Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015
Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015
© APMTAC, Portugal, 2015
ENSAIO SOBRE A FLUÊNCIA NA VIBRAÇÃO DE COLUNAS
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig 1*, Reyolando M. L. R. F. Brasil 2
1: Departamento de Construção e Estruturas
Escola Politécnica
Universidade Federal da Bahia (UFBa)
Rua Aristides Novís, nº 02, 5º andar, Federação, Salvador – BA, Brasil, CEP: 40210-910
e-mail: [email protected], web: http://lattes.cnpq.br/7971716903240686
2: Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas
Universidade Federal do ABC (UFABC)
Avenida dos Estados, 5001, Bangu, Santo André – SP, Brasil, CEP: 09210-170
e-mail: [email protected], web: http://lattes.cnpq.br/1886098993540794
Palavras-chave: Fluência, Vibração, Reologia, Método de Rayleigh, Rigidez Geométrica.
Resumo. O aumento gradativo da deformação com o tempo é chamado de fluência. É
fenômeno que pode ocorrer, predominantemente, no concreto e na madeira, por serem
materiais, por natureza, viscoelásticos. Dessa forma, o conhecimento sobre o
comportamento reológico da curva tensão-deformação é essencial para o projeto de
peças longas, pois colunas esbeltas comprimidas podem ter a rigidez modificada em
função da reologia do material, mesmo com um nível de tensão constante.
Matematicamente, a deformação devida à fluência pode ser caracterizada por modelos
onde a deformação elástica imediata é acrescida de uma deformação viscosa, resultando
em uma função temporal. Em consonância com esse entendimento, a formulação
desenvolvida para calcular a frequência natural de uma coluna deve incluir os efeitos
redutores da rigidez tanto da força axial quanto da fluência. O primeiro pode ser
considerado por meio da parcela negativa da matriz de rigidez e o segundo pela
introdução, na parcela elástica, de um módulo de elasticidade variável com o tempo,
obtido em relação ao modelo reológico adotado. A frequência assim calculada resulta em
uma função do tempo. Para avaliar os aspectos anteriores foi realizada uma simulação
numérica, considerando uma coluna comprimida na extremidade livre e sujeita a seu peso
próprio. Um modelo reológico de três parâmetros, com o componente viscoso ajustado
para a deformação convergir aos noventa dias, foi utilizado para obter o módulo de
elasticidade variável. Os resultados indicaram uma diferença entre a frequência no
instante inicial e aos noventa dias que, dependendo do caso, pode representar
significativa alteração na resposta do sistema frente a solicitações de natureza dinâmica .
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
1. INTRODUÇÃO
O fenômeno do aumento lento da deformação com o tempo sob tensão constante é chamado
de fluência. Matematicamente, a fluência pode ser representada por uma função dependente
do tempo, associada a modelos reológicos viscoelásticos capazes de descrever o fenômeno
[1]. A deformação lenta (Creep) para peças de concreto é um fenômeno dependente do tempo,
e que, também, está relacionada às cargas e às deformações, definida como sendo o aumento
de uma deformação com o tempo sob a ação de cargas ou de tensões permanentes. A
deformação lenta é parcialmente reversível e que para um descarregamento, após a uma
recuperação elástica, ocorre uma recuperação posterior, que é denominada deformação lenta
recuperável, deformação lenta reversível ou ainda deformação elástica retardada e que
apenas uma parcela restante da deformação é residual ou irreversível, sendo essa a parcela da
deformação que é denominada de fluência [2].
Quando uma amostra de concreto é carregada durante 90 dias e, após, descarregada, a
recuperação imediata ou elástica é aproximadamente da mesma ordem da deformação elástica
quando da primeira aplicação da carga. A recuperação imediata é seguida por uma redução
gradual da deformação chamada elasticidade retardada. Embora a recuperação da fluência
ocorra mais rapidamente do que a fluência, a reversão não é total. A parte da fluência que é
reversível pode ser atribuída à deformação elástica retardada do material, que é totalmente
recuperável [3].
De um modo geral, dois grupos de soluções matemáticas são usados para representar a
fluência no âmbito da análise estrutural. O primeiro tende a um valor limite da deformação,
restringindo-as a intervalos de validade, e o segundo, menos comum, é aquele que leva em
consideração um crescimento monotônico da deformação. Do ponto de vista prático, as
normas internacionais levam em conta o fenômeno da fluência no dimensionamento das
estruturas por meio de duas considerações, ou propondo um coeficiente de majoração ou
minoração da rigidez ou propondo um coeficiente de majoração ou minoração na resistência
conforme o tempo de atuação do carregamento e classe de umidade [4]. No caso específico de
colunas comprimidas uma análise realizada de forma prematura pode produzir consequencias
indesejadas por ser tratar de parte crucial de um projeto e qualquer falha ocasiona efeitos
catastróficos por envolver o equilíbrio das estruturas [5].
Comumente, a representação da fluência toma como base modelos reológicos que associam as
deformações diferidas no tempo. A inclusão desses modelos à análise estática ou dinâmica
das estruturas pode ser feita relacionando esses modelos ao módulo de elasticidade do
material. No caso da análise dinâmica, a rigidez da estrutura deve ser composta por dois
termos, sendo um deles o correspondente à parcela da rigidez convencional e o outro à parcela
da rigidez geométrica [6]. Dessa forma, é possível adaptar a primeira matriz, introduzindo um
módulo de elasticidade variável no tempo, que permita acompanhar o aumento das
deformações, segundo o modelo reológico adotado, mantendo constante o nível de tensão.
Assim sendo, a rigidez total toma a forma na qual a primeira matriz introduz, via módulo de
elasticidade, o modelo reológico que se deseje para representar a fluência e a segunda é a
geométrica, função do esforço normal atuante, que deve incluir o peso próprio do elemento
estrutural.
2
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
Este trabalho visa, portanto, avaliar, por modelagem numérica, a frequência fundamental de
vibração livre não amortecida de uma coluna de concreto armado carregada axialmente
por uma força concentrada na extremidade livre e por seu peso próprio, com a
consideração da fluência. Isto é realizado utilizando uma proposta matemática de
características não lineares, na qual se inclue a função temporal da elasticidade.
Adicionalmente verificam-se questões relacionadas à estabilidade da coluna.
3. SUPORTE MATEMÁTICO
3.1. Solução do modelo reológico
Um dos modelos usados para representar o comportamento da fluência é o modelo de três
parâmetros, onde um parâmetro elástico E0 está associado a um modelo viscoelástico de
parâmetros E1 e η1, chamado de modelo de Kelvin-Voigt (Figura 1) [7].
E1
E0

