Estudo da Aplicação da Tomografia por Impedância Elétrica à Ensaios
Não Destrutivos de Estruturas Aeroespaciais
Jader Passos Clarindo da Silva, Cícero Ribeiro de Lima
Universidade Federal do ABC
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas
Avenida dos Estados, 5001, Santo André, SP
A Tomografia por Impedância Elétrica (TIE) é uma técnica recente de monitoramento de corpos. A TIE nos permite obter a
representação gráfica da resistividade de cada elemento da seção transversal de um corpo. Um algoritmo de reconstrução de TIE
utiliza potenciais elétricos, que são obtidos a partir da aplicação de uma corrente de baixa intensidade em eletrodos, posicionados ao
redor do corpo. Devido a sua natureza de diagnóstico não-invasivo, a TIE tem potencial aplicação na área de ensaios não-destrutivos
(ENDs). O objetivo deste trabalho de iniciação científica é implementar um algoritmo básico de reconstrução de imagens de TIE
baseado no método de Otimização Topológica. Para ilustrar essa implementação, são mostrados resultados de reconstituição da
distribuição de condutividades em domínios bem conhecidos.
Palavras chave: otimização topológica, tomografia por impedância elétrica, elementos finitos, ensaios não-destrutivos.
I. INTRODUÇÃO
A
Tomografia por Impedância Elétrica (TIE) é uma técnica
que tem sido desenvolvida desde a década de 80. Ao
longo desse período, a comunidade científica verificou a
necessidade do aperfeiçoamento dos algoritmos de
reconstrução nesta área. Isto devido ao fato da TIE ser um
problema inverso e também um problema mal-posto, ou seja, a
solução é descontínua em relação às voltagens [1]. O
problema inverso consiste em obter a imagem na seção
transversal do corpo a partir dos potenciais elétricos coletados
por eletrodos dispostos ao redor do corpo. Os potenciais são
obtidos mediante a aplicação de corrente elétrica de baixa
intensidade e como resultado final deve ser obtido a
distribuição de condutividades no domínio.
A TIE tem como principal característica o fato de não
causar nenhum dano ao corpo, ou seja, é uma técnica de
monitoração não-invasiva e não nociva, pois não expõe o
corpo a nenhum tipo de radiação. Esta técnica possui
aplicação para fins médicos e geológicos [1], bem como
possui potencial aplicação também para fins industriais, como
em ensaios não-destrutivos (ENDs) de estruturas
aeroespaciais.
Observa-se na literatura, a utilização de diversos tipos de
algoritmos de reconstrução originais baseados nos métodos de
Backprojection, Newton-Raphson e Filtro de Kalman [2].
Neste presente trabalho, é proposto a utilização do Método de
Otimização Topológica (MOT), que tem como principal
vantagem a possibilidade de inclusão de várias restrições para
regularizar o problema inverso da TIE [3].
Nas seções seguintes são apresentados a formulação do
problema de OT aplicado à TIE e os resultados obtidos com
um software, implementado em linguagem do MATLAB, para
a solução do problema.
II. PROBLEMA DE OT APLICADO À TIE
O algoritmo de MOT, que combina um método de
otimização com um método numérico de análise [4], é
utilizado para resolver um problema de minimização, cuja
função objetivo é dada pela diferença quadrática entre os
valores de voltagens medidos nos eletrodos e os calculados em
um modelo computacional da seção transversal do corpo,
conforme equação a seguir.
Minimizar: F 
2
1 ne np
ij  ij0 


2 j1 i 1
onde F é a função objetivo, ne é o numero de casos de
aplicação de corrente elétrica e np é o numero de pontos de
medição dos eletrodos. ϕij e ϕij0 são os potenciais elétricos
obtidos no modelo computacional e os potenciais medidos nos
eletrodos posicionados ao redor do corpo, respectivamente.
Neste trabalho, os potenciais elétricos medidos nos
eletrodos (ϕij0) são simulados através de um fantoma
numérico. O método de elementos finitos (MEF) [5] é
utilizado nos modelos computacionais adotados neste trabalho,
ou seja, tanto para o fantoma quanto para o modelo
computacional utilizado para reconstruir a imagem na TIE. A
malha de elementos finitos do modelo computacional utilizado
para reconstruir a imagem na TIE é menos discretizada
(quantidade menor de elementos) em relação à malha do
fantoma para evitar o chamado “crime de inversão” [1].
