COMENTÁRIOS DA PROVA DA UFPR - 2ª FASE
Matéria/Professor: Matemática - Proença
2
(x − 1)(x − 2) .
3
a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesiano
ao lado.
COMENTÁRIO
(para x = 0)
f(x) = y = (x – 1) " f(0) = y = 0 – 1 " f(0) = y = –1
01. Considere as funções f(x) = x – 1 e g(x) =
(para y = 0)
f(x) = y = (x – 1) " 0 = x – 1 " x = 1
(para x = 0)
2
2
g(x) = ( x − 1)( x − 2) " g (0) = y = (0 − 1) . (0 − 2) "
3
3
4
g (0) = y =
3
(para y = 0)
2
2
g ( x ) = y = ( x − 1) . ( x − 2) " ( x − 1) . ( x − 2) = 0 "
3
3
(2x2 – 6x + 4) = 0 " 2x2 – 6x + 4 = 0 "
−b ± b2 − 4ac 6 ± 36 − 32 x ' = 1
=
=
2a
4
x " = 2
Cálculo da coordenada do vértice da parábola
2
g ( x ) = y = ( x − 1) . ( x − 2) :
3
x vértice =
x ' + x " 1+ 2 3
=
=
2
2
2
y vértice =
2
2 3
3
(x − 1). (x − 2) =  − 1 .  − 2 =
3
3 2
2
2  3 − 2  3 − 4
1

 . 
 = −
3 2
2
6

 7   7 − 2 5
y ' = ( x ' − 1) =  − 1 = 
=
2
2  2

y " = ( x " − 1) = (1− 1) = 0

As coordenadas dos pontos de interseção dos
gráficos de f(x) e g(x) são (7/2 , 5/2) e (1 , 0).
02. Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 9
amarelos. Sabendo que a caixa contém somente esses
lápis, responda:
a) Qual o número mínimo de lápis que devemos retirar
(sem olhar a cor) para que estejamos certos de haver
retirado 4 lápis de uma mesma cor? Justifique sua
resposta.
COMENTÁRIO
Simulando a retirada (sem olhar a cor) da saída, o
lápis poderá ser azul, vermelho ou amarelo.
sai o 1º lápis de cor azul
sai o 2º lápis de cor vermelho

sai o 3º lápis de cor amarelo

sai o 4º lápis de cor azul
sai o 5º lápis de cor vermelho

sai o 6º lápis de cor amarelo
sai o 7º lápis de cor azul

sai o 8º lápis de cor vermelho
sai o 9º lápis de cor amarelo

sai o 10º lápis de cor azul ou vermelho ou amarelo
O número mínimo de lápis que devemos retirar (sem
olhar a cor) para que estejamos certos de haver
retirado 4 lápis de uma mesma cor são 10.
b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem
olhar a cor), qual é a probabilidade de que todos
sejam da cor amarela?
COMENTÁRIO
sai o 1º lápis de cor amarela

probabilidade → sai o 2º lápis de cor amarela
sai o 3º lápis de cor amarela

P=
b) Calcule as coordenadas (x,y) dos pontos de
interseção dos gráficos de f(x) e g(x).
COMENTÁRIO
2
g(x) = f(x) " ( x − 1) . ( x − 2) = ( x − 1) "
3
2.(x – 1).(x – 2) = 3.(x – 1) "
(2x2 – 6x + 4) = (3x – 3) " 2x2 – 6x + 4 – 3x + 3 = 0
" 2x2 – 9x + 7 = 0 "
7

−b ± b2 − 4ac 9 ± 81 − 56 x ' =
=
=
2
2a
4
x " = 1
9 8 7
6
ou 0,0631 ou 6,31%
⋅
⋅
=
21 20 19 95
Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem
olhar a cor), a probabilidade de que todos sejam
6
da cor amarela é de
ou 0,0631 ou 6,31%.
95
03. Numa expedição arqueológica em busca de artefatos
indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram
um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se
que o comprimento desse osso permite calcular a altura
aproximada de uma pessoa por meio de uma função
do primeiro grau.
a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que
o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era
1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e
sua altura era 1,60 m.
COMENTÁRIO
(x) = y = ax + b é uma função do 1° grau.
Aplicando o teorema de Pitágoras
2
256.A 2 + 81A 2 110.889
2
2
 16.A 
+
=
→
=
A
37
)
)
(
(


