caderno do
ensino fundamental
a
8- SÉRiE
volume 4 - 2009
matEmática
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e
Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
S239c
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a série, volume 4 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-439-1
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado,
Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.3:51
Caras professoras e caros professores,
Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de
revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino
Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.
Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente
completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.
O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.
A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as
aprendizagens de todos os alunos.
Bom trabalho!
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – A natureza do número Pi (π)
11
Situação de Aprendizagem 2 – A razão π no cálculo do perímetro e da
área do círculo 19
Situação de Aprendizagem 3 – Cilindros
33
Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidade e Geometria
Orientações para Recuperação
40
46
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a
compreensão do tema 47
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
48
São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Caros(as) professores(as),
Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos
professores em 2009.
Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para
que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo
reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em
diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento
coletivo e a cooperação entre eles.
A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,
significativa e motivadora de ensinar aos alunos.
Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez
ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA do CAdERno
Circunferências, círculos e cilindros
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Fundamental
Série:
8a
Volume:
4
temas e conteúdos:
O significado da razão π
temas e conteúdos:
A área e o perímetro do círculo e suas partes
temas e conteúdos:
Volume e área do cilindro
temas e conteúdos:
Probabilidade e Geometria
7
oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à forma de abordagem desses temas, sugerida
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os
princípios norteadores do presente currículo,
destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De
acordo com o número de aulas disponíveis por
semana, o professor explorará os assuntos com
mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento
de cada um. A critério do professor, em cada
situação específica, o tema correspondente a
uma das unidades pode ser estendido para mais
de uma semana, enquanto o de outra pode ser
tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar
todas as oito unidades, uma vez que, juntas,
compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui
para a compreensão das outras. Insistimos, no
8
entanto, no fato de que somente o professor,
em sua circunstância particular, e levando em
consideração seu interesse e o dos alunos pelos
temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das
unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo do
bimestre, quatro Situações de Aprendizagem
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma
de abordagem sugerida, instrumentalizando o
professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo
seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em
razão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas
com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas
seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, recursos disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem ainda o Caderno algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável
ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre em cada Situação de
Aprendizagem apresentada.
Matemática – 8a série – Volume 4
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo central do 4o bimestre da 8a
série do Ensino Fundamental são os cálculos
métricos envolvendo o círculo e o cilindro. A
medida do perímetro, da área e do volume de
figuras circulares está diretamente ligada ao número pi, representado pela letra π do alfabeto
grego. Esse número já havia sido apresentado
aos alunos na 6a série do Ensino Fundamental,
dentro do estudo da proporcionalidade e das
razões geométricas. Naquela situação, bastava aos alunos o conhecimento de que a razão
entre o comprimento da circunferência e seu
diâmetro era constante e valia aproximadamente 3,14. Agora, na 8a série, o π adquire novos significados, e seu uso será ampliado para
a realização de cálculos de perímetros, áreas e
volumes de figuras circulares.
A Situação de Aprendizagem 1 trata justamente da ampliação do significado do número π. Partindo de uma abordagem histórica
que mostra o desafio intelectual que representou o cálculo dessa razão durante séculos,
propomos uma reflexão abrangente sobre as
características particulares desse que é um
dos mais famosos números da Matemática.
Nesta série, os alunos são confrontados com
o fato de π ser um número irracional, ou seja,
que apresenta infinitas casas decimais não
periódicas. Ao final da Situação de Aprendizagem, propomos uma atividade de investigação estatística envolvendo os dígitos
decimais do número π.
Na Situação de Aprendizagem 2, o foco se
desloca para o uso do número π no cálculo do
perímetro e da área do círculo. São propostas
diversas situações, envolvendo atividades de
medida de objetos circulares, demonstrações,
aproximações do valor de π e problemas relacionados ao cálculo de áreas e perímetros de
figuras circulares. Vale destacar dois problemas
exemplares abrangendo o uso do π. O primeiro,
de caráter mais prático, envolve a determinação do diâmetro da roda de um automóvel e a
distância percorrida por ele. O segundo, mais
teórico, refere-se a um problema milenar envolvendo o cálculo de medidas de figuras circulares, que ficaram conhecidas como lúnulas
de Hipócrates.
A Situação de Aprendizagem 3 aborda os
cálculos métricos relacionados ao cilindro,
fazendo uma analogia com a fórmula do volume do prisma reto. A demonstração formal,
baseada no Princípio de Cavalieri, será feita
na 2a série do Ensino Médio.
Por fim, a Situação de Aprendizagem 4
trata da relação entre a Geometria e o cálculo de probabilidade. Ampliando o conceito de probabilidade para espaços amostrais
contínuos, apresentamos algumas situações
que envolvem a determinação da probabilidade por meio da comparação entre as áreas
de figuras geométricas, em geral, circulares.
Vale destacar a menção a um dos problemas
9
mais curiosos da história da Matemática: a
agulha de Buffon. A discussão sobre esse problema traz inúmeros elementos para pensar
a natureza do conhecimento matemático.
Lembramos que as atividades propostas
neste Caderno têm como objetivo apoiar a
prática do professor. Dessa forma, elas podem e devem ser transformadas e aplicadas de
acordo com a necessidade e realidade de cada
turma e de cada professor. Deve ficar a critério
do professor a escolha de quais atividades explorar e de como integrá-las ao seu programa.
Acreditamos, contudo, que as sugestões aqui
apresentadas possam contribuir efetivamente
na direção de um ensino e de um aprendizado
mais significativo da Matemática.
10
Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre
da 8-a série do Ensino Fundamental
unidade 1 - O significado da razão π.
unidade 2 - Perímetro da circunferência.
unidade 3 - Área do círculo.
unidade 4 - Área de setores circulares.
unidade 5 - Problemas métricos envolvendo perímetro e área de figuras circulares.
unidade 6 - Área e volume do cilindro.
unidade 7 - Problemas métricos envolvendo área e volume do cilindro.
unidade 8 - Probabilidade e Geometria.
Matemática – 8a série – Volume 4
SituAçõES dE APREndizAgEm
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
A NAtuREzA DO NúMERO Pi (π)
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: panorama histórico do número π; cálculo do π por aproximação; números
irracionais; frequência e porcentagem.
Competências e habilidades: compreender o número π como produto de uma construção
histórica; compreender as características que fazem do π um número irracional; construir
uma tabela de frequências e calcular porcentagens.
Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; pesquisa
sobre o número π; atividade de investigação estatística sobre as casas decimais do π.
Roteiro para aplicação da
Situação de Aprendizagem 1
Poucos números são tão intrigantes como
o π. Ele é um dos poucos números que têm
um nome próprio, desvinculado da nomenclatura decimal. É representado por um símbolo
diferente dos demais, a letra grega π. Pertence
ao “estranho” conjunto dos números irracionais, e suas casas decimais crescem indefinidamente, sem aparentar nenhum tipo de padrão
previsível. Além disso, está diretamente relacionado a uma das figuras mais importantes
da Geometria, o círculo. Apesar de tudo isso,
nossos alunos frequentemente desconhecem o
significado desse número.
O objetivo principal desta Situação de
Aprendizagem é a ampliação do significado do número π. Embora ele já tenha sido
apresentado na 6a série, no estudo das razões
constantes nas formas geométricas, é importante resgatar com os alunos o significado do
π como a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.
Na 8a série, com o conhecimento dos números irracionais, o número π já pode ser apresentado como um número irracional, ou seja, um
número cuja representação decimal é infinita e
não periódica. Em outras palavras, uma razão
que não pode ser representada por nenhuma
fração entre números inteiros. O valor de π
só pode ser representado numericamente por
meio da aproximação por um número racional
(3 ou 3,1 ou 3,14 ou 3,141, etc.).
A demonstração formal da irracionalidade de π é incompatível com esse nível
de ensino. Contudo, é possível apresentar
11
argumentos que mostrem aos alunos por que
ele pode ser continuamente calculado, com
uma precisão cada vez maior. Apresentaremos uma aproximação do valor de π com
260 casas decimais para ilustrar o fato de
que não há nenhuma regularidade no aparecimento dos algarismos decimais.
As atividades propostas a seguir constituem
uma fonte de informação para o professor trabalhar o significado do π em sala de aula. Elas
devem complementar o trabalho que já é feito
com os alunos. Não há necessidade de abordar
todas as atividades dessa Situação de Aprendizagem. Deve ficar a critério do professor a forma
de explorá-las e a escolha daquelas que são mais
adequadas ao seu curso.
No Caderno do Aluno estão propostas
atividades envolvendo os aspectos discutidos
nesta Situação de Aprendizagem.
Atividade 1 – uma perspectiva histórica
Ao ensinar o número π, frequentemente os
alunos nos fazem perguntas bastante pertinentes:
Afinal de contas, quem “inventou” o π ? Por que ele
tem infinitas casas decimais? Qual valor devemos
lhe atribuir? Por que se calcula o π com tantas casas decimais? Para que serve esse número?
tais questões nos levam a refletir sobre a
importância da construção do significado no
ensino da Matemática. Apresentar o número π
somente com base em sua definição formal
não é suficiente para garantir um significado
amplo desse conceito. É preciso ir além, trazendo para a sala de aula outras situações que
ampliem tal significado.
12
A história constitui um excelente recurso a favor da construção do significado dos conceitos em
qualquer área do conhecimento. Na Matemática,
particularmente, ela é de fundamental importância para evitar visões cristalizadas ou excessivamente simplistas. Ainda que alguns livros tratem
a Matemática como um conhecimento pronto e
acabado, é importante que os alunos saibam que
o que estudamos hoje é fruto de muito trabalho
e pesquisa de pessoas que lhe dedicaram tempo e
esforço no decorrer da história da humanidade.
A ideia do número π não nasceu pronta, muito
menos a constatação de que ele é um número formado por infinitas casas decimais. A busca pelo
valor exato de π ocupou os matemáticos desde a
Antiguidade. Os egípcios já sabiam que esse valor
era constante para qualquer circunferência e valia um pouco mais que 3. Há menção dessa razão
até mesmo na Bíblia, que considerava π igual a 3.
Matemáticos de diferentes culturas e épocas debruçaram-se sobre esse número, tentando entendê-lo e calculá-lo com o máximo de precisão.
Embora ele venha sendo estudado desde
tempos antigos, o nome e o símbolo usados
para representá-lo só surgiram posteriormente.
Atribui-se a Leonard Euler, no século XVIII, a
popularização do uso da letra grega π para representar a razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro. A letra π é a pri),
meira da palavra grega peripheria (
cujo significado é circunferência, ou seja, o
contorno ou perímetro de um círculo.
