A Construção da Linguagem Algébrica em Espaços NãoFormais: o Caso do Cursinho de Ribeirão Preto
Angela Ap. Arndt Gomide Borges1
Maria do Carmo de Sousa2
Resumo
O presente trabalho é parte de uma pesquisa do Programa de Pós-Graduação no Ensino de Ciências
Exatas – PPGECE, atrelado ao Projeto Observatório da Educação ambos da UFSCar. A questão de
pesquisa é investigar como professores de um espaço não-formal de ensino norteiam seus alunos a
usarem a linguagem algébrica a partir da aritmética. Os principais objetivos são: investigar as concepções,
estratégias e dificuldades de estudantes que frequentam esse cursinho popular frente a situações –
problemas que requerem o uso da linguagem algébrica e entender o movimento da sala de aula quando
questões envolvendo o conceito de função, variável etc. são propostas. A pesquisa se encontra em
andamento: os dados foram coletados num cursinho popular de Ribeirão Preto, sem fins lucrativos, cujo
público é caracterizado por trabalhadores jovens e adultos, de baixa renda familiar, que concluíram o
Ensino Médio em escola pública. As aulas acontecem através de dinâmicas criadas pelos professores
abordando assuntos sugeridos pelos estudantes. O relato do episódio provém de anotações contidas nos
diários dessas aulas.
Palavras-chave: Linguagem Algébrica; Espaços Não-Formais; Cursinho Popular; Ensino Dialógico;
Interdisciplinaridade.
Introdução
Este texto pretende analisar um episódio de sala de aula observado no dia
17/05/2010 num cursinho popular de Ribeirão Preto, o qual integra a pesquisa em
desenvolvimento. As aulas nesse cursinho são elaboradas por um grupo de professores
de diversas áreas do conhecimento que visam, a partir de um tema gerador, elaborar
situações-problemas que envolvam o cotidiano dos estudantes que frequentam o espaço.
Procura-se sempre trabalhar interdisciplinarmente, conectando ao máximo as disciplinas
que na escola foram vivenciadas de forma isolada e fragmentada por esses alunos,
provenientes de classes economicamente menos favorecidas e que buscam no cursinho
uma Educação que os proporcione uma visão crítica e consequentemente uma
transformação social.
1-UFSCar ([email protected])
2-UFSCar ([email protected])
A aula que analisaremos neste texto teve “água” como tema gerador. O objetivo
dessa aula era apresentar aos alunos um pouco da concepção grega a respeito dos
elementos da natureza. Tales de Mileto, por exemplo, considerava a água como
substância única de todas as coisas. Para ele, tudo se originava da água. Como a
filosofia grega está intimamente atrelada ao desenvolvimento da Matemática, decidimos
estudar durante a aula o pensamento de alguns filósofos (e matemáticos) gregos e
também sobre como seu modo de pensar permanece presente até hoje na Ciência,
Matemática e na Educação. Segundo EVES (2004, p: 25), cabe a Tales os créditos pelas
primeiras deduções sistemáticas em geometria e no que diz respeito à Matemática,
BOYER (1974, p: 33) compara a importância de Tales em relação a essa área de
conhecimento com a importância de Homero para a Literatura.
De acordo com ROSEIRA (2010, p: 41-42) “a Matemática tem um papel
fundamental no desenvolvimento das sociedades modernas, uma vez que está presente
no cotidiano de tudo e de todos”. Este autor ressalta a importância da contribuição de
diversas culturas para o desenvolvimento da Matemática e defende que “a compreensão
das raízes culturais e da universalidade da linguagem e dos valores da Matemática, bem
como seu papel na sociedade, deve chegar a todos os cidadãos.”
Esse pensamento vai de encontro aos objetivos políticos e pedagógicos do
cursinho. Isto posto, durante esta aula, cuja temática era “água”, estudamos tanto a
concepção de Tales sobre este tema, quanto o seu teorema mais importante no contexto
escolar: do feixe de retas paralelas, que, cortadas por duas transversais determinam
sobre o feixe segmentos proporcionais, considerando-se uma metodologia dialógica que
apresentaremos.
