−2a + 2b
87
56

 39 + 2a + 2b = 87
Logo:
Somando essas duas equações obtemos 78 +
 39 − 2a + 3b = 56.
= 11. Portanto, o número na posição da
5b = 143, donde b = 13 e a = 48−2b
2
é: 39 + a + 4b = 39 + 11 + 4 × 13 = 102.
OBMEP 2007
145
Nı́vel 3
Soluções da Lista 7
3. A seqüência abc - Sabemos que 30 = 2(10 + a), logo a = 5. Assim
b = 2(30 + a) = 2(30 + 5) = 70
e
c = 2(b + 30) = 2(70 + 30) = 200 .
4. Perı́metro e diagonal - Denotemos por a e b os comprimentos dos lados
do retângulo, assim 2a + 2b = 20, logo a + b = 10. Por outro lado quadrado do
comprimento da diagonal pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras,
assim d2 = a2 + b2 . Como
2d2 = 2a2 + 2b2 = (a2 + 2ab + b2 ) + (a2 − 2ab + b2 )
= (a + b)2 + (a − b)2
= 100 + (a − b)2
temos que o comprimento da diagonal é mı́nimo quando a = b, e neste caso
√
2d2 = 100 e d = 50. A opção correta é (b).
5. As idades numa classe - Denotemos por a a idade comum dos alunos e
n o número de alunos, assim temos 7 alunos com a − 1 anos, 2 com a + 2 anos
e o resto, isto é, n − 9 com a anos. Assim a soma das idades é
7(a − 1) + 2(a + 2) + (n − 9)a = na − 3 = 330,
logo
na = 333 = 9 × 37 .
Como a classe tem mais do que 9 alunos, então a = 9 e n = 37, portanto a
classe tem 37 alunos.
146
OBMEP 2007
Soluções da Lista 7
Nı́vel 3
6. A mesa redonda -
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mesa fechada
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mesa aumentada
O perı́metro de mesa aumentada é
140 × π + 40 × 6 140 × 3, 14 + 240 = 679, 60 cm.
Se cada convidado precisa de 60 cm para colocar-se ao redor da mesa e
679, 60
11, 3.
60
Então, podem se acomodar 11 convidados.
7. Brincadeira com 7 números Solução 1 - Os 7 números podem ser escritos como
n − 3,n − 2,n − 1,n,n + 1,n + 2,n + 3 .
3n−6
3n+6
Observando que 3n − 6 + 12 = 3n + 6, concluı́mos que n = 12. Logo, os
números são
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
Solução 2 - Seja n + 1, n + 2, . . . , n + 7 os sete números consecutivos e
suponhamos que
(n + 1) + · · · + (n + k) = (n + k + 1) + · · · + (n + 7).
OBMEP 2007
147
Nı́vel 3
Soluções da Lista 7
Como os números à esquerda são menores, então tem mais somandos à esquerda, assim k ≥ 4. Supondo k = 4, a igualdade anterior é
4n + 1 + 2 + 3 + 4 = 3n + 5 + 6 + 7,
logo n = 8. No caso k = 5 temos que
5n + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2n + 6 + 7,
que não gera solução inteira. De igual forma k = 6 não gera solução inteira
positiva. Portanto a única solução é
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15.
8. Um terreno compartilhado - Como as áreas
B ..............................................................................................................................A
de ABM e ADN são iguais e AB = AD temos
M
então
BM × AB
N D × AD
=
=⇒ BM = DN .
2
2
C
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N
D
Assim, a ﬁgura AM CN é simétrica com respeito à diagonal AC. Portanto, a
área do ACN é a metade da área do ADN . Agora, como esses triângulos
têm a mesma altura então DN = 2N C e pela simetria temos que BM = 2M C.
Concluı́mos que BM é 2/3 do lado do quadrado, o mesmo ocorrendo com DN .