Essas e outras informações a respeito da
evolução histórica do número π podem ser levadas para a sala de aula, para ampliar a cultura
matemática dos alunos. Existem muitos livros
Matemática – 8a série – Volume 4
e sites que tratam desse assunto. Pode-se solicitar aos alunos que façam uma pesquisa sobre o
número π. Alguns temas que podem ser propostos para orientar essa pesquisa são: o cálculo do
π na Antiguidade (Egito, Grécia, Mesopotâmia,
China, etc.); as aproximações do π desde a Antiguidade até hoje; o recorde mundial de cálculo
dos algarismos de π; a aleatoriedade dos algarismos, etc. Alguns desses assuntos serão tratados, de forma pontual, neste Caderno.
Nesse tipo de atividade, é importante que o
professor oriente os alunos sobre alguns procedimentos de pesquisa: determinar o objeto a ser
pesquisado; as informações a serem procuradas;
como elas devem ser registradas; os cuidados
que se deve ter com relação aos sites na internet,
etc. Além disso, o professor pode sugerir bibliografia e sites para auxiliar a pesquisa.
Atividade 2 – o valor de π por
aproximação
talvez um dos grandes desafios no ensino
do número π seja convencer os alunos da sua
irracionalidade, ou seja, que se trata de um número cuja representação decimal é infinita e
não periódica. Alguns alunos podem questionar esse fato com razão, pois não há evidência,
à primeira vista, que indique que a divisão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro não seja um número racional.
A constatação de que π é um número
irracional demorou muito para ser construída e aceita. Muitos matemáticos, ao longo da
história, trataram o π como racional, ou seja,
passível de ser transformado em fração. Para
os egípcios, o valor de π era equivalente a 256 ,
81
que, em termos decimais, equivale a 3,16. Na
Mesopotâmia, esse valor era 25, ou 3,125.
8
Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no
Egito, por volta do século II d.C., conseguiu
calcular o valor de π como 377 , que é, apro120
ximadamente, igual a 3,1416, uma aproximação muito boa para a época.
A irracionalidade de π só foi demonstrada
no século XVIII. A prova desse fato, contudo, é complexa demais para ser apresentada
no Ensino Fundamental. Podemos, no entanto, apresentar argumentos que mostrem que o
valor de π pode ser continuamente calculado,
com uma precisão cada vez maior, sem limite.
O método de aproximações sucessivas, desenvolvido por Arquimedes no século III a.C.,
constitui um excelente exemplo para ilustrar a
ideia de que π apresenta essas características.
Vejamos, a seguir, as linhas gerais do raciocínio de Arquimedes.
Atividade 3 – o método de Arquimedes
É atribuída a Arquimedes (287-212 a.C.)
uma das primeiras tentativas de calcular rigorosamente o valor de π e o comprimento da circunferência. Em sua obra As medidas do círculo,
Arquimedes desenvolveu um método de aproximação para o cálculo da medida do perímetro da circunferência. Esse método envolvia a
construção de polígonos regulares inscritos e
circunscritos a dada circunferência. Conhecidos os perímetros dos polígonos inscritos e circunscritos a ela, ele tentou definir um intervalo
no qual estaria contida a medida do perímetro
do círculo.
13
Perímetro
Comprimento
Perímetro
do polígono <
da
< do polígono
inscrito
circunferência
circunscrito
Para simplificar o problema, vamos considerar que a medida do diâmetro da circunferência seja unitária. Assim, o comprimento da
circunferência será igual ao valor da razão π, e
os números obtidos, aproximações por falta
e por excesso desse valor.
Valor
<
subestimado
Valor de
π
<
Aumentando sucessivamente o número de
lados, os erros em relação à circunferência
tornam-se menores, e a aproximação em relação à circunferência, melhor. A figura a
seguir mostra a aproximação por polígonos
de 12 e 24 lados. Visualmente, o polígono de
24 lados assemelha-se muito à circunferência.
Contudo, haverá sempre uma diferença entre
a curva e o lado do polígono, mesmo que visualmente imperceptível.
Valor
superestimado
l12
A primeira aproximação foi feita com dois
hexágonos regulares, um inscrito e outro circunscrito à circunferência, como mostra a figura:
L12
L6
l6
3,11 < π < 3,21
l24 L24
Considerando o diâmetro da circunferência
igual a 1 e, portanto, o raio igual a 0,5, obtemos o valor 3 para o perímetro do hexágono
inscrito e de, aproximadamente, 3,46 para o circunscrito. Assim, aproximando por hexágonos,
Arquimedes obteve o seguinte intervalo para o
valor de π: 3 < π < 3,46.
14
3,132 < π < 3,159
Matemática – 8a série – Volume 4
Arquimedes dobrou sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96
lados. Calculando o perímetro desse polígono
inscrito e circunscrito, obteve um valor entre
3,1408 e 3,1428, aproximação muito boa para
a época.
O método de Arquimedes mostra que é possível obter aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar,
continuamente, o número de lados dos polígonos. Ptolomeu, no século II d.C., calculou o valor de π a partir de um polígono de 720 lados,
e obteve um valor próximo a 3,14167. No século III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter
o valor de 3,14159 com um polígono de 3 072
lados. No final do século V d.C., o matemático
tsu Chung-Chih, usando polígonos com 24 576
lados, obteve um número entre 3,1415926 e
3,1415927. Muitos outros matemáticos aplicaram o método de Arquimedes para obter aproximações cada vez mais precisas do valor de π.
Como o número de lados dos polígonos
inscrito e circunscrito pode crescer indefinidamente, com uma aproximação crescente entre
seus perímetros e o comprimento da circunferência (π), podemos concluir que o valor de π
pode ser calculado cada vez mais precisamente, sem que se chegue ao final dos cálculos. O
método de Arquimedes, levado ao limite, pode
ser um bom argumento para convencer os alunos de que π tem infinitas casas decimais.
Atividade 4 – o cálculo das casas
decimais do π
Como vimos anteriormente, o número π
vem sendo estudado há muito tempo pelos
matemáticos. Apesar disso, ele ainda é um dos
poucos números conhecidos desde a Antiguidade que continua sendo atualmente fonte de muitas pesquisas. Procura-se descobrir novos e mais
poderosos métodos para calcular seu valor, com
o maior número possível de casas decimais.
O cálculo do π com o maior número possível de algarismos tem sido um desafio para os
matemáticos. A evolução desse cálculo foi surpreendente a partir do momento em que o computador entrou em cena. Para se ter uma ideia
desse avanço, em 1873, William Shanks conseguiu obter o valor de π com 707 dígitos. Fazendo
os cálculos manualmente, ele levou 15 anos para
realizar essa tarefa. Com o advento da computação, associado ao descobrimento de métodos de
cálculo mais poderosos e eficientes, o número
de dígitos de π obtidos saltou para a casa dos milhões. um dos últimos recordes foi obtido pelos
pesquisadores japoneses Kanada e takahashi
que, em 2002, conseguiram obter o valor de π
com mais de um trilhão de casas decimais.
A busca por novos métodos de cálculo do
valor de π também é outra fonte atual de pesquisas. Quanto mais eficiente for o método,
mais rapidamente será possível calcular determinada quantidade de dígitos. Outra linha de
pesquisa consiste em estudar a estatística da
distribuição dos dígitos de π, de modo a verificar se eles aparecem aleatoriamente ou se há
algum tipo de padrão constante. Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas,
o cálculo do π é usado para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir uma
computação intensa e precisa, o cálculo de
milhões de casas decimais do π pode servir
de parâmetro para verificar a velocidade e a
confiabilidade dos novos processadores.
15
É importante ressaltar, contudo, que, na
prática, não precisamos conhecer o valor de π
com tantas casas decimais. Na maioria das aplicações, uma aproximação do valor de π com
duas casas (3,14) é bastante adequada para garantir precisão em construções, desenhos, etc.
Em cálculos científicos, uma aproximação com
quatro casas decimais é mais do que suficiente. Por exemplo, o valor de π com 11 casas decimais permitiria calcular a circunferência da
terra com uma precisão de milímetros.
Atividade 5 – tratamento da informação:
a frequência dos dígitos de π
A atividade de investigação que propomos
a seguir tem como principal objetivo fazer
com que o aluno verifique, na prática, a distribuição aleatória dos algarismos que compõem
a parte decimal do número π. Com base na
sequência dos 260 primeiros algarismos de π,
eles deverão analisar a frequência de aparição
de cada algarismo e calcular sua porcentagem
em relação ao total.
1. Podemos iniciar a atividade questionando os alunos sobre o significado do termo
aleatório. No dicionário Aurélio1, encontramos a seguinte acepção: dependente de
fatores incertos, sujeitos ao acaso; casual,
fortuito, acidental. No contexto do estudo
do número π, a aleatoriedade está relacionada à dificuldade de prever a sequência
dos algarismos que compõem a parte decimal desse número.
2. Em seguida, apresentamos aos alunos a
seguinte imagem:
© Conexão Editorial
O fato de π ser um número irracional, por
si só, não é o fator que determina o grau de
dificuldade em relação ao seu cálculo. Existem números irracionais cuja representação decimal é previsível, como o número
3,10110111011110... . Nesse caso, embora
irracional, é possível identificar um padrão
de crescimento nos algarismos decimais. O π,
por sua vez, é difícil de calcular porque é um
irracional imprevisível: sua representação
decimal não mostra nenhuma regularidade, pois
seus algarismos se distribuem aleatoriamente.
1
16
novo dicionário Aurélio da língua Portuguesa. 3 ed. Curitiba: Positivo, 2004.
Matemática – 8a série – Volume 4
número π, em que cada algarismo foi substituído por uma cor. Por exemplo, os cinco primeiros quadrados correspondem a
3,1415, onde o 3 é representado pelo azul, o
1 pelo vermelho, o 4 pelo amarelo e o 5 pelo
laranja. traduzindo as cores em números,
obtemos a representação das 260 casas decimais do número π.
Solicite a eles que observem atentamente
a imagem e tentem identificar algum tipo de
padrão que se repete nas cores, ou se há alguma lógica na distribuição das cores ao longo
da imagem. Dificilmente eles encontrarão algum padrão na sequência de cores exposta.
Essa figura é, na verdade, a representação das primeiras 260 casas decimais do
3,
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
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3
2
7
9
5
0
2
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1
9
7
1
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3
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5
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1
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0
5
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2
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1
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0
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1
2
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8
1
1
1
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4
5
0
2
8
4
1
0
2
7
0
1
9
3
8
5
2
1
1
0
5
5
5
9
6
4
4
6
2
2
9
4
8
9
5
4
9
3
0
3
8
1
9
6
4
4
2
8
8
1
0
9
7
5
6
6
5
9
3
3
4
4
6
1
2
8
4
7
5
6
4
8
2
3
3
7
8
6
7
8
3
1
6
5
2
7
1
2
0
1
9
0
9
1
4
5
6
4
8
5
6
6
9
2
3. Peça a eles que construam uma tabela
de frequência contendo o número de
vezes em que cada algarismo aparece
na parte decimal. Em seguida, devem
calcular a frequência relativa, isto é, a
razão entre o número de aparições do
algarismo e o total de algarismos considerados, expressa em porcentagem.
