5. Considera as seguintes afirmações:
Ficha de Trabalho n.º2
Geometria no Plano e no Espaço II
QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Um mastro está instalado num local em que o terreno é horizontal. Uma pessoa
que está à distância d da base do mastro vê o seu topo sob um ângulo de 30º. Se
se afastar e parar à distância 2d, verá o topo do mastro sob um ângulo α . É
correto afirmar que:
81π
pertence ao 4º Quadrante
10
(i)
Um ângulo de amplitude −
(ii)
tg 30º −
(iii)
Se x é um ângulo agudo e tg x =
Trigonometria
1
− 2 cos 45º + sen ( −90º ) = − 2 + 1
tg 60º
2
13
, então cos x =
3
13
Verifica-se que:
(A) A medida de α é 15º.
α
(B) A tangente de α é o dobro da tangente de 30º.
d
(A) (i), (ii) e (iii) são verdadeiras
(B)
(i) é falsa e (ii) e (iii) são verdadeiras
(C) (i) e (ii) são falsas e (iii) é verdadeira
(D)
(ii) e (iii) são falsas e (i) é verdadeira
30º
d
6. Os lados de um paralelogramo medem 6 cm e 3 cm. Se a amplitude de um dos seus ângulos for
(C) A medida de α é 60º.
π
3
,
então a sua área pode ser:
(D) A tangente de α é metade da tangente de 30º.
(A) 9 2 cm 2
2. Observa o círculo trigonométrico onde está representado o ponto P. Indica qual das seguintes
afirmações é falsa:
y
9 3 cm 2
(C) 18 2 cm 2
(D) 9 cm 2
7. Num determinado quadrante o cosseno é decrescente e a tangente é positiva. Nesse quadrante:
(A) A abcissa do ponto P é menor que a ordenada de P.
(B) A abcissa do ponto P é igual ao simétrico do seno de 60º.
(B)
30º
(A) o cosseno e o seno são negativos.
(B) o seno é negativo e crescente.
(C) o seno e o cosseno são positivos.
(D) o cosseno é negativo e o seno é crescente.
x

(C) As coordenadas do ponto P são  −


P
3 1
, −  .
2
2
8.
Das afirmações seguintes apenas uma é falsa. Qual é?
(A) O seno do dobro de um ângulo é igual ao dobro do seno de esse ângulo.
(D) A ordenada do ponto P é igual ao cosseno de 30º.
(B) Sendo α ∈ 3º Q , sen α .cos α > 0 .
(C) Sendo α < β , então tg α < tg β , quaisquer que sejam os ângulos α e β pertencentes ao 1º
3. Na figura está representado um lago circular de raio 5 m e
centro C.
A reta NA é uma tangente à circunferência que define o lago,
no ponto A.
No ponto N encontra-se o Nuno.
Quadrante.
(D) Há ângulos cuja tangente é maior do que 1.
^
Sabe-se ainda que A N C = 28º .
A distância do Nuno ao lago é, arredondada às centésimas, igual a:
(A) 10,65 m
(B) 5,66 m
(C) 5,65 m
9. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) No 2º Quadrante, cos α . tgα > 0 .
(D) 2,34 m
(B) No 3º Quadrante, o cosseno e o seno têm sinais diferentes.
4. Seja α um ângulo tal que sen α > 0 e tg α < −1 . Considerando a amplitude do ângulo α em
(C) Existe um ângulo no 4º Quadrante cujo cosseno é igual a
radianos, qual das seguintes afirmações pode ser verdadeira?
(A)
π
2
<α <
3π
4
Matemática A – 11º ano
(B)
3π
<α <π
4
(C)
3π
7π
<α <
2
4
2011/ 2012
(D)
7π
< α < 2π
4
5
.
2
(D) Não existe nenhum ângulo no 1º Quadrante cuja tangente seja igual a 5.
1/12
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
2/12
π