148
OBMEP 2007
Lista 8
Nı́vel 3
Lista 8
1. As duas partı́culas - Duas partı́culas, A e B, percorrem uma circunferência
de 120 m de comprimento. A partı́cula A gasta 3 segundos menos que B, por
estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a
velocidade de cada partı́cula?
2. Queda livre - Um corpo em queda livre demora 11 segundos para tocar o
solo. No primeiro segundo ele percorre 4, 5 m e, em cada segundo que segue,
a distância percorrida aumenta de 9, 8 m. Qual a altura da queda e quantos
metros ele percorreu no último segundo?
3. Um caminho retangular - Janete passeia por um caminho de forma retangular ABCD com largura AB = 1992 m. Ela gasta 24 minutos para percorrer
a largura AB. Depois, com a mesma velocidade, ela percorre o comprimento
BC e a diagonal CA em 2 horas e 46 minutos. Qual é o comprimento BC?
4. O preço do feijão - A tabela e o gráﬁco, dados
a seguir, mostram a evolução do preço médio de
R$
6
três tipos de feijão, A, B e C, na bolsa de alimentos
110
durante os primeiros quatro meses de certo ano:
100
Desses 3 tipos, os que apresentam, respectiva-
90
mente, o maior e o menor crescimento percentual
80
no preço nesse perı́odo são:
70
(a) A e B
(b) A e C
60
(c) B e C
(d) C e A
c
s
s
c
c
s
jan
c: A
(e) C e B
OBMEP 2007
c
s
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fev
mar abr
s: B
-
: C
149
Nı́vel 3
Lista 8
jan
fev
mar
abr
A
65, 67
83, 33
96, 67
103, 33
B
73, 30
80, 50
99, 55
109, 50
C
64, 50
71, 57
89, 55
100, 00
5. Intersecção de triângulos - Os 3 triângulos da ﬁgura se cortam em 12
pontos diferentes. Qual é o número máximo de pontos de intersecção de 3
triângulos?
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s
s
s
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s
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s
s
s
s
s
s
6. Comparar triângulos - Na ﬁgura, estão
indicados os comprimentos dos segmentos.
ao
Demonstre que AC divide o ângulo DAB
B
r
8
.........
.... ...........................................
...................C
....
.. ..
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.......... .............
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12 ....
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r
r
meio.
A
r
27
D
7. Queima de velas - Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são
feitas de material diferente; uma queima completamente em 3 horas e a outra
em 4 horas, ambas queimam com velocidade uniforme. A que horas as velas
devem ser acesas de modo que às 16 horas o comprimento de uma seja o dobro
do da outra?
(a) 1 : 24 (b) 1 : 28 (c) 1 : 36 (d) 1 : 40 (e) 1 : 48
150
OBMEP 2007
Lista 8
Nı́vel 3
8. Uma distração - Em vez de multiplicar certo número por 6, Julia se distraiu
e dividiu o número por 6. O erro cometido por Julia foi de aproximadamente
(a) 100%
(b) 97%
(c) 83%
(d) 17%
OBMEP 2007
(e) 3%
151
Nı́vel 3
Soluções da Lista 8
Soluções da Lista 8
1. As duas partı́culas - Seja v a velocidade da partı́cula B e v +2 a velocidade
de A. Assim, o tempo que demora B em dar uma volta é
demora A é
120
v+2
120
v
e o tempo que
que é três segundos a menos do que B, portanto,
120
120
−3=
=⇒ v 2 + 2v − 80 = 0.
v
v+2
A raiz positiva dessa equação é
√
√
−2 + 4 + 320
= −1 + 81 = 8.
v=
2
Portanto, a velocidade de B é 8 m/s e a velocidade de A é 10 m/s.
2. Queda livre - Como a distância percorrida aumenta em 9, 8 m com respeito
ao segundo anterior, no n + 1-ésimo segundo ele percorre 4, 5 + 9, 8n metros.
Assim no 11o segundo o corpo percorre 4, 5 + 9, 8 · 10 = 102, 5 metros.
