UFPR 2012 — 2ª Fase
Matemática
01 - Considere as funções f(x) = x – 1 e g(x) = 2/3 (x – 1)(x – 2)
y
0
x
a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesiano ao lado.
Comentário
b) Calcule as coordenadas (x,y) dos pontos de interseção dos gráficos de f(x) e g(x).
Comentário
Os pontos de interseção das funções f e g são as soluções do sistema abaixo:
y
x 1
(1)
2
y
( x 1)( x 2) (2)
3
2
Assim, ( x 1)( x 2) x 1
3
2 2
(x
3x 2) x 1 0
3
2x 2
3
2x
4
3
x 1 0
2x2 – 6x + 4 – 3x + 3 = 0
2x2 – 9x = 0
Aplicando a fórmula de Báskara teremos para raízes
x1 = 1 e x2 = 7/2, que substituindo na equação (1) dá:
Para x = 1, y = 0 e para x = 7/2, y = 5/2
Portanto as interseções de f e g são os pontos I1(1; 0) e I2 (7/2; 5/2)
02 - Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 9 amarelos. Sabendo que a caixa contém somente esses lápis, responda:
a) Qual o número mínimo de lápis que devemos retirar (sem olhar a cor) para que estejamos certos de haver retirado 4 lápis de
uma mesma cor? Justifique sua resposta.
Página
1
Comentário
Pelo princípio da casa dos pombos, o número mínimo de lápis que se deve retirar da caixa para que se tenha a certeza de ter retirado 4 lápis
da mesma cor é 10, pois na pior das hipóteses, ao retirar 9 lápis teriam saído três lápis azuis, 3 vermelhos, 3 amarelos. Assim, o 10º lápis
retirado representaria o 4º lápis de uma das três cores disponíveis.
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b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem olhar a cor), qual é a probabilidade de que todos sejam da cor amarela?
Comentário
Seja (P) a probabilidade de se retirar 3 lápis dessa caixa e os mesmos serem da cor amarela. Assim, tem-se:
P
9 .8 .7
3!
21 .20 .19
3!
6
P
95
03 - Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um
dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por
meio de uma função do primeiro grau.
a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e o úmero
de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m.
Comentário
x  comprimento do úmero
y  altura da pessoa
função do 1º grau  y = ax + b
Sabe-se que:
para
x
40 cm
y 190 cm
x
30 cm
y 160 cm
e por tanto:
40a b 190
30a b 160 x( 1)
40a b 190
30a b
160
10a = 30
a = 3 e b = 70
Portanto a função pedida é dada através da sentença y = 3x + 70
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso?
Comentário
Já sabermos através do item anterior, que a altura (y) do individuo em função do comprimento (x) de seu úmero é dada pela expressão
y = 3x + 70.
Assim, para um úmero com x = 32 cm de comprimento a altura será dada por:
y = 3 . 32 + 70 = 166 cm o que corresponde a um individuo com altura de 1 metro e sessenta e seis centímetros.
04 - Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura ao lado.
Comentário
A área do quadrilátero pode ser calculada pela diferença entre a área do retângulo OABC e dos triângulos retângulos OP 1P2, AP2P3, BP3P4 e
CP1P4 . Assim, tem-se:
SP1P2P3P4 =
Outra opção :
Por geometria analítica tem-se:
2
SP1P2P3P4 =
SP1P2P3P4 =
Página
SP1P2P3P4 =
= 22 u.a
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05 - A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a
diagonal dessa tela mede 37 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as
aproximações 337
18,5 e 1 polegada 2,5cm)
Comentário
Considere a figura sendo a largura e a altura proporcionais a 16 e 9 respectivamente:
C
D
A
9x
B
16x
A medida da diagonal é de 37 polegadas o que equivale a 37.2,5 = 92,5 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC tem-se:
A largura corresponde a 16.x = 16.5 = 80 cm
A altura corresponde a 9.x = 9.5 = 45 cm
06 - Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para
estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção ambiental:
500
P(t) =
1 22 t
, sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos?
Comentário
500
1 22 t
P( t )
queremos determinar t, quando P(t) = 400
Assim:
500
400
1 22 t
500
22-t =
-1
400
1
4
22-t =
1 22 t
500
400
2-2
2 – t = -2
22 – t
t = 4 anos
b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? Justifique sua resposta.
