Unidade 10 – Trigonometria:
Conceitos Básicos
Arcos e ângulos
Circunferência
trigonométrica
Arcos e Ângulos
Quando em uma corrida de motocicleta um
piloto faz uma curva, geralmente, o traçado
descrito pela moto corresponde a um arco
de um circunferência.
Vamos estudar, a partir de agora, o que são
arcos na circunferência e também como
representar as suas medidas.
Medida de arco na circunferência
Dada uma circunferência, se considerarmos dois pontos A e B
em seu traçado, teremos definidos dois arcos indicados por
Nessa indicação, convencionamos assinalar os arcos no
sentido anti-horário.
Essa convenção será predominante em nosso estudo.
Medida de arco na circunferência
Preste atenção: Se os pontos A e B
coincidirem, temos uma arco de uma volta
ou um arco nulo.
Conceito: Arco de circunferência é cada uma das partes em que esta fica
dividida por dois de seus pontos.
Ângulo Central
Todo ângulo coplanar com uma circunferência C, cujo o vértice
O é o centro de C, é denominado ângulo central relativo a C.
Assim, a todo ângulo central corresponde um arco e,
reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do seu
ângulo central.
Não confunda a medida de um arco com o comprimento deste.
O comprimento de um arco é a sua media linear e é expresso
em centímetros, decímetros, metros, etc.
Já para medir um arco, as unidades mais utilizadas são o grau
e o radiano.
Ângulo Central
Grau
É a unidade derivada de um
dos mais antigos sistemas
de unidades de que se tem
registro – o sistema
sexagesimal, criado pelos
babilônicos em trono de
4000 a.C..
O grau é definido dividindose uma circunferência em
360 partes iguais entre si.
Cada uma dessa partes,
equivalentes a 1/360 da
circunferência, corresponde
a um arco de um grau e é
representada por 1º.
Grau
Para você fazer – p. 24
Represente, nas circunferência a seguir, os
arcos com as medidas solicitadas e com
origem no ponto A:
Grau
O grau apresenta dois submúltiplos,
denominados minutos e segundo.
Um minuto corresponde a 1/60 do grau e á
representado por 1’.
Um segundo corresponde a 1/60 do minuto e
é representado por 1”
Assim, 1º = 60’ e 1’ = 60”
Radiano
Observe o arco AB na
circunferência, cujo
comprimento é igual a
medida do raio desta:
Dizemos que a medida do
arco AB ou do ângulo
central BOA é igual a 1
radiano e é representado
por 1 rad.
Assim, um arco cujo
comprimento é igual à
medida do raio da
circunferência mede 1
radiano.
Para transformar em radianos a medida de um arco expressa em graus, ou
vice-versa, basta escrevermos uma proporção entre as medidas da circunferência
e do arco correspondentes.
Radiano
Para você fazer – p. 25
a) Comprimento
Medida do Arco
R - - - - - - - - - - - - - - - 1rad
2πR - - - - - - - - - - - - - - - - α
Rα = 2πR → α =
b)
c)Medida do arco
Comprimento
360º - - - - - - - - - - - 2π .9
200º - - - - - - - - - - - L
360º.L = 200.2π .9 → L = 10π cm
2πR
→ α = 2π rad
R
360º - - - - - - - - - 2πrad
α - - - - - - - - - - - 1 rad
360 180
2πα = 360 → α =
=
2π
π
180
=
→ α ≅ 57,9º
3,14
Radiano
Para você fazer – p. 25
2)
360º - - - - - - - - - - - 2πrad
3)
360º - - - - - - - - - - - 2πrad
120º - - - - - - - - - - - α
2π
360º.α = 240π ∴α =
rad
3
α ----------2πα = 360º.
α=
4)22º30' = 22º +0,5º = 22,5º
360º - - - - - - - - - - - 2πrad
22,5º - - - - - - - - - - - α
5π
4
5π
→ 2πα = 90.5π
4
450π
→ α = 225º
2π
360º α = 22,5º. 2π → 360º α = 45π
α=
360º
π
→ α = rad
45π
8
Resolução de Atividades
Páginas 25
Circunferência Trigonométrica
Considere, no plano
cartesiano, uma
circunferência com centro
na origem, ou seja, no ponto
(0,0) e com raio unitário
(R=1).