A distância total percorrida pelo corpo até o 11o segundo é
4, 5 + (4, 5 + 9, 8) + (4, 5 + 9, 8 × 2) + · · · + (4, 5 + 9, 8 × 10) =
= 4, 5 × 11 + 9, 8(1 + 2 + · · · + 10) = 49, 5 + 9, 8 × 55 = 588, 5 m.
3. Um caminho retangular - Se v representa a velocidade com que Janete
caminha, então v =
1992
24
= 83 m/min.
Janete percorre BC + AC com a mesma velocidade v = 83 m/min e gasta
2 h e 46 min = 166 min, então BC + AC = 83 × 166 = 13 778.
Pelo teorema de Pitágoras temos que a diagonal do quadrado satisfaz:
(AC)2 = (1922)2 + (BC)2 .
152
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Nı́vel 3
Daı́ temos:
(AC)2 − (BC)2 = (AC − BC)(AC + BC) = (1992)2 .
2
(1992)
Substituindo o valor da soma BC + AC temos: AC − BC = 83×166
= 288.

 AC + BC = 13 778
Logo:
=⇒ 2BC = 13 778 − 288 = 13 490.
 AC − BC = 288
13 490
2
Portanto BC =
= 6 745.
4. O preço do feijão - Se b é o preço ﬁnal e a o preço inicial, temos
que a variação é b − a, e o aumento percentual será
b−a
.
a
Assim os aumentos foram:
R$
6
110
100
90
80
70
60
b
r
....
.....
.....
.....
..... ............
.
.
.
.
.. ...
.............. .....
........ ....
...... ....
...... ......
.
.
.. ...
...... ..
...... ..
....... ...
....... ...
.
....... ..
....... ....
.........
....... .... ....
. .......
.
.
... .........
...............
rb
rb
A :
103, 33 − 65, 67
37, 66
=
= 0, 57 = 57%;
65, 67
65, 67
B :
36, 20
109, 50 − 73, 30
=
= 0, 49 = 49%;
73, 30
73, 30
b
r
-
35, 50
100, 00 − 64, 50
=
= 0, 55 = 55%.
64, 50
64, 50
Portanto, o maior aumento foi de A e o menor foi de B.
jan fev mar abr
b : A r: B
: C
C :
Observe que os valores intermediários (meses de fevereiro e março) não alteram
a variação do preço de janeiro a abril. A opção correta é (a).
5. Intersecção de triângulos - Observemos que cada reta pode cortar no
máximo dois lados de um triângulo, assim cada lado de um triângulo cortará no
máximo dois lados do outro triângulo e, portanto, o número máximo de cortes
OBMEP 2007
153
Nı́vel 3
Soluções da Lista 8
entre dois triângulos é 6. Assim, se temos 3 triângulos, o número máximo
de cortes é dado pelo número de formas de pegar dois de ditos triângulos e
multiplicar por 6. Assim, a resposta é 18, como mostra a ﬁgura seguinte:
.....
........ ...
........ .....
........
.
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....
.......
.........................
....... ......................... ..... .....
...
........................
... ......
... .....
.......................................................................
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.........................
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........ .............
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.............................................................................................................
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... .......... .....
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... ..............
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........ .....
.....
........ ...
......
s
s
s
s
s s
s
s
s
s s s
s
s
s
s
s
s
B
6. Comparar triângulos - De acordo com
os dados do problema temos:
q
8
.
...............................................
..................... C
....
....
....
.......... ............
....
.
.......
.
..........
.
12 ....
.......
.........
.
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.......
.....
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.......
.......12
.
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.
.......
..... 18
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.................
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q
q
A
AB
BC
AC
2
=
=
= .
AC
CD
AD
3
q
27
D
Segue que os triângulo ABC e ACD têm seus lados proporcionais, por = CAD.
tanto são semelhantes. Em particular temos que BAC
7. Queima de velas - Seja l o comprimento das velas. Assim, uma queima a
velocidade constante
l
3
e a outra a velocidade 4l . Depois de um tempo t o que
sobra da primeira vela é
l
l− t
3
e da segunda
l
l − t.