Comentário
À medida que o tempo aumenta, o número de pássaros se aproxima de 500, pois quanto maior o valor de t tão mais próximo de zero está
o valor da expressão 22-t e assim tão mais próximo de 1 está o valor do denominador 1 + 22-t e por conseguinte o valor da fração
500
1 22 t
se
aproxima de 500.
Matematicamente demonstra-se isto, calculando
2
2 t
500
1 2
2
500
1 2
1
500
1
500
1
1
500
1 0
500
1
500
2
3
t
500
Página
lim 1
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07 - Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura ao lado. O primeiro, chamado de “tubo de ensaio”, possui
internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de “cone de Imhoff”, possui
internamente o formato de um cone circular reto.
a) Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da base igual a 2 cm, é de 60 ml, calcule a altura h desse cone.
Comentário
O volume do cone é de 60 ml, o qual equivale a 60 cm3, assim, tem-se:
b) Calcule o volume (em mililitros) do tubo de ensaio com raio da base medindo 1 cm e que possui a mesma altura h do cone de
Imhoff.
Comentário
O tubo de ensaio é composto por um cilindro e uma semiesfera, ambos com raio 1cm. Assim seu volume é dado por :
Vci =
08 - Suponha que, durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser
descrita pela função F(t) = 21 - 4 cos
12
t
, sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
Página
4
Comentário
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Considerando a função F (t )
21 4cos
12
t , e o tempo iniciando sua variação as 06 horas da
manhã. Temos que a menor temperatura se dará quando cos
12
t
2
t
1 , logo
24horas , e
t
F (24)
12
21 4 cos
12
24
21 4 cos 2
21 4.1
F (24) 17º C
A maior temperatura se dará quando cos
F (12)
21 4 cos
F (12)
21 4
12 21 4 cos
12
F (12) 25º C
12
1 , logo
t
12
t
t 12horas .
21 4.( 1)
Assim a variação de temperatura será:
F (12) F (24)
8º C
25 17
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 ºC?
Comentário
Admita t = 0 o tempo correspondente a 06h00 da manhã e 0
Para que F(t) = 23, deve-se ter:
21 – 4 cos
cos
12
t
12
t 24.
t = 23
1
2
t
12
2
3
n.2 ; n
Z
Assim, obtemos: t = 8 + 24 n ; n Z
Atribuindo-se valores inteiros para (N) vem:
Se n = 0  t = 8 ou t = -8 (não convém)
Se n = 1  t = 16 ou t = 32 (não convém)
Desta forma, a temperatura da superfície do lago atingirá 23 °C às 14h00 (t = 8) e às 22h00 (t = 16)
09 - Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente.
Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06) 0,084. )
Comentário
À soma do capital aplicado com os juros obtidos, dá-se o nome de montante, que é calculado através da expressão M = C.(1 + i) t, sendo C
o capital aplicado, i a taxa da aplicação (em número decimal) e t o tempo, no caso em anos.
Sabe-se do enunciado que:
C = 1000, i = 0,06 e M = 2000 (queremos que o capital empregado dobre de valor).
Assim:
2000 = 1000.(1 + 0,06)t
(1,06)t = 2
Equação exponencial, onde não é possível igualar as bases e , portanto aplicamos a propriedade:
Se A = B
logaA = logaB
log2(1,06)t = log22
t.log2(1,06) = 1
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5
2000
1000
Página
(1 + 0,06)t =
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t . 0,084 = 1
t=
1000
1
1
=
=
=11,9 anos
84
84
0,084
1000
t = 11 anos e 11 meses
3 x
x
10 - Considere o polinômio p(x) = 3 x
4
x 3
3
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, deixando claro se utilizou propriedades de determinantes ou algum método
para obter as raízes do polinômio.
Comentário
Como o determinante deve ser igual a zero, a primeira linha deve ser igual a segunda, assim temos o det = 0 e x1 = 4.
Considerando que o determinante representa o polinômio P(x), resolvemos o determinante pela regra de Sarrus e encontramos
P(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36 = 0.
Sabendo uma das raízes podemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para baixar o grau da equação:
4 1
4
9 36
Página
6
1 0
9 0
Temos um polinômio de grau 2: x2 – 9 =0, cujas raízes são:x2 = 3 e x3 = -3, completando assim as três raízes reais desse polinômio P(x).
S = {(- 3, 3, 4)}
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