No fantoma numérico, a condutividade de cada elemento do
domínio é conhecida. Já, no modelo computacional de
obtenção da imagem a condutividade de cada elemento
dependem de um modelo material [4], dado da seguinte forma:
C = ρp cA + (1 – ρp)cB; onde: 0 ≤ ρi ≤ 1 i = 1...N
onde cA e cB são as propriedades de condutividade elétrica de
dois materiais básicos que compõem o meio. No caso o
material tipo A poderia ser ar, por exemplo, e o tipo B, o
material sólido da estrutura. As pseudo-densidades ρi podem
variar de 0 (indicando a presença do material do tipo B) a 1
(indicando a presença do material do tipo A). Valores
intermediários de ρi indicam a mistura dos dois materiais e não
são interessantes no resultado final e serão evitados através de
uso do coeficiente de penalidade p, cujo valor deve ser
ajustado [4].
III. RESULTADOS
Um software é implementado para encontrar as
perturbações na distribuição de condutividade em dois
exemplos, considerando um domínio quadrado e um domínio
circular.
O resultado da Fig. 2 mostrou a posição em que foi
colocado elementos de materiais diferentes no fantoma, ou
seja, o software encontrou uma imagem semelhante ao do
fantoma.
A função objetivo é minimizada em poucas iterações, até
um valor próximo de zero. O gráfico da Fig. 3 mostra a
convergência da função objetivo em relação as interações.
A. Modelo Quadrado
O fantoma do domínio é criado com 576 elementos
quadrados de 4 nós, como mostrado na Fig. 1.
Figura 3 - Gráfico de convergência da função objetivo.
B. Modelo Circular
O domínio do fantoma circular tem 1728 elementos e 16
eletrodos equidistantes. Assim como mostra a Fig. 4.
Figura 1- Fantoma do domínio quadrilátero.
Nesse fantoma, os elementos quadrados que estão
destacados (cor clara) tem condutividade igual a 0,005(Ωm)-1
e os demais 0,1 (Ωm)-1. Neste caso, são utilizados 16 eletrodos
posicionados no contorno de maneira equidistante.
A Fig. 2 mostra o resultado obtido através do algoritmo
implementado, numa malha menos discretizada (144
elementos) para evitar o chamado “crime de inversão” [1].
Figura 4 - Fantoma circular.
Esse fantoma possui uma “mancha” (região escura),
indicando que nesse local tem um grupo de elementos com
condutividades diferentes dos demais. Os elementos em
branco têm condutividade igual a 0,1 (Ωm)-1 e os que estão em
preto tem condutividade igual a 0,005 (Ωm)-1.
É utilizada uma malha de 432 elementos para o software
reconstruir a imagem do fantoma da Fig. 4. O resultado obtido
é mostrado na Fig. 5.
Figura 2 - Resultado obtido pelo software implementado.
V. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o suporte financeiro da UFABC e
CNPq, através de uma bolsa de iniciação cientifica PDPD.
VI. REFERENCIAS
Figura 5 – Imagem obtida pelo software implementado.
A imagem da Fig. 5, mostra que o software é capaz de
localizar a “mancha” com elementos de condutividades
diferentes, previamente proposta no fantoma.
Durante as interações do algoritmo a função objetivo foi
minimizada, conforme mostra o gráfico da Fig. 6.
Figura 6 – Convergência da função objetivo.
IV. CONCLUSÃO
Neste trabalho foi implementado um algoritmo de
Tomografia por Impedância Elétrica baseado no método de
Otimização Topológica, com potencial aplicação em ensaios
não-destrutivos (ENDs) de estruturas aeroespaciais.
Um algoritmo, implementado em linguagem MATLAB, é
utilizado para resolver o problema de otimização topológica
aplicado à TIE e, consequentemente, identificar a perturbação
na distribuição de condutividades produzida por dois materiais
distintos, em domínios quadrado e circular.
Como trabalho futuro, propõe-se explorar o desempenho do
algoritmo quando um terceiro material é introduzido no
domínio. Além disso, elementos de eletrodos podem ser
introduzidos no algoritmo para simular a interface de contato
entre eletrodo e contorno da estrutura ensaiada.
[1] L. Borcea, “Electrical Impedance Tomography”, Inverse
Problems, 18, 6, 99–136, 2002.
[2] T. J. Yorkey, J.G. Webster, W.J. Tompkins, “Comparing
Reconstruction Algorithms for Electrical Impedance
Tomography”, IEEE Trans Biomed Eng, 34, 843-52, 1987.
[3] C. R. Lima, “Estudo da Obtenção de imagens de
Tomografia de Impedância Elétrica do Pulmão pelo Método
de Otimização Topológica”, Tese de Doutorado – Escola
Politécnica da USP, São Paulo, Brasil, 2006.
[4] M. P. Bendsoe and O. Sigmund., “Topology Optimization:
Theory Methods and Applications”, Berlin: Springer-Verlag,
ISBN 3-540-42992-1, 2003.
[5] Filho, Avelino Alves, “Elementos Finitos – A Base da
Tecnologia CAE”, São Paulo: Ed. Érica, 2000.