4
Queremos saber quanto tempo transcorre até o momento em que o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra, o que equivale a
resolver a equação
154
l
l
l− t=2 l− t .
4
3
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Nı́vel 3
Segue que
2 1
12
2
−
t = 1 donde t =
horas = 2
horas = 2 horas e 24 minutos.
3 4
5
5
Portanto, depois de 2 horas e 24 minutos o comprimento de uma vela é o dobro
do comprimento da outra. Como queremos que isso aconteça às 16 : 00, então
as velas devem ser acesas às 13 horas e 36 minutos. A opção correta é (c).
8. Uma distração Solução 1: Seja x o número. Julia tinha que obter 6x e com sua distração,
obteve x6 . Logo, seu erro foi de 6x − x6 =
o erro foi de
35 x
6
6x
=
35 x
.
6
Portanto, em termos percentuais
35
≈ 0, 9722 = 97, 22%.
36
A opção correta é (b).
Solução 2: Se N é o valor que a Julia tinha que obter, então ela com seu erro
encontrou
N
,
36
assim o erro absoluto cometido foi de N −
N
36
=
35
N.
36
Portanto,
o erro relativo foi de
35
× 100% = 97, 22%.
36
OBMEP 2007
155
Soluções da Lista 8
Desaﬁos
Desafios
1. O jogo das fichas - Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca
8 ﬁchas em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na ﬁgura. Para
ganhar o jogo, ele precisa mover as ﬁchas de modo que em cada linha, cada
coluna e cada diagonal haja o mesmo n úmero de ﬁchas. Na 1a jogada ele
coloca 11 ﬁchas na casa 3 e nenhuma na casa 2. Agora, quantas ﬁchas ele deve
colocar em cada uma das outras casas para ganhar o jogo, mantendo as ﬁchas
da 1a jogada?
1
2
3
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
7
8
9
0
fichas
11
fichas
2. Nas igualdades abaixo, cada letra representa um algarismo:
AB + BC = CD
e AB − BC = BA.
quanto vale A + B + C + D?
3. Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de ﬂores.
Sabemos que:
(a) O número de estrelas de Dália, que é a menor das três, é o quadrado de
um quadrado;
(b) O número de estrelas de Rosa é também o quadrado de um quadrado;
OBMEP 2007
157
Desaﬁos
Soluções da Lista 8
(c) Margarida tem 28 561 estrelas;
(d) Dália e Rosa têm juntas o mesmo número de estrelas do que Margarida.
Quantas estrelas possuem Dália e Rosa cada uma?
4. Veja a seguir a página do calendário de abril de 2005:
D
S
T
Q
Q
S
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Qual mês de 2005 ou de 2006 terá uma página igual?
5. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina tem 5cm por 1cm.
Corte a faixa com 4 cortes retilı́neos de modo a poder montar um quadrado
com as peças obtidas (n vale superposição das peças).
6. Um número e o sêxtuplo - Um número de 3 algarismos e seu sêxtuplo
são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número
é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um?
7. Oito dentro de um retângulo - Coloque dentro dos cı́rculos do retângulo
abaixo os números de 1 a 8 de modo que a diferença entre dois números ligados
por um segmento seja sempre maior do que 1.
158
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Desaﬁos
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.......................................................
......
. ......
......
......
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..
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.....
.....
....
.....
.....
........................................................
.......................................................
8. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu em
seguida todos os números de 1 a 60:
1234567891011121314 ···57585960.
Depois ele riscou 100 algarismos de modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possı́vel, sem mudar a ordem
inicial de como os algarismos foram escritos. Qual é esse número?
9. Um número surpreendente - Um número surpreendente é um número
divisı́vel por 9, de nove algarismos diferentes, nenhum deles igual a 0 tal que:
(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisı́vel por 2;
(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisı́vel por 3;
(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisı́vel por 4;
(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisı́vel por 5;
(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisı́vel por 6;
(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisı́vel por 7;
(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisı́vel por 8;
Qual é esse número?