Metodologia da pesquisa
Essa pesquisa de caráter qualitativo, e a construção dos dados, obtidos a partir de
observações e anotações feitas no diário de sala, se encontram em andamento. Porém, já
foram feitas algumas análises teóricas desses episódios. Um deles será descrito mais
adiante.
A seguir, apresentamos uma tabela caracterizando os sujeitos da pesquisa, que
nesse caso, são os estudantes do cursinho.
Nome
Idade
(aproximada)
Profissão
Observações gerais
Rogério
30
motorista
Há 5 anos frequenta o cursinho,
não tem como objetivo o
ingresso na universidade
Felipe
19
ajudante de serralheiro
terminou o Ensino Médio ano
passado
Sara
22
estudante
ingressou ano passado no
cursinho, porém não passou no
vestibular
Helena
25
secretária
ingressou esse ano no cursinho
Tatiana
24
balconista
casada, está há 6 anos longe da
escola
Henrique
21
trabalha em um
escritório
passou na UFLA ano passado,
mas decidiu fazer mais um ano
de cursinho pois se julgava
despreparado
Luís
33
eletricista
frequenta o cursinho há 4 anos,
não tem como objetivo o
ingresso na universidade
Marcelo
25
trabalha nos correios
ingressou esse ano no cursinho
Patrícia
22
telefonista
ingressou ano passado no
cursinho, porém não passou no
vestibular
Desenvolvimento da aula
Para introduzir o Teorema desafiamos os estudantes a encontrarem a altura da
casa onde se situa o cursinho, sem o uso de uma escada, munidos unicamente de uma
trena.
Estavam conduzindo a situação-problema dois professores que atuam no
cursinho: um formado em Biologia na USP-Ribeirão Preto e a outra formada em
Matemática pela UNICAMP, autora desta pesquisa. Chamaremos este professor de
“Neto” por questões éticas. Sua participação não foi apenas na execução mas também
na elaboração da situação-problema (vale ressaltar que os nomes dos alunos também
estão modificados pelas mesmas razões).
Os estudantes, ao se depararem com a pergunta: “como medir a altura da casa
usando apenas uma trena e sem usar uma escada?”, começaram a explicitar suas ideias
matemáticas. Rogério prontamente respondeu que era possível fazer tal medição
“usando a relação entre sombras”. Ao ser questionado sobre os detalhes dessa relação,
não soube explicar, mas disse: “sei que é assim porque tem aquela história da pirâmide,
eu sei que tem, já vi”.
Vale ressaltar que o estudante “tinha visto” a “história da pirâmide” em outro
contexto de sua vida escolar, e não enquanto estudávamos a vida do matemático grego.
Percebemos que foi até a biblioteca, situada na própria sala, e pegou um livro para
relembrar as relações entre a situação proposta e a da pirâmide.
Ao mesmo tempo, Luís, também aluno do cursinho e que trabalha como
eletricista, “estimou” que a altura da casa estava em torno de 3m. Neste momento a
professora interferiu, solicitando que se encontrasse o valor “exato” da altura da casa.
Os demais estudantes que observavam atentamente decidiram testar a hipótese de
Rogério para responder “exatamente” a altura da casa. Ou seja, para dar a resposta exata
para a professora, o mais correto naquele momento seria considerar a hipótese de
Rogério.
A partir do exposto, os alunos pegaram a trena e foram para fora do prédio,
testar a ideia do colega. Como a aula ocorreu à noite, não era possível medir a sombra
da casa por causa da ausência do sol. Alguém deu a ideia de usar a luz do poste, porém
a sombra da casa proporcionada por este poste batia no muro, e não no chão. Ou seja, a
sombra era projetada em dois planos perpendiculares (chão e parede). Fazer um modelo
matemático desta situação é bem diferente da proposta por Tales. Assim, mudamos a
situação-problema proposta: ao invés de descobrir a altura da casa, deveríamos
descobrir a altura de um aluno, mantendo a condição de não medir diretamente, uma vez
que queríamos pensar em como fazer medições de objetos de difícil acesso, como, por
exemplo, a altura de uma montanha. Com essa adaptação teríamos a garantia de manter
o modelo matemático da pirâmide, uma vez que sua sombra seria projetada no chão.