1
 eElástica

 vViscosa
Figura 1. Modelo viscoelástico de três parâmetros.
A deformação total desse modelo é dada por
   e  v,
(1)
onde ε e é a deformação no modelo elástico e ε v é a deformação no modelo de Kelvin-Voigt.
Derivando-as no tempo, tem-se a deformação total na forma de
  ev .
(2)
As equações constitutivas do modelo elástico e do modelo de Kelvin-Voit são
respectivamente
  E0 e e   E1 v  1  v ,
(3)
onde E0 é o módulo de elasticidade do modelo elástico, E1 e η1 são o modulo de elasticidade e
viscosidade do modelo de Kelvin-Voigt.
Das equações anteriores chaga-se à seguinte equação diferencial
3
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil

E0  E1
1
  E0  
E0 E1
1
,
(4)
onde
0, para t  0 
 
,
 0 , para t  0 
(5)
com t representando o instante de aplicação da carga.
Como a tensão é constante, a derivada da tensão em relação ao tempo se anula. Aplicando-se
as condições de tensão anteriores, reduz-se a equação (4) à seguinte equação diferencial
ordinária
E0  
E0 E1
1
  0,
(6)
cuja solução geral, para t > 0, com a condição inicial  (0) 
0
E0
é
E
1
 1 t 
1
 (t )   0   1- e    .

 E0 E1 

-
E1
Quando t = 0  e 1  1   (0) 
Quando t    e
Fazendo E () 
-
0
E0
E1
1
 0   ( ) 
(7)
.
 0 ( E0  E1 )
E0 E1
.
E0 E1

tem-se  ()  0 .
E0  E1
E ( )
A deformação com o tempo pode ser representada pelo gráfico da Figura 2.


t
O
Figura 2. Convergência da deforção devido à fluência.
4
(8)
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
Obviamente que, se o nível de tensão permenece constante, o módulo de elasticidade deve
diminuir concomitantemente ao aumento da deformação, logo
E (t ) 
1
E
 1t 
1
1 
 1- e  

E0 E1 

(9)
3.2. Aspectos da dinâmica estrutural
A formulação desenvolvida para considerar a fluência na vibração de uma coluna toma
por base o princípio dos trabalhos virtuais associada à técnica de Rayleigh [8]. Rayleigh
assumiu que um sistema contendo infinitos graus de liberdade podía ser asociado a outro com
um único grau de liberdade (SDOF - single degree of freedom) para aproximar sua frequência.
É importante observar que a técnica desenvolvida por Rayleigh visava calcular a frequencia
fundamental de vibração dos sistemas elásticos. A precisão obtida por ese método depende
diretamente da função escolhida para representar esse modo de vibração [9].
O conceito básico do método é o princípio da conservação da energia, podendo, portanto
ser aplicável a estruturas lineares ou não [10]. [11] considera que a técnica de Rayleigh é
aplicada tanto a sistemas com infinitos graus de liberdade quanto a sistemas contínuos e serve
tanto para determinar o período fundamental de vibração quanto à verificação da estabilidade
dos sistemas mecánicos, dentro da precisão requerida para os problemas de engenharia. O
proceso é então descrito em ralção ao principio dos trabalhos virtuais e à escolha adequada da
coordenada generalizada que descreve o primeiro modo de vibração. Ao final a equação do
movimiento aparece em termos das propriedades generalizadas do sistema tais como rigidezes
e massas, necessárias ao cálculo da frequencia. Considere-se a barra da Figura 3.
Assumindo a conhecida função trigronométrica
x 