OBMEP 2007
159
Desaﬁos
Soluções da Lista 8
10. Qual é o erro? - Uma das aﬁrmações abaixo é falsa:
(a) André é mais velho do que Bruno;
(b) Cláudia é mais nova do que Bruno
(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;
(d) Claúdia é mais velha do que André.
Quem é o mais velho? E o mais novo?
11. Soma - Nessa exercı́cio, as letras representam algarismos. Determine cada
uma das parcelas da soma abaixo.
abcdef
abcdef
+
ghij
.................................................................................................
def hjf
12. Bolinhas - Rogério coloca seis bolinhas sobre a mesa de modo a formar dois
quadrados, como na ﬁgura. Ele percebe que havia esquecido de colocar mais
uma bolinha. Complete a ﬁgura formada pelas bolinhas com essa bolinha a
mais, de modo a formar 3 quadrados.
u
u
u
u
u
u
..................................................................................................
.....
....
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
...
...
................................................................................................
160
OBMEP 2007
Soluções da Lista 8
Desaﬁos
13. Um número não divisı́vel por 5 - Determine quais números naturais n
entre 2001 e 2007, tornam o número 1n + 2n + 3n + 4n não divisı́vel por 5.
14. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais a, b, c e d,
1 1 1 1
todos distintos, existem tais que + + + seja um inteiro?
a b c d
15. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O
Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas.
Sua tarefa ﬁcou facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que
podia, de um só golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas:
• cortar uma cabeça;
• cortar duas cabeças;
• cortar uma cauda;
• cortar duas caudas.
Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:
• se uma cabeça é cortada uma nova cresce;
• se duas cabeças são cortadas nada acontece;
• no lugar de uma cauda nascem duas caudas novas;
• se duas caudas são cortadas uma nova cabeça crece e
• o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.
Quantos golpes o Rei Artur vai precisar para matar o dragão?
16. Num tabuleiro 5x5, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada
com A. Depois ele se move marcando as casa por onde passa:
OBMEP 2007
161
Desaﬁos
Soluções da Lista 8
A →B →C →D →E→F → G →H.
A
G
H
B
F
D
C
E
Partindo da casa H, o cavaleiro se move pelo tabulaeiro até ter passado por
todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez.
17. Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces ﬁcam visı́veis?
162
OBMEP 2007
Respostas dos desafios
Desafios
Respostas dos desafios
1.
1
2
3
13
4
0
11
5
6
7
6
8
10
8
5
9
16
3
2. 23
3. D=4225=25x169 e R=144x169=24336
4. Setembro de 2006
5.
..............................................................................................................................................................................................................................................................................
...
... ...........
...
.. ............
.........
.........
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......... ...
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...
.
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6. 746 (solução única?)
7.
3
........................................................
5
.......................................................
7
......
... ..........
......
......
...... ...
..
..
......
...... ...
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......
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...... ......
......
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....
8
.....................................................
2
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...
1
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.
.
.
.
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........................................................
4
.
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.....
.....
.....
.
.
.
.
...
.....
.....
.....
.....
.....
....
.......................................................
6
8. 9 999 785 960.
9. 381654729
10. Cláudia e Bruno.
OBMEP 2007
163
Desaﬁos
Respostas dos desaﬁos
11. 3 soluções:
231468
231468
+
5972
264538
264538
+
9102
.................................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................
468908
538178
548698
12.
t
...
............
..... ... .....
..... .. .....
..... ..... .........
.
.
.
.
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
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.....
.....
..... ..... ..........
....
...
..... .. .....
...
....
.. . .
..........................................................................................................
t
t
t
t
t
t
13. 2004
14. 1
15. 5
16.
A
X
M
R
G
N
S
H
Y
L
I
B
W
F
Q
T
O
D
K
V
C
J
U
P
E
17. 20
164
273548
273548
+
1602
OBMEP 2007