9 
81
81
f (40) = 190
40 a + b = 190
→ 
→

f (30) = 160
30 a + b = 160
337.A 2 = 110.889 → A =
+40 a + b = + 190
40 a + b = 190
"
→ +

+
=
−
30
a
b
160.
1
)
(
 −30 a − b = − 160

A=
10a = 30 " a = 3
f(x) = y = a.x + b
f(x) = y = 3.x + 70
função do 1º grau é f ( x ) = y = 3.x + 70 com x e y ∈ℜ*+.
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media
32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que
possuía esse osso?
COMENTÁRIO
f(x) = y = 3.x + 70 " f(32) = y = 3.(32) + 70
f(32) = y = 166 cm ou 1,66 m.
A altura aproximada do indivíduo que possuía esse
úmero era de 166 cm ou 1,66 m.
04. Calcule a área do quadrilátero P 1 P 2 P 3 P 4 , cujas
coordenadas cartesianas são dadas na figura ao lado.
16. ( A )
16. (18)
→ (L ) =
= 32polegadas
9
9
(L) = 32.(2,5) = 80 cm
A largura da tela da TV é de 80 cm e a altura da tela
da TV é de 45 cm.
06. Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo
logístico, bastante conhecido por matemáticos e
biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de
determinada espécie numa área de proteção ambiental:
500
, sendo t o tempo em anos e t = 0 o
P (t ) =
2−t
1+ (2)
momento em que o estudo foi iniciado.
a) Em quanto tempo a população chegará a 400
indivíduos?
COMENTÁRIO
500
500
P (t ) =
→ 400 =
2−t
2−t
1+ (2)
1+ (2)
(
400. 1+ (2)
2−t
1+ (2)
2−t
(2)2 − t =
=
0
4
1
8
2
2
0
5
0
1
44
= 22 u.a.
3 = . 0 + 12 + 48 + 10 − 20 − 0 − 6 − 0 =
2
2
6
5
A área do quadrilátero P1 P2 P3 P4 é de 22 u.a.
05. A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual
a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9.
Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 polegadas,
qual é sua largura e a sua altura, em centímetros?
(Para simplificar os cálculos, use as aproximações
337 = 18,5 e 1 polegada ≈ 2,5cm)
COMENTÁRIO
Chamaremos de (L) a largura e de (A) a altura.
16. ( A )
16 L
=
→ 9. (L ) = 16. ( A ) → (L ) =
9 A
9
) = 500 → 1+ (2)
2−t
=
500
400
5
5
2−t
→ (2 ) = − 1
4
4
5−4
1
2−t
→ (2) =
4
4
(2)2 − t = (2)− 2
COMENTÁRIO
Área do quadrilátero P1 P2 P3 P4 =
337
333
= 18polegadas → A = 18. (2,5 ) = 45 cm
18,5
(L ) =
30a + b = 160 " 30.(3) + b = 160 "
b = 160 – 90 = 70 " b = 70
110.889
→ 2−t= −2
t = 4 anos
A população chegará a 400 indivíduos em 4 anos.
b) À medida que o tempo t aumenta, o número de
pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor?
Justifique sua resposta.
COMENTÁRIO
A medida que o tempo “t” aumenta, o valor de (2) 2 – t
diminui. Sendo assim, para um valor de “t” cada
vez maior, vamos obter um valor de (2) 2 – t cada
vez menor.
Portanto, o número de pássaros desta espécie
se aproxima de 500, considerando-se que com
o passar do tempo “t”, o valor de (2) 2 – t ficará
cada vez mais próximo de zero, de tal forma que
500
500
P (t ) =
=
= 500
2−t
+0
1
1+ (2)
.
07. Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a
figura ao lado. O primeiro, chamado de “tubo de ensaio”,
possui internamente o formato de um cilindro circular
reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de
“cone de Imhoff”, possui internamente o formato de um
cone circular reto.
1
 π 
cos  t = −
 12 
2