Marcelo se prontificou a ser este aluno. Desta forma, os estudantes, liderados por
Rogério e Luís, que foram os que se manifestaram inicialmente, fixaram verticalmente
uma régua de 30 cm no chão e ao lado dela, Marcelo ficou em pé, considerando-se que
sua altura era “desconhecida”. Ambas as sombras foram medidas. Voltamos para a sala
para descobrir a altura de Marcelo através dos dados: altura da régua: 30 cm, sombra da
régua: 23 cm, sombra do Marcelo: 1,42m.
Tomar iniciativas, formular e testar hipóteses são habilidades que estão sempre
presentes nas dinâmicas de sala de aula deste cursinho. Para CARAÇA (1951, p: 4),
“sempre que aos homens se põe um problema do qual depende a sua vida, individual ou
social, eles acabam por resolvê-lo, melhor ou pior”. Não estamos aqui tratando de um
“problema do qual depende a sua vida” ao pé da letra, mas entendemos que quando o
envolvimento na situação-problema é estreito, os sujeitos acabam por assumir papéis de
liderança e criam um comprometimento suficiente para fazer daquele problema
proposto um problema real do qual dependem suas vidas.
Mesmo sem saber ao certo o que fazer com as informações coletadas do lado de
fora da casa, os demais alunos começaram a se envolver mais diretamente na situaçãoproblema.
Felipe, um jovem de aproximadamente 19 anos que acaba de concluir o Ensino
Médio e trabalha com o pai em uma serralheria e Sara, uma jovem de aproximadamente
22 anos, cuja origem é de uma família de assentados da região de Ribeirão Preto,
levantaram a hipótese: “a altura de Marcelo, pela “lógica” das contas deve ser 1,49m,
mas ele é bem mais alto que isso!”. Indagados sobre que “lógica” era essa que eles
haviam apontado, Sara respondeu: “ué, a sombra da régua é 7 cm menor que a régua, o
mesmo deve acontecer com ele, não é?”. Felipe reforçou a resposta da amiga com uma
pergunta: “ta errado?”.
Sobre essa questão que Sara chama de “lógica das contas”, CARAÇA (1951, p:
120) explica que “uma das tarefas mais importantes no trabalho de investigação da
Natureza é a procura de regularidades de fenômenos naturais”. MORETTI (1998, p:
36) reforça esse pensamento no âmbito da Matemática quando diz que “embora não
disponha de fenômenos, a Matemática fornece “situações-problema” nas quais o aluno
pode ser inserido como resolvedor”.
Ao que tudo indica, Sara e Felipe, durante o desenvolvimento desta situaçãoproblema, conjecturaram que a “regularidade” que envolvia o fenômeno da relação
entre o tamanho da sombra com o objeto, neste caso específico, era “a sombra é 7 cm
menor que o tamanho real”.
Aqui, claramente percebemos que nem todos tinham a noção e o conceito de
razão e proporção, embora já tenham passado pela escola regular.
Outras opiniões foram dadas. Henrique disse: “num tem sentido assim, deve ser
por porcentagem”. Em seguida, se pôs a verificar através de contas se sua hipótese se
confirmava.
Todos seguiram a sugestão do amigo, concordando que a ideia inicial de Felipe
e Sara sobre “subtrair a mesma quantidade” não seria o melhor caminho. A grande
maioria tentou calcular a porcentagem usando regra de três e não conseguiu, pois era
“muita coisa: tem o 100%, as 3 medidas (coletadas lá fora), e ainda o x... tá sobrando
um monte de coisa, mas tem que usar tudo” disse Patrícia, que atualmente trabalha
numa empresa de telefonia como atendente.
Percebemos que Patrícia consegue entender que todos os dados são importantes,
porém não consegue manipulá-los usando o algoritmo da regra de três.