A tabela obtida deve apresentar os seguintes resultados:
Algarismo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
total
Frequência
22
26
30
24
30
26
25
17
32
28
260
Porcentagem
8,5% 10,0% 11,5% 9,2% 11,5% 10,0% 9,6% 6,5% 12,3% 10,8% 100%
4. A seguir, proponha que analisem os dados obtidos e respondam às seguintes
questões:
b) Qual é o algarismo que menos aparece na sequência? Com que frequência
relativa?
a) Qual é o algarismo que mais aparece na
sequência? Com que frequência relativa?
É o 7, com frequência relativa de 6,5 %.
É o algarismo 8, com frequência relativa de
12,3%.
c) Qual a diferença entre a maior e a menor frequência?
A diferença é de 5,8% pontos porcentuais.
17
d) Se a distribuição fosse equilibrada entre
todos os algarismos, qual deveria ser a
frequência relativa de cada um?
Deveria ser de 10%.
5. Comentários sobre os resultados obtidos.
É importante comentar que as frequências
obtidas são relativas a uma amostra de 260
algarismos. Se, por exemplo, aumentássemos
a amostra para 780 algarismos, o número
com a maior frequência não seria mais o 8,
e sim o 1 (11,4%) e, com a menor frequência,
seria o 5 (9,1%). A diferença entre o número
de maior frequência e o de menor frequência
cairia para 2,3% pontos porcentuais.
Conforme já havíamos mencionado, um
dos interesses em calcular grandes quantidades
de dígitos do π é verificar se a distribuição de
seus dígitos é aleatória ou não. Os cálculos já
realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões
de dígitos iniciais do π, Kanada e takahashi
obtiveram a seguinte distribuição:
18
Algarismo
Frequência
Porcentagem
0
20 000 030 841
10,00002%
1
19 999 914 711
9,99996%
2
20 000 136 978
10,00007%
3
20 000 069 393
10,00003%
4
19 999 921 691
9,99996%
5
19 999 917 053
9,99996%
6
19 999 881 515
9,99994%
7
19 999 967 594
9,99998%
8
20 000 291 044
10,00015%
9
19 999 869 180
9,99993%
total
200 000 000 000
100%
Como é possível notar, a frequência relativa
dos algarismos se aproxima muito de 10%, evidenciando um equilíbrio entre os algarismos e
confirmando a aleatoriedade dos dígitos de π.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é de que os alunos tenham ampliado seu conhecimento sobre o número π.
A perspectiva histórica, os inúmeros estudos e
pesquisas realizadas, a aproximação de Arquimedes, o cálculo gigantesco dos pesquisadores
japoneses, a aleatoriedade dos algarismos de π
são algumas características que fazem desse
número um dos objetos matemáticos mais intrigantes dentro dessa disciplina. Passar pelo
Ensino Fundamental sem saber o significado
do número π é ser privado de uma das heranças
culturais mais valiosas da humanidade.
Ainda que não seja possível tratar desse
assunto de forma completa, esperamos que
o professor consiga levar para a sala de aula
ao menos uma das atividades desenvolvidas.
Acreditamos que esse conhecimento mais
detalhado do número π vai contribuir para
uma aprendizagem mais significativa da
Matemática.
O professor poderá incluir uma ou outra
questão a respeito das características do número π nas avaliações do bimestre. É importante que essas questões contemplem algumas
características importantes, por exemplo:
f que o número π representa uma razão entre o comprimento da circunferência e seu
diâmetro;
Matemática – 8a série – Volume 4
f que esse valor não pode ser expresso por
meio de uma razão entre inteiros, ou seja, é
um número irracional;
f que é possível obter aproximações cada vez
melhores e com mais dígitos das casas decimais do π.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2
A RAzãO π NO CÁLCuLO DO PERíMEtRO E
DA ÁREA DO CíRCuLO
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: comprimento da circunferência; cálculo de área por aproximação; a área
do círculo; proporcionalidade e área de setores circulares.
Competências e habilidades: compreender o significado do π como razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro; resolver problemas relacionados ao comprimento da
circunferência; compreender o método de aproximação para o cálculo da área do círculo;
determinar a área do círculo e de setores circulares.
Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; atividade experimental para determinação da razão ; atividade prática para o cálculo da área do
círculo por aproximação; problemas e exercícios envolvendo o cálculo do perímetro e da área
de círculos, setores e outras figuras geométricas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
O número π está diretamente ligado ao
cálculo de medidas das figuras circulares. A
determinação do perímetro da circunferência, da área do círculo e do volume do cilindro e da esfera envolvem diretamente essa
razão. Assim, nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos algumas atividades relacionadas à utilização do π em cálculos de
áreas e perímetros de figuras circulares.
Dependendo do conhecimento prévio dos
alunos, o professor pode iniciar esse estudo com
o uso de uma atividade experimental envolvendo a medida de objetos circulares. O objetivo
da atividade 1 é retomar a ideia de que o π é a
razão geométrica constante presente em qualquer circunferência e que relaciona a medida
de seu comprimento com seu diâmetro. uma
atividade similar foi proposta no Caderno da
6a série, no âmbito do estudo da proporcionalidade e das razões. Na 8a série, contudo,
essa atividade resultará na determinação da
fórmula do perímetro da circunferência.
uma vez assegurado o conhecimento dos
alunos acerca de π, podemos dar continuidade
ao trabalho com a área e o perímetro do círculo. Nas atividades 1 e 2, o cálculo do perímetro da circunferência é o centro das atenções.
Muitos são os problemas que constam dos livros didáticos envolvendo a utilização dessa
19
O cálculo da área do círculo é o foco das
atividades 3, 4 e 5. Diferentemente da área
dos polígonos, a determinação da área de figuras
circulares foi um desafio para muitas gerações
de matemáticos desde a Antiguidade. Apresentaremos três situações distintas envolvendo a
determinação de uma fórmula para o cálculo da
área do círculo. A primeira tem caráter histórico.
A segunda, caráter experimental. E a terceira,
caráter teórico. Dentro do seu programa, o professor pode escolher o desenvolvimento de uma
ou mais atividades. O importante, neste caso, é
que o aluno consiga se apropriar significativamente da fórmula da área do círculo.
© Carlos terrana/Kino
As duas últimas atividades abrangem a resolução de problemas geométricos envolvendo o
cálculo da área de círculos e setores circulares.
Na atividade 7, apresentamos uma importante
relação ligada ao teorema de Pitágoras e um
problema clássico da Antiguidade, que ficou
conhecido como as lúnulas de Hipócrates.
Atividade 1 – π e o comprimento da
circunferência: significado
Sugerimos que o professor proponha, inicialmente, a seguinte atividade prática envolvendo o cálculo da razão entre o comprimento
da circunferência e seu diâmetro.
Roteiro de trabalho – Solicite aos alunos que
tragam objetos circulares de seu cotidiano para
a aula, tais como moedas, CDs, discos de vinil,
copos, etc. Divida a classe em grupos, distribua
fitas métricas aos alunos e peça para que eles
meçam o diâmetro e o contorno circular desses
objetos. Oriente-os na melhor maneira de fazer
isso, principalmente com relação à medida do
contorno da circunferência.
Desenhe uma tabela na lousa e anote os resultados obtidos pelos grupos na medição de cada
objeto. Peça para que eles calculem a razão entre o
comprimento da circunferência e o diâmetro para
cada objeto. Vamos, a título de ilustração, considerar as medidas obtidas a partir de três objetos:
um CD, uma lata e uma moeda. Os resultados experimentais estão anotados na tabela a seguir.
F001
F002
Circunferência C
38,4 cm
20,6 cm
7,8 cm
diâmetro d
12 cm
7,1 cm
2,5 cm
C
Razão ___
d
3,2
2,9
3,1
© Jacek/Kino
objeto
F003
© Juca Martins/
Pulsar Imagens
fórmula. Resolvemos desenvolver um problema prático relacionado às especificações da
roda de um automóvel. Empregando a fórmula do comprimento da circunferência, é possível resolver alguns problemas envolvendo o
cálculo de distâncias percorridas por um automóvel em função do tamanho das suas rodas.
Observação: medidas aproximadas.
20
Matemática – 8a série – Volume 4
Analisando os resultados, os alunos devem
perceber que, embora os objetos medidos sejam diferentes em tamanho, as razões obtidas
se aproximam de um valor comum. No exemplo acima, os valores obtidos ficaram entre 2,9
e 3,2. Na média, eles se aproximaram de 3,06.
0
1
2
3
4
Essa razão, obtida experimentalmente, pode
variar um pouco dependendo do objeto ou do
processo de medida. Quanto mais preciso for
o processo de medida e mais perfeita a circunferência dos objetos, mais a razão obtida se
aproximará do valor constante 3,14. Para uma
circunferência ideal, essa razão vale π.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Se a razão entre o comprimento C da circunferência e seu diâmetro d vale π, então
C
= π.
podemos escrever que:
D
Portanto, a fórmula para o comprimento
da circunferência é: C = π . D ou C = 2 . π . r,
onde r é o raio da circunferência.
0
1
2
3
uma forma de interpretar esse resultado é a seguinte: quando o diâmetro de um círculo é 1, sua
circunferência mede π. Essa ideia está representada na sequência de imagens a seguir, em que uma
circunferência gira sobre uma reta numerada,
cuja unidade é o diâmetro dessa circunferência.
0
1
0
0
2
1
1
3
2
2
4
3
3
4
4
3,14
4
Ao final de uma volta completa, a circunferência terá percorrido aproximadamente 3,14
unidades equivalentes ao seu diâmetro.
Os livros didáticos geralmente trazem inúmeros problemas de aplicação da fórmula do comprimento da circunferência. Esses problemas
ora trabalham com o cálculo da circunferência
a partir de um raio dado, ora fazem o caminho
inverso, ou seja, a partir da medida da circunferência, solicitam a determinação do raio.
É importante que o professor apresente alguns problemas ligados a situações do cotidiano, para que o aluno vivencie o uso desse
conhecimento em algum contexto conhecido.
Existem muitas situações que podem ser exploradas: a medida da circunferência de uma
praça circular, a extensão de uma pista de corrida
circular ou cujas extremidades sejam circulares, etc.
Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos
um problema relacionado ao tamanho das rodas
de um automóvel e a distância por ele percorrida.
No Caderno do Aluno há situações envolvendo os aspectos aqui discutidos.