 π 
 2π 
0
cos  12 t = cos  3  = cos 120


cos  π t = cos  4π  = cos 2400


 

12 
3
(
)
(
 π   2 π 
 12 t =  3 
 t = 08h00

→ 

t = 16h00
 π t  =  4 π 
 12   3 
a) Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com
raio da base igual a 2 cm, é de 60 ml, calcule a altura
h desse cone.
COMENTÁRIO
π .R2 .h
π .22 .h
Vcone =
→ 60 =
3
3
π .4.h = 180 → h =
180 45
=
cm
4.π π
A altura do cone de Imhoff é de
45
cm
π
b) Calcule o volume (em mililitros) do tubo de ensaio
com raio da base medindo 1 cm e que possui a
mesma altura h do cone de Imhoff.
COMENTÁRIO
De acordo com o enunciado, o tempo foi medido a
partir das 06h00 da manhã. A temperatura atingirá
23° C, respectivamente, 8 horas e 16 horas após
às 06h00 da manhã, portanto às 14h00 e às 22h00.
09. Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma
aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos
anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo
necessário para que essa quantia dobre?
 use log 1,06 ≈ 0,084
( )


2
COMENTÁRIO
t
6 
t

M = C. (1+ i) → 1.000.  1+
= 2.000
 100 
1  4.π.R 
 45  1  4.π.1 
Vtubo = π.R2 .h + . 
= π.12. 
− 1 + . 
=

 π
 2  3 
2  3 
3
(45 − π ) +
3
2.π 135 − 3π + 2.π 135 − π
ml
=
=
3
3
3
O volume do tubo de ensaio é de
t
t
 106  2.000
→ (1,06) = 2

 =
100
1.000
135 − π
ml .
3
08. Suponha que, durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago
 π 
possa ser descrita pela função F ( t ) = 21− 4.cos  t ,
 12 
sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00
da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de
24 horas?
COMENTÁRIO
 π 
Para cos  t = − 1 " F(t) = 21 – 4 . (–1) = 25° C
 12 
t
log (1,06) = log 2 → t  log1,06  = log 2
 2
 2
2
2
t (0,084) = 1 → t =
O tempo para que esta quantia dobre é de aproximadamente 12 anos.
3 x − x 
10. Considere o polinômio P ( x ) = 3 x −4  .
 x 3 −3 
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, deixando claro se utilizou propriedades de determinantes
ou algum método para obter as raízes do polinômio.
COMENTÁRIO
Para calcular as raízes de p(x), faremos p(x) = 0.
3 x − x 
3 x −4  = 0 " – 9x – 9x – 4x2 + x3 + 9x + 36 = 0


 x 3 −3 
 π 
Para cos  t = + 1 " F(t) = 21 – 4 . (+1) = 17° C
 12 
x3 – 4x2 – 9x + 36 = 0
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23° C ?
COMENTÁRIO
 π 
 π 
21− 4.cos  t = 23 → − 4.cos  t = 23 − 21
 12 
 12 
2
 π 
 π 
− 4.cos  t = 2 → cos  t = −
 12 
 12 
4
1
→ t = 11,9 anos
0,084
 π 
Para cos  t = 0 " F(t) = 21 – 4 . (0) = 21° C
 12 
A temperatura variou entre o mínimo de 17° C e o
máximo de 25° C.
)
Uma das raízes é 3, pois se x = 3 teremos a 1ª coluna
do determinante igual a 2ª coluna do determinante, o
que garante que o valor do determinante é zero.
Testando +3 na equação:
P(3) = + (3)3 – 4.(3)2 – 9.(3) + 36 = 0
Como +3 é uma raiz do polinômio, aplicaremos Briot-Ruffini para auxiliar a determinação das outras duas
raízes deste polinômio P(x).
3
1
–4
–9
36
1
–1
– 12
0
1x2 – 1x – 12 = 0
1x2 – 1x – 12 = 0 "
+8

x'=
= +4
−b ± b2 − 4ac 1 ± 1 + 48 
2
=
=
2a
2
x " = −6 = − 3

2
As raízes do polinômio p(x) são { – 3 , + 3 e + 4 }