A circunferência anterior é
chamada é chamada
circunferência
trigonométrica, na qual se
convenciona que:
y
O
x
Circunferência Trigonométrica
O ponto A de coordenadas
(1;0) é a origem dos arcos;
O sentido anti-horário é
positivo, ou seja, arcos
medidos nesse sentido são
positivos, enquanto arcos
medidos no sentido horário
são negativos;
Os eixos coordenados
dividem a circunferência em
quatro partes congruentes
chamadas de quadrantes,
contados de I a IV no
sentido anti-horário.
+
II
I
A (1;0)
III
IV
Circunferência Trigonométrica
Para você fazer – p. 26
a)0º < x < 90º ou 0 < x <
B(0 ; 1) C(-1 ; 0) D( 0 ; -1)
b)90º < x < 180º ou
π
2
π
2
< x <π
c)180º < x < 270º ou π < x <
d)270º < x < 360º ou
3π
2
3π
< x < 2π
2
Circunferência Trigonométrica
Para você fazer – p. 26
A extremidade do arco de 120º
pertence ao segundo quadrante.
4π
A extremidade do arco de
rad = 240º
3
pertence ao terceiro quadrante.
A extremidade do arco de 300º
pertence ao quarto quadrante.
Circunferência Trigonométrica
Na Geometria, um ângulo
maior que 360º não tem
significado.
Porém, na Trigonometria,
um ângulo maior que 360º
indicará um número de
voltas.
Por exemplo, o arco de 780º
corresponde a duas voltas
completas e mais 60º, pois:
Circunferência Trigonométrica
Observe que os arcos de
60º e 780º têm a mesma
extremidade na
circunferência
trigonométrica.
Dizemos, então que esses
arcos são côngruos.
Existem infinitos arcos
congruentes ao arco de 60º,
pois sempre que
percorremos um número
inteiro de voltas a partir
deste, obtemos arcos com a
mesma extremidade.
Observe alguns exemplos:
60º + 360º . 1 = 420º
60º + 360º . 2 = 780º
60º + 360º . 3 = 1140º
60º + 360º . (-1) = -300º
60º + 360º . (-2) = -660º
Um expressão que
generaliza todos os arcos
côngruos ao arco de 60º é
x = 60º + 360º.k, onde k é um
número inteiro.
Circunferência Trigonométrica
O arco de 60º é chamado “primeira
determinação positiva” (para k = 0)
O arco de -300º é chamado “primeira
determinação negativa” (para k = -1)
Se a medida do arco α estiver expressa em
radianos, os infinitos arcos côngruos a esses
arcos são dados por:
x = α + 2π.k, onde k é um número inteiro.
Circunferência Trigonométrica
Para você fazer – p. 27
Assim, 480º = 1 . 360º + 120º
Portanto, a expressão geral de todos os arcos
côngruos a 480º é x = 120º + 360º . k (k inteiro)
19π 18π π
=
+
3
3
3
6π = 3 voltas
Assim, a expressão geral de todos os arcos côngruos a
19π
π
é x = + 2π .k
3
3
Circunferência Trigonométrica
Para você fazer – p. 27
Assim, 1160º = 3 . 360º + 80º
Portanto, os arcos são côngruos
Assim, como 345º ≠ 115º, os arcos
não são côngruos.
16π 12π 4π
=
+
3
3
3
19π 12π 7π
=
+
6
6
6
7π π
Assim, como
≠ , os arcos não
6
6
são côngruos.
16π
4π
, os arcos
= 2.2π +
3
3
são côngruos.
Assim,
Circunferência Trigonométrica
Para você fazer – p. 27
e) Estabeleça uma relação entre dois arcos
congruentes quaisquer.