cos(x − π ) + 2 ⋅ sen  + x 
2

 é equivalente a:
10. No respetivo domínio de validade, a expressão
sen (5π ) + sen (− x + π )
(A)
cos x
(B) 0
(C)
tg x
(D)
π

cos  − α 
2

 é equivalente a :
16. No respetivo domínio a expressão 3tg (−α ) −
π

sen  + α 
2

1
tg x
(A) -1
11. Sabe-se que α e β são as amplitudes de dois ângulos do 1º quadrante, em radianos, tais que α < β .
(B) 1
17. Sabendo que
π
Indica a afirmação correta:
(A) cos ( −α ) < cos ( − β )
(B) sen ( π + α ) > sen (π + β )
(C) sen ( π − α ) > sen (π − β )
(D) c os (π + α ) > cos (π + β )
(ii) cos a < cos b
(iii) tg a < tg b
(iv) tg a > sen a
Quais são as afirmações verdadeiras?
1
2
∧ cos α =
(i) ∃α ∈ ℝ : sen α =
3
3
(ii) sen α .cos α > 0 ⇒ tg α > 0 , ∀α ∈ ℝ
(A) (ii) e (iii)
(iii) α > β ⇒ sen α > sen β , ∀α , β ∈ ℝ
(A) são todas verdadeiras
(B) são todas falsas
(C) são duas verdadeiras
(D) são duas falsas
(A)
14 3
+ 22
3
(B)
29
2
(C)
42 3
+ 22
3
(D)
28 3
+ 22
3
19. De um ângulo agudo α sabe-se que cos α =
[ ABC ] , em função da amplitude α , do ângulo ABC?
(A) 2 + senα + cos α
(B) 2( senα + cos α )
(C) 2 ( cos α + senα + 1)
(D) 1 + senα + cos α
 π
14. Quais são os valores reais de k que tornam possível: tg x = k − 1 e x ∈  0,  ?
 2
(A) k ∈ ]−1,1[
(B) k ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[
(C) k ∈ [ 0,1[
(D) [ 0, +∞[
5
10
+
3
2
(A)
2 2−
(C)
5 2 1
−
2
3
(B) 2 2 −
2 2−
55
110
+
3
2
7
3
2
20. No referencial o.n. xOy, as coordenadas do ponto P são (1,0). Imagina que P
se desloca sobre a circunferência no sentido positivo.
5π
radianos as coordenadas do ponto P são:
6
y
1
P
15. Considera um ângulo α tal que α ∈ ]−π , 0[ .
 3 1

(A) 
 2 ;2


Então é universal, em ℝ , a condição:
(B) sen α × cos α > 0
2 2
.
3
(D)
Quando P descreve um arco de
Matemática A – 11º ano
(D) (i) e (iv)
O valor da expressão 3cos α − sen α + 2tgα é igual a:
2
(A) tg α × cos α > 0
(C) (i) e (iii)
da figura, cujo comprimento da
hipotenusa é 2 cm. Qual das expressões seguintes dá o perímetro do
triângulo retângulo
(B) (ii) e (iv)
18. O perímetro do paralelogramo definido ao lado é:
Quanto ao valor lógico:
[ ABC ]
< a < b < π , considera as seguintes afirmações:
2
(i) sen a > sen b
12. Considera as seguintes afirmações:
13. Considera o triângulo retângulo
(D) −4tg α
(C) 0
(C) tg 2α × cos α < 0
2011/ 2012
1 3

(B)  ;
2 2 


 1 3

(C)  − ;
 2 2 



3 1

(D)  −
 2 ;2


x
-1
(D) sen α × cos 2 α ≤ 0
3/12
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
4/12
2 e que π < α <
21. De um ângulo α sabe-se que tgα =
Então, o valor exato de sen α é:
(A) −
2
3
(B)
3π
.
2.
QUESTÕES DE RESPOSTA ABERTA
π
 3
 π 
+ α  = e α ∈  − , 0  , calcula o valor numérico da expressão:
2
 5
 2 
27. Se sen 
6
3
(C) −
2
6
(D) −
6
3
cos ( −α ) + sen (π − α ) + tg ( 3π − α ) + 2 cos ( 6π + α ) .
 3π