 2L 
 ( x)  1- cos 
(10)
pode-se encontrar a rigidez convencional na forma de
2
 d 2 ( x) 
K0 (t )   E (t ) I 
 dx,
2
 dx 
0
L
(11)
onde E(t) representa o módulo de elasticidade variável com o tempo, conforme encontrado em
(9) e I a inercia da seção. A rigidez geométrica é obtida pela seguinte equação
 d ( x ) 
K g   N ( x) 
 dx,
 dx 
0
2
L
(12)
com N(x) sendo a função esforço normal, que inclui o peso prórpio da coluna e a força
5
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
concentrada na extremidade livre. A massa generalizada por sua vez é dada por
M  m0  m,
(13)
onde m0 é massa concentrada no topo da barra e m é encontrada com
L
m   m  ( x)  dx,
2
(14)
0
com m sendo a massa por unidade de comprimento. A frequência natural cíclica é calculada
fazendo-se
K (t )
.
M
 (t ) 
(15)
Levando em conta que
K (t )  K0 (t )  K g ,
(16)
chega-se à fórmula da frequencia, em Hz, com efeito geométrico e fluência, com a Eq. (17),
1
 1 4
 2
1 2 2mo  mL 1
E
(
t
)
I


g

mg

1  32 L3
16
L
4
f (t ) 

 ,
1
3  8
2 

mo  mL


2



(17)
na qual L é o comprimento da peça, g é a aceleração da gravidade e E(t) como obtido em (9).
Para mais detalhes sobre o presente desenvolvimento matemático, pode ser consultado o
trabalho anterior realizado por [12].
4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA
A simulação numérica foi realizada em relação a uma coluna de concreto armado de altura
L, seção transversal vazada de diâmetro externo D e espessura da parede e, conforme
representação esquemática na Figura 3. As dimensões da coluna e os parâmetros
adicionais estão dispostos na Tabela 1. É importante mencionar que o parâmetro viscoso
foi ajustado para que as deformações se estabilizassem aos 90 dias (Figura 4), como
indicado por [3], obtendo-se, com isso, a variação do módulo de elasticidade E(t) (Figura
5). Outro aspecto que merece ser mencionado é que a inércia de seção foi majorada em 1,1
para levar em conta a presença da armadura. Esse fator foi estimado considerando o
método da seção homogeneizada e uma taxa de aço usual para esse tipo de estrutura.
A.aceleração da gravidade g assumida foi 9,806650 m/s2.
6
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
Diâm. externo
D (cm)
40
Dados da seção
Espessura Núm. de barras
e (cm)
nb (und)
10
20
Parâmetros reológicos
Elasticidade (MPa)
Viscosidade
E0 (MPa)
26071,59
Diâm. das barras
(mm)
13
Densidade
Massas
Concentrada
Por comprimento
(kg/m )
2500
m0 (kg)
500
(kg/m)
235,62
(MPa*s)
26071593737
E1(MPa)
26071,59
Dados da coluna
Comprimento
Esbeltez
L (m)
40
170,56
3
Tabela 1. Dados da simulação numérica.
N(x)
e
y
m0

m
L
z
A A
x
D
(b) Corte A-A
(a) Coluna
Figura 3. Modelo da estrutura.
( t )
8 10
5
7 10
5
6 10
5
3 10
4
2.5 10
4
Eeq( t )
6
10
5 10
5
4 10
5
3 10
5
2 10
4
MP a
1.5 10
4


f2 Lc  0day  f2 ( 40m 90day )
f2 ( 40m 0day )
1 10
4
0
20
40
 100  57i %
60
80
100
0
20
40
t
day
Figura 4. Parâmetro viscoso ajustado para convegência aos 90 dias.
7
d
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
3 10
4
2.5 10
4
E( t )
MP a
2 10
4
1.5 10
4
1 10
4
40
60
80
100
0
20
40
60
t
t
day
day
80
100
Figura 5. Variação do módulo de elasticidade devido à fluência.
A frequencia foi então calculada no instante zero e aos noventa dias por meio da equação
(17), que também permite acopanhar a variação da frequência natural da estrutura no
intervalo de tempo especificado, conforme se vê no gráfico da Figura 6.
0.2
0.15
f( L  t )
Hz
0.1
0.05
0
0
15
30
45
60
75
90
t
day
Figura 6. Variação frequência da estrutura em 90 dias.
No gráfico da Figura 7 pode ser visto como a frequência da estrutura varia no tempo, para
a altura limite de sua estabilidade, calculada aos 90 dias considerando a fluência
(Le = 52,64389635 m).
8
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
0.1
0.08