21
Atividade 2 – o problema da roda de um
automóvel
todo pneu de automóvel possui um código
de identificação com informações a respeito de
suas dimensões. Ele é escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que:
f xxx é a medida da largura do pneu, em milímetros;
f yy é a razão entre a altura e a largura do
pneu, em porcentagem;
um pneu, por exemplo, identificado
com o código 205/65 R15, mede 205 mm de
largura. Sua altura é equivalente a 65%
da largura, portanto, mede 205 . 0,65 =
= 133,25 mm ou 13,325 cm. Já o diâmetro
interno da roda mede 15 polegadas, ou
15 . 2,54 = 38,1 cm.
Assim, o diâmetro total da roda do carro
pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda
interna com o dobro da altura do pneu.
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu =
= 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.
f R é o tipo de pneu, radial;
f dd é o diâmetro da roda, em polegadas (1 polegada vale aproximadamente 2,54 cm).
Conhecendo o diâmetro, é possível obter a
medida da circunferência do pneu, bastando
aplicar a fórmula C = π . D.
altura do pneu
© Conexão Editorial
Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,315 cm, ou, aproximadamente, 2,03 metros.
diâmetro da roda
© Conexão Editorial
largura do pneu
22
Assim, um giro de uma roda com essas especificações corresponde a uma distância percorrida de, aproximadamente, 2 metros. Com
essas informações, pode-se propor alguns problemas para os alunos. Em virtude da complexidade de alguns cálculos, sugere-se o uso de
calculadora nas atividades a seguir.
1. Calcule quantos metros cada uma das
rodas a seguir percorre por giro:
a) Roda de aro 15: 195/50 R15
Altura do pneu:
50% . 195 = 97,5 mm = 9,75 cm
Matemática – 8a série – Volume 4
Diâmetro total = 2 . 9,75 + 38,1 = 57,6 cm
das rodas, o hodômetro é regulado para
registrar a quilometragem percorrida em
função do número de giros do eixo.
©Ablestock
Diâmetro da roda interna:
15 . 2,54 = 38,1 cm
Circunferência da roda:
3,14 . 57,6 = 180,86 cm 7 1,81 m
A roda 195/50 R15 percorre 1,81 metro
por giro.
b) Roda de aro 16: 205/60 R16
Altura do pneu: 60% . 205 = 123 mm = 12,3 cm
Diâmetro da roda interna: 16 . 2,54 = 40,64 cm
Diâmetro total = 2 . 12,3 + 40,64 = 65,24 cm
Circunferência da roda:
3,14 . 65,24 = 204,85 cm 7 2,05 m
A roda 205/60 R16 percorre 2,05 metros
por giro.
c) Roda de aro 17: 210/65 R17
Altura do pneu:
65% . 210 = 136,5 mm = 13,65 cm
Diâmetro da roda interna:
17 . 2,54 = 43,18 cm
Diâmetro total = 2 . 13,65 + 43,18 = 70,48 cm
Circunferência da roda:
3,14 . 70,48 = 221,31 cm 7 2,21 m
A roda 210/65 R17 percorre 2,21 metros
por giro.
2. O hodômetro é um instrumento usado
para medir a distância percorrida por um
automóvel. Ele funciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das
rodas do carro. Dependendo do tamanho
Suponhamos que um automóvel venha com
uma configuração de fábrica compatível com rodas de aro 15 (item a da atividade anterior).
a) Calcule quantos giros a roda deve realizar para que o hodômetro registre 1 km
rodado.
Da atividade anterior, sabemos que a roda de
aro 15 tem uma circunferência de 1,81 metro.
Portanto, para que o hodômetro registre
1 km, ou 1 000 metros, serão necessários
1 000 1,81 = 552,5 giros da roda.
b) Determine quantos giros o eixo da roda
realiza em uma viagem de 200 km.
200 . 552,5 = 110 500 giros.
c) Suponha que o dono do carro trocou
as rodas originais por outras, de aro 17
(item c da atividade anterior). Determine quantos quilômetros o hodômetro
registrará para fazer a mesma viagem
do item anterior.
Com as rodas de aro maior, o número de giros
por quilômetro rodado será menor. O comprimento da circunferência da roda de aro 17
23
é de 2,21 metros. Em um quilômetro, ou
1 000 metros, serão necessários 1 000 ÷ 2,21 ≅
≅ 452,5 giros, menos do que com a roda de
aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros,
a roda girará 200 . 452,5 = 90 500 vezes.
Contudo, o hodômetro estava regulado para
registrar 1 quilômetro a cada 552,5 giros. Portanto, a quilometragem registrada na viagem
será de 90 500 ÷ 552,5 = 163,8 quilômetros.
Esse problema mostra que, se não forem
feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as
rodas de um carro por outras de diâmetros
diferentes, o registro de quilometragem apresentará dados incorretos. Nesse exemplo,
houve uma diferença de quase 40 km no registro da quilometragem percorrida em uma
viagem de 200 km.
Atividade 3 – A área do círculo no
antigo Egito
Novamente, vamos recorrer à história
da Matemática para dar significado à determinação da fórmula da área do círculo, em
vez de apresentá-la pronta para os alunos.
um dos registros mais antigos da determinação da área do círculo encontra-se no Papiro
de Rhind. Esse papiro, escrito pelo escriba
Ahmes no antigo Egito há mais de 3 500 anos,
contém uma série de problemas matemáticos,
entre eles, um que trata do cálculo da área do
círculo. uma versão simplificada desse problema seria a seguinte: consideremos um círculo
de raio r inscrito em um quadrado cujo lado
mede 3 unidades.
O cálculo da área do círculo
Determinar a área de um polígono é uma
tarefa relativamente simples. Afinal, trata-se
de uma figura formada por segmentos de retas. Além disso, qualquer polígono pode ser
decomposto em triângulos de diferentes tamanhos, e a fórmula da área de um triângulo é conhecida. Contudo, achar a área de
uma figura curva é um desafio bem maior.
Não conseguimos decompor um círculo em
triângulos, pois os segmentos de reta não se
ajustam à curva da circunferência. Por essa
razão, calcular a fórmula da área de um círculo foi um dos problemas mais instigantes da
história da Matemática. Apresentaremos, a
seguir, algumas atividades relacionadas à determinação da área do círculo.
24
Dentro do quadrado, inscreve-se um octógono, como mostra a figura.
Matemática – 8a série – Volume 4
Retirando-se do quadrado os quatro triângulos situados nos seus cantos, a figura que sobra é o octógono, cuja área é uma aproximação
da área do círculo.
Atividade 4 – Calculando a área de um
círculo por aproximação
Nesta atividade, os alunos vão calcular a área
de um círculo com base em aproximações por
quadrados. Para isso, devem providenciar dois
tipos de papel quadriculado, um com quadrados de 1 cm de lado e outro com quadrados de
0,5 cm de lado. uma alternativa possível é o uso
de papel milimetrado, que tem quadrados com
ambas as medidas necessárias.
Parte 1 – Solicite aos alunos que desenhem duas
circunferências de raio igual a 4 cm no papel com
o quadriculado maior, usando um compasso.
O centro das circunferências deve coincidir com o
vértice de um dos quadrados, como mostra a figura a seguir. Em seguida, os alunos deverão colorir
e contar os quadrados que limitam as circunferências por dentro e por fora. No primeiro caso,
será a menor aproximação da área do círculo, e
no outro, a maior. Como cada quadrado tem área
igual a 1 cm², a soma dos quadrados em cada caso
corresponderá à área da figura colorida.
Aoctógono = Aquadrado – 4 . Atriângulo
Aoctógono = 9 – 4 . 1 = 7
2
usando-se a fórmula atual para a área do
círculo, o resultado seria muito próximo:
Acírculo = π . r2 7 3,14 . (1,5)2 7 7,06
A diferença seria de apenas 6 centésimos.
Fazendo o cálculo inverso, verificamos que os
egípcios trabalhavam com um valor de π de
3,11, uma aproximação bastante precisa para
a época.
7 = π (1,5)2
π 7 7 ÷ 2,25
π 7 3,11
Aproximação por falta
32 quadrados de 1 cm²
Área = 32 cm²
25
Aproximação por falta
164 quadrados de lado 0,5 cm.
A área de cada quadrado é, assim,
área do quadrado anterior: 0,25 cm²
Área = 164 . 0,25 = 41 cm²
1
4
da
Aproximação por excesso
60 quadrados de 1 cm²
Área = 60 cm²
Nesse caso, os alunos devem perceber que
a aproximação é muito grosseira, pois a área
do círculo estaria entre 32 cm² e 60 cm², que é
um intervalo muito grande. Contudo, a média
entre os dois valores resulta em 46 cm².
Parte 2 – Os alunos devem desenhar as mesmas
circunferências usando o papel com o quadriculado menor. Agora, pergunte-lhes qual é a área
de cada quadrado. Eles devem perceber que,
como os lados medem 0,5 cm, a área de cada
quadrado será igual a 0,5 . 0,5 = 0,25 cm².
Aproximação por excesso
224 quadrados de lado 0,5 cm
Área = 224 . 0,25 = 56 cm²
usando o papel com o quadriculado menor,
eles devem obter uma aproximação melhor
para a área do círculo, situada dentro de um
intervalo menor (entre 41 e 56 cm²). A média
entre os dois valores resulta em uma área de
48,5 cm². A área desse círculo, calculada pela
fórmula π . r2, é igual a 50,2 cm². Portanto,
usando quadradinhos menores, a aproximação
feita ficou mais próxima do valor real.
A principal conclusão a ser tirada é de
que, quanto menor for o tamanho dos quadradinhos, mais as figuras obtidas se aproximarão do círculo, e mais precisa será a
aproximação em relação à área dele.
26
Matemática – 8a série – Volume 4
Atividade 5 – uma maneira de calcular a
área do círculo
C=2.π.r
Depois de problematizar histórica e experimentalmente o cálculo da área do círculo,
vamos apresentar uma das demonstrações
clássicas dessa fórmula.
r
Primeiro, divide-se o círculo em 48 setores
circulares, como mostra a figura ao lado.
Em seguida, cortam-se os setores e rearranjam-se da seguinte forma:
C = 2.π.r
Reposiciona-se metade dos setores em sentido oposto, de modo a encaixá-los conforme
mostram as figuras abaixo:
do círculo. Assim, no limite, para um número
infinito de setores circulares, a área da figura
será igual à área de um retângulo de base igual
à metade do perímetro da circunferência (π . r)
e altura igual ao raio r.
r
π.r
π.r
Portanto, a área do círculo será igual a:
Aretângulo = base . altura = (π . r) . r = π . r2 = Acírculo
Atividade 6 – área de setores circulares
Quanto maior for o número de setores em
que o círculo for dividido, mais o setor circular se aproximará de um triângulo isósceles.