− α  > 0 . A que quadrante pertence α ?
 2

22. Quantas voltas dá a roda de uma bicicleta com 72 cm de diâmetro quando percorre 9 km?
(A)
3997 voltas aproximadamente
(B) 3979 voltas aproximadamente
(C)
3981 voltas aproximadamente
(D) 3799 voltas aproximadamente
28. De um ângulo α sabe-se que cos (π − α ) < 0 e cos 
29. Calcula o valor exato das expressões:
 3π
 4
1
encontram-se:
2
23. As soluções da equação sen x = −
29.1. 4 cos ( −3π ) + 2tg 
(A) no 1º e 2º quadrantes
(B) no 2º e 3º quadrantes
(C) no 3º e 4º quadrantes
(D) no 1º e 4º quadrantes
24. Os valores de x que verificam a condição sen x =
(A) x =
(B) x =
(C)
(D)
π
6
π
3
x=
x=
+ 2 kπ
∨
x =π −
+ 2 kπ
∨
x=
π
3
π
6
+ 2 kπ
+ 2 kπ
∨
∨
π
6
26. A equação cos 2 x =


π
29.3. tg  π +
4 são:
2
x=−
π
3
π
6
π
2
π
π
 π

π π 
 − cos  −  + sen  6π −  − sen  + 
4
3
 2

2 4


29.4. sen  −π −
2π
+ 2k π , k ∈ ℤ
3
x=−
(B)
 2π 
 π
 5π 
 + sen  −  + 2tg  − 
 3 
 2
 4 
29.2. −3tg ( −π ) + 6 sen  −
+ 2k π , k ∈ ℤ
Matemática A – 11º ano
 π
 5π
 + cos  −  − 4tg  −
3
 2
 6

 4π 
 + 2 cos 


 3 
ɺ ;
lado extremidade a semirreta OA
ɺ com a reta r.
• o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta OA
+ 2 kπ , k ∈ ℤ
Como a figura sugere, a ordenada de B é 8 .
Sem recorrer à calculadora, determina o valor de
π

5sen  + α  + 2 cos ( 3π − α )
2

1
. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
tgx
(C ) 3π ∈ D
∈D
(D)
52
π ∈D
45
(Teste Intermédio – maio 2007)
1
,no intervalo ]− 2π , π ] , tem:
2
31. O diâmetro de uma circunferência mede 12 cm e a amplitude de um ângulo ao centro dessa
circunferência é
(A) 2 soluções
π
30. Na figura junta estão representados, em referencial o. n. xOy :
• o círculo trigonométrico;
• a reta r, de equação x = 1 ;
• o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por
+ 2 kπ , k ∈ ℤ
25. Seja D o domínio de uma função tal que f ( x) =
(A) 0 ∈ D
tg

 π
 π
2  17π 
 − cos  −  + 2 sen  −  + cos 


 6
 2
 3 
(B) 4 soluções
(C) 6 soluções
2011/ 2012
(D) 8 soluções
5/12
2π
. Qual é a medida do arco correspondente, arredondada às centésimas?
5
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
6/12
32. Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q pertence à
36. Sabendo que cos(3π − x) = −
circunferência, P é o ponto de coordenadas (1, 0 ) e R é o ponto de
2
e que x ∈ ]−π , 0[ , determina o valor exato da expressão:
3
 3π