Apenas o próprio Henrique enxergou que deveriam ser feitas duas relações:
primeiro, pra saber qual porcentagem da régua representava a sombra, e daí, calcular a
altura procurada. Abaixo está uma reprodução fiel dos cálculos de Henrique:
1º: regra de três para calcular qual porcentagem a sombra de 7 cm representava em
relação ao tamanho total da régua de 30 cm
30 – 100
23 – x
30x = 2300
x = 2300/30 = 76% (após fazer a divisão manualmente)
Henrique resolveu usar o resultado sem as casas decimais (que ele nem chegou a
calcular). Não sabemos se ele tomou essa decisão para facilitar e acelerar o cálculo ou
se porque não sabia continuar a conta. Tendo descoberto a porcentagem da sombra em
relação ao objeto fez outra regra de três, dessa vez usando a porcentagem e a altura do
Marcelo:
2º: regra de três para calcular a altura que Marcelo deve ter, sabendo que sua sombra
representa 76% do seu tamanho
x – 100
1,42 – 76
76x = 142
x = 142/76 = 1,86m
Novamente o estudante fez essas contas manualmente para obter 1,86m. Aqui
nos fica claro que a intenção de Henrique era fazer logo os cálculos, pois conseguiu
trabalhar a divisão com resto. Além disso, sabia que precisaria apenas de duas casas
decimais (mesmo tendo como continuar a divisão).
Marcelo confirmou que sua altura era 1,83m e discussões sobre as possíveis
causas do erro de 3 cm foram levantadas.
O primeiro a falar foi Luís. Ele disse que a medida não foi feita a partir de um
mesmo ponto (em outras palavras: os objetos não estavam paralelos, contrariando o
modelo original da pirâmide).
Helena falou depois. Disse que no escuro poderiam ter feito alguma confusão,
pois estava um pouco escuro.
Outra hipótese foi de Rogério, que lembrou seus colegas sobre a irregularidade
do terreno e por último, o próprio Marcelo falou sobre o vidro que cobre a lâmpada do
poste. Segundo ele, o vidro poderia causar algum desvio e “desfocar” a luz quando os
objetos são grandes.
Vale observar que todos apontaram erros experimentais. Nenhum estudante
questionou a forma matemática que Henrique adotou para calcular a altura de Marcelo.
Observamos nesse pequeno diálogo um bom exemplo para justificar o fato de o
grupo de professores que atuam no cursinho darem ênfase à Educação para a autonomia
do aluno. ROSEIRA (2010, p: 130) reconhece a “importância da mediação docente para
a construção da autonomia dos alunos”, e que a mesma não ocorre “no sentido de impor
verdades matemáticas prontas e inquestionáveis, sendo, portanto, deslocados de uma
atuação como os únicos sujeitos capazes de apresentar explicações e argumentos”.
Concordando com ROSEIRA (2010) em relação à importância da mediação na
construção da autonomia dos alunos, por este motivo é que resolvemos questionar sobre
a solução de Henrique. Sugerimos que pesquisassem “uma forma” de resolver a questão
sem usar a porcentagem.
Rogério, que foi o aluno que deu a ideia inicial sobre comparar sombras para
descobrir a altura da casa, já estava pesquisando nos livros disponíveis, prontificou-se
instantaneamente a ir explicar na lousa, onde escreveu a relação:
tamanho da régua tamanho do Marcelo
=
sombra da régua
sombra do Marcelo
E completou: “aí eu coloquei o que nós usamos, né, que no caso foi o objeto
régua e o Marcelo, mas pode ser pra quaisquer duas coisas”. Os alunos tomaram nota da
“fórmula”. Tatiana perguntou se poderia usar sempre essa relação, e Rogério repetiu: “é,
é pra qualquer coisa”. Tatiana, espantada e desconfiada, olhou para outros colegas
buscando uma confirmação.
Enquanto isso, verificando o livro didático empunhado por Rogério no momento
em que escrevia sua fórmula, observamos que o mesmo apresentava uma relação bem
parecida com a vivenciada por eles: medir uma altura desconhecida através da relação
entre sombras de dois objetos. Porém, a fórmula trazida pelo livro, obviamente, não
estava como Rogério expôs aos colegas, mas sim da seguinte forma:
h H
=
, onde H e h se referem às alturas dos objetos e S e s às sombras dos mesmos.
s S
Nesse momento percebemos que Rogério tem pensamento algébrico, pois
conseguiu transpor uma fórmula geral, apresentada no livro com letras, ou seja, a partir
da álgebra simbólica, para a situação-problema particular em que ele e seus amigos
estavam envolvidos, buscando dar sentido e contextualizar o caso geral.