A base será cada vez menor, e os lados do
triângulo se aproximarão da medida do raio r
Com base na fórmula da área do círculo
(A = π . r²), podemos determinar a área de
qualquer setor circular usando a proporcionalidade direta. Já havíamos apresentado a proporcionalidade existente entre os arcos de uma
27
circunferência e o ângulo central correspondente
no Caderno do 3o bimestre da 6a série. Podemos
ampliar essa noção, estendendo-a para os setores circulares. Se a área de um círculo é x, então
x
a área do semicírculo é ; do mesmo modo, um
2
setor circular correspondente a um ângulo
1
dos 360º da
central de 90º, que equivale a
4
1
circunferência, terá área igual a
de x.
4
Generalizando, para um setor circular correspondente a um ângulo central αº, sua área
αº
corresponderá a
da área do círculo.
360º
αº
Asetor =
αº
360º
. π . r2
2. Determine o raio do círculo a seguir,
sabendo que o setor circular correspon3
de a
desse círculo e tem área igual a
4
108π cm2.
108 π cm2
Se o setor corresponde a
3
do círculo, então,
4
3
a área do setor é As = . π . r2. Logo,
4
3
2
108π = . π . r
4
r2 = 144
r = 12
O raio do círculo é de 12 cm.
3. Determine o ângulo central que corresponde ao setor circular representado a seguir.
Sugerimos propor aos alunos alguns exercícios envolvendo o cálculo da área de setores circulares.
62,5 π cm2
1. Calcule a área do setor circular representado a seguir.
60º
2 cm
10 cm
Se a área do setor vale 62,5π cm2, então:
α . π . r2
As = ____
360
α . π . 102
62,5π = ____
360
ª
º
ª
(60º ÷ 360º) . π . 22 =
A área do setor vale
28
2π
2π
3
3
cm2, ou 2,09 cm2
α=
º
62,5π . 360
= 225º
100π
O ângulo central correspondente é de 225º.
Matemática – 8a série – Volume 4
Atividade 7 – Problemas envolvendo o
cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras
Propomos, a seguir, uma sequência de exercícios que envolvem o cálculo de áreas de círculos,
setores e figuras afins. As situações exploradas
utilizam o teorema de Pitágoras, que já é de conhecimento dos alunos.
Os triângulos retângulos representados
a seguir têm hipotenusa a e catetos b e c. A
figura a seguir é uma imagem que traduz o
teorema de Pitágoras, enunciado da seguinte
forma: “O quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos”.
Nesta figura, a área do quadrado de lado a
é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c.
B
a
C
c
b
A
Assim, temos a expressão:
a2 = b2 + c2
Podemos explorar essa relação em outras
figuras além do quadrado.
1. Mostre que, de modo análogo ao teorema de Pitágoras, a área do círculo
construído sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos círculos construídos
sobre os dois catetos.
B
a
c
C
b
A
A área do círculo correspondente à hipotea
nusa é Ca 5 p. __
2
ª º
2
p.a2
5 ____
4
As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,
p.c2
p.b2 e C 5 ____
Cb 5 ____
c
4
4
Somando-se as áreas obtidas, temos:
p(b2 1 c2)
p.b2
p.c2
Cb 1 Cc 5 ____ 1 ____ 5 __________
4
4
4
Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2
p(b2 1 c2)
p.a2
Portanto, __________ 5 ____ 5 Ca, ou seja,
4
4
Cb +Cc = Ca .
Dessa forma, verificamos que o teorema de
Pitágoras vale não apenas para os quadrados
formados sobre os lados de um triângulo retângulo, mas também para círculos de diâmetro igual a esses lados.
2. Mostre que esse princípio vale também
para as figuras a seguir.
a) Complementar do semicírculo em relação ao quadrado.
29
c
b) Setores circulares.
B
B
a
C
a
c
b
C
A
A área da figura colorida é a diferença entre a
área do quadrado de lado igual ao lado do
triângulo e o semicírculo de diâmetro igual
a esse lado. Assim, a área da figura relativa à
a 2= a2 – π .a
1
hipotenusa é Aa = a2 – __
· π __
8 =
2
2
2
2
a2
= 8a – πa = ___
(8 – π)
8
8
ªº
2
c
b
A
A figura colorida é um setor circular de 90º
com raio igual ao lado do triângulo. Assim, a
área do setor circular relativo à hipotenusa é
π. a 2
1
Sa = . π . a 2 =
4
4
As áreas dos círculos relativos aos catetos b
e c valem, respectivamente,
π.b2
π.c 2
e Sc =
4
4
As áreas das figuras relativas aos catetos b e
c valem, respectivamente,
Sb =
b2
c2
( 8 – π ) e Ac =
( 8 – π)
8
8
Somando-se as áreas obtidas, temos:
Somando-se as áreas obtidas, temos:
Ab =
Ab + Ac =
Sb + Sc =
π . b 2 π . c 2 π (b 2 + c 2 )
+ =
4
4
4
b2
c2
( 8 – π)
( 8 – π) +
( 8 – π) =
.( b 2 + c 2 Mas,
)
pelo teorema de Pitágoras, b2 +c2 = a2
8
8
8
c2
( 8 – π)
( 8 – π) +
( 8 – π) =
.( b 2 + c 2 )
8
8
Portanto,
π (b 2 + c 2 )
π.a2
=
= Sa , ou seja,
4
4
Sb + Sc = Sa
Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2
(8 – π ) 2
( 8 – π ) 2 Professor,
a2
com seus alunos que a
Portanto, Ab + Ac =
.( b + c 2 ) =
.a =
·( 8 – π )comente
= Aa
8
8
8
área obtida neste item é igual à área referente
(8 – π ) 2
(8 – π ) 2 a2
2
ao círculo de diâmetro igual ao lado do triân=
.( b + c ) =
.a =
·( 8 – π ) = Aa , ou seja,
8
8
8
gulo, descrito no exemplo inicial. Assim, teAb + Ac = Aa
mos que:
30
Matemática – 8a série – Volume 4
1
da área do círculo de raio l é igual à área
4
do círculo de diâmetro l.
As atividades anteriores mostraram que as
áreas das figuras construídas com base nos lados de um triângulo retângulo obedecem à relação de Pitágoras. É possível provar que isso
vale para qualquer figura, desde que elas sejam
semelhantes entre si. Vamos usar esse fato para
o desenvolvimento da próxima atividade.
B
a
C
c
b
A
B
As lúnulas de Hipócrates
um dos desafios matemáticos que mais
intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi a quadratura do círculo. Esse problema
implica determinar um método que permita
construir um quadrado de área igual à de um
círculo com o diâmetro dado. Em termos práticos, o problema se reduz a encontrar uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro
do círculo, o que envolverá o número π.
Como sabemos hoje, esse problema só pode
ser resolvido por meio de aproximações, pois
o π é um número irracional e não pode ser
representado por uma razão entre inteiros.
Contudo, consta que foi Hipócrates de Chios
(460 a.C.) o descobridor do primeiro caso de
quadratura de figura curvilínea, quando mostrou que a soma das áreas de duas “lúnulas”
era igual à área de um triângulo retângulo. Lúnulas são figuras curvilíneas delimitadas por
dois arcos de circunferência. Apresentamos a
seguir a demonstração desse fato.
Parte 1 – Construção das lúnulas
a
C
c
b
A
Ache os pontos médios (ma, mb e mc) dos lados do triângulo. Construa um semicírculo com
centro nos pontos médios dos catetos b e c.
B
Ma
a
C
c
b
A
Mc
Mb
31
Construa um semicírculo com centro no
ponto médio da hipotenusa, voltado para o
interior do triângulo.
ao teorema de Pitágoras, como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc (II)
B
a
Ma
C
As lúnulas são as figuras formadas entre
os semicírculos dos catetos e o semicírculo da
hipotenusa.
Sejam Lb e Lc as lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc são os segmentos circulares
limitados pelos catetos b e c. SCa, SCb e SCc
são os semicírculos relativos aos lados a, b e c
do triângulo. Seja t a área do triângulo retângulo AbC. Então, podemos escrever que:
B
As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente:
Lb = SCb – Rb e Lc = SCc – Rc
Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou
Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc)
Considerando a relação (II), podemos escrever que Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc).
Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é
igual à área do triângulo retângulo.
Lc
Rb
A
Lb
Consideremos também que as áreas dos
semicírculos representados a seguir obedecem
32
A
Comparando com a relação (I), concluímos que Lb + Lc = t.
t = SCa – (Rb + Rc) (I)
C
b
Então, a soma das áreas das lúnulas é
dada por:
Parte 2 – demonstração
Rc
c
Considerações sobre a avaliação
Como vimos, as fórmulas para o cálculo
do perímetro e da área do círculo podem ser
apresentadas aos alunos com significado, dentro de um contexto experimental, histórico e
prático. As atividades sugeridas nesta Situação de Aprendizagem são indicativas de uma
Matemática – 8a série – Volume 4
forma de trabalhar a Matemática com significado. O professor deve avaliar quais delas podem ser incorporadas ao seu curso, de forma a
ampliar o conhecimento dos alunos.
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é que os alunos consigam resolver problemas envolvendo o perímetro e a
área do círculo e de suas partes. Além disso,
espera-se que tenham compreendido o significado do π como razão entre o comprimento
da circunferência e seu diâmetro.
A avaliação do aprendizado dos alunos deve
ser feita continuamente, ao longo das atividades
desenvolvidas. A atividade experimental 4 é
importante na construção do significado do
cálculo de áreas circulares por aproximação. Já
as atividades 2, 6 e 7 envolvem cálculos e resolução de problemas. Nesses momentos, deve-se
avaliar o aproveitamento dos alunos e suas dificuldades, verificando se conseguem realizar os
cálculos envolvidos.
A maioria dos livros didáticos traz uma série de problemas abrangendo o cálculo de perímetros e áreas de figuras circulares. O professor
poderá selecionar alguns deles para a elaboração de fichas de exercícios e avaliações.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3
CILINDROS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: área da superfície cilíndrica; volume de um prisma reto; volume do
cilindro; unidades de medida de capacidade.
Competências e habilidades: saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas, pirâmides e corpos redondos; conhecer o nome e o significado dos
principais elementos de um prisma e de um cilindro; calcular a área total e o volume de
um cilindro; realizar corretamente transformações de unidades de medida de capacidade.
Estratégias: desenhar a planificação de um cilindro e construí-lo com base nessa planificação; resolver problemas envolvendo o cálculo do volume de embalagens com formato
de cilindro.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Nas Situações de Aprendizagem anteriores, o foco do estudo foram as relações
métricas nas figuras circulares planas.
Abordamos os métodos de cálculo do perímetro e da área do círculo e suas partes,
envolvendo sempre a constante de proporcionalidade π. Agora, vamos ampliar esse
estudo para as figuras espaciais, mais especificamente, o cilindro.