f Le  t
Hz

0.06
0.04
0.02
0
0
15
30
45
60
75
90
t
day
Figura 7. A frequência da estrutura com a altura limite da estabilidade de
52,64 m.
Para uma altura de 55 m, por exemplo, ter-se-ia o comportamento dado pelo gráfico da Figura
8.
0.08
0.064
f( 55m  t )
0.048
Hz
0.032
0.016
0
0
2.73
5.47
8.2
10.93
13.67
16.4
t
day
Figura 8. Colapso de uma estrutura com 55 m de altura logo após o 16º dia.
12. CONCLUSÕES
-
O módulo de elasticidade claculado pela Eq. (8) aos noventa dias foi de
13038,53 MPa, o que representa uma diminuição de 50 % em ralção ao valor inicial
9
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
-
-
-
de 26071,59 MPa (Figura 5).
A frequência da estrutura calculada no instante inicial foi de 0,183 Hz aos 90 dias, de
0,10938 Hz, representando uma redução de 40 % (Figura 6).
A estrutura simulada encontra seu limite de estabilidade quando alcança
52,64389635 m, colapsando aos noventa dias, (Figura 7). Se o efeito da fluência não
fosse considerado, a altura limite seria de 66,6762144 m, 21 % superior à primeira,
com os resultados da frequência obtidos para uma exatidão de cinco casas decimais
(f = 0.00000).
O aspecto anterior é de relevante importância, pois se a estrutura tivesse altura entre o
limite sem a fluência e o definido com a consideração da fluência entraria em colapso
antes mesmo de completar 90 dias em serviço. Para uma altura de 55 m, por
exemplo, a ruina se daria pouco depois do 16º dia (Figura 8).
Outros modelos reológicos podem ser usados para avaliar a frequência de uma coluna
de concreto armado com a consideração da fluência.
AGRADECIMENTO
Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico) no Brasil.
REFERÊNCIAS
[1] W.N. Findley, J. S. Lai, K. Onaran, Creep and Relaxation of Nonlinear
Viscoelastic Materials, Whit an Introduction to Linear Viscoelasticity, Dover
Publications, Inc, New York, (1989).
[2] F. Leohard, E. Mong, Construções de Concreto – Princípios Básicos do
Dimensionamento de Estruturas de Concreto armado, 1. ed., v.1, Livraria
Interciência, Rio de Janeiro, (1977).
[3] P. K. Mehta e P. J. M. Monteiro, Concreto: Estrutura, Propriedades e Materiais.
São Paulo: PINI, (1994).
[4] A. H. Celia-Silva e C. Calil Júnior, “Fluência da madeira”, Encontro Brasileiro em
madeiras e em estruturas de madeira, 4. Anais São Carlos: Lamem/Eesc-Usp,
1992, EESC - Escola de Engenharia de São Carlos, São Carlos, (1992).
[5] Timoshenko e gere, Mecânica dos Sólidos, 2. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e
Científicos, 2001, v. 1, (1992).
[6] R.W. Clough e J. Penzien, Dynamic of Structures, Taiwan: McGraw Hill
International Editions, Second Edition, (1993).
[7] P. M. Pimenta, “Fundamentos da Mecânica das Estruturas II”, Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo, São Paulo, (2003).
[8] Rayleigh, Theory of Sound (two volumes), Dover Publications, New York, reissued. (1877).
[9] A.W. Leissa, “The historical bases of the Rayleigh and Ritz methods”, Journal of
Sound and Vibration, Volume 287, Issues 4-5, 4, pp 961-978, (2004)
doi:10.1016/j.jsv.2004.12.021.
10
Alexandre de Macêdo Wahrhaftig, Reyolando M. L. R. F. Brasil
[10] R.W. Clough and J. Penzien, Dynamic of Structures, McGraw Hill International
Edi-tions, Second Edition, Taiwan, (1993).
[11] G. Temple, and W.G. Bickley, Rayleigh´s Principle and its Applications to
Engineering, Oxford University Press, Humphrey Milford, London, (1933).
[12] A.M. Wahrhaftig, R. M. L. R. F. Brasil, J.M. Balthazar, “The first frequency of
cantilevered bars with geometric effect: a mathematical and experimental
evaluation”, J Braz. Soc. Mech. Sci. Eng., (2013), doi:10.1007/s40430-013-0043-9.
11