Enquanto Rogério estava seguro sobre a relação particular-geral, Tatiana estava
desconfiada desta relação.
A desconfiança de Tatiana sobre a abrangência da fórmula apresentada pelo
amigo nos remete ao trabalho de SOUSA (2004, p: 158) quando menciona que poucas
crianças conseguem fazer generalizações. Claramente, percebe-se que Tatiana, além de
não conseguir fazer associações comparativas que levam a generalizações, não
“acredita” nelas.
Vale a ressalva de que não estamos lidando com uma criança, mas com um
adulto que concluiu o Ensino Médio há 5 anos. Este fato confirma a previsão de
SOUSA (2004, p: 158): “se a escola não orienta a formação do pensamento teórico, ao
insistir numa didática empírica de matemática, continuaremos a assistir ao fenômeno da
seletividade: uma minoria reduzida entendendo matemática”.
Considerações finais
Este trabalho, como foi dito, é um recorte de uma pesquisa de mestrado que
ainda se encontra em andamento. Aqui apresentamos uma situação observada em um
dos episódios de sala de aula que nos permite levantar questões importantes.
Uma delas é o fato de um sujeito que tem o Ensino Médio completo não
apresentar nenhuma recordação sobre o conceito de razão e proporção. Entendemos que
a forma tradicional ou sem nenhum embasamento teórico que ainda encontramos na
escola básica é o grande responsável pelo não-entendimento da Matemática,
especificamente da linguagem algébrica, por todos, ou, ao menos, pela maioria dos
alunos.
Na pesquisa, percebemos que os conceitos de razão e proporção podem nortear o
trabalho dos professores no sentido de conduzir os alunos na passagem da linguagem
aritmética para a algébrica. Ou seja, nesta turma em específico, aprender e entender os
conceitos de razão e proporção auxilia o entendimento da linguagem algébrica em geral.
Frente à realidade escolar quase que catastrófica do Ensino da Matemática,
acreditamos que a postura de adotar o papel de efetivos mediadores, “dialógicos”, no
sentido em que os estudos de FREIRE apontam, do processo ensino-aprendizagem é de
extrema importância na construção dos conceitos de forma significativa e também da
autonomia do aluno. Também entendemos que, ao falar de professor-mediador, não
estamos nos referindo ao professor que levanta questões baseadas em um livro ou em
uma apostila e espera respostas prontas, mas sim ao professor que problematiza, que
conhece a dimensão social da qual faz parte, que possibilita ao sujeito refletir sobre as
limitações que lhe são impostas e que o faz agir no sentido de superá-las (ROSEIRA,
2010). Além dessas características apontadas por ROSEIRA, ressaltamos a importância
deste professor, com postura mediadora, ouvir as problemáticas que os estudantes
levantam durante aulas de outras áreas do conhecimento e sua disponibilidade, tanto
para tentar solucioná-las quanto para planejar aulas juntamente com os seus colegas de
outras disciplinas.
Referências
BRASIL (país), MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais+: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
Brasília: MEC/SEMT, 2002.
BOYER, C. B. História da Matemática: São Paulo: Editora Edgar Blucher
LTDA,1974.
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática: Lisboa, 1951.
EVES, H. Introdução à História da Matemática: Campinas: Editora da
UNICAMP, 2004.
MORETTI, V. D. O Conceito de Função: os Conhecimentos Prévios e as
Interações Sociais como Desencadeadores da Aprendizagem: São Paulo:
Faculdade de Educação (USP), 1998.
ROSEIRA, N. A. F. Educação Matemática e Valores: das concepções de
professores à construção da autonomia: Brasília: Liberlivro, 2010.
SOUSA, M. C. O Ensino da Álgebra numa Perspectiva Lógico-Histórica: um
estudo das elaborações correlatadas de professores do Ensino Fundamental:
Campinas, Faculdade de Educação, 2004.