Assim, 80º e 1160º são côngruos, pois
1160º- 80º = 1080º = 3 . 360º
π 19π
Enquanto e
não são côngruos,
6
6
19π π 18π
pois
− =
= 3π que não é múltiplo
6
6
6
de 2
Resolução de Atividades
Páginas 27/28
Circunferência Trigonométrica
Anteriormente, estudamos
as razões seno e cosseno
no triângulo retângulo, em
que só era possível
trabalhar com ângulos
agudos, ou seja, menores
que 90º ou π/2 rad.
Vamos agora ampliar essas
ideias para a circunferência
trigonométrica.
Para isso, considere a
circunferência
trigonométrica e um arco AP
cuja medida é α.
No triângulo retângulo OPP' , temos que :
PP' PP'
senα =
=
= PP' = OP"
OP
1
OP' OP'
senα =
=
= OP'
OP
1
Circunferência Trigonométrica
Conceito
Em uma circunferência trigonométrica, definise seno do arco de medida α (representa-se
por sen α) como sendo a ordenada do ponto
P e cosseno de arco de medida α
(representa-se por cos α) a abscissa do
ponto P.
Circunferência Trigonométrica
Essa definição tem a vantagem de não
restringir as razões para arcos com medidas
menores que 90º.
Observe o que ocorre no segundo, terceiro e
quarto quadrantes:
Além dos já conhecidos arcos notáveis de
medidas 30º, 45º e 60º, existem valores
importantes na circunferência trigonométrica.
Circunferência Trigonométrica
Circunferência Trigonométrica
sen90º = sen
cos 90º = cos
Lembrando que os pontos A, B,
C e D são extremidades de
arcos de medidas 0º (ou 360º),
90º, 180º e 270º
respectivamente, temos que:
π
2
π
=1
=0
2
sen180º = senπ = 0
cos180º = cos π = −1
3π
sen270º = sen
= −1
2
3π
cos 270º = cos
=0
2
sen360º = sen2π = 0
cos 360º = cos 2π = 1
Tabela Trigonométrica
Para você fazer – p. 29
sen(450º ) = sen(90º ) = 1
 7π 
 3π 
cos
 = cos  = 0
 2 
 2 
Redução ao primeiro quadrante
Qual é o valor do seno e do cosseno de 120º
Observe que ordenada do ponto P é igual à ordenada do ponto Q,
enquanto a abscissa de P é oposto da abscissa de Q.
Assim, podemos escrever que sen 120º = sen 60º e
cos 120º = - cos 60º.
Genericamente, podemos escrever que :
sen(sen 180º - x ) = sen (x )
cos(cos180º − x ) = −cos(x )
Para o arco x medido em radianos, temos
sen(π − x) = sen( x )
cos (π − x) = − cos( x )
Para você fazer – p. 30
1
sen210º = − sen30º = −
2
V
W
3
cos 210º = − cos 30º = −
2
2
sen315º = − sen45º = −
2
2
cos 315º = cos 45º =
2
Ciclo trigonométrico
Para você fazer – p. 30
Se um arco x pertence ao terceiro quadrante :
sen(x ) = − sen(x − 180º )
cos( x ) = − cos( x − 180º )
Se um arco x pertence ao quarto quadrante :
sen(x ) = − sen(360º − x )
cos( x ) = cos(360º − x )
Para o arco x medido em radianos, basta substituir
180º por π e 360º por 2π
Para você fazer – p. 30
Q
P
Assim,
sen (-30º) = - sen (30º)
cos (-30º) = - cos (30º)
Mesmo sem mencionar os fatos de que as
funções seno e cosseno são respectivamente,
ímpar e par, é importante enfatizar a ideia de
que qualquer que seja a medida do arco, são
Verdadeiras as igualdades
sen (-x) = - sen (x)
cos (-x) = - cos (x)
Para você fazer – p. 30
E = 3.sen(330º ) − 2. cos(240º )
E = 3.(− sen30º ) − 2.(− cos 60º )
 1
 1
E = 3. −  − 2. − 
 2
 2
3
E = − +1
2
1
E=−
2
Resolução de Atividades
Página 29 e 30