33
Iremos explorar as principais relações métricas que caracterizam um tipo particular de
cilindro, o reto. Propomos uma atividade para
o aluno desenhar a planificação do cilindro e
construí-lo a partir dela. Desse modo, ele irá
se familiarizar com os elementos e as partes
que formam um cilindro, o que será de fundamental importância para chegar às fórmulas
da área e do volume.
linguagem desempenha um papel fundamental na construção do conhecimento geométrico. Os alunos devem saber o que é aresta,
vértice, face, plano, segmento de reta, etc.
Os cálculos da área e do volume devem
ser apresentados e problematizados, de modo
que o aluno seja capaz de resolver problemas
básicos envolvendo formas cilíndricas. A fórmula da área da superfície do cilindro pode
ser obtida com os conhecimentos já adquiridos, como a área do retângulo e a área do
círculo. No caso do volume, não há necessidade de se demonstrar a fórmula a partir do
Princípio de Cavalieri, o que será feito mais
adiante, na 2a série do Ensino Médio. O
mais importante, na 8a série, é fazer com que o
aluno consiga interpretar e dar sentido a essas
fórmulas, percebendo a presença da constante
π e o número de dimensões envolvidas.
1. Apresente aos alunos as figuras de um
cilindro e de um prisma, ambos retos.
Atividade 1 – Figuras espaciais:
características
Professor, antes de iniciar o estudo das relações métricas no cilindro, é fundamental retomar com os alunos alguns dos conceitos já
estudados nas séries anteriores. A distinção entre prismas, pirâmides e corpos redondos deve
ser relembrada para situar o cilindro dentro
do conjunto dos sólidos geométricos. Além
disso, é muito importante avaliar o vocabulário geométrico dos alunos. Nessa etapa, a
34
A atividade a seguir tem por objetivo reconhecer as principais características e elementos de um cilindro a partir da comparação
com um prisma.
a) Descreva as principais semelhanças e
diferenças entre os dois sólidos.
O prisma é um sólido geométrico formado
por polígonos, enquanto o cilindro é formado por dois círculos e uma superfície lateral.
Ressaltar que o prisma reto possui faces laterais, que são retângulos, enquanto a superfície
lateral do cilindro é curva. Ambos possuem
duas bases congruentes, situadas em planos
paralelos entre si. No caso do prisma da figura, as bases são retângulos, mas poderiam ser
qualquer outro polígono. No caso do cilindro,
as bases são círculos de mesmo diâmetro. Em
ambos os casos, a superfície lateral é perpendicular aos planos das bases.
Matemática – 8a série – Volume 4
b) Indique na figura o nome dos principais
elementos que formam esses sólidos.
2a etapa – Montagem do cilindro com base
na planificação.
No caso do prisma reto, a medida da aresta
lateral é a altura do sólido. No cilindro reto,
é a geratriz.
vértice
aresta
face
geratriz
base
Atividade 2 – A planificação do cilindro e
sua área
Podemos introduzir a ideia da área do cilindro com base em sua planificação. Sugerimos
a construção, com régua e compasso, de uma
planificação do cilindro que possa ser montada em uma folha de tamanho A4.
dica: os alunos podem usar fita adesiva
para juntar as partes do cilindro.
3a etapa – Cálculo da área superficial do
cilindro.
f diâmetro dos círculos: 6 cm;
Nessa etapa, os alunos deverão calcular a
área da superfície do cilindro usando as medidas
sugeridas para a planificação (diâmetro das circunferências igual a 6 cm e altura do retângulo
igual a 5 cm). A própria planificação do cilindro
já sugere as etapas a serem consideradas nesse
cálculo: as duas bases circulares e um retângulo.
f dimensões do retângulo: base igual a
6 . 3,14 ≅ 18,8 cm e altura de 5 cm.
dados: diâmetro do círculo = 6 cm (raio = 3 cm)
e altura do retângulo = 5 cm.
1a etapa – Desenhando a planificação.
As medidas sugeridas para a planificação são:
35
As áreas das bases correspondem às áreas
dos círculos de raio 3 cm. Portanto,
área das bases = 2 . área do círculo = 2 . (π . r ) ≅
≅ 2 . 3,14 . 32 ≈ 56,5 cm2
2
Já a área lateral corresponde à área do retângulo de base igual ao comprimento da circunferência (2 . π . r) e altura igual a 5 cm. Portanto,
área lateral = área do retângulo = base . altura =
= (2 . π . r) . 5 ≈ 2 . 3,14 . 3 . 5 ≈ 94,2 cm2
Peça aos alunos que escrevam uma fórmula
para a área de qualquer cilindro reto, a partir
do raio r das bases e da altura h do cilindro.
A área da base é a área do círculo, ou seja,
π . r2. E a área lateral é a área de um retângulo em que um lado tem o comprimento da
circunferência da base (2 . π . r) e o outro lado
mede h.
Abase = π . r2
A área total da superfície do cilindro corresponde à soma das áreas das bases com a área da
superfície lateral:
Acilindro = 2 . Abase +Alateral
área do cilindro = área das bases + área lateral =
= 56,5 + 94,2 = 150,7 cm2
Portanto, a área do cilindro vale:
Ao final, pergunte aos alunos se o resultado é compatível com o problema. Eles devem avaliar se 150 cm2 é uma medida possível
para a área do cilindro. uma forma de fazer
essa verificação é comparar a área obtida com
a área da folha de papel onde foi feita a planificação. As dimensões de uma folha A4 são
de, aproximadamente, 21 cm por 30 cm. Portanto, sua área é de 21 . 30 = 630 cm2, que é,
aproximadamente, 4 vezes maior que a área
obtida. Parece razoável, considerando que a
planificação ocupou uma fração do papel A4.
Insista com os alunos a respeito desse tipo
de procedimento. Ele pode ajudar a detectar
erros nos cálculos, o que é frequente acontecer. Se, por exemplo, o resultado obtido for
1 507 cm2, ao compará-lo com a área do papel,
será possível identificar um erro relacionado
às casas decimais.
36
4a etapa – Generalização
Alateral = 2 . π . r . h
Acilindro = 2 . π . r2 + 2 . π . r . h
ou Acilindro = 2 . π . r (r + h)
Atividade 3 – do prisma ao cilindro: volume
O volume de um prisma já foi apresentado
aos alunos na 7a série. Retomaremos essa noção
para introduzir o cálculo do volume do cilindro.
Nesta Situação de Aprendizagem, trataremos
exclusivamente de prismas e cilindros retos, ou
seja, cuja superfície lateral é perpendicular aos
planos das bases. A ampliação para casos de
prismas e cilindros oblíquos será abordada no
Caderno da 2a série do Ensino Médio.
Geralmente, introduz-se a ideia de volume por meio do cálculo do volume de blocos
retangulares, que são um caso particular de
prisma formado por faces retangulares. Para
calcular o volume de um bloco retangular, é
feita uma contagem de quantos cubos unitários
Matemática – 8a série – Volume 4
são necessários para preenchê-lo. Por meio de
uma multiplicação, os alunos chegam ao resultado do volume. Generalizando essa ideia,
obtém-se a seguinte fórmula para o cálculo do
volume do bloco retangular: V = a . b . c, onde a,
b e c são as dimensões do bloco (comprimento,
largura e altura, respectivamente).
c
b
a
É importante lembrar que, nesse caso, todos os ângulos entre as arestas são de 90º.
Essa fórmula vale para todos os prismas,
com qualquer base. A prova desse fato só
será apresentada formalmente aos alunos na
2a série do Ensino Médio, por meio do Princípio de Cavalieri. Neste momento, utilizaremos essa ideia para determinar o volume
do cilindro.
Vamos considerar um prisma cuja base é
um polígono regular de n lados. À medida que
aumentamos o valor de n, a área do polígono
da base se aproxima da área do círculo circunscrito a ele. Esse processo de aproximação
é o mesmo que foi discutido nas Situações de
Aprendizagem anteriores. Portanto, podemos
considerar o cilindro como um prisma cuja
base é um polígono regular com infinitos lados. Assim, a fórmula do volume do prisma
pode ser estendida para o cilindro, da seguinte maneira:
Se considerarmos que o produto de duas
dimensões desse prisma equivale ao valor da
área de uma de suas faces, podemos interpretar a fórmula da seguinte maneira:
Seja a . b a área da base do prisma, e c a
altura. Então, temos que:
altura do prisma
V=a.b.c
área da base
Chamando a altura do prisma de h, e a
área da base de Abase, a fórmula do volume de
um prisma retangular é dada por:
Vprisma = Abase . h
Vcilindro = Abase . h = π . r2 . h
h
r
Pode-se solicitar aos alunos que calculem o
volume do cilindro que construíram por meio
da planificação sugerida na atividade 2.
O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro,
portanto, 3 cm de raio e altura de 5 cm. Então,
considerando π ≈ 3,14, o volume será igual a:
V = π . r2 . h = 3,14 . 32 . 5 = 141,3 cm3.
37
Atividade 4 – Comparação entre fórmulas
relativas a figuras circulares
(planas e espaciais)
A tabela a seguir mostra as principais fórmulas usadas para cálculos métricos em figuras circulares. Incluímos a fórmula do volume
da esfera para ampliar a visão dos elementos
que caracterizam essas fórmulas.
Comprimento
da
circunferência
C = 2 .π . r
área do círculo
A = π . r2
Volume do
cilindro
V = π . r2 . h
Volume
da esfera
V=
4 . π . r3
3
A maioria dos livros didáticos traz uma série de problemas envolvendo o cálculo da área
e do volume do cilindro. Recomendamos dar
ênfase aos problemas que envolvam objetos do
cotidiano, como latas de refrigerantes, embalagens, tanques ou caixas-d’água, entre outros.
uma questão importante a ser discutida é
a interpretação do resultado. Ou seja, verificar
se o valor obtido após os cálculos é compatível
com a pergunta inicial do problema. Além disso, é preciso resgatar algumas transformações
de unidades de volume, que são fundamentais
em problemas práticos.
Retome com seus alunos as transformações de unidades no sistema métrico decimal.
Como transformar metros cúbicos em centímetros cúbicos, e vice-versa. Relembre que o litro
é a milésima parte do metro cúbico, ou seja,
que ele vale 1 decímetro cúbico (1 dm³ = 1l).
Além disso, reveja os múltiplos e submúltiplos
do litro. A seguir, apresentamos duas tabelas
que podem orientar os alunos nas transformações de unidade.
m³
dm³
cm³
mm³
A ideia é que os alunos percebam duas características principais:
1
10³
106
109
f a presença do π em todas as fórmulas relacionadas à circunferência;
10–3
1
10³
106
10–6
10–3
1
10³
10–9
10–6
10–3
1
f as dimensões envolvidas em cada cálculo:
uma no comprimento, duas na área e três no
volume.