− x  × tg 2 ( − x − 5π )
cos 
 2

π

cos  − x − 
2

coordenadas ( −1, 0 ) .
A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é
5π
.
7
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [OQR]?
(Teste Intermédio – janeiro 2008)
33. Observa a figura ao lado.
Tem-se que:
(
)
37. Resolve as equações:
37.1.
π

senx  x −  + 2 = 0
3

37.2.
cos ( 2 x ) = −
37.3.
cos 2 ( x) − 2 cos( x) = 0
37.4.
cos x − cos x.senx = 0
3
2
•
O triângulo [ABC]é isósceles AB = BC ;
•
[ DEFG ] é um rectângulo;
37.5.
2 sen(π − x) = 1 , em ]−π , π [
37.6.
•
•
DG = 2 e DE = 1
x designa a amplitude do ângulo BAC.
 π π
3tg ( 3 x ) + 3 = 0 , em  − , 
 2 2
37.7.
sen 2 (2 x) = 1 , em ]0, π [
37.8.
4tg ( 2 x ) + 4 = 0 , em [ 0, 2π ]
33.1. Determine a medida de [AD] em função de x.
38. Uma professora de Matemática propôs aos seus alunos que resolvessem a equação trigonométrica
π π 
3 tg (2 x) − 3 = 0 , no intervalo  ,  .
12 2 
33.2. Mostra que a área de triângulo [ABC] é dada, em função de x, por
f ( x) = 2 + tgx +
1
π 

, x∈ 0 ,
tgx
2 

O Ricardo, a Susana, a Diana e o Filipe apresentaram os seguintes resultados:
"
Ricardo:
(Sugestão: Mostra que a altura do triângulo [ABC]é dada pela expressão tg x + 1 ).
33.3. Calcula a área do triângulo para x =
π
3
"
Diana:
.


34. Considera a expressão A( x) = 3sen (π + x ) − cos  x +
 3π
 4
x=
π
π
6
6
+k
π
2
, k ∈ℤ
+ kπ , k ∈ ℤ
"
Susana: “A equação é impossível”
"
"
Filipe:
x=
π
"
6
Encontra também o teu resultado, justificando convenientemente, e comenta cada um dos resultados
apresentados por aqueles quatro alunos.
π
.
2
39. Considera a seguinte função, real de variável real, definida por: f ( x) = − 3 + 2 senx .
34.1. Mostra que A( x) = −2 sen x .
34.2. Calcula o valor exato de A 
x=
 4π 
 − f (π ) .
 3 
39.1. Calcula o valor exato de f 

 π
 − A −  .

 2
39.2. Determina, em ℝ , os zeros da função.
35. Considera a função f, real de variável real, definida por f ( x) = 3cos x − 5tg x .
π 
, π , calcula o valor exato de
 2 
39.3. Sabendo que f (α ) = 1 − 3 e que α ∈ 
3
π

, π  , sabe-se que sen α = .
5
2

De um ângulo α ∈ 
π

cos + α  + tg (3π − α ) .
2

Determina f (α ) .
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
7/12
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
8/12
π 
.
2
42.2. Considera as seguintes afirmações:
40. Considera a função de domínio ℝ definida por g ( x) = 3 cos(π − x ) + sen
(i) “A temperatura máxima da piscina A é superior à temperatura máxima da piscina B”.
40.1. Determina as soluções da equação g ( x) = 1 pertencentes ao intervalo [0,2π [ .
(ii) “As duas piscinas atingem a mesma temperatura três vezes ao longo do dia”.
Recorrendo à calculadora, indica, justificando, se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora, nomeadamente o gráfico ou gráficos
obtidos e coordenadas de pontos relevantes, interpretando-os no contexto do problema.
40.2. Determina o contradomínio da função.
40.3. Qual é a expressão geral dos maximizantes do gráfico de g?
43. Um barco de passageiros encontra-se atracado no porto de Barreiro. A distância de um dado ponto do
navio ao fundo do rio varia com a maré. Essa distância (d em metros) pode ser obtida, num
determinado dia, em função do tempo (t em horas), pela expressão:
41. Na figura estão representados em referencial o.n. Oxy:
• Um quadrado de 6 metros de lado;
• Uma circunferência de centro A e 3 metros de raio;
7
 1  4 
d (t ) = 4, 6 + cos   t − π   .
5
 2  5 
• Um ponto P pertencente à circunferência;
• Um ponto B situado na parte positiva do eixo Ox;
• Um ângulo
θ , cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado
Em relação a esse ponto, determina, recorrendo à calculadora, os valores aproximados às décimas da:
ɺ .
extremidade é a semirreta AP
43.1. distância ao fundo do rio às 10 horas.
41.1. Admitindo que AP e BP são duas retas perpendiculares:
43.2. hora do dia em que a distância ao fundo do rio é igual a 5,8 metros.
3 3 3
41.1.1. prova que o ponto P tem coordenadas  ,
 2 2  .