38
Atividade 5 – Problemas relacionados
ao cilindro
Matemática – 8a série – Volume 4
1
1
d
c
m
10
100
1 000
1
10
100
1
10
10
1
1
100
1
10
1
1
1 000
100
10
1
A seguir, propomos um problema para
exemplificar o uso das unidades de volume
de um cilindro. É recomendável que os alunos
utilizem calculadoras nesse tipo de atividade,
para agilizar os cálculos e priorizar o raciocínio de resolução.
Atividade 6
As latas de refrigerante são confeccionadas
com folhas de alumínio. O Brasil é um dos países
que mais reciclam esse tipo de material no mundo.
Segundo a Associação Brasileira dos Fabricantes
de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o
Brasil produziu cerca de 10 bilhões de latas de
alumínio em 2005 e reciclou cerca de 96% desse total. Considerando que o formato da lata se
assemelha a um cilindro reto, determine:
12 cm
a) a capacidade em m da lata de alumínio
representada;
Usando π ≈ 3,1, o volume da lata é de, aproximadamente, V = 3,1 . 32.12 = 334,8 cm3.
Como um centímetro cúbico equivale a
10 – 3 dm3, então, o volume pode ser expresso
como 0,3348 dm 3. Um decímetro cúbico
equivale a um litro, então, o volume da
lata é de, aproximadamente, 0,335 litro ou
335 mililitros. V = 335 ml.
b) quantos centímetros quadrados de folha de alumínio são necessários para
confeccionar uma dessas latas;
A área da base é Ab = 3,1 . 32 = 27,9 cm2. A
área lateral é Al = 2 . 3,1 . 3 . 12 = 223,2 cm2.
A área total do cilindro vale 2 . 27,9 + 223,2 =
= 279 cm2. Portanto, são necessários, aproximadamente, 279 cm2 para confeccionar uma lata.
c) quantas latas podem ser confeccionadas
com uma chapa de alumínio de 1 m
de comprimento por 1,72 m de largura.
A área de uma chapa de alumínio é dada por
1 m . 1,72 m = 1,72 m2. Um metro quadrado
equivale a 100 . 100 = 10 000 centímetros quadrados. Portanto, a área total da chapa, em centímetros quadrados, é 10 000 . 1,72 = 17 200 cm2.
Para saber quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa, divide-se a área da
chapa pela área da lata: 17 200 ÷ 279 = 61,65.
Assim, com uma chapa de alumínio é possível
confeccionar 61 latas.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que os alunos tenham
se apropriado das principais características
6 cm
39
relativas ao cilindro. As atividades iniciais tiveram como objetivo a ampliação e a consolidação do vocabulário geométrico. Palavras como
aresta, vértice, face, base, altura, geratriz, raio
da base, entre outras, constituem o pilar de
um ensino consistente de Geometria. A classificação e diferenciação dos sólidos geométricos são de fundamental importância para a
caracterização do cilindro.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, tanto ao longo
das atividades propostas como ao final de um
ciclo ou bimestre. Os principais objetivos de
aprendizagem com relação ao estudo do cilindro que devem ser objeto de avaliação são:
Propusemos, também, uma atividade de
representação geométrica da planificação
do cilindro e sua construção, contemplando duas dimensões fundamentais do conhecimento geo-métrico. Essa atividade serviu
de base para o cálculo da área e do volume
do cilindro.
f conhecer o nome e o significado dos principais elementos de um prisma e de um
cilindro;
f saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas,
pirâmides e corpos redondos;
f calcular a área total e o volume de um cilindro;
f realizar corretamente transformações de
unidades de medida de capacidade.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4
PROBABILIDADE E GEOMEtRIA
tempo previsto: 1 semana e meia.
Conteúdos e temas: história da Matemática; probabilidade; proporcionalidade; área de círculos, setores e coroas circulares.
Competências e habilidades: compreender o conceito de probabilidade em espaços amostrais
contínuos; calcular a área de círculos e coroas circulares.
Estratégias: uso da história da Matemática para problematizar a relação entre Geometria e
probabilidade; resolução de exercícios exemplares para introduzir o cálculo de probabilidade
em espaços amostrais contínuos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
A probabilidade constitui um dos assuntos
mais ricos de serem estudados na escola básica. Os alunos do Ensino Fundamental são
40
plenamente capazes de analisar situações que
envolvem a comparação entre eventos. Pensar
que a probabilidade só pode ser tratada no
âmbito do Ensino Médio é um grande equívoco. Muitos países incluem a probabilidade
como tema de estudo desde as séries iniciais.
Matemática – 8a série – Volume 4
No atual programa, o conceito de probabilidade vem sendo trabalhado desde a 5a série,
juntamente aos problemas de contagem e à
Estatística, constituindo o eixo denominado
tratamento da Informação. Na 6a série, por
exemplo, a probabilidade foi introduzida como
uma razão particular em que se comparam o
número de casos favoráveis de determinado
evento com o número de casos possíveis.
Agora, na 8a série, vamos retomar o conceito de probabilidade associado à Geometria.
Contudo, antes de iniciar essas atividades, é
importante retomar as principais ideias associadas ao cálculo da probabilidade. Podem-se
propor, inicialmente, algumas atividades para
que os alunos percebam a ideia de probabilidade por meio da experimentação.
Assim, eles podem calcular experimentalmente o número de ocorrências da face
“cara” em lançamentos sucessivos de uma
moeda, ou a ocorrência de números pares em
uma série de lançamentos de um dado. Outras situações, como a retirada de cartas do
baralho ou o acerto de um alvo na batalha
naval podem ser exploradas pelo professor
para discutir probabilidade.
O tipo de probabilidade que será explorada nesta Situação de Aprendizagem difere um
pouco da estudada anteriormente. Os espaços
amostrais e os eventos não serão contados, mas
medidos. Em vez de determinar o número de
casos favoráveis em um evento, iremos considerar a medida de áreas ou de ângulos. Essa
mudança sutil implica a passagem do campo
discreto dos eventos para o campo contínuo.
Apesar disso, a forma de calcular a probabilidade continua a mesma, ou seja, por meio
de uma razão, que pode ser escrita na forma decimal como um número entre 0 e 1, ou, ainda,
na forma de porcentagem, entre 0 e 100%.
Na primeira atividade, relatamos um episódio ímpar da história da Matemática, no qual
a Geometria e o cálculo de probabilidade se
encontram de forma inusitada. O famoso problema da agulha de Buffon é um feliz exemplo
de como a Matemática pode estar presente nas
coisas mais despretensiosas e, aparentemente,
“inúteis” da vida.
Em seguida, exploramos duas atividades
relacionadas ao cálculo de probabilidades em
situações que envolvem figuras geométricas.
Na atividade 2, os eventos favoráveis serão
os setores circulares e os ângulos a eles associados. Na atividade 3, abordaremos as probabilidades relacionadas a um alvo de jogo
de dardos, envolvendo o cálculo da área de
círculos e coroas circulares.
Atividade 1 – A agulha de buffon
O estudo da probabilidade aparentemente
não tem ligação alguma com a Geometria, em
particular com a circunferência. A probabilidade trata da razão entre eventos, enquanto a
Geometria se ocupa da medida das formas.
uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, dada a natureza
distinta de cada um. Contudo, ao analisar um
problema aparentemente banal, um naturalista francês do século XVIII, conhecido como
Conde de Buffon, descobriu uma curiosa ligação entre esses dois assuntos.
41
À primeira vista, o problema parece ser um
tanto despretensioso. Ele consistia na observação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso
um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas paralelas, o
Conde de Buffon anotava quantas delas caíam
sobre as retas e quantas caíam entre os espaços,
sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir
qual a probabilidade de uma agulha jogada ao
acaso no tabuleiro cair sobre uma das linhas.
caso favorável
caso desfavorável
Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos
favoráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter
uma fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. usando cálculos simples
42
envolvendo ângulos e áreas de figuras planas,
2a .
ele chegou à seguinte fórmula: P =
π.d
Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o comprimento da agulha e d é a distância entre
as linhas paralelas. No entanto, o fato mais
surpreendente da fórmula de Buffon é a presença da constante π. Algo que geralmente é
usado no âmbito da geometria métrica aparece em um cálculo de probabilidade.
Para o caso particular em que a distância
entre as linhas é o dobro do comprimento da
agulha (d = 2a), a fórmula de Buffon pode ser
escrita como P = 1 . O que nos leva a outra
π
possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma
série de lançamentos de agulhas e calculando o valor de P experimentalmente, pode-se
determinar o valor aproximado de π. De fato,
essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma
aproximação bastante aceitável para o valor
de π. Alguns pesquisadores se dedicaram a esses
experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximação de
3,1415929 para π após 3 408 lançamentos.
Entretanto, pode-se questionar o significado prático de tais procedimentos ou fórmulas.
Para que saber a probabilidade de uma agulha
cair sobre um feixe de paralelas? Por que determinar o valor de π por meio do lançamento
de agulhas, se ele pode ser calculado por inúmeras maneiras mais simples?
De fato, à primeira vista, a fórmula de
Buffon não tem utilidade prática alguma. todavia, anos mais tarde, ela serviu de base para uma
das invenções mais importantes do século XX:
Matemática – 8a série – Volume 4
o aparelho de tomografia computadorizada.
Mas, em vez de empregar linhas paralelas
sobre um tabuleiro, esse aparelho trabalha com
feixes de radiações paralelas. usando a fórmula
de Buffon, é possível determinar as dimensões de
um objeto utilizando um feixe desse tipo, o que,
de forma bastante simplificada, está por detrás
do funcionamento desse aparelho.
A área do setor II corresponde ao ângulo
central de 120º. Não é necessário calcular a
área, pois o raio é o mesmo para cada setor.
Assim, basta comparar o ângulo correspondente ao setor II com 360º.
1
120º
=
= 0,3333...,
P(II) =
3
360º
ou aproximadamente 33,3%.
O exemplo da agulha de Buffon é bastante
ilustrativo para relativizar o argumento de que
alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando se começaram a estudar os fenômenos eletromagnéticos,
no início do século XIX, muitos pensavam que
se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum
interesse prático. Hoje em dia ninguém pode se
imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo?
2. Na roleta da figura, os ângulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em sequência crescente, de 10
em 10 graus. O menor ângulo é de 10º.
Atividade 2 – Setores circulares e
probabilidade
Nesta atividade, os alunos deverão calcular
a probabilidade de o ponteiro móvel das roletas,
ao ser girado livremente, parar em determinada
região do círculo.
1. Na roleta representada a seguir, qual é a
probabilidade de o ponteiro parar na região
II? Dados: setor I (60º), setor III (180º).
II
I
III
a) Qual é a probabilidade de o ponteiro
parar em um setor azul?
Os setores azuis correspondem aos ângulos
centrais de 10º e 70º. Portanto, a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul é
80
= 0,222... ou 22,2%.
de P(Azul) =
360
b) Qual cor tem a maior probabilidade de
ocorrência na parada do ponteiro?
É a verde, pois corresponde aos arcos de 30º
e 80º, que, juntos, correspondem a 110º, e
sua probabilidade de ocorrência é de, aproximadamente, 30,5%.
Essas atividades podem constituir uma boa
porta de entrada para o cálculo de probabilidades geométricas. Eles são relativamente simples
43
e envolvem apenas a razão entre ângulos. Na
próxima atividade, a probabilidade envolverá o
cálculo da área de setores e de coroas circulares.
Atividade 3 – Alvos, coroas e probabilidade
Existem diversas maneiras de introduzir o
cálculo da área de uma coroa circular. uma estratégia possível é a análise do alvo de um jogo
de dardos. Nesta atividade, iremos explorar o
cálculo da probabilidade em espaços amostrais
contínuos associados a regiões circulares.
lançamento do projétil, vamos considerar que
ele estará com os olhos vendados. Assim,
podemos garantir um espaço amostral equiprovável, ou seja, em que cada ponto do alvo
tenha a mesma probabilidade de ser atingido.
1. Considere o seguinte alvo em um jogo de
dardos. O círculo central tem raio igual a
10 cm, e os anéis (coroas circulares) estão
igualmente espaçados, de 10 em 10 cm.
Chamamos de coroa circular a região compreendida entre duas circunferências concêntricas de raios distintos. Na figura a seguir, a região
hachurada é uma coroa formada pelos círculos
C1 e C2, de raios r1 e r2, respectivamente.
C2
r2
C1
r1
a) Calcule a área de cada uma das regiões
coloridas do alvo.
Região vermelha: a área do círculo central é
igual a A1 = π . r2 = π . 102 = 100π cm2.
Região azul: corresponde à área da coroa
circular de raios 20 cm e 10 cm.
44
A2 = π . 202 – π . 102 = 400π – 100π = 300π cm2.
A área de uma coroa circular é igual à diferença entre as áreas do círculo maior e do
círculo menor.
Região amarela: corresponde à área da coroa circular de raios 30 cm e 20 cm.
Ac = π . r22 – π . r21
A3 = π . 302 – π . 202 = 900π – 400π = 500π cm2.
Em jogos de dardos, os alvos geralmente
são formados por um círculo central cercado por anéis (coroas circulares) externos de
cores diferentes. Vamos calcular a probabilidade de acertar cada uma das regiões em um
lançamento de dardo ao acaso. Para que a
intencionalidade do jogador não interfira no
Região verde: corresponde à área da coroa
circular de raios 40 cm e 30 cm.
A4 = π . 402 – π . 302 = 1 600π – 900π = 700π cm2.
Área total: corresponde ao círculo maior de
raio igual a 40 cm.
AT = π . 402 = 1 600π cm2.
Matemática – 8a série – Volume 4
b) Qual é a região do alvo (cor) com a
maior probabilidade de acerto, no lançamento de um dardo ao acaso?
A probabilidade de acerto em cada região
equivale à razão entre a área da região escolhida e a área total do alvo. Assim, temos que:
P (Vermelha) =
P (Azul) =
100 π
1 600 π
300 π
1 600 π
P (Amarela) =
P (Verde) =
= 6,25%
= 18,75%
500 π
1 600 π
700 π
1 600 π
= 31,25%
= 43,75%
A região mais externa do alvo, a verde, possui a maior área, portanto, é a região com
maior probabilidade de acerto (43,75%).
2. o alvo democrático: como seria um alvo
em que as regiões coloridas tivessem a
mesma probabilidade de acerto? Construa um alvo dessa forma com 4 regiões
coloridas.
Para que a probabilidade de acerto seja a
mesma em todas as regiões é preciso que
suas áreas sejam iguais:
A1 = A2 = A3 = A4
Partindo de um círculo interno de raio r1,
precisamos descobrir os raios dos demais
círculos que satisfaçam essa condição de
igualdade.
Portanto, para que A1 = A2, a área do círculo
central deve ser igual à área da coroa circular. Ou seja, π . r12 = π . r22 – π . r12
Então: π . r22 = 2π . r12 → r22 = 2r12 → r2 = r1 2
Analogamente, se A1 = A3, obtemos a seguinte
equação: π . r12 = π . r32 – π . r22
__
Como r2 = r1 ®2, então:
__
π . r12 = π . r32 – π .( r1 ®2)2 → π . r12 =
= π . r32 – 2π . r12 → π . r32 = 3π . r12 →
__
→ r3 = r1 ®3
Resolvendo A3 = A4, obtemos que r4 = r1 4
ou r4 = 2r1
Portanto, para que as áreas de cada região
sejam iguais, os valores dos raios devem estar na seguinte proporção: r1, r1 2 , r1 3
e 2r1. A probabilidade de acerto em cada
1
ou 25%.
região será de
4
Construção geométrica: para construir esse
alvo é preciso saber representar os irracionais
razão,
3 geometricamente. A primeira
2 e
2 , é a diagonal de um quadrado de
lado unitário. A segunda,
3 , a diagonal
de um retângulo de lados iguais a 1 e 2 ,
respectivamente. A figura a seguir ilustra o
processo de construção desses segmentos.
1
2
1
1
1
2
3
45
Constroem-se então as circunferências concêntricas de raios 1, 2 , 3 e 2, conforme
mostram as figuras a seguir:
1
1
2 32
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos consigam ampliar a
noção de probabilidade, e saibam calculá-la em
situações que envolvem espaços amostrais contínuos, ligadas a figuras geométricas. As atividades
de avaliação devem contemplar os seguintes objetivos de aprendizagem:
f determinar a área do círculo, de setores circulares e de coroas circulares;
f determinar a probabilidade por meio da comparação entre áreas de figuras geométricas;
f representar a probabilidade de eventos por
meio de uma razão, seja na forma decimal,
porcentual ou na fracionária.
ORIENtAçõES PARA RECuPERAçãO
Se as metas iniciais da Situação de Aprendizagem 1 não forem plenamente atingidas,
uma possibilidade de atividade de recuperação é a produção de um texto sobre as características do número π ou sobre as informações
obtidas por meio da atividade de pesquisa.
É possível que alguns alunos tenham dificuldade em relação ao cálculo da frequência relativa na forma de porcentagem. Nesse caso,
pode-se propor uma atividade de recuperação envolvendo a retomada do conceito de
porcentagem e a transformação de um número decimal em fração, e vice-versa.
46
Pensando-se nos conceitos estudados na
Situação de Aprendizagem 2, é possível que
alguns alunos apresentem dificuldade com os
desenvolvimentos algébricos ou com o cálculo de potências. Nesse caso, seria interessante
fazer uma pequena revisão para recuperar os
procedimentos em relação a esses tópicos.
uma das dificuldades mais frequentes no estudo dos sólidos geométricos refere-se às transformações de unidades propostas na Situação
de Aprendizagem 3. Alguns alunos costumam
se confundir ao fazerem a transformação de
metro quadrado para centímetro quadrado, ou
Matemática – 8a série – Volume 4
de milímetro cúbico para decímetro cúbico, etc.
Além disso, a transformação em litros e seus
submúltiplos constitui outra fonte de erro na
resolução de problemas. Recomendamos que os
princípios de equivalência entre as unidades do
sistema métrico decimal sejam retomados, em
particular aqueles ligados à medida de área e volume. A interpretação das tabelas que fazem parte da atividade 4 da Situação de Aprendizagem 3
pode ser uma alternativa de recuperação para os
alunos com dificuldade nesse tópico.
Caso, ao final da avaliação da Situação de
Aprendizagem 4, o professor perceba que alguns alunos não se apropriaram dos objetivos
propostos, poderá indicar algumas atividades
de recuperação de aprendizagem. Se o problema estiver ligado ao entendimento do conceito
de probabilidade, recomendamos a retomada de
algumas atividades experimentais envolvendo o cálculo de probabilidades em jogos de
dardos, cartas ou batalha naval.
RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR
E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA
Revista do Professor de Matemática. Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.
De modo geral, a Revista do Professor de Matemática é uma fonte muito fecunda de ideias
para serem exploradas nas aulas de quase todos os temas tratados no Ensino Fundamental.
Particularmente no que tange aos temas deste
Caderno, destacamos os seguintes artigos:
f “O que é número π”, de Elon Lages Lima,
no 6.
f “A área do círculo”, de Waldemar D. Bastos
e Aparecida F. da Silva, no 40.
f “Como calcular valores aproximados de
π”, de Milton P. Garcia, no 11.
f “3πr, 2π ou 4πr?”, de Luiz Márcio P. Imenes,
no 9.
livros
BARBOSA, Ruy M. Descobrindo padrões pitagóricos. São Paulo: Atual, 1993.
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: unicamp, 1997.
MILIES, Francisco C. P.; BuSSAB, José H. O.
A geometria na Antiguidade clássica. São Paulo:
FtD, 1999.
Sites
Cálculo das constantes elementares clássicas.
Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.
br/~portosil/aplcom1a.html>. Acesso em: 20
ago. 2009.
Wikipedia. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi>.
Acesso em: 20 ago. 2009.
47
ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE
do EnSino FundAmEntAl
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
5a série
6a série
7a série
8a série
númERoS REAiS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
númERoS nAtuRAiS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações.
- Introdução às potências.
númERoS nAtuRAiS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional
decimal.
númERoS RACionAiS
- transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
FRAçõES
- Representação.
- Comparação e ordenação.
- Operações.
númERoS intEiRoS
- Representação.
- Operações.
PotEnCiAção
- Propriedades para
expoentes inteiros.
- Problemas de contagem.
númERoS dECimAiS
- Representação.
- transformação em
fração decimal.
- Operações.
SiStEmAS dE mEdidA
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
gEomEtRiA/mEdidAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
númERoS RACionAiS
- Representação fracionária e
decimal.
- Operações com decimais
e frações.
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- A linguagem das potências.
gEomEtRiA
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
EXPRESSõES
AlgébRiCAS
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
álgEbRA
- Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
funções; a ideia de
interdependência.
- A ideia de variação.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
númERoS/
PRoPoRCionAlidAdE
- Proporcionalidade direta
e inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: π.
álgEbRA/EQuAçõES
- Equações de 1o grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações de 1o grau.
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
gEomEtRiA/mEdidAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança.
- Relações métricas em
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
gEomEtRiA/mEdidAS
- teoremas de tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
gEomEtRiA/mEdidAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
4o bimestre
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- Gráficos de setores.
- Noções de probabilidade.
48
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
álgEbRA
- uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- Contagem indireta e
probabilidade.