41.1.2.
43.3. amplitude (diferença entre o valor máximo e o mínimo) da distância ao fundo do rio.
determina uma condição que define o triângulo [ABP].
44. No ano de 2001, em Lisboa, o tempo que decorria entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do
ano, é dado em horas, aproximadamente, por:
41.2. Admitamos agora, que o ponto P se desloca ao longo da circunferência no 1º e 2º quadrantes.
41.2.1.
Designando por A (θ ) a área do triângulo [ABP], mostra que A (θ ) = 9sen θ .
41.2.2.
Para uma certa posição de P, tem-se cos θ = −
Determina as coordenadas de P tais que se tem A(θ ) =
44.1. No dia 24 de março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que
instante ocorreu o pôr do Sol? Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos
arredondados às unidades).
9
.
2
42. A Ana e o Bernardo registaram a temperatura da água em duas piscinas: piscina A e piscina B,
respetivamente.
A temperatura T, em graus Celsius, t horas depois da meia-noite, varia de acordo com as seguintes
expressões:
Piscina A
 π t − 7π 
T (t ) = 18 − 5cos 

 12 
n ∈ {1, 2,3,...,365}
Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer
e o pôr do Sol foi de f (34) ≈ 10,3 horas.
4
.
5
Sem recorrer à calculadora gráfica, determina o valor de A (θ ) .
41.2.3.
 π ( n − 81) 
f (n) = 12, 2 + 2, 64sen 

 183 
44.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol é superior a 14,7
horas. Recorrendo à calculadora, determina quantos dias do ano é que isso acontece. Indica
como procedeste.
45. Num certo dia de verão, as temperaturas em graus centígrados, fora e dentro de uma determinada
habitação, são dadas, respetivamente, por:
Piscina B
 π t − 9π 
T (t ) = 20 + 2 sen 

 12 
f (t ) = 25 + 10 cos
π ( t + 10 )
12
e g (t ) = 21,5 + 3,5cos
π (t + 9)
12
(t designa o tempo, em horas, contado a partir das zero horas desse dia).
42.1. Sem recorrer à calculadora, indica qual é a temperatura registada em cada uma das piscinas às
23 horas.
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
9/12
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, recolhe os dados que te permitam calcular:
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
10/12
• A amplitude térmica (diferença entre o valor da temperatura máxima e o valor da temperatura
mínima) dentro de casa;
• A amplitude térmica fora de casa;
• O desfasamento térmico (tempo que decorre entre as ocorrências das temperaturas máximas, fora
e dentro de casa).
Transcreve para a tua folha os gráficos obtidos, bem como os valores encontrados. Numa pequena
composição, com cerca de dez linhas, refere o que se pode concluir acerca das condições de
isolamento da referida habitação (admite que uma habitação se considera bem isolada se a amplitude
térmica dentro da casa for inferior à terça parte da amplitude térmica fora de casa e se o
desfasamento térmico for superior a uma hora e meia).
48. Uma roda gigante de uma feira tem 10 metros de diâmetro. A Maria está sentada
numa cadeira que, quando a roda começa a girar, se encontra no ponto mais
baixo da roda, a uma distância de 3 metros do chão. A roda demora dois minutos
a dar uma volta completa.
Qual as seguintes expressões pode definir a função que dá a distância da cadeira
da Maria ao chão, t segundos depois da roda ter começado a girar?
 πt 

 60 
 πt 

 120 
(A) 3 + 7 sen 
(B) 3 + 10 sen 
 πt 

 60 
 πt 

 120 
(C) 8 − 5cos 
(D) 10 − 7 cos 
46. A temperatura média, f, em graus Celsius, em duas cidades diferentes é modelada este ano por:
 2π t − 220π
365

Cidade A: f (t ) = 22 cos 

+4

 2π t − 220π
365

Cidade B: f (t ) = 4 sen 

 + 22

49. Quando, há um tempo atrás, o João esteve com uma virose benigna, a temperatura do seu corpo
evoluiu, num certo dia, de acordo com a função
onde t é em dias, a partir de 1 de janeiro.
46.1. Recorrendo à calculadora, comenta afirmação:
 πt

F (t ) = 38, 5 − 2 sen  + π 
 4

“As duas cidades atingem as mesmas temperaturas máxima e mínima ao longo do ano”.
com F em graus Celsius e t em horas. Responde às perguntas com a temperatura aproximada às
décimas e o tempo ao minuto.
46.2. Qual foi a temperatura em cada uma das cidades no dia 20 de abril de 2006?
46.3. As duas cidades atingem alguma vez a mesma temperatura? Se sim, qual e em que dias do ano?
Elabora uma pequena composição respondendo a estas questões e apresenta todos os
elementos recolhidos na calculadora, nomeadamente o gráfico ou gráficos obtidos e
coordenadas de pontos relevantes, interpretando-os no contexto do problema.
47. À entrada de um porto de abrigo, a profundidade da água varia com as marés.
Num certo dia, a profundidade na maré alta é de 10 m e de 7 m na maré baixa.
Considera ainda que o tempo que decorre entre cada maré alta e cada maré baixa é de 6 horas, sendo
igualmente de 6 horas o tempo que decorre entre cada maré baixa e cada maré alta.
Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a profundidade, y, em metros, de
água no mar, à entrada do porto, t horas após a maré alta.
(A)
(C)
 πt 
y = 3cos   + 8, 5
 6 
 πt

y = 1,5cos  − 3  + 8, 5
 6

(B)
 πt 
y = 1,5sen   + 8,5
 6 
(D)
 πt 
y = 1,5cos   + 8,5
 6 
2011/ 2012
49.2. Qual foi a temperatura máxima que ele teve nesse dia? Como podes determinar esse valor sem
usar a calculadora?
49.3. A febre do João repete-se com um certo período. Qual?
50. Na ilha Lexus, a temperatura verificada ao longo do primeiro dia do mês de maio é dada, em graus
Célsius, pela expressão:
 12 − t  
T (t ) = 5cos 
 π  + 15 ,
 12  
sendo t a hora do dia (0 ≤ t ≤ 24) .
50.1. Determina analiticamente:
Qual é a expressão correta?
Numa pequena composição, de dez a quinze linhas, aproximadamente, justifica a tua resposta.
Na justificação deves apresentar porque razões rejeitas três das opções, apresentando, para cada uma
delas, pelo menos uma razão. Deves ainda explicar porque razão consideras correta a opção por ti
escolhida.
Matemática A – 11º ano
49.1. O Luís foi visitá-lo às 15h e 30 min. Qual era a temperatura do João?
11/12
50.1.1.
a temperatura às 2 horas da tarde.
50.1.2.
a que horas do dia a temperatura é de 15ºC.
50.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determina em que instantes do dia a temperatura foi
superior a 11ºC. Apresenta um esboço do gráfico e apresenta os instantes em horas e minutos,
arredondados às unidades.
Matemática A – 11º ano
2011/ 2012
12/12